(Questões de provas resolvidas e comentadas) Carlos R. Torrente

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1 (Questões de provas resolvidas e comentadas) Carlos R. Torrente

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3 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Torrente, Carlos Roberto Raciocínio lógico para concurso, Carlos Torrente 1ª ed. Gov. Valadares MG ISBN: Prefixo Editorial: Direitos reservados. Reprodução proibida Impresso no Brasil / Printed in Brazil Editoração e revisão: Carlos Torrente Diagramação: Carlos Torrente Capa: Willian Passos NOTA: Apesar dos cuidados e revisões, podem ocorrer erros de digitação, ortográficos e dúvidas conceituais. Em qualquer hipótese, solicitamos a sua comunicação para o cursoscrt@gmail.com para que possamos esclarecer ou corrigir, se for o caso.

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5 Agradeço a Deus e dedico este livro à minha esposa Neide, aos meus filhos Camila, Igor, meu genro Willian Passos e minha sobrinha Franciely Torrente.

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7 Sumário: Proposição...09 Conectivo...12 Tabela verdade...14 Como negar uma proposição...19 Proposições equivalentes...42 Equivalências lógicas...52 Tautologia...65 Contradição...66 Contingência...67 Argumentação...69 Proposições categóricas...99 Diagramas lógicos Sentenças abertas Quantificador universal Quantificador existencial Sequência com números e letras Bibliografia...155

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9 RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO Proposição: É uma declaração ou sentença que pode ser julgada como VERDADEIRA V, ou FALSA F, mas não como V e F simultaneamente. Sendo assim, vejamos os exemplos: a) O curso preparatório é o caminho para o sucesso. b) O Brasil é um país democrático. c) As instituições federais tem autonomia. d) Os brasileiros são acolhedores. e) Hoje teremos prova de matemática. f) Todo mineiro é torcedor do Cruzeiro. g) < 6 2 Estas sentenças podem ser julgadas como VERDADEIRAS ou FALSAS, logo, cada sentença representa uma proposição. A sentença ou frase onde você não consegue julgar, se é verdadeira ou falsa, não representa uma proposição. Exemplos: Exclamações: Parabéns! Interrogações: Quantas horas são? Imperativos: Estude para a prova de matemática. Sentenças abertas: x + 3 = 8 9

10 Proposição composta: As proposições compostas são expressões construídas a partir de outras proposições. Exemplo: Carlos é professor (Proposição simples) Roberto é cantor (Proposição simples) Carlos é professor e Roberto é cantor. (Proposição composta) Exercício resolvido: 1 ICMS/SP). Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia. A frase que não possui essa característica comum é a: (A) I. (B) II. (C) III. (D) IV. (E) V. 10

11 Solução: Analisando cada uma das frases, temos: I. Que belo dia! É uma sentença exclamativa, portanto não representa uma proposição. II. Um excelente livro de raciocínio lógico. É uma sentença que não pode ser julgada como falsa ou verdadeira, portanto não representa uma proposição. III. O jogo terminou empatado? É uma sentença interrogativa, portanto não representa uma proposição. IV. Existe vida em outros planetas do universo. É uma sentença que pode ser julgada como falsa ou verdadeira, portanto representa uma proposição simples. V. Escreva uma poesia. É uma sentença imperativa, portanto não representa uma proposição. Portanto, a sentença IV é a única que representa uma proposição simples, as demais frases não são proposições. Resposta correta: LETRA D 11

12 CONECTIVOS: São símbolos usados para ligar as proposições simples, transformando-as em proposições compostas. Os principais conectivos são: Conjunção: A ^ B (lê-se: A e B) Disjunção: A ν B (lê-se: A ou B) Condicional: A B (lê-se: se A então B) Bicondicional: A B (lê-se: A se somente se B) Os conectivos serão representados das seguintes formas: ^: corresponde e (conjunção). Ex: Trabalho e estudo. A Trabalho B Estudo A ^ B (Trabalho e estudo) ν : corresponde ou (disjunção). Ex: Trabalho ou estudo. A Trabalho B Estudo A ν B (Trabalho ou estudo) 12

13 v ou : corresponde...ou,...ou,... mas não ambos. (disjunção exclusiva) Ex: Ou Trabalho ou estudo. A Trabalho B Estudo A v B ou A B (Ou Trabalho ou estudo) OBS: O conectivo v ou não é usado com muita frequência em provas de concurso. : corresponde se...então... (condicional) Ex: Se trabalho então, não estudo. A Trabalho B Não estudo A B (Se trabalho então, não estudo) : Corresponde...se e somente se... (bicondicional). Ex: Trabalho, se e somente se, estudo. A Trabalho B Estudo A B (Trabalho, se e somente se, estudo). 13

14 Tabela verdade: Trata-se de uma tabela formada por linhas e colunas, mediante a qual são analisados os valores lógicos de proposições compostas. O número de linhas da tabela depende do número de proposições que a sentença apresenta. Para encontrar o número de linhas de uma tabela verdade é só utilizar a seguinte fórmula: nº de proposições Nº linhas da Tabela-Verdade = 2 Exemplo: N = 2 n 1 CESPE) A proposição simbólica P ٨ Q ٧ V possui, no máximo, 4 avaliações. ( ) Certa ( ) Errada Solução: A proposição dada P ٨ Q ٧ V tem três sentenças distintas (P, Q e V), logo, usando a fórmula, temos: 2³ = 8, portanto, a proposição tem 8 avaliações. Resposta: Conclusão Errada. 2 CESPE) Considerando os símbolos lógicos (negação), ٨ (conjunção), ٧ (disjunção), (condicional) e as proposições S: (p ٨ q) ٧ ( p ٨ r) q ٧ r T: ((p ٨ q) ٧ ( p v r)) ٨ ( q ٨ r), 14

15 As tabelas-verdade de S e de T possuem, cada uma, 16 linhas. Solução: A proposição dada S tem três sentenças distintas (p, q e r), 2³ = 8, portanto, a proposição S tem 8 avaliações. A proposição dada T tem três sentenças distintas (p, q e r), 2³ = 8, portanto, a proposição T tem 8 avaliações. Resposta: Conclusão Errada. Construção da tabela verdade de uma conjunção: Conjunção: Proposições compostas em que está presente o conectivo e representado pelo símbolo. A ٨ B (lida como A e B ): Uma conjunção tem valor lógico Verdadeiro (V) quando ambas proposições forem Verdadeiras; nos demais casos, será Falso ( F ). Tabela verdade de uma conjunção: A B A ٨ B V V V V F F F V F F F F 15

16 Construção da tabela verdade de uma disjunção: Disjunção: Proposições compostas em que está presente o conectivo ou são ditas DISJUNÇÕES. Uma disjunção pode ser inclusiva, representada pelo símbolo ٧, ou exclusiva, representada pelo símbolo v ou. Construção da tabela verdade de uma disjunção inclusiva: A ٧ B (lida como A ou B ): Uma disjunção inclusiva tem valor lógico F quando ambas forem Falsas; nos demais casos, será V; Tabela verdade de uma disjunção inclusiva: A B A ٧ B V V V V F V F V V F F F 16

17 Construção da tabela verdade de uma disjunção exclusiva: A v B (lida como ou A... ou B... ): Uma disjunção exclusiva tem valor lógico F quando ambas forem verdadeiras ou Falsas; ou seja, quando ambas proposições tiverem os mesmos valores lógicos, nos demais casos, será V; Tabela verdade de uma disjunção exclusiva: A B A v B V V F V F V F V V F F F Construção da tabela verdade de uma condicional: Condicional: Proposições compostas em que está presente o conectivo se... então que é representado pelo símbolo. A B (lida como se A, então B ): Uma condicional tem valor lógico F quando A for Verdade e B for Falso; nos demais casos, será V; 17

18 Tabela verdade de uma condicional: A B A B V V V V F F F V V F F V Construção da tabela verdade de uma bicondicional: Bicondicional: Proposições compostas em que está presente o conectivo Se e somente se representada pelo símbolo. A B (lida como se A, se e somente se B ): Uma bicondicional tem valor lógico V quando ambas proposições tiverem os mesmos valores lógicos, ou seja Falsas (F,F) ou Verdadeiras (V,V); nos demais casos, será F; Tabela verdade de uma bicondicional: A B A B V V V V F F F V F F F V 18

19 Como negar uma proposição: O símbolo que representa a negação é uma pequena cantoneira ( ) ou um sinal de til (~), antecedendo o símbolo que representa a proposição. No caso de uma proposição simples basta pôr a palavra não antes do verbo, e já a tornamos uma negativa. Exemplos: Carlos é professor Negação: Carlos não é professor Igor é engenheiro. Negação: Igor não é engenheiro. Veja a negação de proposições simples na tabela verdade. A é a negação de A: tem valor lógico F quando A for V, e V, quando A for F. Tabela verdade da negação de proposições: A B A B V V F F V F F V F V V F F F V V 19

20 Em resumo, os valores lógicos representados na tabela verdade ficam da seguinte forma: A B A B A ٨ B A ٧ B A v B A B A B V V F F V V F V V V F F V F V V F F F V V F F V V V F F F V V F F F V V Exemplos: 1 Represente cada uma das sentenças usando os conectivos lógicos, considerando que as letras A, B, C e D representam as seguintes proposições: A: Carlos é professor. C: Paulo é ator. B: Roberto é cantor. D: Igor é policial. a) Paulo é ator e Igor é policial. C ٨ D b) Roberto é cantor ou Igor é policial. B ٧ D c) Igor é policial e Carlos é professor. D ٨ A d) Carlos não é professor e Roberto é cantor. A ٨ B e) Se Paulo é ator, então Igor não é policial. C D f) Se Carlos é professor e Pedro é atleta, então Igor é policial. ( A ٨ C ) D 20

21 Negação de uma proposição composta: Negação de uma conjunção: Para negar uma proposição composta por uma conjunção, deve-se negar a primeira e a segunda proposição, e depois trocar o conectivo e por ou. Exemplo: 1 IBFC) A negação da frase: Carlos foi a praia e o tempo estava fechado é: a) Carlos não foi a praia ou o tempo estava fechado. b) Carlos não foi a praia e o tempo não estava fechado. c) Carlos não foi a praia ou o tempo não estava fechado. d) Carlos foi a praia e o tempo não estava fechado. Solução: Temos a proposição: Carlos foi a praia e o tempo estava fechado. A: Carlos foi a praia. B: O tempo estava fechado. A ٨ B: Carlos foi a praia e o tempo estava fechado. 21

22 Analisando as alternativas dadas, temos: a) Carlos não foi a praia ou o tempo estava fechado. A ٧ B b) Carlos não foi a praia e o tempo não estava fechado. A ٨ B c) Carlos não foi a praia ou o tempo não estava fechado. A ٧ B d) Carlos foi a praia e o tempo não estava fechado. A ٨ B Comentário: Para negar uma conjunção, deve-se negar a primeira e a segunda proposição e trocar o conectivo e por ou, assim: (A ٨ B) = ( A ٧ B). Resposta correta: Letra C. Negação de uma disjunção: Para negar uma proposição composta por uma disjunção, deve-se negar a primeira proposição e depois negar a segunda, trocando ou por e. Simbolicamente, temos: (A ٧ B) = ( A ٨ B) 22

23 01 ESAF/2009) A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra é: a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. b) Paris não é a capital da Inglaterra. c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra. d) Milão não é a capital da Itália. e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. Solução: Para negar a disjunção exclusiva Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra, deve-se negar a proposição Milão é a capital da Itália e depois negar a proposição Paris é a capital da Inglaterra, trocando o conectivo ou por e. A = Milão é a capital da Itália B = Paris é a capital da Inglaterra. Simbolicamente, temos: (A ٧ B) = ( A ٨ B) Portanto, a negação da proposição Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra é Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. Resposta correta: Letra A 23

