Mecânica Clássica. (Notas de Aula) MÓDULO 5 (Dinâmica 2)

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS COORDENAÇÃO DO CURSO LICENCIATURA EM FÍSICA - MODALIDADE A DISTÂNCIA- Mecânica Clássica (Notas de Aula) MÓDULO 5 (Dinâmica 2) 2015

2 Continuando com aplicações das leis de Newton para o movimento de uma partícula, por meio da equação do movimento. Nesse caso, nos limitaremos a trabalhar em coordenadas cartesianas, devido a praticidade que esta coordenada apresenta diante dos problemas propostos. 1. EQUAÇÃO DO MOVIMENTO Considerando a segunda lei de newton F = d mv dt = mv = mr (1) admitindo que a massa não varie no tempo, a partir desta equação, podemos calcular a posição r(t) e a velocidade v(t), a partir de F. Trata- se de uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais de r e r. A força F é apresentada por uma combinação das três grandezas F(r,v,t), o que nos da ampla possibilidades de aplicações em situações físicas. FORÇAS DE RETARDO ou MOVIMENTO EM UM MEIO RESITENTE 1 Na prática, um objeto sofre a ação de seu peso e também de outras forças. Uma classe importante de forças são aquelas que tendem a se opor ao movimento de um objeto. Tais forças, que aparecem devido o movimento ser realizado em um meio como o ar ou a água, são, geralmente, chamadas de forças resistivas F, amortecedoras ou dissipativas e o meio correspondente é dito ser um meio resistivo, amortecedor ou dissipativo. É visto experimentalmente que, para baixas velocidades, a força resistiva é em magnitude proporcional à velocidade. Em outros casos, ela pode ser proporcional ao quadrado (ou alguma outra potência) da velocidade. 1 SPIEGEL, MURRAY R., Mecânica Racional, Ed. MacGraw- Hill, 1976, São Paulo. 2

3 RESISTÊNCIA NO AR Considere um corpo em queda livre, a partir de uma altura h com velocidade inicial 𝑣 de modo que sofra uma resistência do ar por meio da força resistiva 𝐅 ou de arrasto (figura 1), dada por 𝐅 = 𝑏𝐯 (2) onde b é uma constante responsável pela intensidade da força de arrasto. 𝐅 Força de Arrasto h 𝐏 Força Peso Sentido do Movimento Z Figura 1: Corpo em queda livre sujeito a uma força de arrasto. Logo, a equação do movimento será 𝐅 + 𝐏 = 𝐅 (3) 𝑚𝑎 = 𝑚𝑣 = 𝑚𝑔 𝑏𝑣 (4) 𝑚 = 𝑚𝑔 𝑏𝑣 (5) 𝑑𝑡 arrumando a equação e admitindo = 𝑏/𝑚 = 𝑑𝑡 (6) 𝑔 + 𝑣 3

4 = 𝑔 + 𝑣 𝑑𝑡 (7) resolvendo a integral para 𝑣 quando t = 0 e calculando o valor de v 𝑣 𝑡 = 𝑔 𝑣 + 𝑔 + 𝑒 (8) e de forma semelhante, na condição 𝑧 = ℎ para 𝑡 = 0, chega- se ao valor de 𝑧(𝑡) 𝑧 𝑡 =ℎ 𝑔𝑡 𝑣 + 𝑔 + 1 𝑒 (9) MOVIMENTO HORIZONTAL Considere um partícula que parte da origem com velocidade inicial 𝑣 em 𝑡 = 0. Movendo- se horizontalmente numa trajetória retilínea, com uma única força atuante 𝐅, fazendo com que a partícula tenda a perder velocidade. v 𝐅 Figura 2: Movimento horizontal de uma partícula sujeito a uma força de arrasto. A força de arrasto é dada por 𝐅 = 𝑚𝐯 (10) onde k é constante e m a massa da partícula. Logo, a equação do movimento será 𝐅 = 𝐅 (11) 4

5 𝑚𝑎 = 𝑚 = 𝑚𝑣 (12) 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑑𝑡 (13) 𝑣 𝑡 = 𝑣 𝑒 (14) Podemos integrar esta equação e encontrar 𝑥 (𝑡), quando 𝑥 (𝑡 = 0) = 0 𝑣 𝑡 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑥 𝑡 = 𝑣 𝑒 𝑑𝑡 (15) 𝑥 𝑡 = 𝑣 1 𝑒 (16) ou ainda, calcular a velocidade em função do deslocamento. Foi visto, no módulo de cinemática, que 𝑎= = 𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑥 logo 1 = (17) 𝑑𝑥 𝑣 𝑑𝑡 substituindo (14) em (17) = (18) 𝑑𝑥 5

6 e integrando dv = k dx v = v kx (19) 6

7 EXERCÍCIOS 1. Uma partícula de massa m move- se em uma linha reta, sob a ação de uma força resistiva constante de módulo F. Se ela parte do repouso com velocidade em módulo v, (a) quanto tempo ela leva para alcançar o repouso e (b) qual será a distância percorrida neste tempo? Resp. (a) m/v F, (b) mv /2F 2. Um corpo de massa m está percorrendo o eixo x tal que em t = 0 ela está localizada em x = 0 e tem velocidade v. A partícula sofre a ação de uma força que se opõe ao movimento e tem magnitude f = βv Ache (a) a velocidade em módulo, (b) a posição e (c) a aceleração da partícula em um instante qualquer t > 0. Resp. (a) v = mv /(βv t + m) (b) x = ln 1 + βv t/m (c) a = βmv /( βv t + m) 3. Uma massa m move- se ao longo de uma linha reta, sob a influência de uma força constante F. Admitindo que haja uma força resistente numericamente igual a kv onde v é a velocidade instantânea em módulo e k é uma constante, prove que a distância percorrida, ao ir da velocidade v para v, é m 2k ln F kv F kv 4. Um barco com velocidade inicial v é empurrado em um lago. Ele tem sua velocidade reduzida pela água por uma força F = αe ". (a) Determine a expressão para a velocidade v(t). (b) O tempo atingido pelo barco até parar. Resp. (a) v t = ln " t + e (b) t = 1 e 7

8 BIBLIOGRAFIA 1. TAYLOR, JOHN R., Mecânica Clássica, Ed. Bookman, 2013, Porto Alegre. 2. GIACOMETTI, JOSÉ ALBERTO, Mecânica Clássica Uma Abordagem para Licenciatura,, Ed. LF, 2015, São Paulo. 3. NETO, JOÃO BARCELOS, Mecânica Newtoniana, Lagrangiana e Hamiltoniana, Ed. LF, 2013, São Paulo. 4. MARION, JERRY B., THORNTON, STEPHEN T., Dinâmica Clássica de Partículas e Sistemas, Ed. Cengage Learning, 2011, São Paulo. 5. SHAPIRO, ILYA L., PEIXOTO, GUILHERME B., Introdução à Mecânica Clássica, Ed. LF, 2010, São Paulo. 6. LUIZ, ADIR M., Física Mecânica vol. I, Ed. LF, 2006, São Paulo. 7. SYMON, KEITH R., Mecânica, Ed. Campos, 1986, Rio de Janeiro. 8. SPIEGEL, MURRAY R., Mecânica Racional, Ed. MacGraw- Hill, 1976, São Paulo. 8