MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO

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1 SENTENÇAS OU PROPOSIÇÕES MODIICADORES São os elementos que expressam uma idéia, mesmo que absurda. Estudaremos apenas as proposições declarativas, que podem ser classificadas ou só como verdadeiras (), ou só como falsas (). As proposições serão representadas por letras do alfabeto latino: p, q, r, s... Ex: p: Pedrão é professor. q: Todas as mulheres dirigem mal. r: O Grêmio é o melhor time do Brasil. s: = 4 t: > 6 u: 3 2 ( 3) 2 Obs: há outros tipos de sentenças que não serão estudadas por não poderem ser classificadas ou só como verdadeiras ou só como falsas: Interrogativas ex: Será que vou aprender lógica? Exclamativas ex: eliz aniversário! Imperativas ex: Explique bem a matéria. Cuidado: para ser proposição é necessário especificar o sujeito. Ex: Aquelas questões são difíceis. (não é proposição) SENTENÇAS ABERTAS São sentenças onde elementos são substituídos por variáveis, não podendo ser classificadas ou só como verdadeiras ou só como falsas, pois há infinitos valores que podem ser substituídos nas variáveis, tornando-as verdadeiras ou falsas. Ex: x + y = 5 x + 2 > 7 Se x é professor de y, então x é professor de z. O não (símbolos: ~ ou ) é utilizado para representar a negativa de uma proposição. Lê-se: não p. Ex: p: Pedrão é um bom professor. ~p (ou p): Pedrão não é um bom professor. Obs: se o símbolo aparecer antes de um parênteses ( ), devemos ler: não é verdade que... CONECTIOS São utilizados para compor proposições compostas, a partir de proposições simples: Conjunção: e (símbolo: ) Disjunção: ou (símbolo: ) Condicional: se..., então (símbolo: ) Bicondicional: se, e somente se (símbolo: ) PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS p: Pedrão é professor. (simples) q: Karol é linda. (simples) p q: Pedrão é professor e Karol é linda. (composta) p q: Pedrão é professor ou Karol é linda. (composta) p q: Se Pedrão é professor, então Karol é linda. (composta) p q: Pedrão é professor se e somente se Karol é linda. (composta) TABELA-ERDADE É uma tabela que exibe todas as valorações que uma frase pode assumir. O número de linhas de uma tabela-verdade é dado por 2 n, onde n é o número de proposições simples que compõem a tabela-verdade. SENTENÇAS ECHADAS CONECTIO E ( ) CONJUNÇÃO São sentenças que podem ser classificadas ou só como Considere as seguintes situações: verdadeiras ou só como falsas. 1ª) p: Pedrão é professor. () Ex: = 8 q: Karol é linda. () < 9 p q: Pedrão é professor e Karol é linda. () 2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 1

