Breves noções de Mecânica Quântica

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1 Aula Teórica nº 38 LEM-2006/2007 Prof. responsável de EO: Mário J. Pinheiro Breves noções de Mecânica Quântica Hipótese de De Broglie A ideia que esteve na base da Mecânica Quântica foi a seguinte: visto que a experiência tinha revelado que para a luz existe um comportamento corpuscular e um comportamento ondulatório dos fenómenos (por ex., através do efeito fotoeléctrico e dos fenómenos de interferência, respectivamente), ligados pela relação E = hν, seria de esperar que podesse existir também para as partículas de matéria um duplo aspecto corpuscular e ondulatório que estivessem ligados entre si também por uma relação onde figuraria a constante de Planck h. Com base neste argumento De Broglie introduziu em 1924 as seguintes duas relações estabelecendo uma ponte entre uma descrição corpuscular (E,p) e uma descrição ondulatória (ν,λ): QN#1 Estas relações já eram conhecidas para os fotões e De Broglie postulou que elas também se aplicavam às partículas materiais. No caso dos fotões a primeira equação foi introduzida por Einstein, enquanto que a relação p=h/λ pode ser obtida a partir da relação da dinâmica relativista: QN#2 aplicada aos fotões, m=0, donde E=pc, e como E=hν e λ=c/ν e, finalmente, p=h/λ. De Broglie introduziu assim as chamadas ondas de matéria, postulando que as partículas materiais podem ser descritas também por ondas de comprimento de onda λ=h/p e frequência ν=e/h. Tendo em conta que ω=2 πν e k=2π/λ estas relações escrevem-se ainda sob a forma: p=hk ; E= h ω Atendendo à relação entre a energia e momento de uma partícula, podemos escrever ainda QN#3 186

2 Contudo, uma aparente contradição surge desta equivalência, a velocidade de fase da onda não coincide com a velocidade da partícula material QN#4 Esta facto contudo não levanta qualquer complicação. As relações ν=e/h e λ=h/p permitem representar uma partícula livre que se move com uma energia cinética não relativista E=p 2 /2m e um momento p, por uma onda harmónica de frequência ν e comprimento de onda λ, de amplitude constante: QN#5 Contudo, como a amplitude desta onda é constante em todo o espaço, ela não proporciona qualquer informação acerca da localização da partícula no espaço e no tempo. É assim impossível medir a velocidade desta partícula medindo o intervalo de tempo decorrido entre a sua passagem por dois pontos separados por uma dada distância. As ondas de matéria associadas a uma partícula localizada no intervalo Δx do espaço deve ter uma amplitude que é grande no seu interior e muito reduzida no exterior: QN#6 A onda deve intensificar-se dentro desta região e atenuar-se fora dessa região pela sobreposição de ondas de diferentes frequências e diferentes comprimentos de onda, isto é, deve ser dada por um grupo de ondas. QN#7 A velocidade que assim deve ser comparada com a velocidade da partícula material é a velocidade de grupo: QN#8 Uma onda monocromática tem uma única frequência ω e um único valor de k, mas é uma onda de duração ilimitada no tempo, Δt= e extensão ilimitada no espaço, x=. Quando se pretende uma onda que possa descrever a posição de uma dada partícula numa região do espaço x finita, e num intervalo de tempo Δt também finito, temos de considerar grupos de onda com ω e Δk cada vez maiores. Se pensarmos que a fase da onda é uma função periódica de período 2π, podemos escrever QN#9 187

3 Estas duas relações, sob esta forma, ou através das relações semelhantes Δx.Δp h Δt ΔE h são conhecidas como as relações do princípio de incerteza de Heisenberg. Se a localização de uma partícula é muito precisa ( x=0) o nosso conhecimento sobre a quantidade de movimento é nulo ( p= ) e, ao contrário, se conhecermos exactamente a quantidade de movimento ( p=0) desconhecemos completamente a sua posição ( x= ). O mesmo tipo de raciocínio é aplicado a E e t. Densidade de probabilidade Como a intensidade de uma onda é proporcional ao quadrado da amplitude do campo (recorde-se o que se passa com o vector de Poynting): QN#10 As regiões do espaço onde é mais provável que uma partícula se encontre no instante t são aquelas em que a intensidade do campo (x,t) 2 é máxima. A probabilidade de encontrar a partícula descrita pela função de onda (x,t) no intervalo dx centrado em x no instante t é (x,t) 2 dx. A probabilidade de encontrar a partícula entre x=a e x=b é f ψ(x,t) 2 dx o integral estando compreendido entre os limites a e b. Como a partícula tem de estar em algum lugar ao longo do eixo dos xx, QN#11 Condição de normalização Equação de Schrődinger Considere-se o grupo de ondas descrevendo uma partículas QN#12 188

4 Combinando estas duas equações de acordo com a equação para a energia total da partículas E=p2/2m + V, somos imediatamente levados a escrever: QN#13 que é a chamada equação de Schrődinger descrevendo o comportamento dinâmico de uma partícula. Se a partícula estiver num estado de energia bem definido: QN#14 e substituindo na equação de Schrődinger QN#15 obtemos a chamada equação de Schrődinger independente do tempo QN#16 Estas duas expressões sofrem a alteração QN#17 no caso de uma função de onda Ψ(r,t). Por fim, no caso de uma partícula livre, não sujeita a qualquer potencial, V(x)=0, tem-se QN#18 cuja equação característica é s 2 +k 2 =0 e que apresenta como soluções s 1,2 =±i. QN#19 189

5 Estas duas soluções representam uma partícula livre de momento p=h k e energia E que se move na direcção positiva do eixo dos xx, exp(-ikx), e na direcção negativa do eixo dos xx, exp(ikx). A probabilidade de encontrar a partícula é a mesma em todos os pontos: ψ 2 =ψ*ψ=1. A solução ψ descreve uma situação em que temos completa incerteza sobre a posição, o que está de acordo com o princípio de incerteza, Δp=0 Y Δx=. 190