Começamos essa seção com o seguinte exemplo ao qual nos referimos por Exemplo as seguintes sentenças atômicas

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1 31 5 ARGUMENTOS VÁLIDOS Começamos essa seção com o seguinte exemplo ao qual nos referimos por Exemplo Consideremos as seguintes sentenças atômicas p: O time joga bem q: O time ganha o campeonato r : O técnico é o culpado s: Os torcedores estão felizes com as quais formamos as seguintes sentenças compostas p q: Se o time joga bem, então o time ganha o campeonato }{{}}{{} p q p r : Se o time não joga bem, então o técnico é o culpado }{{}}{{} p r q s: Se o time ganha o campeonato então os }{{}} torcedores {{ estão felizes } q s s: Os torcedores não estão felizes Como são 4 símbolos atômicos, a quantidade de interpretações possíveis é 2 4 = 16 e todas essas interpretações com as respectivas valorações são dadas a seguir p q r s p q p r q s s

2 32 donde extraímos a única interpretação que satisfaz as sentenças compostas p q r s p q p r q s s Se supomos que valem as premissas Se o time joga bem então o time ganha o campeonato Se o time não joga bem então o técnico é o culpado Se o time ganha o campeonato então os torcedores estão felizes Os torcedores não estão felizes então uma conclusão lógica é que o técnico é culpado Isso porque todas as interpretações que fazem as premissas verdadeiras tornam o técnico é culpado uma sentença verdadeira Com as premissas Se o time joga bem então o time ganha o campeonato Se o time ganha o campeonato então os torcedores estão felizes Os torcedores não estão felizes temos a seguinte parte relevante da tabela-verdade p q s p q q s s donde concluímos p, ou seja, o time não joga bem Note que não podemos concluir nem que o time ganhou o campeonato (q) nem que o time não ganhou o campeonato ( q) pois as duas situações são possíveis Por outro lado, se supomos que valem as premissas Se o time joga bem então o time ganha o campeonato Se o time não joga bem então o técnico é o culpado Se o time ganha o campeonato então os torcedores estão felizes então não podemos concluir nenhuma das sentenças atômicas, nem suas negações, pois nas interpretações que tornam as premissas verdadeiras não há um único valor lógico para sentenças atômicas como mostra o seguinte extrato da tabela-verdade

3 33 p q r s p q p r q s Consequência lógica Usamos letras gregas maiúsculas Γ, Λ, Σ, Ψ, Δ, Ω, Θ, Π, Φ para denotar conjunto de fórmulas tomadas de L 0 Uma valoração v satisfaz o conjunto Γ se satisfaz cada fórmula do conjunto, isto é, w(α) = 1 para todo α Γ e, se esse é o caso, dizemos que Γ é satisfazível, que w satisfaz ou é um modelo para Γ e denotamos tal fato por w Γ Uma fórmula α é consequência lógica (ou consequência semântica) das fórmulas de Γ, fato denotado por Γ α se, e só se, toda valoração w que satisfaz Γ também satisfaz α Usamos a notação Γ para expressar que Γ não é satisfazível No caso do exemplo temos que {p q, p r, q s, s} r Além disso, uma valoração que satisfaz o conjunto Γ = {p q, p r, q s, s} também satisfaz Σ = { p, q,r, s} Exemplo 21 Temos que {(p q) r } p r pois 1 max{v(p), v(q)} 1 v(p) logo ˆv((p q) r ) = max { 1 max{v(p), v(q)}, v(r ) } max { 1 v(p), v(r ) } = ˆv(p r ) de modo que se ˆv((p q) r ) = 1 então ˆv(p r ) = 1 Exemplo 22 Temos que como {(p q) r } p r pois se v(p) = 1 e v(q) = v(r ) = 0 então ˆv((p q) r ) = 1 mas ˆv(p r ) = 0

4 Simplificações de notação Ao invés de {α} β escrevemos α β Ao invés de {α 1,,α n } β escrevemos α 1,,α n β Ao invés de Γ {α} β escrevemos Γ,α β Metateorema 23 A consequência semântica tem as seguintes propriedades (1) α β se, e só se, α β (2) Γ,α β se, e só se, Γ α β (3) {α 1,α 2,α n } β se, e só se, (α 1 α 2 α n ) β Demonstração (1) Suponhamos α β Seja w uma interpretação Se ŵ(α) = 0 então ŵ(α β) = 1 por definição Se ŵ(α) = 1 então ŵ(β) = 1, pois assumimos α β, portanto, ŵ(α β) = 1 Logo a implicação α β é uma tautologia, isto é, α β Agora, assumamos α β e seja w uma interpretação Se ŵ satisfaz α então ŵ(β) = 1, pois α β é tautologia, portanto α β A prova de (2) é análoga a prova de (1) e é deixada como exercício (3) Suponha que {α 1,α 2,α n } β e seja w uma interpretação Se ŵ(α 1 α 2 α n ) = 0 então ŵ((α 1 α 2 α n ) β) = 1 por definição Se ŵ(α 1 α 2 α n ) = 1 então ŵ(β) = 1 por hipótese, portanto, ŵ((α 1 α 2 α n ) β) = 1 Logo (α 1 α 2 α n ) β é tautologia Por outro lado, se (α 1 α 2 α n ) β é tautologia e w é uma interpretação tal que ŵ(α 1 α 2 α n ) = 1, então, ŵ(β) = 1 Exercício 24 Sejam α 1,,α n e β fórmulas Mostre um algoritmo que decide se β é consequência lógica de {α 1,,α n } Em particular, a partir da propriedade (2) do metateorema 23 e das tautologias notáveis (página 23) temos, por exemplo, Modus Ponens α,(α β) β Modus Tollens ( β),α β α Silogismo disjuntivo α β, α β Silogismo hipotético α β,β γ α γ Ademais, podemos novas deduzir tautologias de consequências lógicas (i) de α,β α β temos α (β (α β)), (ii) de α β,α γ,β γ γ temos (α γ) ((β γ) (α β γ)) usando (2) e temos ((α γ) (β γ)) (α β γ) usando (2) e, em seguida, usando (3),

