RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO Fundamentos e Métodos Práticos

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1 Josimar Padilha RACIOCÍNIO LÓGICO-MATEMÁTICO Fundamentos e Métodos Práticos 2ª edição revista, atualizada e ampliada 2018

2 Capítulo 1 Lógica de Primeira Ordem-Proposicional Estruturas Lógicas CONCEITOS INICIAIS A lógica formal não se ocupa com os conteúdos pensados ou com os objetos referidos pelo pensamento, mas apenas com a forma pura e geral dos pensamentos, expressa pela linguagem. O objeto da lógica é a proposição que exprime, por meio da linguagem, os juízos formulados pelo pensamento. A proposição é a atribuição de um predicado a um sujeito. Nas últimas provas de concursos públicos, as bancas exigiram dos candidatos uma noção mais específica da lógica de primeira ordem, voltando-se para a teoria, no que diz respeito à relação existente entre sentenças, proposições e expressões. Neste capítulo abordaremos a lógica das proposições. I Sentenças Expressão de um pensamento completo. São compostas por um sujeito (algo que se declara) e por um predicado (aquilo que se declara sobre o sujeito). Ex.: José passou no concurso público. Lógica não é difícil. Que horas começa o filme? Que belas flores! Pegue essa xícara agora. Percebemos que as sentenças podem ser:

3 16 Raciocínio Lógico-matemático Josimar Padilha Afirmativas Ex.: A lógica é uma ciência do raciocínio. s e n t e n ç a s Negativas Ex.: José não vai à festa. Imperativas Ex.: Faça seu trabalho com dedicação. Exclamativas Ex.: Que dia lindo! Interrogativas Ex.: Qual é o seu nome? a) Sentenças Abertas São as sentenças nas quais não podemos determinar o sujeito. Uma forma mais simples de identificá-las é o fato de que não podem ser nem V (verdadeiras) nem F (falsas). Ex.: Ela foi a melhor atleta da competição. Algumas sentenças são chamadas abertas porque não são passíveis de interpretação para que possam ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Exemplo, se tivermos uma proposição expressa: Para todo a, P(a), em que a é um elemento qualquer do conjunto U, e P(a) é uma propriedade a respeito dos elementos de U, logo se torna necessário explicitar U e P para que seja possível valorar. Ex.: {x R/ x > 2}, neste caso x pode ser qualquer número maior que 2, ou seja, não há um sujeito específico. Há expressões às quais não se pode atribuir um valor lógico V ou F, por exemplo: Ele é juiz do TRT da 1ª Região, ou x + 5 = 10. O sujeito é uma variável que pode ser substituído por um elemento arbitrário, transformando a expressão em uma proposição que pode ser valorada como V ou F. Expressões dessa forma são denominadas sentenças abertas, ou funções proposicionais. Pode-se passar de uma sentença aberta a uma proposição por meio dos quantificadores qualquer que seja, ou para todo, indicado por, e existe, indicado por. Por exemplo: a proposição ( x)(x R) (x + 3 = 9) é valorada como F, enquanto a proposição ( x)(x R)(x + 3 = 9) é valorada como V. b) Sentenças Fechadas São aquelas nas quais podemos determinar o sujeito da sentença. Ex.: Antônio está de férias. O professor Marcelo foi trabalhar.

4 Capítulo 1 Lógica de Primeira Ordem-Proposicional 17 Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. Assim, frases como Como está o tempo hoje? e Esta frase é falsa não são proposições, porque a primeira é pergunta (sentença interrogativa) e a segunda não pode ser nem V nem F. II Expressões Por exclusão, temos que são aquelas que não são sentenças. Ex.: Vinte e cinco centésimos. A terça parte de um número. III Proposições Dá-se o nome de proposição a uma sentença (afirmativa ou negativa) formada por palavras ou símbolos que expressam um pensamento de sentido completo, as quais se podem atribuir um valor lógico, ou seja, uma valoração (verdadeira ou falsa). Esta valoração também é chamada de valor lógico ou valor-verdade. DIAGRAMA Aplicação (Cespe/2008) A seguinte proposição Ninguém ensina ninguém é um exemplo de sentença aberta. Esta questão é interessante, pois exige do candidato uma diferenciação entre os conceitos já citados, em que muitos iriam se deter em interpretar a frase sugerida. O que se deve perceber é que quando o Cespe cita que a proposição Ninguém... é uma sentença aberta, torna-se uma contradição, uma vez que uma proposição pode ser valorada, o que não ocorre com uma sentença aberta (não há como se valorar.) Logo, o item está errado.

