Raciocínio Lógico (Professor Uendel)

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1 Raciocínio Lógico (Professor Uendel) Material (01); SEFAZ; JULHO DE 2017 (Álgebra das Proposições) PROPOSIÇÃO Denomina-se proposição a toda sentença, expressa em palavras ou símbolos, que exprima um pensamento completo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lógicos possíveis: V (verdadeiro) ou F (falso). Somente as sentenças declarativas podem-se atribuir valores lógicos de verdadeiro ou falso, o que ocorre quando a sentença é, respectivamente, confirmada ou negada. Quando uma proposição é verdadeira, atribuímos-lhe o valor lógico V; quando ela é falsa, atribuímos-lhe o valor lógico F. Representação das proposições As proposições podem ser representadas por letras, sendo estas maiúsculas ou minúsculas. p: Júlio é poeta. q: Elza é comerciante. A: Sócrates foi um grande filósofo. B: O mundo precisa de paz. Proposições simples Uma proposição é dita proposição simples quando não contém qualquer outra proposição como sua componente. São proposições que expressam apenas um pensamento. Isso significa que não é possível encontrar como parte de uma proposição simples alguma outra proposição diferente dela. Não se pode subdividi-la em partes menores tais que alguma delas seja uma nova proposição. Exemplos: Júlio fala inglês. Maria possui CNH. Olga gosta de atletismo. Lúcia e Talita falam italiano. Proposições compostas Uma proposição é composta quando se pode extrair como parte dela uma nova proposição. São proposições que expressam mais de um pensamento. Exemplos: Márcia é psicóloga e Beto possui CNH. Júlio fala inglês ou Maria pratica natação. Leandro é irmão de Caio e de Valdecir. Observação: Nas provas de concursos, quando uma questão perguntar sobre a quantidade de proposições está implícito que se trata da quantidade de proposições simples (pensamentos completos). EXERCÍCIOS 01- (FCC) Considere as seguintes frases: I. Ele foi o melhor jogador do mundo em x 5 II. é um número inteiro. 5 III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em

2 É verdade que apenas: a) I é uma sentença aberta b) II é uma sentença aberta c) I e II são sentenças abertas d) I e III são sentenças abertas e) II e III são sentenças abertas 02- (CESPE) Na lógica de primeira ordem, uma proposição é funcional quando é expressa por um predicado que contém um número finito de variáveis e é interpretada como verdadeira (V) ou falsa (F) quando são atribuídos valores às variáveis e um significado ao predicado. Por exemplo, a proposição Para qualquer, tem-se que é um número real maior do que 2 e possui interpretação F quando pertence, por exemplo, ao conjunto 4, 3, 2, 1, 0. Com base nessas informações, julgue os próximos itens. 1º- ( ) A proposição funcional Para 2 qualquer, tem-se que x > x é verdadeira para todos os valores de x que estão no x 2 0 possui interpretação V quando conjunto x ,, 3,, 2, º- ( ) A proposição funcional Existem números que são divisíveis por 2 e por 3 é verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}. GABARITO 01- C 02- Errado, Errado CONECTIVOS LÓGICOS NA LINGUAGEM DA LÓGICA FORMAL Os conectivos lógicos agem sobre as proposições a que estão ligadas de modo a criar novas proposições. Alguns dos conectivos são: x x x Observação: Na lógica matemática os símbolos tem como significado Não. Operações com proposições Assim como na Álgebra tradicional existem as operações com números (adição, subtração etc.), na Álgebra Booleana existem operações com as proposições. O valor lógico (verdadeiro ou falso) de uma proposição composta depende somente do valor lógico de cada uma de suas proposições componentes e da forma como estas sejam ligadas pelos conectivos lógicos utilizados. NEGAÇÃO O não é chamado de modificador lógico porque ao ser inserido em uma proposição muda seu valor lógico, ou seja, faz a negação da proposição. Quando formos representar a negação de uma proposição, vamos usar os sinais que são chamados, respectivamente, de til e cantoneira. Sendo p uma proposição, representaremos sua negação como p Na tabela verdade, apresentada a seguir pode observar os resultados da proposição p para cada um dos valores que a proposição p pode assumir. 2

