QUESTÕES. t = 7, o valor de t é o número: SIMULADO. Olá pessoal! Como vocês estão?

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1 Olá pessoal! Como vocês estão? Nesse artigo apresento a vocês um simulado com questões de Raciocínio Lógico, Matemática e Matemática Financeira. Para os candidatos aos cargos de Auditor e Analista Tributário da Receita Federal, cujas provas, serão em Setembro, trata-se de uma excelente forma de treinar e verificar se está tudo certinho. Apresentei primeiramente as questões e na sequência o gabarito comentado de cada uma delas. Boa sorte! Brunno Lima QUESTÕES 01) Assinale a alternativa que apresenta uma contradição. a) Nenhum mentiroso é corrupto e algum mentiroso é corrupto. b) Todo brasileiro é feliz e algum brasileiro é feliz. c) Todo aluno é dedicado e nenhum aluno é dedicado. d) Alguma criança é preguiçosa e alguma criança não é preguiçosa. e) Nenhum cachorro é carnívoro e algum cachorro não é carnívoro. 02) Sabendo que a) 0 b) 7 c) 10 d) 25 e) log5 t = 7, o valor de t é o número: 1 0,1 03) Uma urna contém 50 bolas que se distinguem apenas pelas seguintes características: x delas são brancas e numeradas sequencialmente com os números naturais de 1 a x. x + 1 delas são azuis e numeradas sequencialmente com os números naturais de 1 a x + 1. x + 2 delas são amarelas e numeradas sequencialmente com os números naturais de 1 a x + 2. x + 3 delas são verdes e numeradas sequencialmente com os números naturais de 1 a x + 3. Retirando-se uma bola da urna, a probabilidade de que seja uma bola azul ou uma bola com número 12 é: a) b) c) d) e) /7/2012 1

2 04) Em um paralelepípedo retângulo com 4 cm de altura, a base tem comprimento cuja medida é igual ao dobro da medida da largura. Se esse sólido tem 64 cm 2 de área total, o seu volume, em litros, é: a) 0,024 b) 0,032 c) 0,32 d) 24 e) 32 05) Uma duplicata é descontada 4 meses antes de seu vencimento através de uma operação de desconto comercial simples a uma taxa de 2% ao mês. O valor do desconto foi igual a R$ 2.640,00. Se esta duplicata tivesse sido descontada através de uma operação de desconto racional simples, a uma taxa de 2,5% ao mês, o valor do desconto seria de a) R$ 3.300,00 b) R$ 3.190,00 c) R$ 3.036,00 d) R$ 3.000,00 e) R$ 2.970,00 06) Assinale a alternativa correta: a) A negação da proposição = 6 é a proposição = 5. b) A negação da proposição Se 2 3, então 4 < 5 é Se 2 3, então 4 > 5. c) A negação da proposição Roma não é capital da Itália ou Londres não é capital da França é equivalente a Se Roma é capital da Itália, então Londres não é capital da França. d) Se a proposição Faz frio em Salvador ou não faz calor em Maceió for considerada verdadeira, então a proposição Não faz frio em Salvador e não faz calor em Maceió deverá ser considerada falsa. e) Se a proposição Carlos é advogado e Maria não é professora for considerada falsa, então a proposição Se Carlos é advogado, então Maria é professora deverá ser considerada verdadeira. 07) (ESCRITURÁRIO-BANCO DO BRASIL/MARÇO DE 2012-CESGRANRIO) Marcelo vai passar quatro dias na praia e leva em sua bagagem sete camisetas (três camisetas brancas diferentes, uma preta, uma amarela, uma vermelha e uma laranja) e quatro bermudas (uma preta, uma cinza, uma branca e uma azul). De quantos modos distintos Marcelo poderá escolher uma camiseta e uma bermuda para vestir-se, de modo que as peças escolhidas sejam de cores diferentes? a) 14 b) 17 c) 24 d) 26 e) 28 31/7/2012 2

