Lógica Matemática - LMA 0001

Transcrição

1 Lógica Matemática - LMA 0001 Rogério Eduardo da Silva - rogerio.silva@udesc.br Claudio Cesar de Sá - claudio.sa@udesc.br Universidade do Estado de Santa Catarina Departamento de Ciência da Computação 5 de junho de 2014

2 Conteúdo Programático: Apresentação da Disciplina Introdução à Lógica Proposicional Definições Básicas Construção de Tabelas-Verdade Implicação Lógica Equivalência Lógica Método Dedutivo Álgebra das Proposições Demonstração Direta Demonstração Condicional Demonstração Indireta Introdução à Lógica de Primeira Ordem Sentenças Abertas Predicados PROLOG 2 of 273

3 Método de Ensino Aulas expositivas em sala e em laboratório Listas de exercícios teóricos e práticos Atendimento presencial (sala do professor) e/ou através da lista de s da disciplina lma-l@joinville.udesc.br 3 of 273

4 Avaliações 3 provas teóricas (30% da média semestral cada uma) [de Alencar Filho, 2000, de Souza, 2002]: 1. Conceitos básicos: tabelas-verdade, formas normais, implicação e equivalências lógica 2. Argumentação lógica: regras de inferência e de equivalência, demonstração condicional e por absurdo 3. Lógica de Primeira Ordem: Predicados, quantificadores, particularização/generalização Projeto de Implementação Lógica em PROLOG (10% da média semestral) Exame Final (caso média semestral < 7.0) Data prevista: 30 de Junho de of 273

5 Bibliografia Básica Sugerida de Alencar Filho, E. (2000). Iniciação à Lógica Matemática. Editora Nobel. de Souza, J. N. (2002). Lógica para a Ciência da Computação. Editora Campus. 5 of 273

6 6 of 273 Introdução à Lógica Proposicional

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8 O que é Lógica? 8 of 273

9 O que é Lógica? Conhecimento das formas gerais e regras gerais do pensamento correto e verdadeiro, independentemente dos conteúdos pensados; regras para demonstração científica verdadeira; regras para pensamentos não-científicos; regras sobre o modo de expor o conhecimento; regras para verificação da verdade ou falsidade de um pensamento etc. [Marilena Chaui, Convite a Filosofia, 2002] 9 of 273

10 Conceitos Introdutórios Proposição conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento (fatos ou juízos) de sentido completo Exemplos 1. A Lua é o satélite da Terra 2. Recife é a capital de Pernambuco 3. π > = 3 Princípios das Proposições Não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo Terceiro excluído: uma proposição é sempre ou verdadeira ou falsa, não existe terceira opção 10 of 273

11 Conceitos Introdutórios Proposições Verdadeiras = 2 2. A Lua é o satélite natural da Terra 3. Florianópolis e Recife são capitais de estados Proposições Falsas 1. Vasco da Gama descobriu o Brasil < é um número inteiro 11 of 273

12 Conceitos Introdutórios Determine V ou F para as afirmações abaixo 1. O Brasil já ganhou 5 títulos mundiais 12 of 273

13 Conceitos Introdutórios Determine V ou F para as afirmações abaixo 1. O Brasil já ganhou 5 títulos mundiais 2. π = of 273

14 Conceitos Introdutórios Determine V ou F para as afirmações abaixo 1. O Brasil já ganhou 5 títulos mundiais 2. π = Eu sempre minto 14 of 273

15 Conceitos Introdutórios Determine V ou F para as afirmações abaixo 1. O Brasil já ganhou 5 títulos mundiais 2. π = Eu sempre minto Cuidado com paradoxos! 15 of 273

16 Conceitos Introdutórios Determine V ou F para as afirmações abaixo 1. O Brasil já ganhou 5 títulos mundiais 2. π = Eu sempre minto Cuidado com paradoxos! I don t speak English 16 of 273

17 Conceitos Introdutórios Alfabeto Símbolos Ortográficos: ( ) Constantes Lógicas: True, False (V e F neste curso) Símbolos Proposicionais: p, q, r, s, p 1, r 2,... Conectores: ( ),,,, 17 of 273

18 Conceitos Introdutórios Fórmulas bem formadas (fbf) Constantes lógicas são fórmulas Símbolos proposicionais são fórmulas Operação negação: p Operação conjunção ( e ): p q Operação disjunção ( ou ): p q Operação disjunção exclusiva ( x-ou ): p q Operação condicional: p q Operação bicondicional:p q 18 of 273

19 Conceitos Introdutórios Tabelas-Verdade lista todos os possíveis valores lógicos de uma proposição composta, em função das combinações de todos os possíveis valores para cada proposição simples que a compõe Exemplo: p q Valores possíveis para p = V ou F (1 ou 0) Valores possíveis para q = V ou F (1 ou 0) p V V F F q V F V F p q of 273

20 Conceitos Introdutórios Operações Lógicas: negação ( ) inversão do valor lógico de uma proposição p V F p F V 20 of 273

21 Conceitos Introdutórios Operações Lógicas: negação ( ) Exemplos em Linguagem Natural: p : O Sol é uma estrela p : O Sol não é uma estrela p : Carlos é um mecânico p : Não é verdade que Carlos é um mecânico p : É falso que Carlos é um mecânico 21 of 273

22 Conceitos Introdutórios Operações Lógicas: conjunção ( ) proposição composta que é verdadeira somente quando todas as proposições componentes forem verdadeiras p q p q V V V V F F F V F F F F 22 of 273

23 Conceitos Introdutórios Operações Lógicas: disjunção ( ) proposição composta que é verdadeira quando pelo menos uma das proposições componentes for verdadeira p q p q V V V V F V F V V F F F 23 of 273

24 Conceitos Introdutórios Operações Lógicas: disjunção exclusiva () proposição composta que é verdadeira somente quando exatamente uma das proposições componentes for verdadeira p q p q V V F V F V F V V F F F 24 of 273

25 Conceitos Introdutórios Operações Lógicas: condicional ( ) proposição que representa uma relação do tipo: se p então q p é chamado antecedente q é chamado consequente é chamado operador implicação p q p q V V V V F F F V V F F V 25 of 273

26 Conceitos Introdutórios Operações Lógicas: condicional ( ) Exemplos em Linguagem Natural: Se Maio tem 31 dias então a Terra é plana Se π é um número real então o Brasil fica na América do Sul 26 of 273

27 Conceitos Introdutórios Operações Lógicas: bi-condicional ( ) proposição que representa uma relação do tipo: p se e somente se q p q p q V V V V F F F V F F F V 27 of 273

28 Conceitos Introdutórios Exercícios Sejam as proposições Traduzir para linguagem natural: 1. p 2. p q 3. p q 4. p q 5. p q 6. p q p: Está frio q: Está chovendo 28 of 273

29 Conceitos Introdutórios Exercícios Traduzir para linguagem simbólica: 1. Marcos é alto e elegante 2. Marcos é alto mas não é elegante 3. Não é verdade que Marcos é baixo ou elegante 4. Marcos não é nem alto nem elegante 5. Marcos é alto ou é baixo e elegante 29 of 273

30 Conceitos Introdutórios Exercícios Determinar o valor lógico: 1. Roma é a capital da França ou tg45 = 1 2. Não é verdade que 12 é impar = 4 11 é primo 4. Se Brasília é a capital do Brasil então π = 0 5. Se Brasília é a capital do Brasil então argentinos falam espanhol = = > = = 3 30 of 273

31 31 of 273 Construção de Tabelas-Verdade

32 Construção de Tabelas-Verdade Número de Linhas = 2 N, onde N = número de proposições Dois Métodos: 1. uma coluna por operador 2. uma coluna por símbolo 32 of 273

