6. SISTEMAS DE 2 GRAUS DE LIBERDADE

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1 6. SISTEMAS DE GRAUS DE LIBERDADE 6. Introdução : Sistemas que requerem ou mais coordenadas independentes para descrever o seu movimento são denominados "Sistemas de N Graus de Liberdade". Para se calcular o número de graus de liberdade (GDL) pode-se usar a seguinte regra: GDL do Sistema Número de massas envolvidas no Sistema Número de possíveis tipos de movimentos para cada massa Sistemas com Graus de Liberdade ( GDL) podem ser formulados e resolvidos por meio de equações diferenciais com variáveis de deslocamento, sendo uma para cada GDL. Em diversos sistemas, estas equações estão acopladas, isto é, cada equação envolve a utilização de ambas as variáveis de deslocamento. Se em cada deslocamento, uma solução harmônica é adotada, as equações dinâmicas geram uma epressão que permite calcular as freqüências naturais do sistema. 6. Vibração Livre de um Sistema Não Amortecido m m m m ( ) m ( ) m Prof. Airton Nabarrete Pag. 54

2 Reescrevendo, temos : ( ) m ( ) m Adotam-se soluções harmônicas para e : Derivando temos: sen( ωt) sen( ωt) ( ωt) e ω sen( ωt) ω sen m ω m ω ( ) ( ) ( ) ( ) Através de manipulação algébrica, em seguida, vem: de () ( ) mω de ( ) ( ) m ω ( ) mω ( ) m ω { } 4 ( m m ) ω {( ) m ( ) m } ω ( )( ) A equação acima é denominada equação característica e a solução desta equação indica as freqüências naturais do sistema. As raízes da equação acima são dadas por: ± ( ) m ( ) ω, ω mm ( ) m ( ) m ( )( ) mm 4 m m m Prof. Airton Nabarrete Pag. 55

3 Isto mostra que é possível ao sistema ter uma solução harmônica não trivial quando ω é igual a ω e ω que são as freqüências naturais do sistema. Cada uma destas freqüências representa um modo de vibração diferenciado. Para representar estes modos fazemos: () i () i m ω i ( ) Substituindo cada freqüência natural encontrada anteriormente, obtém-se a relação para cada modo de vibração. Eemplo : Com relação ao sistema massa-mola ao lado, encontrar as freqüências naturais e modos de vibração, sabendo que o sistema move-se somente na vertical: Assume-se solução harmônica para a vibração livre. Se forem medidos e a partir das posições de equilíbrio estático das massas m e m, respectivamente, podem-se obter as equações de movimento e as respectivas soluções para As equações de movimento são: N m. m 5 m 5 g m g m Assumem-se soluções harmônicas () t cos( ωt) equações com algumas manipulações algébricas, obtém-se: Cujas soluções são: 4 5 ω i i, para i, e substituindo-se nas ω ω,6 rad s ω,75 rad s As relações de amplitude são dadas por: () 5 ω (),7 () 5 ω (),7 Prof. Airton Nabarrete Pag. 56

4 Os modos naturais são dados por: Modo () () t () () (.6 t) cos cos(.6 t) Modo () () t () (.75 t) cos cos(.75 t) () m m m m m m m m Primeiro Modo m Nó m m m Nó m m m m Segundo Modo Prof. Airton Nabarrete Pag. 57

5 6. Sistemas Torsionais : M t θ θ M t t t t J J θ θ t (θ -θ ) t θ t θ Considere um sistema torsional de dois discos conforme figura acima. Os segmentos do eio têm constantes de mola rotacionais t, t e t. Os discos possuem momentos de inércia J e J. Para a análise de vibração livre do sistema temos: ( t t ) θ t J θ θ ( t t ) θ t J θ θ A análise apresentada anteriormente pode ser aplicada aos sistemas torsionais com as devidas substituições Eemplo : A figura ao lado indica um sistema torsional. Encontrar as freqüências naturais e modos de vibração considerando J J, J J e t t t. Considerar para o cálculo que: J,5 g m e t 95 Nm. Assume-se solução harmônica para a vibração livre. As equações diferenciais do movimento reduzem-se a: t J θ t θ tθ J θ J θ t θ θ t t J θ Prof. Airton Nabarrete Pag. 58

6 Rearranjando e substituindo a solução harmônica: gera a equação de freqüência: () t Θ cos ( t), i, θ i ω e a solução fornece as freqüências naturais: i 4 ( J ) ω ( 5J t ) ω t ω,7 rad / s As relações de amplitude são dadas por: ω 7,7 rad / s Θ Θ () (),78 Θ Θ () (),8 6.4 Acoplamento de Coordenadas : Um sistema com n GDL requer n coordenadas independentes para descrever sua configuração e normalmente estas coordenadas são quantidades geometricamente independentes da posição de equilíbrio do corpo em vibração. Por outro lado é possível selecionar um outro conjunto de n coordenadas a fim de descrever a configuração do sistema. Cada um destes conjuntos de n coordenadas é denominado coordenadas generalizadas. C.G. m,j A B l l A figura mostra um eemplo de um torno mecânico, cujo modelo é simplificado e a base considerada suportada sobre molas nos etremos. O modelo final indica um corpo rígido de massa total m e momento de inércia J em torno de seu centro de gravidade. Prof. Airton Nabarrete Pag. 59

7 A C.G. B (t) (t) (t) A' C.G.' θ(t) B' l l Para este sistema com graus de liberdade, qualquer um dos seguintes conjuntos de coordenadas pode ser utilizado como variáveis para a descrição do movimento:. Defleões (t) e (t) nas duas etremidades da base AB.. Defleão (t) do centro de gravidade e rotação θ(t).. Defleão (t) da etremidade A e rotação θ(t). No caso, usando (t) e θ(t), como variáveis de deslocamento, tem-se: ( l θ ) ( θ ) m l ( l θ ) l ( l θ ) J θ l 6.5 Leitura Recomendada Thomson, W.T. - Teoria da Vibração com Aplicações - Cap. 5 - pg. 9 a 8. Den Hartog, J.P. - Vibrações dos Sistemas Mecânicos - Cap. - pg. 64 a 69. Rao, S.S. Mechanical Vibrations Cap. 5 Pág. a 49. Prof. Airton Nabarrete Pag. 6

8 6.6 Eercícios Propostos : ) Determinar as freqüências naturais do conjunto pendular abaio. m g; m g; l,7 m; a,4 m; N/m; I ml. a θ θ F m l I I m m m g ) Determinar as freqüências dos movimentos angular (Pitch) e vertical (Bounce) e as localizações dos centros de oscilação (nós) de um automóvel com as seguintes características: Bounce Pitch CG l l CG Referência Dados: massa g; raio de giração.9 m; J CG m r ; distância entre eio dianteiro e o CG l m; distância entre eio traseiro e o CG l,5m; Constante da mola dianteira 8 N/m; Constante da mola traseira N/m. Prof. Airton Nabarrete Pag. 6