2 2ª) p: Pedrão é professor. () q: Karol é linda. () p q: Pedrão é professor e Karol é linda. () 3ª) p: Pedrão é professor. () q: Karol é linda. () p q: Pedrão é professor e Karol é linda. () 4ª) p: Pedrão é professor. () q: Karol é linda. () p q: Pedrão é professor e Karol é linda. () Observe que a conjunção p q só é verdadeira se p e q são verdadeiras. Para ajudar na interpretação das proposições: a conjunção p q também pode ser interpretada como: # p e então q: Pedrão é professor e então Karol é linda # p e também q: Pedrão é professor e também Karol é linda # p mas q: Pedrão é professor mas Karol é linda # p embora q; Pedrão é professor embora Karol seja linda # p assim como q: Pedrão é professor assim como Karol é linda # p apesar de que também q: Pedrão é professor apesar de que Karol também é linda # não só p, mas, ainda, q: não só Pedrão é professor, mas, ainda, Karol é linda # não apenas p, como também q: não apenas Pedrão é professor, como também Karol é linda p q p q CONECTIO OU ( ) DISJUNÇÃO O conectivo ou pode ter dois sentidos; Inclusivo ( ): Pafúncio é atleta ou Pafúncio é lindo. (podem ocorrer as situações isoladamente ou ambas ao mesmo tempo) Exclusivo ( ); Pafúncio é Paranaense ou Pafúncio é Catarinense. (não podem ocorrer ambas as situações ao mesmo tempo). As situações de ou exclusivo não serão estudadas. Considere as seguintes situações de ou inclusivo: 1ª) p: Pedrão é professor. () q: Karol é linda. () p q: Pedrão é professor ou Karol é linda. () 2ª) p: Pedrão é professor. () q: Karol é linda. () p q: Pedrão é professor ou Karol é linda. () 3ª) p: Pedrão é professor. () q: Karol é linda. () p q: Pedrão é professor ou Karol é linda. () 4ª) p: Pedrão é professor. () q: Karol é linda. () p q: Pedrão é professor ou Karol é linda. () Observe que a disjunção p q só é falsa se p e q são falsas. P q p q CONECTIO SE..., ENTÃO ( ) CONDICIONAL Considere as seguintes situações: 1ª) p: Pedrão é professor. () q: Karol é linda. () p q: Se Pedrão é professor então Karol é linda. ( Pedrão é professor e Karol é linda) 2ª) p: Pedrão é professor. () q: Karol é linda. () p q: Se Pedrão é professor então Karol é linda. ( quando Pedrão é professor Karol tem que ser linda ) 3ª) p: Pedrão é professor. () q: Karol é linda. () p q: Se Pedrão é professor então Karol é linda. ( quando Pedrão não é professor Karol pode ou não ser linda) Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

3 4ª) p: Pedrão é professor. () q: Karol é linda. () p q: Se Pedrão é professor então Karol é linda. ( quando Pedrão não é professor Karol pode ou não ser linda) Observe que a condicional p q só é falsa se p é verdadeira e q é falsa. Para ajudar na interpretação das proposições: A condicional p q também pode ser interpretada como: # se p,q: se Pedrão é professor, Karol é linda # q se p: Karol é linda se Pedrão é professor # todo p é q: toda vez que Pedrão é professor, Karol é linda # quando p, q: quando Pedrão é professor, Karol é linda # p implica (ou acarreta) q: Pedrão ser professor implica (ou acarreta) Karol ser linda # p somente se q: Pedrão é professor somente se Karol é linda # p é condição suficiente para q: Pedrão ser professor é condição suficiente para Karol ser linda # q é condição necessária para p: Karol ser linda é condição necessária para Pedrão ser professor p q p q CONECTIO SE, E SOMENTE SE ( ) BICONDICIONAL Considere as seguintes situações: 1ª) p: Pedrão é professor. () q: Karol é linda. () p q: Pedrão é professor se e somente se Karol é linda. () 2ª) p: Pedrão é professor. () q: Karol é linda. () p q: Pedrão é professor se e somente se Karol é linda. () 3ª) p: Pedrão é professor. () q: Karol é linda. () p q: Pedrão é professor se e somente se Karol é linda. () 4ª) p: Pedrão é professor. () q: Karol é linda. () p q: Pedrão é professor se e somente se Karol é linda. () Observe que a bicondicional p q só é verdadeira se p e q são ambas verdadeiras ou falsas. Para ajudar na interpretação das proposições: A bicondicional p q também pode ser interpretada como: # p se e só se q: Pedrão é professor se e só se Karol é linda # se p então q e se q então p: se Pedrão é professor então Karol é linda e se Karol é linda então Pedrão é professor # p somente se q e q somente se p: Pedrão é professor somente se Karol é linda e Karol é linda somente se Pedrão é professor # p é equivalente a q e q é equivalente a p: Pedrão ser professor é equivalente a Karol ser linda e Karol ser linda é equivalente a Pedrão ser professor # p é condição necessária e suficiente para q e q é condição necessária e suficiente para p: Pedrão ser professor é condição necessária e suficiente para Karol ser linda e Karol ser linda é condição necessária e suficiente para Pedrão ser professor # todo p é q e todo q é p: toda vez que Pedrão é professor, Karol é linda e toda vez que Karol é linda, Pedrão é professor P q p q Dizer p q é o mesmo que dizer (p q) (q p). Se Pedrão é professor, então Karol é linda e, se Karol é linda, então Pedrão é professor são formas diferentes de expressar a mesma idéia Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 3

