01/02/2016 LÓGICA MATEMÁTICA. Conectivos lógicos e tabela verdade. Os conectivos lógicos são utilizados para formar novas preposições.

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1 LÓGICA MATEMÁTICA Prof Esp Fabiano Taguchi Conectivos lógicos e tabela verdade CONECTIVOS LÓGICOS Os conectivos lógicos são utilizados para formar novas preposições Já vimos três: Negação; Conjunção; Disjunção 1

2 NEGAÇÃO Proposição: O sorvete é quente ~ Proposição = Verdade Proposição: = 7 ~ Proposição = Falso NEGAÇÃO ATENÇÃO! A negação de uma proposição deve ser feita com cuidado, principalmente quando se trata de uma proposição composta Vejamos a tabela do próximo slide Proposição Negação correta Negação incorreta O dia está quente Paulo é baixo e gordo O rio é raso ou não está poluído O dia não está quente É falso que o dia está quente Não é verdade que o dia está quente É falso que Paulo seja baixo e gordo Paulo não é baixo ou não é gordo Paulo é alto ou magro É falso que o rio seja raso ou não esteja poluído Não é verdade que o rio é raso ou não está poluído O rio é fundo e está poluído Paulo é alto e magro O rio não é raso ou está poluído 2

3 CONJUNÇÃO Une duas proposições em uma única Pode assumir o sentido de mas ou porém Proposição 1: Carlos trabalha Proposição 2: Carlos dirige Proposição 1 ^ Proposição 2: Carlos dirige e trabalha DISJUNÇÃO EXCLUSIVA Une duas proposições em uma única Proposição 1: Carlos é chinês Proposição 2: Carlos é inglês Proposição 1 v Proposição 2: Carlos é chinês ou inglês DISJUNÇÃO INCLUSIVA Une duas proposições em uma única Proposição 1: Carlos é pai Proposição 2: Carlos é brasileiro Proposição 1 v Proposição 2: Carlos é pai ou brasileiro 3

4 DISJUNÇÃO INCLUSIVA Um dos dois valores pode ser verdadeiro, ou os dois podem ser verdadeiros ao mesmo tempo Carlos é médico ou professor EXCLUSIVA Somente um dos dos valores pode ser verdadeiro, não sendo possível os dois serem verdadeiros ao mesmo tempo Mário é alagoano ou gaúcho HORA DE PRATICAR 01 Crie duas disjunções exclusivas 02 Classifique as disjunções abaixo: a) O colchão é macio ou não é macio b) O carro é vermelho ou azul c) A mulher é inteligente ou bonita d) O homem é rico ou pobre e) O jogo é bom ou divertido 4

5 03 Dê a negação das seguintes proposições: a) O processador é rápido, mas a impressora é lenta b) O processador é rápido ou a impressora é lenta c) A comida é boa ou o serviço é excelente d) Pepinos são verdes e não têm sementes CONDICIONAL SE ENTÃO A partir de duas proposições, obtém-se uma terceira, chamada condicional Se chover então o barranco desabará Chover -> Barranco desabará BI-CONDICIONAL SE E SOMENTE SE (<->) A partir de duas proposições, obtém-se uma terceira, chamada bi-condicional A figura abc é um triângulo retângulo A figura abc tem um ângulo reto abc é um triângulo retângulo se abc tem um ângulo reto e abc tem um ângulo reto se abc é um triângulo retângulo 5

6 HORA DE PRATICAR Proposição: O piso está molhado Pede-se: ~Proposição Resultado? Proposição 1: João é magro Proposição 2: João é alto Pede-se: Proposição 1 ^ Proposição 2 Resultado? 6

7 Proposição 1: Carlos é brasileiro Proposição 2: Carlos é amazonense Proposição 3: Carlos é manauara Pede-se: Proposição 1 ^ Proposição 2 ^ Proposição 3 Resultado? Proposição 1: A bola é pequena Proposição 2: A bola é azul Proposição 3: A bola é minha Pede-se: (Proposição 1 ^ Proposição 2) ^ (~Proposição 3) Resultado? Proposição 1: A casa é de madeira Proposição 2: A casa é de tijolo Proposição 3: A casa não possui banheiro Pede-se: (Proposição 1 v Proposição 2) ^ (~Proposição 3) Resultado? 7

8 HORA DE PRATICAR Proposição 1: Se o copo é de alumínio ou de plástico, então o copo pode ser amassado Pede-se: Reduzir a proposição composta em proposições simples e fazer uso dos conectivos Resultado? Proposição 1: O homem é o animal racional Proposição 2: O animal racional é o homem Pede-se: Fazer a representação utilizando o conectivo adequado Resultado? 8

