Aula 00. Matemática e Raciocínio Lógico para IBAMA. Matemática e Raciocínio Lógico Professor: Guilherme Neves

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1 Aula 00 Matemática e Raciocínio Lógico Professor: Guilherme Neves 1

2 Aula 00 Aula Demonstrativa Matemática e Raciocínio Lógico para IBAMA Apresentação... 3 Negação de Proposições e Leis de De Morgan... 4 Relação das questões comentadas Gabaritos

3 Apresentação Olá, pessoal! Tudo bem com vocês? Esta é a aula demonstrativa de Matemática e Raciocínio Lógico para o futuro concurso do IBAMA. Como o edital ainda não foi publicado, vamos nortear os nossos estudos de acordo com o último edital publicado pelo CESPE-UnB. Para quem ainda não me conhece, meu nome é Guilherme Neves. Sou professor de Raciocínio Lógico, Matemática, Matemática Financeira e Estatística. Sou autor do livro Raciocínio Lógico Essencial (Editora Campus). Posso afirmar em alto e bom tom que ensinar é a minha predileção. Comecei a dar aulas para concursos, aqui em Recife, quando tinha apenas 17 anos (mesmo antes de começar o meu curso de Bacharelado em Matemática na UFPE). No nosso curso, além de ter acesso à teoria completa e muitos exercícios resolvidos, você poderá tirar as suas dúvidas no nosso fórum. Nesta aula, que é demonstrativa, aprenderemos a negar proposições compostas pelo conectivo ou e pelo conectivo e. Essas fórmulas de negação são conhecidas como Leis de De Morgan e são muito cobradas pelo CESPE, conforme veremos nesta aula. Esta aula, por ser demonstrativa, será bem mais curta que as posteriores. Nossas aulas terão uma média de 60 páginas. Seguiremos o seguinte cronograma: Aula 00: Negação de proposições compostas Aula 01: 1 Estruturas lógicas. 3 Lógica sentencial (ou proposicional). 3.1 Proposições simples e compostas. 3.2 Tabelas-verdade. 3.3 Equivalências. 3.4 Leis de De Morgan. Aula 02: 2 Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões. 3.5 Diagramas lógicos.4 Lógica de primeira ordem. Aula 03: Princípios de Contagem Aula 04: Probabilidade Aula 05: 2 Proporções e divisão proporcional. 3 Regras de três simples e composta. 4 Porcentagem. 3

4 Aula 06: 1.1 Conjunto numérico: operações com números inteiros, fracionários e decimais. Aula 07: 1 Álgebra linear Aula 08: 5 Juros simples e Descontos Simples Aula 09: Juros compostos; capitalização e descontos. 6 Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente. Negação de Proposições e Leis de De Morgan Para esta aula demonstrativa, escolhi um assunto muito importante em Raciocínio Lógico as Leis de De Morgan (em homenagem a Augustus De Morgan). - Guilherme, para que servem as Leis de De Morgan? É muito simples, meu amigo. As leis de De Morgan ensinam como negar proposições compostas pelos conectivos e e ou. - Guilherme, calma aí! Eu não sei o que são proposições, nem muito menos proposições compostas. E conectivos, o que são? Fique tranquilo. Todos esses conceitos serão explicados detalhadamente no nosso curso, ok? Por enquanto, assuma que proposições são frases (depois definiremos formalmente este conceito). Um exemplo de proposição é o seguinte: Guilherme Neves é torcedor do Náutico. Toda proposição pode ser classificada em V ou F, mas não os dois. Como eu realmente sou torcedor do Náutico, então a frase acima é verdadeira. Guilherme Neves é torcedor do Náutico. (V) Existe um operador lógico chamado de modificador. E para que serve o modificador? Bom, a principal função do modificador é negar a proposição dada. Por exemplo, a negação da proposição acima é a seguinte. Guilherme Neves não é torcedor do Náutico. 4

