GRATUITO RACIOCÍNIO LÓGICO - EBSERH. Professor Paulo Henrique PH Aula /

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1 1 / GRATUITO RACIOCÍNIO LÓGICO - EBSERH Professor Paulo Henrique PH Aula 02 R A C I O C Í N I O L Ó G I C O E B S E R H a u l a 0 2 Página 1

2 2 / Raciocínio lógico matemático: proposições, conectivos, equivalência e implicação lógica Agora é a hora de começarmos a falar nos assuntos teóricos do Raciocínio Lógico. Nesse Módulo, é muito importante que os conceitos sejam muito bem entendidos e guardados no cocuruto, porque, sem eles, o próximo Módulo poderá trazer grandes dificuldades. Proposição: uma sentença declarativa, que será expressa por meio de palavras e números. Uma frase em que nós possamos atribuir a ela o valor VERDADEIRO ou FALSO; Exemplos: - Fortaleza é capital do Ceará. (verdade!) - 10 = (verdade!) - O gato late. (Falso!) - Paulo Henrique é professor. (Também é uma proposição, pois é uma sentença declarativa, mas o valor lógico verdadeiro ou falso é indeterminado, ou seja, ninguém sabe mesmo se esse cara é mesmo professor... :-D). E se alguém disser: Feliz ano novo!, será que isso é uma proposição verdadeira ou falsa? Nenhuma, pois não se trata de uma sentença para a qual se possa atribuir um valor lógico. Concluímos, pois, que... - sentenças exclamativas: Caramba! ; Que carro veloz! - sentenças interrogativas: como é o seu nome? ; o jogo foi de quanto? - sentenças imperativas: Estude mais. ; Leia aquele livro.... não são consideradas proposições. Somente aquelas primeiras sentenças declarativas são proposições, pois podemos atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso. IMPORTANTE! Sentenças que não possuem verbo não podem ser consideradas declarativas, con-seqüentemente também não são proposições. O carro é azul é uma proposição, porém o carro azul, por não conter o verbo, não pode ser considerada uma proposição. 01. Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia. R A C I O C Í N I O L Ó G I C O E B S E R H a u l a 0 2 Página 2

3 3 / A frase que não possui essa característica comum é a: (A) I. (B) II. (C) III. (D) IV. (E) V. 02. Dadas as sentenças abaixo, I. Vá estudar ou monte o seu próprio negocio! II. Existem políticos que não são honestos. III. Será que meu professor é competente? é correto afirmar que (A) apenas II não é uma proposição. (C) apenas I e III são proposições. (E) I, II e III são proposições. (B) apenas I e III não são proposições. (D) I, II e III não são proposições. As proposições podem assumir tanto o valor lógico V ou valor lógico F. São proposições simples. A partir das proposições, podemos definir dois princípios basilares. São eles: Princípio da Identidade Uma proposição verdadeira é sempre verdadeira. Uma proposição falsa é sempre falsa. Princípio da não-contradição Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. Princípio do Terceiro Excluído Uma proposição só pode ter dois valores verdades, isto é, é verdadeiro (V) ou falso (F), não podendo ter outro valor. Também temos as proposições compostas. São duas ou mais proposições simples, conectadas entre si. Assim, para dizer que uma proposição composta é verdadeira ou falsa, isso dependerá de duas coisas: do valor lógico das proposições componentes (simples); do tipo de CONECTIVO que as une. Exemplo: - Carlos fiscaliza a empresa A E João fiscaliza a empresa B. - SE Paulo é cearense, ENTÃO Paulo é brasileiro. - OU eu estudo OU eu brinco. Nas sentenças acima, conhecemos o CONECTIVO ou CONECTIVO LÓGICO. É a parte que conecta, que junta duas (ou mais) proposições. A partir do conhecimento das proposições simples e do conectivo que liga as duas proposições, nós poderemos concluir qual é o valor lógico de uma proposição composta. Para isso, precisamos conhecer a famigerada TABELA-VERDADE! R A C I O C Í N I O L Ó G I C O E B S E R H a u l a 0 2 Página 3