33 Construção de Tabelas-Verdade Método #1 - Uma coluna por operador. Exemplo: (p q) p V V F F q V F V F 33 of 273

34 Construção de Tabelas-Verdade Método #1 - Uma coluna por operador. Exemplo: (p q) p q q V V F V F V F V F F F V 34 of 273

35 Construção de Tabelas-Verdade Método #1 - Uma coluna por operador. Exemplo: (p q) p q q p q V V F F V F V V F V F F F F V F 35 of 273

36 Construção de Tabelas-Verdade Método #1 - Uma coluna por operador. Exemplo: (p q) p q q p q (p q) V V F F V V F V V F F V F F V F F V F V 36 of 273

37 Construção de Tabelas-Verdade Método #2 - Uma coluna por símbolo. Exemplo: (p q) 1 1 p q V V V F F V F F 37 of 273

38 Construção de Tabelas-Verdade Método #2 - Uma coluna por símbolo. Exemplo: (p q) p q V F V V V F F F V F V F 38 of 273

39 Construção de Tabelas-Verdade Método #2 - Uma coluna por símbolo. Exemplo: (p q) p q V F F V V V V F F F F V F F V F 39 of 273

40 Construção de Tabelas-Verdade Método #2 - Uma coluna por símbolo. Exemplo: (p q) p q V V F F V F V V V F V F F F V V F F V F 40 of 273

41 Construção de Tabelas-Verdade Concluindo: Exemplo: (p q) P pq (VV, VF, FV, FF ) = (V, F, V, V ) ou P pq (00, 01, 10, 11) = (1, 1, 0, 1) 41 of 273

42 Construção de Tabelas-Verdade - Exercícios 1. (p q) (q p) 2. p r q r 3. (p q) (q r) (p r) 42 of 273

43 Construção de Tabelas-Verdade - Exercícios 1. (p q) (q p) P pq(vv, VF, FV, VV ) = (F, V, V, V ) 2. p r q r 3. (p q) (q r) (p r) 43 of 273

44 Construção de Tabelas-Verdade - Exercícios 1. (p q) (q p) P pq(vv, VF, FV, VV ) = (F, V, V, V ) 2. p r q r P pqr (VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF ) = (F, V, F, F, V, V, V, F ) 3. (p q) (q r) (p r) 44 of 273

45 Construção de Tabelas-Verdade - Exercícios 1. (p q) (q p) P pq(vv, VF, FV, VV ) = (F, V, V, V ) 2. p r q r P pqr (VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF ) = (F, V, F, F, V, V, V, F ) 3. (p q) (q r) (p r) P pqr (VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF ) = (V, V, V, V, V, V, V, V ) 45 of 273

46 Valor Lógico de uma Proposição É obtido a partir da substituição das proposições componentes por seus respectivos valores lógicos. Exemplo: qual o valor lógico da proposição: (p q) p q p: A Terra é um planeta q: Maio tem 30 dias 46 of 273

47 Valor Lógico de uma Proposição É obtido a partir da substituição das proposições componentes por seus respectivos valores lógicos. Exemplo: qual o valor lógico da proposição: (p q) p q p: A Terra é um planeta q: Maio tem 30 dias (V F ) V F (V ) F V F F V 47 of 273

48 Valor Lógico de uma Proposição - Exercícios 1. Para p = falso e q = falso, determine (p q) (p p q) 2. Para p = verdade e q, r = falso, determine (q (r p)) (( q p) r) 3. Para r = verdade, determine: p q r 4. Para q = verdade, determine: (p q) ( q p) 48 of 273

49 Uso de Parênteses A expressão p q r pode ser interpretada de duas formas (com valores lógicos distintos): 1. (p q) r 2. p (q r) 49 of 273

50 Uso de Parênteses Ordem de Precedência dos conectivos: Exercício: Monte a representação hierárquica para as expressões abaixo: 1. p q 2. p q r 3. (p q r) 4. p q p 5. p (q p) 6. q p r s t 50 of 273

51 Uso de Parênteses Ordem de Precedência dos conectivos: (...) os símbolos de parênteses ( ) são então utilizados como modificadores da ordem de precedência. 51 of 273

52 Construção de Tabelas-Verdade - Exercícios 1. (p q) 2. (p q) 3. p q p q 4. p (q p) 5. (p q) p q 6. q q p 7. (p q) p q 52 of 273

53 Construção de Tabelas-Verdade - Exercícios Suprimir o maior número de parênteses possível (de forma a não alterar a expressão): 1. ((q (r q)) (p ( ( q)))) 2. ((p ( ( q))) (q (r q))) 3. (((p q) ( r)) (((( q) r) q))) 53 of 273

54 Tautologias, Contradições e Contingências Tautologia (): Toda proposição P pqr... que, independente dos valores lógicos de suas proposições componentes, resulte sempre em verdade. Exemplo: (p p) p p p p (p p) V F F V F V F V P p (V, F ) = (V, V ) = 54 of 273

55 Tautologias, Contradições e Contingências Outros exemplos: p p p (p q) p q (p q) p (q q) p p r q r ((p q) r) (p (q r)) 55 of 273

56 Tautologias, Contradições e Contingências Tautologia (): Princípio da Substituição Se P pqr... é uma tautologia então P p0q 0r 0... também será uma tautologia, independente dos valores de p 0, q 0, r 0, of 273

57 Tautologias, Contradições e Contingências Contradição ( ): Toda proposição P pqr... que, independente dos valores lógicos de suas proposições componentes, resulte sempre em falsidade. Exemplo: p p p p p p V F F F V F P p (V, F ) = (F, F ) = 57 of 273

58 Tautologias, Contradições e Contingências Outros exemplos: p p (p q) (p q) p (p q) 58 of 273

59 Tautologias, Contradições e Contingências Contingência: Toda proposição P pqr... que não é nem uma tautologia nem uma contradição. Exemplo: p p p p p p V F F F V V P p (V, F ) = (F, V ) 59 of 273

60 Tautologias, Contradições e Contingências - Exercícios Classifique as proposições abaixo como tautológicas, contraditórias ou contingentes: 1. (p p) (p p) 2. p (p q q) 3. (p q) (p r q r) 60 of 273

61 61 of 273 Implicação Lógica

62 Implicação Lógica Diz-se que uma proposição P pqr... implica logicamente uma proposição Q pqr..., se estas repectivamente nunca assumirem os valores lógicos V e F simultaneamente. Representação: P pqr... Q pqr... Toda proposição implica logicamente uma tautologia: P pqr... Só uma contradição implica logicamente outra contradição: Atenção: o símbolo define uma relação lógica entre duas fórmulas P pqr... e Q pqr... Por outro lado, o símbolo define uma operação lógica entre duas fórmulas P pqr... e Q pqr.... Aqui tem tabela-verdade, no caso acima não. 62 of 273

63 Implicação Lógica Sua definição operacional é dada por: Para verificar se duas fórmulas se relacionam logicamente entre si, isto é, P pqr... Q pqr..., deve-se contruir as tabelas-verdade de P pqr... e Q pqr... Em toda linha de avaliação de P pqr... for Verdade, então naquela linha em Q pqr... também deverá ser Verdade Em outras palavras, a definição da relação de implicação lógica ( ), segue a tabela-verdade da operação ou conectivo lógico da implicação ( ) 63 of 273

64 Implicação Lógica Propriedades: Propriedade Reflexiva: P pqr... P pqr... Propriedade Transitiva: se P pqr... Q pqr... e Q pqr... R pqr... então P pqr... R pqr... Para p q, p q e p q: p q p q p q p q Para p q, p q e q p: p q p q p q q p 64 of 273

65 Implicação Lógica Regras de Inferência: p p q Adição: q p q 65 of 273

66 Implicação Lógica Regras de Inferência: p p q Adição: q p q Simplificação: p q p p q q 66 of 273

67 Implicação Lógica Regras de Inferência: p p q Adição: q p q Simplificação: Silogismo Disjuntivo: p q p p q q (p q) p q (p q) q p 67 of 273

