Mecânica Clássica. (Notas de Aula) MÓDULO 6 (Dinâmica 3)

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS COORDENAÇÃO DO CURSO LICENCIATURA EM FÍSICA - MODALIDADE A DISTÂNCIA- Mecânica Clássica (Notas de Aula) MÓDULO 6 (Dinâmica 3) 2015

2 Neste módulo estudaremos o conceito de energia e sua conservação, assim como, definições de trabalho, potência, impulso e conservação do momento linear. 1. TRABALHO Considerando uma força F, que faz uma partícula se deslocar de um ponto P1, localizado em 𝑟!, até um ponto P2, localizado em 𝑟! (figura 1). P2 C P1 𝑑𝐫 Figura 1: Partícula que se desloca de um ponto P1 até um ponto P2. Para um deslocamento infinitesimal 𝑑𝐫 que a partícula realiza, o trabalho é definido por 𝑊= 𝒓𝟐 𝐅. 𝑑𝐫 [ 𝐽 ] (1) 𝒓𝟏 O trabalho é a energia necessária para deslocar um corpo de um ponto a outro num percurso considerado. Na sua forma matemática (equação 1) a integral de linha é soma, que leva em conta todos os deslocamentos infinitesimais. 2. ENERGIA CINÉTICA A energia cinética é outra forma de energia, que para uma partícula de massa m, movendo- se com velocidade v, é definida como 𝑇= 1 𝑚𝑣! [ 𝐽 ] (2) 2 2

3 TEOREMA TRABALHO ENERGIA Considerando a partícula acima de massa m, que, nos tempos 𝑡! e 𝑡!, se move com velocidade 𝑣! e 𝑣!, respectivamente, então 𝑊= 𝒓𝟐 𝐅. 𝑑𝐫 = 𝑚𝒂. 𝑑𝐫 𝒓𝟏 𝑊=𝑚 𝒂. 𝑑𝐫 = 𝑚 𝑊=𝑚 𝐯. 𝑑𝐯. 𝑑𝐫 𝑑𝐫 𝐯. 𝑑𝐯 𝐯 e 𝑑𝐯 tem os mesmos sentidos, logo 𝐯. 𝑑𝐯 = 𝑣𝑑𝑣 𝑊=𝑚 𝑣𝑑𝑣 = 1 1 𝑚𝑣 𝑚𝑣 2 2 𝑊 = 𝑇! 𝑇! = Δ𝑇 (3) O trabalho total feito de P1 a P2 ao longo de C, é igual a variação entre a energia cinética em P2 menos a energia cinética em P1. 3. POTÊNCIA1 A razão do trabalho feito em uma partícula pelo tempo é, geralmente, chamada de potência instantânea ou, suficientemente, de potência (P), aplicada a uma partícula. 𝑃= 𝑑𝑊 [𝑤𝑎𝑡𝑡𝑠] (4) 𝑑𝑡 ou, a partir do conceito de trabalho 𝑃 = 𝐅. 𝐯 (5) 1 SPIEGEL, MURRAY R., Mecânica Racional, Ed. MacGraw- Hill, 1976, São Paulo. 3

4 4. FORÇAS CONSERVATIVAS2 A força conservativa é aquela em que o trabalho por ela realizado entre dois pontos quaisquer não depende do caminho seguido pela partícula. Sejam dois pontos distintos A e B, de modo que o trabalho realizado por forças conservativas, não depende das curvas 𝐶!, 𝐶!,...,𝐶! (figura 2). B 𝐶! 𝐶! A 𝐶! Figura 2: Trajetórias possíveis para realização do trabalho entre os pontos A e B. 𝑊 = 𝐅. 𝑑𝐫 𝐶! = 𝐅. 𝑑𝐫 𝐶! = = 𝐅. 𝑑𝐫 (6) 𝐶! O trabalho dependerá somente dos pontos finais A e B. 5. ENERGIA POTENCIAL A energia potencial, também chamada, de potencial escalar, ou simplesmente, potencial da partícula num campo de força conservativa. Trata- se de uma forma de energia que depende somente da posição da partícula no espaço. A função energia potencial 𝑉 𝐫 é definida pelo vetor gradiente, como 𝐅 = 𝑉 (7) 2 GIACOMETTI, JOSÉ ALBERTO, Mecânica Clássica Uma Abordagem para Licenciatura,, Ed. LF, 2015, São Paulo. 4

5 onde 𝑉 𝑉 𝑉 𝐢+ 𝐣+ 𝐤 (8) 𝑥 𝑦 𝑧 𝑉 = é o gradiente da função energia potencial. ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL Considere um corpo em queda livre por meio da força peso que age no sentido contrário do eixo Z. Neste caso, 𝐅 = 𝑚𝑔𝐤 (figura 4) e usando a equação (7) apena na componente Z. F z Figura 4: Corpo em queda livre. 𝐅 = 𝑚𝑔𝐤 = 𝑉 𝐤 (9) 𝑧 considerando a energia potencial nula na superfície (𝑉! = 0).! 𝑚𝑔𝑑𝑧 =! 𝑑𝑉! 𝑉 = 𝑚𝑔𝑧 (10) 5