3 Uma proposição p e sua negação p terão sempre valores lógicos contrários. As seguintes expressões podem ser empregadas como equivalentes de Não é verdade que p. É falso que p. p. Modos de Negação de uma Proposição Simples 1) Antepondo-se a expressão não ao seu verbo. Exemplo: p :Beto gosta de futebol. p : Beto não gosta de futebol. 2) Retirando-se a negação antes do verbo. Exemplo: p :Ítalo não é irmão de Maria. p :Ítalo é irmão de Maria. 3) Substituindo-se um termo da proposição por um de seus antônimos. Exemplo: p :n é um número ímpar. p :n é um número par. iii. Conjunção e disjunção/ disjunção exclusiva iv. Negação Portanto, o elemento mais forte é o bicondicional e o mais fraco é a negação. O uso desse recurso faz-se presente na simbolização das proposições, pois evita qualquer tipo de ambigüidade. Observe os exemplos a seguir. I. p r s. II. p r s. III. r p s q IV. r p s q.. A proposição I é uma condicional, pois o conectivo principal é o. A proposição II é uma conjunção, pois o conectivo principal é o. Então, I e II não têm o mesmo significado, apesar de possuírem as mesmas proposições e os mesmos conectivos na mesma ordem. O mesmo acontece com os exemplos III e IV. Há casos em que os parênteses podem ser retirados para que simplifiquem as proposições colocadas, caso não apareça alguma ambigüidade. Porém, para que se possam retirar os parênteses, é preciso seguir algumas convenções, cuja mais importante é a ordem de precedência para os conectivos. ATENÇÃO: É obvia a necessidade de usar parênteses na simbolização das proposições, que devem ser colocados a evitar qualquer tipo de ambigüidade. A ordem de precedência para os conectivos é: i. Bicondicional ii. Condicional Observe a proposição: r p s q Portanto, essa proposição é bicondicional e jamais uma condicional ou uma conjunção. Mas, para que se converta numa condicional, os parênteses são obrigatórios. r p s q 3

4 Por analogia podemos ter uma conjunção. r p s q Exemplos: Dada as proposições: p: O dia está chuvoso. q: Maria vai à missa. r: O cachorro late. I. Representando a sentença se o dia estiver chuvoso, então Maria vai à missa e o cachorro late, em linguagem simbólica, temos: p q r. II. III. Representando a sentença o dia está chuvoso ou, se Maria não vai à missa, então o cachorro não late, em linguagem simbólica, temos: p q r. Representando a sentença o dia está chuvoso se, e somente se, Maria vai à missa ou o cachorro late, em linguagem simbólica, temos: p q r. Observe que, no exemplo I não foi especificado qual era a proposição composta. Por ordem de prioridade, o conectivo principal é o se, então, por isso os parênteses isolam a conjunção existente. O mesmo ocorre em III, em que não foi especificada qual era a proposição composta. Por ordem de prioridade, o conectivo principal é o se, e somente se, por isso os parênteses isolam a disjunção existente. Nesse caso, o uso dos parênteses pode ser descartado. A proposição condicional se o dia não está chuvoso e Maria vai à missa, então o cachorro late, por exemplo, pode ser corretamente representada por: p q r. AS TRÊS LEIS DO PENSAMENTO OU PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA LÓGICA PROPOSICIONAL 1º- Princípio da Identidade Se qualquer enunciado é verdadeiro, então ele é verdadeiro. Em símbolos: p p 2º- Princípio da Não Contradição Nenhum enunciado pode ser verdadeiro e falso. Em símbolos: p p 3º- Princípio do Terceiro Excluído Um enunciado ou é verdadeiro ou é falso. Em símbolos: Observações: Sendo p p p a) Leis de Identidade 1º- p verdade p uma proposição temos: 2º- p verdade verdade 3º- p falso falso 4º- p falso p b) Leis complementares p 1º- p 2º- p p falso 3º- p p verdadeiro 4º- verdadeiro falso 5º- falso verdadeiro TAUTOLOGIA Uma proposição composta é uma tautologia se ela for sempre verdadeira independente dos valores lógicos das proposições que a compõem. Exemplos 4

