Lógica de Predicados
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- Bárbara Van Der Vinne Valgueiro
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1 Lógica de Predicados
2 Conteúdo Correção Exercícios Operações Lógicas sobre Predicados Condicional Quantificador de Unicidade (Rosen 37) Quantificadores com Restrição (Rosen 38) Tradução Português-Lógica (Rosen 42)
3 N2 AED 1: Valor 1.0 AED 2: Valor 1.0 AED 3: Valor 1.0 Participação Valor 1.0 AI: Valor Prova 3 = 10.0
4 Cronograma 20/11 Lógica de Predicados 24/11 Lógica de Predicados 27/11 Lógica de Predicados 01/12 Regras de Inferência 04/12 Regras de Inferência 08/12 Regras de Inferência 11/12 Revisão 15/12 Prova 3 18/12 Correção e Entrega da prova 3
5 Exercícios Determinar o conjunto verdade em N dos predicados. P(x) = 2x = 6 P(x) = x 1 < 4 P(x) = 5x + 6 = 0 P(x) = x 2 -x-2
6 Exercícios Determinar o conjunto verdade em N dos predicados. P(x) = 2x = 6 P(x) = x 1 < 4 P(x) = 5x + 6 = 0 P(x) = x 2 -x-2 CV={3}
7 Exercícios Determinar o conjunto verdade em N dos predicados. P(x) = 2x = 6 P(x) = x 1 < 4 P(x) = 5x + 6 = 0 P(x) = x 2 -x-2 CV={3} CV={0,1,2,3,4}
8 Exercícios Determinar o conjunto verdade em N dos predicados. P(x) = 2x = 6 P(x) = x 1 < 4 CV={3} P(x) = 5x + 6 = 0 CV={ } P(x) = x 2 -x-2 CV={0,1,2,3,4}
9 Exercícios Determinar o conjunto verdade em N dos predicados. P(x) = 2x = 6 P(x) = x 1 < 4 CV={3} P(x) = 5x + 6 = 0 CV={ } P(x) = x 2 -x-2 CV={0,1,2,3,4} CV={2}
10 Exercícios Dados os conjuntos A={ -2,0,1,2} B={-1,0,3} Determinar o conjunto verdade de P(x,y)= x+y < 1 xa e yb
11 Exercícios Dados os conjuntos A={ -2,0,1,2} B={-1,0,3} Determinar o conjunto verdade de P(x,y)= x+y < 1 xa e yb CV = { (-2,-1), (-2,0), (0,-1), (0,0), (1,-1)}
12 Exercícios Rosen pg 46 1) Considere P(x) como o predicado x 4. Quais são os valores verdade das proposições abaixo? a) P(0) b) P(4) c) P(6)
13 Exercícios Rosen pg 46 1) Considere P(x) como o predicado x 4. Quais são os valores verdade das proposições abaixo? a) P(0) é Verdade b) P(4) é Verdade c) P(6) é Falso
14 Exercícios Rosen pg 46 2) Considere P(x) como o predicado a palavra x contém a letra a. Quais são os valores verdade das proposições abaixo? a) P(orange) b) P(lemon) c) P(true) d) P(false)
15 Exercícios Rosen pg 46 2) Considere P(x) como o predicado a palavra x contém a letra a. Quais são os valores verdade das proposições abaixo? a) P(orange) é Verdade b) P(lemon) é Falso c) P(true) é Falso d) P(false) é Verdade
16 Exercícios Rosen pg 46 2) Considere Q(x,y) como o predicado x é a capital de y. Quais são os valores verdade das proposições abaixo? a) Q(Denver, Colorado)
17 Exercícios Rosen pg 46 2) Considere Q(x,y) como o predicado x é a capital de y. Quais são os valores verdade das proposições abaixo? a) Q(Denver, Colorado) é Verdade b) Q(Detroir, Michigan)
18 Exercícios Rosen pg 46 2) Considere Q(x,y) como o predicado x é a capital de y. Quais são os valores verdade das proposições abaixo? a) Q(Denver, Colorado) é Verdade b) Q(Detroir, Michigan) é Falso capital é Lansing c) Q(Massachusetts, Boston)
19 Exercícios Rosen pg 46 2) Considere Q(x,y) como o predicado x é a capital de y. Quais são os valores verdade das proposições abaixo? a) Q(Denver, Colorado) é Verdade b) Q(Detroir, Michigan) é Falso capital é Lansing c) Q(Massachusetts, Boston) é Verdade d) Q(Nova York, Nova York)