68 Implicação Lógica Regras de Inferência: p p q Adição: q p q Simplificação: Silogismo Disjuntivo: p q p p q q (p q) p q (p q) q p Modus Ponens: (p q) p q 68 of 273

69 Implicação Lógica Regras de Inferência: p p q Adição: q p q Simplificação: Silogismo Disjuntivo: p q p p q q (p q) p q (p q) q p Modus Ponens: (p q) p q Modus Tollens: (p q) q p 69 of 273

70 Implicação Lógica Regras de Inferência: p p q Adição: q p q Simplificação: Silogismo Disjuntivo: p q p p q q (p q) p q (p q) q p Modus Ponens: (p q) p q Modus Tollens: (p q) q p Silogismo Hipotético: (p q) (q r) (p r) 70 of 273

71 Implicação Lógica Regras de Inferência: p p q Adição: p p q Simplificação: Silogismo Disjuntivo: p q p p q q (p q) p q (p q) q p Modus Ponens: (p q) p q Modus Tollens: (p q) q p Silogismo Hipotético: (p q) (q r) (p r) Princípio da Inconsistência: p p p q 71 of 273

72 Implicação Lógica - Exercicios 1. Mostre que: 1.1 q p q 1.2 q p q p 2. Mostre que p q não implica p q 3. Mostre que (X 0 X = Y ) X Y X = 0 72 of 273

73 73 of 273 Equivalência Lógica

74 Equivalência Lógica Diz-se que uma proposição P pqr... é logicamente equivalente a uma proposição Q pqr..., se as tabelas-verdade dessas proposições forem idênticas. Tautologias são sempre equivalentes: Contradições são sempre equivalentes: 74 of 273

75 Equivalência Lógica Propriedades: Dupla Negação: p p 75 of 273

76 Equivalência Lógica Propriedades: Dupla Negação: p p Regra de CLAVIUS: ( p p) p 76 of 273

77 Equivalência Lógica Propriedades: Dupla Negação: p p Regra de CLAVIUS: ( p p) p Regra da Absorção: (p p q) (p q) 77 of 273

78 Equivalência Lógica Propriedades: Dupla Negação: p p Regra de CLAVIUS: ( p p) p Regra da Absorção: (p p q) (p q) (p q) p q 78 of 273

79 Equivalência Lógica Propriedades: Dupla Negação: p p Regra de CLAVIUS: ( p p) p Regra da Absorção: (p p q) (p q) (p q) p q (p q) (p q) (q p) 79 of 273

80 Equivalência Lógica Propriedades: Dupla Negação: p p Regra de CLAVIUS: ( p p) p Regra da Absorção: (p p q) (p q) (p q) p q (p q) (p q) (q p) (p q) ( p q) ( q p) 80 of 273

81 Equivalência Lógica - Exercício Prove que: (p q falso) (p q) 81 of 273

82 Equivalência Lógica - Exercício Prove que: (p q falso) (p q) p q q p q p q falso p q p q falso p q V V F F V V V V F V V F F V F V F F V V V F F V F V V V 82 of 273

83 Equivalência Lógica Dada p q temos: Proposição Recíproca: q p Proposição Contrária: p q Proposição Contrapositiva: q p 83 of 273

84 Equivalência Lógica Logo: p q q p p q p q q p p q q p V V V V V V V F F V V F F V V F F V F F V V V V q p p q 84 of 273

85 Equivalência Lógica - Exercícios 1. Determine a proposição contrapositiva 1.1 Se X é menor que zero então X não é positivo 1.2 Se X 2 é ímpar então X é ímpar 2. Determine: 2.1 A contrapositiva da contrapositiva de p q 2.2 A contrapositiva da recíproca de p q 2.3 A contrapositiva da contrária de p q 3. Determine: 3.1 A contrapositiva de p q 3.2 A contrapositiva de p q 3.3 A contrapositiva da recíproca de p q 3.4 A recíproca da contrapositiva de p q 85 of 273

86 Equivalência Lógica - Conectivos de Scheffer Negação conjunta ( p q) também indicada por (p q), portanto (p q) ( p q) Negação disjunta ( p q) também indicada por (p q), portanto (p q) ( p q) 86 of 273

87 Equivalência Lógica - Exercícios Demonstrar por tabelas-verdade as seguintes equivalências lógicas: 1. p (p q) p 2. q p q p q 3. (p q) (p r) p q r 4. p q (p q) (p q) 5. (p q) (q p) q p 87 of 273

88 88 of 273 Método Dedutivo

89 Álgebra das Proposições Propriedades da Conjunção Idempotente p p p Comutativa p q q p Associativa (p q) r p (q r) Identidade p true p p false false 89 of 273

90 Álgebra das Proposições Propriedades da Disjunção Idempotente p p p Comutativa p q q p Associativa (p q) r p (q r) Identidade p true true p false p 90 of 273

91 Álgebra das Proposições Propriedades da Conjunção e da Disjunção Distributiva Absorção Regra de DE MORGAN p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) p (p q) p p (p q) p (p q) p q (p q) p q 91 of 273

92 Álgebra das Proposições - Exercício Apresente a negação das proposições abaixo: É inteligente e estuda É médico ou professor 92 of 273

93 Álgebra das Proposições - Exercício Apresente a negação das proposições abaixo: É inteligente e estuda É médico ou professor Conclusões: p q ( p q) p q ( p q) 93 of 273

94 Álgebra das Proposições Negação da Condicional: Se p q p q então sua negação é dada por (p q) ( p q) ( p q) p q CUIDADO!: Condicional não apresenta as propriedades idempotente, comutativa e associativa. 94 of 273

95 Álgebra das Proposições Negação da Bicondicional: Se p q (p q) (q p) então sua negação é dada por (p q) (( p q) ( q p)) (( p q) ( q p)) (p q) (q p) CUIDADO!: Bicondicional não é idempotente, mas é comutativa e associativa. 95 of 273

96 Álgebra das Proposições - Exercício Prove: 1. p q r (p q) (p r) 2. p q r (p q) (p r) 96 of 273

97 Método Dedutivo Seja falso p podemos concluir que 97 of 273

98 Método Dedutivo Seja falso p podemos concluir que (falso) p verdade p verdade 98 of 273

99 Método Dedutivo Seja falso p podemos concluir que (falso) p verdade p verdade Seja p verdade então: 99 of 273

100 Método Dedutivo Seja falso p podemos concluir que (falso) p verdade p verdade Seja p verdade então: p verdade verdade 100 of 273

101 Método Dedutivo Demonstre pelo método dedutivo que a implicação de simplificação p q p 101 of 273

102 Método Dedutivo Demonstre pelo método dedutivo que a implicação de simplificação p q p p q p (hipótese inicial) 102 of 273

103 Método Dedutivo Demonstre pelo método dedutivo que a implicação de simplificação p q p p q p (p q) p (hipótese inicial) (equivalência condicional) 103 of 273

104 Método Dedutivo Demonstre pelo método dedutivo que a implicação de simplificação p q p p q p (hipótese inicial) (p q) p (equivalência condicional) ( p q) p (regra de DE MORGAN) 104 of 273

105 Método Dedutivo Demonstre pelo método dedutivo que a implicação de simplificação p q p p q p (hipótese inicial) (p q) p (equivalência condicional) ( p q) p (regra de DE MORGAN) p ( q p) (associativa) 105 of 273

106 Método Dedutivo Demonstre pelo método dedutivo que a implicação de simplificação p q p p q p (hipótese inicial) (p q) p (equivalência condicional) ( p q) p (regra de DE MORGAN) p ( q p) (associativa) p (p q) (comutativa) 106 of 273