5 35 e vice versa, deduzir consequências lógicas de tautologias, por exemplo, (iii) de (α (α β)) β temos α,(α β) β, (iv) de ((α γ) (β γ)) (α β γ) temos (α γ),(β γ) (α β γ) 512 Argumentos Um argumento é uma sequência de fórmulas α 1,α 2,,α n β e ele é válido se, e só se, α 1,α 2,,α n β caso contrário é inválido São argumentos válidos Modus Ponens, Modus Tollens, Silogismo disjuntivo e o Silogismo hipotético, descritos logo acima O argumento (p q), p q é inválido pois se v(p) = v(q) = 0 então ˆv( (p q)) = ˆv( q) = 1 enquanto que ˆv(q) = 0 52 Exemplos de argumentos em linguagem natural Abaixo damos alguns exemplos de formalização de sentenças da linguagem natural Os problemas de lógica conhecidos das revistas de passatempo (veja aqui) podem ser formalizados e resolvidos na lógica proposicional Exemplo 25 Sócrates diz: Se eu sou culpado, eu devo ser punido Eu sou culpado Logo eu devo ser punido Esse argumento é logicamente correto pois se o formalizamos com p : q : eu sou culpado eu devo ser punido então (p q) q q (Modus Ponens) Exemplo 26 Sócrates diz: Se eu sou culpado, eu devo ser punido Eu não sou culpado Logo eu não devo ser punido Esse argumento é não é logicamente correto pois (p q) q q, basta tomar v com v(p) = 0 e v(q) = 1 Exemplo 27 Aladdin encontra dois baús A e B em uma caverna Ele sabe que cada um deles contém, exclusivamente, ou um tesouro ou uma armadilha fatal No baú A está escrito: Pelo menos um desses dois baús contém um tesouro No baú B está escrito: No baú A há uma armadilha fatal Aladdin sabe que ambas as inscrições são verdadeiras, ou ambas são falsas É possível Aladdin escolher um baú com a certeza de que ele vai encontrar um tesouro? Se este for o caso, qual baú ele deve abrir? Seja a : o baú A contém o tesouro e b : o baú B contém o tesouro Observemos que a : o baú A contém a armadilha e b : o baú B contém a armadilha

6 36 A inscrição no baú A é a b e no baú B é a Ademais, ˆv(a b a) = 1 a b a b a portanto v(a) = 0 e v(b) = 1, ou seja, Aladdin deve abrir o baú B Exemplo 28 Três caixas são apresentadas a você Uma contém ouro, as outras duas estão vazias Cada caixa tem estampada nela uma pista sobre o seu conteúdo; as pistas são: CAIXA 1: O ouro não está aqui CAIXA 2: O ouro não está aqui CAIXA 3: O ouro está na caixa 2 Apenas uma mensagem é verdadeira, as outras são falsas Qual caixa tem o ouro? Seja ø i o átomo proposicional que representa a caixa i tem ouro para cada i = 1,2,3 Uma caixa tem ouro e as outras estão vazias é formalizado por (ø 1 ø 2 ø 3 ) ( ø 1 ø 2 ø 3 ) ( ø 1 ø 2 ø 3 ) (1) e uma pista é verdadeira as outras duas são falsas por ( ø 1 ø 2 ø 2 ) ( ø 1 ø 2 ø 2 ) ( ø 1 ø 2 ø 2 ) (ø 1 ø 2 ) (ø 1 ø 2 ) (2) da tabela-verdade ø 1 ø 2 ø 3 (1) (2) deduzimos que a única interpretação que satisfaz (1) e (2) é v(ø 1 ) = 1 e v(ø 2 ) = v(ø 3 ) = 0 53 Compacidade (leitura opcional) Vimos no metateorema 23, item (3), que se Γ é finito então Γ α é equivalente a decidir uma tautologia No caso infinito veremos que se Γ α então existe Δ Γ finito tal que Δ α Esse resultado é conhecido como teorema de compacidade Os seguintes resultados são equivalentes

7 37 Metateorema 29 (Teorema da compacidade, versão I) Um conjunto de fórmulas é satisfazível se, e somente se, todo subconjunto finito é satisfazível Metateorema 30 (Teorema da compacidade, versão II) Se Γ α então existe Δ Γ finito tal que Δ α A parte difícil de demonstrar na versão I é a afirmação um conjunto de fórmulas é satisfazível sempre que todo subconjunto finito é satisfazível A recíproca é imediata, isto é, se um conjunto é satisfazível então, imediatamente, seus subconjuntos finitos são satisfazíveis Para provar que a versão II segue da versão I acima usamos a seguinte afirmação deixada como exercício para o leitor Exercício 31 Γ α se, e somente se, Γ { α} não é satisfazível Solução: Assuma Γ α Se v Γ { α} então v Γ e v α De v Γ e Γ α temos v α Portanto Γ α e Γ α, um absurdo Agora, assuma que Γ { α} não é satisfazível Se v Γ então ˆv( α) = 0, portanto, v α Vamos chamar Γ de finitamente satisfazível ou, ter satisfazibilidade finita, se todo subconjunto finito de Γ for satisfazível Exercício 32 Se Γ é um subconjunto de fórmulas finitamente satisfazível e α uma fórmula, então Γ {α} ou Γ { α} é finitamente satisfazível Solução: Seja Γ finitamente satisfazível Podemos supor α, α Γ Suponha Γ {α} e Γ { α} não finitamente satisfazíveis Existem Δ 0,Δ 1 Γ finitos tais que Δ 0 {α} e Δ 1 { α} não são satisfazíveis Δ 0 Δ 1 é subconjunto finito de Γ logo existe uma interpretação v tal que v Δ 0 Δ 1 Se ˆv(α) = 1 então Δ 0 {α} é satisfazível e temos uma contradição Senão ˆv( α) = 1, logo Δ 1 { α} é satisfazível e temos uma contradição novamente Demonstração do teorema 29 Suponha que Γ seja um conjunto finitamente satisfazível Seja θ 1,θ 2, uma enumeração das fórmulas de L 0 (pense por quê isso pode ser feito, não justificaremos precisamente esse fato) Vamos construir um conjunto Δ finitamente satisfazível e que contém Γ Definimos a sequência de conjuntos de fórmulas L 0 = Γ e L i {θ i+1 } se esse conjunto é finitamente satisfazível, L i+1 = L i { θ i+1 } caso contrário

