Parte 1. LÓGICA de PROPOSIÇÕES 3. A SINTAXE DA LINGUAGEM DA LÓGICA PROPOSICIONAL

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1 12 Parte 1 LÓGICA de PROPOSIÇÕES 3 A SINTAXE DA LINGUAGEM DA LÓGICA PROPOSICIONAL 31 Discussão informal Por ora, queremos uma linguagem simbólica que capture formas de argumentação humana expressa de forma declarativa As proposições ou sentenças são frases declarativas que podem assumir um dentre dois dos valores-verdade: VERDADEIRO ou FALSO O importante não é o valor-verdade que uma proposição possa tomar num determinado contexto interpretativo, mas a possibilidade de que em princípio seja possível atribuir um valor-verdade e que seja possível construir argumentos com estas proposições A lógica proposicional estuda como se argumenta com afirmações que podem ser verdadeiras ou falsas ou como construir a partir de um certo conjunto de hipóteses (proposições verdadeiras num determinado contexto) uma demonstração de que uma determinada conclusão é verdadeira no mesmo contexto Uma sentença é dita atômica se a ela corresponde, individualmente, um desses valores-verdade Por exemplo, são sentenças atômicas da língua portuguesa (1) O time joga bem (2) O time ganhou o campeonato (3) O técnico é o culpado (4) Os torcedores estão felizes (5) Samuel virá para a festa (6) Maximiliano vai se divertir (7) O suborno será pago (8) As mercadorias são entregues Diferente do caso se as mercadorias são entregues então o suborno será pago que admite um valor verdade, mas esse depende dos valores individuais das sentenças (7) e (8) Do ponto de vista da linguagem natural, na qual sentenças interrogativas ou imperativas são importantes, a restrição para a linguagem formal expressar apenas sentenças declarativas é bastante forte, porém estamos mais interessado nos enunciados matemáticos como (9) o quadrado de todo número é positivo (10) 27 é um quadrado perfeito (11) O conjunto vazio é único (12) x é a soma de quatro quadrados perfeitos (13) O quicksort ordena uma lista de números em tempo quadrático (14) Se uma sequência numérica é limitada, então ela é convergente onde sentenças interrogativas ou imperativas não são importantes Além disso, queremos regras que permitam construir consistentemente proposições mais complexas a partir de outras

2 13 (14) Os torcedores estão felizes e o técnico foi demitido (15) Samuel virá para a festa e Maximiliano não virá, ou Samuel não virá para a festa e Maximiliano vai se divertir (16) Se o time joga bem, então o time ganha o campeonato (17) Se o time não joga bem, então o técnico é o culpado (18) Se o time ganha o campeonato então os torcedores estão felizes (19) O suborno será pago se, e somente se, as mercadorias são entregues (20) Se x é positivo, então x 2 é positivo (21) 27 não é um quadrado perfeito (22) O conjunto vazio não é único (23) Os torcedores não estão felizes Observamos que não há a pretensão de traduzir uma linguagem natural para uma linguagem formal (e vice-versa), faremos uso da possibilidade de tradução sob certas limitações Denotemos pelas letras α e β duas sentenças da língua portuguesa não α: expressa a negação da sentença α cujo valor é VERDADEIRO se, e somente se, o valorverdade de α é FALSO; α e β: expressa a conjunção das sentenças α e β, cujo valor é VERDADEIRO se, e somente se, ambas α e β têm valor-verdade VERDADEIRO; α ou β: expressa a disjunção inclusiva, cujo valor é FALSO se, e somente se, ambas α e β têm valor-verdade FALSO; se α, então β: expressa uma forma condicional, cujo valor é FALSO se, e somente se, α é VERDADEIRO e β é FALSO; α se, e somente se β: representa a bicondicional α se β e α somente se β, é VERDADEIRA se, e somente se, α e β têm o mesmo valor-verdade 32 A linguagem formal O alfabeto A 0 é o conjunto dos símbolos que compõem linguagem, agora formados por: Símbolos proposicionais atômicos: p 1 p 2 p 3 Conectivos lógicos: Símbolos de pontuação: ( ) Lemos,,, e como negação, disjunção, conjunção, implicação e bi-implicação, respectivamente Ressaltamos que esses símbolos são apenas símbolos da linguagem, não devem ser confundidos com os operadores lógicos que são interpretações de tais símbolos A interpretação faz parte da semântica da linguagem, que será discutida adiante

3 14 As expressões que podemos formar são as cadeias (ou sequências) finitas de símbolos tomados do alfabeto A 0 como, por exemplo, ((p 1 p 7 ) p 100 ), ())p 5 e ( p 2 ) Claramente, os dois últimos exemplos são expressões que não interessam Uma fórmula bem formada (FBF) ou simplesmente fórmula é qualquer expressão que pode ser formada aplicando-se um número finito de vezes as regras: (F1) os símbolos atômicos são FBF, chamadas fórmulas atômicas; (F2) se α é FBF, então ( α) é FBF; (F3) se α e β são FBFs, então (α β) é FBF, (α β) é FBF, (α β) é FBF e (α β) é FBF; (F4) não há outras FBFs além das obtidas pelo uso das regras (F1), (F2) e (F3) Na metalinguagem que usamos para descrever a lógica proposicional usamos letras gregas α, β, γ, δ, ɛ, ζ, η, θ, ι, κ, λ, µ, ν, π, ρ, σ, τ, υ, φ, χ, ψ, ω para denotar fórmula, a rigor não são fórmulas São ditas metavariáveis, ou variáveis sintáticas A última regra nos assegura que todas as FBFs podem ser construídas passo-a-passo pelas regras anteriores O conjunto L 0 é definido como o conjunto de todas as FBFs, ele é o menor conjunto L formado pelas sequências de símbolos da alfabeto que satisfaz as propriedades 1 : (1) p 1, p 2, L, (2) se α L então ( α) L, (3) se α,β L então (α β),(α β),(α β),(α β) L Exemplo 2 São exemplos de fórmulas bem formadas: p 1, ( p 2 ), (p 3 (p 1 ( p 1 ))); Se α,β,γ denotam FBF então (α (β γ)) denota uma FBF que é diferente da FBF denotada por ((α β) γ) É importante entender que p 1 p 2, por exemplo, é uma fórmula da linguagem enquanto que α β não é uma fórmula da linguagem, mas uma expressão metalinguística que usamos para nos referir a um tipo de forma de FBF, aquelas que são escritas quando trocamos as letras gregas por fórmulas como, por exemplo, p 1 p 1, p 1 p 2, (p 1 p 2 ) (p 1 p 3 ), (p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ), etc enfim há uma infinidade delas Dizemos que α β é um esquema de fórmula Demonstrar que uma expressão é uma fórmula é fácil, é só exibir uma sequência finita de aplicações das regras de formação sobre símbolos atômicos Por exemplo, p 1 e p 3 são fórmulas por (F1), portanto ( p 1 ) é fórmula por (F2), (p 1 ( p 1 )) é fórmula por (F3) e, finalmente, (p 3 (p 1 ( p 1 ))) é fórmula Já demonstrar que uma expressão não é uma fórmula pode não ser tão 1 menor conjunto quer dizer que se X é um conjunto de fórmulas que satisfaz as duas propriedades então X L0

4 15 fácil Por exemplo (p 1 ( p 3 )) não é fórmula: supondo que seja, então por (F4) é formada a partir de aplicação das regras (F1) (F3), em particular da aplicação de (F3) a partir das fórmulas p 1 e ( p 3 ), mas essa última não é fórmula pois de nenhuma regra obtém-se uma fórmula cujo primeiro símbolo do alfabeto seja Metateorema 3 (Princípio de indução para fórmulas) Suponha que uma propriedade de fórmulas (1) vale para toda fórmula atômica e (2) se vale para a fórmula α então também vale para ( α) e (3) se vale para as fórmulas α e β, então também vale para (α β), para (α β), para (α β) e para (α β) Então essa propriedade vale para todas FBFs de L 0 Demonstração Seja X o conjunto de todas as fórmulas de L 0 que tenha uma dada propriedade de fórmulas As fórmulas atômicas estão em X pela hipótese (1) Se se α,β X então (α β) X, (α β) X, (α β) X, (α β) X, α X por (2) e por (3) Portanto L 0 X Exemplo 4 Vamos provar usando a indução que toda fbf tem um quantidade par de parênteses Cada fórmula atômica tem 0 parênteses Para todo α que tem um número par, digamos 2n, de parênteses, ( α) tem 2n + 2 = 2(n + 1) parênteses, portanto par Suponha que α e β tenham, respectivamente, 2n e 2m parênteses, então (α β) tem 2n + 2m + 2 = 2(n + m + 1) parênteses (os casos (α β), (α β) e (α β) são idênticos) Pelo Princípio de indução para fórmulas toda FBF tem um quantidade par de parênteses O exemplo a seguir ilustra uma definição recursiva para fórmulas Pelo princípio de indução em fórmulas, se definimos uma característica para as fórmulas atômicas e se tal característica fica definida para ( α), (α β), (α β), (α β) e (α β) sempre que está definida para α e para β então ela fica definida para toda FBF Exemplo 5 (Grau de complexidade) As vezes é conveniente medir a complexidade de uma FBF pelo seu grau dado por: (1) grau(α) = 0 se α é fórmula atômica; (2) grau( α) = grau(α) + 1; e (3) grau(α β) = max { grau(α),grau(β) } + 1; (4) grau(α β) = max { grau(α),grau(β) } + 1; (5) grau(α β) = max { grau(α),grau(β) } + 1; (6) grau(α β) = max { grau(α),grau(β) } + 1