24 2 - CESPE/2010) A negação da proposição Pedro não sofreu acidente de trabalho ou Pedro está aposentado é Pedro sofreu acidente de trabalho ou Pedro não está aposentado. Resolução: Para negar a disjunção exclusiva Pedro não sofreu acidente de trabalho ou Pedro está aposentado, devese negar a proposição Pedro não sofreu acidente de trabalho e depois negar a proposição Pedro está aposentado, trocando o conectivo ou pelo conectivo e. A: Pedro não sofreu acidente de trabalho. B: Pedro está aposentado. Simbolicamente, temos: ( A ٧ B) = (A ٨ B) Portanto, a negação da proposição Pedro não sofreu acidente de trabalho ou Pedro está aposentado é Pedro sofreu acidente de trabalho e Pedro não está aposentado. Esta é uma questão do tipo certo ou errado, comum nas provas da CESPE, portanto, o item está ERRADO. Comentário: Lembre-se que a negação de uma negação é uma afirmação. 24

25 Negação de uma condicional: Para negar uma proposição composta com condicional, deve-se repetir a primeira proposição, substituir o conectivo se...então pelo conectivo e e negar a segunda proposição. Exemplo: 1 A negação de Se estudo então sou aprovado é: a) Não estudo e sou aprovado. b) Estudo e não sou aprovado. c) Se não estudo então não sou aprovado. d) Se sou aprovado então estudo. e) Se não sou aprovado então não estudo. Solução: A representação simbólica da proposição: Se estudo então sou aprovado, é: A: Estudo. B: Sou aprovado. Se estudo então sou aprovado. A B Para negar a proposição Se estudo então sou aprovado, deve-se repetir a proposição estudo, negar a proposição sou aprovado e substituir o conectivo se...então por e. Vejam: (A B) = A ٨ B Portanto, temos: Estudo e não sou aprovado. Resposta correta: Letra B. 25

26 Negação de uma bicondicional: Negar uma proposição composta com bicondicional equivale a negar duas condicionais [p q = (p q) e (q p)], portanto, para negar a bicondicional, teremos que negar a primeira condicional ou negar a segunda condicional. Exemplo: 1 A negação da proposição Ficarei rico se, e somente se, ganhar na mega sena, é Ficarei rico se, e somente se, não ganhar na mega sena. Solução: A representação simbólica da proposição Ficarei rico se, e somente se, ganhar na mega sena, é: A: Ficar rico B: Ganhar na mega sena A B: Ficarei rico se, e somente se, ganhar na mega sena. Negando a proposição, temos: Se fico rico então, não ganho na mega sena e se não ganho na mega sena então fico rico. Veja a representação simbólica da negação: (A B) = (A B) ٨ ( B A) 26

27 Exercícios resolvidos: 1 (CESPE/ BB ) Uma expressão da forma (A ٨ B ) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F da proposição A B. Resolução: Construindo a tabela verdade das proposições (A ٨ B ) e A B, temos: A B B (A٨ B) ( A٨ B ) A B V V F F V V V F V V F F F V F F V V F F V F V V Observe que as duas últimas colunas, que representam as proposições compostas (A ٨ B) e A B tem os mesmos valores lógicos (V, F, F e V). Resposta: Esta questão é da CESP/UNB do tipo CERTA ou ERRADA, portanto esta questão apresentou uma conclusão CERTA. 27

28 2 (CESPE/2007) A proposição simbolizada por (A B) (B A ) possui uma única valoração F. Resolução: Construindo a tabela verdade da proposição composta (A B) (B A ), temos: A B A B B A (A B ) (B A ) V V V V V V F F V V F V V F F F F V V V Existe somente uma avaliação falsa F (na linha 3) nos valores lógicos que representam a proposição (A B) (B A ). Resposta: Esta questão é da CESPE/UNB do tipo CERTA ou ERRADA. Esta a questão apresentou uma conclusão CERTA. 3 FCC/2006) Considere a proposição Paula estuda, mas não passa no concurso. Nessa proposição, o conectivo lógico é: a) disjunção inclusiva. b) conjunção. c) disjunção exclusiva. d) condicional. e) bicondicional. 28

29 Solução: Simbolizando a proposição Paula estuda, mas não passa no concurso, temos: A: Paula estuda. B: Não passa no concurso. Portanto, Paula estuda, mas não passa no concurso pode ser representar por A ٨ B. Comentário: O conectivo mas representa uma conjunção. Alternativa correta: Letra B. 4 IBFC) Se o valor lógico de uma proposição P é verdadeiro e o valor lógico de uma proposição Q é falso, então é correto afirmar que: a) O condicional entre P e Q, nessa ordem, é verdade. b) A disjunção entre P e Q é verdade. c) A conjunção entre P e Q, nessa ordem, é verdade. d) O bicondicional entre P e Q, nessa ordem, é verdade. 29

30 Solução: Analisando cada alternativa dada, considerando que P verdadeiro e Q falso, temos: a) O condicional entre P e Q, nessa ordem, é verdade. P Q V F (FALSO) b) A disjunção entre P e Q é verdade. P ٧ Q V F (VERDADE) c) A conjunção entre P e Q, nessa ordem, é verdade. P ٨ Q V F (FALSO) d) O bicondicional entre P e Q, nessa ordem, é verdade. P Q V F (FALSO) Comentário: Sendo P verdadeiro e Q falso, verificamos que a proposição P ٧ Q tem valor lógico verdade. Alternativa correta: Letra B. 30

31 Outra solução: Construindo a tabela verdade. a) b) c) d) P Q P Q P ٧ Q P ٨ Q P Q V V V V V V V F F V F F F V V V F F F F V F F V Comentário: Sendo P verdadeiro e Q falso, verificamos, na segunda linha, que a proposição P ٧ Q tem valor lógico verdade. Resposta correta: Letra B 5 CESPE) Considere a tabela-verdade abaixo, onde as colunas representam os valores lógicos para as fórmulas A, B e A ٧ B, sendo que o símbolo ٧ denota o conector ou, V denota verdadeira e F denota falsa. A B A ٧ B V V V F F V F F 31

32 Os valores lógicos que completam a última coluna da tabela, de cima para baixo, são: a) V, F, V, V; b) V, F, F, V; c) F, V, F, V; d) V, V, V, F; e) F, F, V, V. Solução: Na última coluna da tabela temos uma disjunção inclusiva com duas proposições A e B. Uma proposição composta será FALSA (F), quando as duas proposições simples A e B forem FALSAS (F). Vejam a última linha da tabela: Portanto, temos: A B A ٧ B V V V V F V F V V F F F Alternativa correta: Letra D. 32

33 6 CESPE) A proposição composta ( A ) ٧ ( B) tem valorações contrárias às valorações da proposição A ٨ B, independentemente das possíveis valorações V e F dadas às proposições básicas A e B. Solução: Construindo a tabela-verdade: A B A B ( A ٧ B) A ٨ B V V F F F V V F F V F F F V V F F F F F V V V F Comentário: Analisando as duas últimas colunas da tabela verdade verificamos que as proposições ( A ٧ B) e A ٨ B tem valores lógicos contrários. Resposta: Esta questão da CESPE/UNB é do tipo CERTA ou ERRADA, portanto, a questão apresentou uma conclusão CERTA. 33

34 7 IBFC) Das afirmações abaixo, a única que é verdade é: a) A disjunção p ٧ q é verdade se e somente se p e q são verdadeiras. b) A conjunção p ٨ q é falsa se e somente se p e q são falsas. c) A bicondicional p q é falsa se e somente se p e q são falsas. d) A condicional p q é falsa se, e somente se, p é verdadeira e q é falsa. Solução: Construindo a tabela verdade, teremos: a) b) c) d) p q p ٧ q p ٨ q p q p q V V V V V V V F V F F F F V V F F V F F F F V V Na segunda linha verificamos que a proposição p q é falsa se, e somente se, p é verdadeira e q é falsa. Alternativa correta: Letra D 34

35 8 ESAF/2009) Assinale a opção verdadeira. a) 3 = 4 ou = 9 b) Se 3 = 3, então = 9 c) 3 = 4 e = 9 d) Se 3 = 4, então = 9 e) 3 = 3 se e somente se = 9 Solução Usando a tabela verdade temos: A B A B A ٨ B A ٧ B A B A B V V F F V V V V V F F V F V F F F V V F F V V F F F V V F F V V a) 3 = 4 ou = 9 F ٧ F (Falso) b) Se 3 = 3, então = 9 V F (Falso) c) 3 = 4 e = 9 F ٨ F (Falso) 35

36 d) Se 3 = 4, então = 9 F F (verdadeiro) e) 3 = 3 se, e somente se, = 9 V F (Falso) Resposta correta: Letra D 9 CESPE/2008) Considerando as definições apresentadas, as letras proposicionais adequadas e a proposição Nem Antônio é desembargador nem Jonas é juiz, assinale a opção correspondente à simbolização correta dessa proposição. a) (A ٨ B) b) ( A) v ( B) c) ( A) ^ ( B) d) ( A) v B e) [A ( B)] Resolução: Fazendo da representação simbólica da proposição Nem Antônio é Desembargador nem Jonas é juiz, temos: A: Antônio é Desembargador. B: Jonas é Juiz. 36

37 Na proposição Nem Antônio é desembargador nem Jonas é juiz tem uma conjunção implícita. Podemos escrever esta proposição da seguinte forma: Nem Antônio é desembargador e nem Jonas é juiz, que simbolicamente é representado por ( A) ٨ ( B). Resposta correta: Letra B. 10 IBFC) Considere as proposições: t: 3 é um número primo. u: 2 é um quadrado perfeito. Sendo (V) para o valor verdade e (F) para valor falso, pode-se dizer que: a) t ٨ u = V b) u t = F c) t u = V d) u ٧ t = V Solução: Analisando as proposições, temos: t: 3 é um número primo. VERDADE u: 2 é um quadrado perfeito. FALSO 37

38 Construindo a tabela verdade: a) b) c) d) t u t ٨ u u t t u u ٧ t V V V V V V V F F V F V F V F F F V F F F V V F Na segunda linha verificamos que a disjunção u ٧ t é verdade se u é falsa e t é verdadeira. Resposta correta: Letra D Outra solução: Analisando cada proposição sem construir a tabela verdade: Como sabemos que t é verdade e u é falso, temos: a) t ٨ u = V V F ( Falso ) b) u t = F F V (Verdade) 38

39 c) t u = V V F (Falso) d) u ٧ t = V F V (Verdade) Resposta correta: Letra D (A disjunção u ٧ t é verdade se u é falsa e t é verdadeira). 11 FCC/2006) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições. p q? V V F V F V F V F F F F A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é: (A) p ٧ q (B) p q (C) (p q) (D) p q (E) (p ٨ q) 39

40 Resolução: Construindo a tabela-verdade a) b) c) d) e) p q p ٨ q p q ( p q ) p q (p ٨ q) V V V V F V F V F F F V F V F V F V F F V F F F V F V V Resposta Correta: LETRA C 12 IBFC) O valor lógico de uma proposição p é verdadeiro e o valor lógico de uma proposição q é falso. Nessas condições, o valor lógico da proposição composta [( p q) p] ٨ q é: a) Falso. b) Inconclusivo. c) Falso ou verdadeiro. d) Verdadeiro. 40

41 Solução: Construindo a tabela verdade, temos: p q p q p q [( p q) p [( p q) p] ٨ q V V F F F V V V F F V V V F F V V F V F F F F V V F V F Na segunda linha verificamos que se p é verdadeiro e q é falso, então a proposição composta [( p q) p] ٨ q é falsa. Alternativa correta: Letra A 13 CESPE/2008) A proposição composta Se A então B é necessariamente verdadeira. Solução: A proposição composta Se A então B representa uma condicional. Uma condicional será F quando a primeira proposição for V e a segunda proposição for F, caso contrário será V. 41

42 Construindo a tabela verdade: A B A B V V V V F F F V V F F V Pela tabela verdade verificamos que quando a proposição A é verdadeira e a proposição B é falsa (2ª linha) temos uma valoração FALSA. Conclusão ERRADA. 14 CESPE/2012) Se P e Q representam, respectivamente, as proposições Eu não sou traficante e Eu sou usuário, então a premissa 1 estará corretamente representada por P e Q. Solução: Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário = Eu não sou traficante, mas eu sou usuário. O mas representa uma conjunção. Conclusão CERTA. 42

