OFICINA DA PESQUISA DISCIPLINA: LÓGICA MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL APOSTILA 2 CONCEITOS BÁSICOS

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1 OFICINA DA PESQUISA DISCIPLINA: LÓGICA MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL APOSTILA 2 CONCEITOS BÁSICOS Autor do Conteúdo: Prof. Msc. Júlio Cesar da Silva juliocesar@eloquium.com.br Alterações eventuais e acréscimos: Prof. Msc. Carlos José Giudice dos Santos carlos@oficinadapesquisa.com.br

2 O que é lógica? Lógica é o estudo do pensamento coerente; Lógica é a ciência do raciocínio; Lógica é a análise de proposições e de seus membros componentes. O que é inferência? Inferência ou ilação é a operação ou ato intelectual em que se conclui que uma proposição é verdadeira em função de premissas anteriores já reconhecidas como verdadeiras.

3 Classificação das inferências Dedutivas Inferências Indutivas Abdutivas

4 Inferências Dedutivas A inferência dedutiva é derivada da razão, da lógica. O método dedutivo é derivado do racionalismo, e a formulação de uma inferência dedutiva obedece a uma lógica irrefutável, que não admite erros. As principais características de uma dedução são: Parte de uma afirmação comprovadamente verdadeira e de caráter universal; Confirma um caso particular a partir da afirmação geral (ou seja, parte do geral para o particular); A confirmação geralmente acontece no presente; Não existe possibilidade de erro em sua confirmação.

5 Inferências Dedutivas Exemplo: Todos os ovos da cesta A são de galinha. Este ovo é da cesta A. Logo, é um ovo de galinha. A dedução só acontece se a premissa inicial for verdadeira e de caráter universal. Assim, se eu falo que todos os ovos da cesta A são de galinha, foi porque a cesta foi examinada previamente, ovo a ovo. Se alguém pega um ovo desta cesta (no tempo presente), então eu posso dar uma informação sobre esse ovo particular, baseada na afirmação geral: se este ovo é desta cesta, posso confirmar com certeza que é um ovo de galinha!

6 Inferências Indutivas A inferência indutiva é derivada da experiência. O método indutivo é derivado do empirismo, e a formulação de uma inferência indutiva não obedece a uma lógica irrefutável, ou seja, a inferência indutiva pode não ser confirmada. Isto não quer dizer que nunca será confirmada, mas apenas que existe a possibilidade de erro. As principais características de uma indução são: Parte de um caso particular; Evidencia uma característica deste caso particular; A partir dessa característica evidenciada, formula uma regra geral (sempre generaliza); Existe possibilidade de erro em sua confirmação, pois essa hipótese só pode ser confirmada no futuro, pois depende da experiência para a sua confirmação.

7 Inferências Indutivas Exemplo: Estes ovos são da cesta A. Estes ovos são de galinha. Logo, todos os ovos da cesta A são de galinha. A indução parte de um caso particular (estes ovos, e não todos!). Verifica uma característica que é comum a estes ovos (são ovos de galinha). A partir dessa constatação, sem olhar os outros ovos da cesta, generaliza, afirmando que todos os ovos da cesta são de galinha. A possibilidade de erro existe, porque só poderemos confirmar se olharmos todo os ovos da cesta. Esta confirmação só vai ocorrer no futuro. Pode ser que no meio da cesta, encontremos um ovo de pato ou de codorna.

8 Inferências Abdutivas A inferência abdutiva depende tanto da lógica como da experiência. A inferência abdutiva se parece muito com a dedução, principalmente porque, para que ela possa ser formulada, também depende que a premissa inicial seja comprovadamente verdadeira e de caráter universal. Entretanto, ao contrário da dedução, que confirma um caso particular a partir da afirmação geral, a abdução tenta confirmar a afirmação geral a partir do caso particular. Em outras palavras, a abdução recorre ao caso particular, e as evidências que podem confirmar se esse caso particular pertence ou não à regra geral estão no passado. A abdução é uma aposta no passado.