5 é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos de A. Veja na tabelaverdade a seguir: 1º- A proposição A A é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos de A e de B. Veja na tabela-verdade a seguir: 2º- A proposição A B A B CONTRADIÇÃO Uma proposição composta é uma contradição se ela for sempre falsa independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem. Exemplo 1º- A proposição A A é uma contradição, pois é sempre falsa, independentemente dos valores lógicos de A. Veja na tabela-verdade a seguir: Observações A negação de uma tautologia é sempre uma contradição. A negação de uma contradição é sempre uma tautologia. O exemplo citado mostra que uma proposição qualquer A e sua negação A nunca serão ambas verdadeiras ou ambas falsas. EXERCÍCIOS 01- Dadas as proposições: p: Gosto de lógica. q: Tenho esperança. r: Sou vitorioso. Traduzir para a linguagem corrente as proposições seguintes: a) b) p p r c) d) e) p q r f) p q p r q r g) h) p q r i) p q r j) p q r k) p q r q r 02- Julgue as proposições a seguir: 1. ( ) Se 3 2 6, então ( ) Não é verdade que 12 é um número ímpar. 3. ( ) Não é verdade que ou Determine o valor lógico de cada uma das proposições abaixo, marcado V para verdadeiro e F para falso: ( ) 2 é par ou 9 é primo ( ) 27 é divisível por 3 e 27 é par ( ) 30 é ímpar ou , 00 Marque a alternativa que contém a sequência correta: a) V, F, V b) F, V, V c) V, F, F d) V, V, F 04- Se p é uma proposição verdadeira, então: a) p q, é verdadeira, qualquer que seja q. b) p q, é verdadeira, qualquer que seja q. c) p q, é falsa, qualquer que seja q. 5

6 05- Sabendo que as proposições e são verdadeiras e que as proposições e são falsas, determinar o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: a) ( ) r p q b) ( ) q r p s c) ( ) r s p q p r q s 06- Sendo p e q proposições quaisquer, r uma proposição verdadeira, s uma proposição falsa, a proposição p r q s será: a) Verdadeira, somente se p for verdadeira. b) Verdadeira, somente se q for verdadeira. c) Verdadeira, para quaisquer valores lógicos de p e q. d) Verdadeira, se p for falsa e q" falsa. 07- (FCC) Considere as seguintes premissas: p: Trabalhar é saudável q: O cigarro mata. A afirmação Trabalhar não é saudável ou o cigarro mata é FALSA se a) p é falsa e ~q é falsa. b) p é falsa e q é falsa. c) p e q são verdadeiras. d) p é verdadeira e q é falsa. e) ~p é verdadeira e q é falsa. 08- Construa as tabelas verdades para as proposições compostas em cada item e comprovar que elas realmente são tautologias. p q a) p b) p p q c) p p q q d) p q q p Tabela para as duas próximas questões A tabela a seguir apresenta as três primeiras colunas da tabela-verdade de uma proposição S construída a partir das proposições P, Q e R. 09- (CESPE) Com base na tabela, assinale a opção que apresenta a sequência correta dos elementos constituintes da coluna da tabelaverdade correspondente à proposição lógica S: R P Q. a) V / F / V / F / F / V / V / V b) V / F / V / F / F / V / F / V c) V / F / V / F / F / F / V / V d) V / F / F / F / F / V / V / V e) V / V / F / F / F / V / V / V 10- (CESPE) Ainda com base na tabela, assinale a opção que apresenta a sequência correta dos elementos constituintes da coluna da tabela-verdade correspondente à proposição lógica S: P Q P R. a) V / V / V / V / V / V / F / V b) V / F / F / F / V / V / V / V c) V / V / V / V / V / V / V / F d) F / V / V / F / V / V / F / V e) V / V / V / F / F / V / V / V 11- Sabendo que os valores de p e q são respectivamente verdadeiro(v) e falso(f), quais os valores lógicos das seguintes afirmativas: ( ) ~ p q q ( ) ~ q p ( ) q q Marque a alternativa que tem a seqüência, respectiva, correta: a) V, V, F b) F, V, F c) F, V, V d) V, V, V 6