3 08) (ANALISTA DE FINANÇAS E CONTROLE-STN/JUNHO DE 2005-ESAF) Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo, a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear. b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear. c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear. d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear. e) Marcos estudar é condição necessária para João passear. 09) (ANALISTA DE FINANÇAS E CONTROLE-STN/2000-ESAF) Em uma pequena comunidade, sabe-se que: "nenhum filósofo é rico" e que "alguns professores são ricos". Assim, pode-se afirmar, corretamente, que nesta comunidade a) alguns filósofos são professores b) alguns professores são filósofos c) nenhum filósofo é professor d) alguns professores não são filósofos e) nenhum professor é filósofo 10) (ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL-SRF/DEZEMBRO DE 2009-ESAF) Uma escola para filhos de estrangeiros oferece cursos de idiomas estrangeiros para seus alunos. Em uma determinada série, 30 alunos estudam francês, 45 estudam inglês, e 40, espanhol. Dos alunos que estudam francês, 12 estudam também inglês e 3 estudam também espanhol. Dos alunos que estudam inglês, 7 estudam também espanhol e desses 7 alunos que estudam inglês e espanhol, 3 estudam também francês. Por fim, há 10 alunos que estudam apenas alemão. Não sendo oferecidos outros idiomas e sabendo-se que todos os alunos dessa série devem estudar pelo menos um idioma estrangeiro, quantos alunos dessa série estudam nessa escola? a) 96. b) 100. c) 125. d) 115. e) ) (TÉCNICO JUDICIÁRIO-TRF 4ª REGIÃO/ABRIL DE 2010-FCC) Dos funcionários concursados lotados em certa repartição pública, sabe-se que a razão entre o número de homens e o de mulheres, nesta ordem, é 1,20. Se 88% dos funcionários dessa repartição são concursados, então, relativamente ao total de funcionários, a porcentagem de funcionários concursados do sexo a) feminino é maior que 42%. b) masculino está compreendida entre 45% e 52%. c) feminino é menor que 35%. d) masculino é maior que 50%. e) masculino excede a dos funcionários do sexo feminino em 6%. 31/7/2012 3

4 GABARITO COMENTADO 01) Assinale a alternativa que apresenta uma contradição. a) Nenhum mentiroso é corrupto e algum mentiroso é corrupto. b) Todo mentiroso é corrupto e algum mentiroso é corrupto. c) Todo corrupto é mentiroso e nenhum corrupto é mentiroso. d) Algum mentiroso é corrupto e algum mentiroso não é corrupto. e) Nenhum mentiroso é corrupto e algum mentiroso não é corrupto. Um caso clássico de contradição é a forma P e (~P). Devemos encontrar entre as alternativas uma sentença que apresente uma proposição seguida de sua negação e unida pelo conectivo e. Como a negação de Nenhum mentiroso é corrupto é a proposição Algum mentiroso é corrupto temos a apresentação do caso clássico citado a pouco na alternativa A. Nenhum mentiroso é corrupto e algum mentiroso é corrupto. P e (~P) Vou comentar as outras alternativas: Acompanhem: uma proposição seguida de sua negação e unida pelo conectivo e contradição b) Como essa alternativa começa com a proposição Todo mentiroso é corrupto deveríamos ter encontrado na sequência a negação dessa sentença, ou seja, deveríamos ter Algum mentiroso não é corrupto. Portanto, para que a alternativa b fosse uma contradição deveríamos ter: Todo mentiroso é corrupto e algum mentiroso não é corrupto. c) Como essa alternativa começa com a proposição Todo corrupto é mentiroso deveríamos ter encontrado na sequência a negação dessa sentença, ou seja, deveríamos ter Algum corrupto não é mentiroso. Portanto, para que a alternativa c fosse uma contradição deveríamos ter: Todo corrupto é mentiroso e algum corrupto não é mentiroso. d) Como essa alternativa começa com a proposição Algum mentiroso é corrupto deveríamos ter encontrado na sequência a negação dessa sentença, ou seja, deveríamos ter Nenhum mentiroso é corrupto. Portanto, para que a alternativa d fosse uma contradição deveríamos ter: Algum mentiroso é corrupto e nenhum mentiroso é corrupto. e) Como essa alternativa começa com a proposição Nenhum mentiroso é corrupto deveríamos ter encontrado na sequência a negação dessa sentença, ou seja, deveríamos ter Algum mentiroso é corrupto. Portanto, para que a alternativa e fosse uma contradição deveríamos ter: Nenhum mentiroso é corrupto e algum mentiroso é corrupto. Resposta: A 31/7/2012 4