5 Como a proposição original era verdadeira, a sua negação obrigatoriamente será falsa. Guilherme Neves não é torcedor do Náutico. (F) Então, por enquanto é isso. O operador modificador serve para negar a proposição dada. Se uma proposição é verdadeira, a sua negação será falsa. Se uma proposição é falsa, a sua negação será verdadeira. Vejamos mais um exemplo. Proposição dada: O Ponto dos Concursos não está sediado em Recife. Esta é uma proposição verdadeira, já que o Ponto está sediado em Brasília. Como esta frase é verdadeira, a sua negação obrigatoriamente será falsa. E quem é a negação da proposição acima? O Ponto dos Concursos está sediado em Recife. Aprendemos então como negar proposições simples, ou seja, que não fazem uso de conectivos lógicos. Vejamos dois exemplos recentes do CESPE-UnB: 01. (TRT 10 a Região 2012/CESPE-UnB) A negação da proposição O motorista foi pego dirigindo veículo de categoria diferente daquela para a qual está habilitado é O motorista não foi pego dirigindo veículo de categoria igual àquela para a qual não está habilitado. Para negar uma proposição simples devemos apenas modificar o seu verbo. Considere a proposição: Guilherme jogou um livro na perna de João. A negativa, de acordo com a Lógica, limita-se a trocar o valor-verdade da afirmação feita. Limita-se a dizer que a afirmativa é falsa. Entretanto, essa falsidade pode recair em vários itens da afirmação. i) Não foi Guilherme quem jogou o livro, foi Alberto. ii) Não jogou, apenas encostou. 5

6 iii) Não foi um livro, e sim um caderno. iv) Não foi na perna, foi na barriga. v) Não foi em João, foi em Paulo. Para englobar todas essas possibilidades, devemos apenas modificar o verbo. Assim, a correta negação desta proposição é Guilherme não jogou um livro na perna de João, ok? Voltemos à nossa questão. A negação da proposição dada é O motorista não foi pego dirigindo veículo de categoria diferente daquela para a qual está habilitado. O item está errado. 02. (TC-DF 2014/CESPE-UnB) A negação da proposição O tribunal entende que o réu tem culpa pode ser expressa por O tribunal entende que o réu não tem culpa. Vimos que para negar uma proposição simples devemos modificar apenas o verbo. A proposição diz que O tribunal entende X, onde X é que o réu tem culpa. A negação de O tribunal entende X é O tribunal não entende X. Assim, a correta negação da proposição é O tribunal não entende que o réu tem culpa. O item está errado. Não tente resolver as questões de Lógica utilizando interpretação. Você pode se dar mal. Pura e simplesmente aplique as regras e você não terá problemas. 03. (TRT 10 a Região 2012/CESPE-UnB) A negação da proposição A empresa não entrega o que promete é A empresa entrega o que não promete. Para negar tal proposição, devemos modificar o seu verbo e não o seu objeto. Assim, a correta negação de A empresa não entrega o que promete é A empresa entrega o promete. O item está errado. 6

7 Como falei anteriormente, as Leis de De Morgan explicam como negar proposições compostas pelos conectivos e e ou. Você saberia, por exemplo, negar a proposição Vou à festa ou não me chamo Guilherme.? Bom, a negação de Vou à festa é Não vou à festa. A negação de não me chamo Guilherme é me chamo Guilherme. Afirmação Vou à festa ou não me chamo Guilherme Negação Não vou à festa me chamo Guiherme É agora que entra a primeira lei de De Morgan. Para negar uma proposição composta pelo conectivo ou, você deve negar as duas proposições simples que a compõe e TROCAR O CONECTIVO OU PELO E. Afirmação Vou à festa ou não me chamo Guilherme Negação Não vou à festa e me chamo Guiherme Pronto, só isso! Vamos fazer mais um exemplo? Negue a proposição O rato não chia ou o gato mia. Afirmação O rato não chia ou o gato mia Negação Vamos relembrar a lei. Devemos negar os dois componentes, para começar. Afirmação O rato não chia ou o gato mia Negação O rato chia O gato não mia Depois é só trocar o conectivo para e. Afirmação O rato não chia ou o gato mia Negação O rato chia e O gato não mia 7

8 04. (TC-DF 2014/CESPE-UnB) A negação da proposição Um empresário tem atuação antieconômica ou antiética pode ser expressa por Um empresário não tem atuação antieconômica ou não tem atuação antiética. Acabamos de aprender que para negar uma proposição composta pelo conectivo ou devemos negar os componentes e trocar o conectivo por e. O item está errado. 05. (MEC 2014/CESPE-UnB) A negação da proposição O candidato é pósgraduado ou sabe falar inglês pode ser corretamente expressa por O candidato não é pós-graduado nem sabe falar inglês. Esta casca de banana aparece com muita frequência em questões do CESPE. Observe: A proposição Não vou à praia nem ao cinema significa Não vou à praia e não vou ao cinema. CUIDADO!! A expressão nem, que o enunciado colocou na suposta negação, significa e implicitamente!! Vamos voltar ao enunciado. Queremos negar a proposição O candidato é pósgraduado ou sabe falar inglês. Devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo ou por e. Assim, a negação pedida pode ser escrita assim: O candidato não é pósgraduado e não inglês. Esta frase pode ser reescrita como O candidato não é pós-graduado nem sabe falar inglês. O item está certo. Pronto! Muito fácil, não? - Guilherme, você falou em LEIS de De Morgan, e não LEI de De Morgan? Qual é a outra? Caríssimo, se você aprendeu a primeira lei, você praticamente já aprendeu a outra. A primeira lei diz que para negar uma frase composta pelo conectivo ou, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo pelo e. 8

