Dicas Importantes do Curso Pré-Cálculo

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1 urso de Pré álculo Dif. Int. I Dicas Importantes do urso Pré-álculo Técnicas de Estudo. Estudo em Grupo ssiduidade omprometimento Pesquisa Dúvidas Monitoria Tempo de Estudo Organização Texto SUGESTÕES PR MELHOR ESTUDR MTEMÁTI na página do DMT, no link: omo estudar Matemática? _estudar_matematica.pdf

2 urso de Pré álculo Dif. Int. I ula 01 Ministrante Prof. Dr. Raimundo Ronilson Leal do Rosário Material elaborado pelos professores: Prof. Dr. Raimundo Ronilson Leal do Rosário Profª. Drª. Silvana Heidemann Rocha SUMÁRIO Ementa 1 Introdução sobre onjunto onteúdo 1.1 Noção de onjunto 1. Formas de Representar um conjunto 1.3 Relação de Pertinência, ) 1.4 orrespondência iunívoca 1.5 onjuntos Importantes onjunto Vazio 1.5. onjunto Unitário onjunto Universo 1.6 onjuntos Iguais 1.7 onjuntos Disjuntos 1.8 Subconjuntos e Relação de Inclusão, ) 1.9 onjuntos das Partes de um onjunto 1.10 Par Ordenado Operações com onjuntos 3 onjuntos Numéricos 4 Estudos dos Números Reais R).1 União ). Interseção ).3 Diferença ).4 omplementar c ).5 Produto artesiano ).6 Propriedades das Operações com conjuntos.7 Partição de um onjunto 3.1 onjunto dos Números Naturais N) 3. Propriedades das Operações em N 3.3 onjunto dos Números Inteiros Z) 3.4 Propriedades das Operações em Z 3.5 onjunto dos Números Racionais Q) 3.6 Propriedades das Operações em Q 3.7 onjunto dos Números Irracionais R Q) 3.8 onjunto dos Números Reais R) 3.9 onjunto dos Números omplexos ) 3.10 Propriedades das Operações em 4.1 Potenciação em R e suas propriedades 4. Radiciação em R e suas propriedades 4.3 Intervalos Operações com Intervalos 4.4 Módulo de um Número Real

3 urso de Pré álculo Dif. Int. I ula Introdução sobre onjunto 1.1 Noção de conjunto onjunto é o agrupamento, classe ou coleção de elementos. 1. Formas de representar um conjunto Enumeração dos elementos Ex.: = {a, b, c} Propriedades Ex.: = {x; x são as três primeiras letras do alfabeto} Diagrama Ex.: Relação de pertinência, ) É convencionado usar os símbolos e para relacionar elementos com conjuntos. Lê-se: pertence para o símbolo e não pertence para. Ex.: Dado o conjunto P = { 1,, {1, }, {{5}} }, tem-se: 1 P; P; {1, } P; {{5}} P; 5 P; {1} P; {5} P. 1.4 orrespondência iunívoca É o tipo de correspondência entre dois conjuntos no qual cada elemento do primeiro conjunto é relacionado a um único elemento do segundo conjunto, e vice-versa. Ex.: M N D 3

4 urso de Pré álculo Dif. Int. I ula onjuntos importantes onjunto Vazio ou { } ): é aquele que não possui elemento. Ex.: = ou = { }. Observação: O conjunto = { } não é vazio, pois possui o elemento onjunto Unitário: é aquele que possui um único elemento. Ex. 1 : { 3 } Lê-se: O conjunto unitário formado pelo algarismo 3) Ex. : { {5} } Lê-se: O conjunto unitário formado pelo unitário 5). Ex. 3 : { {6, 7} } Lê-se: O conjunto unitário formado pelo par não-ordenado 6 e 7) onjunto Universo U ): é o conjunto ao qual pertencem todos os elementos do assunto sob análise Ex.: equação x 3)x + ) = 0, tem os seguintes conjuntos soluções: S = {3}, se U = N conjunto dos números naturais); S = {, 3}, se U = Z conjunto dos números inteiros); 1.6 onjuntos Iguais Dois conjuntos e são iguais quando todo elemento de pertence a e todo elemento de pertence a. Em símbolos, tem-se: = x, x x Ex.: {0, 3, 10} = {0, 10, 3} = {3, 0, 10} = {3, 10, 0} = {10, 0, 3} = {10, 3, 0} Observações: O símbolo significa para todo ou qualquer que seja. Quando se escreve elementos do conjunto universo em questão. x, lê-se para todo x, e refere-se a todos os 4

