TESTES RESOLVIDOS. É uma sentença aberta. Nada podemos afirmar, não conhecemos o conteúdo da frase. Não é uma proposição.

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1 LÓGICA PROPOSICIONAL 1. PROPOSIÇÃO CONCEITO DE PROPOSIÇÃO Uma proposição é toda a oração que pode ser classificada como verdadeira ou falsa, não ambas. Por exemplo: 2 é um número primo. Resposta: É uma proposição verdadeira Bueno Aires é a capital do Brasil. Resposta: É uma proposição falsa LEIS DO PENSAMENTO Na estrutura correta do pensamento, é necessário obedecer as seguintes leis: I) Princípio da identidade. Se qualquer proposição é verdadeira, então ela é verdadeira. II) Princípio da não-contradição. Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa. III) Princípio do terceiro excluído. Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa CARACTERÍSTICA DE UMA PROPOSIÇÃO I) É uma oração, com sujeito e predicado. II) III) IV) É uma oração declarativa. Não são proposições, as orações, exclamativas, interrogativas e imperativas. Tem uma e somente um dos valores lógicos, ou é verdadeira (V), ou é falsa (F), não ambas Todos gostam de matemática. 2+3=5 Os gansos são brancos. O quadrado tem duas diagonais. Hoje é sábado. Psiu! Que preguiça! Quanto falta para as onze horas? Eu vou só se Desça. Independência ou morte! TESTES RESOLVIDOS 01. (CESPE-BB) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. A frase dentro destas aspas é uma mentira. A expressão X + Y é positiva. O valor de 4 +3=7. Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. O que é isto? RESOLUÇÃO > A frase dentro destas aspas é uma mentira. É uma sentença aberta. Nada podemos afirmar, não conhecemos o conteúdo da frase. Não é uma proposição. > A expressão X + Y é positiva. É uma sentença aberta. Nada podemos afirmar, não conhecemos os valores de X e de Y. Não é uma proposição. > O valor de 4 +3=7. É uma proposição. Pode ser julgada em verdadeira ou falsa. 1

2 > Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. É uma proposição. Pode ser julgada em verdadeira ou falsa. > O que é isto? Numa interrogação não é possível julgar como verdadeira ou falsa. Não é uma proposição. Há somente duas proposições. Resposta: A afirmativa do enunciado está ERRADA 02. (FCC-ICMS-SP) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia. A frase que não possui essa característica comum é a a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. RESOLUÇÃO E COMENTÁRIOS Vamos agora analisar as orações apresentadas no enunciado. I) Que belo dia! É uma sentença que não podemos atribuir qualquer um dos valores lógicos V ou F. II) Um excelente livro de lógica. É uma sentença que não podemos atribuir qualquer um dos valores lógicos V ou F. III) O jogo terminou empatado? É uma sentença que não podemos atribuir qualquer um dos valores lógicos V ou F. IV) Existe vida em outros planetas do universo. É uma sentença que podemos atribuir qualquer um dos valores lógicos V ou F. V) Escreva uma poesia. É uma sentença que não podemos atribuir quaisquer um dos valores lógicos V ou F. Resposta: alternativa D EXERCÍCIOS E TESTES 01. (FCC-ICMS-SP) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia. A frase que não possui essa característica comum é a a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. 02. (CESPE-BB) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. 2

3 A frase dentro destas aspas é uma mentira. A expressão X + Y é positiva. O valor de 4 +3=7. Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. O que é isto? 03. (CESPE-BB) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: (I) O BB foi criado em (II) Faça seu trabalho corretamente. (III) Manuela tem mais de 40 anos de idade. 04. Sobre Lógica Proporcional, é necessário que definamos o que é preposição. Uma preposição é um enunciado verbal, susceptível de ser verdadeiro ou falso. Assim, temos como exemplos de preposições: I. A Terra é azul II. Manaus é a capital do Amazonas III. Graciliano Ramos escreveu "Memórias do Cárcere" IV. Zero é um número par V. Ana é Arquiteta ou filósofa Dos itens acima, podemos afirmar que: a) Todos são proposições. b) Somente I e II, são proposições. c) Somente I, II e III, são proposições. d) Somente I, II, III e IV, são proposições. e) Nenhum dos itens é proposição. 05. (FCC-ICMS-SP) Considere as seguintes frases: I. Ele foi o melhor jogador do mundo em x + y II. é um número inteiro. 5 III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em É verdade que APENAS a)) I e II são sentenças abertas. b) I e III são sentenças abertas. c) II e III são sentenças abertas. d) I é uma sentença aberta. e) II é uma sentença aberta. 06. (CESPE) A sequência de frases a seguir contém exatamente duas proposições. -A sede do TRT/ES localiza-se no município de Cariacica. - Por que existem juízes substitutos? - Ele é um advogado talentoso. De acordo com as informações contidas no texto, julgue os itens a seguir. 07. (CESPE/2008 SGA/AC) A frase Você sabe que horas são? é uma proposição. 08. (CESPE/2008 SGA/AC) A frase Se o mercúrio é mais leve que a água, então o planeta Terra é azul, não é considerada uma proposição composta. 3

4 GABARITO 01 D 02 Errada 03 Correta 04 A 05 A 06 E 07 E 08 E 2. AFIRMAÇÃO E NEGAÇÃO NOS CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS Sejam: x, y R Afirmação Negação vice versa Negação Afirmação 1 x = y x y 2 x > y x y 3 x y x < y 4 x < y x y 5 x y x > y Por exemplo: Da figura a seguir, Temos: p: x < 3 (parte do intervalo I ), será negada por: p: x 3 ( parte do intervalo II ). A afirmação é o complemento da negação e, vice versa. Intervalo I 3 x é um número real Por exemplo: Da figura a seguir, Temos: p: x 3 (parte do intervalo I ), será negada por: p: x > 3 (parte do intervalo II ). A afirmação é o complemento da negação e, vice versa. Intervalo I Intervalo II x < 3 x 3 Intervalo II x 3 x >3 3 x é um número real EXERCÍCIOS E TESTES Negue as proposições abaixo: 01. p: p: 2 é um número primo. 03. p: A lua é um satélite da terra. Negue as proposições, representando-as simbolicamente: 4

