ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A. TESTE Nº 2 Grupo I

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A TESTE Nº Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 0 pontos, cada resposta errada vale 0 (zero) pontos, cada pergunta não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.. Sejam A e B dois acontecimentos incompatíveis não vazios de um espaço E. Qual das afirmações é necessariamente verdadeira? (A) Se não se realiza A tem que realizar-se B. (B) Se se realiza A não pode realizar-se B. (C) A B é o acontecimento certo. (D) O contrário de A e o contrário de B são incompatíveis.. Sejam X e Y dois acontecimentos de um mesmo espaço. Se p( X Y) = 0,8, p( X) = 0,7 e p( X Y) = 0,4 então p( Y ) é: (A) 0,. (B) 0,4. (C) 0,. (D) 0,.. Na figura está representado um dado e uma sua possível planificação. O dado tem as faces numeradas, conforme está indicado na figura. O dado é lançado numa mesa e considera-se a variável aleatória X: "soma dos números das cinco faces não assentes sobre a mesa". Qual, das seguintes, é a distribuição de probabilidades da variável X? (A) x i 0 (B) x i 0 p( X = x i ) p( X = x i ) Professora: Rosa Canelas

2 (C) x i 7 (D) x i 7 p( X = x i ) p( X = x i ) 4. Supondo que os códigos Multibanco são atribuídos ao acaso, qual é a probabilidade de lhe ser atribuído um código que não tenha os algarismos todos iguais: (A) (B) (C) (D) 4. O penúltimo elemento de uma linha do Triângulo de Pascal é 8. Então, pode concluir-se que o quarto elemento da linha seguinte é igual a: (A) 8 (B) 99 (C) 00 (D) 87 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver que efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto.. Uma companhia aérea vai comemorar o seu 000º voo, sorteando um tratamento para deixar de fumar entre os passageiros desse voo, assim caracterizados: Fumadores Não fumadores Homens 8% 4% Mulheres % 8%.. Qual é a probabilidade de que o prémio saia a uma pessoa que fuma?.. Sabe-se que o prémio saiu a um homem. Qual é a probabilidade de que ele seja fumador?.. Justifique que, nesse voo, ser fumador é independente do sexo do passageiro.. As baterias de um certo modelo de computadores portáteis têm uma autonomia, em minutos, que segue uma distribuição normal do tipo N(0,0) A Luísa comprou um computador do referido modelo. Qual é a probabilidade da bateria do computador da Luísa ter uma autonomia:.. superior a horas?.. inferior a hora e 0 minutos?.. compreendida entre horas e horas e 0 minutos? Professora: Rosa Canelas

3 . Num certo país existem três operadores de telecomunicações móveis, A, B e C, e todos os números têm 7 algarismos. Os números do operador A começam por, os do B por e os do C por. O Luís e a Cristina são dois dos clientes de telemóvel desse país... Supondo que escolheram o operador ao acaso, qual é a probabilidade de terem escolhido o mesmo operador?.. Se o número do telemóvel do Luís for 44 qual é a probabilidade do telemóvel da Maria, que é do operador C, ter os mesmos algarismos? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível... Metade dos clientes de telemóvel, desse país, são firmas. O operador A domina 0% do mercado mas apenas 0% dos seus clientes são firmas. Escolhido um cliente, ao acaso, qual é a probabilidade de, não sendo firma, ser cliente do operador A? Apresente o resultado na forma de percentagem. 4. Prove, justificando todos os passos, que se A e B são acontecimentos independentes então p( A B) + p( A) p( B) + p( B) =. Em relação a uma linha do Triângulo de Pascal, sabe-se que a soma de todos os elementos dessa linha é 4. Num saco há bolas iguais, em número igual ao dos elementos da referida linha do Triângulo de Pascal. O número correspondente a cada elemento dessa linha foi atribuído a uma bola, ficando desta forma as bolas numeradas. Considere a experiência aleatória que consiste em «retirar duas bolas do saco e verificar os números das mesmas»... Determine a probabilidade de as bolas retiradas terem o mesmo número. Apresente o resultado na forma de fracção irredutível... Considere os acontecimentos: A: «sair a bola correspondente ao elemento central da linha»; B: «os números das bolas são diferentes» Sem usar a fórmula da probabilidade condicionada, calcule p( B A ). Numa pequena composição, explique o raciocínio que baseou a resposta. FIM Professora: Rosa Canelas