20 Exercícios Rosen pg 46 2) Considere Q(x,y) como o predicado x é a capital de y. Quais são os valores verdade das proposições abaixo? a) Q(Denver, Colorado) é Verdade b) Q(Detroir, Michigan) é Falso capital é Lansing c) Q(Massachusetts, Boston) é Verdade d) Q(Nova York, Nova York) é F capital é Albany
21 Exercícios Rosen pg 46 4) Constate o valor de x depois que o comando if P(x) then x:=1 for executada, em que P(x) é a proposição x>1, se o valor de x, quando essa proposição for alcançada, for a) x=0; Resp. 0 b) x=1; Resp. 1 c) x=2; Resp 1
22 Exercícios Rosen(47) 11) Considere P(x) como o predicado x =x 2. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) P(0) b) P(1) c) P(2) d)p(-1) e) x P(x) f) x P(x) {...,-2,-1,0,1,2,...}
23 Exercícios Rosen(47) 11) Considere P(x) como o predicado x =x 2. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) P(0) = 0 =0 2 é Verdade b) P(1) c) P(2) d)p(-1) e) x P(x) f) x P(x)
24 Exercícios Rosen(47) 11) Considere P(x) como o predicado x =x 2. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) P(0) = 0 =0 2 é Verdade b) P(1) = 1 =1 2 é Verdade c) P(2) d)p(-1) e) x P(x) f) x P(x)
25 Exercícios Rosen(47) 11) Considere P(x) como o predicado x =x 2. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) P(0) = 0 =0 2 é Verdade b) P(1) = 1 =1 2 é Verdade c) P(2) = 2 =2 2 é Falso d)p(-1) e) x P(x) f) x P(x)
26 Exercícios Rosen(47) 11) Considere P(x) como o predicado x =x 2. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) P(0) = 0 =0 2 é Verdade b) P(1) = 1 =1 2 é Verdade c) P(2) = 2 =2 2 é Falso d)p(-1) = -1 =-1 2 é Falso e) x P(x) f) x P(x)
27 Exercícios Rosen(47) 11) Considere P(x) como o predicado x =x 2. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) P(0) = 0 =0 2 é Verdade b) P(1) = 1 =1 2 é Verdade c) P(2) = 2 =2 2 é Falso d)p(-1) = -1 =-1 2 é Falso e) x P(x) a,b mostram que é Verdade f) x P(x)
28 Exercícios Rosen(47) 11) Considere P(x) como o predicado x =x 2. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) P(0) = 0 =0 2 é Verdade b) P(1) = 1 =1 2 é Verdade c) P(2) = 2 =2 2 é Falso d)p(-1) = -1 =-1 2 é Falso e) x P(x) a,b mostram que é Verdade f) x P(x) c,d são contra exemplos,falso
29 Exercícios Rosen(47) 12) Considere Q(x) como o predicado x+1>2x. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) Q(0) b) Q(-1) c) Q(2) d) x Q(x) e) x Q(x) f) x ~Q(x) g) x ~Q(x)
30 Exercícios Rosen(47) 12) Considere Q(x) como o predicado x+1>2x. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) Q(0) = 0 +1>2 x 0 é Verdade b) Q(-1) c) Q(2) d) x Q(x) e) x Q(x) f) x ~Q(x) g) x ~Q(x)
31 Exercícios Rosen(47) 12) Considere Q(x) como o predicado x+1>2x. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) Q(0) = 0 +1>2 x 0 é Verdade b) Q(-1) = -1+1>2 x -1 é Verdade c) Q(2) d) x Q(x) e) x Q(x) f) x ~Q(x) g) x ~Q(x)
32 Exercícios Rosen(47) 12) Considere Q(x) como o predicado x+1>2x. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) Q(0) = 0 +1>2 x 0 é Verdade b) Q(-1) = -1+1>2 x -1 é Verdade c) Q(2) = 2+1>2 x 2 é Falso d) x Q(x) e) x Q(x) f) x ~Q(x) g) x ~Q(x)
33 Exercícios Rosen(47) 12) Considere Q(x) como o predicado x+1>2x. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) Q(0) = 0 +1>2 x 0 é Verdade b) Q(-1) = -1+1>2 x -1 é Verdade c) Q(2) = 2+1>2 x 2 é Falso d) x Q(x) a,b mostram que é Verdade e) x Q(x) f) x ~Q(x) g) x ~Q(x)