5 16 Pelo metateorema 3 o grau de complexidade está definido para toda fórmula de L Leitura única O leitor atento pode perguntar se as definições dos símbolos e a regra de formação das fórmulas garantem que a as fórmulas de L 0 não são ambíguas no sentido de que uma dada fórmula não pode ser podem ser lida de mais de uma maneira de acordo com as regras estabelecidas De fato, pode se provar (mas não faremos aqui) que uma fórmula de L 0 deve satisfazer exatamente uma dentre as condições (F1), (F2) e (F3) que regem a formação de fórmulas Metateorema 6 (Teorema da unicidade da representação (ou leitura única)) Para toda FBF α, uma, e apenas uma, das afirmações abaixo é verdadeira: α é uma fórmula atômica; existe uma única FBF β tal que α é a fórmula ( β); existem únicas FBFs β e γ tais que α é a fórmula (β γ); existem únicas FBFs β e γ tais que α é a fórmula (β γ); existem únicas FBFs β e γ tais que α é a fórmula (β γ); existem únicas FBFs β e γ tais que α é a fórmula (β γ) ( (p1 ) ( Exemplo 7 A fórmula p 2 ( p3 ) (p 4 p 5 ) )) pode ser lida de uma única maneira, representada pelo diagrama da figura 1, a árvore de formação da fórmula ( (p1 ) ( p 2 ( p3 ) (p 4 p 5 ) )) (p 1 p 2 ) (( p 3 ) (p 4 p 5 )) p 1 p 2 ( p 3 ) (p 4 p 5 ) p 3 p 4 p 5 FIGURA 1 A leitura da fórmula ((p 1 p 2 ) (( p 3 ) (p 4 p 5 ))) 322 Subfórmulas As fórmulas intermediárias que aparecem no processo de construção de uma fórmula através das regras (F1) (F3) são chamadas de subfórmulas Exemplo 8 p 1, p 2, ( p 1 ) e (p 2 ( p 1 )) são subfórmulas de (p 1 (p 2 ( p 1 ))) Formalmente, a definição do conjunto das subfórmulas de uma fórmula é recursiva

6 17 (1) Sf(α) = {α} para toda FBF atômica p; (2) Sf( α) = Sf(α) {( α)}; (3) Sf(α β) = Sf(α) Sf(β) {(α β)}; (4) Sf(α β) = Sf(α) Sf(β) {(α β)} (5) Sf(α β) = Sf(α) Sf(β) {(α β)} (6) Sf(α β) = Sf(α) Sf(β) {(α β)} 33 Simplificações Vamos assumir algumas convenções de notação para facilitar nossa vida 331 Abreviaturas Representamos os símbolos atômicos por algumas das letras do final do alfabeto da Língua Portuguesa, por exemplo p, q,r, s, t,u, v, x, z Sempre que precisamos de muitas símbolos atômicos usamos os símbolos formais Representamos os conectivos,, e genericamente, pelo símbolo, no caso de múltiplas ocorrências de conectivos usaremos índices 1, 2 e assim por diante Com isso α β indica uma fórmula composta por α, β e algum dos conectivos e qual deles, especificamente, não importa no momento em que se usa o símbolo com o cuidado de que duas ocorrências numa mesma frase significa o mesmo conectivo; por exemplo em α η deve ser lido como (α η) não deve ser entendido como, por exemplo, α η deve ser lido como (α η) mas sim como α η deve ser lido como (α η) (e, respectivamente, o mesmo para sendo,, ) 332 Omissão de parênteses Para simplificar notação e facilitar a leitura omitimos a escrita de parênteses de acordo com as seguintes regras, para evitar ambiguidade (1) Omitimos os parênteses mais externos: α deve ser lido como ( α) e α η deve ser lido como (α η) (2) Adotamos a seguinte ordem de precedência para os conectivos:,,,, Assim, por exemplo, p q r deve ser lido como (q (q r )); p r deve ser lido como (( p) r ); p r q s deve ser lido como ((( p) r ) (q s)) (3) As repetições de um mesmo conectivo são aninhadas pela direita: p q r s deve ser lido como (p (q (r s))) São regras informais, nos momentos que exigem resultados mais rigorosos, não devemos considerar essas simplificações Por exemplo, α β lê-se (( α) β), α β lê-se (( ( ( α))) β), α β γ lê-se ((α β) γ),

7 18 δ α (β γ) lê-se (δ (α (β γ))) 34 Exercícios (1) Queremos com uma linguagem simbólica capturar formas de dedução ou argumentação de modo que há situações descritas em linguagem natural que queremos simbolizar na linguagem artificial Por exemplo, denominando as sentenças atômicas p : O time joga bem q : O time ganha o campeonato r : O técnico é o culpado s : Os torcedores estão felizes escrevemos as sentenças compostas p q : Se o time joga bem, então ganha o campeonato ( p) r : Se o time não joga bem, então o técnico é o culpado q s : O time ganha o campeonato ou os torcedores não ficam felizes Escreva as seguintes frases como fórmulas bem formadas da linguagem da lógica proposicional usando símbolos proposicionais para as frases atômicas Para fazer alguns dos itens será necessário pesquisar 2 como os termos necessário, suficiente, necessário e suficiente, somente se são traduzidos para os conectivos lógicos (a) Se há motivação para o estudo, então o estudante estuda muito ou não aprende a matéria (b) Se o estudante estuda muito, então, se não há motivação para o estudo, o estudante não aprende a matéria (c) Não há motivação para o estudo se, e somente se, o estudante estuda muito e não aprende a matéria (d) Se o Sr Jones está feliz, Sra Jones não está feliz, e se o Sr Jones não é feliz, Sra Jones não é feliz (e) Ou Sam virá para a festa e Max não vai, ou Sam não vai vêm para a festa e Max vai se divertir (f) Uma condição suficiente para x para ser estranho é que x é primo (g) Uma condição necessária para uma sequência convergir é ser limitada (h) A condição necessária e suficiente para o sheikh para ser feliz é ter vinho, mulheres e música (i) Fiorello vai ao cinema somente se uma comédia está jogando (j) O suborno será pago se e somente se as mercadorias são entregues (k) Karpov vai ganhar o torneio de xadrez, a menos que Kasparov vença hoje 2 o livro do Hegenberg de Lógica e o livro de Matemática Discreta do Rosen são lugares pra se começar

8 19 (2) Adicione parênteses nas seguintes expressões de modo que fiquem fórmulas bem formadas (não é necessário seguir as regras de omissão de parênteses) Quando houver mais de uma possibilidade, faça pelo menos duas delas (a) p q (b) p q r s (c) p q r p q r (d) α α (e) ( α β) (f) α α (β γ) (3) Para as fórmulas bem formadas encontradas no exercício anterior, determine todas as subfórmulas (As subfórmulas dependem do modo que os parênteses foram colocados?) (4) (Comprimento de uma fórmula) Use o princípio de indução para fórmulas e defina a função l: L 0 N, para toda fórmula α da linguagem L 0 da lógica proposicional Chamamos l(α) de comprimento da fórmula α e expressa o número de símbolos da fórmula que não são de pontuação Por exemplo l(( p 1 )) = {2}, l((p 1 p 2 )) = 3, l((p 1 (p 1 p 2 ) ( p 2 ))) = 8 (5) Use o princípio de indução para fórmulas e defina recursivamente, para toda fórmula α da linguagem, a função atomos(α) que descreve o conjunto dos símbolos proposicionais que ocorrem em α Por exemplo atomo(p 1 ) = {p 1 }, atomo((p 1 p 2 )) = {p 1, p 2 }, atomo((p 1 (p 1 p 2 ) ( p 2 ))) = {p 1, p 2 } (6) Demonstre que para toda fórmula α vale que grau(α) é no máximo o número de conectivos lógicos que aparecem em α Demonstre também que grau(β) < grau(α) para toda subfórmula própria β da fórmula α (7) Leia com atenção a descrição das regras para a omissão de parênteses e refaça o exercício 2 tendo em mente que os parênteses das fórmulas foram omitidos de acordo com a descrição acima (8) Seja P uma propriedade de fórmulas Considere, para todo inteiro n 0, a sentença S (n) : toda as fórmulas de L 0 escritas com n conectivos lógicos têm a propriedade P Use S (n) e o princípio de indução finita completo para provar o princípio de indução para fórmulas (9) Prove usando indução para fórmulas que o número de abre-parênteses em uma fórmula é sempre igual ao número de fecha-parênteses (10) Prove usando indução para fórmulas que dada qualquer ocorrência de um conectivo na fórmula, o número de abre-parênteses que se localizam à esquerda desse conectivo é estritamente maior que o número de fecha-parênteses que estão à sua esquerda (11) Prove usando indução para fórmulas que em uma fórmula do tipo ( α) ou do tipo α β, com α e β fórmulas, o número de abre-parênteses que estão à esquerda de é exatamente um a mais que o número de fecha-parênteses à esquerda de