5 04. p: Pedro não foi à festa. 05. q: Não é fato que as baleias sejam peixes. 06. r: Não se dá que haja prisioneiros. 07. s: Não é verdade que 2+2=5 Negar as afirmações: 08. x x x < x 3 7 GABARITO 01 ~p: 7 = 3 02 ~p: 2 não é primo. 03 ~p: A lua não é um satélite da terra. 04 ~ p 05 ~ q 06 ~ r 07 ~ s 08 x < 3 09 x = 5 10 x 0 11 x-3 = 7 3. NÚMERO DE LINHA DE UMA TABELA VERDADE O número de linhas de uma tabela verdade é calculado pela potência 2 n, onde a base 2 é uma constante que indica os dois valores lógicos verdadeiro (V) e falso (F) e, o expoente n é igual ao número de proposições simples que estão envolvidas no caso em análise. Segue a seqüência, passo a passo, para a construção de uma tabela verdade organizada. I) Organize as letras que identificam as proposições simples na ordem crescente do alfabeto, p.ex., em p, q, r, s,..., a distribuição ficará assim: na 1ª coluna p, na 2ª coluna q, na 3ª coluna r, na 4ª coluna s, e assim por diante.se a identificação das proposições é feita por p 1, p 2, p 3,...e p n, a distribuição obedecerá à ordem crescente do índice, assim: 1ª coluna para p 1, 2ª coluna para p 2, 3ª coluna para p 3,..., n-ésina coluna para p n. II) Cada coluna será preenchida primeiro por agrupamentos de valores lógicos V e em seguida por agrupamento de valores lógicos F, e assim por diante alternadamente até preenche totalmente a coluna. O número de valores lógicos para cada agrupamento, é obtido pela potência 2 n-c, onde n é o número de proposições simples usadas e c é igual ao número que expressa a ordem da coluna. Veja exemplos nos itens que seguem. A distribuição dos valores lógicos verdadeiro (V) e falso (F), nas linhas de uma tabela verdade, obedece certa ordem que facilita a montagem, fica organizada e possibilita boa comunicação. 5

6 2.1. SE FOR UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES p I) Cálculo do número de linhas. p é uma proposição simples, logo, n = 1, substituindo em 2 n, a tabela terá 2 1 = 2 linhas. II) Cálculo do agrupamento para a primeira coluna. Coluna um, c = 1, substituindo em 2 n-c, teremos nesta coluna, = 2 0 = 1 valor lógico por agrupamento [V] e [F], distribuídos na coluna um, alternadamente. p V F 2.2. SE FOR DUAS PROPOSIÇÕES SIMPLES p e q I) Cálculo do número de linhas. p e q são duas proposições simples, logo, n = 2. Substituindo em 2 n, a tabela terá 2 2 = 4 linhas. II) Cálculo do agrupamento para a primeira coluna. Coluna um, c = 1, substituindo em 2 n-c, teremos nesta coluna, = 2 1 =2 valores lógicos de mesma natureza por agrupamento [VV] e [FF], distribuídos na coluna um, alternadamente. III) Cálculo do agrupamento para a segunda coluna. Coluna dois, c = 2, substituindo em 2 n-c, teremos nesta coluna, = 2 0 =1 valor lógico em cada agrupamento [V] e [F], distribuídos alternadamente na coluna dois. p V V F F q V F V F 2.3. SE FOR TRÊS PROPOSIÇÕES SIMPLES p, q e r I) Cálculo do número de linhas. p, q e r são três proposições simples, logo, n=3. Substituindo em 2 n, a tabela terá 2 3 = 8 linhas. II) Cálculo do agrupamento para a primeira coluna. Coluna um, c=1, substituindo em 2 n-c, teremos nesta coluna, = 2 2 =4 valores lógicos de mesma natureza por agrupamento [VVVV] e [FFFF], distribuídos alternadamente na coluna um. III) Cálculo do agrupamento para a segunda coluna. Coluna um, c=2, substituindo em 2 n-c, teremos nesta coluna, = 2 1 = 2 valores lógicos de mesma natureza por agrupamento [VV] e [FF], distribuídos alternadamente na coluna dois. IV) Cálculo do agrupamento para a terceira coluna. Coluna dois, c = 3, substituindo em 2 n-c, teremos nesta coluna, = 2 0 = 1, valor lógico em cada agrupamento [V] e [F] são distribuídos alternadamente na coluna três. p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F 6

7 A tabela que segue mostra o cálculo para determinação do número de linhas, com até 4 proposições simples: Proposições. Número n de proposições simples. Número de linhas de linhas da tabela, 2 n. n 01. P 1 2¹ = p, q 2 2² = p, q, r 3 2³ = p, q, r, s =16 2 n 3. NEGAÇÃO ( ) ou ( ) Toda a proposição declarativa pode ser negada. O símbolo de negação é ou SIMBOLICAMENTE A negação de p é representada por p; ( lê-se: não p) TABELA p V F p F V 3.3. E MAIS Se p é uma proposição declarativa, então, podemos ter: I) p é verdadeira (V), somente se, p é falsa (F). II) p é falsa (F), somente se, p é verdadeira (V). III) Dupla negação: p = p. (lê-se: não, não p) 3.4. RESUMINDO A proposição p tem sempre o valor lógico oposto de p OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,... para indicar as proposições (fórmulas atômicas). Por exemplo: p: Bueno Aires é a capital do Brasil., será negada por: Bueno Aires NÃO é a capital do Brasil.: p N.B.: Se p é uma proposição verdadeira, p será uma proposição falsa, e vice-versa. SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ], parênteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de prioridades para os operadores lógicos. Por exemplo: p: Bueno Aires NÃO é a capital do Brasil, a negação, será negada por: NÃO é verdade que, Bueno Aires NÃO é a capital do Brasil: ( p). Temos que, ( p) = p, logo, dizer que, NÃO é verdade que, Bueno Aires NÃO é a capital do Brasil.: ( p), é o mesmo que dizer: p: Bueno Aires é a capital do Brasil VARIAÇÕES NO ESTILO DE LINGUAGEM NEGAÇÃO DE p Algumas expressões usuais na linguagem corrente p ou p Não p Não se dá que p Não é fato que p Não é verdade que p Não se tem p 7