34 Exercícios Rosen(47) 12) Considere Q(x) como o predicado x+1>2x. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) Q(0) = 0 +1>2 x 0 é Verdade b) Q(-1) = -1+1>2 x -1 é Verdade c) Q(2) = 2+1>2 x 2 é Falso d) x Q(x) a,b mostram que é Verdade e) x Q(x) c é contra exemplo, é Falso f) x ~Q(x) g) x ~Q(x)
35 Exercícios Rosen(47) 12) Considere Q(x) como o predicado x+1>2x. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) Q(0) = 0 +1>2 x 0 é Verdade b) Q(-1) = -1+1>2 x -1 é Verdade c) Q(2) = 2+1>2 x 2 é Falso d) x Q(x) a,b mostram que é Verdade e) x Q(x) c é contra exemplo, é Falso f) x ~Q(x) c mostra que é Verdade g) x ~Q(x)
36 Exercícios Rosen(47) 12) Considere Q(x) como o predicado x+1>2x. Se o domínio forem os números inteiros, quais serão os valores-verdade? a) Q(0) = 0 +1>2 x 0 é Verdade b) Q(-1) = -1+1>2 x -1 é Verdade c) Q(2) = 2+1>2 x 2 é Falso d) x Q(x) a,b mostram que é Verdade e) x Q(x) c é contra exemplo, é Falso f) x ~Q(x) c mostra que é Verdade g) x ~Q(x) a,b são contra exemplos, Falso
37 Exercícios Rosen(47) 13) Determine o valor verdade de cada uma destas proposições, se o domínio forem todos os números inteiros. a) n (n+1>n) b) n (2n = 3n) c) n (n = -n) d) n (n 2 n)
38 Exercícios Rosen(47) 13) Determine o valor verdade de cada uma destas proposições, se o domínio forem todos os números inteiros. a) n (n+1>n) é Verdade b) n (2n = 3n) c) n (n = -n) d) n (n 2 n)
39 Exercícios Rosen(47) 13) Determine o valor verdade de cada uma destas proposições, se o domínio forem todos os números inteiros. a) n (n+1>n) é Verdade b) n (2n = 3n) é Verdade (Qual?) c) n (n = -n) d) n (n 2 n)
40 Exercícios Rosen(47) 13) Determine o valor verdade de cada uma destas proposições, se o domínio forem todos os números inteiros. a) n (n+1>n) é Verdade b) n (2n = 3n) é Verdade (Qual?) c) n (n = -n)???? d) n (n 2 n)
41 Exercícios Rosen(47) 13) Determine o valor verdade de cada uma destas proposições, se o domínio forem todos os números inteiros. a) n (n+1>n) é Verdade b) n (2n = 3n) é Verdade (Qual?) c) n (n = -n)???? d) n (n 2 n) é Verdade
42 Exercícios Rosen(47) 14) Determine o valor verdade de cada uma destas proposições, se o domínio forem todos os números reais. a) x (x 3 = -1) b) x (x 4 < x 2 ) c) x ((-x) 2 = x 2 ) d) x (2x > x)
43 Exercícios Rosen(47) 14) Determine o valor verdade de cada uma destas proposições, se o domínio forem todos os números reais. a) x (x 3 = -1) é Verdade. Qual? b) x (x 4 < x 2 ) c) x ((-x) 2 = x 2 ) d) x (2x > x)
44 Exercícios Rosen(47) 14) Determine o valor verdade de cada uma destas proposições, se o domínio forem todos os números reais. a) x (x 3 = -1) é Verdade. Qual? b) x (x 4 < x 2 ) é Verdade. c) x ((-x) 2 = x 2 ) d) x (2x > x)
45 Exercícios Rosen(47) 14) Determine o valor verdade de cada uma destas proposições, se o domínio forem todos os números reais. a) x (x 3 = -1) é Verdade. Qual? b) x (x 4 < x 2 ) é Verdade c) x ((-x) 2 = x 2 ) é Verdade d) x (2x > x)
46 Exercícios Rosen(47) 14) Determine o valor verdade de cada uma destas proposições, se o domínio forem todos os números reais. a) x (x 3 = -1) é Verdade. Qual? b) x (x 4 < x 2 ) é Verdade c) x ((-x) 2 = x 2 ) é Verdade d) x (2x > x) é Falso. Qual o contra exemplo?
