Noções de Lógica - Teoria e Exercícios

Transcrição

1 ALUNO(A) C O L É G I O PROFESSOR (A) Alan Jefferson Série 1º ano Noções de Lógica - Teoria e Exercícios PROPOSIÇÃO Chama-se proposição ou sentença toda oração declarativa que pode ser classificada em verdadeira (V) ou em falsa (F). PRINCIPIOS LÓGICOS a) Principio da Identidade Todo objeto é idêntico a si mesmo. b) Princípio da não contradição Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. c) Princípio do Terceiro Excluído Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, não havendo terceira possibilidade. SENTENÇAS ABERTAS E SENTENÇAS FECHADAS. a) Sentença fechada é aquela que podemos garantir como sendo verdadeira ou falsa. Se = 7 então 5 = 7 2. REPRESENTAÇÃO LITERAL DAS PROPOSIÇÕES Em nossos estudos, representaremos uma proposição simples qualquer por uma letra minúscula, preferindo p, q, r e s. NEGAÇÃO A partir de uma proposição p qualquer, sempre podemos construir outra, denominada negação de p e indicada com o símbolo ~p ou p Ex.: p:nove é diferente de cinco. (9 5) (V) ~ p: Nove é igual a cinco (9 = 5) (F) OBS: Às vezes, uma proposição contradiz outra, sem ser sua negação. Ex: Este lápis é branco contradiz, mais não é a negação de Este lápis é azul. Porque a negação desta não obriga a que a cor do lápis seja branca poderia ser qualquer outra cor diferente das citadas. Ex.: Sete mais dois é igual a nove (V) Brasília não é a capital do Brasil (F) b) Sentença aberta é aquela que contém uma variável, um elemento desconhecido, e, portanto, não podemos garantir que seja verdadeira ou falsa. Ex.: x + 3 = 7 A cidade x é a capital da Argentina. PROPOSIÇÕES SIMPLES E PROPOSIÇÕES COMPOSTAS. a) Proposições simples é uma proposição, isolada, só pode assumir o valor-verdade: ou verdadeiro(v) ou falso(f). TABELA VERDADE DA NEGAÇÃO p ~p V F F V OBS: o número de linhas de uma tabela verdade é dado pela expressão 2 n, onde n indica o número de proposições simples contidas na tabela. MODOS DE NEGAR UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES Antepondo-se a expressão não ao seu verbo. Ex: p: Jorge gosta de mamão. ~p: Jorge não gosta de mamão. Ex.: Brasília é capital do Brasil Lima é a capital do Peru = 7 b) Proposições compostas quando formada por duas ou mais proposições simples, ligadas entre si por conectivos operacionais ou condicionais. Ex.: Antonio é médico e Luiz é alto = 8 ou = 12. Retirando-se a negação antes do verbo. Ex: q: Paulo não é primo de João. ~ q: Paulo é primo de João. Substituindo-se um termo da proposição por um de seus antônimos. Ex.: r: 4 é número par. ~ r: é número ímpar.

2 OPERAÇÕES COM PROPOSIÇÕES Conectivos A partir de proposições, dadas podemos construir novas proposições mediante o emprego de dois símbolos lógicos chamados conectivos: conectivo (lê-se: e) e o conectivo v (lê-se: ou) Conjunção p e q (p q) p q p q V F F F V F F F F r: 5 = 3 (F) p v r: = 9 ou 5 = 3 (F) Negação da Conjunção: ~(p q) ~p ~q Negação da Disjunção: ~(p q) ~p ~q CONDICIONAIS A partir de proposições dadas podemos construir novas proposições mediante o emprego de outros dois símbolos lógicos chamados condicionais: O condicional se... então... (Símbolo: ) e o condicional... se, e somente se,... (símbolo: ). Implicação: Se p então q (p q) A primeira proposição (p) é chamada de antecedente ou hipótese; a Segunda (q), de consequente. Um exemplo desse tipo de proposição é: A conjunção p q é verdadeira se p q são ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, então p q é falsa. Ex.: p: 5 é número par (F) q: Brasília é a capital do Brasil (V) p q: 5 é número par e Brasília é a capital do Brasil (F) p: = 5 (V) r: 7 < 8 (V) p r: = 5 e 7 < 8 (V) Disjunção p ou q (p V q) p q p v q V F V F V V F F F A disjunção p q é verdadeira se ao menos uma das proposições p ou q é verdadeira; se p e q são ambas falsas, então p q é falsa. Ex.: p: 5 é número par (F) q: Brasília é capital do Brasil (V) p q: 5 é número par ou Brasília é a capital do Brasil. (V) p: = 9 (F) Se o carro for barato, então Alan o comprará. O condicional p q é falso somente quando p é verdadeira e q é falsa; Caso contrário, p q é verdadeiro. p q p q V F F F V V F F V Ex.: p: Teresina é capital do Piauí. (V) q: 4 é um número ímpar. (F) p q: Se Teresina é capital do Piauí, então 4 é um número primo. (F) Recíproca e Contrapositiva: A partir da condicional p q podemos obter as seguintes proposições: Exemplos: q p que é a sua recíproca. ~q ~p que é a sua contrapositiva.

