Tutoria Matemática para Informática Teoria geral dos conjuntos Pertinência Inclusão Operações com conjuntos

Transcrição

1 Tutoria Matemática para Informática Teoria geral dos conjuntos Pertinência Є (pertence) ou Є (não pertence) Sempre verificando de elemento para conjunto { } ou Ø = vazio {Ø} = conjunto com elemento vazio {Ø} Ø (são diferentes) a = letra minúscula representa o elemento A = letra maiúscula representa o conjunto Inclusão С (contido) ou Ȼ (não está contido) Ɔ (contém) ou Ɔ (não contém) Sempre verificando de conjunto para conjunto A = {x Є N x é ímpar} 3 A 8 A A = {1,3,5,7,9} B = {1,3,5} C = {6,7,8} A B B A A C C A Operações com conjuntos A U B (União) Somatório dos elementos A = {1,2,3,4,7} B = {3,4,5} A U B = {1,2,3,4,5,7}

2 A B (Interseção) A B = {3,4} Elementos em comum A B (Diferença) A B = {1,2,7} B A = {5}

3 Fatorial Ao produto dos números naturais N = {0,1,2,3,... }, começando em n e decrescendo até 1 denominamos de fatorial de n e representamos no n! Segundo tal definição, o fatorial de 5 é representado por 5! e lê-se 5 fatorial. 5! é igual a que é igual a 120, assim como 4! é igual a que é igual a 24, como 3! é igual a que é igual a 6 e que 2! é igual a 2. 1 que é igual a 2. Por definição tanto 0!, quanto 1! são iguais a 1. Escrevendo um fatorial a partir de um outro fatorial menor Vimos que 5! é equivalente a , mas note que também podemos escrevê-lo de outras formas, em função de fatoriais menores, tais como 4!, 3! e 2!: 5! = 5. 4! 5! = ! 5! = ! Para um fatorial genérico temos: n! = n. (n - 1)! = n. (n - 1). (n - 2)! = n. (n - 1). (n - 2). (n - 3) ! Observe atentamente os exemplos seguintes: (n + 3)! = (n + 3). (n + 2)! (n + 3)! = (n + 3). (n + 2). (n + 1)! (n + 1)! = (n + 1). n! Vamos atribuir a n o valor numérico 6, para termos uma visão mais clara destas sentenças: 9! = 9. 8! 9! = ! 7! = 7. 6! Estes conceitos são utilizados em muitos dos problemas envolvendo fatoriais. Simplificação envolvendo fatoriais Observe a fração abaixo: Vimos que 5! é equivalente a 5! = !. Então podemos escrever a fração da seguinte forma: Agora podemos simplificar o 3! do numerador com o 3! do denominador. Temos então: Permutação Simples A cada um dos agrupamentos que podemos formar com certo número de elementos distintos, tal que a diferença entre um agrupamento e outro se dê apenas pela mudança de posição entre seus elementos, damos o nome de permutação simples.

4 Neste caso o agrupamento de livros (português, matemática, história, geografia), difere do agrupamento (matemática, história, português, geografia), pois embora os elementos de ambos os grupos sejam os mesmos, há mudança no posicionamento de ao menos um dos seus elementos. Fórmula da Permutação Simples Segundo o princípio fundamental da contagem vimos que o número de agrupamentos possíveis deste exemplo era dado por: = 24 Em fatoriais vimos que é igual a 4!, então se chamarmos de Pn a permutação simples de n elementos distintos, podemos calculá-la através da seguinte fórmula: Pn = n! Resolvendo o exemplo com o uso da fórmula temos: Exemplo Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra ORDEM? Um anagrama é uma palavra ou frase formada com todas as letras de uma outra palavra ou frase. Normalmente as palavras ou frases resultantes são sem significado, como já era de se esperar. Como a palavra ORDEM possui 5 letras distintas, devemos calcular o número de permutações calculando P5. Temos então: P5 = 5! = = 120 Portanto: O número de anagramas que podemos formar a partir da palavra ORDEM é igual 120. Combinação Simples Este exemplo é o típico caso, onde agrupamentos com elementos distintos, não se alteram mudando-se apenas a ordem de posicionamento dos elementos no grupo. A diferenciação ocorre apenas, quanto à natureza dos elementos, quando há mudança de elementos. Neste caso estamos tratando de combinação simples. Fórmula da Combinação Simples Ao trabalharmos com combinações simples, com n elementos distintos, agrupados p a p, com p n, podemos recorrer à seguinte fórmula: Ao utilizarmos a fórmula neste nosso exemplo, temos: Exemplo Com 12 bolas de cores distintas, posso separá-las de quantos modos diferentes em saquinhos, se o fizer colocando 4 bolas em cada saco? Como a ordem das bolas não causa distinção entre os agrupamentos, este é um caso de combinação simples. Vamos então calcular C12, 4: Portanto: Posso separá-las de 495 modos diferentes.