5 1.7 onjuntos Disjuntos urso de Pré álculo Dif. Int. I ula 01 Dois conjuntos e são denominados conjuntos disjuntos quando não possuem elemento comum. Ex.: = {, 4, 5} e = {1, 3} são conjuntos disjuntos. Ex.: M = {números pares} e = {, 4, 5} não são disjuntos. 1.8 Subconjuntos e Relação de Inclusão, ) Um conjunto é subconjunto de um conjunto se, e somente se, todo elemento de pertence também a. Notação: e lê-se está contido em. O símbolo é denominado sinal de inclusão. Sua negação é lê-se: não está contido ) Quando também pode-se escrever, que se lê contém. Ex.: Seja o conjunto = {0, 1,, 3, 4}, tem-se: {}, pois ; {0, }, pois 0 e ; {0, 5}, pois onjunto das Partes de um onjunto Dado um conjunto, o conjunto das partes de denotado por P) ) é o conjunto formado por todos os subconjuntos de. Em símbolos, tem-se: P ) = {X / X }. Observação: O número de elementos de, denotado por n), é igual a n) Ex.: M = { a, b, c} P M) = {, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} }, sendo o número de elementos de P M) = nm) = 3 = Par ordenado Um par ordenado, denotado por a, b), consiste de dois elementos, a e b, dos quais um o a é designado como primeiro elemento e o outro, b, como segundo elemento. 5

6 urso de Pré álculo Dif. Int. I ula 01. Operações com onjuntos.1 União ) Dados dois conjuntos e, a união de e denotada por ) é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a ou a. = {x; x ou x } Ex.: P = { 1, 0, 1,, 3} e Q = {1, 3, 5}, então P Q =.... Interseção ) Dados dois conjuntos e, a interseção de e denotada por ) é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a e a. = {x; x e x } Ex.: P = { 1, 0, 1,, 3} e Q = {1, 3, 5}, então P Q =....3 Diferença ) Dados dois conjuntos e, a diferença entre e denotada por ) é o conjunto formado pelos elementos de que não pertencem a. = {x; x e x } Ex.: P = { 1, 0, 1,, 3} e Q = {1, 3, 5}, então P Q =... 6

7 urso de Pré álculo Dif. Int. I ula 01.4 omplementar de em relação a ) Dados dois conjuntos e, tal que, o complementar de em relação a denotado por ) é o conjunto. = Ex.: P = { 1, 0, 1,, 3} e R = {1, 3}, então =....5 Produto cartesiano ) Dados e dois conjuntos não vazios. O produto cartesiano de por denotado por ; lê-se: cartesiano ou produto cartesiano de por ) é o conjunto cujos elementos são todos pares ordenados x, y), onde x pertence a e y pertence a. Ex.: P = {a, 0, 1} e Q = {r, 3}, então = {x, y); x e y } P Q = {a, r), a, 3), 0, r), 0, 3), 1, r), 1, 3)}.6 Propriedades das Operações com onjuntos Sendo, e três conjuntos quaisquer e U o conjunto universo, tem-se: i) ii) iii) U U iv) v) vi) U vii) comutativa em relação à união) viii) ) ) = associativa em relação à união) 7

8 urso de Pré álculo Dif. Int. I ula 01 8 ix) comutativa em relação à interseção) x) ) ) = associativa em relação à interseção) xi) ) ) ) distributiva da união em relação à interseção) xii) ) ) ) distributiva da intersecção em relação à união) xiii) ) ) ) distributiva da interseção em relação à diferença) xiv), onde é o complementar de em relação ao conjunto universo U. xv) U e U xvi) ) xvii) xviii) xix) ) Primeira Lei de Morgan) Generalização: n n i i n i i n... ) xx) ) Segunda Lei de Morgan) Generalização: n n i i n i i n... ) xxi) ) xxii) ) ) xxiii) ) xxiv) = ) xxv) = ) xxvi) ) )