4 ALORAÇÃO LÓGICA Consiste em fazer a análise de proposições compostas, atribuindo um resultado ou para as mesmas, utilizando para isso o que foi estudado nos casos de aplicação dos conectivos (,,, ). MONTAGEM DE UMA TABELA-ERDADE Entre os objetivos de montar uma tabela-verdade, temos o de determinar o número de valorações verdadeiras e falsas de uma sentença. A comparação entre as valorações de duas ou mais sentenças nos permite verificar se as mesmas são: Equivalentes (são equivalentes quando possuírem as mesmas valorações: com, com ). Negativas (são negativas quando possuírem as valorações opostas: com, com ). Tautologia é uma proposição composta onde os resultados da tabela-verdade são sempre verdadeiros (). Ex: p p P p p p Contradição é uma proposição composta onde os resultados da tabela-verdade são sempre falsos (). Ex: p p P p p p Contingência é uma proposição composta onde os resultados da tabela-verdade podem ser verdadeiros () e podem ser falsos (). Ex: p p P p p p IMPLICAÇÕES LÓGICAS O símbolo é utilizado para representar uma relação entre duas proposições (compostas ou não), o que é diferente do símbolo que é utilizado para representar uma operação entre duas proposições. A proposição p q (dizemos p implica q) ocorre quando não houver (nessa ordem) nas colunas de suas tabelas-verdade. Também podemos afirmar que a proposição p q ocorre quando a proposição p q for uma tautologia Ex: p q p p Q q p p ( q p) Observe na tabela-verdade que em p q p não ocorre (nessa ordem), e que p ( q p) é uma tautologia. EQUIALÊNCIAS LÓGICAS O símbolo é utilizado para representar uma relação entre duas ou mais proposições, o que é diferente do símbolo que é utilizado para representar uma operação entre duas ou mais proposições. A proposição p q (dizemos p equivale a q) ocorre quando não houver nem nas colunas de suas tabelas-verdade. Ex: p q p q p q p p q p q Observe na tabela-verdade que em p q p q não ocorre nem Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

5 No popular : só serão equivalentes quando os resultados de sua tabelas-verdade forem idênticos ( com ou com ). Observe na tabela-verdade que em p q p q todas as linhas são correspondentes ( com ou com ). NEGAÇÕES LÓGICAS Duas proposições são negativas quando na tabelaverdade observarmos que em todas as linhas ocorre ou. Ex: (p q) ; ( p q) P q p q p q p q Observe na tabela-verdade que em (p q) ; ( p q) todas as linhas são com ou com. 02) Considere as proposições: p: João é filho de Ana. q: João é Escreva cada uma das sentenças abaixo, dadas na forma simbólica: a) p b) q c) p q d) p q e) p q f) p q g) p q h) p q i) p q j) p q k) ( p q) l) (p q) m) ( p q) n) (p q) o) ( p) 03) Considerando as proposições abaixo, passe as sentenças para a forma simbólica: EXERCÍCIOS 01) Quais são as proposições declarativas, entre as sentenças abaixo? a) eliz dia dos professores! b) Curitiba é a capital do Paraná. c) Quem é você? d) Pedro é filho de Pedrão. e) aça os exercícios. f) Esta frase está errada. g) x y < 0 h) 4 2 = 4.2 i) = 5 j) x + 2 = 3 p: O professor ensinou. q: O aluno passou no concurso. a) O professor ensinou e o aluno passou no concurso. b) O professor ensinou ou o aluno passou no concurso. c) O professor não ensinou e o aluno passou no concurso. d) O professor não ensinou ou o aluno não passou no concurso. e) O professor não ensinou e o aluno não passou no concurso. f) Não é verdade que o professor ensinou e o aluno passou no concurso. g) Não é verdade que o professor não ensinou e o aluno não passou no concurso. h) Não é verdade que o professor não ensinou. i) Não é verdade que o aluno passou no concurso. j) O professor ensinou e não é verdade que o aluno não passou no concurso Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 5