8 4. CONJUNÇÃO p Λ q Duas proposições quaisquer p e q, podem ser combinadas pelo conectivo e formando uma proposição composta. A esta operação chamaremos de conjunção SIMBOLICAMENTE A conjunção de p e q é representada por: p Λ q ou p q; (lê-se: p e q) TABELA 4.3. RESUMINDO p q p Λ q V V V V F F F V F F F F A conjunção p Λ q é verdadeiro se p e q são ambas verdadeiras 4.4.OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,... para indicar as proposições (fórmulas atômicas). SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ], parênteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de prioridades para os operadores lógicos. Exemplos: 2 é um número primo: p Bueno Aires é a capital do Brasil: q 2 é um número primo e Bueno Aires é a capital do Brasil. : p q ( p e q são chamados conjuntivos) 4.4. VARIAÇÕES NO ESTILO DE LINGUAGEM CONJUNÇÃO entre p e q Algumas expressões usuais na linguagem corrente p q ou p q p e q p mas q p assim como q p e também q 5. DISJUNÇÃO p ν q (INCLUSIVA OU NÃO EXCLUSIVA) ou simplesmente DISJUNÇÃO Duas proposições quaisquer p e q, podem ser combinadas pelo conectivo ou com o sentido de e/ou, formando uma proposição composta. A esta operação chamaremos de disjunção SIMBOLICAMENTE A disjunção é representada por p ν q (lê-se: p ou q) TABELA 5.3. RESUMINDO p q p ν q V V V V F V F V V F F F 8 A disjunção é verdadeira se pelo menos uma das proposições p ou q for verdadeira.

9 5.4.OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,... para indicar as proposições (fórmulas atômicas). SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ], parênteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de prioridades para os operadores lógicos. Exemplos: 2 é um número primo: p Bueno Aires é a capital do Brasil: q 2 é um número primo ou Bueno Aires é a capital do Brasil: p q ( p e q são chamados disjuntos) 5.5. VARIAÇÕES NO ESTILO DE LINGUAGEM 6. DISJUNÇÃO EXCLUSIVA p ν q DISJUNÇÃO INCLUSIVA entre p e q Algumas expressões usuais na linguagem corrente p q p ou q Duas proposições quaisquer p e q, podem ser combinadas pelo conectivo ou com o sentido de ou, mas não ambos, formando uma proposição composta. A esta operação chamaremos de disjunção exclusiva SIMBOLICAMENTE A disjunção exclusiva é representada por p ν q (lê-se: ou p ou q, mas não ambos). 6.2.E MAIS p ν q é uma disjunção excludente. Pode ser representada pela conjunção e disjunção inclusiva, assim: (p ν q) (p q) TABELA p q p ν q V V F V F V F V V F F F 6.4. RESUMINDO A disjunção exclusiva é verdadeira se, somente se, uma das proposições p ou q for verdadeira, mas não ambas OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,... para indicar as proposições (fórmulas atômicas). SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ], parênteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de prioridades para os operadores lógicos. Exemplos: 2 é um número primo: p Bueno Aires é a capital do Brasil: q Ou 2 é um número primo, ou Bueno Aires é a capital do Brasil: p q ( p e q são chamados disjuntivos) 9

10 6.6. VARIAÇÕES NO ESTILO DE LINGUAGEM DISJUNÇÃO EXCLUSIVA entre p e q Algumas expressões usuais na linguagem corrente p ou q, exclusivo p q p ou q, mas não ambos ou p ou q TESTE RESOLVIDO 12. (CESPE-BB) A proposição funcional Existem números que são divisíveis por 2 e por 3 é verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}. RESOLUÇÃO Existem números que são divisíveis por 2 e por 3 p q p q e V V V V F F F V F F F F No conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}, não há valor algum que seja divisível por 2 e 3, logo pelo seu mmc(2, 3) = 6. Resposta: A afirmativa do enunciado está ERRADA EXERCÍCIOS E TESTES 01. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( p q ) ( p q ). 12. Construa a tabela-verdade para a proposição: p ( p q ). 03. Construa a tabela-verdade para a proposição: p (p q). 10

11 04. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( p q ) ( p q ) 05.Construa a tabela-verdade para a proposição: ( p q ) ( p q ) 06. Construa a tabela-verdade para a proposição: q q. 07. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( p q ) 08. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( p r ) ( q r ). 09. Classificar em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposições compostas: a) 3 > 1 e 4 > 2 b) 3 > 1 ou 3 = (CESPE-BB) A proposição funcional Existem números que são divisíveis por 2 e por 3 é verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}. 11

12 11. (UFRJ-ANA) Considere a tabela-verdade abaixo, onde as colunas representam os valores lógicos para as fórmulas A, B e A B, sendo que o símbolo denota o conector ou, V denota verdadeira e F denota falsa. A B A B V V V F F V F F Os valores lógicos que completam a última coluna da tabela, de cima para baixo, são: a) V, F, V, V; b) V, F, F, V; c) F, V, F, V; d) V, V, V, F; e) F, F, V, V. Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, como, por exemplo, P, Q, R etc. Se a conexão de duas proposições é feita pela preposição e, simbolizada usualmente por, então obtém-se a forma P Q, lida como P e Q e avaliada como V se P e Q forem V, caso contrário, é F. Se a conexão for feita pela preposição ou, simbolizada usualmente por, então obtém-se a forma P Q, lida como P ou Q e avaliada como F se P e Q forem F, caso contrário, é V. A negação de uma proposição é simbolizada por P, e avaliada como V, se P for F, e como F, se P for V. Um argumento é uma seqüência de proposições P 1, P 2,..., P n, chamadas premissas, e uma proposição Q, chamada conclusão. Um argumento é válido, se Q é V sempre que P 1, P 2,..., P n forem V, caso contrário, não é argumento válido. A partir desses conceitos, julgue os próximos itens. 12. (CESPE-BB) A proposição simbólica (P Q) R possui, no máximo, 4 avaliações V. 13. (CESPE) Considere que A seja a proposição As palavras têm vida e B seja a proposição Vestem-se de significados, e que sejam consideradas verdadeiras. Nesse caso, a proposição A ( B) é F. Uma proposição é uma declaração que pode ser afirmativa ou negativa. Uma proposição pode ser julgada verdadeira ou falsa. Quando ela é verdadeira, atribui-se o valor lógico V e, quando é falsa, atribui-se o valor lógico F. Uma proposição simples é uma proposição única, como, por exemplo, Paulo é engenheiro. As proposições simples são representadas por letras maiúsculas A, B, C etc. Ligando duas ou mais proposições simples entre si por conectivos operacionais, podem-se formar proposições compostas. Entre os conectivos operacionais, podem-se citar: e, representado por v; ou, representado por w; se,..., então, representado por ; e não, representado por. A partir dos valores lógicos de duas (ou mais) proposições simples A e B, pode-se construir a tabela-verdade de proposições compostas. Duas proposições são equivalentes quando possuem a mesma tabela-verdade. A seguir, são apresentadas as tabelas-verdade de algumas proposições. Com base nessas informações, julgue os itens. 14. (CESPE) O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta (A B) v C é igual a 6. Toda afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa é denominada proposição. 12