8 38 Dessa forma cada L n é finitamente satisfazível (verifique) Tomemos Δ = i 0 L i Pela construção temos Γ Δ e para toda fórmula α temos α Δ ou α Δ Além disso, Δ é finitamente satisfazível pois todo subconjunto finito de Δ é um subconjunto finito de L n para algum n 0 Agora, para quaisquer fórmulas α e β (i) α Δ ou α Δ, mas não ambas Caso contrário teríamos {α, α} Δ satisfazível pela satisfazibilidade finita (ii) α β Δ se, e só se, α Δ ou β Δ Se α β Δ e α,β Δ, teríamos α, β Δ e {α β, α, β} Δ satisfazível, uma contradição Portanto α Δ ou β Δ Por outro lado, se α Δ ou β Δ e α β Δ teríamos {α, (α β)} Δ satisfazível ou {β, (α β)} Δ satisfazível, ambas são contradições (iii) α β Δ se, e só se, α Δ e β Δ Se α β Δ e α Δ, então {α β, α} Δ é satisfazível, uma contradição Analogamente, se α β Δ e β Δ, derivamos uma contradição Portanto α,β Δ Por outro lado, se α,β Δ e α β Δ então {α,β, (α β)} Δ portanto é satisfazível, uma contradição (iv) α β Δ se, e só se, α Δ ou β Δ Se α β Δ e α,β Δ, teríamos α, β Δ e {α β,α, β} Δ satisfazível, uma contradição Portanto α Δ ou β Δ Por outro lado, se α Δ ou β Δ e α β Δ teríamos { α, (α β)} Δ satisfazível ou {β, (α β)} Δ satisfazível, ambas são contradições (v) α β Δ se, e só se, {α,β} Δ ou { α, β} Δ Suponha α β Δ e {α,β} Δ e { α, β} Δ Se {α,β} Δ e { α, β} Δ, então α Δ e β Δ ou α Δ e β Δ Se α β Δ e α Δ e β Δ, então {α β,α, β} Δ, portanto é satisfazível, uma contradição Se α β Δ e α Δ e β Δ também implica em contradição, a saber {α β, α,β} satisfazível Portanto {α,β} Δ ou { α, β} Δ Agora suponha {α,β} Δ, se (α β) Δ então (α β) Δ, mas (α β) (( α β) (α β)), ou seja, teríamos {α, β,( α β) (α β) satisfazível, uma contradição Se { α, β} Δ e (α β) Δ então teríamos { α, β,( α β) (α β) satisfazível, uma contradição Agora, usaremos as propriedades (i) (v) para mostrar uma interpretação que satisfaz Δ, portanto satisfaz Γ também Seja v uma interpretação tal que para todo p i V temos v(p i ) = 1 se e só se p i Δ Para toda γ L 0 vale a afirmação ˆv(δ) = 1 se, e só se, δ Δ

9 39 De fato, se δ é atômica a afirmação acima vale por definição Se δ é α e a afirmação vale para α, então ˆv(δ) = 1 se, e só se, ˆv(α) = 0, se e só se, α Δ se, e só se, α Δ Se δ é α β e a afirmação vale para α e para β ˆv(δ) = 1 se, e só se, ˆv(α) = 1 ou ˆv(β) = 1, se e só se, α Δ ou β Δ se, e só se, α β Δ Se δ é α β e a afirmação vale para α e para β ˆv(δ) = 1 se, e só se, ˆv(α) = 1 e ˆv(β) = 1, se e só se, α Δ e β Δ se, e só se, α β Δ Se δ é α β e a afirmação vale para α e para β ˆv(δ) = 1 se, e só se, ˆv( α) = 1 ou ˆv(β) = 1, se e só se, α Δ ou β Δ se, e só se, α β Δ Se δ é α β e a afirmação vale para α e para β ˆv(δ) = 1 se, e só se, ˆv(α) = ˆv(β) = 1 ou ˆv(α) = ˆv(β) = 0, se e só se, α,β Δ ou α, β Δ se, e só se, α β Δ Demonstração da equivalência das versões I e II Começamos com a demonstração da versão II, usando a versão I Suponha que Γ α Então Γ { α} não é satisfazível, pelo exercício anterior Pelo teorema da compacidade versão I, existe Δ 0 Γ { α} finito e não satisfazível, portanto Δ 0 { α} não é satisfazível, logo, pelo exercício acima Δ 0 α Agora, suponha a versão II do teorema da compacidade e vamos mostrar que satisfazibilidade finita implica satisfazibilidade Suponha Γ finitamente satisfazível e não satisfazível Se Γ não é satisfazível então Γ α α Pela versão II existe Δ Γ finito tal que Δ α α, logo Δ não é satisfazível, contradizendo a satisfazibilidade finita de Γ 531 Uma aplicação em Teoria dos Grafos Um grafo é um par de conjuntos (V,E) tal que todo elemento de E é formado por dois elementos distintos de V Os elementos de V são chamados de vértice e os elementos de E são chamados de aresta Um subgrafo desse grafo é uma grafo (X,F ) tal que X V e F F Um grafo é finito se o conjunto de vértices é finito FIGURA 2 Representação de um grafo finito

