2ª. Prova de Física 1 FCM 0501 (Peso 0,35) 2013

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1 ª. Prova de Física 1 FCM 001 (Peso 0,3) 013 Nome do Aluno Número USP Valor das Questões 1ª. a) 1, ª. a) 1, b) 1, Bônus 0, 3ª. a) 1, 4ª. a) 1,0 c) 0, Nota Nota Final Boa Prova A prova é sem consulta. As respostas finais devem ser escritas com caneta. Respostas finais escritas a lápis não terão recorreção. É proibido o uso de calculadoras. Há um bônus de 0, na ª. questão. As questões 1 e serão corrigidas pelo prof. Onody e as questões 3 e 4 pelo prof. Fred

2 1) Um caixote (cuja secção transversal é quadrada) escorrega para baixo em uma vala cujos lados formam um ângulo reto. O coeficiente de atrito estático (cinético) entre o caixote e a vala é µe (µc). A vala faz um ângulo θ com o plano horizontal. a) Qual é o ângulo crítico θc para o qual o caixote começa a escorregar? b) Se θ > θc, calcule a aceleração do caixote. Dê todas as suas respostas em função de θ, µe, µc e g. N1 N Nsen(𝟒𝟓 ) N1sen(𝟒𝟓 ) mg sen(θ) Fa,1 Fa, mg cos(θ) θ Escolheremos coordenadas (x,y) no plano da secção transversal do caixote. Não há resultantes nem na direção x nem na direção y. Adotaremos o eixo z ao longo da vala para baixo. 𝑁 cos 4 = 𝑁 cos 4 𝑁 = 𝑁 𝑁 𝑠𝑒𝑛 4 𝑁 𝑠𝑒𝑛 4 = 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑁 = 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠 𝜃 a) 𝐹, = 𝜇 𝑁 = 𝜇 𝑁 = 𝐹, = "#$% 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝐹, = 𝜇 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠 𝜃 logo 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝜇 𝑐𝑜𝑠 𝜃 b) 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐹, = 𝑚𝑎 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜇 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑚𝑎 𝑎 = 𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜇𝑐 cos (𝜃)

3 ) Um corpo se movimenta num plano horizontal (x,y) (x e y em metros) sob a ação das forças (em Newtons) 𝐹 = 3𝑦 𝑥 𝚤 (𝑦 6𝑥)𝚥 e 𝐹 = 3𝑦 𝑥 𝚤 (𝑦 3𝑥)𝚥 Calcule o trabalho realizado por cada uma dessas forças para levar o corpo do ponto A=(,3) ao ponto B=(4,) pelo caminhos y A (,3) C (4,3) B (4,) a) b) x ACCB, onde C=(4,3) AB Bônus(0,). Calcule a função energia potencial U(x,y) associada a todas as forças conservativas. 𝑑𝑟 = 𝑑𝑥 𝚤 𝑑𝑦 𝚥 𝑑𝑊 = 3𝑦 𝑥 𝑑𝑥 (𝑦 6𝑥)𝑑𝑦 𝑑𝑊 = 3𝑦 𝑥 𝑑𝑥 (𝑦 3𝑥)𝑑𝑦 a) AC 𝑦 = 3 ; 𝑑𝑦 = 0 𝑑𝑊 = 3𝑦 𝑥 𝑑𝑥 𝑊 = (9 𝑥)𝑑𝑥 = 9𝑥 𝑥 = 6 𝐽 𝑑𝑊 = 3𝑦 𝑥 𝑑𝑥 𝑊 = 6 𝐽 CB 𝑥 = 4 ; 𝑑𝑥 = 0 𝑑𝑊 = 𝑦 6𝑥 𝑑𝑦 𝑊 = 𝑑𝑊 = 𝑦 3𝑥 𝑑𝑦 𝑊 = (𝑦 4)𝑑𝑦 (𝑦 1)𝑑𝑦 = 𝑦 4𝑦 = 𝑦 1𝑦 = 9 𝐽 = 17 𝐽 AC CB 𝑊 = 3 𝐽 b) e 𝑊 = 11 𝐽 AB 𝑦 = 4 𝑥 = 8 𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑊 = 3𝑦 𝑥 𝑑𝑥 𝑦 6𝑥 𝑑𝑦 = 3𝑦 (8 𝑦) 𝑑𝑦 𝑦 6(8 𝑦) 𝑑𝑦 = 4𝑦 80 𝑑𝑦 𝑊 = 4𝑦 80 𝑑𝑦 = 1𝑦 80𝑦 = 0 𝐽 𝑑𝑊 = 3𝑦 𝑥 𝑑𝑥 𝑦 3𝑥 𝑑𝑦 = 3𝑦 (8 𝑦) 𝑑𝑦 𝑦 3(8 𝑦) 𝑑𝑦 = 18𝑦 6 𝑑𝑦 𝑊 = 18𝑦 6 𝑑𝑦 = 9𝑦 6𝑦 𝑊 = 0 𝐽 " " " " = 11 𝐽 e 𝑊 = 11 𝐽 Bônus: 𝐹 é dissipativa. Vejamos 𝐹 𝑟𝑜𝑡 𝐹 = 𝚤 𝚥 𝑘 " " " 3𝑦 𝑥 (𝑦 3𝑥) 0 = 0 𝐹 é 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑈 𝑥, 𝑦 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐹 = 𝑈 = 𝐹 = 𝑥 3𝑦 𝑈 𝑥, 𝑦 = 𝑥 3𝑥𝑦 𝛼(𝑦) = 𝐹 = 3𝑥 𝑦 𝑈 𝑥, 𝑦 = 𝑦 3𝑥𝑦 𝛽(𝑥) Logo 𝛼 𝑦 = 𝑦 𝑒 𝛽 𝑥 = 𝑥 𝑈 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑦 3𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