13 Considere que A e B representem proposições básicas e que as expressões AVB e A sejam proposições compostas. A proposição AVB é F quando A e B são F, caso contrário, é V, e A é F quando A é V, e é V quando A é F. De acordo com essas definições, julgue os itens a seguir. 15. (CESPE) Se a proposição A for F e a proposição ( A) v B for V, então, obrigatoriamente, a proposição B é V. 16. (CESPE) Independentemente da valoração V ou F atribuída às proposições A e B, é correto concluir que a proposição (A v B) v (A v B) é sempre V. Uma proposição simples é representada, freqüentemente, por letras maiúsculas do alfabeto. Se A e B são proposições simples, então a expressão A V B representa uma proposição composta, lida como A ou B, e que tem valor lógico F quando A e B são ambos F e, nos demais casos, é V. A expressão A representa uma proposição composta, lida como não A, e tem valor lógico V quando A é F, e tem valor lógico F quando A é V. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens seguintes. 17. (CESPE) Considere que a proposição composta Alice não mora aqui ou o pecado mora ao lado e a proposição simples Alice mora aqui sejam ambas verdadeiras. Nesse caso, a proposição simples O pecado mora ao lado é verdadeira. 18. (CESPE) Uma proposição da forma ( A) v (B v C) tem, no máximo, 6 possíveis valores lógicos V ou F. 19. (CESPE) Considere que uma proposição Q seja composta apenas das proposições simples A e B e cujos valores lógicos V ocorram somente nos casos apresentados na tabela abaixo. Nessa situação, uma forma simbólica correta para Q é [A ( B)] v [( A) ( B)]. GABARITO 01 FFFF 02 VFVV 03 VVFF 04 VVVV 05 VVFV 06 FF 07 FVVV 08 VFFFVFFF 09 a) V b) V 10 E 11 D 12 E 13 C 14 E 15 E 16 C 17 C 18 E 19 C 13

14 7. CONDICIONAL p q OU p q Duas proposições quaisquer p e q, podem ser combinadas pelo operador se..., então... formando uma proposição composta. A esta operação chamaremos de condicional SIMBOLICAMENTE O condicional entre p e q é representada por: p q ou p q, (lê-se: se p, então q) TABELA 7.3. RESUMINDO p q p q V V V V F F F V V F F V O condicional p q é falso sempre que ocorre V F nesta ordem; ou seja valor p = V e depois valor q = F. 7.4.OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,... para indicar as proposições (fórmulas atômicas). SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ], parênteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de prioridades para os operadores lógicos. Exemplos: 2 é um número primo: p Bueno Aires é a capital do Brasil: q 2 é um número primo, então Bueno Aires é a capital do Brasil. : p q ( p é o antecedente e q o conseqüente) 7.5. VARIAÇÕES NO ESTILO DE LINGUAGEM IMPLICAÇÃO entre p e q Algumas expressões usuais na linguagem corrente se p, então q p implica q p só se q p q p somente se q p é condição suficiente para q q é condição necessária para p uma condição necessária para p é q uma condição suficiente para q é p ATENÇÃO PARA AS CONDICIONAIS CONDICIONAL Se..., então... ou ou Do dicionário: Suficiente que satisfaz; que é bastante. Do dicionário: Necessário indispensável; inevitável; que é de absoluta necessidade. EMPREGO CORRETO DO NECESSÁRIO E SUFICIENTE 14

15 [ EXEMPLO 01. Considerando a correspondência. p: faz frio q: chove Todas as formas abaixo estão corretas Se p: faz frio, então q: chove Uma condição necessária para que p:faça frio é que q:chova. Uma condição suficiente para que q:chova é que p:faça frio. p:fazer frio é condição suficiente para que q:chova. q:chover é condição necessária para que p:faça frio. 8. BICONDICIONAL p q Duas proposições quaisquer p e q, podem ser combinados pela bi-implicação ou implicação recíproca... se e somente se... formando uma proposição composta. A esta operação chamaremos de BICONDICIONAL SIMBOLICAMENTE A bicondicional entre p e q e representado por p q (lê-se: p se e somente se q). 8.2 TABELA p q p q V V V V F F F V F F F V 8.3. RESUMINDO A bicondicional p q é verdadeiro sempre que; valor p = valor q = V ou valor p = valor q = F 8.4.OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,... para indicar as proposições (fórmulas atômicas). 15

16 SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ], parênteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de prioridades para os operadores lógicos. Exemplos: 2 é um número primo: p Bueno Aires é a capital do Brasil: q 2 é um número primo se e somente se a neve é branca. : p q 8.5. VARIAÇÕES NO ESTILO DE LINGUAGEM BICONDICIONAL entre p e q Algumas expressões usuais na linguagem corrente p q p se e somente se q p se e só se q p é equivalente a q p é condição necessária e suficiente para q p é condição suficiente para q e q é condição necessária para p TESTES RESOLVIDOS As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não ambas, são chamadas proposições. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A B, lida, entre outras formas, como se A então B, é uma proposição que tem valoração F quando A é V e B é F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma A, lida como não A, é uma proposição que tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V. A expressão da forma A B, lida como A e B, é uma proposição que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem valoração F. Uma expressão da forma AVB, lida como A ou B, é uma proposição que tem valoração F apenas quando A e B são F; nos demais casos, é V. Com base nessas definições, julgue os itens que se seguem. 01. (CESPE) Uma expressão da forma (A B ) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F da proposição A B. RESOLUÇÃO I) Formação da tabela verdade p q (A B ) A B. L1 V V V V L2 V F F F L3 F V V V L4 F F V V Observe linha a linha que ambas tem os mesmos valores lógicos. II) Afirmativa da CESPE >... (A B ) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F da proposição A B. Afirmativa Correta 02. (CESPE) A proposição simbolizada por (A B ) (B A ) possui uma única valoração F. RESOLUÇÃO I) Formação da tabela verdade p q (A B ) (B A ) L1 V V V 16