10 40 Dados k cores, um grafo G é k-colorível se os vértices de G podem ser pintados com as k cores sem que vértices que formam uma aresta tenham a mesma cor Segue do teorema de compacidade que se todo subgrafo finito de um grafo (N,E) é k-colorível então (N,E) é k-colorível Consideremos a proposição p i,c j que é interpretada como o vértice i tem a cor c j e o conjunto Γ das fórmulas (1) p i,c1 p i,c2 p i,ck para todo i N (interpretada como o vértice i tem alguma cor ); (2) (p i,c j p i,cl ) para todos 1 j < l k e i N (interpretada como o vértice i tem no máximo uma cor ); (3) (p i,cl p j,cl ) para todo 1 l k e toda aresta {i, j } do grafo (interpretado como os vértices adjacentes i e j não têm a mesma cor ) O conjunto Γ é satisfazível se, e só se, o grafo (N,E) é k-colorível (verifique) Por hipótese, todo subgrafo finito de (N, E) admite uma k-coloração Segue-se que todos os subconjuntos finitos de Γ são satisfazíveis Pelo teorema da compacidade Γ é satisfazível e, portanto, (N, E) é k-colorível 532 Outra aplicação em Teoria dos Grafos Considere agora um grafo bipartido (H M,E) com as classes de vértices H e M disjuntas FIGURA 3 Representação de um grafo bipartido Esse grafo modela um conjunto de rapazes H e um conjunto de garotas M e cada aresta associa uma pretendente a um rapaz O problema do casamento é o problema de casar cada um dos rapazes de H O caso finito tem uma caracterização: é possível casar todos os rapazes se, e só se, para cada subconjunto S H o conjunto de pretendentes associado a eles P M satisfaz P M ; e o famoso Teorema de Hall e essa desigualdade é a condição de Hall Suponha, agora, que H = {h 1,h 2,}, M = {m 1,m 2,} e m i1,m i2,m ini a relação de pretendentes de h i H (ie, cada rapaz tem um número finito de pretendentes) Vamos supor que vale a condição de Hall, ie, qualquer grupo de k rapazes tem pelo menos k pretendentes, para todo inteiro positivo k Vamos mostrar que é possível casar os rapazes Consideremos as proposições p i,j para i, j 1, cuja intenção é modelar a sentença o rapaz i casa com a garota j Seja Γ o conjunto das (1) p i,i1 p i,i2 p i,ini (interpretada como o rapaz i casa com alguma pretendente );

11 41 (2) (p i,i j p i,ik ) para todo i e todos j,k {1,,n i } com j k (interpretada como o rapaz i é monogâmico ); (3) (p i,l p j,l ) para todo l N e para todo i, j N com i j e {i,l} e {j,l} arestas (interpretado como a garota j é monogâmica ) Pelo teorema de Hall Γ é finitamente satisfazível, portanto, Γ é satisfazível Se v Γ temos que as arestas {h i,m ik } se, e só se, v(p i,ik ) = 1 é uma solução para o problema do casamento 54 Exercícios (24) Sejam w uma interpretação para L 0 e {γ 1,γ 2,,γ n } um subconjunto de fórmulas de L 0 (a) Se w {γ 1,γ 2,,γ n } então w γ 1 γ 2 γ n? (b) Se w γ 1 γ 2 γ n então w {γ 1,γ 2,,γ n }? (25) Verifique as consequências e não-consequências semânticas abaixo (a) α,α β β (b) α,β α β (c) α,β α β (d) α,β α β (e) α 1,α 2,,α n α 1 α 2 α n (f) α β α β (g) α β α β (h) α β,β γ α γ? (26) Prove que: (i) α α; (ii) se α β então β α; (iii) se α β e β γ então α γ (27) Determine se é verdadeiro ou falso (e justifique): (a) (p ( p)) p (b) p q p (c) {p q, p} q (d) p p q (e) {p q, q r } p r (f) {p q, q}) p (g) {p q, p r } p (q r ) (28) Dê um exemplo de fórmulas φ 1 e φ 2 tais que φ 1 φ 2 mas que φ 2 φ 1 (29) Responda com justificativa: (a) Se Γ φ e Γ τ então Γ φ τ? (b) Se Γ φ τ então Γ φ e Γ τ? (c) Se Γ φ e Γ τ então Γ φ τ? (d) Se Γ φ τ então Γ φ e Γ τ? (e) Se Γ φ τ e Γ φ então Γ τ? (f) Se Γ φ τ então Γ (γ φ) (γ τ)?

12 42 (30) Use o item (2) do metateorema 23 para justificar a tautologia p q p Faça o mesmo para (p q r ) (p q) (p r ) e para (p q) (q r ) (p r ) (atenção com a regra de omissão de parênteses) (31) Quais argumentos abaixo são logicamente corretos? Justifique (a) Se eu sou culpado, eu devo ser punido Eu devo ser punido Logo eu sou culpado (b) Se Carlos ganhou a competição, então Mario ficou em segundo lugar ou Sérgio ficou em terceiro lugar Sérgio não ficou em terceiro lugar Logo, se Mario não chegou em segundo lugar, então Carlos não ganhou a competição (c) Se Carlo ganhou a competição, então Mario ficou em segundo lugar ou Sérgio ficou em terceiro lugar Mario não ficou em segundo lugar Logo, se Carlos ganhou a competição então Sérgio não ficou em terceiro lugar " (32) Formalizar o quebra-cabeça abaixo em Lógica Proposicional e encontrar a solução usando uma tabela-verdade: (A) Suponha que sabemos que: (1) Se Paulo é magro, então Carlo não é loiro ou Roberta não é alta (2) Se Roberta é alta, então Sandra é adorável (3) Se Sandra adorável e Carlo é loiro, então Paulo é magro (4) Carlo é loiro Podemos deduzir que Roberta não é alta? (B) Você está andando em um labirinto e de repente se depara com três caminhos possíveis: o caminho à sua esquerda é por uma via pavimentada com ouro, o caminho em frente é pavimentado com mármore, o caminho à direita é por uma via feita de pequenas pedras Cada caminho é protegido por um guardião Você conversa com os guardiões e isso é o que eles dizem: O guardião da via de ouro: Esta via irá levá-lo direto para o centro Além disso, se as pedras levá-lo para o centro, em seguida, também o mármore leva-o para o centro O guardião da via de mármore: Nem a via de ouro nem a de pedras leva-o para o centro O guardião da rua de pedra: Siga a via de ouro e você vai chegar ao centro, siga a de mármore e você estará perdido Dado que você sabe que todos os guardiões são mentirosos, é possível escolher um caminho com a certeza de que ele vai levar você para o centro do labirinto? Se esse é o caso, o caminho que você escolher? (C) Huguinho, Zezinho e Luizinho se encontram presos em um calabouço escuro e frio (como eles chegaram lá é outra história) Depois de uma rápida pesquisa os meninos encontram três portas, a primeira vermelha, a segunda azul, e a terceira verde Atrás de uma das portas há um caminho para a liberdade Atrás das outras duas portas, no