47 Exercícios Rosen(47) 14) Determine o valor verdade de cada uma destas proposições, se o domínio forem todos os números reais. a) x (x 3 = -1) é Verdade. b) x (x 4 < x 2 ) é Verdade c) x ((-x) 2 = x 2 ) é Verdade d) x (2x > x) é Falso. No Futuro!!!! Para provar c) usaremos a contradição (negação).
48 Voltando às Operações Condicional Temos: P(x) = x 2 5x + 6 = 0 Q(x) = x 2 9 = 0 P(x) Q(x) Lê se: Se x 2 5x + 6 = 0 então x 2 9 = 0
49 Condicional Seja: P(x) = x é divisível por x Quais são os valores verdades de P(x)?
50 Condicional Seja: P(x) = x é divisível por x Quais são os valores verdades de P(x)? 12/1 = 12 12/2 = 6 12/3 = 4 12/4 = 3 12/6 = 2 12/12 = 1
51 Condicional Seja: P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x é divisível por x Quais são os valores verdades de Q(x)?
52 Condicional Seja: P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x é divisível por x Quais são os valores verdades de Q(x)? 45/1 = 45 45/3 = 15 45/5 = 9 45/9 = 5 45/15 = 3 45/45 = 1
53 Condicional Seja: P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual valor verdade de P(1) Q(1)?
54 Condicional Seja: P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual valor verdade de P(1) Q(1)? P(1) = V Q(1) = V P(1)Q(1) = V V P(1)Q(1) = V
55 Condicional Seja: P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual valor verdade de P(5) Q(5)?
56 Condicional Seja: P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual valor verdade de P(5) Q(5)? P(5) = F Q(5) = V P(5)Q(5) = F V P(5)Q(5) = V
57 Condicional Seja: P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual valor verdade de P(7) Q(7)?
58 Condicional Seja: P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual valor verdade de P(7) Q(7)? P(7) = F Q(7) = F P(7)Q(7) = F F P(7)Q(7) = V
59 Condicional Seja: P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual valor verdade de P(2) Q(2)?
60 Condicional Seja: P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual valor verdade de P(2) Q(2)? P(2) = V Q(2) = F P(2)Q(2) = V F P(2)Q(2) = F
61 Propriedade da Condicional Sabemos que: P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual o conjunto verdade de P(x) Q(x) em N?
62 Propriedade da Condicional Sabemos que: P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual o conjunto verdade de P(x) Q(x) em N? Dica: P(x) Q(x) ~P(x) v Q(x)
63 Condicional P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual o conjunto verdade de P(x) Q(x) em N? ~P(x) Conjunto Verdade é o complemento do Conjunto Verdade de P(x)
64 Condicional P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual o conjunto verdade de P(x) Q(x) em N? ~P(x) Conjunto Verdade é o complemento do Conjunto Verdade de P(x) ~P(x) CV= N {1,2,3,4,6,12}
65 Condicional P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual o conjunto verdade de P(x) Q(x) em N? ~P(x) CV= N {1,2,3,4,6,12} Q(x) CV = {1,3,5,9,15,45} P(x) Q(x) ~P(x) v Q(x) O que podemos concluir?