9 20 (12) Prove usando indução para fórmulas que em toda fórmula α ocorre o seguinte fenômeno: dentre todos os conectivos da fórmula apenas um satisfaz a condição à esquerda dele, o número de abre-parênteses é exatamente um a mais que o número de fechaparênteses (13) Prove o metateorema da leitura única, metateorema 6 4 A SEMÂNTICA DA LINGUAGEM DA LÓGICA PROPOSICIONAL 41 Interpretação e Valoração Os objetos fundamentais da lógica simbólica são as fórmulas que modelam declarações matemáticas, as deduções que modelam o raciocínio matemático e a semântica que define uma interpretação para as fórmulas Uma interpretação para as fórmulas de L 0 é uma função ˆv que associa a qualquer fórmula de L 0 um objeto em uma estrutura abstrata chamada modelo que permite definir a validade das fórmulas No nosso caso, a lógica proposicional, as fórmulas assumem um de dois valores, 0 ou 1, a que chamamos de valoresverdade Uma valoração de L 0 é uma função w : L 0 {0,1} que atribui valor-verdade para as todas fórmulas bem formadas da linguagem e que satisfaz as seguintes condições w( α) = 1 w(α) w(α β) = min{w(α), w(β)} w(α β) = max{w(α), w(β)} w(α β) = max{1 w(α), w(β)} w(α β) = max { min{w(α), w(β)},min{1 w(α),1 w(β)} } Esse último pode ser escrito de modo mais simples usando valor absoluto como w(α β) = 1 w(α) w(β) Observemos que w( α) = 1 se, e só se, w(α) = 0, que w(α β) = 1 se, e só se, w(α) = w(β) = 1, que w(α β) = 0 se, e só se, w(α) = w(β) = 0, que w(α β) = 0 se, e só se, w(α) = 1 e w(β) = 0 e, finalmente, que w(α β) = 1 se, e só se, w(α) = w(β) Desse modo, os conectivos lógicos são interpretados como operadores lógicos da álgebra booleana O é interpretado como o operador E, o como OU, o como o NÃO e a implicação como o SE-ENTÃO e a bi-implicação é interpretada como SE E SOMENTE SE

10 21 Exemplo 9 Seja w uma valoração tal que w(p 1 ) = w(p 3 ) = 0 e w(p 2 ) = 1 Então, w((p 1 p 2 ) p 3 ) = max{1 w(p 1 p 2 ), w(p 3 )} = max{1 max{w(p 1 ), w(p 2 )}, w(p 3 )} = max{1 max{w(p 1 ), w(p 2 )}, w(p 3 )} = max{1 max{0,1},0} = max{0,0} = 0 Dizemos que w : L 0 {0,1} satisfaz, ou é um modelo de α ou, ainda, α é satisfazível ou verdadeira para w se, e somente se, w(α) = 1 e escrevemos w α Exercício 10 Tome uma valoração w tal que w(p 4 ) = w(p 2 ) = 1 e w(p 1 ) = w(p 3 ) = 0 Determine w(α) quando α é dada por (1) p 2 p 3 (2) p 2 p 3 (3) ( p 4 p 1 ) (4) p 4 p 1 (5) (p 4 p 1 ) (6) p 4 p 1 Exercício 11 Demonstre que para qualquer valoração w vale que w(p q) = w( p q) O valor-verdade de uma fórmula depende somente dos valores de suas subfórmulas atômicas Metateorema 12 Sejam v e w duas valorações de L 0 Se α L 0 é uma fórmula tal que v(p) = w(p) para toda fórmula atômica p Sf(α), então v(α) = w(α) Demonstração A demonstração é por indução (metateorema 3) e usa o teorema da leitura única, metateorema 6 Sejam v e w duas valorações de L 0 Seja α L 0 uma fórmula tal que v(p) = w(p) para toda subfórmula atômica p Sf(α) Se α é fórmula atômica então é imediato que v(α) = w(α) Suponha que α é β Por hipótese v(β) = w(β), logo 1 v(β) = 1 w(β), portanto v(α) = w(α) Suponha que α é β γ Por hipótese v(β) = w(β) e v(γ) = w(γ), então max{v(β), v(γ)} = max{w(β), w(γ)}, portanto v(α) = w(α) Suponha que α é β γ Por hipótese v(β) = w(β) e v(γ) = w(γ), então min{v(β), v(γ)} = min{w(β), w(γ)}, portanto v(α) = w(α) Os outros dois casos deixamos para que o leitor verifique

11 22 Pelo princípio de indução para fórmulas, para toda FBF α tal que v e w coincidem nas subfórmulas atômicas vale que v(α) = w(α) Uma interpretação de uma fórmula α é definida por uma atribuição de valor-verdade 0 ou 1 para cada uma das suas fórmulas atômicas Por exemplo, uma interpretação da fórmula p (q s) é dada por uma atribuição de valor-verdade 0 ou 1 para p, q e s, por exemplo 3 p 0, q 1, s 0 e, nesse caso, respeitando as condições de uma valoração, temos que a fórmula p (q s) assume o valor-verdade 1 Denotemos por V o conjunto dos símbolos proposicionais Uma interpretação é uma função v : V {0,1} Toda interpretação v pode ser estendida para uma única valoração ˆv : L 0 {0,1} ie, existe uma única ˆv valoração tal que v(p) = ˆv(p) para todo p V Corolário 121 (Extensão única de uma interpretação) Dada um interpretação v : V {0, 1}, existe uma única valoração w : L 0 {0,1} tal que w(p) = v(p) para toda fórmula atômica p V Demonstração Sejam u e w duas valorações que estendem v Suponha que {α L 0 : w(α) u(α)} Tome α nesse conjunto cujo grau seja mínimo dentre todas as fórmulas de desse conjunto Se α é atômica então w(α) = v(α) = u(α), por definição, portanto α ou é β ou é β γ Se α é β então temos grau(β) < grau(α) (exerc 6, pág 20), portanto w(β) = u(β) donde deduzimos que w(α) = 1 w(β) = 1 u(β) = u(α) Se α é β γ então temos grau(β), grau(γ) < grau(α) portanto w(β) = u(β) e w(γ) = u(γ) Assim, qualquer que seja {,,, } teremos w(α) = u(α) 411 Tautologia e contradição Dizemos que uma fórmula é uma tautologia (ou fórmula válida) se o valor-verdade da fórmula é sempre 1 em qualquer interpretação, ou seja, para toda valoração v, v α e nesse caso simplesmente escrevemos α Dos exemplos anteriores temos que p (q p), (p p) e ( p q) (p q) são tautologias Algumas das tautologias notáveis são dadas abaixo 3 p 0 significa que a p é atribuído o valor-verdade 0

12 23 Não contradição Terceiro excluído (α ( α)) α ( α) Algumas bi-implicações tautológicas notáveis são Dupla negação α ( α) Implicação (α β) ( α β) Bi-implicação (α β) ( (α β) (β α) ) Comutatividade (α β) (β α) Associatividade Distributividade Contrapositiva Negação da implicação Leis de De Morgan (α β) (β α) ((α β) γ) (α (β γ)) ((α β) γ) (α (β γ)) (α (β γ)) ((α β) (α γ)) (α (β γ)) ((α β) (α γ)) (α β) (( β) ( α)) (α β) (α ( β)) (α β) (( α) ( β)) (α β) (( α) ( β)) Algumas das implicações tautológicas Lei da adição α (α β) Lei da simplificação (α β) α Modus Ponens (α (α β)) β Modus Tollens (( β) (α β)) α Silogismo disjuntivo ((α β) α) β Silogismo hipotético ((α β) (β γ)) (α γ) Redução ao absurdo ((α ( β)) (γ ( γ))) (α β) Vamos verificar a dupla negação Seja v uma interpretação qualquer e temos ˆv( α) = 1 ˆv( α) = 1 (1 ˆv(α)) = ˆv(α), portanto ˆv(α α) = max { min{ ˆv(α), ˆv( α)},min{1 ˆv(α),1 ˆv( α)} } = max { ˆv(α),1 ˆv(α) } = 1

13 24 Agora, vamos verificar a não-contradição Seja v uma interpretação qualquer e temos ˆv( (α α)) = 1 ˆv(α α) = 1 min { ˆv(α), ˆv( α) } = 1 min { ˆv(α),1 ˆv(α) } = 1 0 = 1 Exercício 13 Calcule o valor-verdade das fórmulas tautológicas listadas acima Dizemos que uma fórmula é uma contradição se seu valor verdade for 0 em qualquer interpretação Certamente, as fórmulas (p p) e (p p) são contradições Também, a negação de uma tautologia é uma contradição Metateorema 14 α é uma tautologia se, e só se, α é uma contradição Demonstração Exercício 412 Simplificações de notação Usaremos o símbolo para expressar uma contradição qualquer, ou seja, esse símbolo representa uma fórmula que é 0 em qualquer interpretação e o usamos sempre que a fórmula propriamente dita for irrelevante para a situação em discurso Ademais abrevia 413 Tabela-verdade Do valor lógico de uma fórmula de L 0 numa valoração depender exclusivamente do valor de seus átomos podemos concluir que, para analisarmos os possíveis valoresverdade de uma fórmula de L 0, basta analisarmos todas as interpretações em um conjunto finito de fórmulas atômicas Isso garante um procedimento efetivo (ie, um algoritmo) que, dado uma fórmula α L 0, descobre o valor-verdade de α em toda interpretação possível Metateorema 15 Existe um algoritmo que, dado uma fórmula α L 0, decide se α é satisfazível Nessa seção descrevemos um procedimento efetivo para determinar o(s) valor(es) verdade de uma fórmula bem formada O metateorema da extensão única (corolário 12) garante um procedimento com um número finito de passos para estudar os possíveis valores-verdade de uma fórmula (1) O primeiro passo para montar a tabela-verdade de uma fórmula é destrinchá-la nas subfórmulas (2) Em seguida, montamos uma coluna para cada subfórmula, colocando as mais elementares à esquerda, e as mais complexas à direita, partindo das fórmulas atômicas até a fórmula toda

14 25 (3) Escrevemos uma linha para cada possível interpretação (valoração das fórmulas atômicas) e usamos as regras de valoração para completar a tabela Por exemplo p p p p atesta que p p é uma tautologia Exemplo 16 Tabelas-verdade para (1) (p p), (2) (p (q p)) e (3) p q (1) p p p p (p p) (2) p q q p p (q p) (p (q p)) (3) p q p p q Exemplo 17 Tabela-verdade para ( p 1 p 2 ) ( ( p3 ) (p 4 p 5 ) )

