Lógica Formal. Lógica Proposicional. Lógica Proposicional. Enigma motivador. Visão geral do estudo da Lógica

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1 Enigma motivador Lógica Formal Lógica Proposicional UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS Lógica, Informática e Comunicação Prof. Rômulo Nunes de Oliveira O Sr. Justino, apesar de trabalhador, não estava indo bem nos negócios. Devia muito dinheiro a um agiota da cidade. O agiota, um sucesso na vida profissional, era baixinho, barrigudo e careca. Tinha mau hálito, dentadura amarelada e um par de óculos bem grossos. No final de semana o agiota foi ao encontro do Sr. Justino para um acerto de contras. Sr. Justino tinha uma belíssima filha, por nome Sheila Carvalho que acompanhava o pai no momento do acerto de contas. Agiota então se encantou com a moça e fez a seguinte proposta ao Sr. Justino: Vou te fazer uma proposta, e só o fato do Sr. aceitá-la já perdoa sua divida comigo. A proposta consiste em colocar duas pedras, uma branca e outra preta, num saco. Peço para sua filha tirar uma pedra. Se ela tirar a preta, casará comigo. Se tirar a branca, estará livre. Sua divida estará paga só pelo fato de aceitar o jogo. O Sr. Justino pensou por um instante e aceitou o jogo. Mas o agiota trapaceou e colocou duas pedras pretas no saco. Entretanto, a bela filha do Sr. Justino percebeu a trapaça do agiota. Mais inteligente que o agiota, ela usou o fato de haver apenas pedras pretas no interior do saco. Fez ALGUMA COISA e se saiu muito bem. O que a Sheila fez para se livrar daquele casamento? Lembre que a filha do Sr. Justino estuda Lógica desde o jardim-de-infância. Explique sua resposta usando a Lógica. (Vale 0,5 ponto na próxima prova para quem responder e entregar primeiro.) Visão geral do estudo da Lógica Lógica Proposicional Até agora estudamos a Lógica de maneira informal. A Lógica formal é o estudo de formas de argumento, isto é, regras abstratas de raciocínio comum em vários argumentos. Iniciaremos nosso estudo formal com a Lógica Proposicional. Abordaremos a sintaxe e a semântica seguindo o seguinte roteiro de estudo: 1

2 Exemplos: 1. Hoje é segunda-feira ou sexta-feira.. Hoje não é segunda-feira. Hoje é sexta-feira. 2. Rembrandt pintou a Mona Lisa ou Michelângelo a pintou.. Não foi Rembrandt quem a pintou. Michelângelo pintou a Mona Lisa. 3. Ele é menor de 18 anos ou é um irresponsável.. Ele não é menor de 18 anos. Ele é um irresponsável. Os 3 argumentos são da seguinte forma:. P ou Q. Não é o caso que P Q As letras P e Q representam sentenças declarativas: (símbolos sentenciais). P pode representar: Hoje é segunda-feira. Q pode representar: Hoje é terça-feira. Com essa representação, a forma anterior representa o argumento 1 do exemplo. Os argumentos 1, 2 e 3 são variantes gramaticais ou instâncias da forma:. P ou Q. Não é o caso que P Q Esta forma de argumento (ou regra) é conhecida como silogismo disjuntivo. A lógica trata de formas de argumentos consistindo de letras sentenciais combinadas com as expressões: Não é o caso que E Ou Se... então Se e somente se Estas expressões são chamadas de operadores ou conectivos lógicos. 2

3 Conectivo Não é o caso que Essa expressão prefixa uma sentença para formar uma nova sentença a qual chamamos a negação da primeira. Exemplo: A sentença 'Não é o caso que ele é fumante é a negação da sentença 'Ele é fumante'. Variações gramaticais da negação: Ele é não-fumante, Ele não é fumante e Ele não fuma. Conectivo E Uma composição constituindo- se de duas sentenças ligadas por 'e' chama- se conjunção. Exemplo: Chove e faz calor A conjunção também pode ser expressa por palavras como: 'mas', 'todavia', 'embora', 'contudo',... Chove mas faz calor Conectivo Ou Um enunciado composto consistindo de duas sentenças ligadas por 'ou' chamase disjunção. Exemplo: Chove ou faz calor Enunciados do tipo se... então... chamam- se condicionais. O enunciado subsequente ao 'se' chama- se o antecedente e o subsequente ao 'então' chama- se o conseqüente. Forma do condicional: Se antecedente então conseqüente Ex: Se sinto frio então visto o casaco '. 3

4 Se antecedente então consequente O antecedente é condição suficiente para ocorrência do consequente O consequente é condição necessária para ocorrência do antecedente Exemplo: Se é Juiz então é advogado o fato de ser juiz é suficiente para ser advogado para alguém ser juiz é necessário que seja advogado, mas não é o suficiente Exemplo: Que condições são necessárias para um aluno ser aprovado em lógica? Se aluno foi aprovado então assistiu aula, é estudioso, fez muitos exercícios de lógica tem um bom método de estudo Exemplo: O fogo é uma condição necessária para a fumaça ou Se houver fumaça haverá fogo Exemplo: Se chover então molha a rua é suficiente chover para você deduzir que a rua fica molhada o fato da rua ficar molhada não garante que choveu Uma condicional também pode ser expressa na ordem inversa. Visto o casaco se sentir frio mantém a semântica de Se sentir frio, visto o casaco Se sentir frio então visto o casaco 4

