(Equivalência e Implicação lógica aula 10

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1 Aula 2 (Equivalência e Implicação lógica aula 10 Professor: Renê Furtado Felix - Faculdade: UNIP rffelix70@yahoo.com.br - Site: renecomputer.net

2 Equivalência em Lógica Logica - Professor Renê F Felix 2

3 Definição Há equivalência entre as proposições p e q somente quando a bicondicional p q for uma tautologia ou quando p e q tiverem a mesma tabela-verdade. p q (p é equivalente a q) é o símbolo que representa a equivalência lógica. Do ponto de vista da teoria da demonstração, p e q são equivalentes se cada uma delas pode ser derivada a partir da outra. Semanticamente, p e q são equivalentes se elas têm os mesmos valores para qualquer interpretação. Logica - Professor Renê F Felix 3

4 Símbolo Diferenciação dos símbolos e O símbolo representa uma operação entre as proposições p e q, que tem como resultado uma nova proposição p q com valor lógico V ou F. O símbolo representa a não ocorrência de VF e de FV na tabela-verdade P Q, ou ainda que o valor lógico de P Q é sempre V, ou então P Q é uma tautologia. Logica - Professor Renê F Felix 4

5 Símbolo Os símbolos e são distintos! indica uma operação lógica. o Aplicado às proposições P e Q, resulta em uma nova proposição. indica uma relação. o Estabelece que a bi-condicional é tautológica. Logica - Professor Renê F Felix 5

6 Equivalência Lógica Propriedades Reflexiva P P Simétrica Se P Q então Q P Transitiva Se P Q e Q R, então P R Logica - Professor Renê F Felix 6

7 Equivalência Lógica - Revisando Algumas das equivalências mais importantes da Lógica: Leis da Comutatividade P Q Q P P Q Q P Obs.: Cada uma das equivalências pode ser provada, simplesmente mostrando que a bi-condicional correspondente é uma tautologia, bastando, para isso, construir sua Tabela Verdade. Logica - Professor Renê F Felix 7

8 Exemplos As seguintes sentenças são logicamente equivalentes: P(d, f): Se hoje é sábado, então hoje é fim de semana. P(d, f): Se hoje não é fim de semana, então hoje não é sábado. Em símbolos: d : "Hoje é sábado f : "Hoje é fim de semana" Sintaticamente, (d) e (f) são equivalentes pela Lei da Contraposição. Semanticamente, (d) e (f) têm os mesmos valores nas mesmas interpretações. Logica - Professor Renê F Felix 8

9 Exemplos P(p, q): se eu nasci, então papai nasceu p q é equivalente a: p q ~q ~p papai não nasceu, então eu não nasci Logica - Professor Renê F Felix 9

10 Proposições associadas a uma condicional Definição: Dada a condicional p q, chamam- se PROPOSIÇÕES ASSOCIADAS a p q, as 3 seguintes proposições condicionais que contêm p e q: Proposição RECÍPROCA de p q: q p Proposição CONTRÁRIA de p q: ~p ~q Proposição CONTRAPOSITIVA de p q: ~q ~p Logica - Professor Renê F Felix 10

11 Proposições associadas a uma condicional As tabelas-verdade dessas 4 proposições: p q p q q p ~p ~q ~q ~p Logica - Professor Renê F Felix 11

12 Equivalência Lógica Leis da Associatividade (P Q) R P (Q R) (P Q) R P (Q R) Leis da Distributividade P (Q R) (P Q) (P R) P (Q R) (P Q) (P R) Logica - Professor Renê F Felix 12

13 Equivalência Lógica Leis de De Morgan (P Q) P Q (P Q) P Q Leis da Idempotência P P P P P P Logica - Professor Renê F Felix 13

14 Equivalência Lógica Lei da Dupla Negação ( P) P Lei da Condicional P Q P Q Lei da Bi-condicional P Q (P Q) (Q P) P Q (P Q) ( P Q) P ~P ~~P Logica - Professor Renê F Felix 14

15 Equivalência Lógica Lei da Contraposição P Q Q P Lei de Clavius Lei de Clavius P ~P ~P P P P P Lei da Refutação por Absurdo (p q) (p q) p Logica - Professor Renê F Felix 15

16 Equivalência Lógica Lei da Absorção p p q p q p q p q p p q p p Logica - Professor Renê F Felix 16

17 Equivalência Lógica Lei do Dilema (P Q) ( P Q) Q Lei da Demonstração por Absurdo (onde F é uma contradição) P Q F P Q Lei de Exportação - Importação P (Q R) P Q R Logica - Professor Renê F Felix 17