107 Método Dedutivo Demonstre pelo método dedutivo que a implicação de simplificação p q p p q p (hipótese inicial) (p q) p (equivalência condicional) ( p q) p (regra de DE MORGAN) p ( q p) (associativa) p (p q) (comutativa) ( p p) q (associativa) 107 of 273

108 Método Dedutivo Demonstre pelo método dedutivo que a implicação de simplificação p q p p q p (hipótese inicial) (p q) p (equivalência condicional) ( p q) p (regra de DE MORGAN) p ( q p) (associativa) p (p q) (comutativa) ( p p) q (associativa) (verdade) q (tautologia) 108 of 273

109 Método Dedutivo Demonstre pelo método dedutivo que a implicação de simplificação p q p p q p (hipótese inicial) (p q) p (equivalência condicional) ( p q) p (regra de DE MORGAN) p ( q p) (associativa) p (p q) (comutativa) ( p p) q (associativa) (verdade) q (tautologia) verdade (identidade) Lembrar que: verdade 109 of 273

110 Método Dedutivo Demonstre pelo método dedutivo que a implicação de adição p p q p p q (hipótese inicial) 110 of 273

111 Método Dedutivo Demonstre pelo método dedutivo que a implicação de adição p p q p p q (hipótese inicial) p (p q) (equivalência condicional) ( p p) q (associativa) (verdade) q (tautologia) verdade (identidade) 111 of 273

112 Método Dedutivo Demonstre pelo método dedutivo a regra Modus Ponens: (p q) p q 112 of 273

113 Método Dedutivo Demonstre pelo método dedutivo a regra Modus Ponens: (p q) p q (p q) p q (hipótese inicial) ( p q) p q (equivalência condicional) p ( p q) q (comutativa) (p p) (p q) q (distributiva) ( ) (p q) q (contradição) (p q) q (identidade) 113 of 273

114 Método Dedutivo Demonstre pelo método dedutivo a regra Modus Tollens: (p q) q p 114 of 273

115 Método Dedutivo Demonstre pelo método dedutivo a regra Modus Tollens: (p q) q p (p q) q p (hipótese inicial) ( p q) q p (equivalência condicional) ( p q) (q q) p (distributiva) ( p q) p (contradição) ( p q) p (identidade) 115 of 273

116 Método Dedutivo Demonstre pelo método dedutivo a regra Silogismo Disjuntivo: (p q) p q 116 of 273

117 Método Dedutivo Demonstre pelo método dedutivo a regra Silogismo Disjuntivo: (p q) p q (p q) p q (hipótese inicial) (p p) (q p) q (distributiva) (q p) q (contradição) (q p) q (identidade) 117 of 273

118 Método Dedutivo Resumo até o momento: 1. F pqrs... G pqrs... significa: 1.1 Que estas duas fórmulas apresentam uma relação de equivalência verdadeira entre si, a TV de F é igual a TV de G 1.2 Ainda, podemos transformar F pqrs... em G pqrs... usando outras regras de equivalência, e vice-versa G pqrs... em F pqrs Quanto F pqrs... G pqrs... significa: 2.1 Significa que F pqrs... tem uma relação de implicação verdadeira para fórmula G pqrs Para mostrar que isto é verdadeiro, demonstra-se que a implicação é uma tautologia, isto é: F pqrs... G pqrs... terá que levar a 2.3 Ou F pqrs... G pqrs... usando outras regras de equivalências (verdades entre duas fórmulas) 118 of 273

119 Método Dedutivo Onde vamos usar isto? 1. Faz parte o conceito fundamental do que é um teorema lógico 2. Antecipando (mas não muito), um conjunto de fórmulas vai confirmar ou não uma conclusão (C), isto é: 3. Essencialmente, isto é perguntar se: {F 1, F 2, F 3,...F n } C {F 1, F 2, F 3,...F n } C 4. Ou se: {F 1, F 2, F 3,...F n } C 119 of 273

120 Método Dedutivo Mas para chegar lá, faltam alguns detalhes de como transformar fórmulas entre si Uma fórmula transformada em outra... mantem-se equivalente! 120 of 273

121 Método Dedutivo Redução do números de conectivos: 1.,, em termos de, : p q ( p q) p q p q p q ( ( p q) ( q p)) 2.,, em termos de, : p q ( p q) p q (p q) p q (p q) ( p q) 3.,, em termos de, : p q p q p q (p q) p q ((p q) (q p)) 121 of 273

122 Forma Normal das Proposições São proposições que (no máximo) contém os conectivos,,. Tipos: FNC Formal Normal Conjuntiva FND Formal Normal Disjuntiva 122 of 273

123 Forma Normal Conjuntiva - FNC contém (no máximo) os conectivos,, não aparece repetido ( ) não tem alcance sobre,, ou seja, só afeta proposições simples não tem alcance sobre como em (p (q r)) Exemplos de FNC: p p q p q r q r ( p q) ( q r) 123 of 273

124 Forma Normal Conjuntiva - FNC Como determinar a FNC equivalente? 1. Substituir os conectivos 2. Substituir os conectivos 3. Substituir dupla negações ( ) 4. Substituir negações de parênteses (X Y ) e (X Y ) 5. Aplicar a regra da distributiva onde tem alcance sobre 6. Simplificar as expressões equivalentes a ou 124 of 273

125 Forma Normal Conjuntiva - FNC Converter a expressão abaixo para sua forma normal conjuntiva (((p q) q) (q r)) 125 of 273

126 Forma Normal Conjuntiva - FNC Converter a expressão abaixo para sua forma normal conjuntiva (((p q) q) (q r)) 1. ((p q) q) (q r) 2. ( (p q) q) ( q r) 3. (( p q) q) ( q r) 4. ( p q) ( q q) ( q r) 5. ( p q) () ( q r) 6. ( p q) ( q r) 126 of 273

127 Forma Normal Conjuntiva - FNC Converter a expressão abaixo para sua forma normal conjuntiva (p q) ( q p) 1. ( p q) ( q p) 2. ( p q) (q p) 3. ( ( p q) (q p)) ( (q p) ( p q)) 4. (( p q) (q p)) (( q p) ( p q)) 5. ((p q) (q p)) (( q p) ( p q)) 6. (p (q p)) ( q (q p)) ( q ( p q)) (p ( p q)) 7. (p ( p q)) (( q q) p) ( q (q p)) ((p p) q) 8. ((p p) q) (( q q) p) (( q q) p) ((p p) q) 9. (() q) (() p) (() p) (() q) 10. () () () () of 273

128 Forma Normal Conjuntiva - FNC Converter a expressão abaixo para sua forma normal conjuntiva p q r 1. ( p q r) ( (q r) p) 2. ( p q r) (( q r) p) 3. ( p q r) (( q r) p) 4. ( p q r) ( q p) (r p) 128 of 273

129 Forma Normal Disjuntiva - FND contém (no máximo) os conectivos,, não aparece repetido ( ) não tem alcance sobre,, ou seja, só afeta proposições simples não tem alcance sobre como em (p (q r)) Exemplos de FND: p p q p q r q r ( p q) ( q r) 129 of 273

130 Forma Normal Disjuntiva - FND Converter a expressão abaixo para sua forma normal disjuntiva (p q) (q p) 1. ( p q) ( q p) 2. (( p q) q) (( p q) p) 3. ( p q) (q q) ( p p) (q p) 4. ( p q) ( ) ( ) (q p) 5. ( p q) (q p) 130 of 273

131 Forma Normal Disjuntiva - FND Converter a expressão abaixo para sua forma normal disjuntiva (((p q) q) (q r)) 1. ((p q) q) (q r) 2. ( (p q) q) ( q r) 3. (( p q) q) ( q r) 4. ((( p q) q) q) ((( p q) q) r) 5. ( p q q) (q q) ( p q r) (q r) 6. ( p ( q q)) ( ) ( p q r) (q r) 7. ( p q) ( p q r) (q r) 131 of 273