66 Condicional P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual o conjunto verdade de P(x) Q(x) em N? ~P(x) CV= N {1,2,3,4,6,12} Q(x) CV = {1,3,5,9,15,45} P(x) Q(x) ~P(x) v Q(x) CV = N {1,2,3,4,6,12} {1,3,5,9,15,45} Resumindo...
67 Condicional P(x) = x 12 CV = {1,2,3,4,6,12} Q(x) = x 45 CV = {1,3,5,9,15,45} Qual o conjunto verdade de P(x) Q(x) em N? ~P(x) CV= N {1,2,3,4,6,12} Q(x) CV = {1,3,5,9,15,45} P(x) Q(x) ~P(x) v Q(x) CV = N {1,2,3,4,6,12} {1,3,5,9,15,45} CV = N {2,4, 6,12}
68 Perguntas????
69 Continuando... Já aprendemos dois quantificadores. Quais?
70 Continuando... Já aprendemos dois quantificadores. Quais?
71 Quantificadores Porém existe um número não limitado de quantificadores que podemos definir tais como: existem exatamente dois existem não mais de três existe um único x tal que P(x) é verdadeiro
72 Quantificadores Existe um número não limitado de quantificadores que podemos definir tais como existem exatamente dois existem não mais de três existe um único x tal que P(x) é verdadeiro Quantificador de Unicidade
73 Quantificadores Existe um número não limitado de quantificadores que podemos definir tais como existem exatamente dois existem não mais de três existe um único x tal que P(x) é verdadeiro Quantificador de Unicidade x P(x) ou x 1 P(x)
74 Quantificadores com Restrição Uma notação abreviada é freqüentemente usada para restringir o domínio de um quantificador. Nessa notação, incluímos depois do quantificador uma condição que a variável deve satisfazer.
75 Quantificadores com Restrição Exemplo: x<0 (x 2 > 0) Propriedade: o quadrado de todo número negativo é positivo.
76 Quantificadores com Restrição Exemplo: y 0(y 3 0) Propriedade: o cubo de um numero não nulo é também não nulo
77 Quantificadores com Restrição Exemplo: z>0 (z 2 = z) Qual???
78 Quantificadores com Restrição Restrições reescritas de outra forma x<0 (x 2 > 0) x (x<0 x 2 > 0) y 0(y 3 0) y(y 0 y 3 0) Quantificador Universal equivale a Universal de Proposição Condicional z>0 (z 2 = z) z(z>0 ^z 2 = z) Quantificador Existencial equivale a Existencial de um Conjunção
79 Dúvidas!!!!! Perguntas antes de continuarmos?
80 Tradução Português - Lógica Na aula passada: Todo estudante desta classe estudou lógica. C(x) = x estudou lógica Domínio = {estudantes desta classe} x C(x)
81 Tradução Português - Lógica Todo estudante desta classe estudou lógica. C(x) = x estudou lógica Vamos mudar nosso domínio para: Domínio = {todas as pessoas}
82 Tradução Português - Lógica Todo estudante desta classe estudou lógica. C(x) = x estudou lógica Domínio = {todas as pessoas} Novo predicado: E(x) = x é estudante desta classe Podemos expressar a sentença...