5 02) Sabendo que a) 0 b) 7 c) 10 d) 25 e) log5 t = 7, o valor de t é o número: 1 0,1 Sabemos que se A é uma matriz quadrada de ordem 2, então seu determinante é a diferença entre o produto dos elementos de sua diagonal principal e o produto dos elementos de sua diagonal secundária. Assim, o determinante da matriz acima seria: [ log ( 1) ] 7 [ log ] 7 ( 50 0,1) 5 t = 5 5 t = 5 + log5 t = 7 log 5 t = 7 5 log 5 t = 2 Lembra como calculamos logaritmo? Olha a definição aí: c log a b = c a = b Assim: 2 log5 t = 2 5 = t t = 25 Resposta: D 31/7/2012 5

6 03) Uma urna contém 50 bolas que se distinguem apenas pelas seguintes características: x delas são brancas e numeradas sequencialmente com os números naturais de 1 a x. x + 1 delas são azuis e numeradas sequencialmente com os números naturais de 1 a x + 1. x + 2 delas são amarelas e numeradas sequencialmente com os números naturais de 1 a x + 2. x + 3 delas são verdes e numeradas sequencialmente com os números naturais de 1 a x + 3. Retirando-se, ao acaso, a probabilidade de que seja uma bola azul ou uma bola com número 12 é: 11 a) 50 6 b) 25 7 c) 25 3 d) 50 e) 10 3 Como temos ao todo 50 bolas, sendo x brancas, x + 1 azuis, x + 2 amarelas e x + 3 verdes, então: x + x x x + 3 = 50 4 x + 6 = 50 4x = x = x = 4 x = 11 Sendo assim, teremos: 11 bolas brancas, numeradas sequencialmente com os números naturais de 1 a (11 + 1) bolas azuis, numeradas sequencialmente com os números naturais de 1 a 12 (11 + 1). 13 (11 + 2) bolas amarelas, numeradas sequencialmente com os números naturais de 1 a 13 (11 + 2). 14 (11 + 3) bolas verdes, numeradas sequencialmente com os números naturais de 1 a 14 (11 + 3). Antes de prosseguirmos, vale lembrar que se precisarmos determinar a probabilidade de uma coisa ou outra podemos usar a formulinha abaixo: P (A ou B) = P(A) + P(B) P(A e B) 31/7/2012 6

7 No nosso caso devemos calcular a probabilidade de retirarmos uma bola azul OU uma bola com número 12. Assim: P(bola ser azul ou bola ter o número 12) = P(bola ser azul) + P(bola ter o número 12) P (bola ser azul e ter o número 12) Vamos com calma... número de bolas azuis P(bola ser azul) = número debolas da urna Como o número de bolas azuis é 12 e como o a urna tem, ao todo, 50 bolas, então a probabilidade da bola retirada ser azul é: 12 P(bola ser azul) = 50 Agora vamos determinar a probabilidade de a bola retirada ter o número 12. Vamos lá! São 11 bolas brancas numeradas sequencialmente com os números naturais de 1 a 11. Portanto, não existem bolas brancas com o número 12. São 12 bolas azuis numeradas sequencialmente com os números naturais de 1 a 12. Portanto, temos 1 bola azul com o número 12. São 13 bolas amarelas numeradas sequencialmente com os números naturais de 1 a 13. Portanto, temos 1 bola amarela com o número 12. São 14 bolas verdes numeradas sequencialmente com os números naturais de 1 a 14. Portanto, temos 1 bola verde com o número 12. Assim, temos, ao todo, 3 bolas com número 12 (1 azul, 1 amarela e 1 verde). Dessa forma, a probabilidade da bola retirada ter o número 12 é igual a: P(bola ter o número 12) = número de bolas com número12 = número debolas da urna 3 50 Por fim, não podemos nos esquecer de verificarmos se existe alguma bola que seja azul e que tenha o número 12. Se existir, deveremos subtrair a probabilidade desse evento ocorrer. 31/7/2012 7