17 L2 V F V L3 F V F L4 F F V Existe somente uma avaliação falsa F na linha L3. II) Afirmativa da CESPE >...possui uma única valoração F. Afirmativa Correta 03. (CESPE) Considere que a proposição Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu seja verdadeira. Então pode-se garantir que a proposição Sílvia ama Tadeu é verdadeira. RESOLUÇÃO I) Legenda p: Sílvia ama Joaquim q: Sílvia ama Tadeu II) Formação da tabela verdade p q p v q L1 V V V L2 V F V L3 F V F L4 F F V Do enunciado Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu seja verdadeira A proposição p v q é verdadeira nas linhas L1, L2 e L4. Na linha L2 p = V e q = F, contrariando a afirmativa III) Afirmativa da CESPE >...pode-se garantir que a proposição Sílvia ama Tadeu é verdadeira Afirmativa Errada 04. (FCC-ICMS-SP) Considere a proposição Paula estuda, mas não passa no concurso. Nessa proposição, o conectivo lógico é a) disjunção inclusiva. b)conjunção. c) disjunção exclusiva. d) condicional. e) bicondicional. RESOLUÇÃO O conectivo usado é da conjunção. Resposta: Alternativa B. 05. Traduza para a linguagem natural as fórmulas abaixo, utilizando o seguinte legenda: P: o livro é interessante. Q: O livro é caro. R : O livro é de lógica. Paula estuda, mas não passa no concurso. Paula estuda, e não passa no concurso. Paula estuda, não passa no concurso. 17

18 a) ~P b) P Q c) P ~Q d) ~P Q e) ~(P Q) Respostas: Tradução a) ~P = o livro não é interessante. b) P ^ Q = o livro é interessante e caro. c) P ^ ~Q = o livro é interessante e não é caro d) ~P ^ Q = o livro não é interessante e é caro e) ~( P ^ Q ) = o livro não é interessante nem caro RESUMO DE TODAS AS TABELAS Resumo de todas as tabelas com duas proposições simples. EXERCÍCIOS E TESTES 01. Construa a tabela-verdade para a proposição: q p. 02. Construa a tabela-verdade para a proposição: p q. 03. Construa a tabela-verdade para a proposição: p q. 18

19 04. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( p q ) ( p q ). 05. Construa a tabela-verdade para a proposição: [ p (q r) ] ( p r ). 06. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( p q ) ( p q ). [ 07. Construa a tabela-verdade para a proposição: [ p (p q) ] p 08. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( p q ) ( p q ) 19

20 09. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( p q ) ( p q ) 10. Construa a tabela-verdade para a proposição: p [ p ( q q )] 11. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( p q ) ( p q ) 12. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( p q ) [ ( p r ) ( q r ) ] 13. Considerando a correspondência. p: faz frio q: chove Traduzir da linguagem simbólica para a linguagem corrente. a) q p b) p q c) p q d) p q e) p q 14. Considerando a correspondência. p: faz frio q: chove Traduzir da linguagem corrente para a linguagem simbólica. a) Se chove, então faz frio. 20

21 15. Simbolize: a) Se Pedro é bom aluno, então ele será aprovado e conseguirá um bom emprego. b) Pedro é bom aluno se, e somente se for aprovado. c) Ela esta com febre ou com calor d) Flávio irá somente se Ana for. 16. Classificar em verdadeira ou falsa cada uma das proposições abaixo. a) 2 1 = = 3. 4 b) 2 2 = 4 ( - 2) 2 = 4 c) = = É dado o esquema abreviado seguinte: P - ganho um carro Q - ganho uma moto R - posso dirigir S - estou saudável T - sou reprovado no exame Pede-se traduzir as sentenças seguintes: a) P Q b) R Q c) S R 18. Para os próximos exercícios, considerar o esquema: J o homem é justo T o homem é temperado (moderado) B o homem é bom. M o homem é mau. V o homem é viciado (corrupto) D o homem é doentio (mentalmente) Pode-se traduzir: a) B D b) J T 19. Determinar o valor-verdade de cada qual dos seguintes compostos: a) = 5 e = 10 b) O dobro de 3 é 6 ou o triplo de 4 é 10. c) Se = 4, então = 9. d) Se = 6, então = 10 e) = 6 e o triplo de 5 é 15, f) é igual a 12 ou é diferente de (FCC-ICMS-SP) Considere a proposição Paula estuda, mas não passa no concurso. Nessa proposição, o conectivo lógico é a) disjunção inclusiva. b) conjunção. c) disjunção exclusiva. d) condicional. e) bicondicional. 21. (FCC-ICMS-SP) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições. 21

22 A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é a) q p b) q p c) (p q) d) p q e) (p q) O enunciado a seguir servirá para responder as próximas duas questões As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não ambas, são chamadas proposições. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A B, lida, entre outras formas, como se A então B, é uma proposição que tem valoração F quando A é V e B é F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma A, lida como não A, é uma proposição que tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V. A expressão da forma A B, lida como A e B, é uma proposição que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem valoração F. Uma expressão da forma AVB, lida como A ou B, é uma proposição que tem valoração F apenas quando A e B são F; nos demais casos, é V. Com base nessas definições, julgue os itens que se seguem. 22. (CESPE) Uma expressão da forma (A B ) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F da proposição A B. 23. (CESPE) A proposição simbolizada por (A B ) (B A ) possui uma única valoração F. Julgue os próximos itens. 24. (UnB-CESPE) Considere as seguintes proposições. 1. (7 + 3 = 10) (5 12 = 7) 2. A palavra crime é dissílaba. 3. Se lâmpada é uma palavra trissílaba, então lâmpada tem acentuação gráfica. 4. (8 4 = 4) ( = 13) 5. Se x = 4 então x + 3 < 6. Entre essas proposições, há exatamente duas com interpretação F. 25. (UnB-CESPE) Todas as interpretações possíveis para a proposição P (P Q) são V. 26. (ESAF-2009) Assinale a opção verdadeira. a) 3 = 4 ou = 9 b) Se 3 = 3, então = 9 c) 3 = 4 e = 9 d) Se 3 = 4, então = 9 e) 3 = 3 se e somente se = (CESPE) A proposição Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam, então o país fica protegido de ataques especulativos pode também ser corretamente expressa por O país ficar protegido de ataques especulativos é condição necessária para que as reservas internacionais aumentem. 28. (CESPE) Toda proposição simbolizada na forma A B tem os mesmos valores lógicos que a proposição B A. 29. (CESPE) Atribuindo-se todos os possíveis valores lógicos V ou F às proposições A e B, a proposição [( A) B] A terá três valores lógicos F. Uma proposição é uma declaração que pode ser afirmativa ou negativa. Uma proposição pode ser julgada verdadeira ou falsa. Quando ela é verdadeira, atribui-se o valor lógico V e, quando é falsa, atribui-se o valor lógico F. Uma proposição simples é uma proposição única, como, por exemplo, Paulo é engenheiro. As proposições simples são representadas por letras maiúsculas A, B, C etc. 22