6 04) Considere as proposições: p: João é filho de Ana. q: João é Escreva cada uma das sentenças abaixo, dadas na forma simbólica: a) p q b) p q c) p q d) ( p q) e) p (p q) f) p (p q) g) p (p q) h) p (p q) i) p (p q) j) p (p q) k) (p q) q l) (p q) q m) (p q) q n) (p q) q 05) Dê o valor lógico de cada uma das proposições abaixo: a) = 5 e > 0 b) = 5 ou > 0 c) se = 5 então > 0 d) = 5 se e somente se > 0 e) Pedrão é professor de matemática e de raciocínio lógico. f) Pedrão é professor de matemática ou de raciocínio lógico. g) Pedrão é professor de matemática e de português. h) Pedrão é professor de matemática ou de português. i) Lula é nordestino e Lula é presidente. j) Lula é nordestino ou Lula é presidente. k) Se Lula é nordestino então Lula é presidente. l) Lula é nordestino se, e somente se, Lula é presidente. m) O curso Aprovação é de Curitiba e Curitiba é a capital do Brasil. n) O curso Aprovação é de Curitiba ou Curitiba é a capital do Brasil. o) Se o curso Aprovação é de Curitiba então Curitiba é a capital do Brasil. 06) Sendo p e q proposições verdadeiras e r e s proposições falsas, julgue cada uma das sentenças abaixo: a) p r b) s q c) r s d) p q e) (p q) (r s) f) (p q) (r s) g) (p q) (r s) h) (p q) (r s) i) [ (p q) (r s)] j) [ (p q) (r s)] k) [ (p r) (q s)] l) [ (p r) (q s)] m) [( p r) ( q s)] n) [p (p q)] [(p q) p] o) [r (r s)] [(r s) s] 07) Construir a tabela-verdade para cada uma das sentenças a seguir, dizendo quantas são as valorações verdadeiras e quantas são as valorações falsas: a) p q b) p q c) p q d) (p q) e) p q f) (p q) g) (p q) h)( p q) p i)( p q) (p q) j)(p q) (p q) k)(p q) ( p q) 08) erifique se as proposições são equivalentes: a)q p p q b)p q p q c) p q p q d) p q q p e) p q (p q) p f)(p q) (p s) p (q s) Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

7 09) erifique se as proposições são negativas: PROPRIEDADES DA CONDICIONAL a) (p q) ; ( p q) b) (p q) ; ( p q) c) (p q) ; ( p q) d) ( p q) ; ( q p) e) ( p q) ; (q p) Recíprocas: para obter a recíproca, basta trocar o sentido da condicional. p q tem como recíproca q p Duas proposições recíprocas não são logicamente equivalentes (uma pode ser verdade sem que a outra seja) 10) erifique se as proposições são tautologias, contradições ou contingências: a) ( p r) (q r) b) (p r) ( q r) c) (p q) (q r) 11) Escreva em linguagem simbólica e verifique que são logicamente equivalentes as proposições: Se meu nome é Pedrão, então ensinarei lógica. e Ensinarei lógica ou não me chamo Pedrão. 12) Dizer Pedrão não é professor ou Serginho é paulista é o mesmo que dizer Se Pedrão é professor, então Serginho é paulista? 13) Dizer Pedrão é professor ou Serginho não é paulista é o mesmo que dizer Pedrão não é professor e Serginho é paulista? 14) É correto afirmar que a negativa da sentença Hoje é sexta-feira e amanhã não vai chover é Hoje não é sextafeira ou amanhã não vai chover. 15) É correto afirmar que a negativa da sentença Aprendi lógica então acertarei esta questão é Aprendi lógica e não acertarei esta questão? 16) É correto afirmar que a negativa da sentença Se a crise aumentar, então as vendas de Natal vão cair é As vendas de Natal vão aumentar ou a crise vai diminuir? Inversas; para obter a inversa, basta negar as proposições. p q tem como inversa p q Duas proposições inversas não são logicamente equivalentes (uma pode ser verdade sem que a outra seja) Contrapositivas: para obter a contrapositiva, devemos trocar o sentido da condicional e negar as proposições. p q tem como contrapositiva q p p q q p Duas proposições contrapositivas são logicamente equivalentes (sempre que uma for verdade a outra também será) PRINCIPAIS NEGATIAS E EQUIALÊNCIAS NEGATIAS As negações são muito exploradas como: a negativa de... é... # e virando ou: Original: p q (p e q) Negação: ( p q) p q e vira ou e nega tudo. # ou virando e: Original: p q (p ou q) Negação: (p q) p q ou vira e e nega tudo. Ex: A negativa de Pedrão é professor ou Karol não é linda é: Pedrão não é professor e Karol é linda Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 7