8 Como existe 1 bola azul com número 12 a probabilidade procurada é: P(bola ser azul e ter o número 12) = número debolas azuis com número12 = número debolas daurna 1 50 Pronto! Calculamos as três probabilidades necessárias para usarmos a relação. P(bola ser azul ou bola ter o número 12) = P(bola ser azul) + P(bola ter o número 12) P (bola ser azul e ter o número 12) P(bola ser azul ou bola ter o número 12) = = = Resposta: C = ) Em um paralelepípedo retângulo com 4 cm de altura, a base tem comprimento cuja medida é igual ao dobro da medida da largura. Se esse sólido tem 64 cm 2 de área total, o seu volume, em litros, é: a) 0,024 b) 0,032 c) 0,32 d) 24 e) 32 Eis um exemplo de paralelepípedo retângulo: Para facilitar, chamaremos a altura de a, a largura da base de b e o comprimento da base de c. 31/7/2012 8

9 Veja um trecho do enunciado: Em um paralelepípedo retângulo com 4 cm de altura, a base tem comprimento cuja medida é igual ao dobro da medida da largura. Teríamos, então: a ( altura) = 4 b (largura) = x ( comprimento) = x c 2 A área total de um paralelepípedo é dada pela fórmula A t ( ab + ac + bc) área total, então: 2 64 = 2( 4 x + 4 2x + x 2x) 64 = 2( 4x + 8x + 2x ) Podemos passar o número 2 para o 1º membro dividindo: 64 2 = 2 ( 4x + 8x + 2x ) Assim: 32 = 4x + 8x + 2x 2 Organizando os termos da equação do 2º grau chegamos a: 2x x 32 = 0 = 2. Já que esse sólido tem 64 cm 2 de Como todos os coeficientes dessa equação são divisíveis por 2, simplificaremos a equação, chegando a: x 2 + 6x 16 = 0 a = 1, b = 6 e c = 16 Cálculo do discriminante: Δ = b 2 4ac Δ = ( 16) Δ = Δ = /7/2012 9

10 Cálculo de x : b ± Δ x = 2a 6 ± ±10 x = x = x 1 = = x1 = x 2 = = x2 = 8 (não convém, pois x representa a largura da base e não faria sentido imaginarmos esse valor sendo negativo) 2 2 Como a = 4, b = x, c = 2x e já que x = 2 a = 4, b = 2, c = 4, teríamos: Ótimo! De posse desses valores, podemos determinar o volume do paralelepípedo. Não se esqueçam de que a fórmula é: V = a b c. PARALELEPÍPEDO Agora ficou fácil, não é mesmo? V = V = 32 cm 3 Vocês perceberam que eu destaquei a unidade de volume? Muitos candidatos erram a questão exatamente nesse ponto. Fiquem atentos, pois a questão pediu o volume em litros e não em cm 3. Resta-nos, portanto, transformar 32 cm 3 em litros. Lembrem-se que 1 dm 3 = 1 litro. Sendo assim, podemos transformar 32 cm 3 em dm 3. dm 3 cm 3 Quando transformamos de cm 3 para dm 3 devemos voltar uma unidade para a esquerda. Como em transformações de unidades de volume, para cada unidade devemos deslocar a vírgula três casas, então, nesse caso, deveremos deslocar a vírgula 1 unidade 3 = 3 casas para a esquerda. 32 cm 3 = 0,032 dm 3 3 casas para a esquerda Se 1 dm 3 = 1 litro, então 0,032 dm 3 = 0,032 litros Resposta: B 31/7/