9 Considere as proposições simples A: Está frio, B, Está chovendo e C Está quente Represente as proposições: a) Está frio e está chovendo b) Está frio mas não está chovendo c) Está chovendo ou está quente d) Se está frio então não está quente e) Estará frio se, e somente se, estiver chovendo continuação f) Está quente ou está chovendo g) Se está frio e está chovendo, então não está quente h) Se está quente, então não está chovendo nem está frio i) Estar frio é condição suficiente para chover j) Está chovendo, logo não está quente TABELA VERDADE Instrumento usado para determinar os valores lógicos das proposições compostas, a partir de atribuições de todos os possíveis valores lógicos das proposições simples Fórmula: 2 elevado ao número de proposições simples calcula o número de linhas de uma tabela 9

10 NEGAÇÃO A: Cobra é um réptil Valor lógico: Verdade A ~A V F F V CONJUNÇÃO (2 + 2 = 4) ^ (7 * 3 = 22) Valor lógico: Falso A B A ^ B V V V V F F F V F F F F DISJUNÇÃO (2 + 2 = 4) v (7 * 3 = 22) Valor lógico: Verdade A B A v B V V V V F V F V V F F F 10

11 CONDICIONAL Exprime a ideia de que uma proposição é uma condição necessária para outra Se Pedro nasceu em Fortaleza, então é ele cearense (V) Pedro ter nascido em Fortaleza é uma condição necessária para ser cearense, porém, o contrário não é verdadeiro Se Pedro é cearense, então ele nasceu em Fortaleza (F) CONDICIONAL Nem sempre as proposições simples precisam ser verdadeiras para tornar a implicação verdadeira Se amanhã for feriado, então não irei a faculdade Amanhã será feriado é falso Amanhã não irei à faculdade é verdadeiro A implicação é verdadeira CONDICIONAL Podemos ter ainda as duas proposições falsas, porém com a implicação verdadeira Se estiver nevando em Sinop, então te empresto dinheiro Está nevando em Sinop é falso Te empresto dinheiro é falso A implicação é verdadeira 11

12 CONDICIONAL A implicação só será falsa se a primeira proposição for verdadeira, mas a proposição condicionada não for Se 2 é par, então 4 é impar 2 é par é verdade 4 é ímpar é falso A implicação é falsa CONDICIONAL p: NONONO é eleito q: NONONO vai reduzir os impostos p -> q: Se NONONO for eleito, então NONONO vai reduzir os impostos CONDICIONAL Existem diversas maneiras de se interpretar preposições condicionais, vejamos: p: Maria tira nota 10 no exame final q: Maria recebe o conceito A Se Maria tirar nota 10 no exame final, então terá conceito A 12

13 CONDICIONAL OUTROS INTERPRETAÇÕES: Maria vai receber conceito A quando tirar nota 10 no exame final Para receber o conceito A, é suficiente que Maria tire nota 10 no exame final Maria vai receber conceito A, a menos que não tire 10 no exame final CONDICIONAL Se verde é vermelho -> 2 = 2 Se hoje é dia de aula de lógica para computação -> = 9 A B A -> B V V V V F F F V V F F V BI-CONDICIONAL Representa uma conjunção entre proposição condicionante e proposição condicionada Se José tem média superior a 6, então está aprovado Existe reciprocidade: José está aprovado, então ele tem média superior a 6 José está aprovado se e somente se tiver média superior 6 13

14 BI-CONDICIONAL É considerada verdadeira se e somente se as duas proposições possuírem o mesmo valor lógico Hoje haverá prova de Lógica se e somente se hoje for domingo; Pedro é cearense se e somente se ele nasceu em Fortaleza; 4 é impar se e somente se 2 for par BI-CONDICIONAL p: Você pode tomar um avião q: Você comprou uma passagem aérea p <-> q: Você pode tomar um avião se e somente se você comprou uma passagem aérea BI-CONDICIONAL A figura abc é um triângulo retângulo <-> A figura abc tem um ângulo reto A B A <-> B V V V V F F F V F F F V 14

15 ORDEM DE PRIORIDADE DOS CONECTIVOS LÓGICOS HORA DE PRATICAR 01 Sejam as proposições p: Está frio e q: Está chovendo Faça a tradução para a linguagem corrente das seguintes proposições: a) ~p b) p ^ q c) ~p ^ q d) p ^ ~q e) ~p ^ ~q 15