15 26 p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 ( p 3 ) (p 4 p 5 ) ( p1 p 2 ) ( ( p3 ) (p 4 p 5 ) ) Vimos que o valor lógico de uma fórmula de L 0 depende exclusivamente do valor de seus átomos e isso garante um procedimento efetivo que, dado uma fórmula α L 0, descobre o valorverdade de α em toda interpretação possível Na prática, a viabilidade desse método depende da quantidade de subfórmulas atômicas da fórmula pois o tamanho da tabela cresce exponencialmente nesse parâmetro Uma fórmula sobre n átomos tem uma tabela com 2 n linhas Uma fórmula com 10 átomos resulta numa tabela com 1024 linhas, certamente muito trabalhoso para um humano mas facilmente resolvido por um computador Entretanto, deve ficar claro que mesmo para um computador há um limite Se há 30 átomos, a tabela irá conter mais de um bilhão de combinações de valores Embora haja atalhos como, por exemplo, se se atribui o valor 0 para p pode-se atribuir o valor 0 para p q independentemente do valor atribuído ao q, o que reduz o número de cálculos a serem realizados, em tese, esses atalhos podem não ajudar Tais atalhos não mudam fundamentalmente a dificuldade do problema

16 27 Estamos na seguinte situação: dada uma fórmula α da lógica proposicional, queremos determinar se α é sempre verdadeira, ie, há interpretação para os símbolos proposicionais de α que a torna verdadeira Esse problema é conhecido na Teoria da Computação como o problema da satisfazibilidade de uma fórmula booleana e é chamado 012 Determinar via força-bruta se alguma interpretação satisfaz a fórmula toma tempo exponencial no número de átomos e não se sabe se é possível tomar algum atalho que seja efetivo para toda fórmula e que diminua consideravelmente a quantidade computação necessária para tomar a decisão correta Ainda, dada uma valoração podemos verificar rapidamente o valor-verdade da fórmula α Isso é uma característica da família de problemas computacionais ditos NP O problema 012 desempenha um papel fundamental na Teoria da Complexidade Computacional uma vez que podemos mostrar que a descoberta de um algoritmo eficiente para este problema implica em algoritmos eficientes para todos os problemas computacionais do tipo NP De fato, dentre os problemas NP, esse é um dos mais difíceis, num certo sentido muito preciso, ou seja, é um problema computacional NP-completo 42 Equivalência lógica Dizemos que as FBF α e β são logicamente (ou semanticamente) equivalentes se ˆv(α) = ˆv(β), para toda interpretação v e denotamos esse fato por α β Pelo exposto acima, α β é equivalente a α β Exemplo 18 São algumas equivalências semânticas notáveis obtidas das bi-implicações tautológicas notáveis da página 23 dupla negação α α implicação γ δ ( γ) δ bi-implicação γ δ (γ δ) (δ γ) comutatividade α β β α leis de De Morgan (γ δ) ( γ) ( δ) (γ δ) ( γ) ( δ) distributiva α (β γ) (α β) (α γ) contrapositiva (α β) (( β) ( α)) Exemplo 19 A sequência de equivalências abaixo estabelece (p ( p q)) (p q)

17 28 (p ( p q)) p ( p q)) por De Morgan p ( p q) por De Morgan p (p q) por dupla negação ( p p) ( p q) por distributiva ( p q) pela abreviação ( p q) pela conjunção (p q) por De Morgan 421 Conjunto adequado de conectivos Sejam α e β fórmulas tais que α β Seja γ uma fórmula tal que α Sb(γ) Troque uma ou mais das ocorrências de α por β em γ e denote por δ a fórmula assim obtida, então δ γ Por exemplo, em ((p 1 p 2 ) (( p 3 ) (p 1 p 2 ))) trocamos as ocorrências de p 1 p 2 por ( p 1 ) p 2 e obtemos ((( p 1 ) p 2 ) (( p 3 ) (( p 1 ) p 2 ))) Evidentemente ((p 1 p 2 ) (( p 3 ) (p 1 p 2 ))) ((( p 1 ) p 2 ) (( p 3 ) (( p 1 ) p 2 ))) Em vista das equivalências lógicas da implicação, γ δ ( γ) δ e da bi-implicação, γ δ (γ δ) (δ γ), que por sua vez pode ser escrita como γ δ ( γ δ) ( δ γ), é possível demonstrar o seguinte resultado Metateorema 20 Para qualquer formula α de L 0 existe uma fórmula α α tal que (1) α e α têm os mesmos símbolos atômicos (2) em α não ocorrem e Demonstração A prova é por indução Se α é fórmula atômica então o enunciado fica automaticamente satisfeito pelo próprio α Se α é β, por hipótese existe β β que satisfaz o enunciado, portanto, β é equivalente a α, tem os mesmos átomos, e não não ocorrem e Se α é β δ ou se α é β δ, a mesma estratégia vale e a demonstração é deixada como exercício Se α é β δ Por hipótese, existem β β e δ δ tal que β δ β δ e β δ tem os mesmos átomos de β δ Então α ( β ) δ e essa última tem os mesmos átomos de α e não tem ocorrência de e Se α é β δ então consideramos β e δ como no parágrafo anterior e temos que β δ ( β δ ) ( δ β ) e essa última fórmula tem os mesmos átomos de α e não tem ocorrência de e Pelo princípio de indução para fórmulas o enunciado vale para todo α L 0

18 29 43 Exercícios (14) Construa a tabela-verdade das fórmulas e verifique se cada uma é tautologia, contradição ou contingência (isto é, nem tautologia nem contradição) (a) p ( (p q)) (b) p ( (p q)) (c) (r q) ((p q) (p q)) (d) ((p q) (q r )) (p r ) (e) (p (q r )) (( q r ) p) (f) p (q (p ( q r ))) (g) ((p q) (q r )) (p r ) (15) Determine o grau de complexidade das fórmulas do exercício anterior (16) Mostre que as fórmulas abaixo são tautologias sem construir uma tabela-verdade, use ou uma cadeia de equivalências como no exemplo 19 ou calcule diretamente da definição o valor-verdade para uma interpretação arbitrária como no exemplo da dupla-negação na página 24 (a) ( p) p (b) (p q) ( p q) (c) (p q) ( p q) (d) (p q) (p q) (e) (p q) (p q) ( p q) (17) Para cada fórmula a seguir, escreva uma fórmula que seja logicamente equivalente à negação da fórmula mas que só ocorra símbolos atômicos negados O exercício anterior pode ser útil (a) (p q) r (b) p (p q) (c) p (q r ) (d) p (q (r s)) (e) p (q r ) (f) p (q r ) (g) (p q) (r s) (h) p (q r ) (i) (p q) (r s) (18) Escreva a negação das seguintes sentenças da língua portuguesa (a) Se a canoa não virar então eu chego lá (b) Se eu fizer faculdade, eu vou cursar Matemática ou Física (c) Se chover ou fizer frio, eu vou ficar em casa ou vou para o cinema (d) Se eu estudar física, eu não vou estudar história, a menos que eu também estude português (e) Eu não ouço Beethoven quando leio Kafka, a menos que esteja chovendo e eu esteja deprimido (19) Se ( (φ τ) (φ τ) ) é uma tautologia então o que pode ser dito a respeito do valorverdade de φ? (20) Determine se é verdadeiro ou falso (e justifique):

19 30 (a) (p q) ( q) p (b) (p q) ((p q) (s s)) (c) (p q) ((p q) p) (d) (p q) ((p q) q) (21) Verifique a equivalência α 1 α 2 α n α 1 α 2 α n 1 α n para todo natural n 1 (22) O conectivo lógico c é definível a partir dos conectivos c 1,c 2,,c k se a fórmula p c q é semanticamente equivalente a uma fórmula escrita com os conectivos c 1,c 2,,c k e só envolve os átomos proposicionais p e q Por exemplo, os conectivos, e são definíveis a partir de e pois (a) p q ( p q) (b) p q (p q) (c) p q (p q) (q p) (a) Mostre que os conectivos, e são definíveis a partir de e (b) Mostre que os conectivos, e são definíveis a partir de e (c) Mostre que os conectivos, e são definíveis a partir de e (23) O 3435, denotado por, é um conectivo lógico com a seguinte interpretação: p q p q Mostre que todos os outros conectivos (,,,, ) são definíveis a partir do ARGUMENTOS VÁLIDOS Começamos essa seção com o seguinte exemplo ao qual nos referimos por Exemplo Consideremos as seguintes sentenças atômicas p: O time joga bem q: O time ganha o campeonato r : O técnico é o culpado s: Os torcedores estão felizes com as quais formamos as seguintes sentenças compostas p q: Se o time joga bem, então o time ganha o campeonato }{{}}{{} p q

20 31 p r : Se o time não joga bem, então o técnico é o culpado }{{}}{{} p r q s: Se o time ganha o campeonato então os }{{}} torcedores {{ estão felizes } q s s: Os torcedores não estão felizes Como são 4 símbolos atômicos, a quantidade de interpretações possíveis é 2 4 = 16 e todas essas interpretações com as respectivas valorações são dadas a seguir p q r s p q p r q s s donde extraímos a única interpretação que satisfaz as sentenças compostas p q r s p q p r q s s Se supomos que valem as premissas Se o time joga bem então o time ganha o campeonato Se o time não joga bem então o técnico é o culpado Se o time ganha o campeonato então os torcedores estão felizes Os torcedores não estão felizes