11 05) Uma duplicata é descontada 4 meses antes de seu vencimento através de uma operação de desconto comercial simples a uma taxa de 2% ao mês. O valor do desconto foi igual a R$ 2.640,00. Se esta duplicata tivesse sido descontada através de uma operação de desconto racional simples, a uma taxa de 2,5% ao mês, o valor do desconto seria de a) R$ 3.300,00 b) R$ 3.190,00 c) R$ 3.036,00 d) R$ 3.000,00 e) R$ 2.970,00 1ª parte: Veja o trecho do enunciado: Uma duplicata é descontada 4 meses antes de seu vencimento através de uma operação de desconto comercial simples a uma taxa de 2% ao mês. O valor do desconto foi igual a R$ 2.640,00. Dados: Tempo () t : 4 meses Taxa () i : 2% ao mês Desconto Comercial Simples ( D cs ): Sabemos que D CS = N i t, onde D CS é o valor do desconto comercial simples, N é o valor nominal, i é a taxa escrita na forma unitária e t é o tempo. Professor, o que é mesmo a taxa unitária? Para descobrirmos a taxa na forma unitária basta voltarmos duas casas decimais com a vírgula para a esquerda ou podemos dividir a taxa na forma percentual por 100. Como no enunciado a taxa citada foi de 2%, a sua forma unitária seria 2 100, ou seja, 0, 02. Outro detalhe: nunca se esqueçam que a taxa e o tempo devem estar na mesma unidade para que possamos usar a fórmula. Como, tanto taxa como tempo estão em meses, resta-nos apenas fazer a substituição dos valores na fórmula acima. Chegamos a: D CS = N i t = N 0, = N 0, N = N = ,08 31/7/

12 2ª parte: Veja o trecho do enunciado: Se esta duplicata tivesse sido descontada através de uma operação de desconto racional simples, a uma taxa de 2,5% ao mês, o valor do desconto seria de Dados: Valor Nominal ( N ) = Taxa () i : 2,5% ao mês Tempo () t : 4 meses Desconto Racional Simples ( D RS ):? N i t Sabemos que D RS =, onde D RS é o valor do desconto racional simples, N é o valor nominal, i é a taxa 1 + i t escrita na forma unitária e t é o tempo. Substituindo os valores na fórmula, teremos: D RS D RS D RS ,025 4 = 1+ 0, = 1,1 = Resposta: D 06) Assinale a alternativa correta: a) A negação da proposição = 6 é a proposição = 5. Lembrem-se que nesse tipo de situação nunca podemos alterar os valores e nem as operações. Negamos apenas os símbolos de igualdade (=) ou de desigualdade (>, <,, e ). Assim, é conveniente lembrarmos que a negação do = é o, a negação do > é o e a negação do < é o. Portanto, a alternativa está errada. O correto seria afirmar que a negação de = 6 é b) A negação da proposição Se 2 3, então 4 < 5 é Se 2 3, então 4 > 5. Para negarmos uma proposição com conectivo se... então..., devemos manter a primeira parte, trocar o conectivo se... então... pelo e e, por fim, negar a segunda parte. Fazendo isso, descobrimos que a negação da proposição SE 2 3, ENTÃO 4 < 5 é a proposição 2 3 E 4 5. Portanto, alternativa errada. 31/7/