4 4 / TABELA-VERDADE É um instrumento eficiente para a especificação de uma composição de proposições. Ao montá-la, conseguiremos visualizar todas as possibilidades de uma determinada proposição composta. Ela mostra o valor resultando quando um conectivo é usado para agregar duas proposições, formando uma proposição complexa e nova. Montamos assim: Suponha que as duas proposições sejam A (Carlos fiscaliza a empresa A) e B (João fiscaliza a empresa B). Cada uma dessas proposições terá dois possíveis valores-verdade: verdadeiro ou falso. Isso nos dá quatro possíveis combinações. Para descobrimos o total de linhas (ou combinações) de uma tabela-verdade, precisamos resolver a seguinte fórmula: Nº de Linhas = Onde. Vejamos um exemplo: Proposição 1 Proposição 2 Resultado Carlos fiscaliza a empresa A (A) João fiscaliza a empresa B (B) A ^ B V V V V F F F V F F F F Em uma tabela-verdade para duas proposições, encontramos 4 valores possíveis. Porém, o que acontecerá com uma tabela-verdade com 3 proposições? Encontraremos 8 resultados possíveis. Como? Pela nossa fórmula, 0 resultado será 2 elevado ao número de proposições da questão. 03. O número de linhas da tabela-verdade da proposição (P ^ Q R) é inferior a 6. (Verdadeiro) (Falso) 04. Uma tabela verdade de proposições é construída a partir do número de seus componentes. Quantas combinações possíveis terá a tabela verdade da proposição composta O dia está bonito então vou passear se e somente se o pneu do carro estiver cheio.? (A) 1 (B) 3 (C) 6 (D) 8 (E) 12 R A C I O C Í N I O L Ó G I C O E B S E R H a u l a 0 2 Página 4

5 5 / CONECTIVOS Nada mais é do que a junção entre duas ou mais proposições. São os seguintes: Conectivo Descrição Símbolo Tabela-Verdade Mantras do PH E Conjunção ^ A B A^B V V V V F F F V F F F F Para que a conjunção seja verdadeira, as proposições simples têm que ser verdadeiras. Se não, a conjunção será falsa. OU Disjunção v A B A B V V V V F V F V V F F F Para que a disjunção seja falsa, as proposições simples têm que ser falsas. Se não, disjunção será verdadeira. SE... ENTÃO Condicional A B A B V V V V F F F V V F F V Para que a condicional seja falsa, a 1ª parte (antecedente) deve ser verdadeira e a 2ª (conseqüente), falsa. Se não, a condicional será verdadeira....se E SOMENTE SE... Bicondicional A B A B V V V V F F F V F F F V Para que a bicondicional seja verdadeira, as proposições simples devem ter valores lógicos iguais. Se não, a bicondicional será falsa....ou...ou Disjunção Exclusiva v A B A\/B V V F V F V F V V F F F Para que a disjunção exclusiva seja verdadeira, as proposições simples devem ter valores lógicos diferentes. Se não, a disjunção exclusiva será falsa. R A C I O C Í N I O L Ó G I C O E B S E R H a u l a 0 2 Página 5

6 6 / * NÃO Negação ou ~ A V F ~A ou A F V Meu povo, essa parte é E-X-T-R-E-M-A-M-E-N-T-E importante! Conhecer a tabela verdade de cada um dos conectivos é fundamental para a resolução de determinadas questões. Por isso, treinem! Peçam pro irmão, namorada, papagaio, cachorro, alguééééééém fique perguntando a você qual o valor lógico de cada conectivo! Com eles no cocuruto, as questões ficam bem mais tranqüilas O raciocínio lógico trabalha com proposições, que é um conceito fundamental no estudo da lógica. Dadas as proposições abaixo: p: 12,5% de 400 = 50 ; q: a terça parte de 300 é igual a 90 É correto afirmar que: (A) a conjunção de p e q ( p ^ q) é verdadeira. (B) a conjunção de p e q ( p ^ q) é falsa. (C) Não existe a conjunção das proposições dadas. (D) Ambas têm os mesmos valores lógicos. 06. Em uma implicação do tipo Se A, então B, dizemos que A é o antecedente e B é o consequente. Considere a seguinte implicação: Assim, pode-se afirmar corretamente que Se José é promotor, então José é o acusador dos réus. (A) o antecedente é José é o acusador dos réus. (B) o antecedente e o consequente são José é o acusador dos réus. (C) o antecedente e o consequente são José é promotor. (D) o antecedente é José é promotor. (E) o consequente é José é promotor. R A C I O C Í N I O L Ó G I C O E B S E R H a u l a 0 2 Página 6