21 32 então uma conclusão lógica é que o técnico é culpado Isso porque todas as interpretações que fazem as premissas verdadeiras tornam o técnico é culpado uma sentença verdadeira Com as premissas Se o time joga bem então o time ganha o campeonato Se o time ganha o campeonato então os torcedores estão felizes Os torcedores não estão felizes temos a seguinte parte relevante da tabela-verdade p q s p q q s s donde concluímos p, ou seja, o time não joga bem Note que não podemos concluir nem que o time ganhou o campeonato (q) nem que o time não ganhou o campeonato ( q) pois as duas situações são possíveis Por outro lado, se supomos que valem as premissas Se o time joga bem então o time ganha o campeonato Se o time não joga bem então o técnico é o culpado Se o time ganha o campeonato então os torcedores estão felizes então não podemos concluir nenhuma das sentenças atômicas, nem suas negações, pois nas interpretações que tornam as premissas verdadeiras não há um único valor lógico para sentenças atômicas como mostra o seguinte extrato da tabela-verdade p q r s p q p r q s Consequência lógica Usamos letras gregas maiúsculas Γ, Λ, Σ, Ψ, Δ, Ω, Θ, Π, Φ para denotar conjunto de fórmulas tomadas de L 0

22 33 Uma valoração v satisfaz o conjunto Γ se satisfaz cada fórmula do conjunto, isto é, w(α) = 1 para todo α Γ e, se esse é o caso, dizemos que Γ é satisfazível, que w satisfaz ou é um modelo para Γ e denotamos tal fato por w Γ Uma fórmula α é consequência lógica (ou consequência semântica) das fórmulas de Γ, fato denotado por Γ α se, e só se, toda valoração w que satisfaz Γ também satisfaz α Usamos a notação Γ para expressar que Γ não é satisfazível No caso do exemplo temos que {p q, p r, q s, s} r Além disso, uma valoração que satisfaz o conjunto Γ = {p q, p r, q s, s} também satisfaz Σ = { p, q,r, s} Exemplo 21 Temos que {(p q) r } p r pois 1 max{v(p), v(q)} 1 v(p) logo ˆv((p q) r ) = max { 1 max{v(p), v(q)}, v(r ) } max { 1 v(p), v(r ) } = ˆv(p r ) de modo que se ˆv((p q) r ) = 1 então ˆv(p r ) = 1 Exemplo 22 Temos que como {(p q) r } p r pois se v(p) = 1 e v(q) = v(r ) = 0 então ˆv((p q) r ) = 1 mas ˆv(p r ) = Simplificações de notação Ao invés de {α} β escrevemos α β Ao invés de {α 1,,α n } β escrevemos α 1,,α n β Ao invés de Γ {α} β escrevemos Γ,α β Metateorema 23 A consequência semântica tem as seguintes propriedades (1) α β se, e só se, α β (2) Γ,α β se, e só se, Γ α β (3) {α 1,α 2,α n } β se, e só se, (α 1 α 2 α n ) β Demonstração (1) Suponhamos α β Seja w uma interpretação Se ŵ(α) = 0 então ŵ(α β) = 1 por definição Se ŵ(α) = 1 então ŵ(β) = 1, pois assumimos α β, portanto, ŵ(α β) = 1 Logo a implicação α β é uma tautologia, isto é, α β

23 34 Agora, assumamos α β e seja w uma interpretação Se ŵ satisfaz α então ŵ(β) = 1, pois α β é tautologia, portanto α β A prova de (2) é análoga a prova de (1) e é deixada como exercício (3) Suponha que {α 1,α 2,α n } β e seja w uma interpretação Se ŵ(α 1 α 2 α n ) = 0 então ŵ((α 1 α 2 α n ) β) = 1 por definição Se ŵ(α 1 α 2 α n ) = 1 então ŵ(β) = 1 por hipótese, portanto, ŵ((α 1 α 2 α n ) β) = 1 Logo (α 1 α 2 α n ) β é tautologia Por outro lado, se (α 1 α 2 α n ) β é tautologia e w é uma interpretação tal que ŵ(α 1 α 2 α n ) = 1, então, ŵ(β) = 1 Exercício 24 Sejam α 1,,α n e β fórmulas Mostre um algoritmo que decide se β é consequência lógica de {α 1,,α n } Em particular, a partir da propriedade (2) do metateorema 23 e das tautologias notáveis (página 23) temos, por exemplo, Modus Ponens α,(α β) β Modus Tollens ( β),α β α Silogismo disjuntivo α β, α β Silogismo hipotético α β,β γ α γ Ademais, podemos novas deduzir tautologias de consequências lógicas (i) de α,β α β temos α (β (α β)), (ii) de α β,α γ,β γ γ temos (α γ) ((β γ) (α β γ)) usando (2) e temos ((α γ) (β γ)) (α β γ) usando (2) e, em seguida, usando (3), e vice versa, deduzir consequências lógicas de tautologias, por exemplo, (iii) de (α (α β)) β temos α,(α β) β, (iv) de ((α γ) (β γ)) (α β γ) temos (α γ),(β γ) (α β γ) 512 Argumentos Um argumento é uma sequência de fórmulas α 1,α 2,,α n β e ele é válido se, e só se, α 1,α 2,,α n β caso contrário é inválido São argumentos válidos Modus Ponens, Modus Tollens, Silogismo disjuntivo e o Silogismo hipotético, descritos logo acima O argumento (p q), p q é inválido pois se v(p) = v(q) = 0 então ˆv( (p q)) = ˆv( q) = 1 enquanto que ˆv(q) = 0

24 35 52 Exemplos de argumentos em linguagem natural Abaixo damos alguns exemplos de formalização de sentenças da linguagem natural Os problemas de lógica conhecidos das revistas de passatempo (veja aqui) podem ser formalizados e resolvidos na lógica proposicional Exemplo 25 Sócrates diz: Se eu sou culpado, eu devo ser punido Eu sou culpado Logo eu devo ser punido Esse argumento é logicamente correto pois se o formalizamos com p : q : eu sou culpado eu devo ser punido então (p q) q q (Modus Ponens) Exemplo 26 Sócrates diz: Se eu sou culpado, eu devo ser punido Eu não sou culpado Logo eu não devo ser punido Esse argumento é não é logicamente correto pois (p q) q q, basta tomar v com v(p) = 0 e v(q) = 1 Exemplo 27 Aladdin encontra dois baús A e B em uma caverna Ele sabe que cada um deles contém, exclusivamente, ou um tesouro ou uma armadilha fatal No baú A está escrito: Pelo menos um desses dois baús contém um tesouro No baú B está escrito: No baú A há uma armadilha fatal Aladdin sabe que ambas as inscrições são verdadeiras, ou ambas são falsas É possível Aladdin escolher um baú com a certeza de que ele vai encontrar um tesouro? Se este for o caso, qual baú ele deve abrir? Seja a : o baú A contém o tesouro e b : o baú B contém o tesouro Observemos que a : o baú A contém a armadilha e b : o baú B contém a armadilha A inscrição no baú A é a b e no baú B é a Ademais, ˆv(a b a) = 1 a b a b a portanto v(a) = 0 e v(b) = 1, ou seja, Aladdin deve abrir o baú B Exemplo 28 Três caixas são apresentadas a você Uma contém ouro, as outras duas estão vazias Cada caixa tem estampada nela uma pista sobre o seu conteúdo; as pistas são: CAIXA 1: O ouro não está aqui CAIXA 2: O ouro não está aqui CAIXA 3: O ouro está na caixa 2 Apenas uma mensagem é verdadeira, as outras são falsas Qual caixa tem o ouro?

25 36 Seja ø i o átomo proposicional que representa a caixa i tem ouro para cada i = 1,2,3 Uma caixa tem ouro e as outras estão vazias é formalizado por (ø 1 ø 2 ø 3 ) ( ø 1 ø 2 ø 3 ) ( ø 1 ø 2 ø 3 ) (1) e uma pista é verdadeira as outras duas são falsas por ( ø 1 ø 2 ø 2 ) ( ø 1 ø 2 ø 2 ) ( ø 1 ø 2 ø 2 ) (ø 1 ø 2 ) (ø 1 ø 2 ) (2) da tabela-verdade ø 1 ø 2 ø 3 (1) (2) deduzimos que a única interpretação que satisfaz (1) e (2) é v(ø 1 ) = 1 e v(ø 2 ) = v(ø 3 ) = 0 53 Compacidade (leitura opcional) Vimos no metateorema 23, item (3), que se Γ é finito então Γ α é equivalente a decidir uma tautologia No caso infinito veremos que se Γ α então existe Δ Γ finito tal que Δ α Esse resultado é conhecido como teorema de compacidade Os seguintes resultados são equivalentes Metateorema 29 (Teorema da compacidade, versão I) Um conjunto de fórmulas é satisfazível se, e somente se, todo subconjunto finito é satisfazível Metateorema 30 (Teorema da compacidade, versão II) Se Γ α então existe Δ Γ finito tal que Δ α A parte difícil de demonstrar na versão I é a afirmação um conjunto de fórmulas é satisfazível sempre que todo subconjunto finito é satisfazível A recíproca é imediata, isto é, se um conjunto é satisfazível então, imediatamente, seus subconjuntos finitos são satisfazíveis Para provar que a versão II segue da versão I acima usamos a seguinte afirmação deixada como exercício para o leitor Exercício 31 Γ α se, e somente se, Γ { α} não é satisfazível

