Lógica Matemática UNIDADE I. Professora: M.Sc. Juciara do Nascimento César

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1 Lógica Matemática UNIDADE I Professora: M.Sc. Juciara do Nascimento César 1

2 A Lógica na Cultura Helênica A Lógica foi considerada na cultura clássica e medieval como um instrumento indispensável ao pensamento científico. Era necessário argumentar com clareza, mediante demonstrações rigorosas, respondendo as objeções dos adversários. Uma ferramenta importante para argumentar com os sofistas. 2

3 A Lógica de Aristóteles Aristóteles (384 a 322 a. C.) construiu uma sofisticada teoria dos argumentos, cujo núcleo é a caracterização dos chamados silogismos. Exemplo: Todos os homens são mortais. Sócrates é homem. Portanto, Sócrates é mortal. 3

4 Leibniz, o Precursor da Lógica Moderna A lógica moderna começou no século XVI, com o filósofo e matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz ( ). O projeto de Leibniz tinha como base uma lógica simbólica e de caráter completamente algébrico, semelhante ao cálculo diferencial, inventado por ele e Newton. Deduções lógicas deveriam ser feitas através de uma pura manipulação simbólica, sem referência ao significado real destes símbolos. 4

5 A Lógica Matemática no século XIX A passagem do século XVIII para o século XIX é conhecida como a idade áurea da matemática. Em especial, começam a ser delineados os fundamentos da ciência da computação. A lógica matemática, a partir daqui, tem o objetivo principal de tornar explícitas as formas de inferência, deixando de lado o conteúdo das verdades que elas possam transmitir. 5

6 Boole e os Fundamentos da Lógica Matemática e da Computação O inglês George Boole ( ) é considerado o pai da lógica simbólica. Desenvolveu o primeiro sistema formal para raciocínio lógico (lógica booleana). Foi o primeiro a enfatizar a possibilidade de aplicar o cálculo formal a diferentes situações 6

7 Introdução ao Estudo da Lógica O estudo da lógica é o estudo dos princípios e métodos usados para distinguir argumentos válidos dos não válidos. Proposição é o ponto de partida. Proposição - é todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados antes. 7

8 Exemplo: a) a lua é um satélite da Terra; b) é 5; c) Brasília é a capital do Brasil. Não proposição Nenhuma das frases seguintes é uma proposição, porque não faz sentido questionar se alguma delas é verdadeira ou falsa. Exemplo: a) Venha à nossa festa! b) Tudo bem com você? c) Tchau, benzinho 8

9 Simples ou Atômicos Exemplo: p : Oscar é prudente; q : Mário é engenheiro; r : Maria é morena. Composta ou Molecular Tipos de Proposição Exemplo: p : Walter é engenheiro E Pedro é estudante; q : Mauro é dedicado OU Pedro é trabalhador; r : SE Flávio é estudioso ENTÃO será aprovado. 9

10 Conectivos - são palavras (ou símbolos) que se usam para formar novas proposições a partir de outras. Exemplo: P : 6 é par E 8 é cubo perfeito; Q : NÃO vai chover; R : SE Mauro é médico, ENTÃO sabe biologia; S : o triângulo ABC é isósceles OU equilátero; T : o triângulo ABC é equilátero SE E SOMENTE SE é equilátero. 10

11 Operações Lógicas Fundamentais q Negação - "não p Simbologia - "~ p", que se lê "não p". p ~p V F F V Exemplo: p : o sol é uma estrela ~p : o sol não é uma estrela 11

12 Conjunção :"p e q Simbologia - "p ^ q ", que se lê "p e q". p Exemplo: p : A neve é branca (V) q : 2 < 5 (V) p ^ q: A neve é branca E 2 < 5 ( V) p q q p ^ q V V V V F F F V F F F F 12

13 Disjunção: "p ou q Simbologia - "p v q ", que se lê "p ou q". p q p V q V V V V F V F V V F F F Exemplo: p : Paris é a capital da França (V) q : 9 4 = 5 (V) p v q: Paris é a capital da França OU 9 4 = 5 (V) 13