9 Inferências Abdutivas Para quem gosta de filmes de detetive, em que um crime deve ser desvendado, fica mais fácil entender o que é uma abdução: o crime já ocorreu, mas as evidências que vão solucionar o crime (fatos) falam do passado (tempo em que ocorreu o crime). As principais características de uma abdução são: Parte de uma afirmação comprovadamente verdadeira e de caráter universal; Confirma a afirmação geral a partir de um caso particular; A confirmação geralmente acontece no passado (as evidências estão no passado); Existe possibilidade de erro em sua confirmação (o que não significa que sempre dará erro);

10 Inferências Abdutivas Exemplo: Todos os ovos da cesta A são de galinha. Este ovo é de galinha. Logo, este ovo é da cesta A. Neste exemplo, temos certeza que todos os ovos da cesta A são de galinha. De repente, aparece um ovo de galinha que não estava na cesta. Que conclusão pode-se tirar sobre este ovo? Existe a possibilidade que ele seja da cesta A, mas existe uma dúvida. Para podermos confirmar, teremos que levantar a história deste ovo que apareceu depois, para sabermos se realmente ele veio (passado) da cesta A. Pode ser que ele tenha vindo de uma cesta B e não da cesta A.

11 O que é lógica matemática? Lógica matemática é um conjunto de estudos tendentes a expressar em linguagem matemática as estruturas e operações do pensamento, deduzindo-as de número reduzido de axiomas, com a intenção de criar uma linguagem rigorosa e adequada ao pensamento científico, tal como o concebe a tradição empírico-positivista. Pergunta: Qual é o significado das palavras sublinhadas?

12 Proposições

13 Proposições Leia atentamente a questão de concurso abaixo: Em uma pequena cidade só há ônibus verdes e amarelos. Considere a seguinte afirmação: Qualquer ônibus verde não passa pela prefeitura Pode-se concluir que: a) Todo ônibus amarelo passa pela prefeitura. b) Todo ônibus que passa pela prefeitura é amarelo. c) Um ônibus que não passa pela prefeitura é certamente verde. d) Alguns ônibus que passam pela prefeitura são verdes. e) Alguns ônibus verdes passam pela prefeitura.

14 Proposições Uma proposição é uma sentença declarativa e afirmativa, que deve exprimir um pensamento de sentido completo, ou seja, que seja suficiente para atribuir um valor lógico à sentença: verdadeiro ou falso. Por exemplo, a sentença Dez é menor que sete é uma proposição, que é falsa. Algumas sentenças não são proposições, de acordo com a lógica matemática clássica, por não terem um valor lógico definido. Por exemplo: Maria é muito gulosa e Hoje fez muito calor. Diz-se que o valor lógico de uma proposição é a verdade (ou 1 um) se a proposição for verdadeira, e a falsidade (0 zero) se for falsa.

15 Lógica matemática e as proposições A Lógica matemática adota como regras fundamentais dois princípios (ou axiomas). 1. PRINCÍPIO DA NÃO NEGAÇÃO: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 2. PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro. Logo, podemos concluir que a lógica matemática é bivalente!

16 PROPOSIÇÕES Definição: Chama-se proposição todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. As proposições afirmam fatos ou exprimem juízos. Exemplos: A Lua é um satélite da Terra (verdadeiro ou 1) π < 2 (falso ou 0) Nafta, Mercosul e Zona do Euro são blocos econômicos (verdadeiro ou 1)

17 VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES Definição: Chama-se valor lógico de uma proposição a verdade se a proposição é verdadeira e a falsidade se a proposição é falsa. Os valores lógicos verdade e falsidade são abreviados pelas letras V ou F. Pelo principio do terceiro excluído: toda a proposição tem um, e um só, dos valores V ou F.

18 EXEMPLOS DE PROPOSIÇÕES Verifique se os exemplos abaixo são proposições, e se forem, qual o seu valor lógico: A. A copa do mundo em 2014 foi realizada na Alemanha. B. 3/5 é um número inteiro. C. 32 = 9 D. O número π é um número racional.

19 EXEMPLOS DE PROPOSIÇÕES Em uma ilha existem 13 palmeiras: 10 palmeiras deram 13 cocos, uma outra deu 7 cocos e a outra deu 5 cocos. A partir destas informações, questiona-se: QUANTOS COCOS EXISTEM NESSA ILHA?

