P ( Introdução à Física, J. Dias de Deus et al.)

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1 Problemas de Mecânica e Ondas MEAer 2015 Série 11 P ( Introdução à Física, J. Dias de Deus et al.) Uma nave, cujo comprimento em repouso é de 60 m, afasta-se de um observador na Terra (ver figura). A sua velocidade poderá ser determinada enviando um sinal luminoso da Terra que é reflectido de volta por dois espelhos colocados em cada uma das extremidades da nave. Começa-se por receber o sinal resposta (1), resultante da reflexão no espelho mais próximo do observador na Terra, seguido por um segundo sinal resposta (2) resultante da reflexão no espelho mais afastado. O segundo sinal é recebido pelo observador na Terra 1,74 µs depois da recepção do primeiro. a) A diferença de percurso entre o raio (2) e o raio (1) é igual ou diferente do dobro do comprimento da nave para o observador da nave? E para o observador da Terra? b) Qual é a velocidade da nave? c) A nave transporta um laboratório de Física onde se produzem mesões que se deslocam com uma velocidade de 0,999c em relação a esta. Qual a velocidade destes mesões em relação a um laboratório na Terra? d) Se tivesse usado a lei clássica de adição das velocidades, quanto obteria na alínea c)? Acha isso possível? P ( Introdução à Física, J. Dias de Deus et al.) No LEP (CERN em Genebra) são acelerados electrões que atingem um momento linear de cerca de 100 GeV/c (1 GeV/c = 5, kg.m.s -1 ). Os electrões são acelerados utilizando campos eléctricos e campos magnéticos com uma intensidade de 0,1 Tesla. O raio de curvatura em função da intensidade do campo magnético B é dado por R = " carga respectiva. em que p é o módulo do momento linear de uma partícula e q é a

2 a) A que fracção da velocidade da luz se deslocam esses electrões? Qual a sua energia? b) Poderá utilizar a expressão clássica mv para a energia cinética? Qual a razão entre E mc, sendo E o valor real da energia calculado em a), e o valor obtido por essa expressão clássica? c) Se o momento linear fosse dado pela expressão clássica, p = mv, qual seria o raio de curvatura do LEP? Compare com o valor real R 3 km (note que o acelerador não é rigorosamente circular incluindo troços lineares, perfazendo efectivamente um diâmetro total muito maior de cerca de 8,5 km). P ( Introdução à Física, J. Dias de Deus et al.) Um electrão e um positrão animados com uma velocidade de 0,99c colidem frontalmente. a) Pode obter-se como produto desta reacção um par protão-antiprotão? m "#$%ã = m "#$%&ã = 9,1 10 " kg; m "#$ã = m "#$%&'#ã = 1,67 10 " kg b) O electrão e o positrão (antipartícula do electrão) podem chocar dando origem a dois fotões (aniquilação). Qual é a energia de cada um dos fotões, supondo que o par electrão-positrão tem a energia dada na alínea a)? c) Qual é a massa inicial e final dos intervenientes no choque da alínea b)? (note que o fotão é uma partícula sem massa). Há conservação da massa em relatividade? P ( Exercícios de Física, A. Noronha, P. Brogueira) A descoberta da partícula J/ψ em 1974 foi uma autêntica revolução na Física de Partículas, com a confirmação do modelo de quarks. O J/ψ tem uma massa de aproximadamente 6, kg e um tempo de vida de cerca de s (no seu referencial próprio). Considere um J/ψ que no laboratório tem uma velocidade tal que v = 0,9996c. a) Calcule, no laboratório, o momento linear e a energia desse J/ψ. Compare com os valores obtidos no referencial do centro de massa do J/ψ. b) Determine no laboratório, a distância percorrida por esse J/ψ antes de decair. c) Suponha que o J/ψ decai num par electrão e positrão (semelhante ao electrão com carga positiva). Que fracção da massa do J/ψ desaparece no decaimento? Porquê?

3 d) Determine, no referencial do centro de massa do J/ψ, o momento linear do electrão resultante do decaimento referido na alínea c). Para os cálculos, repare que as energias associadas à massa do electrão e do positrão são muito menores que as outras energias em jogo. P ( Exercícios de Física, A. Noronha, P. Brogueira) No Sol, milhares de toneladas de hidrogénio são convertidas em cada segundo, através de reacções de fusão nuclear, em hélio, protões e energia. Uma dessas reacções envolve dois núcleos de 3 (dois protões e um neutrão), dando origem a dois núcleos de Hélio e dois de hidrogénio. + + H + H a) Tendo em conta os seguintes valores para as massas m m m = 5, " kg = 6, " kg H = 1, " kg calcule a energia libertada pela fusão de cada par de núcleos de em repouso. b) Suponha que, inicialmente, dois núcleos de se dirigem com uma velocidade de módulo 0,5c em relação ao respectivo centro de massa e que, depois da reacção, a velocidade de recuo do formado é de 0,3c. Qual a energia máxima transportada pelos dois núcleos de hidrogénio produzidos na reacção, em relação ao referencial do centro de massa? c) Calcule o módulo do momento linear de cada um dos átomos de hidrogénio (suponha que o choque não é frontal e que estes seguem com momentos de igual módulo). d) Com que ângulos são emitidos os dois átomos de hidrogénio em relação à direcção de recuo do (ver figura)?