14 Disjunção Exclusiva : ou p ou q Simbologia - "p V q ", que se lê ou p ou q". Exemplo: p : Mario é Alagoano (V) q : Mario é Gaúcho (F) p q p V q V V F V F V F V V F F F p V q: OU Mario é Alagoano OU Mario é Gaúcho (V) 14

15 Condicional: se p então q Simbologia - "p q ", que se lê se p então q". p q p -> q V V V V F F F V V F F V Exemplo: p : Eu como muito (V) q : Eu engordo (V) p q: SE eu como muito ENTÃO eu engordo (V) 15

16 Bicondicional : p se e somente se q Simbologia - "p q ", que se lê p se e somente q ". p q p <-> q V V V V F F F V F F F V Exemplo: p : Roma fica na Europa (V) q : A neve é branca (V) p q: Roma fica na Europa SE E SOMENTE SE a neve é branca (V) 16

17 Construção de Tabelas Verdade Tabela Verdade de uma Proposição Composta dada várias proposições simples p, q, r,..., podemos combinálas pelos conectivos lógicos: Negação ~ Conjunção Disjunção v Disjunção Exclusiva V Condicional Bicondicional e construir proposições compostas, tais como: P(p,q) = ~p V (p->q) Q(p,q) = (p<-> ~ q) ^q R(p,q,r) = (p-> ~ q V r ) ^ ~(q V (p <-> ~ r)) 17

18 Números de Linhas de uma Tabela Verdade O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta depende do número de proposições simples que a integram, sendo dado pelo seguinte teorema: A tabela-verdade de uma proposição composta com proposições simples componentes contém 2 elevado a n linhas. Exemplo Construir a tabela-verdade da proposição:p(p,q) = ~ (p ^ ~ q) 18

19 1º Resolução p q ~ q p ^ ~ q ~ (p ^ ~ q) V V F F V V F V V F F V F F V F F V F V 1º 2º 3º 4º 2º Resolução p q ~ (p ^ ~ q) V V V V F F V V F F V V V F F V V F F F V V F V F F V F 4º 1º 3º 2º 1º 19

20 3º Resolução Diagrama Sagital ~ (p ^ ~ q) V V F F V F V V V F V F F F V V F F V F 4º 1º 3º 2º 1º VV VF FV FF V F U={VV,VF,FV,FF} P(p, q) : U {V, F} 20

21 Exemplo: (p v ~ r) (q ^ ~ r) 1º Resolução p q r ~r p v ~ r q ^ ~r (p v ~ r) (q ^ ~ r) V V V F V F F V V F V V V V V F V F V F F V F F V V F F F V V F F F V F V F V V V V F F V F F F F F F F V V F F 1º 2º 3º 4º 5º No caso de três proposições componentes, temos: P(VVV, VVF, VFV, VFF, FVV,FVF,FFV,FFF)= FVFFVVFF 21

22 Exemplo: (p v ~ r) (q ^ ~ r) 3º Resolução (p v ~ r ) ( q ^ ~ r) V V F V F V F F V V V V F V V V V F V V F V F F F F V V V V F F F F V F F F F V V V F F V F F F F V V F F F F V V V F F F V V F F F F V F F F F 1º 3º 2º 1º 4º 1º 3º 2º 1º 22

23 Exemplo: (p v ~ r) (q ^ ~ r) Diagrama Sagital VVV VVF VFV VFF FVV FVF FFV FFF V F 23

24 Valor Lógico de uma Proposição Composta Quando conhecemos os valores lógicos da proposição composta é possível determinar o valor lógico Exemplo 1: Sabendo que os valores lógicos de p e q são respectivamente V e F P(p,q) = ~ (p v q) ~ p ~ q Solução: V(P) = ~ (V v F) ~ V ~ F = ~ V F V= F F=V Exemplo 2: Seja p: = 3 e q: sen P(p,q) = (p q) (p p q) 2 0 sendo V(p)=F e V(q)=F Solução: V(P) = (F F) (F F F) = V (F F) = V V =V 24