83 Tradução Português - Lógica Todo estudante desta classe estudou lógica. C(x) = x estudou lógica E(x) = x é estudante desta classe Domínio = {todas as pessoas} Podemos expressar a sentença... Para cada pessoa x, se x é um estudante desta classe então x estudou lógica
84 Tradução Português - Lógica Todo estudante desta classe estudou lógica. C(x) = x estudou lógica E(x) = x é estudante desta classe Domínio = {todas as pessoas} Podemos expressar a sentença x(e(x)c(x)) Para cada pessoa x, se x é um estudante desta classe então x estudou lógica
85 Tradução Português - Lógica Todo estudante desta classe estudou lógica. C(x) = x estudou lógica E(x) = x é estudante desta classe Domínio = {todas as pessoas} Não podemos expressar a sentença x(e(x)^c(x)) ERRADO!!! Todas as pessoas são estudantes desta classe e já estudaram lógica
86 Prioridade dos Quantificadores Os quantificadores e têm prioridade maior que todos os operadores lógicos do cálculo proposicional. x P(x) v Q(x) (x P(x)) v Q(x) x P(x) v Q(x) x (P(x) v Q(x))
87 Prioridade dos Quantificadores Os quantificadores e têm prioridade maior que todos os operadores lógicos do cálculo proposicional. x P(x) v Q(x) (x P(x)) v Q(x) x P(x) v Q(x) x (P(x) v Q(x)) Isso nos mostra o conceito de variável ligada
88 Prioridade dos Quantificadores Os quantificadores e têm prioridade maior que todos os operadores lógicos do cálculo proposicional. x P(x) v Q(x) (x P(x)) v Q(x) x P(x) v Q(x) x (P(x) v Q(x)) E o conceito de escopo de uma variável
89 Variável Ligada x (x+y = 1) x é ligada Quando um quantificador é usado na variável x, dizemos que essa ocorrência da variável é ligada.
90 Variável Livre x (x+y = 1) x é ligada Uma ocorrência de uma variável que não é ligada por um quantificador ou não representa um conjunto de valores particulares é chamada de variável livre (y).
91 Variável Livre x (x+y = 1) x é ligada Não é uma proposição, pois y é variável livre Todas as variáveis que ocorrem em um função proposicional devem ser ligadas ou devem representar um conjunto de valores particulares para ser uma proposição.
92 Escopo x (P(x) ^ Q(x)) v x R(x) Escopo não se sobrepõe. Escopo Escopo É a parte da expressão lógica à qual um quantificador é aplicado.
93 Escopo x (P(x) ^ Q(x)) v y R(y) Escopo Escopo Escopo não se sobrepõe. Pode ser y ao invés de x. É a parte da expressão lógica à qual um quantificador é aplicado. Uma variável é livre se não está sob o escopo de algum quantificador.
94 Dúvidas!!! Dúvidas sobre Variável Livre, Variável Ligada e Escopo????
95 Predicados com duas variáveis Para cada estudante desta classe, x estudou lógica. C(x) = x estudou lógica S(x) = x é estudante desta classe Agora vamos definir uma novo predicado!!! Q(x,y) = estudante x estudou matéria y
96 Predicados com duas variáveis Para cada estudante desta classe, x estudou lógica. Q(x,y) = estudante x estudou matéria y Domínio 1: {estudantes desta classe} x Q(x,lógica)
97 Predicados com duas variáveis Para cada estudante desta classe, x estudou lógica. Q(x,y) = estudante x estudou matéria y Domínio 1: {estudantes desta classe} x Q(x,lógica) Domínio 2: {todas as pessoas} x (S(x) Q(x, lógica))
98 Exercício Algum estudante da classe visitou o México Domínio: {estudantes da classe}
99 Exercício Algum estudante da classe visitou o México Domínio: {estudantes da classe} M(x) = x visitou o México
100 Exercício Algum estudante da classe visitou o México Domínio: {estudantes da classe} M(x) = x visitou o México x M(x)
101 Exercício Algum estudante da classe visitou o México Domínio: {todas as pessoas}
102 Exercício Algum estudante da classe visitou o México Domínio: {todas as pessoas} M(x) = x visitou o México E(x) = x é estudante da classe
103 Exercício Algum estudante da classe visitou o México Domínio: {todas as pessoas} M(x) = x visitou o México E(x) = x é estudante da classe Existe uma pessoa x que é estudante da classe e que visitou o México.
104 Exercício Algum estudante da classe visitou o México Domínio: {todas as pessoas} M(x) = x visitou o México E(x) = x é estudante da classe Existe uma pessoa x que é estudante da classe e que visitou o México. x(e(x) ^ M(x))
105 Exercício Algum estudante da classe visitou o México Domínio: {todas as pessoas} M(x) = x visitou o México E(x) = x é estudante da classe Existe uma pessoa x que é estudante da classe e que visitou o México. x(e(x) M(x)) ERRADO!!! Porque é verdadeira para qualquer pessoa que não esteja na classe.