132 Método Dedutivo Se uma proposição só contém os conectivos,, então se trocarmos cada símbolo por e vice-versa, dá-se o nome de dual à proposição resultante. Exemplo: ((p q) r) e sua dual ((p q) r) Princípio da Dualidade: se p e q são proposições equivalentes que só contém os conectivos,,, então suas duais p 1 e q 1 são também equivalentes. 132 of 273

133 Método Dedutivo - Exercícios 1. Simplifique as proposições 1.1 ( p q) 1.2 (p q) ( p q) 2. Use o método dedutivo para demonstrar 2.1 (p q) (p r) (p q r) 3. Determine a FNC 3.1 p q 3.2 p p 3.3 p (q p) 4. Determine a FND 4.1 ( p q) 4.2 (p q) p 133 of 273

134 134 of 273 Demonstração Direta (ou natural)

135 Demonstração Direta - Argumentos Dadas as proposições (premissas) p 1, p 2,..., p n e uma conclusão q, denota-se que: p 1, p 2,..., p n q Validade de Argumento: um argumento é considerado válido se p 1 p 2... p n q Exemplo: p p q é sempre válido 135 of 273

136 Demonstração Direta - Argumentos Argumentos Válidos Fundamentais Adição (AD) p p q Simplificação (SIMP) p q p p q q Conjunção (CONJ) p, q p q Absorção (ABS) p q p (p q) Modus Ponens (MP) p q, p q Modus Tollens (MT) p q, q p 136 of 273

137 Demonstração Direta - Argumentos Argumentos Válidos Fundamentais Silogismo Disjuntivo (SD) p q, p q p q, q p Silogismo Hipotético (SH) p q, q r p r Dilema Construtivo (DC) p q, r s, p r q s Dilema Destrutivo (DD) p q, r s, q s p r 137 of 273

138 Demonstração Direta - Argumentos Regras de Inferência Escreve-se as premissas (em coluna), um traço horizontal e então escreve-se a conclusão Exemplo para a regra Modus Ponens (MP) p q p q p r s q p r s q 138 of 273

139 Validade mediante Regras de Inferência Verifique a validade para p q, p r q 139 of 273

140 Validade mediante Regras de Inferência Verifique a validade para p q, p r q p r p por (SIMP) 140 of 273

141 Validade mediante Regras de Inferência Verifique a validade para p q, p r q p r p por (SIMP) p q p q por (MP) 141 of 273

142 Validade mediante Regras de Inferência Verifique a validade para p q, p r s p s 142 of 273

143 Validade mediante Regras de Inferência Verifique a validade para p q, p r s p s (1) p q (2) p r s 143 of 273

144 Validade mediante Regras de Inferência Verifique a validade para p q, p r s p s (1) p q (2) p r s (3) p (1) por (SIMP) 144 of 273

145 Validade mediante Regras de Inferência Verifique a validade para p q, p r s p s (1) p q (2) p r s (3) p (1) por (SIMP) (4) p r (3) por (AD) 145 of 273

146 Validade mediante Regras de Inferência Verifique a validade para p q, p r s p s (1) p q (2) p r s (3) p (1) por (SIMP) (4) p r (3) por (AD) (5) s (2, 4) por (MP) 146 of 273

147 Validade mediante Regras de Inferência Verifique a validade para p (q r), p q, p r (1) p (q r) (2) p q (3) p 147 of 273

148 Validade mediante Regras de Inferência Verifique a validade para p (q r), p q, p r (1) p (q r) (2) p q (3) p (4) q r (1, 3) por (MP) 148 of 273

149 Validade mediante Regras de Inferência Verifique a validade para p (q r), p q, p r (1) p (q r) (2) p q (3) p (4) q r (1, 3) por (MP) (5) q (2, 3) por (MP) 149 of 273

150 Validade mediante Regras de Inferência Verifique a validade para p (q r), p q, p r (1) p (q r) (2) p q (3) p (4) q r (1, 3) por (MP) (5) q (2, 3) por (MP) (6) r (4, 5) por (MP) 150 of 273

151 Validade mediante Regras de Inferência Verifique a validade para p q, p q r, (p r) p (1) p q (2) p q r (3) (p r) 151 of 273

152 Validade mediante Regras de Inferência Verifique a validade para p q, p q r, (p r) p (1) p q (2) p q r (3) (p r) (4) p p q (1) por (ABS) 152 of 273

153 Validade mediante Regras de Inferência Verifique a validade para p q, p q r, (p r) p (1) p q (2) p q r (3) (p r) (4) p p q (1) por (ABS) (5) p r (2, 4) por (SH) 153 of 273

154 Validade mediante Regras de Inferência Verifique a validade para p q, p q r, (p r) p (1) p q (2) p q r (3) (p r) (4) p p q (1) por (ABS) (5) p r (2, 4) por (SH) (6) p p r (5) por (ABS) 154 of 273

155 Validade mediante Regras de Inferência Verifique a validade para p q, p q r, (p r) p (1) p q (2) p q r (3) (p r) (4) p p q (1) por (ABS) (5) p r (2, 4) por (SH) (6) p p r (5) por (ABS) (7) p (3, 6) por (MT) 155 of 273

156 Validade mediante Regras de Inferência Verifique a validade para p q r, r q (p (s t)), p s s t (1) p q r (2) r q (p (s t)) (3) p s 156 of 273

157 Validade mediante Regras de Inferência Verifique a validade para p q r, r q (p (s t)), p s s t (1) p q r (2) r q (p (s t)) (3) p s (4) p (3) por (SIMP) (5) p q (4) por (AD) (6) r (1, 5) por (MP) (7) r q (6) por (AD) (8) p (s t) (2, 7) por (MP) (9) s t (4, 8) por (MP) 157 of 273

158 Validade mediante Regras de Inferência Verifique a validade para p q, p (r q), ( s r) q, s r 158 of 273

159 Validade mediante Regras de Inferência Verifique a validade para p q, p (r q), ( s r) q, s r (1) p q (2) p (r q) (3) ( s r) q (4) s (5) s r (4) por (AD) (6) q (3, 5) por (MP) (7) p (1, 6) por (MT) (8) r q (2, 7) por (MP) (9) r (6, 8) por (MT) 159 of 273

160 Validade mediante Regras de Inferência Verifique a validade para p q r, r s, t u, t, s u (p q) 160 of 273

161 Validade mediante Regras de Inferência Verifique a validade para p q r, r s, t u, t, s u (p q) (1) p q r (2) r s (3) t u (4) t (5) s u (6) u (3, 4) por (MP) (7) s (5, 6) por (SD) (8) r (2, 7) por (MT) (9) (p q) (1, 8) por (MT) 161 of 273

162 Validade mediante Regras de Inferência Verifique a validade para p q, p ( r q), s r, (p q) s q 162 of 273

163 Validade mediante Regras de Inferência Verifique a validade para p q, p ( r q), s r, (p q) s q 163 of 273 (1) p q (2) p ( r q) (3) s r (4) (p q) (5) p p q (1) por (ABS) (6) p (4, 5) por (MP) (7) r q (2, 6) por (SD) (8) r (7) por (SIMP) (9) s (3, 8) por (MT) (10) s q (9) por (AD)

164 Validade mediante Regras de Inferência e Equivalência Regra da Substituição Uma proposição p ou apenas parte dela pode ser substituída por uma proposição q equivalente, sendo que a proposição resultante será equivalente a p 164 of 273

165 Validade mediante Regras de Inferência e Equivalência Equivalências Notáveis Idempotência (ID) Comutação (COM) Associação (ASSOC) Distribuição (DIST) p p p p p p p q q p p q q p Dupla Negação (DN) p p p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) 165 of 273