23 Ligando duas ou mais proposições simples entre si por conectivos operacionais, podem-se formar proposições compostas. Entre os conectivos operacionais, podem-se citar: e, representado por v; ou, representado por w; se,..., então, representado por ; e não, representado por. A partir dos valores lógicos de duas (ou mais) proposições simples A e B, pode-se construir a tabela-verdade de proposições compostas. Duas proposições são equivalentes quando possuem a mesma tabelaverdade. A seguir, são apresentadas as tabelas-verdade de algumas proposições. Com base nessas informações, julgue os itens. 30. (CESPE) Considere as seguintes proposições. A: Maria não é mineira. B: Paulo é engenheiro. Nesse caso, a proposição Maria não é mineira ou Paulo é engenheiro, que é representada por A v B, é equivalente à proposição Se Maria é mineira, então Paulo é engenheiro, simbolicamente representada por ( A) B. GABARITO 01 VVVF 02 VVFV 03 FVVF 04 FFFF 05 VVVVVVVV 06 VFVV 07 VVVV 08 VVVV 09 VVVV 10 FFVV 11 FFFF 12 VFVVVVFV 13 a) Se chove, então faz frio. b) Se faz frio, então não chove. c) Faz frio se e somente se chove. d) Faz frio ou chove. e) Faz frio e chove. 14 a) q p 15 a) B ( A E ) b) B A c) F C d) F A 16 a) V b) V 17 a) Ganho um carro ou uma moto. b) Se posso dirigir, ganho a moto. c) Se estou saudável, posso dirigir. 18 a) Se o homem não é bom, é doentio. b) O homem é justo ou temperado. 19 a) F b) V c) F d) V e) V f) V 20 B 21 C 22 C 23 C 24 E 25 C 26 D 27 C 28 E 29 C 30 C 23

24 9. NEGAÇÕES SUAS RESPECTIVAS EQUIVALÊNCIAS 9.1. NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO CONJUNTIVA ( p q ) 9.2. NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO DISJUNTIVA ( p q ) 9.3. NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO CONDICIONAL ( p q ) 9.4. NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO BICONDICIONAL ( p q ) TESTE RESOLVIDO 01. (UFPR-TCE) A negação da sentença se você estudou lógica então você acertará esta questão é: a) se você não acertar esta questão então você não estudou lógica. b) você não estudou lógica e acertará esta questão. c) se você estudou lógica então não acertará esta questão. d) você estudou lógica e não acertará esta questão. e) você não estudou lógica e não acertará esta questão. RESOLUÇÃO I) Simbolizar a proposição dada. Se você estudou lógica então você acertará esta questão p q II) Pode-se verificar pela tabela verdade. A alternativa que tenha a tabela verdade de valores lógicos contrários a da proposição do enunciado é a correta. 24

25 p q (p q) (p q) III) Pode-se também, usando a propriedade para a negação de (p q) que segue. (p q) p q você estudou lógica e não acertará esta questão Resposta: Alternativa D EXERCÍCIOS E TESTES 01. Simplificar as proposições. a) ( p q ) b) ( p q ) c) ( p q ) d) ( p q ) e) ( p q ) f) ( p q ) 02. (UFPR-TCE) A negação da sentença se você estudou lógica, então você acertará esta questão é: a) se você não acertar esta questão, então você não estudou lógica. b) você não estudou lógica e acertará esta questão. c) se você estudou lógica, então não acertará esta questão. d) você estudou lógica e não acertará esta questão. e) você não estudou lógica e não acertará esta questão. 03. (ESAF-AFC) Dizer que não é verdade que, Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. 04. (ESAF -FISCAL TRABALHO) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva 05. (EPPG) Considere a sentença "Se a dívida interna for contida, então não haverá inflação". A negação dessa sentença configura-se como: a) É impossível a dívida interna estar contida e haver inflação. b) É possível a dívida interna estar contida e haver inflação. c) É possível a dívida interna não estar contida e haver inflação. d) É possível a dívida interna não estar contida e não haver inflação. e) É impossível a dívida interna não estar contida e não haver inflação. 25

26 06. (MED-ABC) A negação de O gato mia e o rato chia é: a) O gato não mia e o rato não chia. b) O gato mia ou o rato chia c) O gato não mia ou o rato não chia. d) O gato e o rato não chiam nem miam. e) O gato chia e o rato mia. 07. (UF-BA) A negação de Hoje é segunda-feira e amanhã não choverá é: a) Hoje é segunda-feira e amanhã choverá. b) Hoje não é segunda-feira ou amanhã choverá. c) Hoje não é segunda-feira, então, amanhã choverá. d) Hoje não é segunda-feira nem amanhã choverá. e) Hoje é segunda-feira ou amanhã não choverá. 08. (FISCAL DO TRABALHO-ESAF) A negação da afirmação condicional Se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva é: a) Se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva. b) Não está chovendo e eu levo o guarda-chuva. c) Não está chovendo, e eu não levo o guarda-chuva. d) Se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva. e) Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva. 09. A negação da sentença Ana não voltou e foi ao cinema é: a) Ana voltou ou não foi ao cinema. b) Ana voltou e não foi ao cinema. c) Ana não voltou ou não foi ao cinema. d) Ana não voltou e não foi ao cinema. e) Ana não voltou e foi ao cinema. 10. Sejam as proposições, p: Marta é inteligente e q: Raquel não joga tênis. Então, ~( ~p v q ) em linguagem corrente, é: a) Marta é inteligente ou Raquel não joga tênis. b) Marta é inteligente e Raquel joga tênis. c) Marta não é inteligente e Raquel não joga tênis. d) Marta não é inteligente ou Raquel joga tênis. e) Marta é inteligente ou Raquel joga tênis. Circuitos lógicos são estruturas que podem ser exibidas por meio de diagramas constituídos de componentes denominados portas lógicas. Um circuito lógico recebe um ou mais de um valor lógico na entrada e produz exatamente um valor lógico na saída. Esses valores lógicos são representados por 0 ou 1. As portas lógicas OU e N (não) são definidas pelos diagramas abaixo. Nesses diagramas, A e B representam os valores lógicos de entrada e S, o valor lógico da saída. Em OU, o valor de S é 0 quando A e B são ambos 0, caso contrário, é 1. Em N, o valor de S é 0 quando A for 1, e é 1 quando A for 0. Considere o seguinte diagrama de circuito lógico. 26