25 Ordem de procedência para os conectivos (1) ~ (2) e V (3) (4) 25

26 Tautologias, Contradições e Contigências 1 TAUTOLOGIA Chama-se tautologia toda a proposição composta cuja última coluna de sua tabela-verdade encerra somente a letra V (verdadeira). Exemplos: a - A proposição "~ (p ^ ~ p)" (Princípio da não contradição) é tautológica, conforme se vê pela sua tabela-verdade: p ~ p p ^ ~ p ~ (p ^ ~ p) V F F V F V F V Dizer que uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa é sempre verdadeiro 26

27 Exemplos: b - A proposição "(p v ~ p)" (Princípio do terceiro excluído) é tautológica, conforme se vê pela sua tabela-verdade: p ~ p p v ~ p V F V F V V Dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é sempre verdadeiro 27

28 2 CONTRADIÇÃO Chama-se contradição toda a proposição composta cuja última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra F (falsidade). Exemplos: a - A proposição " (p ^ ~ p)" é uma contradição, conforme se vê pela sua tabela-verdade: p ~ p p ^ ~ p V F F F V F Dizer que uma proposição pode ser simultaneamente verdadeira e falsa é sempre falso. 28

29 Exemplos: b - A proposição " (p ~ p)" é uma contradição, conforme se vê pela sua tabela-verdade: p ~ p p <-> ~ p V F F F V F c - A proposição " (p q) ~(p v q)" é uma contradição, conforme se vê pela sua tabela-verdade: p q p q p V q ~( p V q) ~( p q) ~ (p V q) V V V V F F V F F V F F F V F V F F F F F F V F 29

30 3 CONTINGÊNCIA Chama-se contingência toda a proposição composta em cuja última coluna de sua tabela-verdade figuram as letras V e F cada uma pelo menos uma vez. Exemplos: a - A proposição " p ~ p" é uma contingência, conforme se vê pela sua tabela-verdade: p ~ p p -> ~ p V F F F V V 30

31 Exemplos: b - A proposição " p v q p" é uma contingência, conforme se vê pela sua tabela-verdade: p q p V q p v q -> p V V V V V F V V F V V F F F F V c - A proposição " x=3 (x y x 3) " é uma contingência, conforme se vê pela sua tabela-verdade: x=3 x = y x 3 x y x y x 3 x=3 (x y x 3) V V F F V V V F F V F F F V V F V F F F V V V F 31

32 Implicação Lógica Definição de Implicação Lógica Diz-se que uma proposição P(p,q,r,...) implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q(p,q,r,...), se Q(p,q,r,...) é verdadeira (V) todas as vezes que P(p,q,r,...) é verdadeira (V). P(p,q,r,...) => Q(p,q,r,...) Observação importante: Não confundir os símbolos e Representa uma operação entre as proposições Indica uma relação entre duas proposições dadas 32

33 Propriedades da Implicação Lógica É imediato que a relação de implicação lógica entre proposições goza das propriedades reflexiva (R) e transitiva (T), isto é, simbolicamente. (R) P(p,q,r,...) => P(p,q,r,...) (T) Se P(p,q,r,...) => Q(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...) => R(p,q,r,...), então P(p,q,r,...) => R(p,q,r,...) 33

34 Implicação Lógica Exemplo: Portanto, simbolicamente: p q p p q q p V V V V F V F V F F F V Comparando as tabelas verdade p e q p, verificamos que não existe VF numa mesma linha. Portanto p q p 34

35 Implicação Lógica Exemplo: Portanto, simbolicamente: (p <--> q) ^ p => q p q p <-> q (p <-> q) ^ p (p <-> q) ^ p -> q V V V V V V F F F V F V F F V F F V F V 35

36 Tautologia e Implicação Lógica Teorema A proposição P(p, q, r,...) implica a proposição Q(p, q, r,...) isto é: P(p,q,r,...) => Q (p, q, r,...) Se e somente se a condicional: P(p,q,r,...) Q (p, q, r,...) é tautológica. Portanto, simbolicamente: (p <-> q) ^ p => q p q p q (p q) p (p q) p q V V V V V V F F F V F V F F V F F V F V 36

37 Equivalência Lógica Definição de Equivalência Lógica Diz-se que uma proposição P(p,q,r,...) é logicamente equivalente ou apenas equivalentes a uma proposição Q(p,q,r,...), se as tabelas verdade desta duas proposições são idênticas. Observação importante: P(p,q,r,...) Q(p,q,r,...) Não confundir os símbolos e Representa uma operação entre as proposições Indica uma relação entre duas proposições dadas 37

