Eletromagnetismo I. Prof. Daniel Orquiza. Eletromagnetismo I. Prof. Daniel Orquiza de Carvalho

Transcrição

1 de Carvalho

2 - Eletrostática Distribuições Contínuas de Cargas (Páginas 33 a 41 no livro teto) Densidade Volumétrica de Cargas Campo Elétrico de uma densidade volumétrica de cargas Densidade Superficial de Cargas Campo Elétrico de uma superfície infinita de cargas Densidade Linear de Cargas Campo Elétrico de uma linha infinita de cargas 1

3 - Eletrostática Distribuição espacial de cargas O campo gerado na posição r devido a n cargas Q m distintas situadas nas posições r m é a superposição (soma) dos campos gerados por cada uma das cargas no ponto r. Pergunta? E( r) = n m=1 Q m 4πε 0 r rm 2 2 âm Como fica E devido a uma distribuição espacial de cargas? Q 1 r 1 Q 2 r 2 Origem r r n Q n

4 - Eletrostática Densidade Volumétrica de Cargas A densidade volumétrica de cargas é um campo escalar que tem unidades de carga por unidade de volume. ρ v = dq dv [C / m 3 ] Para calcular a carga total em um volume com densidade volumétrica ρ v (r ), integramos ρ v ao longo do volume. Q = vol. ρ v r ' ( )dv' ρ v r ' ( ) 3 vol.

5 - Eletrostática Campo Elétrico de uma densidade volumétrica de cargas O campo elétrico gerado por uma distribuição volumétrica de carga é obtido de forma similar à superposição do campo de cargas pontuais. Como a distribuição é contínua, a carga Q(r ) no elemento diferencial dv é substituída por Q(r ) = ρ v (r )dv e o somatório é substituído pela integral volumétrica E ( r " ) = 1 4πε 0 Como definido anteriormente, o vetor unitário é: â R = vol. ( r ')dv' r r. â ' 2 R ρ v r r ' r r ' 4

6 - Eletrostática Densidade Linear de Cargas A densidade linear de cargas é um campo escalar que tem unidades de carga por unidade de comprimento. = dq dl [C / m] Uma linha ou caminho de cargas com densidade linear é uma abstração e não possui espessura. Para calcular a carga total em um caminho com densidade linear (r ), integramos ao longo do caminho l. Q = l 5 r ' ( )dl' l r ' ( )

7 - Eletrostática Campo Elétrico de uma Linha Infinita de Cargas Problema: Calcular o campo em um ponto P devido a uma linha infinita com densidade uniforme de cargas. O campo elétrico é: E = 1 4πε 0 d' â R 2 R O vetor a R, em coord. Cartesianas fica: senθ â â R = cosθâ ρ senθâ â R θ (1) r ' â R R = r r ' r θ P r ' = 'â r = ρâ ρ cosθ â ρ 6

8 - Eletrostática Campo Elétrico de uma Linha Infinita de Cargas E = 1 4πε 0 d' â R 2 R Para facilitar a integração podemos faer um a mudança de variáveis ( à θ): ' = ρ tanθ O elemento diferencial d fica: ( ) d' = ρ d tanθ dθ Substituindo sec θ = R/ρ: d' = R ρ 2 dθ = ec 2 θdθ dθ (2) r ' â R R = r r ' r θ P r ' = 'â r = ρâ ρ 7

9 - Eletrostática Campo Elétrico de uma Linha Infinita de Cargas E = 1 4πε 0 d' â R 2 R Substituindo o elem. diferencial d, o vetor unitário a R e a distância R = R na epressão para E: E = 1 4πε 0 π 2 π 2 R 2 R 2 ρ d θ cosθâ ρ senθâ r ' â R R = r r ' r θ P Note a troca no limite de integração: < ' < π 2 <θ < π 2 r ' = 'â r = ρâ ρ 8

10 - Eletrostática Campo Elétrico de uma Linha Infinita de Cargas E = 1 4πε 0 d' â R 2 R A integral fica: E = ( ) 4πε 0 ρ senθâ ρ cosθâ O Campo Elétrico de uma linha infinita só tem componente radial, e cai com o inverso da distância da linha. E = 2πε 0 ρ âρ π 2 π 2 r ' â R r R = r r ' θ E P r ' = 'â r = ρâ ρ E ρ 9

11 - Eletrostática Densidade Superficial de Cargas A densidade superficial de cargas é um campo escalar que tem unidades de carga por unidade de área. ρ S = dq ds' [C / m 2 ] Uma linha superfície de cargas com densidade superficial ρ S é uma abstração e não possui espessura. Para calcular a carga total em uma superfície com densidade ρ S (r ), integramos ao longo da superfície S. Q = S' r ' ( )ds' ρ S r ' ( ) 10 S '

12 - Eletrostática Campo Elétrico de um Plano Infinito de Cargas Problema: Calcular o campo em um ponto P devido a uma superfície infinita com densidade uniforme de cargas no plano ( = 0). O campo elétrico é a soma da contribuição de todas as linhas com largura infinitesimal d : E = 2πε 0 R d'.cosθ. â Podemos reescrever cosθ usando: cosθ = 2 + (') 2 P θ ' d' R = 2 + (') 2 11

13 - Eletrostática Campo Elétrico de um Plano Infinito de Cargas E = 2πε 0 R d'.cosθ. â Substituindo cosθ e R na equação acima: E = 2πε 0 d'. â 2 + (') 2 ' d' A integral do termo entre parênteses é: E = E = tan 1 ' 2πε 0 Substituindo os limites de integração: ρ s π 2πε 0 2 π â 2 12 P θ R = 2 + (') 2

14 - Eletrostática Campo Elétrico de um Plano Infinito de Cargas E = O Campo Elétrico do lado > 0 é uniforme: E = 2ε 0 2πε 0 R d'.cosθ. â â ' d' O resultado acima pode ser generaliado para uma superfície em qualquer outra posição do plano cartesiano: E = 2ε 0 â N P θ R = 2 + (') 2 13

15 - Eletrostática Linha Infinita de Cargas transladada Como fica, em coordenadas cartesianas. a epressão para o campo gerado por uma linha infinita de cargas se a linha não está mais situada em ( = 0, = 0)? Nós vimos que: ρ E = l 2πε 0 ρ âρ Se transladarmos a linha para (, ), o vetor unitário na direção radial fica: ' E ρ â ρ = ( ' )â + ( ' )â ( ' ) 2 + ( ' ) 2 1/2 ' â ρ ρ P (, ) 14

16 - Eletrostática Linha Infinita de Cargas transladada A distância radial e torna: ρ = ( ' ) 2 + ' ( ) 2 ρ E = l 2πε 0 ρ âρ 1/2 O campo gerado no ponto P, para a linha infinita orientada na direção em (, ) é: E = ( ' )â + ( ' )â 2πε 0 ρ ' ( ) 2 + ( ' ) 2 ' â ρ ' ρ E ρ P (, ) 15

17 - Eletrostática Eemplo Uma placa quadrada descrita por -2 2m, -2 2m e = 0 está carregada com 12 mc/m 2. Determine a carga total na placa e a intensidade de campo elétrico E no ponto (0, 0, 10)m. 16