LÓGICA. CONCEITO DE PROPOSIÇÃO Uma proposição é toda a oração que pode ser classificada como verdadeira ou falsa, não ambas.

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3 LÓGICA 1. PROPOSIÇÃO CONCEITO DE PROPOSIÇÃO Uma proposição é toda a oração que pode ser classificada como verdadeira ou falsa, não ambas. Por exemplo: 2 é um número primo. Resposta: É uma proposição verdadeira Bueno Aires é a capital do Brasil. Resposta: É uma proposição falsa LEIS DO PENSAMENTO Na estrutura correta do pensamento, é necessário obedecer as seguintes leis: I) Princípio da identidade. Se qualquer proposição é verdadeira, então ela é verdadeira. II) Princípio da não-contradição. Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa. III) Princípio do terceiro excluído. Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa CARACTERÍSTICA DE UMA PROPOSIÇÃO I) É uma oração, com sujeito e predicado. II) III) IV) É uma oração declarativa. Não são proposições, as orações, exclamativas, interrogativas e imperativas. Tem uma e somente um dos valores lógicos, ou é verdadeira (V), ou é falsa (F), não ambas Todos gostam de matemática. 2+3=5 Os gansos são brancos. O quadrado tem duas diagonais. Hoje é sábado. Psiu! Que preguiça! Quanto falta para as onze horas? Eu vou só se Desça. Independência ou morte! 2. NÚMERO DE LINHA DE UMA TABELA VERDADE O número de linhas de uma tabela verdade é calculado pela potência 2 n, onde a base 2 é uma constante que indica os dois valores lógicos verdadeiro (V) e falso (F) e, o expoente n é igual ao número de proposições simples que estão envolvidas no caso em análise. Segue a seqüência, passo a passo, para a construção de uma tabela verdade organizada. I) Organize as letras que identificam as proposições simples na ordem crescente do alfabeto, p.ex., em p, q, r, s,..., a distribuição ficará assim: na 1ª coluna p, na 2ª coluna q, na 3ª coluna r, na 4ª coluna s, e assim por diante.se a identificação das proposições é feita por p 1, p 2, p 3,...e p n, a distribuição obedecerá à ordem crescente do índice, assim: 1ª coluna para p 1, 2ª coluna para p 2, 3ª coluna para p 3,..., n-ésina coluna para p n. II) Cada coluna será preenchida primeiro por agrupamentos de valores lógicos V e em seguida por agrupamento de valores lógicos F, e assim por diante alternadamente até preenche totalmente a coluna. O número de valores lógicos para cada agrupamento, é obtido pela potência 2 n-c, onde n é o número de proposições simples usadas e c é igual ao número que expressa a ordem da coluna. Veja exemplos nos itens que seguem. A distribuição dos valores lógicos verdadeiro (V) e falso (F), nas linhas de uma tabela verdade, obedece certa ordem que facilita a montagem, fica organizada e possibilita boa comunicação SE FOR UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES p I) Cálculo do número de linhas. p é uma proposição simples, logo, n = 1, substituindo em 2 n, a tabela terá 2 1 = 2 linhas. II) Cálculo do agrupamento para a primeira coluna. Coluna um, c = 1, substituindo em 2 n-c, teremos nesta coluna, = 2 0 = 1 valor lógico por agrupamento [V] e [F], distribuídos na coluna um, alternadamente. p V F Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 1

4 2.2. SE FOR DUAS PROPOSIÇÕES SIMPLES p e q I) Cálculo do número de linhas. p e q são duas proposições simples, logo, n = 2. Substituindo em 2 n, a tabela terá 2 2 = 4 linhas. II) Cálculo do agrupamento para a primeira coluna. Coluna um, c = 1, substituindo em 2 n-c, teremos nesta coluna, = 2 1 =2 valores lógicos de mesma natureza por agrupamento [VV] e [FF], distribuídos na coluna um, alternadamente. III) Cálculo do agrupamento para a segunda coluna. Coluna dois, c = 2, substituindo em 2 n-c, teremos nesta coluna, = 2 0 =1 valor lógico em cada agrupamento [V] e [F], distribuídos alternadamente na coluna dois. p V V F F 2.3. SE FOR TRÊS PROPOSIÇÕES SIMPLES p, q e r I) Cálculo do número de linhas. p, q e r são três proposições simples, logo, n=3. Substituindo em 2 n, a tabela terá 2 3 = 8 linhas. II) Cálculo do agrupamento para a primeira coluna. Coluna um, c=1, substituindo em 2 n-c, teremos nesta coluna, = 2 2 =4 valores lógicos de mesma natureza por agrupamento [VVVV] e [FFFF], distribuídos alternadamente na coluna um. III) Cálculo do agrupamento para a segunda coluna. Coluna um, c=2, substituindo em 2 n-c, teremos nesta coluna, = 2 1 = 2 valores lógicos de mesma natureza por agrupamento [VV] e [FF], distribuídos alternadamente na coluna dois. IV) Cálculo do agrupamento para a terceira coluna. Coluna dois, c = 3, substituindo em 2 n-c, teremos nesta coluna, = 2 0 = 1 valor lógico em cada agrupamento [V] e [F], distribuídos alternadamente na coluna três. q V F V F p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Por exemplo: A tabela que segue mostra o cálculo para determinação do número de linhas, com até 4 proposições simples: Proposições. TESTES RESOLVIDOS 01. (CESPE-BB) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. A frase dentro destas aspas é uma mentira. A expressão X + Y é positiva. O valor de 4 +3=7. Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. O que é isto? Número n de proposições simples. Número de linhas de linhas da tabela, 2 n. n 01. p 1 2¹ = p, q 2 2² = p, q, r 3 2³ = p, q, r, s =16 RESOLUÇÃO A frase dentro destas aspas é uma mentira. É uma sentença aberta. Nada podemos afirmar, não conhecemos o conteúdo da frase. Não é uma proposição. A expressão X + Y é positiva. É uma sentença aberta. Nada podemos afirmar, não conhecemos os valores de X e de Y. Não é uma proposição. 2 n 2 Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