9 urso de Pré álculo Dif. Int. I ula 01 xxvii) = ) ) xxviii) onde significa ou. xxix) e D ) D), onde é o produto cartesiano. xxx) ) ) ) distributiva do produto cartesiano em relação à união) xxi) ) ) ) distributiva do produto cartesiano em relação à interseção) xxxii) ) ). onde significa e.7 Partição de um onjunto Definição: Os subconjuntos 1,,..., n formam uma partição do conjunto U se: i) i, i = 1,,..., n n. ii) i j =, para i j ou seja, i e j são conjuntos disjuntos), com j = 1,,..., iii) n i1 i U Ex: U n n-1 Em resumo: Uma partição de um conjunto U é uma coleção de subconjuntos não-vazios e disjuntos de U, cujas uniões são iguais a U. 9

10 urso de Pré álculo Dif. Int. I ula ONJUNTOS NUMÉRIOS 3.1 onjunto dos Números Naturais N) N = {0, 1,, 3, 4, } N = N {0} = {1,, 3, 4, } 3. Propriedades das operações em N i) a + b) + c = a + b + c) ii) a + b = b + a iii) a + 0 = a iv) a b) c = a b c) v) a b = b a vi) a 1 = 1 a = a vii) a b + c) = a b + a c 3.3 onjunto dos Números Inteiros Z) Z = {, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, } Z = {0,1,, 3, 4, } = N Z = {, 3,, 1, 0} Z = Z {0} = {, 3,, 1, 1,, 3, 4, } Z = {1,, 3, 4,.. } Z = {, 3,, 1} 3.4 Propriedades das operações em Z i) a + b) + c = a + b + c) ii) a + b = b + a iii) a + 0 = a iv) a + a) = 0 v) a b) c = a b c) vi) a b = b a vii) a 1 = 1 a = a viii)a b + c) = a b + a c 10

11 3.5 onjunto dos Números Racionais Q) urso de Pré álculo Dif. Int. I ula 01 Q = p q ; p Z e q Z Q = { } 3.6 Propriedades das operações em Q s oito propriedades em Z, e: ix) a = onjunto dos Números Irracionais R Q) Os números irracionais são dízimas não-periódicas; isto é, são números com infinitas casas decimas, mas que não apresentam período. Ex.: = 1, onjunto dos Números Reais R) O conjunto dos números reais tem como elementos todos os números racionais e todos os números irracionais. 3.9 onjunto dos Números omplexos ) Pode-se definir o conjunto dos números complexos como o conjunto dos pares ordenados x, y) de números reais para os quais estão definidas a igualdade, a adição e a multiplicação conforme abaixo. Tomando dois elementos a, b) e c, d) de R, com R = RR, tem-se: i) igualdade: a, b) = c, d) a = c e b = d ii) adição: a, b) + c, d) = a + c, b + d) iii) multiplicação: a, b) c, d) = a c b d, a d + b c) 11

12 urso de Pré álculo Dif. Int. I ula 01 Todo número complexo z = a, b) pode ser escrito sob a forma algébrica z = a + bi, onde a unidade imaginária i é definida como i = 1 ou i 1. É esse significado da unidade imaginária que justifica a definição da multiplicação, em, como dada no item iii, anteriormente, pois: a bi). c di) ac adi bci bdi ac bd ad bc) i ac bd, ad bc) Nos livros de engenharia, é usual denotar-se a unidade imaginária por j, obtendose, por exemplo, z a bj. Observações: O conjunto dos números complexos não é igual ao conjunto R, uma vez que, pela definição de conjuntos iguais, os elementos de e de R não são os mesmos. Por exemplo: a, b) significa que a componente b está sendo multiplicada pela unidade imaginária, ou seja, a, b) é apenas uma forma de representar o número complexo a + bi. Um número complexo z = a + bi pode ser representado, ainda, na forma trigonométrica ou forma polar, dada por z cos i. sen ) ; bem como, na forma exponencial z.e i. Geometricamente, os números complexos são representados num plano denominado plano de rgand-gauss que é, conceitualmente, diferente do plano cartesiano Propriedades das operações em Sendo z 1, z e z 3 elementos de, tem-se: z 1 + z ) + z 3 = z 1 + z + z 3 ) associativa aditiva) z 1 + z = z + z 1 z + 0,0) = z z + -z) = 0,0) comutativa aditiva) elemento neutro aditivo) elemento simétrico ou inverso aditivo) z 1 z ) z 3 = z 1 z z 3 ) associativa multiplicativa) 1