8 # se... então virando e: Original: p q (se p então q) Negação: (p q) p q se...então vira e e nega a segunda. # e virando se... então: Original: p q (p e q) Negação: ( p q) p q e vira se...então e nega a segunda. Ex: A negativa de Se Pedrão é professor, então Karol é linda é: Pedrão é professor e Karol não é linda. EQUIALÊNCIAS EXERCÍCIOS 17) Dadas as proposições abaixo, determine as recíprocas, as inversas e as contrapositivas em cada caso: a) p q b) q p c) p q 18) Considere a proposição: Se ele é um bom professor, então, ele explica bem a matéria. Determine a recíproca, a inversa e a contrapositiva. 19) Determine a recíproca da inversa da contrapositiva da proposição p q: As equivalências são muito exploradas como: dizer... é equivalente a dizer... 20) Dizer que André é artista ou Bernardo não é Engenheiro é logicamente equivalente a dizer que: # Se... então virando ou: Original: p q Equivalência: p q p q Se... então vira ou e nega a primeira. # ou virando se... então: Original: p q Equivalência: p q p q ou vira se... então e nega a primeira. Ex: Dizer Se Pedrão é professor então Karol é linda é logicamente equivalente a dizer que Pedrão não é professor ou Karol é linda. # Se...então virando se...então: Original: p q Equivalente (contrapositiva troca p por q e nega tudo): p q q p Ex: Dizer Se Pedrão é professor então Karol é linda é logicamente equivalente a dizer Se Karol não é linda então Pedrão não é professor. a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo não é engenheiro. d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. 21) A negação da sentença Ana não voltou e foi ao cinema é: a) Ana não voltou e foi ao cinema. b) Ana voltou e não foi ao cinema. c) Ana não voltou ou não foi ao cinema d) Ana não voltou e não foi ao cinema e) Ana voltou ou não foi ao cinema. 22) Dizer Se meu nome é Pedrão, então ensinarei lógica. É logicamente equivalente a dizer que: a) Meu nome é Pedrão ou ensinarei lógica. b) Meu nome é Pedrão e ensinarei lógica. c) Se ensinarei lógica, então meu nome é Pedrão. d) Ensinarei lógica ou me chamo Pedrão. e) Ensinarei lógica ou não me chamo Pedrão Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

