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1 Lógica,Linguagem e Comunicação-LLC Introdução a Lógica Prof. Fabrício Rossy de Lima Lobato

2 Agenda Introdução Lógica Lógica Formal Proposições Implicação Lógica Argumentação Quantificadores

3 Introdução O termo lógica deriva do grego logos que significa pensamento, palavra, idéia, razão, argumento, relato,etc. Lógica é o ramo da filosofia que estuda a estrutura do pensamento que possui estreita relação com a matemática. A lógica fundamenta os raciocínios e as ações sendo, portanto, importante para a apresentação da correta argumentação.

4 Introdução A Lógica surgiu, aproximadamente IV a.c, na China, Índia e Grécia. Atualmente estudamos a lógica com fundamentos da escola Grega; Basicamente existem 3 princípios: não contradição; identidade; terceiro excluído.

5 Proposições Definição: Chama-se proposição todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. As proposições transmitem pensamento, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados entes. Exemplos: (a) Santarém é o município do estado do Pará; (b) 3 > 4. (c) O boto tucuxi foi campeão em 2010.

6 Proposições Normalmente, as proposições são representadas por letras minúsculas (p, q, r, s etc). São outros exemplos de proposições, as seguintes: p: Pedro é médico. q: 5 > 8 r: Luíza foi ao cinema ontem à noite. Na linguagem do raciocínio lógico, ao afirmarmos que é verdade que Pedro é médico (proposição p acima), representaremos isso apenas com: VL(p)=V, ou seja, o valor lógico de p é verdadeiro. No caso da proposição q, que é falsa, diremos VL(q)=F.

7 Proposições E se alguém disser: Feliz ano novo!, será que isso é uma proposição verdadeira ou falsa? Nenhuma, pois não se trata de uma sentença para a qual se possa atribuir um valor lógico. Concluímos, pois, que... sentenças exclamativas: Caramba! ; Feliz aniversário! sentenças interrogativas: como é o seu nome? ; o jogo foi de quanto? sentenças imperativas: Estude mais. ; Leia aquele livro. Somente sentenças declarativas podem ser imediatamente reconhecidas como verdadeiras ou falsas.

8 Príncipios não-contradição: Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo; identidade: Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa; terceiro excluído: Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade.

9 Proposições As proposições podem ser simples e compostas, isto e, podem ser formadas de subproposicoes (preposições simples) que são ligadas por conectivos ou operadores lógicos. Utiliza-se a notação: P(p,q,...). O valor lógico (V ou F) de uma proposição composta é determinado pelo valor lógico de cada uma das proposições simples e pela forma como elas estão ligadas.

10 Proposições Os Conectivos são: Negação: indicada por não é verdade ou ~ ; Conjunção: indicada por e ou ^ ; Disjunção: indicada por ou ou v ; Condicional: indicada por Se...então ou > ; Bicondicional: indicada por se,e somente se ou.

11 Negação(~) Def: Chama-se negação de uma proposição p a proposição representada por não p, cujo valor lógico é a verdade(v) quando p é falsa e a falsidade(f) quando p é verdadeira; Simbologicamente, a negação de p indica-se com a notação ~p, que se lê: não p ; Ex: p: Santarém é um município do Pará Não é verdade que Santarém é um município do Pará; É falso que Santarém é um município do Pará; Santarém não é um município do Pará. P ~P V F F V

12 Conjunção ( e ou ^ ) Def: Chama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por p e q, cujo valor lógico é a verdade(v) quando as proposições p e q são ambas verdadeiras e a falsidade(f) nos demais casos; Simbologicamente, a conjunção de duas proposições p e q indica-se com a notação p ^ q, que se lê: p e q ; Ex: p: A neve é branca (V) q: 2 < 5 (V) p ^ q= (V) ^ (V)= (V) P q p ^ q V V V V F F r: Fermat era medico (F) s: 7 é um numero primo (V) r ^ s= (F) ^ (V)= (F) F V F F F F

