n. 3 Construção de Tabelas-Verdade

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1 n. 3 Construção de Tabelas-Verdade Dadas várias proposições simples: p, q, r, s,..., podemos combiná-las pelos conectivos lógicos: Negação (~) ou ( ) Conjunção ( ) Disjunção ( ) Condicional ( ) Bicondicional ( ) E construir proposições compostas: P (p, q) = ~p (p q) Q (p, q) = (p ~q) q R (p, q, r) = (p ~q r) ~(q (p ~r)) Com o auxilio das tabelas-verdade podemos verificar em que casos a proposição composta é verdadeira (V) ou falsa (F). Número de linhas de uma tabela-verdade O número de linhas de uma tabela-verdade depende do número de proposições simples que a integram. O número de linhas pode ser determinado pelo seguinte Teorema: A tabela-verdade de uma proposição composta com n proposições simples componentes, contém 2 n linhas. Na verdade isso se constitui num arranjo com repetição n a n dos dois elementos V ou F, isto é, A 2,n = 2 n.

2 A(número de linhas) 2 elementos (V ou F), n arranjos possíveis = 2 n. Ordem de precedência para os conectivos: 1. negaça o : ~, 2. e, ou :, 3. implicação : 4. se e somente se : Começamos sempre trabalhando com o que houver dentro dos parênteses, depois, passamos para o que houver fora deles. Em ambos os casos, sempre obedecendo à seguinte ordem: 1. Fazemos as negações (~); 2. Fazemos as conjunções ou disjunções, na ordem em que aparecerem; 3. Fazemos a condicional; 4. Fazemos o bicondicional. Tabela-verdade de uma proposição composta A construção da tabela-verdade de uma proposição composta se dá pela contagem de proposições simples que a integram. Exemplo: P(p, q) = ~(p ~q) Proposições simples: p, q Negação de uma das proposições: Proposição composta: p ~q ~q

3 Negação da proposição composta: ~(p ~q) p q ~q p ~q ~(p ~q) V V F F V V F V V F F V F F V F F V F V A 2,n = 2 n A 2,n = 2 5 = 32 Exercício: Construir a tabela-verdade das proposições a seguir: a. P(p, q) = ~(p q) ~(q p) b. P(p, q, r) = p ~ r q ~r c. P(p, q, r) = (p q) (q p) (p r) d. P(p, q, r) = (p (~q r)) ~( q (p ~r)) Resoluções: a. P(p, q) = ~(p q) ~(q p) Proposições simples: p, q Proposição composta: p q Proposição composta: q p Negação de uma das proposições compostas: ~(p q) Negação de uma das proposições compostas: ~(q p) Proposição composta: ~(p q) ~(q p)

4 p q p q ~(p q) q p ~(q p) ~(p q) ~(q p) V V V F V F F V F F V F V V F V F V F V V F F F V V F V b. P(p, q, r) = p ~ r q ~r Proposições simples: p, q, r Proposição composta: p ~ r Proposição composta: q ~r Proposição composta: p ~ r q ~r Negação de uma das proposições simples: ~r p q r ~r p ~ r q ~r p ~ r q ~r V V V F V F F V V F V V V V V F F V V F F F V V F F F V F V F V V V V F F V F F F V V F V F V F F F F F V V F F c. P(p, q, r) = (p q) (q p) (p r) Proposições simples: Proposição composta: Proposição composta: Proposição composta: Proposição composta: Proposição composta: p, q, r p q q p p r (p q) (q p) (p q) (q p) (p r)