18 Equivalência Lógica O conceito de equivalência nos permite mostrar que são suficientes as operações de negação e uma das duas, conjunção ou disjunção, para representar qualquer expressão proposicional: Eliminando o bi-condicional: P Q (P Q) ( P Q) Logica - Professor Renê F Felix 18

19 Equivalência Lógica Eliminando o condicional: P Q P Q Escrevendo a disjunção em termos de conjunção: P Q ( P Q) Escrevendo a conjunção em termos de disjunção: P Q ( P Q) Logica - Professor Renê F Felix 19

20 Equivalência Lógica Ex.: Escrever a proposição (P Q) P em termos da negação e disjunção Logica - Professor Renê F Felix 20

21 Equivalência Lógica Passos: (P Q) ~ P Eliminando o condicional ~(P Q) ~ P ~( (P Q) ( ~ P ~ Q) ) ~ P ~ ( ~ (~ P ~ Q) ~ (P Q) ) ~ P Eliminando o bi-condicional Conjunção em termos de disjunção Logica - Professor Renê F Felix 21

22 Exemplos A tabela da bicondicional (p q) (~q ~p) será: p q ~q ~p p q ~q ~p (p q) (~q ~p) V V F F V F V F Portanto, p q é equivalente a ~q ~p, pois estas proposições possuem a mesma tabela-verdade ou a bicondicional (p q) (~q ~p) é uma tautologia. Logica - Professor Renê F Felix 22

23 Exemplos A tabela da bicondicional (p q) (~q ~p) será: Portanto, p q é equivalente a ~q ~p, pois estas proposições possuem a mesma tabela-verdade ou a bicondicional (p q) (~q ~p) é uma tautologia. Logica - Professor Renê F Felix 23

24 Exemplos A B A B A A B A B V V F F V F V F Logica - Professor Renê F Felix 24

25 Equivalência Lógica Teoremas A proposição P é logicamente equivalente à proposição Q, ou seja, (P Q), sempre que o bicondicional (P Q) é uma tautologia. Logica - Professor Renê F Felix 25

26 Exemplos Mostrar que (p q) ^ (q p) e (p q) são equivalentes. p q p q q p (p q) ^ (q p) (p q) V V F F V F V F Logo, (p q) ^ (q p) (p q) Tabelas-verdade idênticas Logica - Professor Renê F Felix 26

27 Exemplos Mostrar que (p ^ q) ~(~p v ~q). p q p ^ q ~ p ~ q ~p v ~q ~(~p v ~q) p q V V V F F V F F Como (p ^ q) ~(~p v ~q) é uma tautologia, então (p ^ q) ~(~p v ~q), isto é, ocorre a equivalência lógica. Logica - Professor Renê F Felix 27

28 Implicação Lógica Logica - Professor Renê F Felix 28

29 Definição Implicação Lógica Diz-se que uma proposição P implica logicamente uma proposição Q, se Q é verdadeira todas as vezes que P é verdadeira: Dizemos que P implica Q e escrevemos P => Q Logica - Professor Renê F Felix 29

30 Implicação Lógica modus ponens: (significa modo de afirmar) p (p q) => q (forma clássica) (p q) p => q (pode ser apresentada nesta outra forma). (p q) p.. q p implica em q, ou seja acontecendo p, q necessariamente ocorrerá. p aconteceu, então q ocorreu também. Nós tivemos p, então houve q. Logica - Professor Renê F Felix 30

31 Implicação Lógica modus tollens: (significa modo de negar) ~q (p q) => ~p (forma clássica) (p q) ~q => ~p (pode ser apresentada nesta outra forma). (p q) ~q.. ~p p implica em q, q não ocorreu, então também não ocorreu p. q não aconteceu, então p também não ocorreu. Logica - Professor Renê F Felix 31

32 Implicação Lógica Exemplo: A B A B A V B A B V V V F F V F F A proposição A B é verdadeira somente na linha 1 e, nesta linha, as proposições A V B e A B também são verdadeiras. Logo, a primeira posição implica cada uma das outras posições, isto é: p ^ q p v q e p ^ q p q A B => A B A B => A B Logica - Professor Renê F Felix 32

33 Implicação Lógica As mesmas tabelas-verdade também demonstram as importantes Regras de Inferência: p q p ^ q p v q p q (Adição) p p v q e q p v q (Simplificação) p ^ q p e p ^ q q Logica - Professor Renê F Felix 33

34 Implicação Lógica 2. As tabelas-verdade das proposições p q, p q, q p são: p q p q p q q p A proposição p q é verdadeiras nas linhas 1 e 4 e, nestas linhas, as proposições p q e q p também são verdadeiras. Logo, a primeira posição implica cada uma das outras duas posições, isto é: p q p q e p q q p Logica - Professor Renê F Felix 34