13 Disjunção ( ou ou v ) Def: Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por p ou q, cujo valor lógico é a verdade(v) quando ao menos umas das proposições p e q é verdadeira e a falsidade(f) quando as proposições p e q são ambas falsas; Simbologicamente, a disjunção de duas proposições p e q indica-se com a notação p v q, que se lê: p ou q ; Ex: p: Belém é a capital do Pará (V) q: 5 * 2 = 10 (V) p v q= (V) v (V)= (V) r: 9 5 = 1 (F) s: 10 * 3= 20 (F) r v s= (F) v (F)= (F) P q p v q V V V V F V F V V F F F

14 Condicional ( ) Def: Chama-se proposição condicional ou apenas condicional uma proposição representada por se p então q, cujo valor lógico é a falsidade(f) no caso em que p é verdadeira e q é falsa e a verdade(v) nos demais casos; Simbologicamente, a condicional de duas proposições p e q indica-se com a notação p q, que também se lê de uma das seguintes maneiras: Ex: p é condição suficiente para q q é condição necessária para p p: 3*2= 6 (V), q: = (V) Se 3*2=6, então 10+5=5+10 (V) V(p q)= V(p) V(q)= (V) (V)= V r: O mês de maio tem 31 dias (V) s: O ano tem nove meses (F) Se o mês de maio tem 31 dias, então o ano tem nove meses (F) V(r s)= V(r) V(s)= (V) (F)= F P q p q V V V V F F F V V F F V

15 Bicondicional ( ) Def: Chama-se proposição bicondicional ou apenas bicondicional uma proposição representada por p se e somente se q, cujo valor lógico é a verdade(v) quando p e q são ambas verdadeiras ou falsas, e a falsidade(f) nos demais casos; Simbologicamente, a bicondicional de duas proposições p e q indica-se com a notação p q, que também se lê de uma das seguintes maneiras: Ex: p é condição necessária e suficiente para q q é condição necessária e suficiente para p p: Tiradentes foi enforcado(v), q: 10 < 30(V) Tiradentes foi enforcado se e somente se 10<30 (V) V(p q)= V(p) V(q)= (V) (V)= V r: 5+ 3 = 8 (V) s: 8/2= 5 (F) 5+3 = 8, se e somente se 8/2=5 (F) V(r s)= V(r) V(s)= (V) (F)= F P q p q V V V V F F F V F F F V

16 Conceitos de Lógica Digital CIRCUITOS LÓGICOS As operações de um computador digital são combinações de simples operações aritméticas e lógicas básicas: somar bits, complementar bits (para fazer subtrações), comparar bits, mover bits; São fisicamente realizadas por circuitos eletrônicos, chamados circuitos lógicos (ou gates - "portas" lógicas); Computadores digitais (binários) são construídos com circuitos eletrônicos digitais - as portas lógicas (circuitos lógicos); Os sistemas lógicos são estudados pela álgebra de chaveamentos, lógica a partir de símbolos, representando as expressões por letras e ligando-as através de conectivos - símbolos algébricos.

17 Conceitos de Lógica Digital CIRCUITOS LÓGICOS Nos circuitos lógicos do computador, os sinais binários são representados por níveis de tensão.

18 Conceitos de Lógica Digital OPERADORES LÓGICOS OPERADORES LÓGICOS ou FUNÇÕES LÓGICAS são: E (ou AND) - uma sentença é verdadeira SE - e somente se - todos os termos forem verdadeiros; OU (ou OR) - uma sentença resulta verdadeira se QUALQUER UM dos termos for verdadeiro; NÃO (ou NOT) - este operador INVERTE um termo. Os operadores lógicos são representados por: NOT --> (uma barra horizontal sobre o termo a ser invertido ou negado); E >. (um ponto, como se fosse uma multiplicação); OU ----> + (o sinal de soma).

19 Conceitos de Lógica Digital TABELA VERDADE Representam todas as possíveis combinações das variáveis de entrada de uma função, e os seus respectivos valores de saída. Funções básicas, e suas representações em tabelas-verdade AND - FUNÇÃO E

20 Conceitos de Lógica Digital TABELA VERDADE OR - FUNÇÃO OU Nota: A menos da estranha expressão = 1, as demais expressões "parecem" a aritmética comum a que estamos acostumados, onde E substitui "vezes" e OU substitui "mais".