5 18 Raciocínio Lógico-matemático Josimar Padilha QUESTÕES COMENTADAS (FCC) Considere as seguintes frases: I. Ele foi o melhor jogador do mundo em II. (x+y) / 5 é um número inteiro. III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em É verdade que apenas: a) I é uma sentença aberta. b) II é uma sentença aberta. c) I e II são sentenças abertas. d) I e III são sentenças abertas. e) II e III são sentenças abertas. No item I temos uma sentença aberta, pois não se pode determinar quem foi o melhor jogador do mundo em No item II vários valores podem ser atribuídos a x ou a y para que a razão possua resultado inteiro. Ex.: x = 5 e y = 10, temos (5 + 10) / 5 = 3 (3 pertence aos inteiros); pode acontecer o mesmo com x = 20 e y = 10, temos ( )/5 = 6 e etc., logo a sentença é aberta. No item III temos uma sentença fechada, pois sabemos determinar quem é o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000, ou seja, o sr. João da Silva. Resposta: c (FCC adaptada)das quatro frases abaixo, três delas têm uma mesma característica lógica e comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I. Que belo dia! II. Josias é um excelente aluno de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado? IV. Escreva uma poesia. A frase que não possui essa característica comum é a: a) IV. b) III. c) I. d) II. Das frases anteriores temos quatro sentenças: I Que belo dia! (não possui uma interpretação lógica sentença exclamativa não há como valorar. II Josias é um excelente aluno de raciocínio lógico sentença afirmativa há como valorar. III O jogo terminou empatado? sentença interrogativa não há como valorar. IV Escreva uma poesia. sentença imperativa não há como valorar. Dentre as quatro sentenças apenas uma pode ser valorada, logo temos uma proposição. Resposta: d

6 Capítulo 1 Lógica de Primeira Ordem-Proposicional 19 (Cespe) Observe as frases e julgue o item. A frase dentro destas aspas é uma mentira. A expressão X + Y é positiva. Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. O que é isto? ( ) Na lista de frases apresentadas acima, há exatamente três proposições. Nas frases acima temos quatro sentenças: A frase dentro destas aspas é uma mentira : esta frase não possui uma interpretação lógica (V ou F), pois se valorarmos como verdadeira ela se tornará falsa, uma vez que informa que a frase é falsa; caso seja valorada como falsa, tornar-se-á verdadeira e assim por diante. Logo, é uma sentença aberta. A expressão X + Y é positiva: esta frase não possui uma interpretação lógica (V ou F), pois não sabemos quais são os valores de X e Y. Ex.: Se X = 1 e Y = 2, temos que = 3 (positivo), mas se tivermos X = 1 e Y = -3, temos que 1+( 3) = 4 (negativo). Logo, é uma sentença aberta. Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira: esta frase possui uma interpretação lógica, uma vez que Pelé marcou mais de dez gols para a seleção brasileira, sendo falsa a frase. Logo, é uma proposição. O que é isto?: esta frase não possui uma interpretação lógica (V ou F), pois trata-se de uma sentença interrogativa, a qual não pode ser valorada. Logo é uma sentença aberta. Resposta: E (Cespe) Na lógica de primeira ordem, uma proposição é funcional quando é expressa por um predicado que contém um número finito de variáveis e é interpretada como verdadeira (V) ou falsa (F) quando são atribuídos valores às variáveis e um significado ao predicado. Exemplo, a proposição Para qualquer x, tem-se que x 2 > 0 possui interpretação verdadeira quando x é um número real maior que 2 e possui interpretação falsa quando x pertence, por exemplo, ao conjunto { 4, 3, 2, 1, 0}. Com base nessas informações, julgue os itens. a) A proposição funcional Para qualquer x, tem-se que x 2 > x é verdadeira para todos os valores de x que estão no conjunto ,, 3,, 2, b) A proposição funcional Existem números que são divisíveis por 2 e por 3 é verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}. O primeiro item está errado, pois, quando atribuímos a x o valor de ½, a desigualdade torna-se falsa. Exemplo: x 2 > x = V (½) 2 > ½ ¼ > ½ (F) O segundo item: Existem números que são divisíveis por 2 e por 3 está errado, pois, se verificarmos os elementos do conjunto, eles não são divisíveis por 2 e 3 (ao