166 Validade mediante Regras de Inferência e Equivalência Equivalências Notáveis De Morgan (DM) (p q) p q (p q) p q Condicional (COND) p q p q Bicondicional (BICOND) Contraposição (CP) p q q p p q (p q) (q p) p q (p q) ( p q) Exportação Importação (EI) p q r p (q r) 166 of 273

167 Validade mediante Regras de Inferência e Equivalência Demonstrar: p q, q p 167 of 273

168 Validade mediante Regras de Inferência e Equivalência Demonstrar: p q, q p (1) p q (2) q (3) q p (1) por (CP) (4) q p (3) por (DN) (5) p (2, 4) por (MP) 168 of 273

169 Validade mediante Regras de Inferência e Equivalência Demonstrar: p q, r q p r 169 of 273

170 Validade mediante Regras de Inferência e Equivalência Demonstrar: p q, r q p r (1) p q (2) r q (3) q r (2) por (CP) (4) q r (3) por (DN) (5) p r (1, 4) por (SH) 170 of 273

171 Validade mediante Regras de Inferência e Equivalência Demonstrar: p (q r), p q s p s 171 of 273

172 Validade mediante Regras de Inferência e Equivalência Demonstrar: p (q r), p q s p s (1) p (q r) (2) p q s (3) (p q) (p r) (1) por (DIST) (4) p q (3) por (SIMP) (5) s (2, 4) por (MP) (6) s p (5) por (AD) (7) p s (6) por (COM) 172 of 273

173 Validade mediante Regras de Inferência e Equivalência Demonstrar: p q, q s, t (r s) p t 173 of 273

174 Validade mediante Regras de Inferência e Equivalência Demonstrar: p q, q s, t (r s) p t (1) p q (2) q s (3) t (r s) (4) (q s) (s q) (2) por (BICOND) (5) q s (4) por (SIMP) (6) p s (1, 5) por (SH) (7) (t r) (t s) (3) por (DIST) (8) t s (7) por (SIMP) (9) s t (8) por (COM) (10) s t (9) por (COND) (11) p t (6, 10) por (SH) 174 of 273

175 Validade mediante Regras de Inferência e Equivalência Princípio da Inconsistência Quando duas ou mais proposições não podem ser simultaneamente verdadeiras Exemplo: (p q), p r, q r 175 of 273

176 Validade mediante Regras de Inferência e Equivalência Demonstrar a inconsistência entre: (p q), p r, q r (1) (p q) (2) p r (3) q r (4) p q (1) por (DM) (5) p q (4) por (DN) (6) q (5) por (SIMP) (7) r (3, 6) por (MP) (8) p (5) por (SIMP) (9) r (2, 8) por (SD) (10) r r (7, 9) por (CONJ) (11) (10) por (CONTR) 176 of 273

177 177 of 273 Demonstração Condicional

178 Demonstração Condicional Seja o argumento este só é válido se a regra p 1, p 2,..., p N A B (p 1 p 2... p N ) (A B) Aplicando a regra da importação temos (p 1 p 2... p N ) A B portanto, conclui-se que: p 1, p 2,..., p N, A B 178 of 273

179 Demonstração Condicional Demonstrar: p (q r), r q p (1) p (q r) (2) r 179 of 273

180 Demonstração Condicional Demonstrar: p (q r), r q p (1) p (q r) (2) r (3) q por (Dem.C) p 180 of 273

181 Demonstração Condicional Demonstrar: p (q r), r q p (1) p (q r) (2) r (3) q por (Dem.C) p (4) p ( q r) (1) por (COND) (5) (p q) r (4) por (ASSOC) (6) p q (2, 5) por (SD) (7) p (3, 6) por (SD) 181 of 273

182 Demonstração Condicional Demonstrar: p q r, s (r t), p s, s q t 182 of 273

183 Demonstração Condicional Demonstrar: p q r, s (r t), p s, s q t (1) p q r (2) s (r t) (3) p s (4) s (5) q por (Dem.C) t (6) p s (3) por (COND) (7) p (4, 6) por (MT) (8) q r (1, 7) por (MP) (9) q r (8) por (COND) (10) r t (2, 4) por (SD) (11) q t (9, 10) por (SH) (12) t (5, 11) por (MP) 183 of 273

184 Demonstração Condicional Demonstrar: p q, r s, ( p t) (r u) q s 184 of 273

185 Demonstração Condicional Demonstrar: p q, r s, ( p t) (r u) q s (1) p q (2) r s (3) ( p t) (r u) (4) q por (Dem.C) s (5) p (1, 4) por (MT) (6) p (5) por (DN) (7) p t (6) por (AD) (8) p t (7) por (DN) (9) ( p t) (8) por (DM) (10) r u (3, 9) por (SD) (11) r (10) por (SIMP) (12) s (2, 11) por (MP) 185 of 273

186 186 of 273 Demonstração Indireta (ou por Absurdo)

187 Demonstração por Absurdo Consiste em admitir a negação da conclusão ( Q) como sendo uma nova premissa E então, demonstrar logicamente que o novo argumento é inconsistente: p 1, p 2,..., p N, Q 187 of 273

188 Demonstração por Absurdo Demonstrar: p q, r q (p r) 188 of 273

189 Demonstração por Absurdo Demonstrar: p q, r q (p r) (1) p q (2) r q (3) (p r) por (Dem.Ab.) (4) p r (3) por (DN) (5) p (4) por (SIMP) (6) r (4) por (SIMP) (7) q (1, 5) por (MP) (8) q (2, 6) por (MP) (9) q q (7, 8) por (CONJ) (10) (9) por (CONTR) 189 of 273

190 Demonstração por Absurdo Demonstrar: p q, q r, r p s 190 of 273

191 Demonstração por Absurdo Demonstrar: p q, q r, r p s (1) p q (2) q r (3) r (4) (p s) por (Dem.Ab.) (5) p s (4) por (DM) (6) p (5) por (SIMP) (7) q (1, 6) por (MP) (8) q (2, 3) por (SD) (9) q q (7, 8) por (CONJ) (10) (9) por (CONTR) 191 of 273

192 Demonstração por Absurdo Demonstrar: p q, q, r s, p (s t) t r 192 of 273

193 Demonstração por Absurdo Demonstrar: p q, q, r s, p (s t) t r (1) p q (2) q (3) r s (4) p (s t) (5) t por (Dem.C) r (6) r por (Dem.Ab.) (7) p (1, 2) por (SD) (8) s t (4, 7) por (MP) (9) s (3, 6) por (MP) (10) t (8, 9) por (MP) (11) t t (5, 10) por (CONJ) (12) (11) por (CONTR) 193 of 273

194 Demonstração por Absurdo Demonstre por absurdo: (1) (y 1 z 1) (2) (x < y x > z) z = 1 x = 0 (3) (y = 1 x = 0) (x < y x > z) x = of 273

195 Demonstração por Absurdo Demonstre por absurdo: (1) (y 1 z 1) (2) (x < y x > z) z = 1 x = 0 (3) (y = 1 x = 0) (x < y x > z) (4) x 0 por (Dem.Ab.) (5) y = 1 z = 1 (1) por (DM) (6) y = 1 (5) por (SIMP) (7) y = 1 x = 0 (6) por (AD) (8) x < y x > z (3, 7) por (SD) (9) z = 1 (5) por (SIMP) (10) (x < y x > z) z = 1 (8, 9) por (CONJ) (11) x = 0 (2, 10) por (MP) (12) x 0 x = 0 (4, 11) por (CONJ) (13) (12) por (CONTR) 195 of 273