16 02 Sejam as proposições p: Paula é alta e q: Paula é elegante Faça a tradução para a linguagem simbólica das seguintes proposições: a) Paula é alta e elegante b) Paula é alta, mas não é elegante c) Paula não é alta nem elegante 03 Traduza para a linguagem simbólica as seguintes proposições: a) Os preços não sobem b) Pedro não é justo c) Carlos é asseado d) Os preços sobem e Pedro é justo e) Os preços sobem ou Carlos é asseado f) Carlos não é asseado ou Pedro é justo continuação f) Oferta cai g) Se os preços sobem, então a oferta cai h) Se Pedro não é justo, então os preços sobem i) A oferta não cai e Pedro é justo se e somente se os preços sobem j) Se os preços sobem e a oferta cai, então Carlos é asseado ou Pedro é justo 16

17 CONSTRUÇÃO DE UMA TABELA VERDADE Exemplo: Maria vai ao colégio ou João vai à igreja p: Maria vai ao colégio q: João vai à igreja 2² = 4 linhas CONSTRUÇÃO DE UMA TABELA VERDADE Para a primeira proposição: 2 n-1 de valores V seguidos de 2 n-1 de valores F Para a segunda proposição: 2 n-1 de valores V seguidos de 2 n-1 de valores F, alternadamente CONSTRUÇÃO DE UMA TABELA VERDADE p V V F F q V F V F 17

18 CONSTRUÇÃO DE UMA TABELA VERDADE Dado um argumento composto por 3 proposições simples P (p, q, r) 2³ = 8 linhas na tabela verdade CONSTRUÇÃO DE UMA TABELA VERDADE Para a primeira proposição: 2 n-1 de valores V seguidos de 2 n-1 de valores F Para a segunda proposição: 2 n-2 de valores V seguidos de 2 n-2 de valores F Para a terceira proposição: 2 n-3 de valores V seguidos de 2 n-3 de valores F CONSTRUÇÃO DE UMA TABELA VERDADE p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F 18

19 HORA DE PRATICAR Verifique se as expressões abaixo são verdades ou falsas a) (2+5=7) ^ (cachorro possui penas) b) Nenhum animal respira ^ Brasília é a capital do Brasil c) (2x3+1=7) ^ Cachorro possui penas d) Se o leão respira -> Existe oxigênio no planeta Terra e) Se o cão late -> O gato cacareja ^ Se 4x4=16 -> 16/4=4 Para negar um proposição conjuntiva deve ser feito: Negação da primeira parte; Negação da segunda parte; Trocar o e por ou 19

20 Exemplo: João é médico e Pedro é dentista p: João é médico q: Paulo é dentista ~p v ~q: João não é médico ou Paulo não é dentista Exemplo: Ana é bonita e Adilson estuda p: Ana é bonita q: Adilson estuda ~p v ~q: Ana não é bonita ou Adilson não estuda Para negar um proposição disjuntiva deve ser feito: Negação da primeira parte; Negação da segunda parte; Trocar o ou por e 20

21 Exemplo: Nao é verdade que Pedro é dentista ou Paulo é engenheiro ~p: Pedro não é dentista ~q: Paulo não é engenheiro ~p ^ ~q: Pedro não é dentista e Paulo não é engenheiro Exemplo: Manuela é rubro negra ou = 5 p: Manula é rubro negra q: = 5 ~p ^ ~q: Manuela não é rubro negra e = 5 Para negar um proposição condicional deve ser feito: Manter a primeira parte; Negação da segunda parte; Trocar o ou por e 21

22 Exemplo: Se chover então levarei o guarda chuva p: Chove ~q: Não levo o guarda chuva ~p ^ ~q: Chove e não levo o guarda chuva Exemplo: Se faz sol, vou à praia p: Faz sol q: Vou à praia p ^ ~q: Faz sol e não vou à praia Exemplo: Se uma pessoa é mineira, então come queijo p: Uma pessoa é mineira q: Come queijo p ^ ~q: Uma pessoa é mineira e não come queijo 22

23 Para negar uma disjunção exclusiva: Negação da primeira parte; Negação da segunda parte; Utilizar o símbolo e Exemplo: Ou Ana é médica ou advogada p: Ana é médica q: Ana é advogada ~p ^ ~q: Ana não é média e Ana não é advogada Para negar uma bicondicional: Mantenha a primeira parte Negação da segunda parte; Utilizar o símbolo e 23

24 Exemplo: Jonas irá a Europa se, e somente se o dólar cair p: Jonas irá a Europa q: Dólar cair ~p ^ q: Jonas irá a Europa e o dolár não irá cair HORA DE PRATICAR Negue as expressões abaixo: a) Pimenta nos olhos dos outros é refresco ou colírio b) Se vergonha matasse, Gabriela já teria morrido c) Ou vai ou racha d) Se o cavalo é velho, o remédio é capim novo e) Se Maomé vai a montanha, a montanha vem até Maomé 24

25 Negue as expressões abaixo: f) Falar é prata se, e somente se calar for ouro g) 2 é par e 3 ímpar h) Se Ana viajar, Jurandir vai viajar 25