Lógica Binária. Princípios

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1 Lógica Binária

2 Lógica Binária Proposição é toda a expressão da qual faz sentido dizer que é verdadeira ou falsa. Cada proposição tem um e um só valor lógico, Verdadeiro (1) ou Falso (0). Princípios Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Princípio do terceiro excluído: uma proposição é verdadeira ou falsa. Uma proposição diz-se simples ou atómica se não contem nenhuma parte como parte integrante de si mesma. As proposições compostas são construídas a partir das simples ligando-as por operadores (conectivos) lógicos.

3 Lógica Binária Negação p (não p) p p Operações binárias p q p q p q p q p q Conjunção p q (p e q) Disjunção p q (p ou q) Implicação p q (se p então q) p é condição suficiente para que q q é condição necessária para que p Equivalência p q (p é equivalente a q) p se e só se q

4 Lógica Binária A cada variável proposicional, representada por uma das letras p,q,r,, é atribuída um valor lógico: 1 ou 0. Uma fórmula bem formada (fbf) é construída a partir de: símbolos 1 ou 0, variáveis proposicionais, operadores lógicos, símbolos de parênteses. Convenção: as operações lógicas são consideradas pela seguinte ordem de prioridade:,,,, Na ausência de parênteses as operações são realizadas da esquerda para a direita.

5 1. Estabeleça a negação de cada uma das seguintes proposições: a) O computador é um instrumento de trabalho b) Todas as casas têm janelas. c) Nenhuma casa é barata d) Alguns homens são espertos e) 2 = 5 f) 3 < 4 g) = 10 h) 8 > 3 i) 3 < 1 j) 2 < 3 < 5 2. Estabeleça com uma Tabela de Verdade o valor lógico da seguinte proposição: P: Não é verdade que Bento de Jesus Caraça não tenha sido matemático.

6 3. Simbolize as seguintes proposições: a) O Luís não é parvo; além disso gosta da sua mulher. b) O Luís não só é chato como também ingénuo. c) A lua é um satélite da terra e Negue as seguintes proposições, simbolicamente e, quando possível, também em português: a) p q b) p q c) O João estuda e trabalha. d) O João nem estuda nem trabalha.

7 5. Designando por p e q as proposições: p: João Barata é um corredor português q: Joaquim Agostinho é um corredor português 5.1. Traduza simbolicamente: a) João Barata e Joaquim Agostinho são corredores. b) Joaquim Agostinho é corredor português e João Barata não. c) Nem João Barata nem Joaquim Agostinho são corredores portugueses. d) Não é verdade que nem João Barata nem Joaquim Agostinho sejam corredores Considerando que Joaquim Agostinho foi de facto um corredor português e João Barata não, diga quais são, de entre as proposições anteriores, aquelas a que se deve atribuir o valor lógico Verdade.

8 6. Traduza simbolicamente: a) Ninguém é simultaneamente altruísta e egoísta. b) As pessoas são boas e altruístas; ou são egoístas, mas nunca ambas as coisas. c) Não é verdade que João fume ou beba, e tenha boa saúde. d) Ou um número é par ou ímpar, ou não é um número natural. e) Não vale o seguinte: um número é par e é ímpar. f) Não se dá, ao mesmo tempo, que João não concorra ao cargo de formador e não seja escolhido.

9 7. Sendo p e q proposições verdadeiras e r uma proposição falsa, indique o valor lógico de: a) (p q) V r b) p V q V r c) (p q) r d) (p q) r 8. Qual o valor lógico de: a) Mozart foi compositor ou filósofo. b) Lisboa tem oito milhões ou nove milhões de habitantes. c) O Sol gira à volta da Terra e o Sol é uma estrela. d) A equipa do Boavista não é de Coimbra. e) O camarão não é peixe. f) Paris não é a capital de França.

10 9. Indique o valor lógico de p, qualquer que seja o valor lógico de q: a) sendo p q uma proposição falsa. b) sendo p q uma proposição falsa. c) sendo ( p q) uma proposição falsa. 10. Sabendo que são, respectivamente, V e F os valores lógicos das proposições p e p q, determine o valor lógico da proposição: a) q b) p q c) p q d) q p 11. Negue as seguintes proposições: a) p q b) p q c) O João não estuda ou não está atento

11 13. Considere as proposições seguintes: a: O comboio desloca-se sobre carris. b: O automóvel funciona a gasolina. c: A bicicleta tem duas rodas. d: O João sabe que os carros Toyota são caros. e: O João fica sempre junto do António. f: O João é ciumento. g: O João sabe que os carros Toyota são duradouros. h: O João gosta da Maria Traduza as seguintes proposições: a) b c b) e f Traduza simbolicamente as seguintes proposições : a) O João não só sabe que os carros Toyota são caros, como também que são duradouros. b) O João é ciumento; além disso, gosta da Maria Traduza em linguagem corrente o significado das seguintes expressões: a) a b b) c d

12 14. Considera as seguintes proposições: a: Como pão b: Como fruta f: A Joana visitou a França e: A Joana visitou a Espanha l: A Joana visitou a Alemanha c: Esta noite, às 9 h, estarei de partida para Paris no comboio. v: Esta noite, às 9 h, estarei de partida para Paris de avião. q: Quando vou a Lisboa janto com amigos. n: Quando vou a Lisboa janto com a namorada. z: Numa operação de divisão, o resto é zero. d: O seguro ser-me-á pago em caso de incêndio. r: O seguro ser-me-á pago em caso de roubo.