43 Proposições equivalentes: Duas proposições são equivalentes quando têm os mesmos valores lógicos para todos os possíveis valores lógicos das proposições que as compõem. Exercícios resolvidos: 01 FCC/2006) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a p q é: a) q p b) q p c) p q d) q p e) (q p) Solução: Veja na tabela verdade os valores lógicos da proposição p q: p q p q V V V V F F F V V F F V 43

44 Uma proposição equivalente à proposição p q tem que ter os valores lógicos V, F, V e V. Veja a tabela verdade de cada alternativa apresentada. a) Comparando as proposições p q e q p: p q p q q p V V V V V F F F F V V V F F V V As proposições p q e q p tem os mesmos valores lógicos ( V, F, V e V), portanto são equivalentes. b) Comparando as proposições p q e q p p q p q q p V V V V V F F V F V V V F F V F As proposições p q e q p não tem os mesmos valores lógicos, portanto não são equivalentes. 44

45 c) Comparando as proposições p q e p q: p q p q p q V V V V V F F V F V V F F F V V As proposições p q e p q não tem os mesmos valores lógicos, portanto não são equivalentes. d) Comparando as proposições p q e q p p q p q q p V V V F V F F V F V V V F F V V As proposições p q e q p não tem os mesmos valores lógicos, portanto não são equivalentes. 45

46 e) Comparando as proposições p q e (q p): p q p q (q p) V V V F V F F F F V V V F F V F As proposições p q e (q p) não tem os mesmos valores lógicos, portanto não são equivalentes. A resposta correta é a letra A. 02 IPAD) A sentença: Penso, logo existo é logicamente equivalente a: a) Penso e existo. b) Nem penso, nem existo. c) Não penso ou existo. d) Penso ou não existo. e) Existo, logo penso. 46

47 Solução: Simbolizando a sentença, temos: A Penso B - Existo A B: Penso, logo existo Representando na tabela verdade a sentença Penso, logo existo que simbolicamente pode ser representado por A B, temos: A B A B V V V V F F F V V F F V A sentença Penso, logo existo, que simbolicamente é representada por A B tem os seguintes valores lógicos V, F, V, e V. Uma proposição equivalente a A B tem que apresentar estes mesmos valores lógicos. Simbolizando as alternativas dadas e construindo a tabela verdade, temos: 47

48 a) Penso e existo. A ٨ B A B A B A ٨ B V V V V V F F F F V V F F F V F A sentença Penso e existo, representada simbolicamente por A ٨ B, não tem os mesmos valores lógicos da sentença Penso, logo existo, representada simbolicamente por A B, portanto não são equivalentes. b) Nem penso, nem existo. A ٨ B A B A B A B A ٨ B V V F F V F V F F V F F F V V F V F F F V V V V A sentença Nem penso, nem existo, representada simbolicamente por A ٨ B, não tem os mesmos valores lógicos da sentença Penso, logo existo, representada simbolicamente por A B, portanto não são equivalentes. 48

49 c) Não penso ou existo. A ٧ B A A B A B A ٧ B V F V V V V F F F F F V V V V F V F V V A sentença Não penso ou existo, representada simbolicamente por A ٧ B, tem os mesmos valores lógicos da sentença Penso, logo existo, representada simbolicamente por A B, portanto são equivalentes. d) Penso ou não existo. A ٧ B A B B A B A ٧ B V V F V V V F V F V F V F V F F F V V V A sentença Penso ou não existo, representada simbolicamente por A ٧ B, não tem os mesmos valores lógicos da sentença Penso, logo existo, representada simbolicamente por A B, portanto não são equivalentes. 49

50 e) Existo, logo penso. B A A B A B B A V V V V V F F V F V V F F F V V A sentença Existo, logo penso, representada simbolicamente por B A, não tem os mesmos valores lógicos da sentença Penso, logo existo, representada simbolicamente por A B, portanto não são equivalentes. Resposta correta: Letra C 3 CESPE/2008) Simbolizando-se adequadamente, pode-se garantir que a proposição Se o caminhão atropelou o tamanduá então Ana foi lavar roupas é equivalente à proposição Se Ana não foi lavar roupas então o caminhão não atropelou o tamanduá. Solução: Duas proposições são equivalentes quando têm os mesmos valores lógicos. 50

51 Simbolizando as proposições Se o caminhão atropelou o tamanduá então Ana foi lavar roupas e Se Ana não foi lavar roupas então o caminhão não atropelou o tamanduá, temos: A: O caminhão atropelou o tamanduá. B: Ana foi lavar roupas. A B: Se o caminhão atropelou o tamanduá então Ana foi lavar roupas. B A: Se Ana não foi lavar roupas então o caminhão não atropelou o tamanduá. Fazendo a tabela-verdade: A B A B A B B A V V F F V V V F F V F F F V V F V V F F V V V V 51

52 A sentença Se o caminhão atropelou o tamanduá então Ana foi lavar roupas, representada simbolicamente por A B, tem os mesmos valores lógicos da sentença Se Ana não foi lavar roupas então o caminhão não atropelou o tamanduá, representada simbolicamente por B A, portanto, as proposições são equivalentes não são equivalentes. Resposta: Esta questão é do tipo CERTO ou ERRADO, portanto, a questão apresentou uma conclusão CERTA. Equivalências lógicas: Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente equivalentes) quando os resultados de suas tabelas-verdade são idênticos. Uma conseqüência prática da equivalência lógica é que ao trocar uma dada proposição por qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de dizê-la. A equivalência lógica entre duas proposições, A e B, pode ser representada simbolicamente como: A B, ou simplesmente por A = B. 52

53 Equivalências da Condicional: As equivalências da condicional são as seguintes: 1 ) Se A então B = Se não B então não A. A B implica que B A (contra-positiva) Fazendo a tabela-verdade: A B A B A B B A V V F F V V V F F V F F F V V F V V F F V V V V Pela tabela verificamos que a proposição composta A B tem os mesmos valores lógicos da proposição composta B A, portanto, as proposições são equivalentes são equivalentes. A proposição B A é a contra-positiva da proposição A B. Ex: Dizer que Se chove então me molho equivale a dizer que Se não me molho então não chove. 53

54 2 ) Se A então B = Não A ou B. A B implica que A ٧ B Fazendo a tabela-verdade: A B A B A B A ٧ B V V F F V V V F F V F F F V V F V V F F V V V V Ex: Dizer que Se estudo então passo no ENEM equivale a dizer que Não estudo ou passo no ENEM. Outra equivalências: As seguintes expressões podem ser empregadas como equivalentes a: Se A então B : Se Carlos é cruzeirense, então Marcelo é atleticano. Se A, B. Se Carlos é cruzeirense, Marcelo é atleticano. 54

55 B, se A. Marcelo é atleticano, se Carlos é cruzeirense. A é condição suficiente para B. Carlos é cruzeirense é condição suficiente para Marcelo é atleticano. B é condição necessária para A. Marcelo ser atleticano é condição necessária para Carlos ser cruzeirense. Equivalências com símbolo de negação: Proposição Negação direta Equivalente da negação A ٨ B (A ٨ B) A ٧ B A ٧ B (A ٧ B) A ٨ B A B (A B) A ٨ B A B (A B) A ٨ B ou A ٨ B 55

56 Leis de De Morgan: Sejam as afirmações: A = Carlos é professor. B = Roberto é cantor. (A B) A B (A B) A B Essas duas equivalências são conhecidas como leis de De Morgan que foi o primeiro a expressá-las em termos matemáticos. Exemplo 01: p = Carlos é professor e Roberto é cantor. p = Carlos não é professor ou Roberto não é cantor. Exemplo 02: p = Carlos é professor ou Roberto é cantor. p = Carlos não é professor e Roberto não é cantor. 56

57 Exercícios resolvidos: 1 EBSERH) A afirmação inflação alta causa desemprego é equivalente, do ponto de vista lógico-matemático, a: a) se a inflação não está alta, não há desemprego. b) se a inflação não está alta, há desemprego. c) se não há desemprego, a inflação está alta. d) se não há desemprego, a inflação não está alta. e) se há desemprego, a inflação está alta. Resolução: Seja a sentença representada pela condicional: inflação alta causa desemprego, quer dizer Quando há inflação alta, então vai existir desemprego. Dada uma condicional do tipo: A B, podemos obter duas proposições equivalentes a essa condicional utilizando-se de dois conceitos: contra positiva e pela dupla negação, veja: Equivalência pela contra positiva: (A B) = ( B A). Equivalência pela dupla negação: (A B) = ( A ٧ B). Obtendo a equivalência pela linguagem corrente, teremos: 57

58 Pela contra positiva: inflação alta causa desemprego é equivalente a Se não há desemprego, a inflação não está alta. Este mesmo exercício pode ser resolvido usando a tabela verdade: A: Inflação alta. B: Há desemprego. Fazendo a tabela-verdade: A B A B A B B A V V F F V V V F F V F F F V V F V V F F V V V V Se a inflação não está alta, não há desemprego. A B Se a inflação não está alta, há desemprego. A B Se não há desemprego, a inflação está alta. B A Se não há desemprego, a inflação não está alta. B A Se há desemprego, a inflação está alta. B A Portanto, alternativa correta é a letra (D). 58

59 2 ESAF/2005) A afirmação Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris é logicamente equivalente à afirmação: a) É verdade que Pedro está em Roma e Paulo está em Paris. b) Não é verdade que Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris. c) Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris. d) Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris. e) É verdade que Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris. Resolução: Seja a sentença representada pela condicional: Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris. Dada uma condicional do tipo: A B, podemos obter A proposição equivalente a essa condicional utilizando-se de o conceitos da dupla negação, veja: 59

60 Equivalência pela dupla negação: (A B) = ( A ٧ B). Como nas alternativas só temos ou e e, trata-se da 1ª equivalência. Daí temos: A: Pedro está em Roma; B: Paulo está em Paris; ( A ٧ B): Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris. Alternativa correta é a Letra (D). Outra resolução: Nessa questão, temos que: A: Pedro está em Roma B: Paulo está em Paris O que a questão pede é uma proposição equivalente à negação de A B. Assim, temos: (A B) = A ^ B Vamos passar as alternativas para a linguagem simbólica: a) A ^ B (item incorreto) b) (A v B) = A ^ B (item incorreto) c) ( A v B) = A ^ B (item incorreto) d) ( A v B) = A ^ B (item correto) e) A v B (item incorreto) 60

61 Com isso, podemos afirmar que "Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris ". Resposta correta: Letra D. 3 EBSERH) Considerando a afirmação Se eu for aprovado no concurso, viajarei de férias como verdadeira, assinale a alternativa correta. a) A afirmação Se eu não for aprovado no concurso, viajarei de férias é verdadeira. b) A afirmação Se eu for aprovado no concurso, viajarei de férias é verdadeira. c) A afirmação Se eu não viajar de férias, terei sido aprovado no concurso é verdadeira. d) A afirmação Se eu for não aprovado no concurso, não viajarei de férias é equivalente à afirmativa. e) A afirmação Se eu não viajar de férias, não terei sido aprovado no concurso é equivalente à afirmativa dada. Resolução: Seja a sentença representada pela condicional: Se eu for aprovado no concurso, viajarei de férias. 61

62 Dada uma condicional do tipo: A B, podemos obter a proposição equivalente a essa condicional utilizando-se da contrapositiva, veja: Equivalência pela contrapositiva: (A B) = ( B A). Se eu for aprovado no concurso, viajarei de férias é equivalente a Se eu não viajar de férias, não terei sido aprovado no concurso. Portanto, alternativa correta é a letra (E). 4 ANA) Sabendo-se que o símbolo denota negação e que o símbolo ٧ denota o conector lógico ou, a fórmula A B, que é lida se A então B, pode ser reescrita como: a) A ٧ B b) A ٧ B c) A ٧ B d) A ٧ B e) ( A ٧ B ) Resolução: A condicional do tipo: A B, é equivalente, pela dupla negação, à proposição ( A ٧ B). Portanto, alternativa correta é a letra B. 62