196 196 of 273 Introdução à Lógica de Primeira Ordem

197 Lógica de Primeira Ordem Lógica de Primeira Ordem (LPO) é uma extensão à Lógica Proposicional onde cada proposição p, q, r,... é entendida como um conjunto de proposições pertencentes a um dado conjunto (chamado de domínio) p(x) : x A p(x) é uma sentença aberta em um conjunto A, se e somente se, p(x) se torna uma proposição para todo x = a, a A Se a A e Φ(p(a)) = verdade diz-se que a satisfaz p(x) Exemplo: seja N = 1, 2, 3,... x + 1 > 8 x 2 5x + 6 = of 273

198 Conjunto-Verdade para Sentenças Abertas É definido com o conjunto (V p ) de todos os elementos a A tais que Φ(p(a)) = verdade Exemplo: x + 1 > 8 em N (números naturais) V p = {x x N x + 1 > 8} = {8, 9, 10,...} Considerações Condição Universal V p = A, Φ(p(x)) é verdade para todo x A Condição Possível V p A, Φ(p(x)) é verdade para algum x A Condição Impossível V p = φ, Φ(p(x)) é verdade para nenhum x A 198 of 273

199 Sentenças Abertas Duas Variáveis p(x, y) é uma sentença aberta em dois domínios A e B, se e somente se, p(x, y) se torna uma proposição para todo par (a, b) A B Se a A, b B e Φ(p(a, b)) = verdade diz-se que (a, b) satisfaz p(x, y) Exemplo: seja A = {1, 2, 3} e B = {5, 6} x < y y = 2x 199 of 273

200 Conjunto-Verdade para Sentenças Abertas É o conjunto (V p ) de todos os elementos (a, b) A B tais que Φ(p(a, b)) = verdade V p = {(x, y) x A y B Φ(p(x, y))} Considerações Condição Universal V p = A B, Φ(p(x, y)) é verdade para todo (x, y) A B Condição Possível V p A B, Φ(p(x, y)) é verdade para algum (x, y) A B Condição Impossível V p = φ, Φ(p(x, y)) é verdade para nenhum (x, y) A B 200 of 273

201 Sentenças Abertas N-Variáveis p(x 1, x 2,..., x N ) é uma sentença aberta em N domínios A 1, A 2,..., A N, se e somente se, p(x 1, x 2,..., x N ) se torna uma proposição para toda tupla (a 1, a 2,..., a N ) A 1 A 2... A N 201 of 273

202 Exercícios Determinar o conjunto-verdade (V p ) para 1. 2x = 6 2. x 1 < 4 3. x 2 < 25...considerando: A = números naturais A = {1, 3, 4, 7, 9, 11} 202 of 273

203 Operações Lógicas sobre Sentenças Abertas Conjunção V p q = V p V q = {x A p(x)} {x A q(x)} Disjunção V p q = V p V q = {x A p(x)} {x A q(x)} Negação V p = Ā = {x A A p(x)} 203 of 273

204 Operações Lógicas sobre Sentenças Abertas Condicional Se p(x) q(x) então p(x) q(x) V p q = V p V q = {x A A p(x)} {x A q(x)} Bicondicional Se p(x) q(x) então (p(x) q(x)) (q(x) p(x)) V p q = (V p V q) (V q V p) A álgebra das proposições que era válida para proposições atômicas e compostas, continua válida para sentenças abertas 204 of 273

205 Exercícios Determina o conjunto-verdade para A = { } 1. x < 7 x é ímpar 2. x é par x x é primo x + 5 A 4. (x é primo) 5. (x 2 3x = 0) 6. x + 5 A x < 0 7. x 2 < 12 x 2 5x + 6 = of 273

206 Quantificadores Expressam relações lógicas de quantidade entre variáveis e seus respectivos domínios Tipos: Quantificador Universal ( ) Quantificador Existencial ( ) 206 of 273

207 Quantificador Universal Para uma sentença aberta p(x) em um conjunto não-vazio A, onde para todo elemento x A, temos Φ(p(x)) = verdade Φ( x A : p(x)) p(x 1) p(x 2) p(x 3)... p(x N ) ou simplesmente Φ( x : p(x)) conclui-se que V p = A Exemplo: Todo x é mortal no domínio dos seres humanos 207 of 273

208 Quantificador Universal - Exercício Seja D = [ ] x D : x 2 5 Interprete e avalia a validade da expressão acima 208 of 273

209 Quantificador Universal - Exercício Seja D = [ ] x D : x 2 5 Interprete e avalia a validade da expressão acima Φ( x D : x 2 5) = Φ( ) Φ( ) Φ( ) Φ( ) Φ( ) Φ( ) 209 of 273

210 Quantificador Universal - Exercício Seja D = [ ] x D : x 2 5 Interprete e avalia a validade da expressão acima Φ( x D : x 2 5) = Φ( ) Φ( ) Φ( ) Φ( ) Φ( ) Φ( ) Φ( x D : x 2 5) = V V V V V V = V 210 of 273

211 Quantificador Existencial Para uma sentença aberta p(x) em um conjunto não-vazio A, onde para pelo menos um elemento x A, temos Φ(p(x)) = verdade Φ( x A : p(x)) p(x 1) p(x 2) p(x 3)... p(x N ) ou simplesmente Φ( x : p(x)) conclui-se que V p A Exemplo: Existe pelo menos um x que é homem no domínio dos seres humanos 211 of 273

212 Quantificador Existencial - Exercício Seja D = [ ] x D : mod(x, 3) = 0 Interprete e avalia a validade da expressão acima 212 of 273

213 Quantificador Existencial - Exercício Seja D = [ ] x D : mod(x, 3) = 0 Interprete e avalia a validade da expressão acima Φ( x D : mod(x, 3) = 0) = Φ(mod(10, 3) = 0) Φ(mod(11, 3) = 0) Φ(mod(12, 3) = 0) Φ(mod(13, 3) = 0) Φ(mod(14, 3) = 0) Φ(mod(15, 3) = 0) Φ( x D : mod(x, 3) = 0) = F F V F F V = V 213 of 273

214 Variável Aparente e Variável Livre Se há um quantificador incidindo sobre uma variável, essa se chama variável aparente. Caso contrário, chama-se variável livre Em outras palavras, variáveis aparentes estarão sempre associadas a domínios, e portanto para tais é possível a sua interpretação (Φ) Exemplos: x A : 3x + 1 > 10 x + 3 = 4 Princípio da Substituição de Variáveis Aparentes x A : p(x) y A : p(y) x A : p(x) y A : p(y) 214 of 273

215 Quantificador de Existência e Unicidade Para x 2 = 16 sobre o conjunto dos números reais (R) temos: portanto conclui-se que: 4 2 = 16 ( 4) 2 = x, y R : (x 2 = 16 y 2 = 16 x y) Para x 3 = 27 temos: x R : (x 3 = 27) (x 3 = 27) (y 3 = 27) (x = y) portanto:!x R : (x 3 = 27) 215 of 273

216 Negação de Quantificadores Regra de DE MORGAN para quantificadores ( x A : p(x)) x A : p(x) ( x A : p(x)) x A : p(x) 216 of 273

217 Quantificadores N-Variáveis Quantificação Parcial x A : (2x + y < 7), onde A = {1... 5} Quantificação Múltipla x A, y B : (2x + y < 7), onde A = {1... 5}, B = {3, 4, 5} 217 of 273

218 Negação de Múltiplos Quantificadores ( x y : p(x, y)) x ( y : p(x, y)) x y : p(x, y) 218 of 273

219 Lógica de Primeira Ordem Slides do Prof. José Augusto Baranauskas Fonte: (Modificados para se adequarem a esta disciplina com autorização do autor) 219 of 273

220 Lógica Proposicional vs. Lógica de Predicados Na lógica proposicional, utilizamos proposições para a representação de conceitos. Ex.: p : o céu é azul Na lógica de predicados (ou lógica de primeira ordem) utilizaremos: 1. Objetos pertencentes a um dado domínio (D) 2. Fatos sobre objetos 3. Relações ou relacionamento entre os objetos de domínios: D = D 1 D 2... D N 220 of 273