27 Com base nas definições apresentadas e no circuito ilustrado acima, julgue os itens subseqüentes. 11. (UnB-CESPE) Considere-se que A tenha valor lógico 1 e B tenha valor lógico 0. Nesse caso, o valor lógico de S será (UnB-CESPE) A saída no ponto Q terá valor lógico 1 quando A tiver valor lógico 0 e B tiver valor lógico A negação da sentença: Magi saiu sem avisar e foi ao cinema é: a) Magi saiu sem avisar e não foi ao cinema. b) Magi não saiu sem avisar e não foi ao cinema. c) Magi não saiu sem avisar ou não foi ao cinema. d) Magi não saiu sem avisar e foi ao cinema. e) Magi saiu sem avisar ou não foi ao cinema. 14. (ESAF-2009) A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra é: a) Milão não é a capital da Itália. b) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra. d) Paris não é a capital da Inglaterra. e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. 15. (CESPE) A negação da proposição A B possui os mesmos valores lógicos que a proposição A (~B) A. Uma proposição é uma declaração que pode ser afirmativa ou negativa. Uma proposição pode ser julgada verdadeira ou falsa. Quando ela é verdadeira, atribui-se o valor lógico V e, quando é falsa, atribui-se o valor lógico F. Uma proposição simples é uma proposição única, como, por exemplo, Paulo é engenheiro. As proposições simples são representadas por letras maiúsculas A, B, C etc. Ligando duas ou mais proposições simples entre si por conectivos operacionais, podem-se formar proposições compostas. Entre os conectivos operacionais, podem-se citar: e, representado por v; ou, representado por w; se,..., então, representado por ; e não, representado por. A partir dos valores lógicos de duas (ou mais) proposições simples A e B, pode-se construir a tabela-verdade de proposições compostas. Duas proposições são equivalentes quando possuem a mesma tabela-verdade. A seguir, são apresentadas as tabelas-verdade de algumas proposições. Com base nessas informações, julgue os itens. 16. (CESPE) Considere as seguintes proposições. A: Está frio. B: Eu levo agasalho. Nesse caso, a negação da proposição composta Se está frio, então eu levo agasalho A B pode ser corretamente dada pela proposição Está frio e eu não levo agasalho A ( B). 27

28 GABARITO 01 a) p q b) p q c) p q d) p ~q e) (p q)v(q p) f) p q 02 D 03 A 04 E 05 B 06 C 07 B 08 E 09 A 10 B 11 E 12 C 13 C 14 B 15 C 16 C 10. TAUTOLOGIA Considere uma proposição composta que na tabela-verdade tem valores lógicos verdadeiros (V), em todas as linhas da coluna resposta C3. A este comportamento da proposição denominamos de tautologia TABELA C1 C2 C3 Comentário p p p ν p A coluna C3 é formada por valores V F V lógicos verdadeiros (V), logo é uma F V V Tautologia. 11. CONTRADIÇÃO ou CONTRA-TAUTOLOGIA Considere uma proposição composta que na tabela-verdade tem valores lógicos falsos (F), em todas as linhas da coluna resposta C3. A este comportamento da proposição denominamos de Contradição TABELA C1 C2 C3 Comentário p p p p A coluna C3 é formada por valores V F F lógicos falsos ( F), logo é uma F V F Contradição. 12. CONTINGÊNCIA Considere uma proposição composta que na tabela-verdade tem valores lógicos verdadeiros (V) e falsos (F) na coluna resposta C3. A este comportamento da proposição denominamos de Contingência TABELA 28 C1 C2 C3 Comentário p p p p A coluna C3 é formada por valores lógicos V F F verdadeiros (V) e falsos (F), logo é uma F V V Contingência. TESTES RESOLVIDOS 01. (FCC-ICMS-SP) Considere as afirmações abaixo.

29 I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par. II. A proposição (10 < 10) (8 3 = 6 ) é falsa. III. Se p e q são proposições, então a proposição (p q) ( q) é uma tautologia. É verdade o que se afirma APENAS em a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) I e III. RESOLUÇÃO I) CORRETA Análise do item I Para quaisquer valores naturais positivos de n, obteremos sempre um número par de linhas, veja a simulação na tabela que segue. Proposições. Número n de proposições simples. Número de linhas de linhas da tabela,2 n. 01. p 1 2¹ = p, q 2 2² = p, q, r 3 2³ = p, q, r, s =16 II) INCORRETA Análise do item II. Atribuindo o valor V para verdadeira ou F para falso, nas expressões aritméticas, e considerando o operador lógico que envolve as expressões, podemos, fazendo o uso da tabela de valores lógicos da bicondicional, verificar se a proposição é verdadeira ou falsa. Veja: (10 < 10) (8-3 = 6) Falsa Falsa = Verdadeira No enunciado item II, é julgado como proposição falsa, logo, é incorreta. III) CORRETA Analise do item III. Construindo a tabela verdade para a proposição dada, será tautologia se a coluna resposta tiver todos os valores lógicos verdadeiros V. Vamos ver: Col 1 Col 2 Col 3 Col 4 Col 5 L 1 p q p q q L 2 V V V V F L 3 V F F V V L 4 F V V V F L 5 F F V V V De fato, todos os valores lógicos da coluna 4 são verdadeiros, caracterizando uma TAUTOLOGIA. Resposta: Apenas I e III são verdadeiras. Alternativa E. EXERCÍCIOS E TESTES 29

30 01. Verifique se a proposição ( p q ) ( p q ) é uma contradição. 02. Verifique se a proposição [ p ( q r) ] ( p r ) é uma tautologia. 03. Demonstrar que a preposição ( p q ) ( p q ) é uma contingência. 04. Verificar se a proposição a seguir é uma tautologia, é ou uma contradição ou uma contingência. [ p (p q) ] p 05. Verificar se a proposição a seguir é ou uma tautologia, ou uma contradição, ou uma contingência. ( p q ) ( p q ) 06. Verificar se a proposição a seguir é uma tautologia, contradição ou uma contingência. ( p q ) ( p q ) 30