13 43 entanto, há um maldoso dragão que cospe fogo Abrindo uma porta do dragão a morte é certa Em cada porta há uma inscrição: Na porta vermelha: A liberdade está atrás desta porta Na porta azul: A liberdade não está atrás desta porta Na porta verde: A liberdade não está atrás da porta azul Os meninos sabem que pelo menos uma das três inscrições é verdadeira e pelo menos uma é falsa, qual porta levaria os meninos para a liberdade (33) (Enderton) Você está em uma terra habitada por pessoas que sempre dizem a verdade ou sempre falam falsidades Você chega numa bifurcação na estrada e você precisa saber qual das dois caminhos leva à capital Há um nativo nas proximidades, mas ele tem tempo apenas para responder a uma pergunta sim-ou-não O que você pergunta para ele a fim de saber por qual estrada seguir? (34) Há três suspeitos de assassinato: Adams, Brown e Clark Adams diz: Eu não fiz isso A vítima era um velho conhecido de Brown Mas Clark odiava Brown afirma que eu não fiz isso Eu não conhecia o cara Além disso, eu estava fora da cidade tudo a semana Clark diz: Eu não fiz isso Eu vi ambos Adams e Brown no cidade com a vítima naquele dia; um deles deve ter feito isso Suponha que os dois homens inocentes estão falando a verdade, mas que o homem culpado pode não estar falando a verdade Escreva os fatos como sentenças na Lógica Proposicional resolva o crime (35) Considere as seguintes sentenças: Eu só estudo matemática à noite ou em dias chuvosos O cachorro só late em dias ensolarados ou em noite de lua cheia O cachorro nunca late quando o gato mia O gato mia a noite toda Minha irmã sempre toca piano quando o cachorro não late A partir dessas premissas, diga se cada uma das conclusões abaixo é um argumento válido ou uma falácia (argumento não válido) Justifique (a) Eu nunca estudo matemática em noite de lua cheia (b) Eu estudo matemática sempre que minha irmã toca piano (c) Minha irmã toca piano sempre que eu estudo matemática (36) Brown, Jones e Smith são suspeitos de um crime Eles testemunham do seguinte modo: Brown: Jones é culpado e Smith é inocente Jones: Se Brown é culpado então também é Smith Smith: Eu sou inocente, mas pelo menos um dos outros é culpado Sejam B, J e S as declarações Brown é culpado, Jones é culpado e "Smith é culpado, respectivamente (a) Expresse o testemunho de cada suspeito como uma fórmula proposicional (b) Faça uma tabela de verdade para os três testemunhos (c) Use a tabela a verdade acima de responder às seguintes perguntas:

14 44 (i) Existe uma valoração que satisfaz, concomitantemente, os três testemunhos? (ii) O testemunho de um dos suspeitos segue (é consequência lógica) da de outro Qual a partir do qual? (iii) Supondo que todo mundo é inocente, quem cometeu perjúrio? (iv) Supondo que todos os testemunhos são verdadeiros, quem é inocente e quem é culpado? (v) Supondo que o inocente disse a verdade e os culpados disseram mentiras, quem é inocente e quem é culpado? (37) Determine quem é culpado de doping Os suspeitos são: Silvia Danekova, Michael O Reilly, Kleber Ramos, Adrian Zielinski, Chen Xinyi (a) Silvia disse: Michael ou Kleber tomaram drogas, mas não os dois (b) Michael disse: Adrian ou Silvia tomaram drogas, mas não os dois (c) Kleber disse: Xinyi ou Michael tomaram drogas, mas não os dois (d) Adrian disse: Kleber ou Xinyi tomaram drogas, mas não os dois (e) Xinyi disse: Kleber ou Adrian tomaram drogas, mas não os dois (f) Tom disse: se Adrian tomasse drogas, então Kleber tomou drogas Das 5 primeira declarações, 4 são verdadeiras e uma é falsa A última declaração é verdadeira 6 SISTEMA DEDUTIVO PARA A LÓGICA PROPOSICIONAL São conhecidos alguns sistemas dedutivos para a linguagem proposicional: Sistemas de Hilbert (ou sistema axiomático à Hilbert), Dedução Natural, Tableaux, Cálculo de sequentes de Gentzen, por exemplo Eles são equivalentes no sentido de deduzirem as mesmas proposições Cada um deles foi proposto com um propósito, por exemplo, a dedução natural pretende modelar o modo como deduzimos usando raciocínio lógico, o sistema de Gentzen mecaniza mais o processo e é o predileto em teoria da prova Apresentaremos um sistema axiomático do tipo Sistema de Hilbert para a lógica proposicional Ele contém um conjunto (finito) de axiomas e uma única regra de inferência; provas são construídos como uma sequência de fórmulas, cada um dos quais é ou um axioma (ou uma fórmula que tenha sido anteriormente provada) ou uma derivação de uma fórmula de fórmulas anteriores na sequência usando a regra de inferência As deduções nesse tipo de sistema são mais difíceis porém facilita-se o estudo das propriedades (metateoremas) do sistema dedutivo, que é o nosso principal objetivo agora 61 A linguagem revisitada O alfabeto é formados por