5 O valor de 4 +3=7. É uma proposição. Pode ser julgada em verdadeira ou falsa. Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. É uma proposição. Pode ser julgada em verdadeira ou falsa. O que é isto? Numa interrogação não é possível julgar como verdadeira ou falsa. Não é uma proposição. Há somente duas proposições. Resposta: A afirmativa do enunciado está ERRADA 02. (FCC-ICMS-SP) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia. A frase que não possui essa característica comum é a a) I. b) II. c) III. d)) IV. e) V. RESOLUÇÃO E COMENTÁRIOS Vamos agora analisar as orações apresentadas no enunciado. I) Que belo dia! É uma sentença que não podemos atribuir qualquer um dos valores lógicos V ou F. II) Um excelente livro de lógica. É uma sentença que não podemos atribuir qualquer um dos valores lógicos V ou F. III) O jogo terminou empatado? É uma sentença que não podemos atribuir qualquer um dos valores lógicos V ou F. IV) Existe vida em outros planetas do universo. É uma sentença que PODEMOS atribuir qualquer um dos valores lógicos V ou F. V) Escreva uma poesia. É uma sentença que não podemos atribuir quaisquer um dos valores lógicos V ou F. Resposta: alternativa D EXERCÍCIOS E TESTES 01. (FCC-ICMS-SP) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia. A frase que não possui essa característica comum é a a) I. b) II. c) III. d))iv. e) V. Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 3

6 02. Sabe-se que uma proposição composta pode ser formada por duas ou mais proposições simples. Determine o número de linhas da tabela verdade para uma proposição composta com três proposições simples. 03. Sabe-se que uma proposição composta pode ser formada por duas ou mais proposições simples. Determine o número de linhas da tabela verdade para uma proposição composta com dez proposições simples. 04. Sabe-se que uma proposição composta pode ser formada por duas ou mais proposições simples. Determine o número de linhas da tabela verdade para uma proposição composta com n proposições simples. 05. Uma tabela-verdade completa é formada por 16 linhas. A proposição composta P referente à tabela-verdade mencionada tem x proposições simples. Determine o número x de proposições simples de P. 06. (CESPE-BB) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. A frase dentro destas aspas é uma mentira. A expressão X + Y é positiva. O valor de 4 +3=7. Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. O que é isto? 07.(CESPE-BB) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: (I) O BB foi criado em (II) Faça seu trabalho corretamente. (III) Manuela tem mais de 40 anos de idade. RESPOSTAS 01 D n Errada 07 Correta 3. NEGAÇÃO ( ) ou ( ) Toda a proposição declarativa pode ser negada. O símbolo de negação é ou SIMBOLICAMENTE A negação de p é representada por 3.2. TABELA p; ( lê-se: não p) E MAIS Se p é uma proposição declarativa, então, podemos ter: I) p é verdadeira (V), somente se, p é falsa (F). II) p é falsa (F), somente se, p é verdadeira (V). III) Dupla negação: p = p. (lê-se: não, não p) 3.4. RESUMINDO p V F SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ], parênteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de prioridades para os operadores lógicos. Por exemplo: p: Bueno Aires NÃO é a capital do Brasil, a negação, será negada por: NÃO é verdade que, Bueno Aires NÃO é a capital do Brasil: ( p). Temos que, ( p) = p, logo, dizer que, NÃO é verdade que, Bueno Aires NÃO é a capital do Brasil.: ( p), é o mesmo que dizer: p: Bueno Aires é a capital do Brasil. 4 Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores p F V A proposição p tem sempre o valor lógico oposto de p OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,... para indicar as proposições (fórmulas atômicas). Por exemplo: p: Bueno Aires é a capital do Brasil., será negada por: Bueno Aires NÃO é a capital do Brasil.: p N.B.: Se p é uma proposição verdadeira, p será uma proposição falsa, e vice-versa.

7 3.6. VARIAÇÕES NO ESTILO DE LINGUAGEM p ou p NEGAÇÃO DE p Algumas expressões usuais na linguagem corrente Não p Não se dá que p Não é fato que p Não é verdade que p Não se tem p 3.7. AFIRMAÇÃO E NEGAÇÃO NOS CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS Sejam: x, y R Afirmação Negação e vice - versa Negação Afirmação 1 x = y x y 2 x y x y 3 x y x y 4 x y x y 5 x y x y Por exemplo: Da figura a seguir, Temos: p: x < 3 (parte do intervalo I ), será negada por: p: x 3 ( parte do intervalo II ). A afirmação é o complemento da negação e, vice versa. Intervalo I Intervalo II x 3 x 3 3 x é um número real Por exemplo: Da figura a seguir, Temos: p: x 3 (parte do intervalo I ), será negada por: p: x > 3 (parte do intervalo II ). A afirmação é o complemento da negação e, vice versa. Intervalo I Intervalo II x 3 x >3 3 x é um número real EXERCÍCIOS E TESTES Negue as proposições abaixo: 01. p: p: 2 é primo 03. p: A lua é um satélite da terra. Negue as proposições, representando-as simbolicamente: 04. p: Pedro não foi à festa. 05. q: Não é fato que as baleias sejam peixes. 06. r: Não se dá que haja prisioneiros. 07. s: Não é verdade que 2+2=5 Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 5