221 Lógica Proposicional vs. Lógica de Predicados O objetivo (motivação) de se utilizar LPO é aumentar a capacidade de representação de conceitos Todo homem é mortal Sócrates é um homem Logo... Sócrates é um mortal 221 of 273

222 Lógica Proposicional vs. Lógica de Predicados O objetivo (motivação) de se utilizar LPO é aumentar a capacidade de representação de conceitos Todo homem é mortal x HUMANIDADE : (homem(x) mortal(x)) Sócrates é um homem homem(socrates) Logo... Sócrates é um mortal 222 of 273 homem(socrates) mortal(socrates) por Particularização Universal mortal(socrates) por Modus Ponens

223 Lógica de Predicados Problema: representar o fato de que todas as mulheres do DCC são bonitas Lista de mulheres do DCC: Ana, Laura, Cláudia, Bianca, Fernanda, Paula, Joana, Maria,... Antes, no cálculo proposicional, seria necessário criar uma proposição para cada caso: 1. p: Ana é bonita 2. q: Laura é bonita 3. r: Cláudia é bonita 4. s: Bianca é bonita 5. e assim por diante... Fácil perceber que rapidamente faltarão símbolos proposicionais! 223 of 273

224 Lógica de Predicados Solução: representar o fato através de variáveis relacionadas com o domínio DCC x DCC : mulher(x) bonita(x) E ainda, como o domínio é conhecido e fixo, é usual a representação do fato sem explicitar o domínio: x : mulher(x) bonita(x) 224 of 273

225 Lógica de Predicados - Representação Símbolos Constantes representam objetos específicos do domínio. São representados por letras minúsculas ou números: a, maria, bola, 10, 7.43 Símbolos Variáveis representam objetos não-específicos (instanciáveis) que podem assumir apenas os valores de um domínio. São representados por letras maiúsculas: X, Y, PESSOA Símbolos Funcionais representam funções no domínio D: f : D N D onde N é o número de argumentos da função (Aridade). Não possuem valor lógico. Exemplo: idade(joao) Φ(idade(joao)) = 23 Símbolos Predicados representam relação ou propriedade p de um ou mais objetos no domínio D p : D N {V, F }. São representados por nome que iniciam com letra minúscula. Exemplo: gosta(x, Y ) empresta(fulano, Objeto, Alguem) 225 of 273

226 Lógica de Predicados - Representação Termos é o menor elemento para construção de fatos e regras de primeira ordem. Constantes, variáveis e funções são exemplos de termos. É denominado tupla a um conjunto de termos: (t 1, t 2,..., t N ) Átomo é um símbolo predicado aplicado a uma tupla de termos: p(t 1, t 2,..., t N ). Exemplos: gosta(joao, maria) irmao(pedro, X ) empresta(maria, livro, mae(joao)) Símbolo de Igualdade usado para indicar que dois símbolos se referem ao mesmo objeto: pai(joao) = henrique Símbolos Conectivos continuam válidos os símbolos,,,,, com o acréscimo dos símbolos, 226 of 273

227 Lógica de Predicados - Propriedades Particularização dada uma fórmula com variáveis aparentes (associadas a um domínio), particularizar significa associar um dos elementos pertencentes ao domínio à variável. Denota-se por variável/valor. Tipos: Particularização Universal (PU) ou Particularização Existencial (PE) Por exemplo: dado X D : gato(x ) e D = [frajola, felix, garfield]; uma possível PU é dada por gato(frajola) PU (X /frajola) Generalização dado um domínio (ou vários), generalizar uma fórmula (para ou ) desde que as variáveis envolvidas não estejam relacionadas a outras já existentes. Tipos: Generalização Universal (GU) ou Generalização Existencial (GE) Exemplo: dado o conjunto D = [frajola, garfield, snoopy]; uma possível GE seria X D : gato(x ) GU em D 227 of 273

228 Lógica de Predicados - Exercícios LN LPO Traduzir da linguagem natural (LN) para linguagem de primeira ordem (LPO): 1. Todos os homens são mortais 2. Alguns gatos são amarelos 3. Nenhuma baleia é peixe 4. Nem tudo que reluz é ouro 5. Meninas e meninos gostam de brincar 6. Leite e banana são nutritivos 228 of 273

229 Lógica de Predicados - Exercícios LN LPO Traduzir da linguagem natural (LN) para linguagem de primeira ordem (LPO): 1. Todos os homens são mortais 2. Alguns gatos são amarelos 3. Nenhuma baleia é peixe 4. Nem tudo que reluz é ouro 5. Meninas e meninos gostam de brincar 6. Leite e banana são nutritivos 229 of 273 X : (homem(x ) mortal(x )) X : (gato(x ) amarelo(x )) X : (baleia(x ) peixe(x )) X : (reluz(x ) ouro(x )) ( X : (reluz(x ) ouro(x ))) X : (menino(x ) menina(x ) gosta(x, brincar)) X : (leite(x ) banana(x ) nutritivo(x ))

230 Lógica de Predicados - Exercícios LPO LN Traduzir da linguagem de primeira ordem (LPO) para linguagem natural (LN): 1. X Y : (pessoa(x ) pessoa(y ) engana(x, Y ) engana(x, X )) 2. X Y : (humano(x ) erro(y ) faz(x, Y )) 3. X Y : (erro(y ) faz(x, Y ) humano(x )) 230 of 273

231 Lógica de Predicados - Exercícios LPO LN Traduzir da linguagem de primeira ordem (LPO) para linguagem natural (LN): 1. X Y : (pessoa(x ) pessoa(y ) engana(x, Y ) engana(x, X )) Pessoas que enganam outras pessoas, enganam a si mesmas 2. X Y : (humano(x ) erro(y ) faz(x, Y )) Todas as pessoas cometem erros 3. X Y : (erro(y ) faz(x, Y ) humano(x )) Não é humano quem não erra 231 of 273

232 Inferência em LPO O processo para especificação de conhecimento inferível em LPO é dado através de fatos e regras Fatos representam enumerações dos elementos de um domínio. São informações que se conhece como verdadeiras. É através de um conjunto de fatos que é possível se realizar a operação de particularização. Exemplo: gato(felix) Regras são generalizações de domínios para situações específicas. Exemplo: X gato(x ) agil(x ) Exercício: Prove que Felix é ágil 232 of 273

233 Inferência em LPO O processo para especificação de conhecimento inferível em LPO é dado através de fatos e regras Fatos representam enumerações dos elementos de um domínio. São informações que se conhece como verdadeiras. É através de um conjunto de fatos que é possível se realizar a operação de particularização. Exemplo: gato(felix) Regras são generalizações de domínios para situações específicas. Exemplo: X : gato(x ) agil(x ) Exercício: Prove que Felix é ágil agil(felix) 233 of 273

234 Inferência em LPO (1) gato(felix) (2) X : gato(x ) agil(x ) agil(felix) 234 of 273

235 Inferência em LPO (1) gato(felix) (2) X : gato(x ) agil(x ) agil(felix) (3) gato(felix) agil(felix) (2) por (PU) X/felix (4) agil(felix) (1, 3) por (MP) 235 of 273

236 Inferência em LPO Considere uma lista de cidades: Joinville, Itajaí, Blumenau, Balneário Camboriú, Florianópolis Considere agora que essas cidades são conectadas por estradas, conforme a figura a seguir Determine se existe algum caminho entre duas cidades. Há um caminho entre duas cidades se: 1. as duas cidades são conectadas por uma estrada 2. existe uma cidade intermediária (escala) que é conectada à cidade de origem a partir da qual há um caminho para a cidade destino Demonstre que há um caminho que ligue a cidade de Joinville à cidade de Florianópolis 236 of 273

237 Inferência em LPO 237 of 273