9 23) Dizer Pedrão não é professor ou Serginho é paulista é o mesmo que dizer: a) Se Pedrão é paulista, então Serginho é professor. b) Se Pedrão não é professor, então Serginho não é paulista. c) Se Pedrão não é professor, então Serginho é paulista. d) Se Pedrão é professor, então Serginho não é paulista. e) Se Pedrão é professor, então Serginho é paulista. LÓGICA DA ARGUMENTAÇÃO Argumento Um argumento é uma série de afirmações (proposições chamadas de premissas) que irão gerar uma única proposição (chamada de conclusão). Podemos dizer então que: premissas + conclusão = argumento 24) A negativa de Pedrão é professor ou Serginho não é paulista é: a) Pedrão é paulista e Serginho é professor. b) Pedrão é professor e Serginho não é paulista. c) Pedrão não é professor e Serginho não é paulista. d) Pedrão é professor e Serginho é paulista. e) Pedrão não é professor e Serginho é paulista. Obs: o argumento normalmente virá depois das palavras portanto (será representado pelo símbolo ) ou logo. Supondo as premissas P 1, P 2,..., P n do argumento, e a conclusão Q, indicamos, de forma simbólica por: P 1, P 2,..., P n Q 25) É correto afirmar que a negativa da sentença Hoje é sexta-feira e amanhã não vai chover é: a) Hoje é sábado e amanhã vai chover. b) Hoje não é sexta-feira e amanhã não vai chover. c) Hoje não é sexta-feira e amanhã vai chover. d) Hoje não é sexta-feira ou amanhã não vai chover. e) Hoje não é sexta-feira ou amanhã vai chover. 26) É correto afirmar que a negativa da sentença Aprendi lógica, então acertarei esta questão é: a) Não aprendi lógica, então não acertarei esta questão. b) Não aprendi lógica, então acertarei esta questão. c) Aprendi lógica e não acertarei esta questão. d) Aprendi lógica e acertarei esta questão. e) Não acertarei esta questão, então não aprendi lógica. 27) É correto afirmar que a equivalente da sentença Se a crise aumentar, então as vendas de Natal vão cair é: a) As vendas de Natal vão cair então a crise não vai aumentar. b) As vendas de Natal não vão cair então a crise vai aumentar. c) As vendas de Natal não vão aumentar então a crise vai diminuir. d) As vendas de Natal não vão aumentar então a crise não vai diminuir. e) As vendas de Natal vão aumentar então a crise vai diminuir. Lê-se: P 1, P 2,..., P n acarretam Q, Q decorre de P 1, P 2,..., P n, Q se deduz de P 1, P 2,..., P n, Q se infere de P 1, P 2,..., P n. O símbolo é chamado de taco de asserção. Um argumento de premissas P 1, P 2,..., P n e conclusão Q, também pode ser indicado através da forma padronizada, por: P 1 P 2... P n Q Silogismo É como chamamos todo argumento composto por duas premissas e uma conclusão. Ex: Pedrão é professor ou engenheiro Pedrão não é engenheiro Portanto, Pedrão é professor 2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 9

10 alidade de argumentos Para podermos determinar se um argumento é válido ou não, devemos inicialmente considerar que as premissas sempre serão verdadeiras. Argumento válido: quando premissas verdadeiras geram conclusões verdadeiras. d) p q q w w p e) p q q p Argumento inválido (sofisma ou falácia): quando premissas verdadeiras geram conclusões falsas ou ambíguas (podem ser verdadeiras ou falsas). f) p q q p Obs: se uma das premissas for falsa, o argumento é inválido. Podemos utilizar as tabelas-verdade para verificar se um argumento é válido ou inválido, sendo que um argumento só é válido se o valor lógico da conclusão for em todas as linhas onde os valores lógicos de todas as premissas forem, nas mesmas linhas. Outra forma de verificar se um argumento é válido ou não, consiste em se montar a tabela-verdade e verificar se a condicional (P 1 P 2... P n) Q é uma tautologia. Quando a condicional for uma tautologia, o argumento é válido. EXERCÍCIOS 28) erifique se os argumentos são válidos ou inválidos: g) p q q p h) p q q x x m p i) p q q k p k j) p q q h p h a) p q q p b) p q x p q x c) h q q p p x x y y h 10 k) p q q x x m p m l) p q x q p x 29) erificar a validade do argumento: Se é domingo, Karol vai à missa Karol não foi à missa Logo, não é domingo 2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