8 Negar as afirmações: 08. x x x x 3 7 RESPOSTAS 01 ~p: 7 = 3 07 ~ s 02 ~p: 2 não é primo. 08 x < 3 03 ~p: A lua não é um satélite da terra. 09 x = 5 04 ~ p 10 x 0 05 ~ q 11 x-3 = 7 06 ~ r 4. CONJUNÇÃO p q Duas proposições quaisquer p e q, podem ser combinadas pelo conectivo e formando uma proposição composta. A esta operação chamaremos de conjunção SIMBOLICAMENTE A conjunção de p e q é representada por: p 4.2. TABELA q ou p q; (lê-se: p e q). p q p q V V V V F F F V F F F F 4.3. RESUMINDO A conjunção p q é verdadeiro se p e q são ambas verdadeiras 4.4.OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,... para indicar as proposições (fórmulas atômicas). SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ], parênteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de prioridades para os operadores lógicos. Exemplos: 2 é um número primo: p Bueno Aires é a capital do Brasil: q 2 é um número primo e Bueno Aires é a capital do Brasil. : p q ( p e q são chamados conjuntivos) 4.4. VARIAÇÕES NO ESTILO DE LINGUAGEM CONJUNÇÃO entre p e q Algumas expressões usuais na linguagem corrente p e q p q ou p q p e então q p embora q p mas q p assim como q p e também q p apesar de que também q p em adição, q não só p, mas, ainda, q não apenas p, como também q 6 Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

9 5. DISJUNÇÃO p q (INCLUSIVA OU NÃO EXCLUSIVA) ou simplesmente DISJUNÇÃO Duas proposições quaisquer p e q, podem ser combinadas pelo conectivo ou com o sentido de e/ou, formando uma proposição composta. A esta operação chamaremos de disjunção SIMBOLICAMENTE A disjunção é representada por p q (lê-se: p ou q) TABELA 5.3. RESUMINDO p q p q V V V V F V F V V F F F A disjunção é verdadeira se pelo menos uma das proposições p ou q for verdadeira. 5.4.OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,... para indicar as proposições (fórmulas atômicas). SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ], parênteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de prioridades para os operadores lógicos. Exemplos: 2 é um número primo: p Bueno Aires é a capital do Brasil: q 2 é um número primo ou Bueno Aires é a capital do Brasil: p q ( p e q são chamados disjuntos) 5.5. VARIAÇÕES NO ESTILO DE LINGUAGEM DISJUNÇÃO INCLUSIVA entre p e q Algumas expressões usuais na linguagem corrente p ou q p q p ou q ou ambos p e/ou q 6. DISJUNÇÃO EXCLUSIVA p q Duas proposições quaisquer p e q, podem ser combinadas pelo conectivo ou com o sentido de ou, mas não ambos, formando uma proposição composta. A esta operação chamaremos de disjunção exclusiva SIMBOLICAMENTE A disjunção exclusiva é representada por p q (lê-se: ou p ou q, mas não ambos). 6.2.E MAIS p q é uma disjunção excludente. Pode ser representada pela conjunção e disjunção inclusiva, assim: (p q) (p q) TABELA p q p q V V F V F V F V V F F F 6.4. RESUMINDO A disjunção exclusiva é verdadeira se, somente se, uma das proposições p ou q for verdadeira, mas não ambas OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,... para indicar as proposições (fórmulas atômicas). SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ], parênteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de prioridades para os operadores lógicos. Exemplos: 2 é um número primo: p Bueno Aires é a capital do Brasil: q Ou 2 é um número primo, ou Bueno Aires é a capital do Brasil: p q ( p e q são chamados disjuntivos) Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 7

10 6.6. VARIAÇÕES NO ESTILO DE LINGUAGEM DISJUNÇÃO EXCLUSIVA entre p e q Algumas expressões usuais na linguagem corrente p ou q exclusivo p q p ou q, mas não ambos ou p ou q, mas não simultaneamente TESTE RESOLVIDO 01. (CESPE-BB) A proposição funcional Existem números que são divisíveis por 2 e por 3 é verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}. RESOLUÇÃO Existem números que são divisíveis por 2 e por 3 p q p q e V V V V F F F V F F F F No conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}, não há valor algum que seja divisível por 2 e 3, logo pelo seu mmc(2, 3) = 6. Resposta: A afirmativa do enunciado está ERRADA EXERCÍCIOS E TESTES 01. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( p q ) ( p q ). 02. Construa a tabela-verdade para a proposição: p ( p q ). 03. Construa a tabela-verdade para a proposição: p (p q). 04. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( p q ) ( p q ) 05.Construa a tabela-verdade para a proposição: ( p q ) ( p q ) 8 Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

11 06. Construa a tabela-verdade para a proposição: q q. 07. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( p q ) 08. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( p r ) ( q r ). 09. Classificar em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposições compostas: 1 a) 3 > 1 e 4 > 2 d) 2 < 3 ou b) 3 > 1 ou 3 = 1 e) c) 3 (5 + 2 ) = e e Ajuda: Na operação traço vertical 3 7, lê-se: 3 divide 7, que é o mesmo que ( 27 ) 10. (CESPE-BB) A proposição funcional Existem números que são divisíveis por 2 e por 3 é verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}. 11. (UFRJ-ANA) Considere a tabela-verdade abaixo, onde as colunas representam os valores lógicos para as fórmulas A, B e A B, sendo que o símbolo denota o conector ou, V denota verdadeira e F denota falsa. A B A B V V V F F V F F Os valores lógicos que completam a última coluna da tabela, de cima para baixo, são: a) V, F, V, V; b) V, F, F, V; c) F, V, F, V; d) V, V, V, F; e) F, F, V, V. Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 9