7 12- (FCC) Paloma fez as seguintes declarações: Sou inteligente e não trabalho. Se não tiro férias, então trabalho. Supondo que as duas declarações sejam verdadeiras, é FALSO concluir que Paloma (A) é inteligente. (B) tira férias. (C) trabalha. (D) não trabalha e tira férias. (E) trabalha ou é inteligente. 13- (FGV) Marcos declarou: Sábado vou ao teatro ou domingo vou ao cinema. Conclui-se que ele mentiu se ele a) for ao teatro no sábado e não for ao cinema no domingo. b) for ao cinema no sábado e for ao teatro no domingo. c) for ao teatro no sábado e também no domingo. d) não for ao teatro no sábado e não for ao cinema no domingo. e) não for ao cinema no sábado e nem for ao cinema no domingo. 14- Considere a afirmação P: P: A ou B. Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações: A: Carlos é dentista. B: Se Enio é economista, então Juca é arquiteto. Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo: a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto. d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. 15- (CESPE) Em um posto de fiscalização da PRF, os veículos A, B e C foram abordados, e os seus condutores, Pedro, Jorge e Mário, foram autuados pelas seguintes infrações: (i) um deles estava dirigindo alcoolizado; (ii) outro apresentou a CNH vencida; (iii) a CNH apresentada pelo terceiro motorista era de categoria inferior à exigida para conduzir o veículo que ele dirigia. Sabe-se que Pedro era o condutor do veículo C; o motorista que apresentou a CNH vencida conduzia o veículo B; Mário era quem estava dirigindo alcoolizado. Com relação a essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem. Caso queira, use a tabela a seguir. I. A CNH do motorista do veículo A era de categoria inferior à exigida. II. Mário não era o condutor do veículo A. III. Jorge era o condutor do veículo B. IV. A CNH de Pedro estava vencida. V. A proposição Se Pedro apresentou CNH vencida, então Mário é o condutor do veículo B é verdadeira. Estão certos apenas os itens a) I e II b) I e IV c) II e III d) III e V e) IV e V 7

8 16- (CESPE Agente de polícia federal) Texto para os itens de 01 a 08. Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos,, e sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir. 1º- ( ) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição P Q também é verdadeira. 2º- ( ) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição é falsa. 3º- ( ) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a P R Q é verdadeira. R T proposição 17- (FCC) Entre outros, três enfermeiros Abigail, Benício e Clóvis foram incumbidos de acompanhar um Programa de Vacinação contra o vírus da dengue, a ser executado em uma mesma estação de trens metropolitanos da cidade de São Paulo. Sabedor de que, no dia estipulado para a execução do programa, pelo menos um desses três enfermeiros não havia comparecido ao local designado, o Coordenador do Programa convocou-os a prestar esclarecimentos sobre o assunto, ouvindo deles as seguintes declarações: Abigail: Benício faltou e Clóvis faltou. Benício: Clóvis compareceu ou Abigail faltou. Clóvis: Se Benício compareceu, então Abigail faltou. Considerando que as três declarações são falsas, é correto afirmar que, apenas, a) Abigail faltou. b) Benício faltou. c) Clóvis faltou. d) Abigail e Benício faltaram. e) Benício e Clóvis faltaram. 18- As afirmações a seguir sobre os três números inteiros positivos X, Y e Z são verdadeiras: Se Y é múltiplo de 3, então X é par. X é ímpar ou Z é ímpar. Z é par se, e somente se, Y é múltiplo de 3. X.Z = Logo, a) Y é múltiplo de 3 e Z é par. b) Y não é múltiplo de 3 e X é par. c) Y pode ou não ser múltiplo de 3. d) X pode ser par ou ímpar. e) X é ímpar e Z é par. 19- (CESPE) As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não ambas, são chamadas proposições. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A B, lida, entre outras formas, como se A então B, é uma proposição que tem valoração F quando A é V e B é F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma A, lida como não A, é uma proposição que tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V. A expressão da forma A B, lida como A e B, é uma proposição que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem valoração F. Uma expressão da forma A B, lida como A ou B, é uma proposição que tem valoração F apenas quando A e B são F; nos demais casos, é V. Com base nessas definições, julgue os itens que se seguem. 1º- ( ) Uma expressão da forma A B é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F da proposição A B. 8