35 Implicação Lógica 3. As tabelas-verdade das proposições (p v q) ^ ~p são: p q p v q ~ p (p v q) ^ ~p Esta proposição é verdadeira somente na linha 3 e, nesta linha, a proposição q também é verdadeira. Logo, subsiste a implicação lógica: (p v q) ^ ~p q Logica - Professor Renê F Felix 35

36 Implicação Lógica 4. A tabelas-verdade da proposições (p q) ^ p são: p q p q (p q) ^ p Esta proposição é verdadeira somente na linha 1 e, nesta linha, a proposição q também é verdadeira. Logo, subsiste a implicação lógica: (p q) ^ p q denominada Regra Modus ponens. Logica - Professor Renê F Felix 36

37 Implicação Lógica 5. A tabelas-verdade da proposições (p q) ^ ~q e ~p são: p q p q ~q (p q) ^ ~q ~p Esta proposição é verdadeira somente na linha 4 e, nesta linha, a proposição ~p também é verdadeira. Logo, subsiste a implicação lógica: denominada Regra do Modus tollens. (p q) ^ ~q ~p, As mesmas tabelas-verdade também mostram que ~p implica p q, isto é: ~p p q Logica - Professor Renê F Felix 37

38 Implicação Lógica Exemplo: p q p q p V q p q Regras Formulas atômicas V V F F V F V F Modus Ponens p (p q) => q Modus Tollens ~q (p q) => ~p Silogismo Hipotético (p q) (q r) =>(p r) Silogismo Disjuntivo Simplificação Adição (p V q) ~p => q p q => p p => p V q Logica - Professor Renê F Felix 38

39 Implicação Lógica Teorema A proposição P implica a proposição Q, isto é: P => Q se e somente se a condicional: P Q (1) é tautológica. Logica - Professor Renê F Felix 39

40 Implicação Lógica Se P implica Q, então, não ocorre que os valores lógicos simultâneos destas duas proposições sejam respectivamente V e F, e por conseguinte a última coluna da tabela-verdade da condicional (1) apresenta somente a letra V, isto é, esta condicional é tautológica. Reciprocamente, se a condicional (1) é tautológica, então, não ocorre que os valores lógicos simultâneos das proposições P e Q sejam respectivamente V e F, e por conseguinte a primeira proposição implica a segunda. Logica - Professor Renê F Felix 40

41 Exemplo A B A B A B (A B) (A B) V V F F V F V F A B => A B (A B) (A B) Logica - Professor Renê F Felix 41

42 Implicação Lógica Propriedades Reflexa - P => P Transitiva - Se P => Q e Q => R, então P => R Logica - Professor Renê F Felix 42

43 Implicação Lógica Algumas das implicações mais importantes da Lógica: Regra da Adição P => P Q Obs.: Cada uma das implicações pode ser provada, bastando para isso construir a Tabela Verdade da condicional correspondente; se a condicional for tautológica, será uma inferência. Logica - Professor Renê F Felix 43

44 Implicação Lógica Regra da Simplificação P Q => P Regra da Simplificação Disjuntiva (P Q) (P ~Q) => P Regra da Absorção P Q => P (P Q) Logica - Professor Renê F Felix 44

45 Implicação Lógica Regra do Silogismo Hipotético (ou Condicional) (P Q) (Q R) => P R Regra do Silogismo Disjuntivo (ou Alternativo) (P Q) ~P => Q Regra do Silogismo Conjuntivo (ou Incompatibilidade) ~(P Q) Q => ~P Logica - Professor Renê F Felix 45

46 Implicação Lógica Dilema Construtivo (P Q) (R S) (P R) => Q S Dilema Destrutivo (P Q) (R S) (~Q ~S) => ~P ~R Regra da Inconsistência (de uma contradição se conclui qualquer proposição) (P ~P) => Q Logica - Professor Renê F Felix 46

47 Modus Ponens (P Q) P => Q Modus Tollens (P Q) ~Q => ~P Regra da Atenuação P Q => P Q R Implicação Lógica Regra da Retorsão ~P P => P Logica - Professor Renê F Felix 47

48 Implicação Lógica e equivalência Uma diferença importantíssima entre a implicação e equivalência reside no fato de que, na implicação, só há o caminho de ida, não existe o de volta. Ou melhor, toda equivalência é uma implicação lógica por natureza. Diferentemente, a implicação não se trata necessariamente de uma equivalência lógica. Podemos então dizer que toda equivalência é uma implicação lógica, mas nem toda implicação é uma equivalência lógica. Logica - Professor Renê F Felix 48

49 Implicação Lógica e equivalência Assim: p ^ q p (certo) O caminho de volta pode estar errado se desejado: p p ^ q (errado) Na equivalência, pode-se ir e vir entre duas proposições. Temos: (~p v q) (p q) O caminho de volta seria perfeitamente válido: (p q) (~p v q) Logica - Professor Renê F Felix 49