12 Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, como, por exemplo, P, Q, R etc. Se a conexão de duas proposições é feita pela preposição e, simbolizada usualmente por, então obtém-se a forma P Q, lida como P e Q e avaliada como V se P e Q forem V, caso contrário, é F. Se a conexão for feita pela preposição ou, simbolizada usualmente por, então obtém-se a forma P Q, lida como P ou Q e avaliada como F se P e Q forem F, caso contrário, é V. A negação de uma proposição é simbolizada por P, e avaliada como V, se P for F, e como F, se P for V. Um argumento é uma seqüência de proposições P 1, P 2,..., P n, chamadas premissas, e uma proposição Q, chamada conclusão. Um argumento é válido, se Q é V sempre que P 1, P 2,..., P n forem V, caso contrário, não é argumento válido. A partir desses conceitos, julgue os próximos itens. 12.(CESPE-BB) A proposição simbólica (P Q) R possui, no máximo, 4 avaliações V. RESPOSTAS F V V V V F F V a) V F F V V V F V F b) V F V F V F V F c) F F V F V V V F d) V Errada D Errada 7. CONDICIONAL p q OU p q Duas proposições quaisquer p e q, podem ser combinadas pelo operador se..., então... formando uma proposição composta. A esta operação chamaremos de condicional SIMBOLICAMENTE O condicional entre p e q é representada por: p q ou p q, (lê-se: se p, então q). V F F F e) F 7.2. TABELA p q p q V V V V F F F V V F F V 7.3. RESUMINDO O condicional p q é falso sempre que ocorre VF nesta ordem; ou seja valor p = V e depois valor q = F. 7.4.OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,... para indicar as proposições (fórmulas atômicas). SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ], parênteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de prioridades para os operadores lógicos. Exemplos: 2 é um número primo: p Bueno Aires é a capital do Brasil: q 2 é um número primo, então Bueno Aires é a capital do Brasil. : p q ( p é o antecedente e q o conseqüente) 10 Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

13 7.5. VARIAÇÕES NO ESTILO DE LINGUAGEM IMPLICAÇÃO entre p e q Algumas expressões usuais na linguagem corrente p q se p, então q se p, isto significa que q tendo-se p, então q sempre que p, q p, sempre que se tenha q p implica q p só se q p somente se q p apenas se q p, se q p é condição suficiente para q q é condição necessária para p uma condição necessária para p é q uma condição suficiente para q é p ATENÇÃO PARA AS CONDICIONAIS CONDICIONAL Se..., então... ou ou Do dicionário: Suficiente que satisfaz; que é bastante. Do dicionário: Necessário indispensável; inevitável; que é de absoluta necessidade. CONDIÇÃO NECESSÁRIA Por exemplo, estar no Brasil é uma condição necessária para estar em Curitiba, porque todas as pessoas que estão em Curitiba estão em Brasil. B r a s i l C u r i t i b a C e B trocam de posições C B B é condição necessária para C C e B mantém as posições C B uma condição suficiente para C é B C B é o mesmo que, estar em B é condição necessária para estar em C ou ainda uma condição suficiente para estar em C é estar em B. CONDIÇÃO SUFICIENTE Por exemplo, estar em Curitiba é uma condição suficiente para estar no Brasil, porque todas as pessoas que estão em Curitiba estão em Brasil. B r a s i l C u r i t i b a C B é o mesmo que, estar em C é condição suficiente para estar em B ou ainda uma condição necessária para estar em B é estar em C. C e B mantém as posições C B C é condição suficiente para B C e B troca de posições C B uma condição necessária para B é C Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 11

14 8. BICONDICIONAL p q Duas proposições quaisquer p e q, podem ser combinados pela bi-implicação ou implicação recíproca... se e somente se... formando uma proposição composta. A esta operação chamaremos de BICONDICIONAL SIMBOLICAMENTE A bicondicional entre p e q e representado por p 8.2 TABELA q (lê-se: p se e somente se q). p q p q V V V V F F F V F F F V 8.3. RESUMINDO A bicondicional p q é verdadeiro sempre que; valor p = valor q = V ou valor p = valor q = F 8.4.OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,... para indicar as proposições (fórmulas atômicas). SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ], parênteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de prioridades para os operadores lógicos. Exemplos: 2 é um número primo: p Bueno Aires é a capital do Brasil: q 2 é um número primo se e somente se a neve é branca. : p q 8.5. VARIAÇÕES NO ESTILO DE LINGUAGEM BICONDICIONAL entre p e q Algumas expressões usuais na linguagem corrente p se e somente se q p se e só se q se p, então q e reciprocamente p q se p, então q; e se q, então p p é equivalente a q p é condição necessária e suficiente para q p é condição suficiente para q e q é condição necessária para p TESTE RESOLVIDO 01. (FCC-ICMS-SP) Considere a proposição Paula estuda, mas não passa no concurso. Nessa proposição, o conectivo lógico é a) disjunção inclusiva. b))conjunção. c) disjunção exclusiva. d) condicional. e) bicondicional. RESOLUÇÃO E COMENTÁRIOS Paula estuda, mas não passa no concurso. Paula estuda, e não passa no concurso. Paula estuda, não passa no concurso. O conectivo usado é da conjunção. Resposta: Alternativa B. 12 Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

15 EXERCÍCIOS E TESTES 01. Construa a tabela-verdade para a proposição: q p. 02. Construa a tabela-verdade para a proposição: p q. 03. Construa a tabela-verdade para a proposição: p q. 04. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( p q ) ( p q ). 05. Construa a tabela-verdade para a proposição: [ p (q r) ] ( p r ). 06. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( p q ) ( p q ). 07. Construa a tabela-verdade para a proposição: [ p (p q) ] p Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 13

16 08. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( p q ) ( p q ) 09. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( p q ) ( p q ) 10. Construa a tabela-verdade para a proposição: p [ p ( q q ) 11. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( p q ) ( p q ) 12. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( p q ) [ ( p r ) ( q r ) ] 13. Considerando a correspondência. p: faz frio q: chove Traduzir da linguagem simbólica para a linguagem corrente. a) q p b) p q c) p q d) p q e) p q 14. Considerando a correspondência. p: faz frio q: chove Traduzir da linguagem corrente para a linguagem simbólica. a) Se chove, então faz frio. b) Uma condição necessária para que faça frio é que chova. c) Uma condição suficiente para que faça frio é que chova. d) Chover é condição necessária para que faça frio. e) Se Pedro é bom aluno, será aprovado. 14 Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