3 Da condicional: Se a piscina é funda, então não vou nadar., temos: A recíproca: Se não vou nadar, então a piscina é funda. A contrapositiva: Se vou nadar, então a piscina não é funda. Dupla implicação: Se P então q e se q então p (p q). p q p q V F F F V F F F V Alguns autores usam o termo bicondicional. Equivalências Para (p q), teremos: (~p v q) ou ~(p (~q)) Negação da condicional Para ~(p q), teremos: (p (~q)) ou ~(~p v q) A B TAUTOLOGIA E CONTRADIÇÃO Tautologia É uma proposição composta cujo valor lógico é verdade, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições componentes. Ex: p ~p p ~p p ~p v f V f v V Contradição ou Contra-válida Uma contradição é uma proposição composta cujo valor lógico é a falsidade, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições componentes. Ex: p ~p Contigência p ~p p ~p v f F f v F É o resultado da validação de uma proposição quando esta apresenta uma dúvida, ou seja, o resultado não deixa claro se a proposição analisada é necessáriamente verdadeira ou se é necessáriamente falsa. EQUIVALÊNCIA Dizemos que uma proposição composta p é logicamente equivalente ou simplesmente equivalente a uma proposição composta q se a bicondicional p q é tautológica. O condicional é verdadeiro somente quando p e q são ambos verdadeiros ou ambos falsos; se isso não acontecer, o condicional é falso. Ex.: p: Teresina é capital do Piauí (V) q: 4 é um número par (V) p q: Teresina é capital do Piauí se, somente se 4 é um número par. (V). Negação da Bicondicional: ~(p q) ~p q p ~q Usamos a notação: p q. Da definição temos que se duas proposições são equivalentes então as suas tabelas verdades são idênticas. Obs: Os símbolos e são distintos? Indica uma operação lógica. Estabelece que p q é tautológica. QUANTIFICADORES OBS: Regra de Transposição ~(p q) (~q ~p) (p q) (p q) (q p) Orações que contêm variáveis são chamadas sentença aberta. Tais orações, não são proposições, pois seu valor lógico (V ou F) é discutível, dependem do valor dado às variáveis. Há, entretanto, duas maneiras de transformar sentenças abertas em proposições: 1º. atribuir valor às variáveis. 2º. utilizar quantificadores.

4 Quantificador universal. O quantificador universal, usado para transformar sentenças abertas em proposições, é indicado pelo símbolo, que se lê: qualquer que seja, para todo, para cada. Ex.: ( x)(x + 7 = 8), que se lê: qualquer que seja o número x, temos x + 7 = 8. (F). ( a)((a + 1) 2 = a 2 + 2a + 1), que se lê: qualquer que seja o número a, temos (a + 1) 2 = a 2 + 2a + 1. (V) Quantificador existencial. O quantificador existencial é indicado pelo símbolo, que se lê: existe, existe pelo menos um ou existe um. Temos, tambem os simbolos: : Existe um único : Não existe Ex.: ( x)(x + 1 = 7), que se lê: existe um número x tal que x + 1 = 7. (V). ( a)(a ), que se lê: existe um número a tal que a 2 + 1, é não positivo. (F). 01.Quais das sentenças são proposições? a) 5 3 = 8 b) 8 > 3 c) x + 6 = 10 d) 5 é número par. e) x é número par. 02 A declaração: João é e não é verdadeiro está ferindo: a) O principio do terceiro excluido. b) O principio da boa educação. c) O principio do fim. d) O principio da identidade. e) O principio da não contradição. 03 A declaração: Ou ele é ou não é mentiroso está se referindo: a) Ao principio do terceiro excluido. b) Ao principio da boa educação. c) Ao principio do fim. d) Ao principio da identidade. e) Ao principio da não contradição. 04 Todas as alternativas estão erradas, exeto: < EXERCÍCIOS > a) A proposição simples deverá ter apenas um conectivo lógico. b) As proposições compostas são sempre formadas por mais de duas proposições simples. c) As proposições simples podem conter outras proposições simples. d) Pelo principio do terceiro excluido, podemos afirmar que uma proposição simples só poderá ser ou verdadeira ou falsa. e) João é feliz ou fique onde esta é uma proposição composta. 05 Quanto a proposição Se José tem um carro preto e Tatiana é massagista, então todos são felizes, assinale a alternativa correta: a) José tem um carro preto é a proposição antecedente. b) José tem um carro preto é a proposição consequente. c) A proposição tem uma antecedente simples. d) Tatiana é massagista é a proposição consequente. e) Todos estão flizes é a proposição consequente.