6 6. CONSERVAÇÃO DA ENERGIA Combinando as energias cinética e potencial, tem- se para a força conservativa que 𝐸!" + 𝑉! = 𝐸!" + 𝑉! (11) onde a soma 𝐸! + 𝑉 é a energia total ou mecânica do sistema, 𝐸!. A equação (11) mostra que a energia total é mesma em qualquer posição do movimento do corpo, ou seja, existe uma conservação da energia mecânica. 7. IMPULSO A partir da segunda lei de Newton, temos 𝐅=𝑚 𝑑𝐯 𝑑𝑡 𝐅𝑑𝑡 = 𝑚 𝑑𝐯 (12) o lado direito da equação 12, é definido como impulso (I) da força F. 𝐼= 𝐅𝑑𝑡 (13) O impulso é igual a variação do momento linear, mesmo que a massa seja variável e o força não conservativa. 𝐼 = 𝐩 = 𝐩! 𝐩! (14) 6

7 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Ache o trabalho realizado em mover um objeto por uma trajetória da pelo vetor posição r = 3i + 2j 5k se a força aplicada é F = 2i j k. Solução A força proposta no problema é de natureza constante, portanto pela equação (1), teremos W = F. dr = F. r logo W = 2i j k. ( 3i + 2j 5k) W = 9 J 2. Qual é a energia potencial elástica para um sistema massa- mola. Solução Foi visto que a força restauradora de um sistema massa- mola é dada pela lei de Hook logo, pela equação (7) F = kxi F = V kxi = V = V x i kx = dv dx V = 1 2 kx! 7

8 3. A massa m está encostada na mola de constante k, onde a mola está comprimida pela distância d da sua posição de equilíbrio. Quando o corpo for liberado, calcule a altura que o corpo subira sobre o plano inclinado (despreze o atrito). ` θ Solução B h θ A Aplicando a conservação da energia nos pontos A e B (considerando nulas as velocidades nestes pontos). 1 2 kd! = mgh h = 1 kd! 2 mg 4. Uma partícula de massa m se movimenta em uma dimensão e tem energia potencial V x = V! [2 x a! x a! ] onde V! e a, são constantes positivas. Determine a força F(x), atuando sobre a partícula. 8

9 Solução Por meio da equação (7), considerando a dimensão x F = V = dv dx F = d dx [ 2 a! x! 1 a! x! ] F = 4x a! (x! a! 1) 9

10 EXERCÍCIOS 1. Ache a energia cinética de uma partícula de massa 20 kg movendo- se com uma velocidade de 3i 5j + 4k. Resp. 500 J 2. Uma partícula de massa m move- se em um campo de força F = kxi. (a) Qual será o trabalho para mover a partícula de x = x! a x = x!? (b) Se a partícula inicia seu movimento em x = x!, com velocidade v!, qual será sua velocidade em x = x!? Resp. (a)!! k(x!! x!! ) (b) v!! + (k m)(x!! x!! ) 3. A potência aplicada a um corpo por uma campo de força é dada em função do tempo por t = 3t! 4t + 2. Ache o trabalho realizado em que t = 2 ao ponto em que t = 4 s. Resp. 36 J 4. Uma partícula se encontra sob influência de uma força F = kx + kx! α!, onde k (>0)e α são constantes. Determine a energia potencial V(x). Resp.!! kx!!! k!! 5. Considere uma partícula se movendo na região x > 0 sob influência do potencial U x = 2 x + x 2 Mostre que x = 2 a força F(x) se anula. 10

11 BIBLIOGRAFIA 1. TAYLOR, JOHN R., Mecânica Clássica, Ed. Bookman, 2013, Porto Alegre. 2. GIACOMETTI, JOSÉ ALBERTO, Mecânica Clássica Uma Abordagem para Licenciatura,, Ed. LF, 2015, São Paulo. 3. NETO, JOÃO BARCELOS, Mecânica Newtoniana, Lagrangiana e Hamiltoniana, Ed. LF, 2013, São Paulo. 4. MARION, JERRY B., THORNTON, STEPHEN T., Dinâmica Clássica de Partículas e Sistemas, Ed. Cengage Learning, 2011, São Paulo. 5. SHAPIRO, ILYA L., PEIXOTO, GUILHERME B., Introdução à Mecânica Clássica, Ed. LF, 2010, São Paulo. 6. LUIZ, ADIR M., Física Mecânica vol. I, Ed. LF, 2006, São Paulo. 7. SYMON, KEITH R., Mecânica, Ed. Campos, 1986, Rio de Janeiro. 8. SPIEGEL, MURRAY R., Mecânica Racional, Ed. MacGraw- Hill, 1976, São Paulo. 11