9 Pois bem, a segunda lei diz que para negar uma frase composta pelo conectivo e, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo pelo ou. Vamos lá? Negue a proposição Lula foi presidente do Brasil e Bertrand Russell não era brasileiro. Ok, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo e pelo conectivo ou. Afirmação Lula foi presidente do Brasil Negação Lula não foi presidente do Brasil e Bertrand Russel não era brasileiro. ou Bertrand Russell era brasileiro. LEMBRETE LEIS de DE MORGAN Para negar uma proposição composta pelo conectivo ou, negue os componentes e troque o conectivo pelo e. Para negar uma proposição composta pelo conectivo e, negue os componentes e troque o conectivo pelo ou. Por enquanto, não vamos aprender nenhum símbolo lógico, ok? Isto fica para as próximas aulas... Vamos resolver algumas questões para treinar? 06. (MPU 2013/CESPE-UnB) A negação da proposição Não apareceram interessados na licitação anterior e ela não pode ser repetida sem prejuízo para a administração está corretamente expressa por Apareceram interessados na licitação anterior ou ela pode ser repetida sem prejuízo para a administração. Esta é uma aplicação direta da Lei de De Morgan. Para negar uma proposição composta pelo conectivo e, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo por ou. Afirmação Não apareceram interessados na licitação anterior e ela não pode ser repetida sem prejuízo para a administração 9

10 Negação Apareceram interessados na licitação anterior ou ela pode ser repetida sem prejuízo para a administração O item está certo. 07. (Câmara dos Deputados 2014/CESPE-UnB) A negação da proposição Eu voto no candidato X, ele não é eleito e ele não me dá um agrado antes da eleição está corretamente expressa por Eu não voto no candidato X, ele é eleito e ele me dá um agrado antes da eleição. O item está errado. Para negar proposições compostas pelo conectivo e, devemos negar os componentes e trocar o conectivo por ou. 08. (FNDE 2012/CESPE-UnB) A negação da proposição Há transformação na linha pedagógica e no processo de ensino pode ser corretamente expressa por Não há transformação na linha pedagógica ou no processo de ensino. Este item está perfeito. Para negar uma proposição composta pelo conectivo e devemos modificar o verbo (negá-lo) e trocar o conectivo e pelo conectivo ou. O item está certo. 09. (ABIN 2010/CESPE-UnB) A negação da proposição "estes papéis são rascunhos ou não têm mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos" é equivalente a "estes papéis não são rascunhos e têm serventia para o desenvolvimento dos trabalhos". Para negar uma proposição composta pelo conectivo ou, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo pelo e. Afirmação Estes papéis são rascunhos ou não têm mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos Negação Estes papéis não são rascunhos e têm mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos O item está certo. 10

11 10. (Câmara dos Deputados 2012/CESPE-UnB) A negação da proposição Não conheço esse empresário nem ouvi falar de sua empresa pode ser expressa por Conheço esse empresário e ouvi falar de sua empresa. CUIDADO!! Vimos que a expressão nem, que o enunciado colocou na suposta negação, significa e implicitamente!! A proposição dada no enunciado significa, portanto, Não conheço esse empresário e não ouvi falar de sua empresa. A negação desta proposição é Conheço esse empresário ou ouvi falar de sua empresa. O item está errado, pois foi utilizado o conectivo e na negação. Lembre-se das Leis de De Morgan: para negar uma proposição composta pelo e, devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo e pelo conectivo ou. 11. (TRE-RJ 2012/CESPE-UnB) P: Se não há autorização legislativa ou indicação dos recursos financeiros correspondentes, então, não há abertura de créditos suplementares ou de créditos especiais. Considerando a proposição acima, que tem por base o art. 167, inciso V, da Constituição Federal de 1988, julgue os itens seguintes. Na proposição P, a negação do consequente estaria corretamente expressa por: Há abertura de créditos suplementares ou há abertura de créditos especiais. O consequente é a segunda proposição de uma proposição composta pelo conectivo se, então, ou seja, é a proposição que fica depois do então. Queremos, portanto, negar a proposição não há abertura de créditos suplementares ou de créditos especiais.. Para negar uma proposição composta pelo ou, devemos negar os componentes e trocar o conectivo pelo e. O item está errado, já que o conectivo não foi trocado. 12. (TRE-BA 2009/CESPE-UnB) A negação da proposição O presidente é o membro mais antigo do tribunal e o corregedor é o vice-presidente é O presidente é o membro mais novo do tribunal e o corregedor não é o vicepresidente. A negação dada está errada por dois motivos: 11