17 15. Simbolize: a) Se Pedro é bom aluno, então ele será aprovado e conseguirá um bom emprego. b) Pedro é bom aluno se, e somente se for aprovado. c) Ela esta com febre ou com calor d) Flávio irá somente se Ana for. 16. Classificar em verdadeira ou falsa cada uma das proposições abaixo. a) 2 1 = = 3. 4 b) 2 2 = 4 ( - 2) 2 = 4 c) = = 9 d) mdc ( 3, 6 ) = 1 4 é número primo e) 2 8 mmc ( 2, 8 ) = 2 f) g) = É dado o esquema abreviado seguinte: P - ganho um carro Q - ganho uma moto R - posso dirigir S - estou saudável T - sou reprovado no exame Pede-se traduzir as sentenças seguintes: a) ( P Q ) ( R ( S T) ). b) P Q c) R Q d) S R 18. Para os próximos exercícios, considerar o esquema: J o homem é justo T o homem é temperado (moderado) B o homem é bom. M o homem é mau. V o homem é viciado (corrupto) D o homem é doentio (mentalmente) Pode-se traduzir: a) B D b) J T c) (M V) 19. Determinar o valor-verdade de cada qual dos seguintes compostos: a) = 5 e = 10 b) O dobro de 3 é 6 ou o triplo de 4 é 10. c) Se = 4, então = 9. d) Se = 6, então = 10 e) = 6 e o triplo de 5 é 15, f) é igual a 12 ou é diferente de 12. (Agente da Polícia Federal CESPE) Texto para os próximos três itens. Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos,, e sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir. 20. Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição ( P) ( Q) também é verdadeira. 21. Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R ( T) é falsa. 22. Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P R) ( Q) é verdadeira. Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 15

18 (CESPE -Agente da Polícia Federal) Texto para os próximos cinco testes. Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos,, e sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir. Considere as sentenças abaixo. i. Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. ii. Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. iii. Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. iv. Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido. v. Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; conseqüentemente, muitos europeus fumam. Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir. P: Fumar deve ser proibido. Q: Fumar deve ser encorajado. R: Fumar não faz bem à saúde. T: Muitos europeus fumam. Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes. 23. A sentença I pode ser corretamente representada por P ( T). 24. A sentença II pode ser corretamente representada por ( P) ( R). 25. A sentença III pode ser corretamente representada por R P. 26. A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ( T)) P. 27. A sentença V pode ser corretamente representada por T (( R) ( P)). (CESPE- TCU) Suponha que P representa a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações e no texto, julgue os próximos quatro itens a seguir: 28. A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P ( R Q) 29. A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P Q 30. Se a proposição Hoje não choveu for valorada como F e a proposição José foi à praia for valorada como V, então a sentença representada por P Q é falsa. 31. O número de valorações possíveis para (Q R) P é inferior a (FCC-ICMS-SP) Considere a proposição Paula estuda, mas não passa no concurso. Nessa proposição, o conectivo lógico é a) disjunção inclusiva. b))conjunção. c) disjunção exclusiva. d) condicional. e) bicondicional. 33. (FCC-ICMS-SP) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições. A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é a) q p b) q p c)) (p q) d) p q e) (p q) 16 Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

19 O fluxograma abaixo contém uma seqüência finita de instruções a serem executadas na ordem em que são apresentadas, começando-se da posição designada por início e seguindo-se as setas. Dentro das formas retangulares, a seta para a esquerda indica que o valor escrito ou obtido à direita é atribuído à variável à esquerda. A expressão no losango é avaliada e, quando resultar verdadeira, prossegue-se na direção indicada por V, e, quando for falsa, prossegue-se na direção indicada por F. Se P e Q representam proposições que podem ter valorações V ou F, então as expressões P, P Q, P Q e P Q, que são lidas não P, P implica Q, P ou Q e P e Q, respectivamente, também são proposições e podem ter valorações V ou F conforme as valorações dadas a P e a Q. início A B V F A B F V (A B) V F Y A B X A B fim A partir do texto e do fluxograma precedente, em que A, B, X e Y são proposições quaisquer, siga as instruções do fluxograma e julgue os itens a seguir. 34. (CESPE-B Brasília) A valoração atribuída a X será igual à valoração de A B. 35. (CESPE-B Brasília) A proposição (A B) tem as mesmas valorações V e F que a proposição ( A) ( B). 36. (CESPE-B Brasília) Se as valorações iniciais de A e de B fossem, respectivamente, F e F, então a valoração de Y seria também F. RESPOSTAS V V F F V V V V V F F V V V V F V F V V V F F F V F V F V V V V V V F V F V F F V V V V V V F V V V V V V F V V 13 a) Se faz frio, então chove. 14 a) q p b) Se faz frio, então não chove. b) p q c) Faz frio se e somente se chove. c) q p d) Faz frio ou chove. d) p q e) Faz frio e chove. e) B A 15 a) B ( A E ) 16 a) V b) B A b) V c) F C c) V d) F A d) V e) F f) F g) V 17 a) Se (ganho uma moto ou um carro), então (posso 18 a) Se o homem não é bom, é doentio. dirigir se e só se, (estou saudável e não sou reprovado no exame )) b) Ganho um carro ou uma moto b) O homem é justo ou temperado. c) Se posso dirigir, ganho a moto. c) Não se dá, a um tempo, que o homem seja mau e não viciado. d) Se estou saudável, posso dirigir. Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 17