5 p q r p q q p p r (p q) (q p) (p q) (q p) (p r) V V V V V V V V V V F V V F V F V F F F V F F V F V V V F V F V F V F V F V F V F F V V V V V V V F V F V V F V F F F V V F F V d. P(p, q, r) = (p (~q r)) ~( q (p ~r)) Proposições simples: p, q, r Negação de uma das proposições simples: ~q Negação de uma das proposições simples: ~r Proposição composta: ~q r Proposição composta: (p (~q r)) Proposição composta: p ~r Proposição composta: ( q (p ~r)) Negação de uma das proposições compostas: ~( q (p ~r)) Proposição composta:(p (~q r)) ~(q (p ~r)) p q r ~q ~r ~q r p (~q r) p ~r q (p ~r) ~( q (p ~r)) (p (~q r)) ~( q (p ~r)) V V V F F V V F V F F V V F F V F F V V F F V F F V V V V V V F F F V V F F V V V V F F F V F F V F V F V F F F F V V F V V V V F F V F V V F V V F F V V F F F V V V V F F V V

6 Valor lógico de uma proposição composta Dada uma proposição composta, podemos determinar seu valor lógico (V ou F) quando conhecemos o valor lógico das proposições componentes. Exemplo: 1. V(p) = V e V (q) = F P(p, q) = ~(p q) ~p ~q p q ~p ~q p q ~(p q) ~p ~q ~(p q) ~p ~q V V F F V F F V V F F V V F F V F V V F V F F V F F V V F V V V P(p, q) = ~(p q) ~p ~q P(p, q) = ~(V F) F V P(p, q) = ~(V ) F P(p, q) = F F P(p, q) = V 2. V(p) = F e V (q) = F P(p, q) = (p q) (p p q) p q (p q) p q p p q (p q) (p p q) V V V V V V V F F F F V F V V F V V

7 F F V F V V P(p, q) = (p q) (p p q) P(p, q) = (F F) (F F F) P(p, q) = V (F F) P(p, q) = V V P(p, q) = V 3. V(p) = V ; V (q) = F e V (r) = F P(p, q, r) = (q (r ~p)) (( ~q p) r) p q r ~p ~q r ~p q (r ~p) ~q p ( ~q p) r (q (r ~p)) (( ~q p) r) V V V F F F F V V V V V F F F V V V F V V F F F V V F V F F F V V V F V V V V V F V F V F V V V F V F F V V V V F F F F V F V F V F V V V V F F F V V V F F V V P(p, q, r) = (q (r ~p)) (( ~q p) r) P(p, q, r) = (F (F F)) (( V V) F) P(p, q, r) = (F V) (V F) P(p, q, r) = F F P(p, q, r) = F 4. V(r) = V P(p, q, r) = p ~q r p q r ~q ~q r p ~q r V V V F V V V V F F F F V F F V V V F V V F V V

8 F V F F F V F F V V V V V F V V V V F F F V V V P(p, q, r) = p ~q r P(p, q, r) = p ~q V Como r é Verdadeira, não importa o ~q, pois a disjunção será sempre Verdadeira. Logo, ~q r ~q r F V V F F V V V V V F F P(p, q, r) = p V P(p, q, r) = p V Uma proposição implicando uma verdade só pode ser: p q = Verdade p q V V V F V V Portanto, P(p, q, r) = p V P(p, q, r) = V 5. V(q) = V

9 P(p, q) = (p q) (~q ~p) p q ~p ~q p q (~q ~p) (p q) (~q ~p) V V F F V V V V F F V F F V F V V F V V V F F V V V V V P(p, q) = (p q) (~q ~p) P(p, q) = (p V) (F ~p) Entretanto, qualquer proposição que implique uma verdade só pode ser Verdade: P(p, q) = (p V) (F ~p) P(p, q) = V (F ~p) E, uma proposição Falsa pode implicar uma verdade ou uma falsidade que sempre será Verdade: P(p, q) = V (F ~p) P(p, q) = V V P(p, q) = V Sugestões de exercícios: Livro: FILHO (2002), p. 39, 40, 41 e 42 Capítulo 3.

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14 Referências Bibliográficas BISPO, Carlos Alberto F.; CASTANHEIRA, Luiz B.; FILHO, Oswaldo Melo S. Introdução à Lógica Matemática. São Paulo: Cengage Learning, FILHO, Edgard de Alencar. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 2002.