13 c) A negação da proposição Roma não é capital da Itália ou Londres não é capital da França é equivalente a Se Roma é capital da Itália, então Londres não é capital da França. Cuidado com essa, pessoal! Muitos alunos se preocupam com o termo equivalente que aparece no enunciado e se esquecem de fazer o que realmente interessa: a negação da proposição. Lembrem-se que para negarmos uma proposição com conectivo ou, devemos negar todas as partes e trocar o conectivo ou pelo e. Sendo assim, a negação da proposição Roma NÃO É capital da Itália OU Londres NÃO É capital da França é Roma É capital da Itália E Londres É capital da França. Portanto, alternativa errada. d) Se a proposição Faz frio em Salvador ou não faz calor em Maceió for considerada verdadeira, então a proposição Não faz frio em Salvador e não faz calor em Maceió deverá ser considerada falsa. Antes de qualquer coisa gostaria de chamar a atenção de vocês para o fato de que o enunciado afirma que uma frase é verdadeira e a outra é falsa. Essa é uma forma despistada do examinador pedir a negação da proposição. Portanto, é como se pudéssemos reescrever a alternativa d da seguinte forma: a negação da proposição Faz frio em Salvador ou não faz calor em Maceió é a proposição Não faz frio em Salvador e não faz calor em Maceió. Partindo disso, concluímos que essa alternativa está errada. E por que, Brunnão? Lembrem-se que para negarmos uma proposição com conectivo ou, devemos negar todas as partes e trocar o conectivo ou pelo e. Sendo assim, o correto seria afirmar que se a proposição FAZ frio em Salvador OU NÃO FAZ calor em Maceió for considerada verdadeira, então a proposição NÃO FAZ frio em Salvador E FAZ calor em Maceió deverá ser considerada falsa. e) Se a proposição Carlos é advogado e Maria não é professora for considerada falsa, então a proposição Se Carlos é advogado, então Maria é professora deverá ser considerada verdadeira. Mesmo comentário da alternativa anterior. Se uma proposição é falsa e a outra é verdadeira, então devemos usar uma regra de negação. Tomem muito cuidado, porque escuto centenas de alunos repetindo que a negação do e tem que ser o ou. Muita atenção, pessoal! A negação do conectivo e pode ser o conectivo ou. Percebeu a sutil diferença entre o tem que ser e o pode ser? Digo isso, pois existem duas possibilidades de negarmos uma proposição com conectivo e. A primeira (e mais famosa), diz que devemos negar todas as partes e trocarmos o e pelo ou. Sendo assim uma possível negação para a proposição Carlos É advogado E Maria NÃO É professora é Carlos NÃO É advogado OU Maria É professora. Mas não podemos nos esquecer da segunda possibilidade de negação do conectivo e que pede para mantermos a primeira parte, trocarmos o e pelo se... então... e negarmos a 2ª parte. Assim, teríamos outra negação para a proposição citada: SE Carlos É advogado, ENTÃO Maria É professora. Como essa foi a proposição apresentada, temos então a alternativa correta. RESPOSTA: E 07) (ESCRITURÁRIO-BANCO DO BRASIL/MARÇO DE 2012-CESGRANRIO) Marcelo vai passar quatro dias na praia e leva em sua bagagem sete camisetas (três camisetas brancas diferentes, uma preta, uma amarela, uma vermelha e uma laranja) e quatro bermudas (uma preta, uma cinza, uma branca e uma azul). De quantos modos distintos Marcelo poderá escolher uma camiseta e uma bermuda para vestir-se, de modo que as peças escolhidas sejam de cores diferentes? a) 14 b) 17 c) 24 d) 26 e) 28 31/7/

14 1ª alternativa: Se a bermuda for preta, teremos 6 possibilidades de escolha para a camiseta (lembre-se que a camiseta preta não poderia ser escolhida, pois, dessa forma, haveria repetição de cor das peças). 2ª alternativa: Se a bermuda for cinza, teremos 7 possibilidades de escolha para a camiseta, já que não existem camisetas dessa cor e, portanto, não haveria repetição de cor das peças. 3ª alternativa: Se a bermuda for branca, teremos 4 possibilidades de escolha para a camiseta (lembre-se que as três camisetas brancas não poderiam ser escolhidas, pois, dessa forma, haveria repetição de cor das peças). 4ª alternativa: Se a bermuda for azul, teremos 7 possibilidades de escolha para a camiseta, já que não existem camisetas dessa cor e, portanto, não haveria repetição de cor das peças. Total: = 24 modos distintos Resposta: C 08) (ANALISTA DE FINANÇAS E CONTROLE-STN/JUNHO DE 2005-ESAF) Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo, a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear. b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear. c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear. d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear. e) Marcos estudar é condição necessária para João passear. Devemos nos lembrar que condição suficiente é o que está escrito entre o se e o então (ou seja, é o antecedente) e condição necessária é tudo aquilo que está depois do então (isto é, o consequente). Dessa forma poderíamos garantir que Marcos não estudar é condição suficiente para João não passear ou também que João não passear é condição necessária para Marcos não estudar. Mas você deve ter percebido que nenhuma dessas duas proposições está entre as alternativas, certo? Não se esqueça que podemos escrever um se... então... como um outro se... então.... Para isso basta negar ambas as partes e depois inverter as posições das proposições encontradas. Teríamos, então: Se João passeia, então Marcos estuda. Logo, poderíamos dizer que: João passear é condição suficiente para Marcos estudar ou que Marcos estudar é condição necessária para João passear. Resposta: E 31/7/