20 19 a) F 20 Errada b) V c) V d) V e) V f) V 21 Errada 22 Correta 23 Errada 24 Correta 25 Correta 26 Correta 27 Errada 28 Correta 29 Correta 30 Errada 31 Correta 32 B 33 C 34 C 35 E 36 C 9. NEGAÇÕES SUAS RESPECTIVAS EQUIVALÊNCIAS 9.1. NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO CONJUNTIVA ( p q ) Seja a proposição AFIRMATIVA p q ( p q ) AS DUAS PROPOSIÇÕES ABAIXO SÃO EQUIVALENTES Sua proposição Procedimentos para obter a proposição NEGATIVA NEGATIVA equivalente. é: 1) Negue a primeira: p 2) Negue a segunda: q 3) Troque e por ou Proposição NEGATIVA equivalente p q 9.2. NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO DISJUNTIVA ( p q ) Seja a proposição AFIRMATIVA p q ( p q ) AS DUAS PROPOSIÇÕES ABAIXO SÃO EQUIVALENTES Sua proposição Procedimentos para obter a proposição NEGATIVA NEGATIVA equivalente. é: 1) Negue a primeira: p 2) Negue a segunda: q 3) Troque ou por e Proposição NEGATIVA equivalente p q 9.3. NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO CONDICIONAL ( p q ) Seja a proposição AFIRMATIVA p q ( p q ) AS DUAS PROPOSIÇÕES ABAIXO SÃO EQUIVALENTES Sua proposição NEGATIVA é: Procedimentos para obter a proposição NEGATIVA equivalente. 1) Mantenha a primeira: p 2) Negue a segunda: q 3) Troque por e Proposição NEGATIVA equivalente p q 9.4. NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO BICONDICIONAL ( p q ) Seja a proposição AFIRMATIVA p q ( p q ) AS DUAS PROPOSIÇÕES ABAIXO SÃO EQUIVALENTES Sua proposição Procedimentos para obter a proposição NEGATIVA NEGATIVA equivalente. é: Equivalência usada para a bicondicional. Importante! Proposição NEGATIVA equivalente (p q) (q p) 18 Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

21 TESTE RESOLVIDO 01. (UFPR-TCE) A negação da sentença se você estudou lógica então você acertará esta questão é: a) se você não acertar esta questão então você não estudou lógica. b) você não estudou lógica e acertará esta questão. c) se você estudou lógica então não acertará esta questão. d) você estudou lógica e não acertará esta questão. e) você não estudou lógica e não acertará esta questão. RESOLUÇÃO I) Simbolizar a proposição dada. Se você estudou lógica então você acertará esta questão p q II) Pode-se verificar pela tabela verdade. A alternativa que tenha a tabela verdade de valores lógicos contrários a da proposição do enunciado é a correta. p q (p q) (p q) III) Pode-se também, usando a propriedade para a negação de (p q) que segue. (p q) p q você estudou lógica e não acertará esta questão Resposta: Alternativa D EXERCÍCIOS E TESTES 01. Simplificar as proposições. a) ( p q ) b) ( p q ) c) ( p q ) d) ( p q ) e) ( p q ) f) ( p q ) 02. (UFPR-TCE) A negação da sentença se você estudou lógica, então você acertará esta questão é: a) se você não acertar esta questão, então você não estudou lógica. b) você não estudou lógica e acertará esta questão. c) se você estudou lógica, então não acertará esta questão. d) você estudou lógica e não acertará esta questão. e) você não estudou lógica e não acertará esta questão. 03. (ESAF-AFC) Dizer que não é verdade que, Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. 04. (ESAF -FISCAL TRABALHO) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 19

22 05. (GESTOR FAZENDÁRIO MG-ESAF) Considere a afirmação P: P: A ou B Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações: A: Carlos é dentista B: Se Enio é economista, então Juca é arquiteto. Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo: a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto. d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. 06. (MED-ABC) A negação de O gato mia e o rato chia é: a) O gato não mia e o rato não chia. b) O gato mia ou o rato chia c) O gato não mia ou o rato não chia. d) O gato e o rato não chiam nem miam. e) O gato chia e o rato mia. 07. (UF-BA) A negação de Hoje é segunda-feira e amanhã não choverá é: a) Hoje é segunda-feira e amanhã choverá. b) Hoje não é segunda-feira ou amanhã choverá. c) Hoje não é segunda-feira, então, amanhã choverá. d) Hoje não é segunda-feira nem amanhã choverá. e) Hoje é segunda-feira ou amanhã não choverá. 08. (FISCAL DO TRABALHO-ESAF) A negação da afirmação condicional Se estiver chovendo, eu levo o guardachuva é: a) Se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva. b) Não está chovendo e eu levo o guarda-chuva. c) Não está chovendo, e eu não levo o guarda-chuva. d) Se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva. e) Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva. 09. Escreva a negação da proposição: Não é verdade que Maria não estudou e foi aprovada 10. Escreva a negação da proposição: Se Maria foi aprovada, então, estudou 11. (EPPG) Considere a sentença "Se a dívida interna for contida, então não haverá inflação". A negação dessa sentença configura-se como: a) É impossível a dívida interna estar contida e haver inflação. b) É possível a dívida interna estar contida e haver inflação. c) É possível a dívida interna não estar contida e haver inflação. d) É possível a dívida interna não estar contida e não haver inflação. e) É impossível a dívida interna não estar contida e não haver inflação. 12. (GEFAZ/MG) A afirmação Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris é logicamente equivalente à afirmação: a) É verdade que Pedro está em Roma e Paulo está em Paris. b) Não é verdade que Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris. c) Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris. d) Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris. e) É verdade que Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris. RESPOSTAS 01 a) p q 02 D b) p q c) p q d) p q e) (p q)v(q p) f) p q 03 A 04 E 05 B 06 C 07 B 08 E 09 Maria não estudou ou não foi aprovada. 10 Maria não estudou e foi aprovada. 11 B 12 D 20 Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

23 10. TAUTOLOGIA Considere uma proposição composta que na tabela-verdade tem valores lógicos verdadeiros (V), em todas as linhas da coluna resposta C3. A este comportamento da proposição denominamos de tautologia TABELA C1 C2 C3 Comentário p p p p A coluna C3 é formada por valores lógicos V F V verdadeiros (V), logo é uma Tautologia. F V V 11. CONTRADIÇÃO ou CONTRA-TAUTOLOGIA Considere uma proposição composta que na tabela-verdade tem valores lógicos falsos (F), em todas as linhas da coluna resposta C3. A este comportamento da proposição denominamos de Contradição TABELA C1 C2 C3 Comentário p p p p A coluna C3 é formada por valores lógicos V F F falsos ( F), logo é uma Contradição. F V F 12. CONTINGÊNCIA Considere uma proposição composta que na tabela-verdade tem valores lógicos verdadeiros (V) e falsos (F) na coluna resposta C3. A este comportamento da proposição denominamos de Contingência TABELA C1 C2 C3 Comentário p p p p A coluna C3 é formada por valores lógicos V F F verdadeiros (V) e falsos (F), logo é uma F V V Contingência. TESTES RESOLVIDOS 01. (FCC-ICMS-SP) Considere as afirmações abaixo. I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par. II. A proposição (10 10) (8 3 6 ) é falsa. III. Se p e q são proposições, então a proposição (p q) ( q) é uma tautologia. É verdade o que se afirma APENAS em a) I. b) II. c) III. d) I e II. e)) I e III. RESOLUÇÃO I) CORRETA Análise do item I Para quaisquer valores naturais positivos de n, obteremos sempre um número par de linhas, veja a simulação na tabela que segue. Proposições. Número n de proposições simples. Número de linhas de linhas da tabela,2 n. 01. p 1 2¹ = p, q 2 2² = p, q, r 3 2³ = p, q, r, s =16 Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 21