15 45 Símbolos proposicionais atômicos p 1 p 2 p 3 Conectivos lógicos Símbolos de pontuação ( ) Uma FBF é qualquer expressão que pode ser formada aplicando-se as regras: (F1) os símbolos atômicos são FBF, chamadas fórmulas atômicas; (F2) se α é FBF, então ( α) é FBF; (F3) se α e β são FBFs, então (α β) é FBF; (F4) não há outras FBFs além das obtidas pelo uso das regras (F1), (F2) e (F3) um número finito de vezes 611 Simplificações e Abreviaturas No uso dos símbolos admitimos algumas simplificações na escrita, como já fizemos logo acima Fórmulas Conjuntos de fórmulas Símbolos proposicionais atômicos α,β,γ, Σ,Γ,Θ, p, q, r, s Para resultados teóricos (metamatemáticos) é vantajoso possuirmos o mínimo possível de símbolos, para isso tratamos o alguns símbolos como abreviaturas símbolo lê-se uso conjunção (α β) abrevia ( (α ( β))) disjunção (α β) abrevia (( α) β) biimplica (α β) abrevia ((α β) (β α)) falsum abrevia (α ( α)) verum abrevia ( ) Ademais, representamos os conectivos lógicos,, e genericamente, por e usaremos índices caso se faça necessário Com essas abreviações, o uso de uma linguagem formal com somente o conectivo implica não prejudica a generalidade do sistema formal da lógica proposicional proposta nesta seção Finalmente, mantemos as mesmas regras estudadas na seção Dedução Sejam α L 0 e Γ L 0 Uma prova de α a partir de Γ é uma sequência finita de fórmulas ϕ 1,ϕ 2,,ϕ n tal que ϕ n = α e, para i < n, ϕ i é (1) ou um axioma

16 46 (2) ou uma fórmula de Γ (3) ou uma fórmula obtida de ϕ 1,ϕ 2,,ϕ i 1 por regra de inferência Nesse caso dizemos que Γ prova α, ou α é deduzível de Γ e usamos a notação Γ α As vezes, também dizemos que α é consequência sintática de Γ Chamamos Γ de antecedentes ou hipóteses iniciais e α de consequente ou conclusão Se α é consequência sintática dos axiomas escrevemos α e nesse caso dizemos que α é um teorema lógico Em particular, se α é um axioma, então também é um teorema lógico 621 Simplificações de notação Ao invés de {α} β escrevemos α β Ao invés de {α 1,,α n } β escrevemos α 1,,α n β Ao invés de Γ {α} β escrevemos Γ,α β 63 Axiomas e regra de inferência No que segue, chamaremos de axioma e de teorema uma fórmula como as seguintes α (β α) (3) α α (4) o que, a rigor, não são São esquemas de axiomas e esquemas de teoremas, pois usam variáveis da metalinguagem Os axiomas são obtidos quando substituímos tais variáveis por fórmulas nas quais figuram apenas símbolos do alfabeto, sendo que todas as ocorrências da mesma variável correspondem a mesma fórmula da linguagem Exemplo 33 A FBF ((p 1 p 2 ) p 3 ) ( (p 2 p 3 ) ((p 1 p 2 ) p 3 )) é uma das fórmulas do esquema (3), isto é, é um dos axiomas ((p 1 p 2 ) p 3 ) ( (p 2 p 3 ) ((p 1 p 2 ) p 3 )) }{{}}{{}}{{} α β α e ((p 1 p 2 ) p 3 ) ((p 1 p 2 ) p 3 ) é uma fórmula do esquema (4) ((p 1 p 2 ) p 3 ) ((p 1 p 2 ) p 3 ) }{{}}{{} α α

17 Axiomas O conjunto de axiomas (ou esquemas) que adotaremos para o sistema dedutivo é o seguinte, conhecido como sistema de Kleene (A1): α (β α) (A2): (α (β ξ)) ((α β) (α ξ)) (A3): (α β) ((α β) α) (A4): α (β (α β)) (A5): α β α (A6): α β β (A7): α α β (A8): β α β (A9): (α γ) ((β γ) (α β γ)) (A10): α α 632 Regra de inferência O sistema forma tem apenas uma regra de inferência, Modus Ponens: (MP): α, α β β que abreviamos (MP) e deve ser entendida como: se α é teorema e α β é teorema, então β é teorema Na prática dedutiva isso significa que se numa prova ocorre a fórmula α e ocorre a fórmula α β então podemos usar a fórmula β Modus ponens é uma abreviação de modus ponendo ponens, frase em latim para o modo que afirma afirmando Exercício 34 Verifique que vale o seguinte: se Γ α e Γ α β então Γ β Solução Suponha Γ α e Γ α β De Γ α temos uma prova θ 1,θ 2,,θ n 1,α de α a partir de Γ De Γ α β temos uma prova φ 1,φ 2,,φ m 1,α β de α β a partir de Γ A seguinte prova

18 48 1 θ 1 n-1 θ n 1 n α n+1 φ 1 n+m-1 n+m φ m 1 α β n+m+1 β ( por MP n,n+m) estabelece Γ β 64 Exemplos de dedução e regras derivadas Usualmente, escrevemos uma prova para Γ ϕ n da seguinte forma Prova 1 ϕ 1 [ ] 2 ϕ 2 [ ] n-1 ϕ n 1 [ ] n ϕ n [ ] em que diz explicitamente como foi obtida a fórmula daquela linha Teorema 1 α α Prova 1 α ((α α) α)) (por A1) 2 (α ((α α) α)) ((α (α α)) (α α)) (por A2) 3 α (α α)) (por A1) 4 (α (α α)) (α α) (MP 2,1) 5 α α (MP 3,4) Teorema 2 α β,β γ α γ