4 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A COTAÇÕES Grupo I... 0 Cada resposta certa Cada resposta errada, não respondida ou anulada... 0 Grupo II TOTAL Professora: Rosa Canelas 4

5 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A TESTE Nº Proposta de correcção Grupo I. (B) Sejam A e B dois acontecimentos incompatíveis não vazios de um espaço E. A afirmação que é necessariamente verdadeira é «se se realiza A não pode realizar-se B» A B. (B) Sejam X e Y dois acontecimentos de um mesmo espaço. Se p( X Y) = 0,8, p( X) 0,7 p X Y 0,4 = e ( ) = então p( Y ) Y é 0,4 porque p( Y) + p( X Y) = p( X Y) X. (D) Na figura está representado um dado e uma sua possível planificação. O dado tem as faces numeradas, conforme está indicado na figura. O dado é lançado numa mesa e considera-se a variável aleatória X: "soma dos números das cinco faces não assentes sobre a mesa". A distribuição de probabilidades da variável X é x i 7 p( X = x i ) A soma é obtida quando uma face com o número fica virada para baixo, obtém-se quando uma face com o número fica virada para baixo e 7 é a soma obtida quando a face como o número 0 fica virada para baixo. E a probabilidade de uma face com o número ficar virada para baixo é =. Há faces das que têm o número e só uma das com o número (B) Supondo que os códigos Multibanco são atribuídos ao acaso, a probabilidade de lhe ser atribuído um código que não tenha os algarismos todos iguais é o contrário de nos ser atribuído um código com os algarismos todos iguais então p = 0 = 9990 = Professora: Rosa Canelas

6 . (B) O penúltimo elemento de uma linha do Triângulo de Pascal é 8. Então, pode concluir-se que o quarto elemento da linha seguinte é igual a 9 C = 99 Grupo II. Uma companhia aérea vai comemorar o seu 000º voo, sorteando um tratamento para deixar de fumar entre os passageiros desse voo, assim caracterizados na tabela que completámos: Fumadores Não fumadores Homens 8% 4% 0% Mulheres % 8% 40% 0% 70% 00%.. A probabilidade de que o prémio saia a uma pessoa que fuma é 0%... Sabe-se que o prémio saiu a um homem. A probabilidade de que ele seja fumador é 8 p( F H) = = 0% 0.. Justifiquemos que, nesse voo, ser fumador é independente do sexo do passageiro porque 40 pf H ( ) = 0% = pf ( ) e p( F M) = = 0% = p( F). As baterias de um certo modelo de computadores portáteis têm uma autonomia, em minutos, que segue uma distribuição normal do tipo N(0,0) A Luísa comprou um computador do referido modelo. A probabilidade da bateria do computador da Luísa ter uma autonomia:.. superior a horas é 0% porque horas são 0 minutos e 0 minutos é a média ou calculando normalcdf ( 0,0,0,0) 0,.. inferior a hora e 0 minutos é % porque p( x < 0) = normacdf ( 80,0,0,0) 0,.. compreendida entre horas e horas e 0 minutos é 4% porque: p( 0 < x < 0) = normacdf ( 0,0,0,0) 0,4. Num certo país existem três operadores de telecomunicações móveis, A, B e C, e todos os números têm 7 algarismos. Os números do operador A começam por, os do B por e os do C por. O Luís e a Cristina são dois dos clientes de telemóvel desse país. Professora: Rosa Canelas