24 II) INCORRETA Análise do item II. Atribuindo o valor V para verdadeira ou F para falso, nas expressões aritméticas, e considerando o operador lógico que envolve as expressões, podemos, fazendo o uso da tabela de valores lógicos da bicondicional, verificar se a proposição é verdadeira ou falsa. Veja: (10 10) (8-3 6) Falsa Falsa = Verdadeira No enunciado item II, é julgado como proposição falsa, logo, é incorreta. III) CORRETA Analise do item III. Construindo a tabela verdade para a proposição dada, será tautologia se a coluna resposta tiver todos os valores lógicos verdadeiros V. Vamos ver: Col 1 Col 2 Col 3 Col 4 Col 5 L 1 p q p q L 2 V V V V F L 3 V F F V V L 4 F V V V F L 5 F F V V V De fato, todos os valores lógicos da coluna 4 são verdadeiros, caracterizando uma TAUTOLOGIA. Resposta: Apenas I e III são verdadeiras. Alternativa E. q 02. (FCC-ICMS-SP) Seja a sentença aberta A: ( p p) ( ) sentença B: Se o espaço ( ) for ocupado por uma ( I ), a sentença A será uma ( II ). A sentença B se tornará verdadeira se I e II forem substituídos, respectivamente, por a) tautologia e contingência. b)) contingência e contingência. c) contradição e tautologia. d) contingência e contradição. e) tautologia e contradição. RESOLUÇÃO I) Fazendo ( p q ) TAUTOLOGIA Resposta p p ( p q ) TAUTOLOGIA V F V V V F V V V V A proposição A bicondicional com uma tautologia, resulta numa tautologia. II) Fazendo ( p q ) CONTRADIÇÃO Resposta p p ( p q ) CONTRADIÇÃO V F V F F F V V F F A proposição A bicondicional com uma contradição, resulta numa contradição. III) Fazendo ( p q ) CONTINGÊNCIA Resposta p p ( p q ) CONTINGÊNCIA V F V V V F V V F F A proposição A bicondicional com uma contingência, resulta numa contingência. Resposta p p ( p q ) CONTINGÊNCIA V F V F F F V V V V A proposição A bicondicional com uma contingência, resulta numa contingência. Resposta: Alternativa B. 22 Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

25 EXERCÍCIOS E TESTES 01. Verificar-se ( p q ) ( p q ) é contradição. 02. Verificar-se a proposição [ p (q r ] ( p r ) é tautologia. 03. Demonstrar que a preposição ( p q ) [ ( p q ) ] é contingência. 04. Verificar se a proposição a seguir é uma tautologia, contradição ou uma contingência.[ p (p q) ] p 05. Verificar se a proposição a seguir é uma tautologia, contradição ou uma contingência.( p q ) ( p q ) 06. Verificar se a proposição a seguir é uma tautologia, contradição ou uma contingência.( p q ) ( p q ) 07. Verificar se a proposição a seguir é uma tautologia, contradição ou uma contingência.p [ p ( q q ) Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 23

26 08. Verificar se a proposição a seguir é uma tautologia, contradição ou uma contingência.( p q ) ( p q ) 09. Verificar se a proposição a seguir é uma tautologia, contradição ou uma contingência.( p q ) [ ( p r ) ( q r ) ] 10. Verificar se a proposição a seguir é uma tautologia, contradição ou uma contingência. ( p q ) ( q r ) 11. Verificar se a proposição a seguir é uma tautologia, contradição ou uma contingência.[ ( p q ) ( q r ) ] ( p r ) 12. Verificar se a proposição a seguir é uma tautologia, contradição ou uma contingência. { ( p q ) [ ( p q ) r ) } 24 Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

27 13. Verificar se a proposição a seguir é uma tautologia, contradição ou uma contingência.[ ( p q) ( r s ) ] 14. (FCC-TRT-9R) Considere a seguinte proposição: "na eleição para a prefeitura, o candidato A será eleito ou não será eleito. Do ponto de vista lógico, a afirmação da proposição caracteriza: a) um silogismo. b) uma tautologia. c) uma equivalência. d) uma contingência. e) uma contradição. 15. (ESAF-FISCAL TRABALHO) Um exemplo de tautologia é: a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo 16.(CESPE-DPF-DGP) Denomina-se contradição uma proposição que é sempre falsa. Uma forma de argumentação lógica considerada válida é embasada na regra da contradição, ou seja, no caso de uma proposição R verdadeira (ou R verdadeira), caso se obtenha uma contradição, então conclui-se que R é verdadeira (ou R é verdadeira). Considerando essas informações e o texto de referência, e sabendo que duas proposições são equivalentes quando possuem as mesmas valorações, julgue o item que segue. De acordo com a regra da contradição, P Q é verdadeira quando ao supor P Q verdadeira, obtém-se uma contradição. 17. (FCC-ICMS-SP) Considere as afirmações abaixo. I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par. II. A proposição (10 10) (8 3 6 ) é falsa. III. Se p e q são proposições, então a proposição (p q) ( q) é uma tautologia. É verdade o que se afirma APENAS em a) I. b) II. c) III. d) I e II. e))i e III. RESPOSTAS 01 Sim 02 Sim 03 Sim 04 Tautologia 05 Tautologia 06 Tautologia 07 Contingência 08 Contradição 09 Contingência 10 Contingência 11 Contingência 12 Contradição 13 Contingência 14 B 15 A 16 Correta 17 E Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 25