12 i) Só porque o presidente não é o membro mais antigo, não significa que ele seja o mais novo. Ou seja, a negação de O presidente é o membro mais antigo do tribunal é O presidente não é o membro mais antigo do tribunal. ii) Para negar uma proposição composta pelo e devemos negar os dois componentes e trocar o conectivo pelo ou. O item está errado. 12

13 Relação das questões comentadas 01. (TRT 10 a Região 2012/CESPE-UnB) A negação da proposição O motorista foi pego dirigindo veículo de categoria diferente daquela para a qual está habilitado é O motorista não foi pego dirigindo veículo de categoria igual àquela para a qual não está habilitado. 02. (TC-DF 2014/CESPE-UnB) A negação da proposição O tribunal entende que o réu tem culpa pode ser expressa por O tribunal entende que o réu não tem culpa. 03. (TRT 10 a Região 2012/CESPE-UnB) A negação da proposição A empresa não entrega o que promete é A empresa entrega o que não promete. 04. (TC-DF 2014/CESPE-UnB) A negação da proposição Um empresário tem atuação antieconômica ou antiética pode ser expressa por Um empresário não tem atuação antieconômica ou não tem atuação antiética. 05. (MEC 2014/CESPE-UnB) A negação da proposição O candidato é pósgraduado ou sabe falar inglês pode ser corretamente expressa por O candidato não é pós-graduado nem sabe falar inglês. 06. (MPU 2013/CESPE-UnB) A negação da proposição Não apareceram interessados na licitação anterior e ela não pode ser repetida sem prejuízo para a administração está corretamente expressa por Apareceram interessados na licitação anterior ou ela pode ser repetida sem prejuízo para a administração. 07. (Câmara dos Deputados 2014/CESPE-UnB) A negação da proposição Eu voto no candidato X, ele não é eleito e ele não me dá um agrado antes da eleição está corretamente expressa por Eu não voto no candidato X, ele é eleito e ele me dá um agrado antes da eleição. 08. (FNDE 2012/CESPE-UnB) A negação da proposição Há transformação na linha pedagógica e no processo de ensino pode ser corretamente expressa por Não há transformação na linha pedagógica ou no processo de ensino. 09. (ABIN 2010/CESPE-UnB) A negação da proposição "estes papéis são rascunhos ou não têm mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos" é equivalente a "estes papéis não são rascunhos e têm serventia para o desenvolvimento dos trabalhos". 13

14 10. (Câmara dos Deputados 2012/CESPE-UnB) A negação da proposição Não conheço esse empresário nem ouvi falar de sua empresa pode ser expressa por Conheço esse empresário e ouvi falar de sua empresa. 11. (TRE-RJ 2012/CESPE-UnB) P: Se não há autorização legislativa ou indicação dos recursos financeiros correspondentes, então, não há abertura de créditos suplementares ou de créditos especiais. Considerando a proposição acima, que tem por base o art. 167, inciso V, da Constituição Federal de 1988, julgue os itens seguintes. Na proposição P, a negação do consequente estaria corretamente expressa por: Há abertura de créditos suplementares ou há abertura de créditos especiais. 12. (TRE-BA 2009/CESPE-UnB) A negação da proposição O presidente é o membro mais antigo do tribunal e o corregedor é o vice-presidente é O presidente é o membro mais novo do tribunal e o corregedor não é o vicepresidente. 14

15 Gabaritos 01. Errado 02. Errado 03. Errado 04. Errado 05. Certo 06. Certo 07. Errado 08. Certo 09. Certo 10. Errado 11. Errado 12. Errado 15

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