26 37 Solução: Assuma Γ α Se v Γ { α} então v Γ e v α De v Γ e Γ α temos v α Portanto Γ α e Γ α, um absurdo Agora, assuma que Γ { α} não é satisfazível Se v Γ então ˆv( α) = 0, portanto, v α Vamos chamar Γ de finitamente satisfazível ou, ter satisfazibilidade finita, se todo subconjunto finito de Γ for satisfazível Exercício 32 Se Γ é um subconjunto de fórmulas finitamente satisfazível e α uma fórmula, então Γ {α} ou Γ { α} é finitamente satisfazível Solução: Seja Γ finitamente satisfazível Podemos supor α, α Γ Suponha Γ {α} e Γ { α} não finitamente satisfazíveis Existem Δ 0,Δ 1 Γ finitos tais que Δ 0 {α} e Δ 1 { α} não são satisfazíveis Δ 0 Δ 1 é subconjunto finito de Γ logo existe uma interpretação v tal que v Δ 0 Δ 1 Se ˆv(α) = 1 então Δ 0 {α} é satisfazível e temos uma contradição Senão ˆv( α) = 1, logo Δ 1 { α} é satisfazível e temos uma contradição novamente Demonstração do teorema 29 Suponha que Γ seja um conjunto finitamente satisfazível Seja θ 1,θ 2, uma enumeração das fórmulas de L 0 (pense por quê isso pode ser feito, não justificaremos precisamente esse fato) Vamos construir um conjunto Δ finitamente satisfazível e que contém Γ Definimos a sequência de conjuntos de fórmulas L 0 = Γ e L i {θ i+1 } se esse conjunto é finitamente satisfazível, L i+1 = L i { θ i+1 } caso contrário Dessa forma cada L n é finitamente satisfazível (verifique) Tomemos Δ = i 0 L i Pela construção temos Γ Δ e para toda fórmula α temos α Δ ou α Δ Além disso, Δ é finitamente satisfazível pois todo subconjunto finito de Δ é um subconjunto finito de L n para algum n 0 Agora, para quaisquer fórmulas α e β (i) α Δ ou α Δ, mas não ambas Caso contrário teríamos {α, α} Δ satisfazível pela satisfazibilidade finita (ii) α β Δ se, e só se, α Δ ou β Δ Se α β Δ e α,β Δ, teríamos α, β Δ e {α β, α, β} Δ satisfazível, uma contradição Portanto α Δ ou β Δ Por outro lado, se α Δ ou β Δ e α β Δ teríamos {α, (α β)} Δ satisfazível ou {β, (α β)} Δ satisfazível, ambas são contradições

27 38 (iii) α β Δ se, e só se, α Δ e β Δ Se α β Δ e α Δ, então {α β, α} Δ é satisfazível, uma contradição Analogamente, se α β Δ e β Δ, derivamos uma contradição Portanto α,β Δ Por outro lado, se α,β Δ e α β Δ então {α,β, (α β)} Δ portanto é satisfazível, uma contradição (iv) α β Δ se, e só se, α Δ ou β Δ Se α β Δ e α,β Δ, teríamos α, β Δ e {α β,α, β} Δ satisfazível, uma contradição Portanto α Δ ou β Δ Por outro lado, se α Δ ou β Δ e α β Δ teríamos { α, (α β)} Δ satisfazível ou {β, (α β)} Δ satisfazível, ambas são contradições (v) α β Δ se, e só se, {α,β} Δ ou { α, β} Δ Suponha α β Δ e {α,β} Δ e { α, β} Δ Se {α,β} Δ e { α, β} Δ, então α Δ e β Δ ou α Δ e β Δ Se α β Δ e α Δ e β Δ, então {α β,α, β} Δ, portanto é satisfazível, uma contradição Se α β Δ e α Δ e β Δ também implica em contradição, a saber {α β, α,β} satisfazível Portanto {α,β} Δ ou { α, β} Δ Agora suponha {α,β} Δ, se (α β) Δ então (α β) Δ, mas (α β) (( α β) (α β)), ou seja, teríamos {α, β,( α β) (α β) satisfazível, uma contradição Se { α, β} Δ e (α β) Δ então teríamos { α, β,( α β) (α β) satisfazível, uma contradição Agora, usaremos as propriedades (i) (v) para mostrar uma interpretação que satisfaz Δ, portanto satisfaz Γ também Seja v uma interpretação tal que para todo p i V temos v(p i ) = 1 se e só se p i Δ Para toda γ L 0 vale a afirmação ˆv(δ) = 1 se, e só se, δ Δ De fato, se δ é atômica a afirmação acima vale por definição Se δ é α e a afirmação vale para α, então ˆv(δ) = 1 se, e só se, ˆv(α) = 0, se e só se, α Δ se, e só se, α Δ Se δ é α β e a afirmação vale para α e para β ˆv(δ) = 1 se, e só se, ˆv(α) = 1 ou ˆv(β) = 1, se e só se, α Δ ou β Δ se, e só se, α β Δ Se δ é α β e a afirmação vale para α e para β ˆv(δ) = 1 se, e só se, ˆv(α) = 1 e ˆv(β) = 1, se e só se, α Δ e β Δ se, e só se, α β Δ Se δ é α β e a afirmação vale para α e para β ˆv(δ) = 1 se, e só se, ˆv( α) = 1 ou ˆv(β) = 1, se e só se, α Δ ou β Δ se, e só se, α β Δ

28 39 Se δ é α β e a afirmação vale para α e para β ˆv(δ) = 1 se, e só se, ˆv(α) = ˆv(β) = 1 ou ˆv(α) = ˆv(β) = 0, se e só se, α,β Δ ou α, β Δ se, e só se, α β Δ Demonstração da equivalência das versões I e II Começamos com a demonstração da versão II, usando a versão I Suponha que Γ α Então Γ { α} não é satisfazível, pelo exercício anterior Pelo teorema da compacidade versão I, existe Δ 0 Γ { α} finito e não satisfazível, portanto Δ 0 { α} não é satisfazível, logo, pelo exercício acima Δ 0 α Agora, suponha a versão II do teorema da compacidade e vamos mostrar que satisfazibilidade finita implica satisfazibilidade Suponha Γ finitamente satisfazível e não satisfazível Se Γ não é satisfazível então Γ α α Pela versão II existe Δ Γ finito tal que Δ α α, logo Δ não é satisfazível, contradizendo a satisfazibilidade finita de Γ 531 Uma aplicação em Teoria dos Grafos Um grafo é um par de conjuntos (V,E) tal que todo elemento de E é formado por dois elementos distintos de V Os elementos de V são chamados de vértice e os elementos de E são chamados de aresta Um subgrafo desse grafo é uma grafo (X,F ) tal que X V e F F Um grafo é finito se o conjunto de vértices é finito FIGURA 2 Representação de um grafo finito Dados k cores, um grafo G é k-colorível se os vértices de G podem ser pintados com as k cores sem que vértices que formam uma aresta tenham a mesma cor Segue do teorema de compacidade que se todo subgrafo finito de um grafo (N,E) é k-colorível então (N,E) é k-colorível Consideremos a proposição p i,c j que é interpretada como o vértice i tem a cor c j e o conjunto Γ das fórmulas (1) p i,c1 p i,c2 p i,ck para todo i N (interpretada como o vértice i tem alguma cor ); (2) (p i,c j p i,cl ) para todos 1 j < l k e i N (interpretada como o vértice i tem no máximo uma cor ); (3) (p i,cl p j,cl ) para todo 1 l k e toda aresta {i, j } do grafo (interpretado como os vértices adjacentes i e j não têm a mesma cor )

29 40 O conjunto Γ é satisfazível se, e só se, o grafo (N,E) é k-colorível (verifique) Por hipótese, todo subgrafo finito de (N, E) admite uma k-coloração Segue-se que todos os subconjuntos finitos de Γ são satisfazíveis Pelo teorema da compacidade Γ é satisfazível e, portanto, (N, E) é k-colorível 532 Outra aplicação em Teoria dos Grafos Considere agora um grafo bipartido (H M,E) com as classes de vértices H e M disjuntas FIGURA 3 Representação de um grafo bipartido Esse grafo modela um conjunto de rapazes H e um conjunto de garotas M e cada aresta associa uma pretendente a um rapaz O problema do casamento é o problema de casar cada um dos rapazes de H O caso finito tem uma caracterização: é possível casar todos os rapazes se, e só se, para cada subconjunto S H o conjunto de pretendentes associado a eles P M satisfaz P M ; e o famoso Teorema de Hall e essa desigualdade é a condição de Hall Suponha, agora, que H = {h 1,h 2,}, M = {m 1,m 2,} e m i1,m i2,m ini a relação de pretendentes de h i H (ie, cada rapaz tem um número finito de pretendentes) Vamos supor que vale a condição de Hall, ie, qualquer grupo de k rapazes tem pelo menos k pretendentes, para todo inteiro positivo k Vamos mostrar que é possível casar os rapazes Consideremos as proposições p i,j para i, j 1, cuja intenção é modelar a sentença o rapaz i casa com a garota j Seja Γ o conjunto das (1) p i,i1 p i,i2 p i,ini (interpretada como o rapaz i casa com alguma pretendente ); (2) (p i,i j p i,ik ) para todo i e todos j,k {1,,n i } com j k (interpretada como o rapaz i é monogâmico ); (3) (p i,l p j,l ) para todo l N e para todo i, j N com i j e {i,l} e {j,l} arestas (interpretado como a garota j é monogâmica ) Pelo teorema de Hall Γ é finitamente satisfazível, portanto, Γ é satisfazível Se v Γ temos que as arestas {h i,m ik } se, e só se, v(p i,ik ) = 1 é uma solução para o problema do casamento 54 Exercícios (24) Sejam w uma interpretação para L 0 e {γ 1,γ 2,,γ n } um subconjunto de fórmulas de L 0