50 Implicação Lógica e equivalência Em outras palavras: Dizer que p ^ q p é a mesma coisa que afirmar que p ^ q p Porém, p ^ q p não é a mesma coisa de dizer que p p ^ q Logica - Professor Renê F Felix 50

51 Equivalência Lógica As proposições P e Q são equivalentes quando apresentam tabelas verdades idênticas. Indicamos que p é equivalente a q do seguinte modo: p q. Exemplos: (p q) ^ ( q p) p q p q ~( p ^ ~ q ) ~p v q Logica - Professor Renê F Felix 51

52 Equivalência Lógica Exercício: Dizer que André é artista ou Bernardo não é engenheiro é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. Resolução: Na expressão temos ~p v q p q ~q ~p Temos duas possibilidades de equivalência p q: Se André não é artista, então Bernardo não é engenheiro. Porém não temos essa opção. ~q ~p: Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. Logo reposta letra d). Logica - Professor Renê F Felix 52

53 Equivalência Lógica Exercício: Dizer que Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista, é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que:: a) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. b) Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro. c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista. d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista. e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista. Resolução: Na expressão temos ~p v q p q p q: Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. Letra a). Logica - Professor Renê F Felix 53

54 Equivalência Lógica Exercício: Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. p: Pedro é pobre q: Alberto é alto A proposição é Pedro é pobre e Alberto é alto. (p ^ q) Logica - Professor Renê F Felix 54

55 Equivalência Lógica Logo, dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto é negar toda a proposição Pedro é pobre e Alberto é alto. Aí, escrevendo a nossa proposição composta em linguagem simbólica: ~(p ^ q) Agora, vamos demonstrar na tabela-verdade... Logica - Professor Renê F Felix 55

56 Equivalência Lógica Resposta correta: a) ~(p ^ q) ~p v ~q Ou, no bom português, podemos dizer que: Não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto é logicamente equivalente a dizer que Pedro não é pobre ou Alberto não é alto Logica - Professor Renê F Felix 56

57 Exercícios - Equivalência Lógica 1. A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva Logica - Professor Renê F Felix 57

58 Exercícios - Equivalência Lógica 2.Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é: a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo Logica - Professor Renê F Felix 58

59 Exercícios - Equivalência Lógica 3. Considere as afirmações: A) se Patrícia é uma boa amiga, Vítor diz a verdade; B) se Vítor diz a verdade, Helena não é uma boa amiga; C) se Helena não é uma boa amiga, Patrícia é uma boa amiga. A análise do encadeamento lógico dessas três afirmações permite concluir que elas: a) implicam necessariamente que Patrícia é uma boa amiga b) são consistentes entre si, quer Patrícia seja uma boa amiga, quer Patrícia não seja uma boa amiga c) implicam necessariamente que Vítor diz a verdade e que Helena não é uma boa amiga d) são equivalentes a dizer que Patrícia é uma boa amiga e) são inconsistentes entre si Logica - Professor Renê F Felix 59

60 Exercícios - Equivalência Lógica 4. Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo: a) Rodrigo é culpado. b) se Rodrigo não mentiu, então ele não é culpado. c) Rodrigo mentiu. d) se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu. e) se Rodrigo é culpado, então ele mentiu. Logica - Professor Renê F Felix 60

61 Exercícios - Equivalência Lógica 4. Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo: a) Rodrigo é culpado. b) se Rodrigo não mentiu, então ele não é culpado. c) Rodrigo mentiu. d) se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu. e) se Rodrigo é culpado, então ele mentiu. Logica - Professor Renê F Felix 61

62 Exercícios - Equivalência Lógica 5. Se você se esforçar, então irá vencer. Logo: a) mesmo que se esforce, você não vencerá. b) seu esforço é condição necessária para vencer. c) se você não se esforçar, então não irá vencer. d) você vencerá só se se esforçar. e) seu esforço é condição suficiente para vencer. Logica - Professor Renê F Felix 62

63 Exercícios - Equivalência Lógica 5. Se você se esforçar, então irá vencer. Logo: a) mesmo que se esforce, você não vencerá. b) seu esforço é condição necessária para vencer. c) se você não se esforçar, então não irá vencer. d) você vencerá só se se esforçar. e) seu esforço é condição suficiente para vencer. Logica - Professor Renê F Felix 63

64 Conectivos lógicos Implicação Lógica Logica - Professor Renê F Felix 64

65 Dúvidas? Uma pessoa será tão feliz quanto a sua mente decidir. Abraham Lincoln Logica - Professor Renê F Felix 65