19 49 Prova 1 α β (por hipótese) 2 β γ (por hipótese) 3 (β γ) (α (β γ)) (por A1) 4 (α (β γ) (por MP 2,3) 5 (α (β γ)) ((α β) (α γ)) (por A2) 6 (α β) (α γ) (por MP 4,5) 7 α γ (por MP 1,6) Teorema 3 θ (φ ξ) φ (θ ξ) Prova 1 θ (φ ξ) (por hipótese) ( ) ( ) 2 θ (φ ξ) (θ φ) (θ ξ) (por A2) 3 (θ φ) (θ ξ) (por MP 1,2) 4 φ (θ φ) (por A1) ( ) ( ( )) 5 (θ φ) (θ ξ) φ (θ φ) (θ ξ) (por A1) 6 φ ( (θ φ) (θ ξ) ) (por MP 3,5) ( ( )) (( ) ( )) 7 φ (θ φ) (θ ξ) φ (θ φ) φ (θ ξ) (por A2) ( ) ( ) 8 φ (θ φ) φ (θ ξ) (por MP 6,7) 9 φ (θ ξ) (por MP 4,5) Teorema 4 α α α

20 50 Prova 1 α α (por hipótese) 2 α (( α α) α) (por A1) 3 ( α (( α α) α)) (( α ( α α)) ( α α)) (por A2) 4 α ( α α) (por A1) 5 ( α ( α α)) ( α α) (por MP 2,3) 6 α α (por MP 4,5) 7 ( α α) (( α α) α) (por A3) 8 ( α α) α (por MP 6,7) 9 α α (por A10) 10 (( α) α) (( α α) (( α) α)) (por A1) 11 (( α α) (( α) α) (por MP 9,10) 12 (( α α) (( α) α)) ((( α α) ( α)) (( α α) α)) (por A2) 13 (( α α) ( α)) (( α α) α) (por MP 11,12) 14 ( α α) α (por MP 8,13) 15 α (por MP 1,14) Notemos que as linhas 1 7 da prova do teorema 2 são iguais as linhas 8 14 na prova do teorema 4; troque no teorema 2 toda ocorrência de α por α α, de β por α e de γ por α Para evitar esse trabalho extra permitimos que se justifique passos de uma prova com teoremas já provados Para dar um exemplo, a prova acima é re-escrita abaixo Prova do teorema 4 1 α α (por hipótese) 2 α (( α α) α) (por A1) 3 ( α (( α α) α)) (( α ( α α)) ( α α)) (por A2) 4 α ( α α) (por A1) 5 ( α ( α α)) ( α α) (por MP 2,3) 6 α α (por MP 4,5) 7 ( α α) (( α α) α) (por A3) 8 ( α α) α (por MP 6,7) 9 α α (por A10) 10 ( α α) α (por Teo 2 em 8,9) 11 α (por MP 1,14) Teorema 5 α α

21 51 Prova 1 α α (por A10) 2 ( α α) ( ( α α) α ) (por A3) 3 ( α α) ( ( α α) α ) (Teo 3 em 2) 4 ( α α) α (por MP 1,3) 5 α α (por A10) 6 ( α α) α (por Teo 2 em 4,5) 7 α ( α α) (A1) 8 α α (por Teo 2 em 7,6) Teorema 6 (Lei de Duns Scotus) α,α β Prova 1 α (por hipótese) 2 α (por hipótese) 3 α ( β α) (por A1) 4 α ( β α) (por A1) 5 β α (por MP 1,3) 6 β α (por MP 2,4) 7 ( β α) ( ( β α) β ) (por A3) 8 ( β α) β (por MP 5,7) 9 β (por MP 6,8) 10 β β (por A10) 11 β (por MP 9,10) Desse resultado temos que se, por algum motivo tenhamos duas fórmulas contraditórias, α e α, provamos que pode-se derivar qualquer fórmula β a partir dessas hipóteses Dizia-se ex falso seguitur quodlibet (de uma falsidade tudo se segue) A falsidade aqui refere-se a fórmula α α que pode ser inferida a partir de α e de α, como veremos adiante Ao invés de mantermos as referências a teoremas, usamos escrever novas regras de inferência as quais chamamos regras regra de inferência derivada As regras correspondentes aos teoremas 2 e 3 são escritas esquematicamente como (SH) e (TH) em (SH): α β,β γ α γ (TH): θ (φ ξ) φ (θ ξ) (CP1): α β β α chamada de silogismo hipotético e troca de hipóteses, respectivamente, a última, (CP1), é uma das regras da contrapositiva cuja prova é

22 52 1 α β (hipótese) 2 β β (Teo 5) 3 α β (SH 1,2) 4 α α (A10) 5 α β (SH 3,4) 6 ( α β) (( α β) α) (A3) 7 ( α β) α (MP 5,6) 8 β ( α β) (A1) 9 β α (SH 8,7) 10 β β (Teo 5) 11 β α (SH 10,9) 12 α α (A10) 13 β α (SH 11,12) As regras derivadas são escritas, genericamente, como α 1,,α k β e entende-se: se α 1,,α k são teoremas do sistema formal, então β é teorema do sistema formal Nosso último exemplo é p q, q s, p r, s r que é a versão sintática de p q, q s, p r, s r do exemplo Exercício 35 Dê provas para (1) ( α α) α (2) ( β α) (α β) 1 p q (hipótese) 2 q s (hipótese) 3 p r (hipótese) 4 s (hipótese) 5 p s (SH 1,2) 6 s p (CP1 em 4) 7 p (MP 4,6) 8 r (MP 3,7) 65 Propriedades de Metateorema 36 Valem as seguintes propriedades para a de dedução de fórmulas da lógica proposicional