30 41 (a) Se w {γ 1,γ 2,,γ n } então w γ 1 γ 2 γ n? (b) Se w γ 1 γ 2 γ n então w {γ 1,γ 2,,γ n }? (25) Verifique as consequências e não-consequências semânticas abaixo (a) α,α β β (b) α,β α β (c) α,β α β (d) α,β α β (e) α 1,α 2,,α n α 1 α 2 α n (f) α β α β (g) α β α β (h) α β,β γ α γ? (26) Prove que: (i) α α; (ii) se α β então β α; (iii) se α β e β γ então α γ (27) Determine se é verdadeiro ou falso (e justifique): (a) (p ( p)) p (b) p q p (c) {p q, p} q (d) p p q (e) {p q, q r } p r (f) {p q, q}) p (g) {p q, p r } p (q r ) (28) Dê um exemplo de fórmulas φ 1 e φ 2 tais que φ 1 φ 2 mas que φ 2 φ 1 (29) Responda com justificativa: (a) Se Γ φ e Γ τ então Γ φ τ? (b) Se Γ φ τ então Γ φ e Γ τ? (c) Se Γ φ e Γ τ então Γ φ τ? (d) Se Γ φ τ então Γ φ e Γ τ? (e) Se Γ φ τ e Γ φ então Γ τ? (f) Se Γ φ τ então Γ (γ φ) (γ τ)? (30) Use o item (2) do metateorema 23 para justificar a tautologia p q p Faça o mesmo para (p q r ) (p q) (p r ) e para (p q) (q r ) (p r ) (atenção com a regra de omissão de parênteses) (31) Quais argumentos abaixo são logicamente corretos? Justifique (a) Se eu sou culpado, eu devo ser punido Eu devo ser punido Logo eu sou culpado (b) Se Carlos ganhou a competição, então Mario ficou em segundo lugar ou Sérgio ficou em terceiro lugar Sérgio não ficou em terceiro lugar Logo, se Mario não chegou em segundo lugar, então Carlos não ganhou a competição (c) Se Carlo ganhou a competição, então Mario ficou em segundo lugar ou Sérgio ficou em terceiro lugar Mario não ficou em segundo lugar Logo, se Carlos ganhou a competição então Sérgio não ficou em terceiro lugar " (32) Formalizar o quebra-cabeça abaixo em Lógica Proposicional e encontrar a solução usando uma tabela-verdade:

31 42 (A) Suponha que sabemos que: (1) Se Paulo é magro, então Carlo não é loiro ou Roberta não é alta (2) Se Roberta é alta, então Sandra é adorável (3) Se Sandra adorável e Carlo é loiro, então Paulo é magro (4) Carlo é loiro Podemos deduzir que Roberta não é alta? (B) Você está andando em um labirinto e de repente se depara com três caminhos possíveis: o caminho à sua esquerda é por uma via pavimentada com ouro, o caminho em frente é pavimentado com mármore, o caminho à direita é por uma via feita de pequenas pedras Cada caminho é protegido por um guardião Você conversa com os guardiões e isso é o que eles dizem: O guardião da via de ouro: Esta via irá levá-lo direto para o centro Além disso, se as pedras levá-lo para o centro, em seguida, também o mármore leva-o para o centro O guardião da via de mármore: Nem a via de ouro nem a de pedras leva-o para o centro O guardião da rua de pedra: Siga a via de ouro e você vai chegar ao centro, siga a de mármore e você estará perdido Dado que você sabe que todos os guardiões são mentirosos, é possível escolher um caminho com a certeza de que ele vai levar você para o centro do labirinto? Se esse é o caso, o caminho que você escolher? (C) Huguinho, Zezinho e Luizinho se encontram presos em um calabouço escuro e frio (como eles chegaram lá é outra história) Depois de uma rápida pesquisa os meninos encontram três portas, a primeira vermelha, a segunda azul, e a terceira verde Atrás de uma das portas há um caminho para a liberdade Atrás das outras duas portas, no entanto, há um maldoso dragão que cospe fogo Abrindo uma porta do dragão a morte é certa Em cada porta há uma inscrição: Na porta vermelha: A liberdade está atrás desta porta Na porta azul: A liberdade não está atrás desta porta Na porta verde: A liberdade não está atrás da porta azul Os meninos sabem que pelo menos uma das três inscrições é verdadeira e pelo menos uma é falsa, qual porta levaria os meninos para a liberdade (33) (Enderton) Você está em uma terra habitada por pessoas que sempre dizem a verdade ou sempre falam falsidades Você chega numa bifurcação na estrada e você precisa saber qual das dois caminhos leva à capital Há um nativo nas proximidades, mas ele tem tempo apenas para responder a uma pergunta sim-ou-não O que você pergunta para ele a fim de saber por qual estrada seguir? (34) Há três suspeitos de assassinato: Adams, Brown e Clark Adams diz: Eu não fiz isso A vítima era um velho conhecido de Brown Mas Clark odiava Brown afirma que eu não

32 43 fiz isso Eu não conhecia o cara Além disso, eu estava fora da cidade tudo a semana Clark diz: Eu não fiz isso Eu vi ambos Adams e Brown no cidade com a vítima naquele dia; um deles deve ter feito isso Suponha que os dois homens inocentes estão falando a verdade, mas que o homem culpado pode não estar falando a verdade Escreva os fatos como sentenças na Lógica Proposicional resolva o crime (35) Considere as seguintes sentenças: Eu só estudo matemática à noite ou em dias chuvosos O cachorro só late em dias ensolarados ou em noite de lua cheia O cachorro nunca late quando o gato mia O gato mia a noite toda Minha irmã sempre toca piano quando o cachorro não late A partir dessas premissas, diga se cada uma das conclusões abaixo é um argumento válido ou uma falácia (argumento não válido) Justifique (a) Eu nunca estudo matemática em noite de lua cheia (b) Eu estudo matemática sempre que minha irmã toca piano (c) Minha irmã toca piano sempre que eu estudo matemática (36) Brown, Jones e Smith são suspeitos de um crime Eles testemunham do seguinte modo: Brown: Jones é culpado e Smith é inocente Jones: Se Brown é culpado então também é Smith Smith: Eu sou inocente, mas pelo menos um dos outros é culpado Sejam B, J e S as declarações Brown é culpado, Jones é culpado e "Smith é culpado, respectivamente (a) Expresse o testemunho de cada suspeito como uma fórmula proposicional (b) Faça uma tabela de verdade para os três testemunhos (c) Use a tabela a verdade acima de responder às seguintes perguntas: (i) Existe uma valoração que satisfaz, concomitantemente, os três testemunhos? (ii) O testemunho de um dos suspeitos segue (é consequência lógica) da de outro Qual a partir do qual? (iii) Supondo que todo mundo é inocente, quem cometeu perjúrio? (iv) Supondo que todos os testemunhos são verdadeiros, quem é inocente e quem é culpado? (v) Supondo que o inocente disse a verdade e os culpados disseram mentiras, quem é inocente e quem é culpado? (37) Determine quem é culpado de doping Os suspeitos são: Silvia Danekova, Michael O Reilly, Kleber Ramos, Adrian Zielinski, Chen Xinyi (a) Silvia disse: Michael ou Kleber tomaram drogas, mas não os dois (b) Michael disse: Adrian ou Silvia tomaram drogas, mas não os dois (c) Kleber disse: Xinyi ou Michael tomaram drogas, mas não os dois (d) Adrian disse: Kleber ou Xinyi tomaram drogas, mas não os dois

33 44 (e) Xinyi disse: Kleber ou Adrian tomaram drogas, mas não os dois (f) Tom disse: se Adrian tomasse drogas, então Kleber tomou drogas Das 5 primeira declarações, 4 são verdadeiras e uma é falsa A última declaração é verdadeira 6 SISTEMA DEDUTIVO PARA A LÓGICA PROPOSICIONAL São conhecidos alguns sistemas dedutivos para a linguagem proposicional: Sistemas de Hilbert (ou sistema axiomático à Hilbert), Dedução Natural, Tableaux, Cálculo de sequentes de Gentzen, por exemplo Eles são equivalentes no sentido de deduzirem as mesmas proposições Cada um deles foi proposto com um propósito, por exemplo, a dedução natural pretende modelar o modo como deduzimos usando raciocínio lógico, o sistema de Gentzen mecaniza mais o processo e é o predileto em teoria da prova Apresentaremos um sistema axiomático do tipo Sistema de Hilbert para a lógica proposicional Ele contém um conjunto (finito) de axiomas e uma única regra de inferência; provas são construídos como uma sequência de fórmulas, cada um dos quais é ou um axioma (ou uma fórmula que tenha sido anteriormente provada) ou uma derivação de uma fórmula de fórmulas anteriores na sequência usando a regra de inferência As deduções nesse tipo de sistema são mais difíceis porém facilita-se o estudo das propriedades (metateoremas) do sistema dedutivo, que é o nosso principal objetivo agora 61 A linguagem revisitada O alfabeto é formados por Símbolos proposicionais atômicos p 1 p 2 p 3 Conectivos lógicos Símbolos de pontuação ( ) Uma FBF é qualquer expressão que pode ser formada aplicando-se as regras: (F1) os símbolos atômicos são FBF, chamadas fórmulas atômicas; (F2) se α é FBF, então ( α) é FBF; (F3) se α e β são FBFs, então (α β) é FBF; (F4) não há outras FBFs além das obtidas pelo uso das regras (F1), (F2) e (F3) um número finito de vezes 611 Simplificações e Abreviaturas No uso dos símbolos admitimos algumas simplificações na escrita, como já fizemos logo acima

34 45 Fórmulas Conjuntos de fórmulas Símbolos proposicionais atômicos α,β,γ, Σ,Γ,Θ, p, q, r, s Para resultados teóricos (metamatemáticos) é vantajoso possuirmos o mínimo possível de símbolos, para isso tratamos o alguns símbolos como abreviaturas símbolo lê-se uso conjunção (α β) abrevia ( (α ( β))) disjunção (α β) abrevia (( α) β) biimplica (α β) abrevia ((α β) (β α)) falsum abrevia (α ( α)) verum abrevia ( ) Ademais, representamos os conectivos lógicos,, e genericamente, por e usaremos índices caso se faça necessário Com essas abreviações, o uso de uma linguagem formal com somente o conectivo implica não prejudica a generalidade do sistema formal da lógica proposicional proposta nesta seção Finalmente, mantemos as mesmas regras estudadas na seção Dedução Sejam α L 0 e Γ L 0 Uma prova de α a partir de Γ é uma sequência finita de fórmulas ϕ 1,ϕ 2,,ϕ n tal que ϕ n = α e, para i < n, ϕ i é (1) ou um axioma (2) ou uma fórmula de Γ (3) ou uma fórmula obtida de ϕ 1,ϕ 2,,ϕ i 1 por regra de inferência Nesse caso dizemos que Γ prova α, ou α é deduzível de Γ e usamos a notação Γ α As vezes, também dizemos que α é consequência sintática de Γ Chamamos Γ de antecedentes ou hipóteses iniciais e α de consequente ou conclusão Se α é consequência sintática dos axiomas escrevemos α e nesse caso dizemos que α é um teorema lógico Em particular, se α é um axioma, então também é um teorema lógico