63 5 EBSERH) Alguém afirmou que se todo paciente é impaciente, então alguém vai enlouquecer. Supondo que ocorra exatamente a negação da sentença, então: a) se nem todo paciente é impaciente, então ninguém vai enlouquecer. b) todo paciente é impaciente e alguém não vai enlouquecer. c) se todo paciente é impaciente, então ninguém vai enlouquecer. d) algum paciente é impaciente ou alguém vai enlouquecer. e) se nenhum paciente é impaciente, então alguém vai enlouquecer. Resolução: A negação de uma condicional do tipo: Se A, então B (A B) será da forma: (A B) = A ٨ B Ou seja, para negar uma condicional deve-se copiar a primeira proposição e negar a segunda proposição. Portanto, a negação da proposição Se todo paciente é impaciente, então alguém vai enlouquecer será Se todo paciente é impaciente e alguém não vai enlouquecer. Portanto, alternativa correta é a letra B. 63

64 6 CESPE/2009) As proposições Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra não será bem-sucedida e Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra será bem-sucedida são equivalentes. Solução: Sendo a conclusão dada pela condicional Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra não será bem-sucedida (A B), podemos obter duas proposições equivalentes a essa condicional utilizando-se de dois conceitos: contrapositiva e pela dupla negação, vejam: Equivalência pela contrapositiva: (A B) = ( B A). Pela contra-positiva a proposição será: Se a operação agarra foi bem-sucedida, então o delegado prendeu o chefe da quadrilha. Equivalência pela dupla negação: (A B) = ( A ٧ B). Pela dupla negação a proposição será: Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra não será bemsucedida. ITEM ERRADO 64

65 TAUTOLOGIA: Tautologia é uma proposição composta que é sempre VERDADEIRA, independentemente do valor lógico das proposições simples componentes. A proposição A (A ٧ B) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos de A e de B, como se pode observar na tabela-verdade. A B A ٧ B A (A ٧ B) V V V V V F V V F V V V F F F V Observemos que o valor lógico da proposição composta A (A ٧ B), que aparece na última coluna da tabela-verdade, é sempre VERDADEIRO, independente dos valores lógicos que A e B assumem. Logo, a proposição A (A ٧ B) representa uma tautologia. 65

66 CONTRADIÇÃO: Construindo uma tabela-verdade de uma proposição composta, se todos os resultados da última coluna forem falso, então estaremos diante de uma contradição. Ex: 1 Verifique se a proposição ( A B ) ٨ ( A ٨ B ) representa uma contradição: A B B ( A B ) A ٧ B (A B) ٨ (A ٧ B ) V V F F V F V F V V V F F V F V V F F F V F F F Observemos que o valor lógico da proposição composta ( A B ) ٨ ( A ٨ B ), que aparece na última coluna da tabelaverdade, é sempre falso, independente dos valores lógicos que A e B assumem. Portanto, a proposição (A B) ٨ (A ٧ B ) representa uma contradição. 66

67 CONTINGÊNCIA: Se uma proposição composta não for uma tautologia nem uma contradição ela será uma contingência. Ex: Verifique se a proposição composta A ( A ٨ B ) representa uma contingência. A B A B A ( A ٨ B ) V V V V V F F F F V F F F F V F Observemos que o valor lógico da proposição composta A ( A ٨ B ), que aparece na última coluna da tabela-verdade, aparece valores falsos e verdadeiros, independente dos valores lógicos que A e B assumem. Por isto representa uma contingência. Exercício resolvido: 1 IBFC/2012) Se p e q são proposições e p e q suas respectivas negações, então podemos dizer que ( p ٧ q) q é uma: a)tautologia b) Contingência c)contradição d) Equivalência 67

68 Solução: Vale a pena lembrar que: Tautologia: Todos os valores lógicos da proposição são verdades. Contradição: Todos os valores lógicos da proposição são falsos. Contingência: A proposição não representa uma tautologia e nem uma contradição, ou seja, os valores lógicos são verdades e falsos. Equivalência: Quando duas proposições tem os valores lógicos iguais. Construindo a tabela verdade, temos: p q p q p ٧ q [( p ٧ q) q] V V F F V F V F F V F V F V V F V F F F V V V V Resposta: Letra C. Comentário: Verificando a última coluna temos os valores lógicos F, V, F e V, que não representa uma tautologia e nem uma contradição, portanto, a proposição [( p ٧ q) q] é uma contradição. 68

69 ARGUMENTOS: Argumento é um conjunto de proposições, chamadas de premissas, com uma estrutura lógica de maneira tal que algumas delas acarretam ou tem como consequência outra proposição, denominada conclusão. Um raciocínio lógico é considerado correto quando é constituído por uma sequência de proposições verdadeiras. Algumas dessas proposições são consideradas verdadeiras por hipótese e as outras são verdadeiras por consequência de as hipóteses serem verdadeiras. VALIDADE DE UM ARGUMENTO: Se as premissas e a conclusão são simultaneamente verdadeiras, então o argumento é válido. Quando as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa, dizemos que o argumento é inválido, também chamado de sofisma ou falácia. Podemos concluir que: uma dedução lógica é uma seqüência de proposições, e é considerada correta quando, partindo-se de proposições verdadeiras, denominadas premissas, obtêmse proposições sempre verdadeiras, sendo a última delas denominada conclusão. 69

70 Existem diferentes métodos que nos possibilitam afirmar se um argumento é válido ou não. Eis alguns desses métodos: Utilizando tabela-verdade: Esta forma é mais indicada quando nas premissas não aparecem as palavras todo, algum e nenhum. Este método deve ser evitado quando o argumento apresentar três ou mais proposições simples. Deve-se construir a tabela-verdade destacando uma coluna para cada premissa e outra para a conclusão. Após a construção da tabela-verdade, verificam-se quais são as linhas em que os valores lógicos das premissas têm valor V. Se em todas essas linhas (com premissas verdadeiras), os valores lógicos da coluna da conclusão forem também Verdadeiros, então o argumento é válido. Porém, se ao menos uma daquelas linhas (que contêm premissas verdadeiras) houver na coluna da conclusão um valor F, então o argumento é inválido. Exemplos: 1 (CESPE/2007) Considere que as afirmativas Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica e Mara não acertou na loteria sejam ambas proposições verdadeiras. 70

71 Simbolizando adequadamente essas proposições pode-se garantir que a proposição Ela não ficou rica é também verdadeira. Premissa 1: Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica A B Premissa 2: Mara não acertou na loteria A Conclusão: Ela não ficou rica B Verificação da validade ou não do argumento pela tabela verdade. Premissa 1 Premissa 2 Conclusão A B A B A B 1ª linha V V V F F 2ª linha V F F F V 3ª linha F V V V F 4ª linha F F V V V Verificamos quais são as linhas da tabela em que os valores lógicos das premissas são todos V. Observamos que na 3ª e 4ª linhas as duas premissas com valor lógico V. Na 4ª linha as premissas e a conclusão são verdadeiras, mas na 3ª linha as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa logo o argumento é inválido. 71

72 Comentário: Para que o argumento seja válido, teríamos que ter as premissas e as conclusões verdadeiras na 3ª e 4ª linhas. 2 (CESPE/2007) Considere que a proposição Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu seja verdadeira. Então pode-se garantir que a proposição Sílvia ama Tadeu é verdadeira. A: Sílvia ama Joaquim B: Sílvia ama Tadeu Construção da tabela verdade Premissa 1 Premissa 2 Conclusão A B A ٧ B Linha 1 V V V Linha 2 V F V Linha 3 F V V Linha 4 F F F Verifica-se quais são as linhas da tabela em que os valores lógicos das premissas e da conclusão são todos V. Observa-se que a 1ª linha apresenta as duas premissas e a conclusão com valor lógico V, logo o argumento é válido. Resposta: Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu representa uma proposição verdadeira. 72

73 Utilizando as operações lógicas com os conectivos e considerando as premissas verdadeiras. Considerando as premissas como verdadeiras e por meio das operações lógicas com os conectivos, descobriremos o valor lógico da conclusão, que deverá resultar também em verdadeira, para que o argumento seja válido. Exemplos: 1 (CESPE/2009 ) Considere que as proposições da sequência a seguir sejam verdadeiras. Se Fred é policial, então ele tem porte de arma. Fred mora em São Paulo ou ele é engenheiro. Se Fred é engenheiro, então ele faz cálculos estruturais. Fred não tem porte de arma. Se Fred mora em São Paulo, então ele é policial. Nesse caso, é correto inferir que a proposição Fred não mora em São Paulo é uma conclusão verdadeira com base nessa sequência. Solução: Vamos considerar que todas as proposições dadas são verdadeiras (V). 73

74 A: Fred é policial. B: Fred tem porte de arma. C: Fred mora em São Paulo. D: Fred é engenheiro. E: Fred faz cálculos estruturais. Representação simbólica de cada premissa: Premissa 1: Se Fred é policial, então ele tem porte de arma. A B Premissa 2: Fred mora em São Paulo ou ele é engenheiro. B ٧ D Premissa 3: Se Fred é engenheiro, então ele faz cálculos estruturais. D E Premissa 4: Fred não tem porte de arma. B Premissa 5: Se Fred mora em São Paulo, então ele é policial. C A Conclusão: Fred não mora em São Paulo. C 74

75 Considerando as premissas como verdadeiras e por meio das operações lógicas com os conectivos, descobriremos se conclusão Fred não mora em São Paulo é verdadeira ou falsa. Vejam: Premissa 1: A B (verdade) F F Premissa 2: B ٧ D (verdade) F V Premissa 3: D E V V (verdade) Premissa 4: B V (verdade) Premissa 5: C A F F (verdade) Conclusão: C V (verdade) A conclusão é verdadeira, afirmativa correta. 75

76 2 (CESPE/ PF 2009 ) A sequência de proposições a seguir constitui uma dedução correta. Se Carlos não estudou, então ele fracassou na prova de Física. Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou. Carlos não fracassou na prova de Física. Carlos não jogou futebol. Solução: Considerando que todas as proposições dadas são verdadeiras (V), temos: A: Carlos estuda. B: Carlos fracassou na prova de física. C: Carlos jogou futebol. Premissas: Premissa 1: Se Carlos não estudou, então ele fracassou na prova de Física. A B Premissa 2: Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou. C A Premissa 3: Carlos não fracassou na prova de Física. B Conclusão: Carlos não jogou futebol. C 76

77 Analisando as premissas: Premissa 1: A B (verdade) F F Premissa 2: C A (verdade) F F Premissa 3: B (verdade) V Conclusão: C (verdade) V Pela análise das premissas concluímos que: Carlos estuda. Carlos não fracassou na prova de física. Carlos não jogou futebol. Resposta: sequência de proposições dadas constitui uma dedução correta. 3 ESAF/2008) Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar. Sou amiga de Nara ou não sou amiga de Abel. Sou amiga de Clara ou não sou amiga de Oscar. Ora, não sou amiga de Clara. Assim, a) não sou amiga de Nara e sou amiga de Abel. b) não sou amiga de Clara e não sou amiga de Nara. 77

78 c) Sou amiga de Nara e amiga de Abel. d) sou amiga de Oscar e amiga de Nara. e) sou amiga de Oscar e não sou amiga de Clara. Solução: Uma disjunção ( ou ) será verdadeira (V) quando pelo menos uma das proposições que a compõe for verdadeira (V). Simbolizando as proposições: A: Sou amiga de Abel B: Sou amiga de Oscar C: Sou amiga de Nara D: Sou amiga de Clara Daí, temos: Premissa 1: Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar. ( A ٧ B ) Premissa 2: Sou amiga de Nara ou não sou amiga de Abel. ( C ٧ B ) Premissa 3: Sou amiga de Clara ou não sou amiga de Oscar. ( D ٧ B ) Premissa 4: Não sou amiga de Clara. D 78