4 Soluções: P a) Diferença de percurso entre os dois raios de luz no referencial da nave: 𝑥 = 2ℓ𝓁. (ℓ𝓁 é o comprimento da nave no referencial da nave referencial próprio ). No referencial da Terra: 𝑥 = 2ℓ𝓁 + 𝑉 𝑡, porque, quando o raio é reflectido no 2º espelho, a nave deslocou-se de uma distância (adicional) 𝑉 𝑡 no referencial da Terra. b) 𝑥 = 2ℓ𝓁 + 𝑉 𝑡 𝑐 = 𝑐 𝑉 = ℓ𝓁 1 = ℓ𝓁 +𝑉 𝑐 𝑉 = ℓ𝓁 (a relação entre o comprimento da nave no referencial da Terra, ℓ𝓁, e no referencial próprio ℓ𝓁 corresponde ao fenómeno de contracção do espaço ). 𝑉= 𝑐 = 0,9𝑐 = 2,7 10 m/s com 𝛼 = ℓ𝓁 = 5, c) Velocidade da nave (relativa ao referencial da Terra): 𝑉 ; velocidade da partícula no referencial da nave 𝑢 = 0,999𝑐 Velocidade da partícula no referencial da Terra: 𝑢 = " = 0,9999𝑐 = 2, m/s d) 𝑢 = 𝑉 + 𝑢 = 1,899𝑐 > 𝑐; Impossível. P a) 𝑝 = 𝒎𝒗 𝒗𝟐 𝟏 𝟐 𝒄 𝒗 = 1 1,3 10 c ; 𝐸 = 1, J = 𝑚 𝑐 + 𝑝 𝑐 = 1, J 1, = 10 ev = 100 GeV 1,6 10" (1 ev = 𝑞"#$%ã 1 V = 1,6 10" J) b) = 4 10 () c) 𝑝 = 𝑚𝑣 𝑚𝑐 𝑅 = " " = 0,017m = 1,7 cm P a) Não é possível a produção do par: 𝐸 = 2 64,5 10" 𝑐 J < 2 1,67 10" 𝑐 J b) 𝐸"#ã = 64,5 10" 𝑐 J c) 𝑚 = 2 9,1 10" kg ; 𝑚"#ã = 0 kg ; não. P a) 𝑝 = ;𝐸 = No referencial do laboratório

5 𝑝 = 3 10" kg m s - 1 ; 𝐸 = 3 10 J No referencial do centro de massa (referencial próprio do J/ψ): 𝑝 = 0; 𝐸 = 𝑚𝑐 = 6 10" J b) Tempo de vida do J/ψ no referencial do laboratório: 𝑡 = 𝑡 𝑣 1 𝑐 𝑥 = 𝑣 Δ𝑡 = = 2,5 10" s 0,9996 𝑐 2,5 10" = 7,5 10" m c) Massa inicial: 𝑚 = 6,6 10" kg Massa final: 2 𝑚 = 18,2 10" kg Fracção da massa do J/ψ que desaparece no decaímento (transformada em energia): 𝑚 2𝑚 99,9% 𝑚 d) No referencial próprio do J/ψ (referencial do centro de massa) o electrão e o positrão têm momentos lineares de módulo idêntico e sinais contrários. 𝑝 = 𝑝 Ainda neste referencial da conservação da energia resulta: 𝑚 𝑐 + 𝑝 𝑐 + 𝑚 𝑐 + 𝑝" 𝑐 𝑚 𝑐 = 𝐸 + 𝐸 = Como a parte da energia dos electrões associada à massa é muito menor que a parte associada ao momento linear (verificar), temos: 𝐸 = 𝑚 𝑐 2 𝑝 ± 𝑐 Utilizando o valor de 𝐸 obtido na alínea a), temos: 𝑝 ± = 10" kg m 𝑠 P a) 𝐸 = 2 𝑚 3 𝑐2 𝑚 4 𝑐2 2 𝑚 1H 𝑐2 = 2, b) No referencial do centro de massa 𝐸 = 𝑚 3 𝑐2, = 𝑚 3 𝑐2," = 1, J 29 2 𝑐 J = 2,063 pj

6 𝑚 4 𝑐2 𝐸 = 1 0,3𝑐 𝑐 𝐸 = 𝐸 𝐸"# = + 𝐸"# 𝑚 3 𝑐2 𝐸"# = 1,049 10, 𝑚 4 𝑐2, 6, , = 4,139 10" J c) Se cada protão tiver momento com igual módulo, e atendendo à expressão 𝐸 = 𝑚 𝑐 + 𝑝 𝑐 Conclui-se que cada um dos protões terá a mesma energia: 𝐸 1H = "# = 2,07 10" J Resolvendo a equação anterior em ordem a p, temos: 𝑝= 𝑚 𝑐 =," "" "" 1, 𝑝 = 4,733 10" kg m s - 1 d) Nas condições dadas no enunciado temos 𝛼 = 𝛽 (uma vez que os momentos dos núcleos de hidrogénio têm momentos lineares com o mesmo módulo, no referencial do centro de massa). 4 𝑝 4 = 2 𝑝 1H cos 𝛼 𝛼 = acos 4 1 H Com 𝑝 1H dado na alínea anterior. = acos,, 1 H = 48,5