31 07. Verificar se a proposição a seguir é uma tautologia, contradição ou uma contingência. p [ p ( q q )] 08. Verificar se a proposição a seguir é uma tautologia, contradição ou uma contingência. ( p q ) ( p q ) 09. Verificar se a proposição a seguir é uma tautologia, contradição ou uma contingência. ( p q ) [ ( p r ) ( q r ) ] 10. Verificar se a proposição a seguir é uma tautologia, contradição ou uma contingência. ( p q ) ( q r ) 31

32 11. Verificar se a proposição a seguir é uma tautologia, contradição ou uma contingência. [ ( p q ) ( q r ) ] ( p r ) 12. Verificar se a proposição a seguir é uma tautologia, contradição ou uma contingência. { ( p q ) [ ( p q ) r ) } 13. (FCC-ICMS-SP) Considere as afirmações abaixo. I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par. II. A proposição (10 < 10) (8 3 = 6 ) é falsa. III. Se p e q são proposições, então a proposição (p q) ( q) é uma tautologia. É verdade o que se afirma APENAS em a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) I e III. 14. (FCC-TRT-9R) Considere a seguinte proposição: "na eleição para a prefeitura, o candidato A será eleito ou não será eleito. Do ponto de vista lógico, a afirmação da proposição caracteriza: a) um negação. b) uma tautologia. c) uma equivalência. d) uma contingência. e) uma contradição. 15. (ESAF-FISCAL TRABALHO) Um exemplo de tautologia é: a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo 32

33 16. (CESPE-DPF-DGP) Denomina-se contradição uma proposição que é sempre falsa. Uma forma de argumentação lógica considerada válida é embasada na regra da contradição, ou seja, no caso de uma proposição R verdadeira (ou R verdadeira), caso se obtenha uma contradição, então conclui-se que R é verdadeira (ou R é verdadeira). Considerando essas informações e o texto de referência, e sabendo que duas proposições são equivalentes quando possuem as mesmas valorações, julgue o item que segue. De acordo com a regra da contradição, P Q é verdadeira quando ao supor P Q verdadeira, obtém-se uma contradição. Uma proposição é uma declaração que pode ser afirmativa ou negativa. Uma proposição pode ser julgada verdadeira ou falsa. Quando ela é verdadeira, atribui-se o valor lógico V e, quando é falsa, atribui-se o valor lógico F. Uma proposição simples é uma proposição única, como, por exemplo, Paulo é engenheiro. As proposições simples são representadas por letras maiúsculas A, B, C etc. Ligando duas ou mais proposições simples entre si por conectivos operacionais, podem-se formar proposições compostas. Entre os conectivos operacionais, podem-se citar: e, representado por v; ou, representado por w; se,..., então, representado por ; e não, representado por. A partir dos valores lógicos de duas (ou mais) proposições simples A e B, pode-se construir a tabela-verdade de proposições compostas. Duas proposições são equivalentes quando possuem a mesma tabela-verdade. A seguir, são apresentadas as tabelas-verdade de algumas proposições. Com base nessas informações, julgue os itens. 17. (CESPE) Uma proposição composta é uma tautologia quando todos os seus valores lógicos são V, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que a compõem. Então, a proposição [A (A B)] B é uma tautologia. GABARITO 01 Sim 02 Sim 03 Sim 04 Tautologia 05 Tautologia 06 Tautologia 07 Contingência 08 Contradição 09 Contingência 10 Contingência 11 Contingência 12 Contradição 13 E 14 B 15 A 16 C 17 C 13. RELAÇÃO DE IMPLICAÇÃO Sejam duas proposições declarativas p e q, diz-se que p implica q simbolicamente p q, quando em toda a tabela verdade de p e q, NÃO ocorre VF, ou seja, v (p)=v e v(q)=f. 33

34 13.1. SIMBOLICAMENTE Quando p implica q, representamos assim: p q E MAIS p implica q quando o valor do condicional p q é verdadeiro. 14. RELAÇÕES ENTRE IMPLICAÇÕES Relação Implicação RECÍPROCA p q Troque de lugar p com q e q com p, para obter a recíproca. q p Duas implicações recíprocas NÃO são logicamente equivalentes. Pode ocorrer que uma seja verdadeira (V) e a outra (F) Relação Implicação INVERSA p q Negue a primeira, negue a segunda (ou seja, troque de sinal) e mantenha o posicionamento de p e q, para obter a inversa. p q Duas implicações inversas NÃO são logicamente equivalentes. Pode ocorrer que uma seja verdadeira (V) e a outra (F) Relação Implicação CONTRAPOSITIVA p q Troque de lugar p com q e q com p, negue as duas (ou seja, troque de sinal), para obter a contrapositiva. q p Duas implicações contra-positivas são logicamente equivalentes. Sempre que uma seja verdadeira (V), a outra também é verdadeira (V) TABELAS RESUMO Sejam p e q proposições simples, as condicionais importantes estão representadas na tabela. C1 C4 C3 C2 condicional inversa recíproca contrapositiva p q p q p q q p q p V V V V V V V F F V V F F V V F F V F F V V V V EXERCÍCIOS E TESTES 01.Seja a proposição p: 2 > 1 e q: Brasil é está na América do Sul, há implicação entre as proposições? 02.A proposição p: 7 dias tem a semana implica a proposição q: a lua é um satélite. 34

35 03.Há implicação entre as proposições p e q. p: 4 = 2 e q: π > 3 q: 1m = 100 cm e 1h = 360 seg. 04. Determine a proposição contrapositiva de p q. a) q p b) p q c) p p d) q q 05. Determine a proposição recíproca de q p. a) p q b) p q c) q p d) p q e) p q 06. Determine a proposição inversa de p q. a) p q b) p q c) p q d) p q e) q p 07. A proposição contrapositiva da proposição contrapositiva de p q. a) q p b) p q c) p q d) p q e) p q 08. A proposição contrapositiva da proposição recíproca de p q é. a) p q b) p q c) p q d) q p e) p q 09. A proposição contrapositiva da proposição inversa de p q. a) p q b) q p c) p q d) p q e) q p 10. A proposição contrapositiva da proposição recíproca de x=7 x < 2. a) x 2 x 7 b) x = 7 x 2 c) x 7 x < 2 d) x 7 x 2 e) x 7 x = Seja a proposição, Se ela é mulher motorista, então ela é desacreditada, escreva a recíproca desta proposição. 35