79 Comentário: Numa questão como esta, em que nos são fornecidas várias proposições para que possamos tirar conclusões a respeito, devemos considerar TODAS AS PROPOSIÇÕES COMO VERDADEIRAS e, a partir de equivalências lógicas tirarmos nossas conclusões. Vejamos: Premissa 1: ( A ٧ B ) ( Verdade ) V F Premissa 2: ( C ٧ A ) ( Verdade ) V F Premissa 3: ( D ٧ B ) ( Verdade ) F V Premissa 4: D ( Verdade ) V Conclusão: Sou amiga de Abel Não sou amiga de Oscar Sou amiga de Nara Não sou amiga de Clara Resposta certa é a letra C. 79

80 4 ESAF 2002) Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo, a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês. b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês. c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol. d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano. e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês. Solução: Considerando que: A: Iara fala italiano. B: Ana fala alemão. C: Ching fala chinês. D: Débora fala dinamarquês. E: Elton fala espanhol. F: Francisco fala francês. 80

81 Simbolizando as seguintes proposições: Premissa 1: Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. A B Premissa 2: Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. A C ٧ D Premissa 3: Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. D E Premissa 4: Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. E ( F ) Premissa 5: Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. F ٨ C Comentário: Numa questão como esta, em que nos são fornecidas várias proposições para que possamos tirar conclusões a respeito, devemos considerar TODAS AS PROPOSIÇÕES COMO VERDADEIRAS e, a partir de equivalências lógicas tirarmos nossas conclusões. Vejamos: 81

82 Premissa 1: A B V V (verdade) Premissa 2: A C ٧ D F F F (verdade) Premissa 3: D E F F (verdade) Premissa 4: E ( F ) F F (verdade) Premissa 5: F ٨ C (verdade) V V Conclusão: Iara não fala italiano. Ana fala alemão. Ching não fala chinês. Débora não fala dinamarquês. Elton não fala espanhol. Francisco fala francês. Resposta correta: Letra A. 82

83 5 CESP/UNB 2008) Uma dedução lógica é uma sequência de proposições, e é considerada correta quando, partindo-se de proposições verdadeiras, denominadas premissas, obtêmse proposições sempre verdadeiras, sendo a última delas denominada conclusão. Considere verdadeiras as duas premissas abaixo: O raciocínio de Pedro está correto, ou o julgamento de Paulo foi injusto. O raciocínio de Pedro não está correto. Portanto, se a conclusão for a proposição, O julgamento de Paulo foi injusto, tem-se uma dedução lógica correta. Solução: A: O raciocínio de Pedro está correto B: O julgamento de Paulo foi injusto O raciocínio de Pedro está correto, ou o julgamento de Paulo foi injusto. A ٧ B ( Verdade ) F V O raciocínio de Pedro não está correto. A ( Verdade ) V Conclusão: O julgamento de Paulo foi injusto. B ( Verdade ) V Portanto, tem-se uma dedução lógica correta. 83

84 6 (ESAF/2009) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla. Logo. a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória. b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema. c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema. d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória. e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória Proposições: A: Beto briga com Glória. B: Glória vai ao cinema. C: Carla fica em casa. D: Raul briga com Carla. Premissas: Premissa 1: Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. A B Premissa 2: Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. B C Premissa 3: Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. C D Premissa 4: Raul não briga com Carla. D 84

85 Analisando os argumentos: A B ( verdade ) F F B C ( verdade ) F F C D ( verdade ) F F D ( verdade ) V De acordo com a análise das premissas, temos: A: Beto briga com Glória. (Falso) B: Glória vai ao cinema. (Falso) C: Carla fica em casa. (Falso) D: Raul briga com Carla. (Verdade) Beto não briga com Glória. Glória não vai ao cinema. Carla não fica em casa. Raul briga com Carla. Concluímos que Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória. Resposta correta: Letra A. 85

86 7 ESAF) Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo, a. Nestor e Júlia disseram a verdade b. Nestor e Lauro mentiram c. Raul e Lauro mentiram d. Raul mentiu ou Lauro disse a verdade e. Raul e Júlia mentiram. Solução: Numa questão como esta, em que nos são fornecidas várias proposições para que possamos tirar conclusões a respeito, devemos considerar TODAS AS PROPOSIÇÕES COMO VERDADEIRAS e, a partir de equivalências lógicas tirarmos nossas conclusões. Vejamos: Premissas: A: Nestor disse a verdade. B: Júlia e Raul mentiram. C: Lauro falou a verdade. D: Há um leão feroz nesta sala. 86

87 Premissa 1: A B (Verdade) F F Premissa 2: B C (Verdade) F F Premissa 3: C D (Verdade) F F Premissa 4: D (Verdade) V Conclusão: A: Nestor disse a verdade. (Falso) B: Júlia e Raul mentiram. (Falso) C: Lauro falou a verdade. (Falso) D: Há um leão feroz nesta sala. (Verdade) Nestor não disse a verdade. Júlia e Raul não mentiram. Lauro não falou a verdade. Há um leão feroz nesta sala. Considerando que as premissas são verdadeiras, concluímos que Nestor e Lauro mentiram. Resposta correta: Letra B. 87

88 8 ESAF/2003) Investigando uma fraude bancária, um famoso detetive colheu evidências que o convenceram das seguintes afirmações: 1) Se Homero é culpado, então João é culpado. 2) Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados. 3) Se Adolfo é inocente, então João é inocente. 4) Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado. As evidências colhidas pelo famoso detetive indicam, portanto, que: A) Homero, João e Adolfo são inocentes. B) Homero, João e Adolfo são culpados. C) Homero é culpado, mas João e Adolfo são inocentes. D) Homero e João são inocentes, mas Adolfo é culpado. E) Homero e Adolfo são culpados, mas João é inocente. Solução: Considerando que os três são inocentes, temos as seguintes proposições: H: Homero é inocente. A: Adolfo é inocente. J: João é inocente. 88

89 Premissa 1: Se Homero é culpado, então João é culpado. Premissa 2: Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados. Premissa 3: Se Adolfo é inocente, então João é inocente. Premissa 4: Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado. Representando cada premissa por símbolos e considerando que todas são verdadeiras, temos: Premissa 01: H J V V (verdade) Premissa 02: H ( J ٧ A) F V V (verdade) Premissa 03: A J F F (verdade) Premissa 04: A H V V (verdade) Portanto, Homero, Adolfo e João são culpados. Resposta correta: Letra B. 89

90 9 CESPE/2009) Considere as proposições A, B e C a seguir. A: Se Jane é policial federal ou procuradora de justiça, então Jane foi aprovada em concurso público. B: Jane foi aprovada em concurso público. C: Jane é policial federal ou procuradora de justiça. Nesse caso, se A e B forem V, então C também será V. Solução: Nessa questão, vamos simbolizar as proposições: p: Jane é policial federal q: Jane é procuradora de justiça r: Jane foi aprovada em concurso público Proposição A: Se Jane é policial federal ou procuradora de justiça, então Jane foi aprovada em concurso público. (p v q) r Proposição B: Jane foi aprovada em concurso público. r Proposição C: Jane é policial federal ou procuradora de justiça. p v q 90

91 Proposição A: (p v q) r V V V V F V F V V (verdade) Proposição B: r (verdade) V Proposição C: p v q V V V F F V (verdade) Sabendo que A e B são verdadeiros, temos que: A: (p v q) V (valor lógico verdadeiro) pode assumir qualquer valor que esta expressão será verdadeira. Portanto, a expressão C: (p v q) pode ser verdadeira ou falsa, o que torna o item errado. Conclusão ERRADA. 91

92 10 ESAF/2008) Três meninos, Pedro, Lago e Arnaldo, estão fazendo um curso de informática. A professora sabe que os meninos que estudam são aprovados e os que não estudam não são aprovados. Sabendo-se que: se Pedro estuda, então Lago estuda; se Pedro não estuda, então Lago ou Arnaldo estudam; se Arnaldo não estuda, então Lago não estuda; se Arnaldo estuda então Pedro estuda. Com essas informações pode-se concluir que: a) Pedro, Lago e Arnaldo são aprovados. b) Pedro, Lago e Arnaldo não são aprovados. c) Pedro é aprovado, mas Lago e Arnaldo são reprovados. d) Pedro e Lago são reprovados, mas Arnaldo é aprovado. e) Pedro e Arnaldo são aprovados, mas Lago é reprovado. Solução: Devemos partir do princípio que todas as proposições dadas são verdadeiras (V) Vamos considerar que: A: Pedro estuda. B: Lago estuda. C: Arnaldo estuda 92

93 Premissa 1: Se Pedro estuda, então Lago estuda. A B Premissa 2: Se Pedro não estuda, então Lago ou Arnaldo estudam. A B ٧ C Premissa 3: Se Arnaldo não estuda, então Lago não estuda. B C Premissa 4: Se Arnaldo estuda então Pedro estuda. C A Analisando as premissas, temos: Premissa 1: A B (verdade) V V Premissa 2: A B ٧ C (verdade) F V V Premissa 3: B C (verdade) F F Premissa 4: C A (verdade) V V Conclusão: Pedro, Lago e Arnaldo estudam, logo, serão aprovados. Resposta correta: Letra A. 93

94 11 CESPE/2008) Suponha verdadeiras as três proposições seguintes: I. Se as vendas aumentaram, então os preços vão baixar. II. O salário aumentou ou os preços não vão baixar. III. As vendas aumentaram. Nessa situação, tomando-se como premissa a conclusão do raciocínio válido que usa como premissas as proposições I e III, é correto concluir que O salário aumentou. Solução: Proposições: A: As vendas aumentaram. B: Os preços vão abaixar. C: O salário aumentou. Premissa 1: Se as vendas aumentaram, então os preços vão baixar. A B Premissa 2: O salário aumentou ou os preços não vão baixar. C ٧ B Premissa 3: As vendas aumentaram. A Conclusão: O salário aumentou. C 94

95 Detalhando a argumentação: Premissa 1: A B V V (verdade) Premissa 2: C ٧ B V F (verdade) Premissa 3: A V (verdade) Conclusão: As vendas aumentaram. (Verdade) Os preços vão abaixar. (Verdade) O salário aumentou. (Verdade) Verificando a análise das premissas, Vimos que o salário aumentou. Conclusão CORRETA. 95

96 12 ESAF/2005) Considere a afirmação: P: A ou B onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações: A: Carlos é dentista B: Se Ênio é economista, então Juca é arquiteto. Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo: a) Carlos não é dentista; Ênio não é economista; Juca não é arquiteto. b) Carlos não é dentista; Ênio é economista; Juca não é arquiteto. c) Carlos não é dentista; Ênio é economista; Juca é arquiteto. d) Carlos é dentista; Ênio não é economista; Juca não é arquiteto. e) Carlos é dentista; Ênio é economista; Juca não é arquiteto. SOLUÇÃO: A proposição composta A ou B que representa uma disjunção. O enunciado disse que esta disjunção é falsa. Para negar uma disjunção, deve-se negar a primeira e segunda proposição, além de trocar o conectivo ou por um e. Teremos: (A ou B) = A e B 96

97 Negando A, teremos: A = Carlos não é dentista. Verificamos que B é a condicional Se Ênio é economista, então Juca é arquiteto. Para negar uma condicional deve-se repetir a primeira proposição, negar a segunda proposição e trocar o conectivo então por e. B: Ênio é economista e Juca não é arquiteto. (A ou B) = A e B Conclusão: Carlos não é dentista. Ênio é economista. Juca não é arquiteto. Resposta correta: Letra B. 97