21 Conceitos de Lógica Digital TABELA VERDADE FUNÇÃO NOT Obs.: A inversão em binário funciona como se fizéssemos 1 - A = X. Ou seja, 1-0 = 1 e 1-1 = 0.

22 Conceitos de Lógica Digital APLICAÇÃO DA ÁLGEBRA DE BOOLE AOS COMPUTADORES DIGITAIS A chave de tudo é um circuito eletrônico chamado CHAVE AUTOMÁTICA. Como funciona uma chave automática? Vamos imaginar um circuito chaveador com as seguintes entradas: - uma fonte de alimentação (fornece energia para o circuito) - um fio de controle (comanda a operação do circuito) - um fio de saída (conduz o resultado)

23 Conceitos de Lógica Digital APLICAÇÃO DA ÁLGEBRA DE BOOLE AOS COMPUTADORES DIGITAIS A chave permanece aberta enquanto o sinal C no fio de controle for 0 (ou Falso); Enquanto não houver um sinal (sinal 1 ou Verdadeiro) no fio de controle, que mude a posição da chave, o sinal no fio de saída S será 0 (ou Falso); Quando for aplicado um sinal (sinal 1 ou Verdadeiro) ao fio de controle, a chave muda de posição, tendo como resultado que o sinal na saída será então 1 (ou Verdadeiro); A posição da chave se manterá enquanto não ocorrer um novo sinal na entrada.

24 Conceitos de Lógica Digital APLICAÇÃO DA ÁLGEBRA DE BOOLE AOS COMPUTADORES DIGITAIS Se nós ligássemos em SÉRIE duas chaves automáticas, e ligássemos uma lâmpada ao circuito. A lâmpada acenderia SE - e somente se - as DUAS chaves estivessem na posição LIGADO (ou verdadeiro), o que seria conseguido com as duas entradas A e B em estado 1 (Verdadeiro). Substituindo CORRENTE (ou chave ligada) por 1 e AUSÊNCIA DE CORRENTE (ou chave desligada) por 0, como ficaria nossa tabela verdade para LÂMPADA LIGADA = 1 e LÂMPADA DESLIGADA = 0.

25 Conceitos de Lógica Digital APLICAÇÃO DA ÁLGEBRA DE BOOLE AOS COMPUTADORES DIGITAIS O circuito que implementa a função E é chamado de PORTA E (AND GATE). A B L

26 Conceitos de Lógica Digital APLICAÇÃO DA ÁLGEBRA DE BOOLE AOS COMPUTADORES DIGITAIS Se nós ligássemos em PARALELO duas chaves automáticas, e ligássemos uma lâmpada ao circuito. A lâmpada acenderia SE QUALQUER UMA DAS-CHAVES estivesse na posição LIGADO (ou verdadeiro), o que seria conseguido com uma das duas entradas A ou B em estado 1 (Verdadeiro). Substituindo CORRENTE (ou chave ligada) por 1 e AUSÊNCIA DE CORRENTE (ou chave desligada) por 0, como ficaria nossa tabela verdade para LÂMPADA LIGADA = 1 e LÂMPADA DESLIGADA = 0.

27 Conceitos de Lógica Digital APLICAÇÃO DA ÁLGEBRA DE BOOLE AOS COMPUTADORES DIGITAIS O circuito, que implementa a função OU, é chamado de PORTA OU (OR GATE). A B L

28 Conceitos de Lógica Digital Exemplos de circuitos utilizando portas lógicas: A) Uma campainha que toca (saída) se o motorista der a partida no motor do carro (entrada) sem estar com o cinto de segurança afivelado (entrada). Se a ignição for ACIONADA (1) e o cinto estiver DESAFIVELADO (1), a campainha é ACIONADA (1). Caso contrário, a campainha não toca Tabela Verdade: Ignição Cinto Campainha Basta incluir uma porta AND.

29 Conceitos de Lógica Digital Exemplos de circuitos utilizando portas lógicas: B) Detector de incêndio com vários sensores (entradas) e uma campainha para alarme (saída). Se QUALQUER UM dos sensores for acionado (significando que um dos sensores detectou sinal de incêndio), a campainha é ACIONADA. Tabela verdade: Sensor 1 Sensor 2 Campainha Basta incluir uma porta OR.