13 z 1 z = z z 1 z 1,0) = z urso de Pré álculo Dif. Int. I ula 01 comutativa multiplicativa) elemento neutro multiplicativo) a b z, ) = 1,0), com z = a, b) elemento inverso multiplicativo) a b a b z 1 z + z 3 ) = z 1 z + z 1 z 3 ) distributiva da multiplicação em relação à adição) 4 Estudos dos Números Reais R) 4.1 Potenciação em R e suas propriedades Propriedades de potenciação dos números reais. 1) a = 1 ) a = 1 3) a = 4) a a = a 5) a b = ab) 6) a : a = a 7) a : b = 8) a ) = a 9) a = a 4. Radiciação em R e suas propriedades Propriedades de radiciação dos números reais. 1) a = a ) a = a 3) a 4) a b c = a = a b c 13

14 urso de Pré álculo Dif. Int. I ula 01 5) 6) a b = = a b 7) a = 4.3 Intervalos Intervalo é um subconjunto dos números reais. Representação de Intervalos a) Limitados. Intervalos limitados berto aberto à esquerda fechado fechado à esquerda olchetes Desigualdades Geometricamente ]a, b[ {x R; a < x b} [a, b[ b) Limitados superiormente ou inferiormente olchetes Desigualdades Geometricamente ], b[ {x R; x b} ]a, + [ Operações com Intervalos Exercícios 14

15 4.4 Módulo de um Número Real Valor bsoluto urso de Pré álculo Dif. Int. I ula 01 Definição: Para todo x R, o módulo de x, denotado por x, é definido por x x - x se se x 0 x 0 De acordo com a definição anterior, para todo x R, tem-se x 0. 15

16 urso de Pré álculo Dif. Int. I ula 0 Ministrante Profª. Drª. Silvana Heidemann Rocha Material elaborado pela Profª. Drª. Silvana Heidemann Rocha aroa) estudante, Estas notas de aulas têm o objetivo de auxiliá-loa) na revisão de conteúdos básicos para o estudo do álculo Diferencial e Integral. No entanto, elas não oa) dispensam de consultar livros. aso você encontre erros de quaisquer tipos ou tenha sugestões a fazer, favor comunicar-me; assim, poderei aperfeiçoar o material. O conteúdo deste material pode ser usado por qualquer pessoa, desde que seja citada a fonte. Grata por sua colaboração e bom estudo. Profª Silvana Heidemann Rocha

17 SUMÁRIO urso de Pré álculo Dif. Int. I ula 0 1 SISTEMS DE OORDENDS 1.1 SISTEM UNIDIMENSIONL OU SISTEM LINER onceito e Representação 1.1. omprimento de um Segmento Retilíneo Orientado Distância entre Dois Pontos, no Sistema Linear Vizinhança e Ponto de cumulação, na Reta Real 1. SISTEMS IDIMENSIONIS 1..1 onceito, Tipos e Representações 1.. Sistema artesiano Ortogonal ou Plano artesiano Distância entre Dois Pontos, no Plano artesiano 1... Vizinhança e Ponto de cumulação, no Plano artesiano INTRODUÇÃO À RELÇÃO INÁRI E À FUNÇÃO REL DE UM VRIÁVEL REL onceitos) 3 RELÇÃO INÁRI 3.1 DEFINIÇÃO, NOTÇÃO E REPRESENTÇÃO 3..DOMÍNIO, ONTRDOMÍNIO, IMGEM DE UM RELÇÃO INÁRI 3.3 RELÇÃO INVERS 4 FUNÇÃO REL DE UM VRIÁVEL REL 4.1 DEFINIÇÃO E NOTÇÃO 4. DOMÍNIO, ONTRDOMÍNIO E IMGEM DE UM FUNÇÃO 4.3 FUNÇÕES IGUIS 4.4 REPRESENTÇÃO DE UM FUNÇÃO Diagrama de Venn 4.4. Gráfico Função na Forma Explícita Função na Forma Implícita Função na Forma Paramétrica 4.5 LSSIFIÇÃO DE UM FUNÇÃO Função Injetora, Função Sobrejetora, Função ijetora 4.5. Função Par, Função Ímpar Função Periódica 4.6 OPERÇÕES OM FUNÇÕES dição, Subtração, Multiplicação e Divisão 4.6. Multiplicação de uma Função por um Escalar omposição de Duas Funções ou Função omposta Inversão ou Função Inversa 4.7 GRÁFIO DE UM FUNÇÃO REL DE UM VRIÁVEL REL onceito, Definição e Representação, no Plano artesiano 4.7. Sinais e Zeros de uma Função Intervalos de rescimento e de Decrescimento Extremos Relativos e Extemos bsolutos Translação e Reflexão de Gráfico Função lgébrica, Função Transcendente, Função Elementar, Função Especial 17