98 13 ESAF/2004 ) Se X Y, então Z > P ou Q R. Se Z > P, então S T. Se S T, então Q R. Ora, Q > R, logo: a) S > T e Z P b) S T e Z > P c) X Y e Z P d) X > Y e Z P e) X < Y e S < T Solução: Vejam as premissas que temos: Premissa 01: Se X Y, então Z > P ou Q R. Premissa 02: Se Z > P, então S T. Premissa 03: Se S T, então Q R. Conclusão: Q > R Analisando as premissas, temos: Premissa 01: X Y (Z > P v Q R ) F F F Premissa 02: Z > P S T (verdade) F F Premissa 03: S T Q R (verdade) F F Conclusão: Q > R (verdade) V (verdade) 98

99 Analisando os argumentos, temos: X Y - Falso Z > P - Falso Q R - Falso S T - Falso Concluímos, então, que: X < Y, Z P, Q > R e S > T. Resposta correta: Letra A. Proposições categóricas: As proposições formadas com os termos todo, algum e nenhum são chamadas de proposições categóricas. Representação das preposições categóricas: As proposições categóricas serão representadas por diagramas de conjuntos para a solução de diversas questões de concurso. Cada proposição categórica tem um significado em termos de conjunto, e isso é quem definirá o desenho do diagrama. 99

100 Utilizando os diagramas lógicos: Para analisar os argumentos, poderemos usar o diagrama de Euller. Todo A é B: Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A está contido no conjunto B, ou seja, todo elemento de A também é elemento de B. Observação: Dizer que todo A é B não significa dizer que todo B é A. B A Portanto, o conjunto A está contido no conjunto B. 100

101 Nenhum A é B. Nenhum A é B afirmam que os conjuntos A e B são disjuntos, isto é, os conjuntos A e B não têm elementos comum. A B Dizer que nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer que nenhum B é A. Algum A é B. Por convenção universal em lógica, proposições da forma algum A é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. Contudo, quando dizemos que algum A é B, pressupomos que nem todo A é B. A B 101

102 Algum A não é B. Proposições na forma algum A não é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B. Dizer que algum A não é B é logicamente equivalente a dizer que algum A é não B, e também é logicamente equivalente a dizer que algum não B é A. A B Observação: Nas proposições categóricas, usam-se também as variações gramaticais dos verbos ser e estar, tais como é, são, está, foi, eram,..., como elo de ligação entre A e B. 102

103 Exercícios resolvidos: 1 VUNESP/2013) Considere que cada região do diagrama possua elementos. A partir dessa representação, pode-se concluir corretamente que: a) Todo elemento de A, que é elemento de D, é também elemento de B. b) Os elementos de B, que não são elementos de A, são elementos de D. c) Os elementos de C, que não são elementos de D, são elementos de A. d) Os elementos de D, que não são elementos de B, são elementos de A ou de C. e) Os elementos de B, que não são elementos de C, são elementos de A. 103

104 Solução: Observando os diagramas e analisando cada alternativa, temos: a) Todo elemento de A, que é elemento de D, é também elemento de B. FALSA: Tem elemento de D que é elemento de A e não é elemento de B. b) Os elementos de B, que não são elementos de A, são elementos de D. VERDADE: Todos os elementos de B são elementos de D. 104

105 c) Os elementos de C, que não são elementos de D, são elementos de A. FALSO: Nenhum elemento de C é elemento de A. d) Os elementos de D, que não são elementos de B, são elementos de A ou de C. FALSO: Existem elementos de D, que não são elementos de B, que não são elementos de A ou de C. 105

106 e) Os elementos de B, que não são elementos de C, são elementos de A. FALSO: Nenhum elemento de B é elemento de C e existem elementos de B que não é elemento de A. Resposta correta: Letra B. 2 CESGRANRIO/2007) Se todo A é B e nenhum B é C, é possível concluir, corretamente, que: (A) nenhum B é A. (B) nenhum A é C. (C) todo A é C. (D) todo C é B. (E) todo B é A. 106

107 Solução: Veja a representação no diagrama: A C B A proposição "Todo A é B", quer dizer que A é subconjunto de B, logo, o conjunto A está contido em B. A outra proposição "nenhum B é C", quer dizer que nenhum elemento do conjunto B pertence ao conjunto C. Analisando as alternativas, temos: a) nenhum B é A: Esta proposição é falsa. Observando a figura, haverá algum B que é A. b) nenhum A é C: Esta proposição é verdadeira, pois A é subconjunto de B e, consequentemente, A não pode ser C. c) todo A é C: Esta proposição é falsa, pois A não está contido em C. d) todo C é B: Esta proposição é falsa, pois C é todo elemento que não pertence a B 107

108 e) todo B é A: Esta proposição é falsa. Apesar de todo A ser B, mas nem todo B é A. Resposta correta: Letra B 3 FCC/2010) Considere as seguintes afirmações: Todo escriturário deve ter noções de Matemática. Alguns funcionários do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo são escriturários. Se as duas afirmações são verdadeiras, então é correto afirmar que: a) Se Joaquim é escriturário, então ele é funcionário do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo. b) Alguns funcionários do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo podem não ter noções de Matemática. c) Todo funcionário do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo deve ter noções de Matemática. d) Se Joaquim tem noções de Matemática, então ele é escriturário. e) Se Joaquim é funcionário do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo, então ele é escriturário. 108

109 Solução: Veja o diagrama: Conforme o diagrama alguns funcionários do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo podem não ter noções de Matemática. Resposta correta: Letra B. 4 FCC ) Diante, apenas, das premissas Nenhum piloto é médico, Nenhum poeta é médico e Todos os astronautas são pilotos, então é correto afirmar que: A) algum astronauta é médico. B) todo poeta é astronauta. C) nenhum astronauta é médico. D) algum poeta não é astronauta. E) algum poeta é astronauta e algum piloto não é médico. 109

110 Resolução: Podemos representar as premissas Nenhum piloto é médico, Nenhum poeta é médico e Todos os astronautas são pilotos, de várias formas no diagrama, vejam duas maneiras de representá-las: 1ª representação: 2ª representação Conforme os diagramas apresentados, nenhum astronauta é médico, portanto a alternativa correta é a letra C. 110

111 5 IBFC/2012) Analisando as afirmações abaixo, a alternativa correta é: I. Todos os cantores deste programa são bons. Marcelo é cantor deste programa. Logo Marcelo é bom. II. Todo w é z. Logo, todo z é w. a) I e II são argumentos válidos. b) Apenas I é um argumento válido. c) Apenas II é um argumento válido. d) Nenhum dos dois argumentos é válido. O argumento I é válido, pois sendo Marcelo um cantor desse programa, este necessariamente será bom. Já o argumento II é inválido, pois, por exemplo, todo professor é inteligente, mas nem inteligente é professor. Resposta correta: Letra B. 111

112 Equivalências entre Nenhum e Todo : 1) Nenhum A é B = Todo A é não B Ex: Dizer que Nenhum mineiro é flamenguista equivale a dizer que Todo mineiro é não flamenguista. 2) Todo A é B = Nenhum A é não B Ex: Dizer que Toda criança é inteligente equivale a dizer que Nenhuma criança é não inteligente. Colocando essas equivalências em uma tabela, teremos: Nenhum A é B Todo A é B Todo A é não B Nenhum A é não B Equivalências com símbolo de negação: Todo A não é B é equivalente a Nenhum A é B Nenhum A não é B é equivalente a Todo A é B A negação de Todo A é B é Algum A não é B ( vice-versa ) A negação de Algum A é B é Nenhum A é B ( vice-versa ) 112

113 Exercícios resolvidos: 1 CESP - PF/2009) Se A for a proposição Todos os policiais são honestos, então a proposição A estará enunciada corretamente por Nenhum policial é honesto. Resolução: Negar o termo TODO É é encontrar uma exceção. Assim, a negação da frase Todos os policiais são honestos é encontrar um policial que não seja honesto, a frase seria: Algum policial não é honesto. Conclusão: ERRADA 2 CESPE/2012) A negação da proposição Toda pessoa pobre é violenta é equivalente a Existe alguma pessoa pobre que não é violenta. Resolução: A negação de uma proposição do tipo Todo A é B é Existe A que não é B. Assim: P: Toda pessoa pobre é violenta. ~P: Existe pessoa pobre que não é violenta. Conclusão CORRETA. 113

114 3 CESPE/2009) Se forem V as proposições Todos os assistentes de educação auxiliam os professores e João e Aline auxiliam os professores, então a proposição João e Aline são assistentes de educação também será V. Solução: Desenhando o diagrama, temos: Pelo diagrama, é possível que João e Aline auxiliem os professores e não sejam assistentes de educação. Conclusão ERRADA. 114

115 SENTENÇAS ABERTAS Existem expressões como x² 2x³ que contém variáveis e cujo o valor lógico (verdadeira ou falsa) vai depender do valor atribuído à variável. Portanto, sentenças abertas são aquelas que contém variáveis. Tais sentenças não são proposições, pois o seu valor lógico (V ou F) é discutível, dependendo do valor dado às variáveis. As sentenças abertas podem ser do tipo: a) x + 1 = 4 b) y > 8 c) (z+1)² + 5 = z² d) x y = 2 Tais sentenças não são consideradas proposições porque seu valor lógico (V ou F) depende do valor atribuído à variável (x, y, z,...). Existem duas maneiras de transformar sentenças abertas em proposições: Atribuindo valor às variáveis; Utilizando os quantificadores. 115

116 Atribuindo valor às variáveis: Ao atribuir a x o valor 2 na sentença aberta x + 1 = 4, esta transforma-se na proposição = 4, cujo valor lógico é F (Falso). Ao atribuir a y o valor 7 na sentença aberta y 5 = 2, esta transforma-se na proposição 7 5 = 2, que resulta em 2 = 2, tendo, portanto, valor lógico V (verdade). Vejamos como transformar uma sentença aberta numa proposição por meio de quantificadores. Quantificadores: Há fundamentalmente dois tipos de quantificadores: Universal e Existencial. O Quantificador Universal: O quantificador universal é indicado pelo símbolo que se lê: para todo, para cada, qualquer que seja. 116

117 Exemplos: a) ( x)(x N)(x + 1 = 7) O símbolo é o quantificador universal, x é a variável, N é o conjunto dos números naturais e x + 1 = 7 é a sentença aberta. A proposição ( x)(x N)(x + 1 = 7) se lê da seguinte maneira: Para todo elemento x do conjunto dos números naturais, temos que x + 1 = 7. O valor lógico dessa proposição é Falso, pois se fizermos, por exemplo, o x igual ao número natural 4, teremos = 7 b) ( y)(y Z)(y² y) O símbolo é o quantificador universal, y é a variável, Z é o conjunto dos números inteiros e y² y é a sentença aberta. A proposição ( y)(y Z)(y² y) se lê da seguinte maneira: Para todo elemento y do conjunto dos números inteiros, temos que y² y. O valor lógico dessa proposição da proposição é Verdade. 117

118 Os quantificadores tem o objetivo de transformar uma sentença aberta em proposição, ou seja, transformar numa sentença que pode ser julgada como falsa ou verdadeira. O Quantificador Existencial: O quantificador existencial é indicado pelo símbolo que se lê: existe pelo menos um, existe um, existe, para algum. Vejam os exemplos de transformações de sentenças abertas em proposições usando o quantificador existencial: a) ( x)(x N)(x - 2 = 4) O símbolo é o quantificador existencial, x é a variável, N é o conjunto dos números naturais e x 2 = 4 é a sentença aberta. A proposição ( x)(x N)(x 2 = 4) se lê da seguinte maneira: Existe pelo menos um x pertencente ao conjunto dos números naturais em que x 2 = 4. Resolvendo a equação x 2 = 4, temos: x 2 = 4 x = x = 6 A proposição tem valor lógico Verdade. 118

119 b) ( x)(x R)(x² + 4 = 10) O símbolo é o quantificador existencial, x é a variável, R é o conjunto dos números reais e x² + 4 = 10 é a sentença aberta. A proposição ( x)(x R)( x² + 4 = 10) se lê da seguinte maneira: Existe pelo menos um x pertencente ao conjunto dos números reais em que x² + 4 = 10. A proposição é Falsa. Há outro quantificador que deriva do quantificador existencial, ele é chamado de quantificador existencial de unicidade, simbolizado por que se lê: existe um único, existe um e um só. Exemplos: a) ( z)(z N)(z + 5 = 7) que se lê: "existe um único número z que pertence ao conjunto dos números naturais em que z + 5 = 7". Na verdade só existe o número 2 que satisfaz essa sentença, daí a proposição tem valor lógico Verdade. 119