5 Permutação com repetição Pn,p CASA P4,2 = 4! 2! = 12 Combinação com repetição => Cn+p-1,p => Cn,p = C n,p n! p!(n p)! n elementos distintos e queremos formar grupos com p elementos não necessariamente distintos, onde a ordem dos elementos dos grupos formados não é importante. Portanto, não é feita a permutação dos p elementos dos grupos formados. Uma sorveteria dispõe de 5 sabores de sorvete. De quantas maneiras uma pessoa pode saborear 2 bolas de sorvete? C5+2-1,2 = C6,2 = 6! = 6.5.4! = 15 maneiras 2!(6 2)! 2!4! Proposições ou lógica proposicional Lógica Matemática Proposições (ou declaração): é uma sentença declarativa que pode ser verdadeira ou falsa, mas não ambas. a) Paris fica na França b) = 2 c) = 3 d) Londres fica na Dinamarca e) 9 < 6 f) x = 2 é solução de x 2 = 4 g) Aonde você está indo? h) Faça seu dever de casa Todas são proposições, exceto g e h a, b e f são verdadeiras c, d e e são falsas Proposições compostas Proposições compostas estão ligadas por conectivos e são formadas por subproposições. As rosas são vermelhas e violetas são azuis. Subproposições: Rosas são vermelhas, violetas são azuis Conectivo: e As proposições anteriores, de a até f são primitivas, pois não podem ser subdivididas em proposições mais simples. Conectivos e valores lógicos e, ou, ~, então, se e somente se a) Windows é um sistema operacional e pascal é uma linguagem de programação. b) Vou comprar um computador desktop ou um notebook

6 c) Linux não é um software livre d) Se chover canivetes, então todos os alunos estarão aprovados em matemática discreta. e) A = B se e somente se (A C B e B C A) E p ^ q (Conjunção) a) Paris fica na França e = 4 b) Paris fica na França e = 5 c) Paris fica na Inglaterra e = 4 d) Paris fica na Inglaterra e = 5 P Q P ^ Q V V V V F F F V F F F F OU p v q (Disjunção) a) Paris fica na França ou = 4 b) Paris fica na França ou = 5 c) Paris fica na Inglaterra ou = 4 d) Paris fica na Inglaterra ou = 5 P Q P v Q V V V V F V F V V F F F ~ não ~p (negação) Se p é verdade então ~p é falso Se p é falso então ~p é verdade P ~P V F F V Condicional (ou implicação) A B onde A implica B A verdade de A implica, ou leva, a verdade de B A é a proposição antecedente e B é a consequente. Se A então B É falsa quando A é verdadeira e B é falsa.

7 Bicondicional Verdadeira, no caso contrário. A B = (A B) ^ (B A) A se e somente se B É verdadeira, quando A e B são ambas verdadeiras ou falsas. É falsa, quando as proposições A e B possuem valor-verdade distintos. Tabela verdade A B A B B A (A B) ^ (B A) V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V Argumentos válidos Um argumento é uma afirmação de que um dado conjunto de proposições P1,P2,P3,...,Pn chamadas de premissas ou hipóteses, conduz (tem como consequência) a uma outra proposição Q, chamada de conclusão. P1,P2,P3,...,Pn Q P1 ^ P2 ^ P3 ^... ^ Pn Q Um argumento é dito válido se Q for verdade sempre que todas as premissas/hipóteses são verdade. Português Conectivo Lógico Expressão Lógica e; mas; também; além disso Conjunção A ^ B Ou Disjunção A v B Se A então B Condicional A B A implica B A, logo B A só se B; A somente se B B segue de A A é uma condição suficiente para B B é uma condição necessária para A A se e somente se B Bicondicional A B A é condição necessária e suficiente para B Não A É false que A... Não é verdade que A... Negação ~A; A ; A Escreva as proposições compostas a seguir através de notações simbólicas. Se os preços subirem, então haverá muitas casas para vender e elas serão caras; mas se as casas não forem caras, então, ainda assim, haverá muitas casas para vender. A: os preços subirem B: haverá muitas casas C: casas serão caras (A B ^ C) ^ (C B) Ou Jane irá vencer ou, se perder, ela ficará cansada. A: Jane irá vencer