18 urso de Pré álculo Dif. Int. I ula 0 18

19 urso de Pré álculo Dif. Int. I ula 0 1 SISTEMS DE OORDENDS onceito: Sistemas de coordenadas são referenciais pelos quais se estabelece uma correspondência recíproca entre pontos geométricos e números reais. Esses sistemas são usados para investigação analítica que procede por análise) de propriedades geométricas; por exemplo, determinar a equação de uma curva geométrica. 1.1 SISTEM UNIDIMENSIONL OU SISTEM LINER onceito e Representação No sistema linear, um ponto pode mover-se livremente sobre a reta dos números reais, denominada simplesmente de reta real. reta real representa geometricamente o espaço de dimensão um. orientação positiva da reta é da esquerda para a direita, sendo O um ponto fixo sobre essa reta. O ponto O é denominado origem do sistema e a reta real orientada é denominada eixo. distância de um ponto P à origem O é x vezes o comprimento adotado como unidade de medida na escala do eixo. Se P localiza-se à direita da origem, x é positivo. Se P localiza-se à esquerda da origem, x é negativo. Nessa correspondência entre o ponto P e o número real x, diz-se que: P tem coordenada x); P é a representação geométrica ou gráfica do número real x; coordenada x) é a representação analítica de P; Há correspondência biunívoca entre ponto geométrico e número real; ou seja, a cada número real corresponde um e único ponto sobre o eixo, e a cada ponto sobre o eixo corresponde um e único número real. Geralmente escreve-se, juntos, o ponto P e sua coordenada x, assim: Px). 19

20 urso de Pré álculo Dif. Int. I ula 0 origem O tem coordenada 0 zero) e o ponto, correspondente à unidade de comprimento adotada escala), tem coordenada 1. Ex.: 0 1 O x P R 1.1. omprimento de um Segmento Retilíneo Orientado Num sistema linear, o comprimento do segmento retilíneo orientado P 1 P, determinado por dois pontos dados P ) e P ), é obtido, tanto em grandeza como em sinal, 1 x 1 x subtraindo-se a coordenada do ponto inicial P 1 da coordenada da extremidade P. ssim: P 1P x x Distância entre Dois Pontos, no Sistema Linear distância d entre dois pontos dados P ) e P ) é definida como o valor absoluto do comprimento do segmento retilíneo determinado por esses dois pontos. ssim: 1 x 1 x d P P 1 x x Ponto de cumulação e Vizinhança, na Reta Real Um número a, com a R, chama-se ponto de acumulação do conjunto X, com X R, quando todo intervalo aberto a, a ), de centro em a, contém algum ponto x X, diferente de a; onde > 0 é o raio do intervalo. Se a é ponto de acumulação à direita do conjunto X, então todo intervalo [ a, a+ ), com >0, contém algum ponto de X diferente de a. nalogamente, se a é ponto de acumulação à esquerda do conjunto X, então todo intervalo a -, a], com >0, contém algum ponto de X diferente de a. condição a é ponto de acumulação de X exprime-se simbolicamente por: 0, x X / 0 x a, 0

21 urso de Pré álculo Dif. Int. I ula 0 onde x a, equivalente a a < x < a + ou a - < x a < ou, ainda, a x a, a ), representa a vizinhança de raio do ponto a. Geometricamente, tem-se: X a ) R 1. SISTEMS IDIMENSIONIS 1..1 onceito, Tipos e Representações Um sistema bidimensional é um sistema no qual um ponto pode se mover livremente para todas as posições de um plano. Para localizar um ponto, num plano, é necessário um sistema de coordenadas. Os sistemas bidimensionais mais comuns são: o sistema cartesiano ortogonal, o sistema cartesiano oblíquo e o sistema de coordenadas polares. Em álculo Diferencial e Integral 1, o enfoque é dado ao estudo de relações e de funções caracterizadas sobre um sistema cartesiano ortogonal. Esse sistema é denominado, ainda, sistema de coordenadas cartesianas retangulares ou plano cartesiano. O sistema de coordenadas polares ou sistema polar), o sistema cartesiano oblíquo e os sistemas tridimensionais de coordenadas são estudados em outras disciplinas. a) Plano artesiano b) Sistema de oordenadas Polares Figura 1 Exemplos de sistemas bidimensionais 1