20 CLASSIFICAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES As proposições podem ser classificadas em simples (ou atômicas) e compostas (ou moleculares). Chama-se proposição simples ou proposição atômica aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte de si mesma. Chama-se proposição composta ou proposição molecular aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições.

21 PROPOSIÇÕES SIMPLES As proposições simples são designadas com letras minúsculas (p, q, r, s) chamadas de letras proporcionais. Exemplos: p: Carlos é aluno do Pitágoras. q: Messi ganhou a bola de ouro em r: O número 25 é quadrado perfeito. s: João é gordo.

22 PROPOSIÇÕES COMPOSTAS As proposições compostas são designadas por letras maiúsculas (P, Q, R), também chamadas de letras proporcionais. Exemplos: P: Carlos é aluno e Júlio é professor Q: Dois é um numero par e três é um numero ímpar. R: Santos Dumont é o inventor do avião e do relógio de pulso e do chuveiro de água quente.

23 PROPOSIÇÕES COMPOSTAS As proposições compostas também são chamadas de fórmulas proposicionais ou apenas fórmulas. Em alguns casos pode-se também dizer que uma proposição composta P é formada pelas proposições simples p, q, r,..., e escreve-se desta forma: P (p,q,r,.)

24 EXEMPLOS DE PROPOSIÇÕES Classifique as proposições seguintes como simples ou compostas, justifique a sua resposta: 1. p: Pedro é estudante. 2. q: A Mangueira foi a escola de samba campeã no carnaval do Rio em Q: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito. 4. R: O programa é bom e a internet é lenta.

25 CONECTIVOS Chama-se de conectivos, palavras que são usadas para formar novas proposições a partir de outras. Os conectivos mais conhecidos são: e, ou, não, se...então,...se e somente se... Exemplos: 1. P: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito. 2. Q: O triângulo ABC é retângulo ou é isóceles. 3. r: Não está chovendo. 4. S: Se Jorge é engenheiro, então sabe Matemática. 5. T: O triângulo ABC é equilátero se e somente se é equiângulo.

26 CONECTIVOS Alguns conectivos podem ser expressos por símbolos. Vejamos alguns exemplos:

27 TABELA-VERDADE Segundo o Princípio do Terceiro Excluído, toda proposição simples p é verdadeira ou é falsa, isto é, tem o valor lógico V (verdade) ou o valor lógico F (falsidade).

28 TABELA-VERDADE Em se tratando de uma proposição composta, a determinação do seu valor lógico, conhecidos os valores lógicos das proposições simples, se faz com base no seguinte princípio: O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinado. Para que possamos seguir este principio fazemos uso de um dispositivo chamado tabela-verdade.

29 Seja P uma proposição composta cujas proposições simples são p e q. Exemplo: P = Maria é aluna e ganhou um prêmio. p = Maria é aluna q = (Maria) ganhou um prêmio TABELA-VERDADE

30 TABELA-VERDADE Construa a Tabela-Verdade para as seguintes proposições: 1. p 2. P = (p,q,r) 3. O trem é azul. 4. Q = João é irmão de Maria e é caçador de bruxas. 5. R = Darth Vader é um sith e é pai de Luke Skywalker e é pai da Princesa Leia. 6. S = Um polígono com quatro ângulos retos é um quadrado ou é um retângulo

31 NOTAÇÃO O Valor Lógico de uma proposição simples é indicado por V(p). Assim exprime-se que uma proposição p é verdadeira (V) escrevendo-se V(p) = V. Caso a proposição p seja falsa (F), escreve-se V(p) = F. Classifique as expressões seguintes de acordo com o seu valor lógico: 1. O Brasil é um país. 2. A raiz da equação x-1 = 0 é Um pentágono tem 10 lados.

32 NOTAÇÃO De modo análogo, o Valor Lógico de uma proposição composta é indicado por V(P). Assim exprime-se que uma proposição P é verdadeira (V) escrevendo-se V(P) = V. Caso a proposição P seja falsa (F), escreve-se V(P) = F. Determine o valor lógico das proposições abaixo: 1. O céu é azul e o mar é vermelho 2. Santos Dumont morreu de velhice 3. O número 144 é um cubo perfeito 4. (3x5) = (20-5)