7 7 / Sobre as tabelas de verdade dos conectivos de disjunção (inclusiva), conjunção e implicação (condicional), assinale a alternativa correta. (A) As conjunções só são falsas quando ambos os conjuntos são falsos. (B) Não existe implicação falsa com antecedente verdadeiro. (C) As disjunções são falsas quando algum dos disjuntos é falso. (D) Só há um caso em que as implicações são verdadeiras. (E) As implicações são verdadeiras quando o antecedente é falso. 08. Se o valor lógico de uma proposição p é verdadeiro e o valor lógico de uma proposição q é falso então o valor lógico da proposição composta [(p q) v ~p ] ^ ~q é: (A) Falso e verdadeiro (C) Falso (B) Verdadeiro (D) Inconclusivo 09. Se o valor lógico de uma proposição p é verdadeira e o valor lógico de uma proposição q é falsa, podemos afirmar que: (A) A conjunção entre as duas é verdadeira. (C) p bicondicional q é falsa. (B) p condicional q é verdadeira. (D) A disjunção entre as duas é falsa. 10. Dentre as afirmações: I. Se duas proposições compostas forem falsas então o condicional entre elas é verdade. II. Se duas proposições compostas forem falsas então o bicondicional entre elas é falso. III. Para que uma disjunção entre duas proposições seja verdadeira é necessário que ambas proposições sejam verdadeiras. IV. Para que uma conjunção entre duas proposições seja falsa é necessário que ambas proposições sejam falsas. Pode-se dizer que são verdadeiras: (A) Todas (C) Somente uma delas (B) Somente duas delas (D) Nenhuma Agora que conhecemos todos os conectivos, vale a pena vocês preencherem a tabela abaixo, para que tenham, em um só lugar, os valores lógicos de todos os conectivos! Ou façam melhor: desenhem uma tabela-verdade numa folha de caderno, papel A4, cartolina... Colem em algum lugar que você está sempre passando! Olhem pra ela, lembrem dos Mantras, pensem em hipóteses das proposições serem verdadeiras ou falsas. Tudo isso vai facilitar a vida de vocês na hora da prova, ok? R A C I O C Í N I O L Ó G I C O E B S E R H a u l a 0 2 Página 7

8 8 / A B A ^ B A v B A B A B A v B ~A PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente que são equivalentes) quando são compostas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas tabelas-verdade são idênticos. Uma conseqüência prática da equivalência lógica é que ao trocar uma dada proposição por qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de dizê-la. A equivalência lógica entre duas proposições, p e q, pode ser representada simbolicamente como: p q, ou simplesmente por p = q. Começaremos com a descrição de algumas equivalências lógicas básicas, as quais convém conhecermos bem, a fim de as utilizarmos nas soluções de diversas questões. Equivalências Básicas: 1ª) p ^ p = p 2ª) p v p = p 3ª) p ^ q = q ^ p 4ª) p v q = q v p 5ª) p q = q p 6ª) p q = (p q) ^ (q p) Equivalências da Condicional: As duas equivalências que se seguem são de fundamental importância. Inclusive, serão utilizadas para resolver algumas questões do dever de casa que ficaram pendentes. Estas equivalências podem ser verificadas, ou seja, demonstradas, por meio da comparação entre as tabelas-verdade. Ficam como exercício para casa estas demonstrações. São as seguintes as equivalências da condicional: R A C I O C Í N I O L Ó G I C O E B S E R H a u l a 0 2 Página 8

9 9 / 1ª) Se p, então q = Se não q, então não p. Exemplo: Se chove então me molho = 2ª) Se p, então q = Não p ou q. Exemplo: Se chove então me molho = Bom, vamos à prova dos nove. E o trabalho agora é de vocês! A tabela-verdade está montada. Provem, realmente, que essas proposições são equivalentes: P Q ~P ~Q ~Q ~P ~P v Q V V F F V F V F 11. Considere a sentença: Se tenho saúde então sou feliz". Uma sentença logicamente equivalente à sentença dada é: (A) Se não tenho saúde então não sou feliz. (C) Tenho saúde e não sou feliz. (E) Não tenho saúde ou sou feliz. (B) Se sou feliz então tenho saúde. (D) Tenho saúde e sou feliz. 12. Considere a proposição composta Se o mês tem 31 dias, então não é setembro. A proposição composta equivalente é (A) O mês tem 31 dias e não é setembro. (B) O mês tem 30 dias e é setembro. (C) Se é setembro, então o mês não tem 31 dias. (D) Se o mês não tem 31 dias, então é setembro. (E) Se o mês não tem 31 dias, então não é setembro. R A C I O C Í N I O L Ó G I C O E B S E R H a u l a 0 2 Página 9

10 10 / Paulo trabalha ou Marcos joga futebol equivale logicamente a dizer que: (A) Se Paulo não trabalha, então Marcos joga futebol. (B) Paulo trabalha e Marcos não joga futebol. (C) Paulo trabalha se, e somente se, Marcos joga futebol. (D) Se Paulo não trabalha, então Marcos não joga futebol. 14. A proposição Paulo é médico ou Ana não trabalha é logicamente equivalente a: (A) Se Ana trabalha, então Paulo é médico. (B) Se Ana trabalha, então Paulo não é médico. (C) Paulo é médico ou Ana trabalha. (D) Ana trabalha e Paulo não é médico. (E) Se Paulo é médico, então Ana trabalha. Final da aula de hoje, meu povo! Seguem abaixo algumas questões de fixação! Beijo no papai e na mamãe, PH R A C I O C Í N I O L Ó G I C O E B S E R H a u l a 0 2 Página 10