7 20 Raciocínio Lógico-matemático Josimar Padilha mesmo tempo). Exemplo: o número 10 é divisível por 2, porém não é divisível por 3. O número 15 é divisível por 3, mas não é divisível por 2. Para que o item estivesse certo, a sentença deveria ser: Existem números que são divisíveis por 2 ou por 3. (Cespe/2008) A frase Quanto subiu o percentual de mulheres assalariadas nos últimos 10 anos? não pode ser considerada uma proposição. O item não é uma proposição, pois não pode ser valorado. É uma sentença interrogativa. Resposta: C (Vunesp/Polícia Civil-SP/2013) Em um reino distante, um homem cometeu um crime e foi condenado à forca. Para que a sentença fosse executada, o rei mandou que construíssem duas forcas e determinou que fossem denominadas de Forca da Verdade e Forca da Mentira. Além disso, ordenou que na hora da execução o prisioneiro deveria proferir uma sentença assertiva qualquer. Se a sentença fosse verdadeira, ele deveria ser enforcado na Forca da Verdade. Se, por outro lado, a sentença fosse falsa, ele deveria ser enforcado na Forca da Mentira. Assim, no momento da execução, foi solicitado que o prisioneiro proferisse a sua asserção. Ao fazer isso, o carrasco ficou completamente sem saber o que fazer e a execução foi cancelada! Assinale qual das alternativas representa a asserção que o prisioneiro teria proferido. a) Está chovendo forte. b) O carrasco não vai me executar. c) A soma dos ângulos de um triângulo é cento e oitenta graus. d) Dois mais dois é igual a cinco. e) Serei enforcado na Forca da Mentira. : A Banca Vunesp exige um conhecimento de sentenças fechadas (proposições) e sentenças abertas. Uma bela questão em que o examinador soube aplicar de maneira concreta os princípios fundamentais da Lógica Proposicional. Segundo a questão, existem duas forcas para execução do prisioneiro, no qual, se proferisse uma sentença verdadeira, ele deveria ser enforcado na Forca da Verdade, mas, por outro lado, se a sentença fosse falsa, ele deveria ser enforcado na Forca da Mentira. À primeira vista, temos uma interpretação que tal situação é absurda, porém quando analisamos pelo ponto de vista lógico podemos interpretar que existem pensamentos passíveis de valoração (V ou F) dentro da lógica bivalente e pensamentos completos que não possuem interpretação, ou seja, sentenças abertas. Nesse caso, o prisioneiro ao proferir a sentença deixou o carrasco completamente sem saber o que fazer, pois aquilo que ele ouviu não proporcionou a execução do prisioneiro, ou seja, uma sentença que não conduzia a forca da verdade nem a forca da mentira, sendo dessa forma a execução cancelada. Bem, isto se deve ao fato de que a sentença se tratava de um pensamento completo que não era nem verdadeiro nem falso, ou seja, uma SENTENÇA ABERTA.

8 Capítulo 1 Lógica de Primeira Ordem-Proposicional 21 Analisando as opções devemos encontrar a sentença aberta que o prisioneiro proferiu proporcionando sua absolvição. a) Está chovendo forte : É uma proposição, pois pode ser verdadeira ou falsa, seria executado de qualquer forma. b) O carrasco não vai me executar : É uma proposição, pois possui valoração, no caso falsa, seria executado na forca da mentira. c) A soma dos ângulos de um triângulo é cento e oitenta graus. É uma proposição, pois possui valoração, no caso verdadeira, seria executado na forca da verdade. d) Dois mais dois é igual a cinco. É uma proposição, pois possui valoração, no caso falsa, seria executado na forca da mentira. e) Serei enforcado na Forca da Mentira. A sentença não é nem verdadeira e nem falsa. Pois se tentarmos valorar como verdadeira, ela se torna falsa, e se tentarmos valorar como falsa se torna verdadeira, ou seja, não possui valoração sentença aberta. Resposta: e Representação das Proposições As proposições podem ser representadas por letras, sendo estas maiúsculas ou minúsculas. p: O estado do Espírito Santo é produtor de petróleo. q: O mundo precisa de paz. r: Renato é um aluno dedicado. Simbolização Na lógica proposicional não analisamos o conteúdo das proposições, e sim, a forma como se relacionam com outras proposições. Por exemplo, as proposições A Terra é quadrada ou Todo cachorro é rosa, sendo valoradas como verdadeira mesmo que saibamos que em nosso cotidiano não são. Por isso são representadas por símbolos. As proposições são indicadas com maior frequência pelas letras p, q, r ou s, maiúsculas ou minúsculas. Proposições simples ou básicas: expressam apenas um pensamento. Ex.: Guarapari tem lindas praias. José passou no concurso. Proposições compostas: expressam mais de um pensamento. As proposições compostas costumam ser chamadas de fórmulas proposicionais ou apenas fórmulas. Ex.: José passou no concurso e Guarapari tem lindas praias. Nas provas de concursos, quando uma questão perguntar sobre a quantidade de proposições está implícito que se trata da quantidade de proposições simples (pensamentos completos). Uma proposição simples corresponde a um pensamento completo. As proposições simples e compostas também são chamadas, respectivamente, de átomos e moléculas.