8 B: Jane irá perder C: Jane ficará cansada A v (B C) Exercícios Conjuntos Complete as lacunas verificando a pertinência entre os elementos e os conjuntos, dado que A = {x E IN / x é ímpar}. 1 A 4 A Descreva cada um dos elementos a seguir: a. {x x é um inteiro e 5 x < 12} b. {x x é um mês que começa com J} c. {x x é um inteiro e x -3} Operações Sejam: A = {1, 2, 3, 5, 10} B = {2, 4, 7, 8, 9} C = {5, 8, 10} a. A U B b. A C Fatoriais Resolva os exercícios abaixo demonstrando como chegou ao resultado. 6! = 4! = 3! = 7! = 5! 3! = 2! 4! + 2 = 9! + 5 = P 7 = P 10 = C 12,8 = C 6,4 = Combinação e Permutação a) Quantos são os anagramas que podemos formar a partir das letras da palavra ERVILHAS, sendo que eles comecem com a letra E e terminem com vogal? b) Quantas mãos de pôquer, com 5 cartas cada, podem ser distribuídas com um baralho de 52 cartas? Aqui a ordem não importa. Qual é o número de maneiras de escolher 5 objetos entre 52?

9 c) Utilizando a palavra COPACABANA, calcule o número de anagramas formados desconsiderando aqueles em que ocorrem repetições consecutivas de letras. d) Em um torneio de futsal um time obteve 8 vitórias, 5 empates e 2 derrotas, nas 15 partidas disputadas. De quantas maneiras distintas esses resultados podem ter ocorrido? e) Em uma prova composta de 20 questões envolvendo V ou F, de quantas maneiras distintas teremos doze respostas V e oito respostas F? f) Podendo escolher entre 5 tipos de queijo e 4 marcas de vinho, de quantos modos é possível fazer um pedido num restaurante, com duas qualidades de queijo e 3 garrafas de vinho? Observação: temos que escolher os dois tipos de queijo, entre os 5 disponíveis, e em seguida, temos que escolher 3 garrafas entre os 4 vinhos disponíveis (distintos ou não). g) Um menino encontra-se no balcão de uma sorveteria que oferece 7 opções diferentes de sabores. Ele tem dinheiro para comprar 4 sorvetes e ele também pode escolher sabores repetidos. De quantos modos ele poderá fazer a escolha desses quatro sabores de sorvete? Lógica Matemática 1) Seja p a sentença Faz frio e q a sentença Chove. Dê uma sentença verbal simples que descreva cada uma das proposições a seguir: a) ~p b) P ^ q c) P v q d) q v ~p 2) Seja p a sentença João gosta de Matemática, q a sentença João gosta de Álgebra e r João gosta de Cálculo. Escreva cada uma das seguintes declarações na forma simbólica. a) João gosta de Matemática ou Álgebra. b) João gosta de Matemática e Álgebra. c) João não gosta de Cálculo. d) João gosta de Álgebra e não gosta de Matemática. 3) Preencha a tabela: p q P ^ q P v q ~p ~q V V V F F V F F 4) Ache a tabela-verdade de ~p ^ q. 5) Verifique se a proposição p v ~(p ^q) é uma tautologia. Construa a tabela-verdade para demonstrar. 6) Mostre que as proposições ~(p ^ q) e ~p v ~q são equivalentes (ou seja, ambas são iguais). 7) Mostre que o argumento seguinte é uma falácia: [(p q) ^ ~p] ~q. 8) Determine a validade do seguinte argumento: [(p q) ^ ~q] ~p. 9) Prove que o seguinte argumento é válido: [(p ~q) ^ (r q) ^ r] ~p. 10) Construir a tabela-verdade para as seguintes proposições. a) a ^ b

10 b) a v b c) ~a e ~b d) a b e) a b f) (a b) (b a) g) (a v ~a) (b ^ ~b) h) ~[(a ^ ~b) ~c] i) (a b) ( ~b ~a) j) (a b) (~a v b) k) a (b c) (a ^ b) c l) (a ^ b) v c a ^ (b v c)