15 09) (ANALISTA DE FINANÇAS E CONTROLE-STN/2000-ESAF) Em uma pequena comunidade, sabe-se que: "nenhum filósofo é rico" e que "alguns professores são ricos". Assim, pode-se afirmar, corretamente, que nesta comunidade a) alguns filósofos são professores b) alguns professores são filósofos c) nenhum filósofo é professor d) alguns professores não são filósofos e) nenhum professor é filósofo Vamos representar que "nenhum filósofo é rico". Agora, vamos diagramar a proposição alguns professores são ricos. Teríamos: ou também: 31/7/

16 Passemos à análise das alternativas: a) alguns filósofos são professores Errado. No primeiro diagrama percebemos nas partes destacadas de vermelho e verde que nenhum filósofo é professor. b) alguns professores são filósofos Errado. No primeiro diagrama percebemos nas partes destacadas de vermelho e verde que nenhum filósofo é professor. c) nenhum filósofo é professor Errado. No segundo diagrama percebemos na parte destacada de verde que algum filósofo é professor. 31/7/

17 d) alguns professores não são filósofos Correta. Nos dois diagramas percebemos nas partes destacadas de verde que alguns professores não são filósofos. e) nenhum professor é filósofo. Errado. No segundo diagrama percebemos na parte destacada de verde que algum professor é filósofo. Resposta: D 31/7/

18 Observação: Apesar de ser desnecessário para essa questão, poderíamos ter diagramado as premissas do enunciado assim também: 10) (ANALISTA TRIBUTÁRIO DA RECEITA FEDERAL-SRF/DEZEMBRO DE 2009-ESAF) Uma escola para filhos de estrangeiros oferece cursos de idiomas estrangeiros para seus alunos. Em uma determinada série, 30 alunos estudam francês, 45 estudam inglês, e 40, espanhol. Dos alunos que estudam francês, 12 estudam também inglês e 3 estudam também espanhol. Dos alunos que estudam inglês, 7 estudam também espanhol e desses 7 alunos que estudam inglês e espanhol, 3 estudam também francês. Por fim, há 10 alunos que estudam apenas alemão. Não sendo oferecidos outros idiomas e sabendo-se que todos os alunos dessa série devem estudar pelo menos um idioma estrangeiro, quantos alunos dessa série estudam nessa escola? a) 96. b) 100. c) 125. d) 115. e) 106. Primeiramente vamos analisar os dados e anotar as conclusões de forma mais clara: Dos alunos que estudam francês, 12 estudam também inglês e 3 estudam também espanhol, ou seja, 12 alunos estudam francês e inglês e 3 alunos estudam francês e espanhol. Dos alunos que estudam inglês, 7 estudam também espanhol e desses 7 alunos que estudam inglês e espanhol, 3 estudam também francês, ou seja, 7 alunos estudam inglês e espanhol e 3 alunos estudam inglês, francês e espanhol. A questão apresentou, portanto, as seguintes informações: 30 alunos estudam francês. 45 alunos estudam inglês. 40 alunos estudam espanhol. 12 alunos estudam francês e inglês. 3 alunos estudam francês e espanhol. 7 alunos estudam inglês e espanhol. 3 alunos estudam inglês, francês e espanhol. 10 alunos que estudam apenas alemão. 31/7/

19 Essa questão apresenta 4 conjuntos (Francês, Inglês, Espanhol e Alemão). Nos diagramas, porém, precisaremos representar apenas 3 deles (Francês, Inglês e Espanhol). Veja abaixo como ficará: Vamos começar marcando a interseção dos três conjuntos (região número V). Como 3 alunos estudam inglês, francês e espanhol, o diagrama ficaria assim: Agora, podemos usar as interseções de dois conjuntos, como, por exemplo, Francês e Inglês. Perceba que no diagrama, quem estuda Francês e Inglês pode estar na região II ou V (e nenhuma outra, pois as únicas que passam por Francês e por Inglês, ao mesmo tempo, são II e V). 31/7/