11 30) erificar a validade do argumento: Estudo ou não serei aprovado em Matemática Se trabalho, não estudo Trabalhei Logo, fui reprovado em Matemática 31) erificar a validade do argumento: Se um homem é inteligente, ele casa. Se um homem não casa, ele é infeliz O homem é feliz Logo, homens inteligentes não casam 32) Considere a proposição Pedrão é professor e guerreiro, ou Pedrão é bonito. Como Pedrão não é bonito, então é correto afirmar que Pedrão é professor e guerreiro? 33) Considere as seguintes premissas: Cláudia é bonita e inteligente, ou Cláudia é simpática. Cláudia não é simpática. A partir dessas premissas, conclui-se que Cláudia: a) Não é bonita e não é inteligente. b) Não é bonita e é inteligente. c) É bonita e não é inteligente. d) É bonita ou é inteligente. e) Se é bonita, então é inteligente. 34) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo: a) O jardim é florido e o gato mia b) O jardim é florido e o gato não mia c) O jardim não é florido e o gato mia d) O jardim não é florido e o gato não mia e) Se o passarinho canta, então o gato não mia a) Pedrão não foi aprovado e Karol não foi visitar seus pais. b) Pedrão não estudou e Pedrão foi aprovado. c) Pedrão estudou e Pedrinho foi ao parque. d) Karol não foi à missa e Pedrão não foi aprovado. e) Karol foi à missa e Pedrão foi aprovado. 36) As seguintes afirmações, todas elas verdadeiras, foram feitas sobre a ordem de chegada dos participantes de uma prova de natação: I) Dado chegou antes de Gueti e depois de Ita; II) Dado chegou antes de Dani e Dani chegou antes de Gueti, se e somente se Gueti chegou depis de Ita; III) Rê não chegou junto com Dani, se e somente se Gueti chegou junto com Dado. Logo: a) Dado chegou antes de Rê, depois de Ita e junto com Gueti. b) Gueti chegou antes de Ita, depois de Dani e antes de Dado. c) Gueti chegou depois de Dani, depois de Rê e junto com Ita. d) Dani chegou antes de Ita, depois de Dado e junto com Rê. e) Rê chegou antes de Gueti, depois de Ita e junto com Dani. DIAGRAMAS LÓGICOS O estudo da Teoria dos Conjuntos e dos Diagramas de enn são ferramentas importantes na resolução de questões de Raciocínio Lógico, sendo que devemos destacar três situações: Conjuntos que não possuem elementos em comum (disjuntos (A B = ) Nenhum A é B 35) No final de semana Pedrinho não foi ao parque. Ora, sabe-se que sempre que Pedrão estuda, Pedrão é aprovado. Sabe-se, também, que, nos finais de semana, ou Karol vai à missa ou vai visitar seus pais. Sempre que Karol vai visitar seus pais, Pedrinho vai ao parque e, sempre que Karol vai à missa, Pedrão estuda. Então, no final de semana, 2010 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 11

12 Conjuntos que possuem ao menos um elemento em comum (A B B ) Algum A é B e Algum A não é # Todo A é B () Algum A não é B () Nenhum A é B (indeterminada) Algum A é B (indeterminada) # Nenhum A é B () Algum A é B () Todo A é B (indeterminada) Algum A não é B (indeterminada) Conjunto contido em outro conjunto (A B) Todo A é B # Algum A é B () Todo A é B () Nenhum A é B () Algum A não é B () # Algum A não é B () Todo A é B () Nenhum A é B () Algum A é B () PRINCIPAIS NEGAÇÕES Proposições Categóricas # Todo A é B (), então: Nenhum A é B () Algum A é B () Algum A não é B () # Nenhum A é B (), então: Todo A é B () Algum A é B () Algum A não é B () # Algum A é B (), então: Nenhum A é B () Todo A é B (indeterminada) Algum A não é B (indeterminada) # Algum A não é B (), então: Todo A é B () Nenhum A é B (indeterminada) Algum A é B (indeterminada) "PELO MENOS UM NÃO" "TODO É" "EXISTE UM QUE NÃO É" "ALGUM NÃO É" "PELO MENOS UM É" "NENHUM É" "EXISTE UM QUE É" "ALGUM É" "ALGUM É" "NENHUM É" "ALGUM NÃO É" "TODO É" A negação da frase: "Todo Gremista é inteligente" é: "Pelo menos um Gremista não é inteligente" "Existe um Gremista que não é inteligente " "Algum Gremista não é inteligente " A negação da frase: "Nenhum Gremista é inteligente " é "Pelo menos um Gremista é inteligente " "Existe um Gremista que é inteligente " "Algum Gremista é inteligente " A negação da frase: "Algum Gremista é inteligente " é "Nenhum Gremista é inteligente " A negação da frase: "Algum Gremista não é inteligente " é "Todos Gremistas são inteligente " Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