7 .. Supondo que escolheram o operador ao acaso, a probabilidade de terem escolhido o mesmo operador é p = pois o número de casos possíveis é e o número de casos favoráveis é,.. Se o número do telemóvel do Luís for 44 a probabilidade do telemóvel da Maria, que é do operador C, ter os mesmos algarismos é dado por: C! 0 p = = = porque o telemóvel da Maria começa por e faltam-lhe algarismos que queremos que sejam,, e dois iguais a 4. O número de casos favoráveis pode ser obtido de duas maneiras diferentes: se pensarmos primeiro nas posições diferentes que os dois algarismos iguais a 4 podem ocupar e permutando os restantes algarismos pelas restantes posições concluímos poder colocar os algarismos de C! formas diferentes, ou fazer sequências de posições das que temos disponíveis para colocarmos, e, ficando os dois 4 nas restantes posições concluímos poder colocar os algarismos de A formas diferentes. Nos casos possíveis teremos de considerar todos os números possíveis do operador C ou seja 0 hipóteses para cada um dos algarismos sendo o número de casos possíveis Metade dos clientes de telemóvel, desse país, são firmas. O operador A domina 0% do mercado mas apenas 0% dos seus clientes são firmas. Escolhido um cliente, ao acaso, a probabilidade de, não sendo firma, ser cliente do operador A é dada por p( A F ). Se considerarmos os acontecimentos A: «ser cliente do operador A» e F: «ser firma» podemos traduzir os dados da seguinte maneira: p( F) = 0%, p( A) = 0%, p( F A) = 0% então ( ) Organizando os dados numa tabela fica: Podemos então calcular ( ) A A F % 8% 0% F 48% % 0% 0% 40% 00% 0, 48 p A F = = 9% 0, p A F = 0, 0,= 0, 4. Provemos, justificando todos os passos, que se A e B são acontecimentos independentes então p( A B) + p( A) p( B) + p( B) = p( A B) + p( A) p( B) + p( B) = p( A B) + p( A) p( B) + p( B) pelas Leis de De Morgan ( ) + ( ) ( ) + ( ) = ( ) + ( ) ( ( )) + ( ) porque p( A) = p( A) p A B p A p B p B p A B p A p B p B Professora: Rosa Canelas 7

8 ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) p A B + p A p B + p B = p A + p B p A B + p A p A p B + p B porque p( A B) = p( A) + p( B) p( A B) pa ( ) pb ( ) + pa ( B) + pa ( ) pa ( ) pb ( ) + pb ( ) = + pa ( B) pa ( B) = porque sendo os acontecimentos independentes p( A B) = p( A) p( B). Em relação a uma linha do Triângulo de Pascal, sabe-se que a soma de todos os elementos dessa linha é 4. Num saco há bolas iguais, em número igual ao dos elementos da referida linha do Triângulo de Pascal. O número correspondente a cada elemento dessa linha foi atribuído a uma bola, ficando desta forma as bolas numeradas. Considere a experiência aleatória que consiste em «retirar duas bolas do saco e verificar os números das mesmas». Se a soma de todos os elementos dessa linha é 4, como triângulo de Pascal em que n = 4 = estamos na linha do A probabilidade de as bolas retiradas terem o mesmo número é p = =, ou 7 7 p = = 7 C 7.. Considere os acontecimentos: A: «sair a bola correspondente ao elemento central da linha»; B: «os números das bolas são diferentes» A expressão p( B A ) representa a probabilidade de os números das bolas retiradas serem diferentes sabendo que saiu o número central da linha do Triângulo de Pascal ou seja que saiu o 0. Como não há outra bola com o número 0 só podemos ter retirado duas bolas com números diferentes. Pelo que pb A ( ) =. Professora: Rosa Canelas 8

9 ESCOLA SECUNDÁRIA COM º CICLO D. DINIS º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Critérios de Correcção Grupo I... 0 Cada resposta certa... 0 Cada resposta errada, não respondida ou anulada B B D B B Grupo II p( F) = 0% 0 8 p F H = = 0% 0.. ( ).. pf H ( ) = pf ( ) = 0% e ( ) ( ) 0 pf M = pf = 0%. 0.. p( X>0 ) =normalcdf ( 0,0,0,0) 0, 0.. p( x < 0) = normacdf ( 80,0,0,0) 0, 0.. p( 0 < x < 0) = normacdf ( 0,0,0,0) 0, p = = 0 C!.. p = = p( F) = 0%, p( A) = 0%, ( ) p( A F) = 0, 0,= 0, 0, 48 p A F = = 9% 0, ( ) p F A = 0% então p( A B) + p( A) p( B) + p( B) = p( A B) + p( A) p( B) + p( B) p( A B) p( A) ( p( B) ) p( B) = Professora: Rosa Canelas 9

10 ( p( A) + p( B) p( A B) ) + p( A) p( A) p( B) + p( B) 4 = pa ( ) pb ( ) + pa ( B) + pa ( ) pa ( ) pb ( ) + pb ( ) = + p( A B) p( A B) = como 4 = estamos na linha do triângulo de Pascal em que n = p = =, ou p = = C pb A ( ) = Reconhecimento de que o termo central é único composição 0 Total 00 Professora: Rosa Canelas 0