11 11 / Exemplo 1 : Assinale a alternativa que contém uma sentença que não é uma proposição: (A) Zero é um número nulo. (B) O Brasil é um país da América do Norte. (C) Você vai na minha casa amanhã? (D) Alguns cachorros são brancos. Exemplo 2 : Assinale a alternativa que contém uma sentença que não é uma proposição: (A) Todos os meses do ano têm 28 dias. (B) Não se esqueça de estudar. (C) Todos os brasileiros são maranhenses. (D) Quatro é múltiplo de dois. Exemplo 3 : p: 2/3 > 1/2 e q: 81 = 8 são duas proposições. O valor lógico da proposição composta p ou q é: (A) Falso. (B) Falso e verdadeiro ao mesmo tempo. (C) Não é possível tirar conclusões. (D) Verdadeiro. Exemplo 4 (Adaptada): Considerando as proposições: P: 5/4 representa 12,5% e Q: a quarta parte de 32 e maior que 9, pode-se dizer que a alternativa verdadeira é: (A) A conjunção entre as duas é verdadeira. (C) P condicional Q é verdadeiro. (E) A negação de Q é falsa. (B) A disjunção entre as duas é verdadeira. (D) P bicondicional Q é falso. Exemplo 5 (Adaptada): Sejam as proposições P: 10% de 40% é o mesmo que 4% e Q: a metade de um terço de x é menor que 1/8, pode-se afirmar que: (A) A conjunção entre as duas é verdadeira. (C) P bicondicional Q é verdadeiro. (E) A negação de q é falsa. (B) P condicional Q é falso. (D) A disjunção entre as duas é falsa. Exemplo 6 : Sejam as proposições p: = 49 e q: 3/7 > 11/25, podemos afirmar que: (A) p v q = F (B) p ^ q = V (C) p q = V (D) ~p q = V 1 Gabarito: letra C 2 Gabarito: letra B 3 Gabarito: letra D 4 Gabarito: letra C 5 Gabarito: letra B 6 Gabarito: letra D R A C I O C Í N I O L Ó G I C O E B S E R H a u l a 0 2 Página 11

12 12 / Exemplo 7 : Se A é uma proposição verdadeira em relação à B, é correto afirmar que (A) A B é falsa, qualquer que seja a proposição B. (B) A v B é sempre verdadeira, qualquer que seja a proposição B. (C) B A é sempre falsa, qualquer que seja a proposição B. (D) A B é sempre verdadeira, qualquer que seja a proposição B. Exemplo 8 : O raciocínio lógico trabalha com proposições, que é um conceito fundamental no estudo da lógica. Dadas as proposições abaixo: É correto afirmar que: p: 16,5% de 200 = 32 ; q: a quarta parte de 300 é igual a 80 (A) a disjunção de p e q ( p v q ) é verdadeira. (B) a disjunção de p e q ( p v q ) é falsa. (C) Não existe a disjunção das proposições dadas. (D) O valor lógico de p é diferente do valor lógico de q. Exemplo 9 : Considere a seguinte afirmação a respeito de dois jovens X e Y; Esta afirmação é equivalente a: (A) X vai à festa e Y não vai. (C) Se X não vai à festa, então Y vai. (E) Se Y não vai à festa, então X vai. Se X vai à festa, então Y não vai. (B) X não vai à festa ou Y vai. (D) Se Y vai à festa, então X não vai. Exemplo 10 : Se Carlos ganha dinheiro, então Maria compra um carro equivale logicamente a: (A) Carlos ganha dinheiro ou Maria não compra um carro. (B) Carlos não ganha dinheiro e Maria não compra um carro. (C) Carlos ganha dinheiro e Maria compra um carro. (D) Carlos não ganha dinheiro ou Maria compra um carro. Exemplo 11 : A afirmação: João não chegou ou Maria está atrasada equivale logicamente a: (A) Se João não chegou, Maria está atrasada. (B) João chegou e Maria não está atrasada. (C) Se João chegou, Maria não está atrasada. (D) Se João chegou, Maria está atrasada. (E) João chegou ou Maria não está atrasada. 7 Gabarito: letra B 8 Gabarito: letra B 9 Gabarito: letra D 10 Gabarito: letra D 11 Gabarito: letra C R A C I O C Í N I O L Ó G I C O E B S E R H a u l a 0 2 Página 12

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