120 Negação do quantificador universal: Esquema prático: ( x) (P(x)) ( x) ( P(x)) Negação do quantificador existencial: Esquema prático: [( x) ( P(x))] ( x) ( P(x)) Exercícios resolvidos: 1 CESPE/2008/Adaptada) Algumas sentenças são chamadas abertas porque são passíveis de interpretação para que possam ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Se a sentença aberta for uma expressão da forma x P(x), lida como para todo x, P(x), em que x é um elemento qualquer de um conjunto U, e P(x) é uma propriedade a respeito dos elementos de U, então é preciso explicitar U e P para que seja possível fazer o julgamento como V ou como F. Se U for o conjunto de todos os funcionários públicos e P(x) for a propriedade x é funcionário do INSS, então é falsa a sentença x P(x). 120

121 Solução: x é um elemento que pertence ao conjunto U dos funcionários públicos. Logo x U. U = { funcionários públicos } Sendo x U. Os elementos x do conjunto U, tem uma mesma característica P(x), que é ser funcionário do INSS. A sentença dada x P(x) é lida como: Para qualquer elemento x, vale a propriedade P(x). Sendo todos os elementos x pertencentes ao conjunto U, dos funcionários públicos, todos são funcionários do INSS. Então é falsa a sentença x P(x). Logo, a conclusão está CORRETA. 2 CESPE/2008) Considere-se que U seja o conjunto dos funcionários do INSS, P(x) seja a propriedade x é funcionário do INSS e Q(x) seja a propriedade x tem mais de 35 anos de idade. Desse modo, é correto afirmar que duas das formas apresentadas na lista abaixo simbolizam a proposição Todos os funcionários do INSS têm mais de 35 anos de idade. 121

122 (i) x(se Q(x) então P(x)). (ii) x(p(x) ou Q(x)) (iii) x(se P(x) então Q(x)) Solução: U = { conjunto dos funcionários do INSS } P(x) = Todos os elementos de U tem a propriedade de ser funcionário do INSS. Q(x) = Propriedade de um elemento x qualquer ter mais do que 35 anos de idade. De acordo com o enunciado, temos: (i) x (se Q(x) então P(x)), ou seja, Se tem mais de 35 anos de idade, então é funcionário do INSS. Isto não condiz com a proposição Todos os funcionários do INSS têm mais de 35 anos de idade. Portanto, é FALSO. (ii) x(p(x) ou Q(x)), ou seja, Ou é funcionário do INSS ou tem mais de 35 anos de idade. Isto não condiz, pois uma das possibilidades é a pessoas não ser funcionário do INSS e ter mais do que 35. Portanto, é FALSO. 122

123 (iii) x(se P(x) então Q(x)), ou seja, Se é funcionário do INSS então tem mais de 35 anos de idade. Ele deseja que se determine quantas entre as assertivas apresentadas simbolizam a proposição Todos os funcionários do INSS têm mais de 35 anos de idade. Esta proposição é VERDADEIRA. Logo, a conclusão está ERRADA. 3 CESPE/2007) A proposição funcional Para qualquer x, tem-se que x² > x é verdadeira para todos os valores de x que estão no conjunto {5, 5 2, 3, 3 2, 2, 1 2 }. Solução: Substituindo x por 5: x² > x 5² > 5 25 > 5 (verdade) Substituindo x por 5 2: x² > x (5 2)² > > 5 2 (verdade) 123

124 Substituindo x por 3: x² > x 3² > 3 9 > 3 (verdade) Substituindo x por 2: x² > x 2² > 2 4 > 2 (verdade) Substituindo x por 1 2: x² > x (1 2)² > > 1 2 (Falso) A proposição funcional x² > x não é verdadeira para todos os valores de x que estão no conjunto {5, 5 2, 3, 3 2, 2, 1 2 }. Quando substituímos x por 1 2, temos que 1 4 < 1 2 Resposta: Conclusão ERRADA. 124

125 Questões envolvendo sequências de números e letras: São questões que estão presentes na maioria das provas de raciocínio lógico. Não existe uma regra de solução para estas questões. No enunciado, são dadas pistas que associadas a hipóteses nos fazem concluir a resposta correta ou ainda nos levam a conclusões diretas, sem muitas dificuldades. Quando todas as informações forem verdadeiras, não haverá necessidade de hipóteses (uma teoria provável), mas quando existirem verdades e mentiras envolvidas, devemos fazer levantar hipóteses para chegarmos as conclusões. Elas são aprendidas com muito treinamento, ou seja, resolvendo muitas questões de provas anteriores. Exercícios resolvidos: 1 CESPE/2007) Três amigos: Ari, Beto e Carlos se encontram todos os fins-de semana na feira de carros antigos. Um deles tem um gordini, outro tem um sinca e o terceiro, um fusca. Os três moram em bairros diferentes (Buritis, Praia Grande e Cruzeiro) e têm idades diferentes ( 45, 50 e 55 anos). Além disso, sabe-se que: 125

126 I. Ari não tem um gordini e mora em Buritis; II. Beto não mora na Praia Grande e é 5 anos mais novo que o dono do fusca; III. O dono do gordini não mora no Cruzeiro e é o mais velho do grupo. A partir das informações acima, é correto afirmar que: a) Ari mora em Buritis, tem 45 anos de idade e é proprietário do sinca. b) Beto mora no Cruzeiro, tem 50 anos de idade e é proprietário do gordini. c) Carlos mora na Praia Grande, tem 50 anos de idade e é proprietário do gordini. d) Ari mora em Buritis, tem 50 anos de idade e é proprietário do fusca. 126

127 Solução: De acordo com as informações e analisando cada informação dada, temos: I. Ari não tem um gordini e mora em Buritis; Comentário: Se Ari mora em Buritis, nem o Beto e nem o Carlos moram em Buritis. II. Beto não mora na Praia Grande e é 5 anos mais novo que o dono do fusca; Comentário: Se o Beto não mora em Praia Grande, então ele mora no Cruzeiro. Portanto, Carlos mora em Praia Grande. III. O dono do gordini não mora no Cruzeiro e é o mais velho do grupo. Comentário: Se o Ari não é o dono do Gordini e o dono do Gordini não mora no Cruzeiro, logo Carlos é o dono do Gordini, Beto é o dono do Sinca e Ari é o dono do Fusca. Se Beto não mora na Praia Grande e é 5 anos mais novo que o dono do fusca (Ari), logo o ele tem 45 anos. 127

128 Construindo a tabela, temos: Ari Beto Carlos Gordini N N S Sinca N S N Fusca S N N Buritis S N N Praia Grande N N S Cruzeiro N S N 45 anos N S N 50 anos S N N 55 anos N N S Resposta correta: Letra D. 2 ESAF/2004) Em torno de uma mesa quadrada, encontramse sentados quatro sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro. Há também um paulista, um carioca e um baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira. Norton, à direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de Paulo. Assim, a) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano. b) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano. c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista. d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista. e) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista. 128

129 Solução: I) São quatro sindicalistas sentados em torno de uma mesa quadrada, são eles: Paulo, Oliveira, Norton e Vasconcelos. II) Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro Comentário: Se o Oliveira é mineiro, então, o Paulo, o Norton e nem o Vasconcelos são mineiros. III) Há também um paulista, um carioca e um baiano. IV) Paulo está sentado à direita de Oliveira V) Norton, à direita do paulista. VI) Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de Paulo. Comentário: Se o Vasconcelos não é carioca e nem mineiro, ele só pode ser baiano ou paulista. Como Vasconcelos encontra-se à frente de Paulo e Paulo está à direita de Oliveira, Vasconcelos só pode ser baiano. Observe que o posicionamento dos sindicalistas na mesa e a construção da tabela: 129

130 Tabela conclusiva: Mineiro Carioca Paulista Baiano Paulo N N S N Oliveira S N N N Norton N S N N Vasconcelos N N N S Portanto, a alternativa correta é a letra A. 130

131 3 - UNB/CESPE) Considere que Sara, Mara e Lara pratiquem ou alpinismo, ou judô ou ciclismo, não necessariamente nessa ordem. Uma delas é brasileira, outra é espanhola e a outra é portuguesa. Sabe-se que Mara é a alpinista, Lara não é a ciclista, que a ciclista é portuguesa e que a judoca não é brasileira. Nessa situação, conclui-se que Lara é espanhola, Mara é brasileira e Sara é portuguesa. Solução: Analisando os dados do problema: Mara é a alpinista, Lara não é a ciclista, que a ciclista é portuguesa e que a judoca não é brasileira. Comentário: Se Mara é alpinista e Lara não é ciclista, ela só pode ser judoca e Sara é a ciclista e portuguesa. Se a judoca não é brasileira, ela é a espanhola e a alpinista é brasileira. Portanto, a conclusão está correta. Vejam a tabela abaixo. Construindo a tabela, temos: Sara Mara Lara Alpinismo F V F Judô F F V Ciclismo V F F Brasileira F V F Espanhola F F V Portuguesa V F F 131

132 4 AFT/2003) Três amigas se encontram em uma festa. O vestido de uma delas é azul, o de outra é preto, e o da outra é branco. Elas calçam pares de sapatos destas mesmas três cores, mas somente Ana está com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos. Marisa está com sapatos azuis. Desse modo: a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto. b) o vestido de Júlia é branco e seus sapatos são pretos. c) os sapatos de Júlia são pretos e os de Ana são brancos. d) os sapatos de Ana são pretos e o vestido de Marisa é branco. e) o vestido de Ana é preto e os sapatos de Marisa são azuis. Solução: Analisando os dados do problema: I. Ana está com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos. Marisa está com sapatos azuis. Comentário: Se Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos, então o sapato dela é preto, logo o sapato e o vestido de Ana são brancos. Assim, o vestido de Júlia é azul e o de Marisa é preto. Vejam a tabela: 132

133 Construindo a tabela, temos: Sapato Vestido Ana Branco Branco Júlia Preto Azul Marisa Azul Preto Resposta correta: Letra C 5 FCC/2012) Abaixo estão listadas cinco proposições a respeito de Maria, Luís, Paula e Raul, sendo que, entre parênteses, está indicado se a proposição é verdadeira (V) ou falsa (F). - Maria tem 20 anos de idade (F). - Luís é marido de Maria (V). - Paula é irmã caçula de Maria (F). - Raul é filho natural de Luís (V). - Luís já foi casado duas vezes (V). Das informações do enunciado, é correto afirmar que: a)paula é tia de Raul. b)luís é mais novo que Maria. c) Paula tem mais do que 20 anos. d) Raul é mais novo que Luís. e)luís é mais velho que Maria. 133

134 Solução: Pelas informações do problema, sabemos que: - Maria não tem 20 anos de idade. - Luís é marido de Maria. - Paula não é irmã caçula de Maria. - Raul é filho natural de Luís. - Luís já foi casado duas vezes. Analisando cada alternativa, temos: a) Paula é tia de Raul. Sabemos que Paula não é irmã caçula de Maria, podendo ou não ser tia de Raul. Item errado. b) Luís é mais novo que Maria. Não temos nenhuma informação sobre a idade de Raul, logo não podemos afirmar que Luís é mais novo que Maria. Item errado. c) Paula tem mais do que 20 anos. A única coisa que sabemos sobre Paula é que ela não é a irmã caçula de Maria, logo não podemos afirmar que ela tem mais de 20 anos. Item errado. 134