30 Tautologias, Contradições e Contingências Tautologia Def: Chama-se tautologia toda a proposição composta cuja ultima coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V(verdade). Contradição Def: Chama-se contradição toda a proposição composta cuja ultima coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra F (falsidade). Contingência Def: Chama-se contingência toda a proposição composta em cuja ultima coluna da sua tabela-verdade figuram as letras V e F cada uma pelo menos uma vez.

31 Exercícios(cap3,4)

32 Implicação Lógica Def: Diz-se que uma proposição P(p,q,r,...) implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q(p,q,r,...), se Q(p,q,r,...) é verdadeira (V) todas as vezes que P(p,q,r,...) é verdadeira(v). Em outros termos, uma proposição P(p,q,r...) implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q(p,q,r,...) todas as vezes que na respectivas tabelas verdade dessas duas proposições não aparece (V) na ultima coluna de P(p,q,r,...) e (F) na ultima coluna de Q(p,q,r,...), com (V) e (F) em uma mesma linha, isto é, não ocorre P(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...) com valores lógicos simultâneos respectivamente V e F. Indica-se que a proposição P(p,q,r,...) implica a proposição Q(p,q,r,...) com a notação: P(p,q,r,...)=> Q(p,q,r,...).

33 Implicação Lógica Propriedades da Implicação Lógica: Reflexiva(R); P(p,q,r,...)=> P(p,q,r,...). Transitiva(T); Se P(p,q,r,...)=> Q(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...)=> R(p,q,r,...), então P(p,q,r,...)=> R(p,q,r,...).

34 Implicação Lógica Exemplificação: As Tabelas-Verdades das proposições: p ^ q, p v q, p q, são: P q p ^ q p v q p q V V V V V V F F V F F V F V F F F F F V A proposição p ^ q é verdadeira (V) somente na linha 1 e, nesta linha, as proposições p V q e p q também são verdadeiras (V). Logo, a primeira proposição implica cada uma das outras duas proposições, isto é: p ^ q => p V q e p ^ q => p q.

35 Exercícios(cap5)

36 Argumentação Definição de Argumento Sejam P1,P2,...,Pn (n 1) e Q proposições quaisquer, simples ou compostas. Def: Chama-se argumento toda afirmação de que uma dada seqüência finita P1,P2,..,Pn (n 1) de proposições tem como conseqüência ou acarreta uma proposição final Q. As proposições P1,P2,..,Pn dizem-se as premissas do argumento, e a proposição final Q diz-se a conclusão do argumento. Um argumento de premissas P1, P2,.., Pn e de conclusão Q indica-se por: P1,P2,..,Pn Q

37 Argumentação Definição de Argumento Um argumento de premissas P1, P2,.., Pn e de conclusão Q indica-se por: P1,P2,..,Pn e se lê de uma das seguintes maneiras: (i) P1,P2,, Pn acarretam Q (ii) Q decorre de P1,P2,,Pn (iii) Q se deduz de P1, P2,, Pn (iv) Q se infere de P1, P2,, Pn Um argumento que consiste em duas premissas e uma conclusão chama-se silogismo. Q

38 Argumentação Validade Dado um argumento: P1,P2,,Pn Q (1) Cumpre constatar se é ou não possível ter V(Q)=F quando V(P1)=V(P2)=.=V(Pn)=V. Construir Tabela Verdade (demonstrar, verificar, testar). V(P1)=V(P2)=.=V(Pn)= V e V(Q)= V, é valido. V(P1)=V(P2)=.=V(Pn)=V e V(Q)= F, é sofisma.

39 Argumentação Validade Exemplo: Verificar se é valido o argumento: p q, q p P q p q V V V V F F F V V F F V

40 Exercicios (cap 10): Argumentação

41 Argumentação Validade e Argumentos Condicionais Uma outra alternativa para demonstrar, verificar ou testar a validade dado (1) consiste em construir a condicional associada : (P1^ P2^...^ Pn) Q Reconhecer se esta condicional é ou não uma tautologia mediante a construção da sua respectiva tabela-verdade. Se esta condicional é tautológica, então o argumento dado (1) é valido. Caso contrario, o argumento dado (1) é um sofisma.