9 22 Raciocínio Lógico-matemático Josimar Padilha QUESTÕES COMENTADAS (Cespe adaptada) Considere a seguinte lista de frases e julgue o item. I. Rio Branco é a capital do estado de Rondônia. II. Qual é o horário do filme? III. O Brasil é pentacampeão de futebol. IV. Que belas flores! V. Marlene não é atriz e Djanira é pintora. ( ) Nesta lista, há exatamente 4 proposições. Nesta questão temos as proposições: Rio Branco é a capital do estado de Rondônia. (uma proposição, um pensamento). Qual é o horário do filme? (sentença aberta) O Brasil é pentacampeão de futebol. (uma proposição, um pensamento). Que belas flores! (sentença aberta) Marlene não é atriz e Djanira é pintora. (duas proposições 2 pensamentos, porém o Cespe ao afirmar sobre a quantidade de proposições, refere-se a quantidade de frases (de 1 a 5), logo teremos neste caso uma proposição composta). Sendo assim temos um total de 2 proposições simples e 1 composta. Logo, temos 3 proposições. Resposta: E Obs.: nesta questão caberia um raciocínio diferente, de acordo com o comentário realizado anteriormente, uma vez que proposições são sentenças fechadas (pensamentos completos) afirmativas ou negativas que podem ser valoradas; se fosse enumerada a quantidade de pensamentos teríamos quatro, o que faria o item correto, porém o Cespe referiu-se à quantidade (numeração) estabelecida no item. (Cespe/2008) Leia atentamente as frases a seguir. I. Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. II. A resposta branda acalma o coração irado. III. O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem. IV. Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade. Tendo como referência as frases acima, julgue os itens seguintes. a) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção. b) A segunda frase é uma proposição lógica simples. c) A terceira frase é uma proposição lógica composta. d) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos. O item I está errado, uma vez que temos duas sentenças imperativas (não são proposições) ligadas por um conectivo de conjunção, logo podemos afirmar que não é uma proposição. O item II está certo, uma vez que temos apenas uma ideia completa (proposição simples).

10 Capítulo 1 Lógica de Primeira Ordem-Proposicional 23 O item III está errado, pois temos apenas uma ideia completa (proposição simples). O item IV está errado, uma vez que temos duas proposições simples (pensamentos) conectadas por um conectivo condicional Se..., então.... (Cespe/2008)Com relação à lógica formal, julgue os itens subsequentes. a) A frase Pedro e Paulo são analistas do Sebrae é uma proposição simples. b) A proposição João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma é um exemplo de proposição formada por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de conjunção. O primeiro item está certo, uma vez que temos apenas uma ideia completa (proposição simples). O segundo item está certo, pois temos duas ideias completas conectadas (operadas) por um conectivo de conjunção e. (Cespe/2008) Uma proposição é uma sentença afirmativa ou negativa que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. Nesse sentido, considere o seguinte diálogo: (1) Você sabe dividir? perguntou Ana. (2) Claro que sei! respondeu Mauro. (3) Então, qual é o resto da divisão de onze milhares, onze centenas e onze por três? perguntou Ana. (4) O resto é dois. respondeu Mauro, após fazer a conta. (5) Está errado! Você não sabe dividir. respondeu Ana. A partir das informações e do diálogo acima, julgue os itens que se seguem. a) A frase indicada por (3) não é uma proposição. b) A sentença (5) é falsa. c) A frase (2) é uma proposição. Esta questão é interessante, uma vez que a banca introduz uma conversação para ser analisada. Ana pergunta a Mauro se ele sabe dividir, o mesmo responde que sim, porém o número que Ana indica é o ( ) que é divisível por 3, em que o resto é igual 0 (zero). Mauro afirma que o resto é 2 (dois), uma resposta errada. Após considerarmos o diálogo, segundo o enunciado, algumas frases podem ser valoradas da seguinte forma: (1) Você sabe dividir? (sentença aberta não possui valoração) perguntou Ana. (2) Claro que sei! (sentença fechada proposição pode ser valorada de acordo com o diálogo) respondeu Mauro. (3) Então, qual é o resto da divisão de onze milhares, onze centenas e onze por três? (sentença aberta não possui valoração) perguntou Ana.

11 24 Raciocínio Lógico-matemático Josimar Padilha (4) O resto é dois. (sentença fechada proposição pode ser valorada de acordo com o diálogo respondeu Mauro, após fazer a conta. (5) Está errado! Você não sabe dividir. (sentença fechada (verdadeira) proposição pode ser valorada de acordo com o diálogo respondeu Ana. Julgando os itens, temos: a) A frase indicada por (3) não é uma proposição. (certo) b) A sentença (5) é falsa. (errado) c) A frase (2) é uma proposição. (certo, possui valoração)