106 Exercício Todo estudante da classe visitou Canadá ou México. Domínio={estudantes da classe} C(x) = x visitou o Canadá M(x) = x visitou o México?????
107 Exercício Todo estudante da classe visitou Canadá ou México. Domínio={estudantes da classe} C(x) = x visitou o Canadá M(x) = x visitou o México x(c(x) v M(x))
108 Exercício Todo estudante da classe visitou Canadá ou México. Domínio={todas as pessoas} C(x) = x visitou o Canadá M(x) = x visitou o México E(x) = x é estudante da classe??????
109 Exercício Todo estudante da classe visitou Canadá ou México. Domínio={todas as pessoas} C(x) = x visitou o Canadá M(x) = x visitou o México E(x) = x é estudante da classe x(e(x) (C(x)v(M(x))
110 Predicados com duas variáveis Algum estudante da classe visitou Canadá ou México. V(x,y) = x visitou o país y x (V(x,México) v V(x,Canadá))
111 Equivalências (S T) Sentenças que envolvem predicados e quantificadores são logicamente equivalentes se e somente se elas têm o mesmo valor verdade quaisquer que sejam os predicados substituídos nessas sentenças e qualquer que seja o domínio para as variáveis nessas funções proposicionais.
112 Equivalências x(p(x) ^ Q(x)) x P(x) ^ x Q(x) x(p(x) v Q(x)) x P(x) v x Q(x)
113 Equivalências x(p(x) ^ Q(x)) x P(x) ^ x Q(x) x(p(x) v Q(x)) x P(x) v x Q(x) CUIDADO!!!! x(p(x) v Q(x)) x P(x) v x Q(x) x(p(x) ^ Q(x)) x P(x) ^ x Q(x)
114 Negando Expressões Quantificadas Não é o caso de todos os estudantes desta classe terem feito aulas de lógica. ~x P(x)
115 Negando Expressões Quantificadas Não é o caso de todos os estudantes desta classe terem feito aulas de lógica. ~x P(x) Podemos reformular a frase para: Existe um estudante desta classe que não teve aula de lógica. x ~P(x)
116 Negando Expressões Quantificadas Não é o caso de todos os estudantes desta classe terem feito aulas de lógica. ~x P(x) Existe um estudante desta classe que não teve aula de lógica. x ~P(x) Ilustramos que: ~x P(x) x ~P(x)
117 Negando Expressões Quantificadas Existe um estudante na classe que teve aulas de calculo. x P(x) Não é o caso de existir um estudante na classe que teve aulas de calculo. ~x P(x)
118 Negando Expressões Quantificadas Não é o caso de existir um estudante na classe que teve aulas de calculo. ~x P(x) Podemos reformular a frase para: Todo os estudantes nesta classe não tiveram aulas de calculo. x ~P(x)
119 Negando Expressões Quantificadas Não é o caso de existir um estudante na classe que teve aulas de calculo. ~x P(x) Todo os estudantes nesta classe não tiveram aulas de calculo. x ~P(x) Ilustramos que: ~x P(x) x ~P(x)
120 Negando Expressões Quantificadas As regras para negações de quantificadores são chamadas de Leis de De Morgan para quantificadores. ~x P(x) x ~P(x) ~x P(x) x ~P(x)
121 Exercício para a mente. Mostre que: ~x (P(x)Q(x)) x (P(x) ^ ~Q(x)) Rosen pg 47 Exercícios 6c, 6d, 6e, 6f, 8 e 9. Rosen pg 48 Exercício 34
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94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%)
Distribuição das 1.048 Questões do I T A 94 (8,97%) 104 (9,92%) 69 (6,58%) Equações Irracionais 09 (0,86%) Equações Exponenciais 23 (2, 101 (9,64%) Geo. Espacial Geo. Analítica Funções Conjuntos 31 (2,96%)
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