38 Propriedades da Equivalência Lógica É imediato que a relação de implicação lógica entre proposições goza das propriedades reflexiva (R), simétrica (S) e transitiva (T), isto é, simbolicamente. (R) P(p,q,r,...) P(p,q,r,...) (S) Se P(p,q,r,...) Q(p,q,r,...), então Q(p,q,r,...) P(p,q,r,...), (T) Se P(p,q,r,...) Q(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...) R(p,q,r,...), então P(p,q,r,...) R(p,q,r,...) 38

39 Exemplo: p q (p q) V (~ p ~ q) p q p q (p q) V (~p ~q) V V V V V V V F F F V F F V F F F F F V F V F F F V F V F F F F V F F F V V V V 39

40 Tautologia e Equivalência Lógica Teorema A proposição P(p, q, r,...) é equivalente a proposição Q(p, q, r,...) isto é: P(p,q,r,...) Q (p, q, r,...) Se e somente se a bicondicional: P(p,q,r,...) Q (p, q, r,...) é tautológica. Exemplo: (p ~ q c) (p q), onde c é uma proposição cujo valor lógico é F, é tautológico. 40

41 Tautologia e Equivalência Lógica Exemplo: (p ~ q c) (p q) p q (p ~q c) (p q) V V V F F V F V V V V V F V V V F F V V F F F V F F F V F V F V V F F F F V V F V F V F

42 Tautologia e Equivalência Lógica Exemplo: As proposições x=1 V x 3 e ~ (x 3 x = 1) não são equivalentes pois, a bicondicional: (x=1 V x 3) ~ (x 3 x = 1) não é tautólogica, conforme a tabela-verdade e desta forma não são equivalentes. (x =1 V x 3) ~ (x <3 X=1) V V F F F V V V V V V V V F F V F F F F V V F F F V V V V F F F

43 Proposições associadas a uma condicional Def. Dada a condicional p q, chamam-se proposições associadas a p q as três seguintes proposições condicionais que contêm p e q a) Proposição recíproca de p q: q p b) Proposição contrária de p q: ~ p ~ q c) Proposição contrapositiva de p q: ~ q ~ p p q p q q q ~ p ~ q ~ q ~ p V V V V V V V F F V V F F V V F F V F F V V V V 43

44 Exemplos: Determinar: a) A contrapositiva de p ~ q b) A contrapositiva de ~ p q Resolução ~ ~ q ~ p q ~ p Resolução ~ q ~ ~ p ~ q p c) A recíproca de p ~ q é ~ q p. E a contrapositiva de ~q p é: d) A contrapositiva de ~ p ~ q é: Resolução ~ p ~ ~ q ~ p q Resolução 44 ~ ~ q ~ ~ p q p

45 Exemplos: Determinar: a)a contrapositiva da recíproca de x = 0 x < 1 Resolução A recíproca de x = 0 x < 1 é x < 1 x = 0 e a contrapositiva desta recíproca é ; x 0 x < 1 b) A contrapositiva da contrária de x < 1 x < 3 Resolução A contrária de x < 1 x < 3 é x < 1 x < 3 e contrapositiva de desta contrária é x < 3 x < 1 45

46 Negação conjunta de duas proposições Def. Chama-se negação conjunta de duas proposições p e q a proposição não p e não q, isto é, simbolicamente ~p ~q Notação p q p q ~ p ~ q p q p q V V F V F F F V F F F V 46

47 Negação disjunta de duas proposições Def. Chama-se negação disjunta de duas proposições p e q a proposição não p ou não q, isto é, simbolicamente ~p V ~q Notação p q p q ~ p V ~ q p q p q V V F V F V F V V F F V Os símbolos e são chamados conectivos de SCHEFFER 47

48 Exemplos: Determinar o valor lógico da seguinte proposição: (~ p q) (q ~ r) Resolução (~ V V ) ( V ~ F) (F V ) ( V V) F F F Demonstrar que a seguinte proposição é contingente (p q) V (~ q p) V F V V F V V V F F F V F V F F V V F V F F V F F V V F 48

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