135 d) Raul é mais novo que Luís. Se Luís é pai natural de Raul, naturalmente Raul é mais novo que Luís. Item correto. e) Luís é mais velho que Maria. Não temos nenhuma informação sobre a idade de Luís, logo não podemos afirmar que Luís é mais novo que Maria. Item errado. Resposta correta: Letra D. 6 FUNRIO/2009) Um policial rodoviário deteve Carlos, João, José, Marcelo e Roberto, suspeitos de terem causado um acidente fatal em uma autoestrada. Na inquirição, os suspeitos afirmaram o seguinte: - Carlos: o culpado é João ou José; - João: o culpado é Marcelo ou Roberto; - José: o culpado não é Roberto; - Marcelo: o culpado está mentindo; - Roberto: o culpado não é José. 135

136 Sabe-se ainda que: - existe apenas um único culpado; - um único suspeito sempre mente e todos os demais sempre falam a verdade. Pode-se concluir que o culpado é: A) Carlos. B) João. C) José. D) Marcelo. E) Roberto. Solução: Marcelo não pode ser o culpado, pois se ele for o culpado a sua declaração o culpado está mentindo poderá ser verdadeira nem falsa. Logo Marcelo não é o culpado. Se o Roberto for o culpado duas pessoas estão mentindo (Carlos e José) e, pelo enunciado, apenas uma pessoa mente. Até o momento sabemos que o culpado não é o Marcelo, nem o Roberto. Logo, João está mentindo (e como apenas uma pessoa mente), Marcelo disse a verdade ( o culpado está mentindo ). Logo o culpado é o João. Resposta correta: Letra B. Vejam a tabela: Carlos João José Marcelo Roberto Inocente X X X X Culpado X 136

137 7 CESPE/2009) Considere que um delegado, quando foi interrogar Carlos e José, já sabia que, na quadrilha à qual estes pertenciam, os comparsas ou falavam sempre a verdade ou sempre mentiam. Considere, ainda, que, no interrogatório, Carlos disse: José só fala a verdade, e José disse: Carlos e eu somos de tipos opostos. Nesse caso, com base nessas declarações e na regra da contradição, seria correto o delegado concluir que Carlos e José mentiram. Solução: Considerando que Carlos fala a verdade. Assim temos: Carlos disse: José só fala a verdade. Isto implica que José também falar a verdade. Verdade Mentira Carlos X José X José disse: Carlos e eu somos de tipos opostos. Isto contradiz a tabela, pois se ambos falam a verdade, Carlos e José não são de tipos opostos. Essa possibilidade fica impossível 137

138 Considerando que Carlos mente. Carlos disse: José só fala a verdade. Isto implica que implica em José também mente. Verdade Mentira Carlos X José X José disse: Carlos e eu somos de tipos opostos. Pela tabela verificamos que ambos mentem, e o que foi dito por José é uma mentira. Os dois estão mentindo. Temos então que Carlos e José sempre mentem. Portanto, a conclusão está CORRETA. Comentário: As questões envolvendo personagens que dizem verdades e mentiras verifique a possibilidade de um deles dizer a verdade. Caso resulte em uma contradição, teste o outro personagem como verdadeiro e assim, sucessivamente, até encontrar a solução. 138

139 8 FCC/2012) Arlete e Salete são irmãs gêmeas idênticas, mas com uma característica bem diferente: uma delas só fala a verdade e a outra sempre mente. Certo dia, um rapaz que não sabia qual das duas era a mentirosa perguntou a uma delas: "Arlete é mentirosa?". A moça prontamente respondeu: "Sim". Analisando somente a resposta dada, o rapaz pôde concluir que havia se dirigido a: a) Arlete, e que ela era a irmã mentirosa. b) Arlete, e que ela não era a irmã mentirosa. c) Arlete, mas não pôde decidir se ela era a irmã mentirosa. d) Salete, e que ela não era a irmã mentirosa. e) Salete, mas não pôde decidir se ela era a irmã mentirosa. Resolução: Considerando que Arlete é mentirosa e Salete fala a verdade. Arlete Salete Verdade X Mentira X Pergunta: Arlete é mentirosa? Resposta da Arlete: Não. Se Arlete é mentirosa, ela jamais assumiria ser mentirosa. 139

140 Pergunta: Arlete é mentirosa? Resposta da Salete: Sim. Se Salete sempre fala a verdade a resposta é sim. Considerando que Arlete fala a verdade e Salete é mentirosa. Arlete Salete Verdade X Mentira X Pergunta: Arlete é mentirosa? Resposta da Arlete: Não. Já que Arlete não é mentirosa, ela responde não. Pergunta: Arlete é mentirosa? Resposta da Salete: Sim. Já que Salete é mentirosa, ela vai dizer que a irmã é mentirosa. Portanto, Salete sempre responde sim, mas não é possível afirmar se ela mente ou fala a verdade. Resposta correta: Letra E. 140

141 9 FCC/2012) As relações seguintes referem-se a uma família em que não há duas pessoas com o mesmo nome. Raul é pai de Sofia, que é neta do pai de Flávio. Larissa é sobrinha de Raul. A partir dessas informações, conclui-se que, necessariamente, a) Larissa é filha de Flávio. b) O pai de Flávio tem uma filha. c) Raul e Flávio são irmãos. d) Flávio é tio de Larissa. e) Sofia é sobrinha de Flávio. Resolução: Analisando os dados numa tabela, temos: Sofia Larissa Flávio Tio Raul Pai Tio Resposta correta: Letra E 141

142 10 FCC/2011) Sabe-se que os termos da sequência (8, 9, 12, 13, 15, 16, 19, 20, 22, 23, 26, ) foram obtidos segundo uma lei de formação. De acordo com essa lei, o 13o termo dessa sequência é um número: a) par. b) primo. c) divisível por 3. d) múltiplo de 4. e) quadrado perfeito. Solução: Pela sequência dada verificamos que o intervalo entre cada número é de uma, duas ou três unidades. Vejam: = = = = = = = = = =

143 Vejam o esquema abaixo: ,... Resposta correta: Letra B. 11 FCC/2010) Considere os seguintes grupos de letras: A B C A? J K L J? D E F D? N O Q N? T U V T Desses grupos, o único que NÃO tem a mesma característica dos demais é: a) ABCA b) JKLJ c) DEFD d) NOQN e) TUVT 143

144 Solução: Em todas as sequências, temos três letras de acordo com a ordem alfabética e a repetição da 1ª letra da sequência. Na sequência NOQN o correto seria NOPN. Portanto, a sequência NOQN não segue o mesmo padrão das demais sequências. Resposta correta: Letra D 12 ESAF/2004) Fátima, Beatriz, Gina, Sílvia e Carla são atrizes de teatro infantil, e vão participar de uma peça em que representarão, não necessariamente nesta ordem, os papéis de Fada, Bruxa, Rainha, Princesa e Governanta. Como todas são atrizes versáteis, o diretor da peça realizou um sorteio para determinar a qual delas caberia cada papel. Antes de anunciar o resultado, o diretor reuniu-as e pediu que cada uma desse seu palpite sobre qual havia sido o resultado do sorteio. Disse Fátima: Acho que eu sou a Governanta, Beatriz é a Fada, Sílvia é a Bruxa e Carla é a Princesa. Disse Beatriz: Acho que Fátima é a Princesa ou a Bruxa. Disse Gina: Acho que Silvia é a Governanta ou a Rainha. Disse Sílvia: Acho que eu sou a Princesa. Disse Carla: Acho que a Bruxa sou eu ou Beatriz. 144

145 Neste ponto, o diretor falou: Todos os palpites estão completamente errados; nenhuma de vocês acertou sequer um dos resultados do sorteio! Um estudante de Lógica, que a tudo assistia, concluiu então, corretamente, que os papéis sorteados para Fátima, Beatriz, Gina e Sílvia foram, respectivamente, a) rainha, bruxa, princesa, fada. b) rainha, princesa, governanta, fada. c) fada, bruxa, governanta, princesa. d) rainha, princesa, bruxa, fada. e) fada, bruxa, rainha, princesa. Solução: Veja o palpite de cada atriz: Fátima: Acho que eu sou a Governanta, Beatriz é a Fada, Sílvia é a Bruxa e Carla é a Princesa. Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla Fada Bruxa Rainha Princesa Governanta N N N N 145

146 Disse Beatriz: Acho que Fátima é a Princesa ou a Bruxa. Fada Bruxa Rainha Princesa Governanta Fátima N N N Beatriz N Gina Sílvia N Carla N Disse Gina: Acho que Silvia é a Governanta ou a Rainha. Fada Bruxa Rainha Princesa Governanta Fátima N N N Beatriz N Gina Sílvia N N N Carla N Disse Sílvia: Acho que eu sou a Princesa. Fada Bruxa Rainha Princesa Governanta Fátima N N N Beatriz N Gina Sílvia S N N N N Carla N 146

147 Disse Carla: Acho que a Bruxa sou eu ou Beatriz. Fada Bruxa Rainha Princesa Governanta Fátima N N S N N Beatriz N N N S N Gina N S N N N Sílvia S N N N N Carla N N N N S Concluímos que: Fátima é a Rainha, Beatriz é a Princesa, Gina é a Bruxa e Sílvia é a Fada. Resposta correta: Letra D. 13 FCC/2010) A seguinte sequência de palavras foi escrita obedecendo a um padrão lógico: PATA REALIDADE TUCUPI VOTO? Considerando que o alfabeto é o oficial, a palavra que, de acordo com o padrão estabelecido, poderia substituir o ponto de interrogação é: (A) XAMPU. (B) YESTERDAY. (C) QUALIDADE. (D) SADIA. (E) WAFFLE. 147

148 Solução: Observe a primeira letra de cada palavra: PATA REALIDADE TUCUPI VOTO... Verifique que a palavra PATA termina com a vogal A, a palavra REALIDADE termina com a vogal E, a palavra TUCUPI termina com a vogal I, a palavra VOTO termina com a vogal O. Seguindo esta linha de raciocínio, a próxima palavra terminará com a vogal U. Portanto, a próxima palavra da sequência é XAMPU. Resposta correta: Letra A. 14 FCC/2010) Observe a sequência que foi criada com uma lógica matemática: 7; 29; quarenta; 8; 11; vinte; 3; 31; trinta; 5; 73; oitenta; 6; 52;

149 A palavra que completa o espaço é: A) noventa. B) sessenta. C) trinta. D) vinte. E) dez. Solução: Veja as sequências: 7; 29; quarenta; A soma = 36. O resultado é um número maior que 30 e menor que 40, porém, este resultado está mais próximo de 40. 8; 11; vinte; A soma = 19. O resultado é um número maior que 10 e menor que 20, porém, este resultado está mais próximo de 20. 3; 31; trinta; A soma = 34. O resultado é um número maior que 30 e menor que 40, porém, este resultado está mais próximo de 30. 5; 73; oitenta; A soma = 78. O resultado é um número maior que 70 e menor que 80, porém, este resultado está mais próximo de 80. 6; 52;... A soma = 58. O resultado é um número maior que 50 e menor que 60, porém, este resultado está mais próximo de 60. Resposta correta: Letra B 149

150 15 FCC/2010) Considere que os números dispostos em cada linha e em cada coluna da seguinte malha quadriculada devem obedecer a determinado padrão ? 5 3? 3 Entre as células seguintes, aquelas que completam corretamente a malha é: A) B) C) D) E) Solução: Na 1ª linha da malha quadriculada, fazendo a operação: = 0 Na 1ª coluna da malha quadriculada, fazendo a operação: = 0 Na 3ª coluna da malha quadriculada, fazendo a operação: = 0 Portanto, as células que completam a malha quadriculada é aquela em que 9? +? = 0. Resposta correta: Letra E. 150

151 16 FCC/2010) Considere que os números inteiros e positivos que aparecem no quadro abaixo foram dispostos segundo determinado critério. Completando corretamente esse quadro de acordo com tal critério, a soma dos números que estão faltando é: A) maior que 19. B) 19. C) 16. D) 14. E) menor que 14. Solução: Os números que faltam na parte inferior da tabela são exatamente os mesmos que estão destacados na parte superior da tabela. Logo, a soma será: = 20 Resposta correta: Letra A. 151