22 urso de Pré álculo Dif. Int. I ula Sistema artesiano Ortogonal ou Plano artesiano Esse sistema é formado por duas retas orientadas, denominadas eixos coordenados, perpendiculares entre si. O ponto O, de intersecção entre os eixos coordenados, é denominado origem do sistema. Veja a figura, adiante. O eixo Ox ou, mais comumente, eixo x, é denominado eixo das abscissas; e o eixo Oy, ou eixo y, é o eixo das ordenadas. para cima. orientação positiva do eixo x é para a direita, e a orientação positiva do eixo y é Os eixos coordenados x e y dividem o plano em quatro quadrantes, numerados no sentido anti-horário, conforme apresentado na figura, adiante. Sobre o eixo das abscissas e à direita de O, marca-se o ponto, correspondente à unidade de comprimento do eixo x. nalogamente, sobre o eixo das ordenadas e acima de O, marca-se o ponto, correspondente à unidade de comprimento do eixo y. Os segmentos O e O representam as escalas utilizadas no eixo x e no eixo y, respectivamente. Os segmentos O e O não necessitam ter exatamente a mesma medida, uma vez que x e y geralmente representam grandezas distintas; por exemplo, tempo e velocidade, tempo e deslocamento, lado e área, etc. omo, em Matemática, x e y são grandezas quaisquer, é usual adotar a mesma escala para ambos os eixos coordenados. Essa escala é denominada escala identidade. y II-,+) 1 1 I+,+) O x III-, -) IV +,_) Figura Esquema de um Plano artesiano

23 urso de Pré álculo Dif. Int. I ula 0 No plano cartesiano, cada ponto P pode ser, inequivocamente, localizado mediante um par ordenado x, y), onde x é a abscissa de P e y é a sua ordenada. No par ordenado x, y), x e y não podem ser trocados de lugar, pois há uma relação de ordem no par. Os números reais x e y são denominados coordenadas retangulares de P. O módulo da abscissa x representa a distância que P está do eixo y e o módulo da ordenada y representa a distância que P está do eixo x. y P y Px,y) O P x x Figura 3 Localização de um ponto P, no plano cartesiano No plano cartesiano, para cada ponto distinto P, há um e apenas um par de coordenadas x, y). Inversamente, qualquer par de coordenadas x, y) determina um e apenas um ponto. ssim, no sistema cartesiano ortogonal, há uma correspondência biunívoca entre cada ponto geométrico e um par ordenado de números reais. localização de um ponto por meio de suas coordenadas é denominada gráfico do ponto. Um gráfico de pontos é mais fácil de ser construído se for utilizado papel de coordenadas retangulares papel quadriculado). Os pontos do plano cujas ordenadas são zero localizam-se sobre o eixo x, e os pontos cujas abscissas são zero localizam-se sobre o eixo y. 3

24 urso de Pré álculo Dif. Int. I ula Distância entre Dois Pontos, no Plano artesiano Exercício: Num plano cartesiano, localize dois pontos P 1 x 1, y 1 ) e P x, y ), onde x 1, x, y 1 e y são números reais quaisquer, e determine a distância entre P 1 e P. Solução: y y Observação: Neste caso, tem-se: O x O x M No triângulo P 1MP tem-se: P1 M y y1 e MP x x1. tente-se ao conceito de distância entre dois pontos no sistema unidimensional, para não tomar, por exemplo, a distância entre P 1 e M, dada pelo valor absoluto do comprimento do segmento orientado É comum o erro P1 M y y1. P 1 M, como negativa; já que, neste caso, y y 0. 1 Pelo teorema de Pitágoras, vem: P P 1 = P 1M + MP P P 1 = y 1 y + x x 1 P 1 P = x x + 1) y y, pois a a, a R. 1) Fazendo d = P P, vem: 1 d x x1 ) y y1). 4