13 EXERCÍCIOS 37) A negação da proposição As palavras mascaram-se pode ser corretamente expressa pela proposição Nenhuma palavra se mascara. 38) A negação da proposição Existe banco brasileiro que fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos pode ser assim redigida: Nenhum banco brasileiro fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos. 39) Se a afirmativa todos os beija-flores voam rapidamente for considerada falsa, então a afirmativa algum beija-flor não voa rapidamente tem de ser considerada verdadeira. 40) Se A for a proposição Todos os policiais são honestos, então a proposição A estará enunciada corretamente por Nenhum policial é honesto. GABARITO RACIOCÍNIO LÓGICO 01) a) b) c) d) e) f ) g) h) i) j) 02) a) João não é filho de Ana. b) João não é c) João é filho de Ana e é d) João não é filho de Ana e é e) João é filho de Ana e não é f ) João não é filho de Ana e não é g) João é filho de Ana ou é h) João não é filho de Ana ou é i) João é filho de Ana ou não j) João não é filho de Ana ou não é k) Não é verdade que João é filho de Ana e é l) Não é verdade que João é filho de Ana ou é m) Não é verdade que João não é filho de Ana e é n) Não é verdade que João é filho de Ana ou não é o) Não é verdade que João não é filho de Ana. 03) a) p q b) p q c) p q d) p q f) ( p q) g) ( p q) h) ( p) i) ( q) j) p ( q) e) p q 04) a) Se João é filho de Ana, então não é b) Se João não é filho de Ana, então não é c) Se João não é filho de Ana, então é d) Não é verdade que se João é filho de Ana então é e) Se João é filho de Ana, então não é verdade que João é filho de Ana ou é f) Se João é filho de Ana, então não é verdade que João é filho de Ana e é g) Se João não é filho de Ana, então é filho de Ana e é h) Se João não é filho de Ana, então é filho de Ana ou é i) Se João não é filho de Ana, então não é verdade que é filho de Ana e é j) Se João não é filho de Ana, então não é verdade que é filho de Ana ou é K) Se João é filho de Ana ou é simpático, então não é l) Se João é filho de Ana e é simpático, então não é m) Se não é verdade que João é filho de Ana ou é simpático, então não é n) Se não é verdade que João é filho de Ana e é simpático, então é 05) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) 06) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) 07) a) 3 e 1 b) 3 e 1 c) 1 e 3 d) 1 e 3 e) 2 e 2 f) 1 e 3 g) 2 e 2 h) 3 e 1 i) 2 e 2 j) 2 e 2 k) 3 e Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 13

14 08) a) não são equivalentes b) são equivalentes c) não são equivalentes d) são equivalentes e) não são equivalentes f ) são equivalentes 09) a) são negativas b) são negativas c) não são negativas d) não são negativas e) não são negativas 10) a) contradição b) tautologia c) contingência p : Meu nome é Pedrão. q : En sinarei lógica. 11) 12) p q q p p : Pedrão é professor. q : Serginho é paulista. p q p q p : Aprendi lógica. q : Acertarei esta questão. p q ; 15) p q são negativas p : A crise vai aumentar. q : As vendas de Natal vão cair. p q ; q p 16) não são negativas 17) R : q p a) b) I : p q C : q p 18) R : p q I : q p C : p q R : q p c) I : p q C : q p R : Se ele explica bem a matéria, então ele é um bom professor. I : Se ele não é um bom professor, então ele não explica bem a matéria. C : Se ele não explica bem a matéria então ele não é um bom professor. 13) p : Pedrão é professor. q : Serginho é paulista. p q ; p q são negativas p : Hoje é sexta feira. q : Amanhã vai chover. 14) p q ; p q não são negativas nem equivalentes C : q p 19) I : q p R : p q 20) c 21) e 22) e 23) e 24) e 25) e 26) c 27) e 28) a) inválido b) inválido c) válido d) inválido e) inválido f ) inválido g) inválido h) válido i ) válido j ) válido k) válido l ) válido 29) válido 30) válido 31) inválido 32) correto(válido) 33) e 34) c 35) e 36) e 37) E 38) C 39) C 40) E Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

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