20 Ao todo 12 alunos estudam Francês e Inglês. Como na região V já foram colocados 3 alunos, então ficam faltando 9 para serem acomodados na região II. O diagrama fica assim: Agora, vamos marcar os alunos que estudam Inglês e Espanhol. Perceba que no diagrama, quem estuda essas duas disciplinas pode estar na região V ou VI (e nenhuma outra, pois as únicas que passam por Inglês e por Espanhol, ao mesmo tempo, são V e VI). Ao todo 7 alunos estudam Inglês e Espanhol. Como na região V já foram colocados 3 alunos, então ficam faltando 4 para serem acomodados na região VI. O diagrama fica assim: 31/7/

21 Agora, vamos marcar os alunos que estudam Francês e Espanhol. Perceba que no diagrama, quem estuda essas duas disciplinas pode estar na região IV ou V (e nenhuma outra, pois as únicas que passam por Francês e Espanhol, ao mesmo tempo, são IV e V). Ao todo 3 alunos estudam Francês e Espanhol. Como na região V já foram colocados 3 alunos, então nenhum outro poderá ser acomodado na região IV. O diagrama fica assim: Como acabaram as informações referentes às interseções, vamos àquelas que nos dão o total de cada conjunto. Sabemos que 30 alunos estudam Francês. Observe que dentro do conjunto Francês (circulado de vermelho), já temos os valores 9, 3 e 0 (destacados em verde). 31/7/

22 Somados, chegamos a = 12 alunos. Portanto, ficam faltando = 18 alunos para ficarem na região I. Então, agora o diagrama está assim: Sabemos que 45 alunos estudam Inglês. Observe que dentro do conjunto Inglês (circulado de vermelho), já temos os valores 9, 3 e 4 (destacados em verde). Somados, chegamos a = 16 alunos. Portanto, ficam faltando = 29 alunos para ficarem na região III. Então, agora o diagrama está assim: 31/7/

23 Sabemos que 40 alunos estudam Espanhol. Observe que dentro do conjunto Espanhol (circulado de vermelho), já temos os valores 0, 3 e 4 (destacados em verde). Somados, chegamos a = 7 alunos. Portanto, ficam faltando 40 7 = 33 alunos para ficarem na região VII. Então, agora o diagrama está assim: Como todos os alunos dessa série devem estudar pelo menos um idioma estrangeiro, então nenhum aluno pode estar na região VIII (região externa). Ficaria assim: O total de alunos é dado pela soma das 7 regiões internas aos diagramas e mais os 10 alunos que estudam apenas alemão. São, portanto, = 106 alunos. Resposta: E 31/7/

24 11) (TÉCNICO JUDICIÁRIO-TRF 4ª REGIÃO/ABRIL DE 2010-FCC) Dos funcionários concursados lotados em certa repartição pública, sabe-se que a razão entre o número de homens e o de mulheres, nesta ordem, é 1,20. Se 88% dos funcionários dessa repartição são concursados, então, relativamente ao total de funcionários, a porcentagem de funcionários concursados do sexo a) feminino é maior que 42%. b) masculino está compreendida entre 45% e 52%. c) feminino é menor que 35%. d) masculino é maior que 50%. e) masculino excede a dos funcionários do sexo feminino em 6%. Lembre-se que razão nada mais é do que uma fração. Já que a razão entre o número de homens (h) e mulheres (m) é 1,20, podemos deixar indicado que: h 1, 20 m = h 1, 2m = (I) Além disso, 88% dos funcionários dessa repartição são concursados. Então: h+ m = 88% (II) Substituindo (I) em (II), temos: 1, 2m+ m = 88% 2, 2m = 88% m = 88% 2, 2 + = e m = 40%, então = 48% Como h m 88% h. Vamos à análise das alternativas: a) feminino é maior que 42%. Errado. A porcentagem de funcionários do sexo feminino é 40%. b) masculino está compreendida entre 45% e 52%. Correto. A porcentagem de funcionários do sexo masculino é 48%. c) feminino é menor que 35%. Errado. A porcentagem de funcionários do sexo feminino é 40%. d) masculino é maior que 50%. Errado. A porcentagem de funcionários do sexo masculino é inferior a 50%. e) masculino excede a dos funcionários do sexo feminino em 6%. Errado. A porcentagem de funcionários do sexo masculino excede a dos funcionários do sexo feminino em 8%. Resposta: B 31/7/

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