42 Exemplo Verificar sé é válido o argumento: ~p q, p ~q A condicional associada ao argumento dado é: (( ~p q) ^ p) ~q P q ~p ~p q (~p q) ^ p ~q ((~p q) ^ p) ~q V V F V V F F V F F V V V V F V V V F F V F F V F F V V

43 Exercícios (cap 10)

44 Quantificadores Quantificador Universal Seja p(x) uma sentença aberta em um conjunto não vazio A (A ø) e seja Vp o seu conjunto- verdade: Vp= {x x Є A ^ p(x)} X Vp = A

45 Quantificadores Quantificador Universal Quando Vp= A, isto é, todos os elementos do conjunto A satisfazem a sentença aberta p(x),podemos, então, afirmar: (i) (ii) Para todo elemento x de A, p(x) é verdadeira (V) Qualquer que seja o elemento x de A, p(x) é verdadeira (V) Ou seja, mais simplesmente: (iii) Para todo x de A, p(x) (iv) Qualquer que seja x de A, p(x)

46 Quantificadores Quantificador Universal No simbolismo da Lógica Matemática indica-se este fato, abreviadamente, de uma das seguintes maneiras: 1) ( V x Є A) (p(x)) 2) V x Є A, p(x) 3) V x Є A: p(x) Muitas vezes, para simplificar a notação, omiti-se a indicação do domínio A da variável x, escrevendo mais simplesmente: 4) ( V x ), (p(x)) 5) V x, p(x) 6) V x: p(x)

47 Quantificadores Quantificador Universal Subsiste, pois a Equivalência: ( V x Є A) (p(x)) Vp=A Importa notar que p(x), simplesmente, é uma sentença Importa notar que p(x), simplesmente, é uma sentença aberta, e por conseguinte carece de valor lógico V ou F; mas, a sentença aberta p(x) com o símbolo V antes dela, isto é, ( V x Є A) (p(x)), torna-se uma proposição e, portanto, tem um valor logico, que é verdade (V) se Vp=A e a falsidade (F) se Vp A.

48 Quantificadores Quantificador Universal Em outros termos, dada uma sentença aberta p(x) em um conjunto A, o símbolo V, referido a variável x, representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta p(x) numa proposição, verdadeira ou falsa, conforme p(x) exprime ou não uma condição universal no conjunto A. A esta operação lógica dá-se o nome de quantificação universal e ao respectivo símbolo V (que é um A invertido) o de quantificador universal. ( V x Є A) (p(x)) Vp=A

49 Quantificadores Quantificador Universal Quando, em particular, A seja um conjunto finito com n elementos a1, a2,...,an, isto é, A={a1,a2,...,an}, é obvio que a proposição ( V x Є A) (p(x)) é equivalente a conjunção das n proposições p(a1), p(a2),...,p(an), ou seja, simbologicamente: ( V x Є A) (p(x)) (p(a1) ^ p (a2) ^...^ p(an)) Portanto, num universo finito, o quantificador universal equivale a conjunções sucessivas. Assim, p.ex., no universo finito A={3,5,7} e sendo p(x) a sentença aberta x é primo, temos: ( V x Є A) (x é primo) (3 é primo ^ 5 é primo ^ 7 é primo)

50 Quantificadores Quantificador Universal Exemplificando a expressão: ( V x ) (x é mortal) Lê-se Qualquer que seja x, x é mortal, o que é uma proposição verdadeira (V) no universo H dos seres humanos ou, mais geralmente, no universo dos seres vivos. Se a variável da sentença aberta for uma outra, em vez da letra x, escreve-se o quantificador universal V seguido dessa variável. Assim, a expressão: (V Fulano ) (Fulano é mortal) Lê-se Qualquer que seja fulano, fulano é mortal, o que significa exatamente o mesmo que a proposição anterior.