35 Simplificações de notação Ao invés de {α} β escrevemos α β Ao invés de {α 1,,α n } β escrevemos α 1,,α n β Ao invés de Γ {α} β escrevemos Γ,α β 63 Axiomas e regra de inferência No que segue, chamaremos de axioma e de teorema uma fórmula como as seguintes α (β α) (3) α α (4) o que, a rigor, não são São esquemas de axiomas e esquemas de teoremas, pois usam variáveis da metalinguagem Os axiomas são obtidos quando substituímos tais variáveis por fórmulas nas quais figuram apenas símbolos do alfabeto, sendo que todas as ocorrências da mesma variável correspondem a mesma fórmula da linguagem Exemplo 33 A FBF ((p 1 p 2 ) p 3 ) ( (p 2 p 3 ) ((p 1 p 2 ) p 3 )) é uma das fórmulas do esquema (3), isto é, é um dos axiomas ((p 1 p 2 ) p 3 ) ( (p 2 p 3 ) ((p 1 p 2 ) p 3 )) }{{}}{{}}{{} α β α e ((p 1 p 2 ) p 3 ) ((p 1 p 2 ) p 3 ) é uma fórmula do esquema (4) ((p 1 p 2 ) p 3 ) ((p 1 p 2 ) p 3 ) }{{}}{{} α α 631 Axiomas O conjunto de axiomas (ou esquemas) que adotaremos para o sistema dedutivo é o seguinte, conhecido como sistema de Kleene (A1): α (β α) (A2): (α (β ξ)) ((α β) (α ξ)) (A3): (α β) ((α β) α) (A4): α (β (α β)) (A5): α β α (A6): α β β (A7): α α β (A8): β α β (A9): (α γ) ((β γ) (α β γ)) (A10): α α

36 Regra de inferência O sistema forma tem apenas uma regra de inferência, Modus Ponens: (MP): α, α β β que abreviamos (MP) e deve ser entendida como: se α é teorema e α β é teorema, então β é teorema Na prática dedutiva isso significa que se numa prova ocorre a fórmula α e ocorre a fórmula α β então podemos usar a fórmula β Modus ponens é uma abreviação de modus ponendo ponens, frase em latim para o modo que afirma afirmando Exercício 34 Verifique que vale o seguinte: se Γ α e Γ α β então Γ β Solução Suponha Γ α e Γ α β De Γ α temos uma prova θ 1,θ 2,,θ n 1,α de α a partir de Γ De Γ α β temos uma prova φ 1,φ 2,,φ m 1,α β de α β a partir de Γ A seguinte prova 1 θ 1 n-1 θ n 1 n α n+1 φ 1 n+m-1 n+m φ m 1 α β n+m+1 β ( por MP n,n+m) estabelece Γ β 64 Exemplos de dedução e regras derivadas Usualmente, escrevemos uma prova para Γ ϕ n da seguinte forma Prova 1 ϕ 1 [ ] 2 ϕ 2 [ ] n-1 ϕ n 1 [ ] n ϕ n [ ]

37 48 em que diz explicitamente como foi obtida a fórmula daquela linha Teorema 1 α α Prova 1 α ((α α) α)) (por A1) 2 (α ((α α) α)) ((α (α α)) (α α)) (por A2) 3 α (α α)) (por A1) 4 (α (α α)) (α α) (MP 2,1) 5 α α (MP 3,4) Teorema 2 α β,β γ α γ Prova 1 α β (por hipótese) 2 β γ (por hipótese) 3 (β γ) (α (β γ)) (por A1) 4 (α (β γ) (por MP 2,3) 5 (α (β γ)) ((α β) (α γ)) (por A2) 6 (α β) (α γ) (por MP 4,5) 7 α γ (por MP 1,6) Teorema 3 θ (φ ξ) φ (θ ξ) Prova 1 θ (φ ξ) (por hipótese) ( ) ( ) 2 θ (φ ξ) (θ φ) (θ ξ) (por A2) 3 (θ φ) (θ ξ) (por MP 1,2) 4 φ (θ φ) (por A1) ( ) ( ( )) 5 (θ φ) (θ ξ) φ (θ φ) (θ ξ) (por A1) 6 φ ( (θ φ) (θ ξ) ) (por MP 3,5) ( ( )) (( ) ( )) 7 φ (θ φ) (θ ξ) φ (θ φ) φ (θ ξ) (por A2) ( ) ( ) 8 φ (θ φ) φ (θ ξ) (por MP 6,7) 9 φ (θ ξ) (por MP 4,5) Teorema 4 α α α

38 49 Prova 1 α α (por hipótese) 2 α (( α α) α) (por A1) 3 ( α (( α α) α)) (( α ( α α)) ( α α)) (por A2) 4 α ( α α) (por A1) 5 ( α ( α α)) ( α α) (por MP 2,3) 6 α α (por MP 4,5) 7 ( α α) (( α α) α) (por A3) 8 ( α α) α (por MP 6,7) 9 α α (por A10) 10 (( α) α) (( α α) (( α) α)) (por A1) 11 (( α α) (( α) α) (por MP 9,10) 12 (( α α) (( α) α)) ((( α α) ( α)) (( α α) α)) (por A2) 13 (( α α) ( α)) (( α α) α) (por MP 11,12) 14 ( α α) α (por MP 8,13) 15 α (por MP 1,14) Notemos que as linhas 1 7 da prova do teorema 2 são iguais as linhas 8 14 na prova do teorema 4; troque no teorema 2 toda ocorrência de α por α α, de β por α e de γ por α Para evitar esse trabalho extra permitimos que se justifique passos de uma prova com teoremas já provados Para dar um exemplo, a prova acima é re-escrita abaixo Prova do teorema 4 1 α α (por hipótese) 2 α (( α α) α) (por A1) 3 ( α (( α α) α)) (( α ( α α)) ( α α)) (por A2) 4 α ( α α) (por A1) 5 ( α ( α α)) ( α α) (por MP 2,3) 6 α α (por MP 4,5) 7 ( α α) (( α α) α) (por A3) 8 ( α α) α (por MP 6,7) 9 α α (por A10) 10 ( α α) α (por Teo 2 em 8,9) 11 α (por MP 1,14) Teorema 5 α α

39 50 Prova 1 α α (por A10) 2 ( α α) ( ( α α) α ) (por A3) 3 ( α α) ( ( α α) α ) (Teo 3 em 2) 4 ( α α) α (por MP 1,3) 5 α α (por A10) 6 ( α α) α (por Teo 2 em 4,5) 7 α ( α α) (A1) 8 α α (por Teo 2 em 7,6) Teorema 6 (Lei de Duns Scotus) α,α β Prova 1 α (por hipótese) 2 α (por hipótese) 3 α ( β α) (por A1) 4 α ( β α) (por A1) 5 β α (por MP 1,3) 6 β α (por MP 2,4) 7 ( β α) ( ( β α) β ) (por A3) 8 ( β α) β (por MP 5,7) 9 β (por MP 6,8) 10 β β (por A10) 11 β (por MP 9,10) Desse resultado temos que se, por algum motivo tenhamos duas fórmulas contraditórias, α e α, provamos que pode-se derivar qualquer fórmula β a partir dessas hipóteses Dizia-se ex falso seguitur quodlibet (de uma falsidade tudo se segue) A falsidade aqui refere-se a fórmula α α que pode ser inferida a partir de α e de α, como veremos adiante Ao invés de mantermos as referências a teoremas, usamos escrever novas regras de inferência as quais chamamos regras regra de inferência derivada As regras correspondentes aos teoremas 2 e 3 são escritas esquematicamente como (SH) e (TH) em (SH): α β,β γ α γ (TH): θ (φ ξ) φ (θ ξ) (CP1): α β β α chamada de silogismo hipotético e troca de hipóteses, respectivamente, a última, (CP1), é uma das regras da contrapositiva cuja prova é

40 51 1 α β (hipótese) 2 β β (Teo 5) 3 α β (SH 1,2) 4 α α (A10) 5 α β (SH 3,4) 6 ( α β) (( α β) α) (A3) 7 ( α β) α (MP 5,6) 8 β ( α β) (A1) 9 β α (SH 8,7) 10 β β (Teo 5) 11 β α (SH 10,9) 12 α α (A10) 13 β α (SH 11,12) As regras derivadas são escritas, genericamente, como α 1,,α k β e entende-se: se α 1,,α k são teoremas do sistema formal, então β é teorema do sistema formal Nosso último exemplo é p q, q s, p r, s r que é a versão sintática de p q, q s, p r, s r do exemplo Exercício 35 Dê provas para (1) ( α α) α (2) ( β α) (α β) 1 p q (hipótese) 2 q s (hipótese) 3 p r (hipótese) 4 s (hipótese) 5 p s (SH 1,2) 6 s p (CP1 em 4) 7 p (MP 4,6) 8 r (MP 3,7) 65 Propriedades de Metateorema 36 Valem as seguintes propriedades para a de dedução de fórmulas da lógica proposicional