25 urso de Pré álculo Dif. Int. I ula ola aberta ou Vizinhança e Ponto de cumulação, no Plano artesiano a) ola aberta ou vizinhança, no plano cartesiano Sejam o ponto P 0 e o número real, com P 0 x 0, y 0 ) R e > 0. hama-se bola aberta ou vizinhança de centro em P 0 e de raio, denotada por P 0, ), o conjunto de todos os pontos Px, y) R cuja distância até P 0 é menor que, isto é, pelos pontos Px, y) que satisfazem P P 0. Em símbolos, tem-se: P 0, ) = { x, y) R / 0 x, y) x 0, y ) } = { x, y) R / x x ) y y } 0 0 ) Geometricamente, no plano cartesiano, P 0, ) é o conjunto de todos os pontos internos à circunferência de centro em P 0 x 0, y 0 ) e de raio. Nesse caso: 0 x, y) x 0, y ) = x x y 0 ) y 0 ) b) Ponto de cumulação, no Plano artesiano Seja X R. Um ponto P 0 x, ), com P 0 R e P 0 não necessariamente 0 y0 pertencente a X, é dito um ponto de acumulação de X, se toda bola aberta de centro em P 0 contiver pelo menos um ponto P x, y), com P X e P P 0. Dizer que x, ) é ponto de acumulação de X significa dizer que existem pontos 0 y0 x, y) de X, distintos de x, ), tão próximos de x, ) quanto se queira. 0 y0 0 y0 5

26 urso de Pré álculo Dif. Int. I ula 0 INTRODUÇÃO À RELÇÃO INÁRI onsidere a seguinte situação: Num dia de frio, um jovem ou uma jovem está, despreocupadamente, tomando seu banho, na água bem quente; e o banheiro enchendo-se de vapor de água. mãe, impaciente, bate periodicamente à porta: - Saia já desse banho. Já falei várias vezes: desligue o chuveiro! Para o jovem ou a jovem, o importante é prolongar o seu prazer, num banho bem quente; mas para a mãe, a preocupação é outra: as faturas de energia elétrica e de água que deverão ser pagas, dentro em breve. qui, está sendo considerado um chuveiro elétrico. Uma situação como essa pode ser analisada do ponto de vista quantitativo, a exemplo de muitas outras situações quotidianas. Para uma análise quantitativa, primeiramente, liste as grandezas físicas envolvidas no problema em questão, com suas respectivas unidades de medida. Grandeza física, aqui, é tudo aquilo que pode ser medido, pesado ou comparado quantitativamente. No problema acima, tem-se, por exemplo, as seguintes grandezas físicas e suas unidades de medida: Potência do chuveiro em watts), Temperatura da água em º), Tempo que o chuveiro permanece ligado em minuto), Vazão da água em m 3 /minuto), Volume de água utilizada em m 3 ), Energia consumida em kwh), Valor a ser pago pela energia consumida em $), Valor a ser pago pela água utilizada em $). Numa situação ideal, algumas dessas grandezas podem ser consideradas constantes e outras variáveis como, por exemplo: Grandezas constantes Grandezas variáveis Potência do chuveiro Volume de água Temperatura da água Tempo que o chuveiro permanece ligado Vazão da água Energia consumida pelo chuveiro - Valor pago pela energia consumida - Valor pago pela água utilizada 6

27 urso de Pré álculo Dif. Int. I ula 0 É possível determinar um modelo matemático para representar essa situação. Nesse modelo, podem ser relacionadas diversas grandezas ou, no caso mais simples, apenas duas delas. Dentre as grandezas variáveis listadas anteriormente, pode-se relacionar duas delas; por exemplo: a energia consumida e o tempo em que o chuveiro permanece ligado; a energia consumida e o valor pago por essa energia; o volume de água utilizada e o tempo em que o chuveiro permanece ligado; o volume de água utilizada e o valor pago por esse volume de água. Em cada uma dessas relações, é preciso identificar qual é a variável dependente e qual é a variável independente, perguntando-se qual grandeza depende de qual. Por exemplo: a energia consumida depende do tempo em que o chuveiro permanece ligado, ou é o tempo em que o chuveiro permanece ligado que depende da energia consumida? Na relação entre a energia consumida e o tempo em que o chuveiro permanece ligado, a energia consumida depende do tempo em que o chuveiro permanece ligado. Nesse caso, o tempo é arbitrário grandeza independente) e a energia consumida é a grandeza dependente. Na relação entre a energia consumida e o valor pago por essa energia, o valor pago pela energia depende da quantidade de energia que é consumida. Nesse caso, a energia consumida é a grandeza independente e o valor a ser pago é a grandeza dependente. nalogamente, o volume de água utilizada depende do tempo em que o chuveiro fica ligado e o valor a ser pago pela água consumida depende do volume de água que é utilizado. Em Matemática, no estudo das relações entre duas grandezas quantitativas, é usual representar, genericamente, a variável dependente por y, e a variável independente por x, sem se preocupar com o que essas grandezas podem estar representando particularmente se tempo, se volume, se área, etc). ssim, na relação entre energia consumida e tempo, a energia será representada por y e o tempo, por x. Já na relação entre valor pago e energia consumida, o valor pago será representado por y e a energia consumida, por x. 7