51 Quantificadores Quantificador Universal Analogamente, as expressões: ( V x ) (2x> x): Qualquer que seja x, 2x>x ( V x ) (2y> y): Qualquer que seja y, 2y>y Exprimem ambas o mesmo fato: O dobro de um numero é sempre maior que esse numero, o que é verdadeiro em N, mas falso em R (p.ex., 2.0=0) Muitas vezes (quando não há perigo de duvida), o quantificador é escrito depois e não antes da expressao quantificada. Por exemplo, tem-se em R:

52 Quantificadores Quantificador Universal Muitas vezes (quando não há perigo de duvida), o quantificador é escrito depois e não antes da expressão quantificada. Por exemplo, tem-se em R: x 2-4= (x+2)(x-2), V x Aqui, o símbolo V x pode lêr-se qualquer que seja x ou para todo o valor de x ou simplesmente para todo o x. Algumas vezes, para evitar possíveis duvidas, o domínio da variável é devidamente especificado. Assim: x+1>x, V x Є R Aqui, V x Є R lê-se: qualquer que seja x Є R ou ainda para todo x Є R.

53 Quantificadores Quantificador Universal Outras vezes ainda, para condensar a escrita, escreve-se a variável como índice do símbolo V. Assim, p. ex: V x>0 2x>x ( Para todo o x >0, tem-se 2x>x ) V x 0 x 2 > 0 ( Para todo o x 0, tem-se x 2 >0 ). Outros Exemplos: 1) (V n Є N) (n+5>3) É verdadeira, pois, o conjunto-verdade da sentença aberta p(n): n+5>3 é: 2) (V n Є N) (n+3>7) Vp={n n Є N ^ n+5>3}= {1,2,3,...}=N É falsa, pois, o conjunto-verdade da sentença aberta p(n): n+3 > 7 é: Vp={n n Є N ^ n+3>7}= {5,6,7,...} N

54 Quantificadores Quantificador Existencial Seja p(x) uma sentença aberta em um conjunto não vazio A (A ø) e seja Vp o seu conjunto- verdade: Vp= {x x Є A ^ p(x)} QuandoVp não é vazio (Vp ø), entao, um elemento, pelo menos, do conjunto A satisfaz a sentenca aberta p(x), e podemos afirmar: A X Vp

55 Quantificadores Quantificador Existencial Quando Vp não é vazio (Vp ø), então, um elemento, pelo menos, do conjunto A satisfaz a sentença aberta p(x), e podemos afirmar: i. Existe pelo menos um x Є A tal que p(x) é verdadeira (V) ii. Para algum x Є A, p(x) é verdadeira (v) Ou seja, mais simplesmente: iii. iv. Existe x Є A tal que p(x) Para algum x Є A, p(x)

56 Quantificadores Quantificador Existencial Pois bem, no simbologismo da lógica matemática indica-se este fato, abreviadamente, de uma das seguintes maneiras: 1) ( x Є A) (p(x)) 2) x Є A, p(x) 3) x Є A: p(x) Muitas vezes, para simplificar a notação, omiti-se a indicação do domínio A da variável x, escrevendo mais simplesmente: 4) ( x ), (p(x)) 5) x, p(x) 6) x: p(x)

57 Quantificadores Quantificador Existencial Subsiste, pois a equivalência: ( x Є A) (p(x)) Vp ø Cumpre notar que, sendo p(x) uma sentença aberta, carece de valor lógico V ou F, mas a sentença aberta p(x) com o símbolo antes dela, isto é, ( x Є A) (p(x)), torna-se uma proposição e, portanto, tem um valor lógico, que é verdade (v) se Vp ø e a falsidade (F) se Vp= ø. Deste modo, dada uma sentença aberta p(x) em um conjunto A, o símbolo, referido a variável x, representa uma operação lógica que transforma a sentença aberta p(x) numa proposição, verdadeira ou falsa, conforme p(x) exprime ou não uma condição possível no conjunto A. A esta operação lógica dá-se o nome de quantificação existencial e ao respectivo símbolo (que é um E invertido) o de quantificador existencial.