23 53 Autodedução: Γ α para todo α Γ Monotonicidade: Se Γ α então Γ Σ α Regra do corte: Se Γ α i para i = 1,2,,k e {α 1,,α k } β então Γ β Compacidade: Γ α se, e só se, existe Δ Γ finito tal que Δ α Teorema da Dedução: α β se, e somente se, α β ou, genericamente, Γ,α β se, e somente se, Γ α β (5) As três primeiras propriedades podem ser facilmente verificadas A compacidade segue da observação que se Γ α então tomamos Δ como as fórmulas de Γ que ocorrem na prova, que é finita; a recíproca segue da monotonicidade O Teorema da Dedução é uma ferramenta importante na teoria da prova, ele facilita grandemente o processo dedutivo Por exemplo, os seguintes resultados seguem dos teoremas 2 e 3, respectivamente, por aplicação do Teorema da Dedução Neste ponto, convidamos o leitor a prová-los diretamente dos axiomas e usando Modus Ponens Teorema 2 (α β) (β γ) (α γ) Teorema 3 (θ (φ ξ)) (φ (θ ξ)) Vamos usar o metateorema da dedução para provar o seguinte teorema, que afirma a recíproca da contrapositiva Teorema 7 ( β α) (α β) Prova: Pelo Teorema da Dedução, basta provar β α, α β 1 β α (hipótese) 2 α (hipótese) 3 ( β α) (( β α) β) (A3) 4 ( β α) β (MP 1,3) 5 α ( β α) (A1) 6 α β (SH 5,4) 7 α α (Teo 5) 8 α β (SH 6,7) 9 α β (SH 5,4) 10 β β (A10) 11 α β (SH 9,10) 12 β (MP 2,11)

24 Demonstração do Teorema da Dedução Primeiro, vamos demonstrar que se Γ α β então Γ,α β Suponha que Γ α β Então Γ,α α β pela monotonicidade de Pela autodedução de temos Γ, α α, portanto pelo exercício 34 temos Γ,α β Agora, vamos demonstrar que se Γ,α β então Γ α β Suponha que Γ,α β e seja θ 1,θ 2,,θ n 1,β uma prova de β a partir de Γ {α} Vamos demonstrar por indução em i que Γ α θ i para todo 1 i n com θ n = β Lembremos que o uso de teoremas ou de regras de inferência derivadas numa prova é apenas uma abreviação, para efeitos de formalismo, uma prova contém fórmulas que são axiomas ou hipóteses ou inferências por Modus Ponens Base: a fórmula θ 1 ou é um axioma ou uma fórmula de Γ Se é axioma ou hipótese (de Γ {α}) então 1 θ 1 (axioma ou hipótese) 2 θ 1 (α θ 1 ) (por A1) 3 α θ 1 (por MP 1,2) Em todos os casos Γ α θ 1 Hipótese indutiva: Assuma que Γ α θ j para todo j = 1,2,,i 1 Passo indutivo: Vamos demonstrar que a hipótese indutiva implica Γ α θ i A fórmula θ i ou é uma axioma ou fórmula de Γ {α}, ou é resultado de (MP j,k) com j,k < i Nos dois primeiros casos Γ α θ i, a prova é similar ao caso feito na base da indução Resta verificar o caso θ i é resultado de (MP j,k) com j,k < i Se θ i é resultado de (MP j,k) com j,k < i então na linha j temos θ j e na linha k temos θ j θ i Pela hipótese indutiva Γ α θ j e Γ α (θ j θ i ) 1 α θ j (por hipótese) 2 α (θ j θ i ) (por hipótese) 3 (α (θ j θ i )) ((α θ j ) (α θ i )) (por A2) 4 (α θ j ) (α θ i ) (por MP 2,3) 5 α θ i (por MP 1,4) o que completa o passo indutivo Pelo princípio da indução matemática Γ α θ i, para todo i, ou seja Γ α β

25 55 66 Exercícios (38) Escreva uma demonstração para autodedução, a monotonicidade e regra do corte de (39) Seja θ 1,θ 2,,θ n uma prova A sequência θ 1,θ 2,,θ l para todo l com 1 l n é uma prova? (40) Prove os seguintes teoremas lógicos para quaisquer fórmulas α e β (a) (β α) (α β) (b) (β α) (α β) (c) ( β α) ( α β) (d) α ( β (α β)) (e) (α β) (( α β) β) (f) δ ( β (δ β)) (g) α α (h) α (β (α β)) (i) α β α (j) α β β (k) α α β (l) β α β (m) (α γ) ((β γ) (α β γ)) (n) α (α β) (41) Prove cada uma das seguintes regras derivadas de inferência (RA) (IC) α β,α β α α,β α β (MT) α β, β α (SD) α β, α β (EC1) α β α (EC2) α β β (ID1) (ID2) α α β β α β (DM ) (DM ) (Assoc) (α β) α β (α β) α β α (β γ) (α β) γ (C) α α α (42) Justifique o seguinte método de prova: Use esse fato para provar Se Γ { α} β e Γ { α} β então Γ α { α (β γ),(γ δ) ε,ε β} α (43) Justifique o seguinte método de prova: Se Γ {α} β e Γ { α} β então Γ β (44) Sejam Γ 1 Γ 2 Γ n subconjuntos de fórmulas de L 0 e tome Σ = i 1 Γ i Demonstre que se Σ α então Γ n α para algum n

26 56 (45) Chamemos de 0 o sistema dedutivo que desenvolvemos no texto para a lógica proposicional Há vários outros sistemas dedutivos axiomáticos, cada um com um conjunto de axiomas, a regra Modus Ponens e, eventualmente, com a linguagem construída sobre outros conectivos básicos como, por exemplo, com o e ou (sendo que os demais são definidos a partir desses, veja o exercício 22, página 30) O sistema formal 12 é o que aparece no Principia Mathematica de Russel e Whitehead tem os axiomas (PM1) (α α) α (PM2) α (α β) (PM3) (α β) ((γ α) (γ β)) (PM4) (α β) (β α) (a) Prove que todo axioma de 12 é um teorema lógico de 0 Conclua que todo teorema de 12 é um teorema lógico de 0 (b) Prove que todo axioma de 0 é um teorema lógico de 12 Conclua que todo teorema lógico de 0 é um teorema lógico de 12 (46) O sistema formal 3 tem os axiomas (L1) α (β α) (L2) (α (β γ)) ((α β) (α γ)) (L3) α (α β) (L4) ( α α) α Prove que L e K têm os mesmos teoremas