5 06 Dê a negação da afirmação Vai fazer frio e vai fazer calor. 07 Dê a negação de Onofre está feliz ou Rita é pobre. 08 Dizer que não é verdade que Não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) Se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) Se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. 09 A negação da afirmação condicional Se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva é: a) Se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva. b) Não está chovendo e eu levo o guarda-chuva. c) Não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva. d) Se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva. e) Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva. 10 Construir a tabela verdade das sentenças a seguir: a) ~(p q) ~p ~q b) ~(p q) ~p ~q c) (p v r) ~(~r q) 11 Dizer que André é artista ou Bernardo não é engenheiro é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. 12 Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla. Logo. a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória. b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema. c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema. d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória. e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória Os carros de Artur, Bernardo e César são, não necessariamente, nesta ordem, uma Brasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros é cinza, um outro é verde, e o outro é azul. O carro de Artur é cinza; o carro de César é o Santana; o carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília. As corres da Brasília, da Parati e do Santana são, respectivamente: a) cinza, verde e azul; b) azul, cinza e verde; c) azul, verde e cinza; d) cinza, azul e verde; e) verde, azul e cinza Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama. Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um pais diferente da Europa: uma delas Irá à Alemanha, outra irá à França e a outra Irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria Identificar o nome e o destino de cada uma. Elas deram as seguintes informações: a loura: Não vou à França nem à Espanha.; a morena: Meu nome não é Elza nem Sara.; a ruiva: Nem eu nem EIza vamos à França.

6 O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que: a) a loura é Sara e vai à Espanha; b) a ruiva é Sara e vai à França; c) a ruiva é Bete e vai à Espanha; d) a morena é Bete e vai à Espanha; e) a loura é Elza e vai à Alemanha Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto; b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto; c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto; d) Se Pedro não é pobre, então Alberto é alto; e) Se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de Carol. Carmem não é cunhada de Carol. Se Carina não é cunhada de Carol, então Carina é amiga de Carol. Logo: a) Carina não é amiga de Carol ou não é cunhada de Carmem; b) Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol; c) Carina é amiga de Carmem e é amiga de Carol; d) Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol; e) Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmem Em um grupo de amigas, todas as meninas loiras sã; também, altas e magras, mas nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis. Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos, e algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis. Como nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra, e como neste grupo de amigas não existe nenhuma menina que tenha cabelos crespos, olhos azuis e seja alegre, então: a) pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis; b) pelo menos uma menina loira tem olhos azuis; c) todas as meninas que possuem cabelos crespos são loiras; d) todas as meninas de cabelos crespos são alegres; e) nenhuma menina alegre é loira Cinco amigas, Ana, Bia, Cati, Dida e Elisa, são tias ou irmãs de Zilda. As tias de Zilda sempre contam a verdade e as irmãs de Zilda sempre mentem. Ana diz que Bia é tia de Zilda. Bia diz que Cati é irmã de Zilda. Cati diz que Dida é irmã de Zilda. Dida diz que Bia e Elisa têm diferentes graus de parentesco com Zilda, isto é, se uma é tia, a outra é irmã. Elisa diz que Ana é tia de Zilda. Assim, o número de irmãs de Zilda, neste conjunto de cinco amigas, é dado por: a) 1; b)2; c) 3; d) 4; e) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles Informaram: Não fui eu, nem o Manuel, disse Marcos. Foi o Manuel ou a Maria, disse Mário. Foi a Mara, disse Manuel. O Mário está mentindo, disse Mara. Foi a Mara ou o Marcos, disse Maria. Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi: a) Mário; b) Marcos; c) Mara; d) Manuel; e) Maria. Bons Estudos!!!