5 Variações gramaticais da condicional: Exemplo: Se chove então molha a rua. Chover implica em molhar a rua. Chove somente se molha a rua Se chove, logo molha a rua Molha a rua, se chove Chover é condição suficiente para molhar a rua Molhar a rua é condição necessária para chover Conectivo Se e somente se Os enunciados formados com a expressão...se somente se... são chamados bicondicionais. Um bicondicional pode ser considerado como uma conjunção de dois condicionais. Exemplo: 'T é um triângulo se e somente se T é um polígono de três lados.' Conectivo Se e somente se Exemplo: 'T é um triângulo se e somente se T é um polígono de três lados. Equivale: T é um triângulo se T é um polígono de três lados; e T é um triângulo somente se T é um polígono de três lados. Que equivale: Se T é um polígono de três lados então T é um triângulo; e se T é um triângulo então T é um polígono de três lados. Conectivo Se e somente se 'T é um triângulo somente se T é um polígono de três lados'. equivale a: 'Se T é um triângulo então T é um polígono de 3 lados'. 5

6 Para facilitar o reconhecimento e a comparação de formas de argumento, cada operador lógico é representado por um símbolo especial: Não é o caso que: ~ ou E: ^ ou & Ou: v Se... então: Se e somente se: O Silogismo disjuntivo é simbolizado: Ou assim,. P v Q. ~P Q { P v Q, ~P} Q { P v Q, ~P} Q o traço de asserção (afirmação),, significa dizer que Q é deduzido (provado) apenas dos enunciados (premissas) P v Q e ~P. A linguagem consistindo das letras sentenciais e dos operadores lógicos juntamente com as regras a serem empregadas chama- se a Lógica Proposicional ou Cálculo Proposicional. O objetivo fundamental do Cálculo /Lógica: Mostrar a Validade de certas formas de argumento. 6

7 Uma forma de argumento é válida se todas as suas instâncias são válidas. Uma forma de argumento é inválida se pelo menos uma de suas instâncias é inválida. Uma instância de uma forma de argumento (um argumento particular) é válida somente quando é impossível que a sua conclusão seja falsa enquanto suas premissas são verdadeiras. Caso contrário ela é inválida. Mesmo para uma forma de argumento válida, nem todas as instâncias são corretas. Exemplo: O argumento da Monalisa (exemplo 2) tem a forma válida mas é incorreto Rembrandt pintou a Mona Lisa ou Michelângelo a pintou é uma premissa Falsa. O Silogismo disjuntivo é uma forma de argumento válida, pois para qualquer instância ocorre que: se as suas premissas forem verdadeiras, a sua conclusão será verdadeira. Observe a seguinte forma de argumento:. Se P então Q.. Q. P Ou: {P Q, Q} -- P Essa forma é inválida, pois a seguinte instância é notoriamente inválida: Se você está dançando na Lua então você está vivo. Você está vivo. Você está dançando na Lua. Exemplo de formalização: Simbolize o argumento que segue. Se minha namorada vier, irei ao teatro somente se for uma peça de comédia 7

8 Resposta P [Se minha namorada vier], Q [irei ao teatro] somente se S [for uma peça de comédia] P ( S Q) = P S Q Exemplo 2 Considere os símbolos proposicionais criança, jovem, adulto, idoso, estudante, trabalhador e aposentado. (observe que em vez de Q, P, S etc, estou utilizando nomes como vocabulário básico.) -Exemplo 2 Como faço para expressar a idéia de que uma pessoa ou é criança, ou é jovem, ou adulto ou idoso? Criança ν Jovem ν Adulto ν idoso E para expressar que um jovem ou trabalha ou estuda? Jovem trabalha ν estudante E para expressar a proibição de que não podemos ter uma criança aposentada? ~ ( criança ^ aposentado ) Fórmula bem formada wff well-formed formula Qualquer letra sentencial é uma wff. Se Φ é uma wff, então ~Φ também o é. Se Φ e Ψ são wff, então (Φ & Ψ), (Φ v Ψ), (Φ Ψ), (Φ Ψ) também o são. 8

9 Exercícios: 1) Quais das expressões seguintes são fórmulas (wff's) e quais não são: a) ~~~R b) (~R) c) PQ d) ~(P Q) e) ~(~P ^ ~Q) f) ^P Exercícios: 2) Formalize os seguintes argumentos usando as letras sentenciais indicadas. Utilize os indicadores de inferência para facilitar. a) Se Deus existe, então a vida tem significado. Deus existe. Portanto, a vida tem significado. (P,Q) c) Como hoje não é Quinta-feira, deve ser Sextafeira. Hoje é Quinta-feira ou Sexta-feira. (Q,S) d) Hoje é um fim de semana se somente se hoje é Sábado ou Domingo. Portanto, hoje é um fim de semana, desde que hoje é Sábado. (F,S,D) 9