n. 4 TAUTOLOGIAS, CONTRADIÇÕES E CONTINGÊNCIAS TAUTOLOGIA

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1 n. 4 TAUTOLOGIAS, CONTRADIÇÕES E CONTINGÊNCIAS TAUTOLOGIA Chama-se tautologia é toda a proposição composta cujo valor lógico (última coluna da sua tabela-verdade) é sempre V (Verdadeiro). As tautologias são também denominadas proposições tautológicas ou proposições logicamente verdadeiras. As proposições: p p e p p São tautológicas (Princípio de Identidade) Exemplos de proposições tautológicas: 1. ~ (p ~p) p ~p p ~p ~ (p ~p) V F F V F V F V Princípio da não contradição: dizer que uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente é sempre verdadeiro.

2 2. (p ~p) p ~p p ~p V F V F V V Princípio do terceiro excluído: dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é sempre verdadeiro. 3. p ~ (p q) p q p q ~ (p q) p ~ (p q) V V V F V V F F V V F V F V V F F F V V 4. p q (p q) p q p q p q p q (p q) V V V V V V F F F V F V F F V F F F V V

3 5. p (q ~q) p p q ~ q q ~q p (q ~q) p (q ~q) p V V F F V V V F V F V V F V F F F V F F V F F V 6. p r ~q r p q r ~q p r ~q r p r ~q r V V V F V V V V V F F F F V V F V V V V V V F F V F V V F V V F F V V F V F F F F V F F V V F V V F F F V F V V 7. ( (p q) r) (p (q r)) p q r (p q) (p q) r q r p (q r) ((p q) r) (p (q r)) V V V V V V V V V V F V F F F V V F V F V V V V V F F F V V V V F V V V V V V V F V F V F F V V F F V V V V V V F F F V F V V V

4 CONTRADIÇÕES Chama-se contradição toda a proposição composta cujo valor lógico (última coluna da sua tabela-verdade) é sempre F (Falso). As contradições são também denominadas proposições contraválidas ou proposições logicamente falsas. Exemplos de contradições: 1. p ~p p ~p p ~p V F F F V F Dizer que uma proposição pode ser verdadeira e falsa simultaneamente é sempre falso. 2. p ~p p ~p p ~p V F F F V F

5 3. (p q) ~(p q) p q p q p q ~(p q) (p q) ~(p q) V V V V F F V F F V F F F V F V F F F F F F V F 4. ~p (p ~ q) p q ~p ~ q p ~ q ~p (p ~ q) V V F F F F V F F V V F F V V F F F F F V V F F CONTINGÊNCIAS Chama-se contingência toda a proposição composta que não é tautologia nem contradição. Em sua última coluna da tabela-verdade temos V (verdadeiro) ou F (Falso) pelo menos uma vez. As contingências são também denominadas proposições contingentes ou proposições indeterminadas.

6 Exemplos de contingências: 1. p ~p p ~p p ~p V F F F V V 2. p q p p q p q p q p V V V V V F V V F V V F F F F V 3. x = 3 (x y x 3) O que temos: x = 3, x 3, x y Proposições que devemos colocar na tabela: x = 3, x 3, x y, x = y x = 3 x = y x 3 x y x y x 3 x = 3 (x y x 3) V V F F V V V F F V F F F V V F V F F F V V V F

7 Revisando... Uma proposição é uma sentença declarativa, que é expressa por meio de palavras ou de símbolos. Toda proposição exprime um juízo: V ou F. Não são consideradas proposições: Sentenças exclamativas: Meu Deus! Que lindo! Sentenças interrogativas: Como é o seu nome? Sentenças interrogativas: Estude mais. Leia aquele livro. Sentenças sem verbo: a sopa de couve. Sentenças abertas (aquelas que dependem do valor atribuído a variável x, y, z,...): x + 3 = 9; Ele é o juiz da 5ª Região; A cidade y é a mais populosa do Brasil; Sugestão exercícios: Livro do Alencar Filho, p. 48, exercícios n. 1, 2, 3 e 4. Outros: 1. (CARVALHO; CAMPOS, 2010, p. 67) - (FCC/ICMS-SP/2006) Seja a sentença ~{[(p q) r] [q (~p r)]}, se considerarmos que p é falsa, então é verdade que: a. Essa sentença é uma tautologia; b. O valor lógico dessa sentença é sempre F; c. Nas linhas da Tabela-Verdade em que p é F, a sentença é V; d. Nas linhas da Tabela-Verdade em que p é F, a sentença é F; e. Faltou informar o valor lógico de q e de r.

8 2. (CARVALHO; CAMPOS, 2010, p. 68) - (FCC/ICMS-SP/2006) Seja a sentença aberta A: (~p p) e a sentença B: Se o espaço for ocupado por uma (I), a sentença A será uma (II) A sentença B se tornará verdadeira se I e II forem substituídos, respectivamente, por: a. tautologia e contingência; b. contingência e contingência; c. contradição e tautologia; d. contingência e contradição; e. tautologia e contradição. 3. (CARVALHO; CAMPOS, 2010, p. 69) Considere as proposições seguintes: m = Maria gosta de morango. j = João gosta de morango. p = Pedro gosta de morango. Transforme as frases seguintes na forma simbólica: a. Maria ou João gostam de morango, mas não ambos. b. Nem Maria nem Pedro gostam de morango. c. Pelo menos um deles não gosta de morango. d. Não é verdade que se Maria gosta de morango, então Pedro e João gostam de morango. a. m j (ou exclusivo) b. ~m ~p c. ~j ~m d. ~(m p j)

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12 Referências Bibliográficas ALENCAR FILHO, Edgard. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo, Nobel, BISPO, Carlos Alberto F.; CASTANHEIRA, Luiz B.; FILHO, Oswaldo Melo S. Introdução à Lógica Matemática. São Paulo: Cengage Learning, CASTRUCCI, Benedito. Introdução à Lógica Matemática. 6 ed. São Paulo: Nobel, CARVALHO, Sérgio; CAMPOS, Weber. Raciocínio Lógico Simplificado. V. 1. Rio de Janeiro: Elsevier. 2010