58 Quantificadores Quantificador Existencial Quando, em particular, A seja um conjunto finito com n elementos a1,a2,...,an, isto é, A={a1,a2,...,an}, é obvio que a proposição ( x Є A) (p(x)) é equivalente a disjunção das n proposições p(a1), p(a2),..., p(an), ou seja, simbolicamente: ( x Є A) (p(x)) (p(a1)v P(a2)V... Vp(an))

59 Quantificadores Quantificador Existencial Portanto, num universo finito, o quantificador existencial equivale a disjunções sucessivas. Assim, p.ex., no universo finito A={3,4,5} e sendo p(x) a sentença aberta x é par, temos: ( x Є A) (p(x)) (3 é par V 4 é par V... 5é par) Ex: (1) ( n Є N)(n+4<8) (2) ( n Є N)(n+5<3) (3) ( x Є R)(x 2 <0)

60 Quantificadores Quantificador Existencial e Unicidade Consideremos em R a sentença aberta x 2 =16. Por ser: 4 2 =16, (-4) 2 =16 e 4-4 Podemos concluir: ( x,y Є R) (p(x))(x 2 =16 ^ y 2 =16 ^ x y) Pelo contrario, para a sentença aberta x 3 =27 em R teremos as duas proposições: I. ( x Є R)(x 3 =27) II. X 3 = 27 ^ y 3 = 27 => x=y A primeira proposição diz que existe pelo menos um x Є R tal que x 3 =27 (x=3): é uma afirmação de existência. A segunda proposição diz que não pode existir mais de um x Є R tal que x 3 =27: é uma afirmação de unicidade.

61 Quantificadores Quantificador Existencial e Unicidade A conjunção das duas proposições diz que existe um x Є R e um só tal que x 3 =27. Para indicar este fato, escreve-se: (! x Є R)(x 3 =27) Onde o símbolo! é chamado quantificador existencial de unicidade e se lê: Existe um e um só. Muitas proposições da Matemática encerram afirmações de existência e unicidade. Assim, p.ex., no universo R: a 0=> ( V b)(!x)(ax=b) Exemplificando, são obviamente verdadeiras as proposições: (! x Є N) (x 2 9 = 0) (! x Є Z) (-1 < x < 1) (! x Є R) ( x =0)

62 Quantificadores Negação de Proposições com Quantificador É claro que um quantificador universal ou existencial pode ser precedido do símbolo de negação (~). Por exemplo, no universo H dos seres humanos, as expressões: i. ( V x) (x fala francês) ii. ~ ( V x) (x fala francês) iii. ( x) (x foi a Lua) iv. ~ ( x) (x foi a Lua) São proposições que, em linguagem comum, se podem enunciar, respectivamente: (*) Toda a pessoa fala frances (**) Nem toda a pessoa fala frances (***) Alguem foi a Lua (****) Ninguem foi a lua

63 Quantificadores Negação de Proposições com Quantificador São também evidentes as equivalências: ~ ( V x) (x fala francês) ( x) ( ~ x fala francês) ~ ( x) (x foi a Lua) ( V x) (~ x foi a Lua) De modo geral, a negação da proposição ( V x Є A) (p(x)) é equivalente a afirmação de que, para ao menos um x Є A, p(x) é falsa ou ~p(x) é verdadeira. Logo, subsiste a equivalência: ~ [( V x Є A) (p(x))] ( x Є A) (~p(x)) Analogamente: ~ [( x Є A) (p(x))] ( V x Є A) (~p(x)) Segundas Regras de negação DE MORGAN: A negação transforma o quantificador universal em quantificador existencial (seguido de negação) e vice-versa.

64 Quantificadores Negação de Proposições com Quantificador Exemplos: 1. A negação da proposição: Todo o aluno da turma A é bem comportado é a proposição: Existe pelo menos um aluno da turma A que não é bem comportado, ou seja, mais simplesmente: Nem todo aluno da turma A é bem comportado. 2. A negação da proposição: Para todo o numero natural n, tem-se n+2>8 é a proposição: Existe pelo menos um numero natural n tal que n+2 > 8. Simbologicamente: ~ ( V n Є N) (n+2 > 8) ( n Є N) (n+2 8)

65 Exercícios (cap16)

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