13 14.1. Traduza para linguagem simbólica: a) Como pão ou como fruta, mas não as duas coisas. b) Como pão ou fruta. c) Espanha, França, Alemanha, um destes países foi visitado por Ana. d) Esta noite, às 9 horas, estarei de partida para Paris no comboio ou de avião. e) Numa operação de divisão, o resto é zero ou diferente de zero. f) Quando vou a Lisboa janto com amigos ou com a minha namorada Traduza para linguagem corrente as seguintes proposições: a) f e b) d r

14 15. Considere as seguintes proposições: n: Neva b: O sol brilha c: Faz calor p: Ganha um prémio q: Porta-se bem r: Porta-se mal Escreva simbolicamente: a) Se o sol brilha, então faz calor. b) Se neva, então não faz calor. c) Se não neva e o sol brilha, então faz calor. d) Ganha um prémio, se se portar bem. e) Ganha um prémio, excepto se se portar mal.

15 16. Considere as proposições: a: Pedro estuda matemática. b: Pedro quer seguir ciências. c: Pedro quer seguir letras. d: Pedro estuda filosofia Traduza em linguagem corrente: a) a b b) a c c) (a d) c 17. Traduza para linguagem simbólica: a) Irei ao clube se e só se você vier. b) Um animal é grande ou pequeno se e somente se tem mais ou menos de um metro. c) Para que isto não seja ácido nem base é necessário e suficiente que não seja água e não tenha ph igual a 7.

16 17. Construa uma Tabela de Verdade para verificar os valores lógicos da proposição (a b) ( c b) 18. Construa uma Tabela de verdade para demonstrar a seguinte equivalência: p q = p q 19. Sabendo que a proposição p q tem o valor lógico falsidade, qual o valor lógico da proposição p q? 20. Verifique quais os valores de p e de q sabendo que: p q = 0 e p q = 1.

17 21. Sabendo que a é uma proposição falsa e a proposição a b é uma proposição verdadeira, diga qual o valor lógico da seguinte proposição: a b 22. Considerando as proposições: p: O João ficou dispensado do exame de Filosofia q: O João ficou dispensado do exame de Matemática. r: O João ficou dispensado do exame de Lógica Verifique pelo Método das Tabelas de Verdade se o João dispensou a alguma disciplina, sabendo que é verdadeira a seguinte proposição: ( p q) r

18 23. Utilize Tabelas de Verdade para mostrar que, quaisquer que sejam os valores lógicos de p e q, a expressão seguinte é verdadeira: p ( p q) 24. Supondo verdadeiras as três proposições seguintes: a a b ( b c) Que pode dizer acerca do valor lógico de b e de c?

19 Quantificadores universais e existenciais Exemplo 1: Uma bandeira verde e vermelha foi hasteada. Esta frase não é uma conjunção das frases Uma bandeira verde foi hasteada e Uma bandeira vermelha foi hasteada. É o mesmo objecto que é uma bandeira, é verde, é vermelho e foi hasteado. Semiformalização: Dicionário: x (x é uma bandeira x é verde é bandeira : B é vermelha : R Formalização: x (Bx Vx Rx Hx) x é vermelha x foi hasteada) é verde : V foi hasteada : H

20 Quantificadores universais e existenciais Exemplo 2: Nem tudo o que reluz é ouro. A frase, menos a negação ( nem ), afirma de todo o x que, se x reluz, então x é ouro. É preciso, assim, prefixar a negação a esta afirmação ou seja, negar que é o caso que, para todo o x, se x reluz, então x é ouro. Semiformalização: Dicionário: Formalização: ~ x (x reluz x é ouro) reluz : R é ouro : O ~ x (Rx Ox)

21 Quantificadores universais e existenciais Exemplo 3: Só os apaixonados e os cardíacos sofrem do coração. Esta frase, menos o só, diz acerca de qualquer indivíduo, x, que se x é apaixonado ou x é cardíaco, então x sofre do coração. Note-se que nesta afirmação o e, que surgia no contexto os apaixonados e os cardíacos, deu lugar ao ou, em x é apaixonado ou x é cardíaco. Semiformalização: x (x sofre do coração (x é apaixonado x é cardíaco) Dicionário: sofre do coração : S é apaixonado : A é cardíaco : C Formalização: x (Sx (Ax Cx)

22 Quantificadores universais e existenciais Exemplo 4: Se todos os futebolistas são desportistas, então alguns desportistas são ricos. Nesta frase encontramos uma condicional (se então ), que tem como antecedente uma quantificação universal ( todos ) e como consequente uma quantificação existencial ( alguns ). Semiformalização: Dicionário: x (x é futebolista x é desportista) é futebolista : F é desportista : D é rico : R x (x é desportista x é rico) Formalização: x (Fx Dx) x (Dx Rx)

23 Quantificadores universais e existenciais: Exercícios 1. Traduza em linguagem simbólica: a) Os únicos animais desta casa são gatos. b) Todo o animal é adequado para animal de estimação, se ele gosta de contemplar a Lua. c) Quando eu detesto um animal, evito-o. d) Nenhum animal é carnívoro, a não ser que ele vagueie à noite em busca da presa. e) Nenhum gato deixa de matar ratos. f) Nenhum animal me agrada nunca, à excepção dos que estão nesta casa. g) Os cangurus não são adequados para animais de estimação. h) Nenhuns animais a não ser os carnívoros matam ratos. i) Eu detesto os animais que não me agradam. j) Os animais que vagueiam à noite em busca da presa gostam sempre de contemplar a Lua. k) Eu evito sempre um canguru.

24 Quantificadores universais e existenciais: Exercícios 2. Traduza em linguagem simbólica: a) Alguns músicos são pianistas alemães. b) Todos os homens amam alguma mulher. c) Uma mulher casada só ama homens. d) Alguns filósofos desprezam todos os deuses gregos.