9 2º- ( ) Considere que as afirmativas Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica e Mara não acertou na loteria sejam proposições verdadeiras. Simbolizando adequadamente essas proposições pode-se garantir que a proposição Ela não ficou rica é também verdadeira. 3º- ( ) A proposição simbolizada por A B B A possui uma única valoração F. 4º- ( ) Considere que a proposição Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu seja verdadeira. Então pode-se garantir que a proposição Sílvia ama Tadeu é verdadeira. 20- (ESAF) Ana é artista ou Carlos é compositor. Se Mauro gosta de música, então Flávia não é fotógrafa. Se Flávia não é fotógrafa, então Carlos não é compositor. Ana não é artista e Daniela não fuma. Pode-se, então, concluir corretamente que a) Ana não é artista e Carlos não é compositor. b) Carlos é compositor e Flávia é fotógrafa. c) Mauro gosta de música e Daniela não fuma. d) Ana não é artista e Mauro gosta de música. e) Mauro não gosta de música e Flávia não é fotógrafa. 21- De três irmãos José, Adriano e Caio -, sabe-se que ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se, também, que ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, respectivamente: a) Caio e José b) Caio e Adriano c) Adriano e Caio d) Adriano e José e) José e Adriano 22- (CESPE) Em determinada escola, ao organizar as salas de aula para o ano letivo de 2010, diretor e professores trabalharam juntos no sentido de se obter a melhor distribuição dos espaços. A escola tem três blocos: norte, central e sul, e o problema maior estava na localização dos ambientes da biblioteca, do laboratório de informática, do laboratório de português e da sala de educação física. Chegou-se às seguintes conclusões: Ou o laboratório de português e a biblioteca ficariam no mesmo bloco ou a sala de educação física e o laboratório de informática ficariam no mesmo bloco; Se a biblioteca ficar no bloco central, o laboratório de informática ficará no bloco sul. Considerando que cada bloco tenha ficado com pelo menos um desses 4 ambientes e que, entre eles, apenas o laboratório de informática tenha ficado no bloco norte, então a sala de educação física e o laboratório de português ficaram a) ambos no bloco sul. b) ambos no bloco central. c) nos blocos central e sul, respectivamente. d) nos blocos sul e central, respectivamente. 23- Maria tem três carros: um gol, um palio e um uno. Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que: 1) ou o gol é branco, ou o uno é branco, 2) ou o gol é preto, ou o palio é azul, 3) ou o uno é azul, ou o palio é azul, 4) ou o palio é preto, ou o uno é preto. Portanto, as cores do gol, do palio e do uno são, respectivamente: a) Branco, preto, azul b) Preto, azul, branco c) Azul, branco, preto d) Preto, branco, azul e) Branco, azul, preto 24- (ESAF) Amigas desde a infância, Beatriz, Dalva e Valna seguiram diferentes profissões e hoje uma delas é arquiteta, outra é psicóloga, e outra é economista. Sabe-se que ou Beatriz é a arquiteta ou Dalva é a 9

10 arquiteta. Sabe-se, ainda, que ou Dalva é a psicóloga ou Valna é a economista. Sabe-se, também, que ou Beatriz é a economista ou Valna é a economista. Finalmente, sabe-se que ou Beatriz é a psicóloga ou Valna é a psicóloga. As profissões de Beatriz, Dalva e Valna são, pois, respectivamente, a) psicóloga, economista, arquiteta. b) arquiteta, economista, psicóloga. c) arquiteta, psicóloga, economista. d) psicóloga, arquiteta, economista. e) economista, arquiteta, psicóloga. 25- (CESPE) Julgue os itens a seguir. 1º- ( ) Se A e B são proposições, então a proposição A B A B é uma tautologia. 2º- ( ) A proposição P Q Q R P R é uma tautologia. GABARITO 01- a) Não gosto de lógica. b) Gosto de lógica e sou vitorioso. c) Gosto de lógica ou não tenho esperança. d) Se gosto de lógica, então sou vitorioso. e) Gosto de lógica e tenho esperança se, e somente se, sou vitorioso. f) Não tenho esperança e não sou vitorioso. g) É falso que tenho esperança e não sou vitorioso. h) Se gosto de lógica, então tenho esperança ou não sou vitorioso. i) Se gosto de lógica e tenho esperança, então sou vitorioso. j) Se não é verdade que gosto de lógica e não tenho esperança, então sou vitorioso. k) Gosto de lógica ou, se não tenho esperança, então não sou vitorioso. 02- Certo, Certo, Errado 03- A 04- B 05- VVV 06- D 07- D 08- a) b) c) d) 09- D 10- A 11- A 12- C 13- D 14- B 15- D 16- Errado, Errado, Certo 17- C 18- B 19- Certo, Errado, Certo, Errado 20- B 21- B 22- C 23- E 24- D 25- Errado, Certo 10