4 3) Uma partícula pontual de massa m está inicialmente no topo de um monte hemisférico de raio R. Ela começa a deslizar com uma velocidade horizontal dada por 𝑣 = 𝑔𝑅/. a) Supondo que o atrito é desprezível, calcule a altura em relação ao solo na qual a partícula perde contato com o monte; b) Agora suponha que existe atrito no problema. Calcule o módulo mínimo do trabalho que deve ser realizado pela força de atrito sobre a partícula para que esta alcance a altura h = R/3 sem perder o contato com o monte. Deixe a sua resposta apenas em função da massa da partícula m, da gravidade g e do raio R. (Dica: note que o coeficiente de atrito não foi informado no problema.) ~g (a) Ao descer mantendo o contato com o monte, a partícula irá descrever um movimento circular de raio R. Sabemos que para o movimento circular a força resultante atuando na partícula deve ter uma componente centrípeta dada por: 𝐹 = 𝑚𝑣 /𝑅. Da segunda lei de Newton tem-se que a equação de movimento da partícula é dada por: 𝑃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑁 = 𝑚𝑣 /𝑅. No ponto em que a partícula perde o contato com o monte, tem-se que a força de reação normal se anula. Assim: 𝑁 = 0 𝑃 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑚𝑔 = 𝑣 = 𝑔ℎ. (1) Dado que as forças atuando no sistema são todas conservativas, tem-se, então, que a energia mecânica do sistema se conserva. Portanto: Emec = T U =0) T = U) mv mv0 = mg(r De (1) e () obtém-se a resposta do problema: gh = g R h h) ) v = g )h= R. 6 R h () (b) Com a existência da força de atrito, a energia mecânica do sistema passa a não se conservar e a sua variação (energia dissipada) é dada pelo trabalho que a força de atrito realiza sobre a partícula. Este trabalho é negativo, pois a força de atrito sempre tem sentido oposto ao do movimento da partícula. O papel da força de atrito é, então, frear a partícula ao longo do seu movimento. Para que a partícula nunca perca contato com o monte é preciso que a sua velocidade seja sempre menor ou igual ao valor dado pela Eq. (1): 𝑣 𝑔ℎ. Assim 𝑊"# = 𝐸"# = 𝑇 𝑈 𝑊"# = 𝑚 𝑣 𝑚 𝑣 𝑚𝑔ℎ 𝑚 𝑣 𝑚𝑔ℎ 𝑚𝑔𝑅 𝑚𝑔 ℎ 𝑅 3 𝑊"# 𝑚𝑔 ℎ 𝑅. (3) 4 Como 𝑊"# = 𝑊"#, da Eq. (3) tem-se que: 𝑊"# 𝑚𝑔 𝑅 ℎ. O valor mínimo do módulo do trabalho realizado para que a partícula atinja a altura h = R/3 é dada, então, por: 𝑊"# 𝑚𝑔𝑅.

5 4) Na figura abaixo, um bloco inicialmente em repouso explode em dois pedaços, E e D. Estes pedaços inicialmente deslizam sobre um piso sem atrito de comprimento total L e depois entram em regiões com atrito, onde acabam parando. O pedaço E, cuja massa é, encontra um coeficiente de atrito cinético µ E e chega ao repouso em uma distância d E. O pedaço D, cuja massa é, encontra um coeficiente de atrito cinético µ D e desliza até o repouso após uma distância. Calcule: a) A razão das velocidades dos blocos E e D imediatamente após a explosão; b) A razão entre as distâncias d E e percorridas pelos blocos. Deixe a sua resposta em termos de,, µ E e µ D ; c) A posição do centro de massa do sistema após os blocos pararem. ASSUMA =1m. Deixe a sua resposta em termos de,, µ E e µ D ão; µe d E L/ L/ µ=0 0 µd x (a) Da conservação do momento linear, os momentos totais do sistema antes e logo após a explosão devem ser iguais, pois apenas forças internas atuam sobre o sistema. Como o sistema encontrava-se em repouso, tem-se que o momento linear antes da explosão era nulo. Assim: ~P i = ~ P f, como ~ P i =0) ~ P f =0) ~ P E ~ P D = 0; ~ PE = ~v E î; ~ P D = ~v D î ) ~v E = ~v D ) ~v E ~v D = (b) Ao entrar na região com atrito, os blocos terão a sua energia cinética dissipada através da realização de trabalho da força de atrito. Do teorema da energia cinética e trabalho podemos realicionar a variação da energia cinética com o trabalho da força de atrito: T = W T () () = W "#$"% e T () () = W "#$"% Como a força de reação normal atuando em cada um dos pedaços se mantém constante no problema, o trabalho da força de atrito é o trabalho de uma força constante. Assim: T (E) =W (E) atrito ) v E = µ E gd E e T (D) =W (D) atrito ) v D = µ D g (c) (d E L/) ( L/) = L md L md ) d E = µ D µ E m D m E L md 1 µ D m D µ E m E µ D µ E d E