28 urso de Pré álculo Dif. Int. I ula 0 Utilizando-se diagramas, pode-se resumir essas duas situações, nominando-as de S e T, onde S e T representam as seguintes relações distintas: Tempo x) S Energia consumida y) Energia consumida x) T Valor pago y) x 1 y 1 x 1 y 1 x y x y x n y n x n y n Se a cada valor da variável independente x houver apenas um único correspondente valor da variável dependente y, então a relação é denominada função. Exemplo: lei matemática y = x, onde x R, y R, expressa que y é uma função de x, pois para cada valor real de x existe um único y em correspondência. No entanto, em y = x, y não é uma função de x, mas x é função de y. Numa função, a lei matemática que associa x e y pode ser: uma função polinomial; uma função racional; uma função irracional; uma função trigonométrica circular; uma função exponencial; uma função logarítmica; uma função modular, dentre outras, dependendo da natureza do problema analisado. Em álculo Diferencial e Integral 1, serão estudadas apenas as relações entre duas grandezas e somente quando ambas assumem valores reais o universo considerado é o conjunto dos números reais, tanto para a grandeza dependente como para a independente). seguir, serão discutidos, de forma mais rigorosa do ponto de vista matemático, os conteúdos relação binária e função real de uma variável real. 8

29 urso de Pré álculo Dif. Int. I ula 0 3 RELÇÃO INÁRI 3.1 DEFINIÇÃO, NOTÇÃO E REPRESENTÇÃO Definição: Dados dois conjuntos e, não-vazios, chama-se relação binária de em a todo subconjunto R de. Em símbolos: R é relação binária de em R. Observações: R, aqui, não é o conjunto dos números reais, mas o nome de uma relação entre os conjuntos e ;, como visto anteriormente, é um conjunto denominado produto cartesiano entre os conjuntos e ; lê-se: cartesiano. Exemplos: Dados = {, 3, 4, 8} e = {, 3, 4, 5, 6, 7}, tem-se: a) = {, ),, 3),, 4),, 5),, 6),, 7), 3, ), 3, 3), 3, 4), 3, 5), 3, 6), 3, 7), 4, ),4, 3), 4, 4), 4, 5), 4, 6), 4, 7), 8, ), 8, 3), 8, 4), 8, 5), 8, 6), 8, 7) }. b) Seja R o conjunto de pares ordenados x, y) tal que x é divisor de y. ssim: R = {x, y) / x y} = {, ),, 4),, 6), 3, 3), 3, 6), 4, 4)} é uma relação binária de em. Observação: x y lê-se: x divide y ou x é divisor de y. Em diagramas tem-se: R onde é o conjunto de partida e é o conjunto de chegada da relação R

30 urso de Pré álculo Dif. Int. I ula 0 3. DOMÍNIO, ONTRDOMÍNIO, IMGEM DE UM RELÇÃO INÁRI 3..1 Domínio de uma relação R, de em, é o conjunto D de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a R. Em símbolos: x D y, y / x, y) R. No diagrama anterior, D = {, 3, 4} 3.. ontradomínio de uma relação R, de em, denotado por D, é o conjunto de chegada Imagem de uma relação R, de em, é o conjunto Im de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a R. Em símbolos: y Im x, x / x, y) R. No diagrama anterior, Im = {, 3, 4, 6}. Observação: Decorre da definição que, numa relação R, de em, D e Im. 3.3 RELÇÃO INVERS Definição: Dada uma relação R, de em, o conjunto R 1, x) / x, y) R relação de em, denominada relação inversa de R. y é uma Note que se R é uma relação de em, então 1 R é um subconjunto de. Em diagrama, tem-se: R R -1 x 1.. y 1 x 1.. y 1 x.. y x.. y 30

31 urso de Pré álculo Dif. Int. I ula 0 Propriedades das Relações inárias Inversas a) DR -1 ) = ImR) b) ImR -1 ) = DR) c) R -1 ) -1 = R 31