28 13. RELAÇÃO DE IMPLICAÇÃO Sejam duas proposições declarativas p e q, diz-se que p implica q simbolicamente p q, quando em toda a tabela verdade de p e q, NÃO ocorre VF, ou seja, v (p)=v e v(q)=f SIMBOLICAMENTE Quando p implica q, representamos assim: p q E MAIS p implica q quando o valor do condicional p q é verdadeiro. 14. RELAÇÕES ENTRE IMPLICAÇÕES Relação Implicação RECÍPROCA p q Troque de lugar p com q e q com p, para obter a recíproca. q p Duas implicações recíprocas NÃO são logicamente equivalentes. Pode ocorrer que uma seja verdadeira (V) e a outra (F) Relação Implicação INVERSA Negue a primeira, negue a segunda (ou seja, troque de sinal) e mantenha p q o posicionamento de p e q, para obter a inversa. p q Duas implicações inversas NÃO são logicamente equivalentes. Pode ocorrer que uma seja verdadeira (V) e a outra (F) Relação Implicação CONTRAPOSITIVA Troque de lugar p com q e q com p, negue as duas (ou seja, troque de p q sinal), para obter a contrapositiva. q p Duas implicações contra-positivas são logicamente equivalentes. Sempre que uma seja verdadeira (V), a outra também é verdadeira (V) TABELAS RESUMO Sejam p e q proposições simples, as condicionais importantes estão representadas na tabela. C1 C4 C3 C2 condicional inversa recíproca contrapositiva p q p q p q q p q p V V V V V V V F F V V F F V V F F V F F V V V V EXERCÍCIOS E TESTES 01.Seja a proposição p: 2 1 e q: Brasil é está na América do Sul, há implicação entre as proposições? 02.A proposição p: 7 dias tem a semana implica a proposição q: a lua é um satélite. 03.Há implicação entre as proposições p e q. p: 4 = 2 e 3,14 q: 1m=100 cm e 1h = 360 seg. 04. Determine a proposição contrapositiva de p q. a) q p b) p q c) p p d) q q 26 Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

29 05. Determine a proposição recíproca de q p. a) p q b) p q c) q p d) p q e) p q 06. Determine a proposição inversa de p q. a) p q b) p q c) p q d) p q e) q p 07. A proposição contrapositiva da proposição contrapositiva de p q. a) q p b) p q c) p q d) p q e) p q 08. A proposição contrapositiva da proposição recíproca de p q é. a) p q b) p q c) p q d) q p e) p q 09. A proposição contrapositiva da proposição inversa de p q. a) p q b) q p c) p q d) p q e) q p 10. A proposição contrapositiva da proposição recíproca de x=7 x 2. a) x 2 x 7 b) x = 7 x 2 c) x 7 x < 2 d) x 7 x 2 e)x 7 x = Seja a proposição, Se ela é mulher motorista, então, ela é desacreditada, escreva a recíproca desta proposição. 12. Seja a proposição, Se ela é mulher motorista, então, ela é desacreditada, escreva a inversa desta proposição. 13. Seja a proposição, Se ela fosse rica, então, ela seria feliz, escreva a contrapositiva desta proposição. RESPOSTAS 01 Sim, não ocorreu VF 02 Sim, não ocorreu VF 03 Não, ocorreu VF 04 a) q p 05 b) q p 06 b) p q 07 b) p q 08 e) p q 09 a) q p 10 d) x 7 x 2 11 Se ela é desacreditada, então ela é mulher 12 Se ela não é mulher motorista, então ela não é motorista. desacreditada. 13 Se ela não é feliz, então não é rica. Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 27

30 15. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA OU Considere duas proposições declarativas p e q. Diz-se que p é equivalente a q simbolicamente p q, quando p e q têm tabelas verdades iguais, ou seja, quando valor de (p) = valor de (q), observadas em todas as linhas da tabela. Ou pode ser dito simplesmente assim: Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente que são equivalentes) quando são compostas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas tabelas-verdade são idênticos SIMBOLICAMENTE Quando p é equivalente a q, representamos assim: p q E MAIS p é equivalente a q quando o valor da bicondicional p q é verdadeira EQUIVALÊNCIAS BÁSICAS IMPORTANTES: 01. p p = p Por exemplo: Pedro é inocente e inocente = Pedro é inocente 02. p p = p Por exemplo: Fernanda foi ao teatro ou ao teatro = Fernanda foi ao teatro 03. p q = q p Por exemplo: O Ronaldinho é forte e veloz = O Ronaldinho é veloz e forte 04. p q = q p Por exemplo: O céu é branco ou azul = O céu é azul ou branco 05. p ( p q ) = p Por exemplo: Sheila é linda e, Sheila é linda ou Bruna é alta = Sheila é linda. 06. p ( p q ) = p Por exemplo: Sheila é linda ou, Sheila é linda e Bruna é alta = Sheila é linda. 07. p q = q p Por exemplo: Como se e somente se vivo = Vivo se e somente se como 08. p q = (p q) (q p) Por exemplo: Como se e somente se vivo = Se como então vivo, e se vivo então como EQUIVALÊNCIAS DA CONDICIONAL: Duas equivalências que seguem são de fundamental importância. Estas equivalências podem ser verificadas, ou seja, demonstradas, por meio da comparação entre as tabelas-verdade. 09. Se p, então q = Se não q, então não p. p q = ~q ~p Por exemplo: Se chove, então me molho. = Se não me molho, então não chove. 10. Se p, então q = Não p ou q. p q = ~p q Por exemplo: Se estudo, então passo no concurso. = Não estudo ou passo no concurso. 28 Atualizada 13/09/2007 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores