Hewlett-Packard LOGARITMO. Aulas 01 a 08. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

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1 Hewlett-Packard LOGARITMO Aulas 0 a 08 Ano 06

2 Sumário LOGARITMO... PRELIMINAR... LOGARITMO CONSEQUÊNCIAS... CONSEQUÊNCIAS PROPRIEDADES OPERATÓRIAS... PROPRIEDADES OPERATÓRIAS... PRODUTO... DIVISÃO... POTENCIAÇÃO MUDANÇA DE BASE... MUDANÇA DE BASE CONSEQUÊNCIAS... EQUAÇÃO LOGARÍTMICA... EQUAÇÃO LOGARÍTMICA EXTRA... 5 GABARITO... 5 EXTRA... 5 Função Logarítmica O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO LOGARÍTMICA... 5 EXERCÍCIO FUNDAMENTAL... 6 DOMÍNIO... 6 DOMÍNIO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA... 6 EXERCÍCIO FUNDAMENTAL... 6 GRÁFICOS POR TRANSLAÇÃO... 6 EXERCÍCIO FUNDAMENTAL... 7 INEQUAÇÃO... 7 INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA... 7 EXERCÍCIO FUNDAMENTAL... 8

3 EXTRA... 8 GABARITO... 8 EXTRA... 8 CAIU NO VEST... 8 QUESTÕES EXTRAS... 9 GABARITO CAIU NO VEST... QUESTÕES EXTRAS... Página

4 AULA 0 LOGARITMO PRELIMINAR A população de uma bactéria dobra a cada hora. Qual é o tempo necessário para que a população octuplique? 𝑥 = 8 𝑥 = 𝑥 = Observe que no problema estamos em busca do valor da potência 𝑥. Vamos criar um operador que irá facilitar esse tipo de conta. LOGARITMO Sejam 𝑎, 𝑏 ℝ + e 𝑎. O logaritmo de 𝒃 na base 𝒂 é o expoente 𝒙 que deve se elevar 𝑎 para se obter 𝑏, ou seja 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃 = 𝒙 𝒂𝒙 = 𝒃 𝒂: base do logaritmo 𝒃: logaritmando 𝒙: logaritmo Exemplo.: Na expressão log 8 =, temos que: é a base 8 é o logaritmando é o logaritmo. Exemplo.: Abaixo estão calculados alguns logaritmos, lembre-se que o logaritmo é a busca pela potência. log 8 = log 9 = log 5 = 5 Note que no exemplo acima foi possível determinar o valor dos logaritmos sem elaborar a conta. Porém, na maioria dos casos vamos utilizar a definição e resolver a equação exponencial. Exemplo.: 𝑥 log 0,5 0,5 = 𝑥 0,5𝑥 = 0,5 ( ) = ( ) 𝑥= Portanto, log 0,5 0,5 =.. Calcule o valor dos seguintes logaritmos. a) log 6 b) log 8 c) log d) log 8 e) log 6 6 f) log 0, 5 g) log 0,0 Obs.: A notação log 𝑎 denota o logaritmo na base 0, ou seja, log 𝑎 = log0 𝑎... Sabendo que log 𝑎 = e log 𝑏 =, calcule a) log 𝑏 𝑎 b) log 𝑎 𝑏 c) log 𝑎 𝑏 Tarefa AULA 0 CONSEQUÊNCIAS Da definição de logaritmo, seguem algumas consequências diretas que simplificam a resolução de alguns logaritmos. CONSEQUÊNCIAS Sejam 𝑎, 𝑏 ℝ + e 𝑎. I. 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝟏 = 𝟎. II. 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒂 = 𝟏. III. 𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃 = 𝒃 IV. 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒄 𝒃 = 𝒄 Obs.: As consequências 𝑖) a 𝑖𝑣) são propriedades que devem ser utilizadas para facilitar e encurtar a resolução de exercícios. Página

5 Exemplo.:.. Demonstre as consequências... Calcule: a) log b) 5 log5 c) 8log 7 d) 𝑒 ln e) 5 log5 7 Obs.: A notação ln 𝑎, denota log 𝑒 𝑎, onde 𝑒 é o número de Euler e este logaritmo é chamado de logaritmo natural ou neperiano. = log log 8 = = 8 log 𝑏 Obs.5: ATENÇÃO! log 𝑎 𝑏 𝑐 log𝑎 𝑐, ou seja divisão log 𝑎 dentro vira subtração fora, mas subtração dentro não vira divisão fora. POTENCIAÇÃO 𝐥𝐨𝐠 𝒂 (𝒃𝒓 ) = 𝒓 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃 Exemplo.: log 8 = 8 log = 8 = 6 Tarefa AULA 0 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS Vamos agora estudar as propriedades operatórias que envolvem o logaritmo. Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 ℝ +, 𝑎 e 𝑟 ℝ... Demonstre as propriedades operatórias... Sabendo que log = 𝑎 e log = 𝑏, calcule em função de 𝑎 e 𝑏: a) log 6 b) log,5 c) log 5 d) log 7 e) log,8 f) log 0,75 PRODUTO Propriedades operatórias PROPRIEDADES OPERATÓRIAS 𝐥𝐨𝐠 𝒂 (𝒃 𝒄) = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃 + 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒄 Exemplo.: log ( 8) = log + log 8 = + = 5 Obs.: ATENÇÃO! log 𝑎 (𝑏 + 𝑐) log 𝑎 𝑏 log 𝑎 𝑐, ou seja produto dentro vira soma fora, mas soma dentro não vira produto fora. DIVISÃO 𝒃 𝐥𝐨𝐠 𝒂 ( ) = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒄 𝒄 Em grande parte das questões em que se utilizam as propriedades operatórias será dado no enunciado alguns valores de logaritmos. Procure reescrever os valores solicitados utilizando produto, divisão e potências dos valores conhecidos. Por exemplo, se o enunciado dá os valores de log = 𝑎 e log = 𝑏 e solicita log 6, reescreva: log 6 = log( ) = log + log = 𝑎 + 𝑏.. Sabendo que log = 0, e log = 0,8, calcule o valor de: a) log 7 b) log 8 c) d) e) f) g) log log log 0,06 log 8 log 5 Página

6 AULA 05 EQUAÇÃO LOGARÍTMICA Tarefa AULA 0 MUDANÇA DE BASE MUDANÇA DE BASE Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐 ℝ +, 𝑎 e 𝑐, temos que: 𝐥𝐨𝐠 𝒄 𝒃 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃 = 𝐥𝐨𝐠 𝒄 𝒂 log = log = log = Temos dois principais tipos de equações logarítmicas: º) Equações redutíveis a uma igualdade entre dois logaritmos de uma mesma base. 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒈(𝒙) 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) > 0 Exemplo.: EQUAÇÃO LOGARÍTMICA log5. log5 log. log ln. ln Quando e por que mudar a base? Exemplo 5.: log (𝑥 ) = log (𝑥 ) 𝑥 = 𝑥 > 0 𝑥 = 𝑥 𝑥 = Verificando, 𝑥 = 𝑥 = e 𝑥 =. Como já vimos em propriedades operatórias o enunciado de algumas questões dão os valores de certos logaritmos. Uma das principais utilidades da mudança de base é para ajustar a base do logaritmo que se deseja calcular com a base dada no enunciado. A questão. exemplifica bem está situação... Sabendo que log = 0,, log = 0,8 e log 5 = 0,7, calcule o valor de: a) log b) log 5 c) log 5 d) log 00 CONSEQUÊNCIAS Sejam 𝑎, 𝑏 ℝ + e 𝑎. 𝟏 I. 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂. II. 𝐥𝐨𝐠 𝒂𝒓 𝒃 = 𝒓 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃. 𝒃 𝟏.. Demonstre as consequências acima. Tarefa : Logo, 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) = > 0. º) Equações redutíveis a uma igualdade entre um logaritmo e número real. 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒇(𝒙) = 𝒓 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒓 Exemplo 5.: log (𝑥 ) = 𝑥 = 6 𝑥 = 9 Obs.5: Ao resolver equações logarítmicas, devemos verificar as condições de existências, por isso exigimos que 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) > 0. Obs.6: Em algumas questões será necessário utilizar mudança de base e propriedades operatórias. 5.. Resolva em ℝ, as seguintes equações. a) log 5 (𝑥 + ) = log 5 7 b) log (𝑥 + 5) = log (𝑥 ) c) log(5𝑥 6𝑥 + 6) = log(𝑥 + 𝑥 5) d) log (𝑥 ) + log 𝑥 = e) log (𝑥 + ) = f) log 9 (7𝑥) = log 𝑥 7 Página

7 DESAFIO: (𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝒙)𝟐 𝟏𝟓 = 𝟐 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝒙. Tarefa 5 EXTRA. Resolva, em ℝ, as equações logarítmicas a seguir. a) log x 5x log 6 b) log x x e) log x 6 log x 9 0 log x log x 5 log x log x log x f) log x 5 log5 x c) d) GABARITO Gráfico de 𝒇: ℝ + ℝ 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝒙. Para construir o gráfico de f escolhemos alguns valores para x e, em seguida, descobrimos os valores de 𝑦 = 𝑓(𝑥) correspondentes. Veja os pares ordenados obtidos, na tabela a seguir. (𝑥; 𝑦) x 𝑦 = 𝑓(𝑥) - 𝐴 ( ; ) - 𝐵 ( ; ) 0 𝐶(; 0) 𝐷(; ) 𝐸(; ) Marcando os pontos da última coluna da tabela em um plano cartesiano, pudemos construir o seguinte gráfico: EXTRA.. a) e b) c) 7 d) 6 e) 0 e f) 5 e 5 AULA 06 Função Logarítmica Uma função 𝑓: ℝ + ℝ é denominada função logarítmica de base a se sua lei, 𝑓(𝑥), puder ser escrita como 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑥, com 𝑎 ℝ + e 𝑎. Exemplos: ) 𝑦 = 𝑓(𝑥) = log 𝑥 ) 𝑦 = 𝑔(𝑥) = ln 𝑥 ) 𝑦 = ℎ(𝑥) = log 𝑥 Obs.: Repare que 𝑥 > 0. Por isso, o gráfico de f nunca irá tocar o eixo das ordenadas, por mais que ele se aproxime deste. Quando isso ocorre com uma curva, dizemos que ela é assintótica ao eixo das ordenadas. 6.. Dada a função 𝑓: ℝ + ℝ; 𝑓(𝑥) = log 5 𝑥, determine: a) 𝑓(5). b) 𝑓( 5). c) 𝑥 𝐷(𝑓); 𝑓(𝑥) =. O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO LOGARÍTMICA Vamos começar o estudo do gráfico de uma função logarítmica por meio de dois exemplos: Exemplo Exemplo Gráfico de 𝒈: ℝ ℝ, 𝒄𝒐𝒎 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝟏 𝒙. 𝟐 Para construir o gráfico de g escolhemos alguns valores para x e, em seguida, descobrimos os valores de 𝑦 = 𝑔(𝑥) correspondentes. Veja os pares ordenados obtidos, na tabela a seguir. (𝑥; 𝑦) x 𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝐴 ( ; ) 𝐵 ( ; ) 0 𝐶(; 0) - 𝐷(; ) - 𝐸(; ) Página 5

8 AULA 07 DOMÍNIO Marcando os pontos da última coluna da tabela em um plano cartesiano, pudemos construir o seguinte gráfico: DOMÍNIO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA Primeiramente, vamos lembrar que um logaritmo possui algumas condições de existência: 𝒃 ℝ + 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃 existe se, e somente se, { 𝒂 ℝ + 𝒆 𝒂 𝟏 O domínio de uma função logarítmica é determinado pelas suas condições de existência De um modo geral, o gráfico de uma função logarítmica f, tal que 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑥, com 𝑎 ℝ + e 𝑎, apresentará algumas características. São elas: Exemplo 7.: Dada a função 𝑓: 𝐴 ℝ ; 𝑓(𝑥) = log (𝑥 5), temos que o maior domínio possível para a função, ou seja, o maior conjunto 𝐴 é determinado pela condição de existência: 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙 0<𝒂< 𝒂> Decrescente Crescente Passa pelo ponto (, 0) Passa pelo ponto (, 0) Assintótica ao eixo das Assintótica ao eixo das ordenadas ordenadas I. II. III. Todo o gráfico estará à direita do eixo das ordenadas, devido à condição de existência do logaritmo. O gráfico sempre passa pelo ponto (, 0), pois log 𝑎 = 0 para todo 𝑎 ℝ +, 𝑎. Se 𝒂 >, então o gráfico será crescente e se 0 < 𝒂 <, então o gráfico será decrescente. EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 6.. Construa em um mesmo sistema de eixos perpendiculares 𝑥𝑂𝑦, o gráfico de cada função exponencial a seguir. a) 𝑓: ℝ + ℝ; 𝑓(𝑥) = 𝑥 b) 𝑔: ℝ + ℝ; 𝑔(𝑥) = log 𝑥 Obs.: Perceba que o gráfico da função logarítmica é uma reflexão do gráfico da função exponencial de mesma base através da reta 𝑦 = 𝑥 𝑥 5 > 0 𝑥 > 5. Assim, 𝐴 = { 𝑥 ℝ 𝑥 > 5}. Obs.: Lembre-se que quando uma questão solicitar o domínio, ela deseja saber o maior possível. EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 7.. Estabeleça o domínio de cada uma das funções cuja a lei é dada por: a) 𝑔(𝑥) = log 5 (𝑥 ). b) ℎ(𝑥) = log 𝑥 ( 𝑥). c) 𝑓(𝑥) = log (𝑥 9). GRÁFICOS POR TRANSLAÇÃO Assim como ocorre no estudo de funções exponenciais, podemos estender a função logarítmica para uma caso mais geral, cuja lei é uma expressão do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑏 + log 𝑎 (𝑥 𝑐). Os valores de 𝑏 e 𝑐 fazem movimentos de translação vertical e horizontal, respectivamente. Exemplo 7.: Vamos construir em um mesmo plano cartesiano 𝑥𝑂𝑦 o gráfico das funções 𝑔: 𝐴 ℝ; 𝑔(𝑥) = + log 𝑥 e 𝑓: 𝐴 ℝ; 𝑓(𝑥) = log 𝑥 Página 6

9 𝒄 unidades para direita, se 𝑪 > 0, 𝒄 unidades par a esquerda, se 𝑪 < 0. Obs.: O movimento de translação vertical do caso log 𝑎 (𝑥 𝑐) ocorre devido ao domínio da função: 𝑥 𝑐 >0 𝑥 >𝑐 Obs.: No caso 𝑓: 𝐴 ℝ ; 𝑓(𝑥) = log 𝑎 (𝑥 𝑐), a assíntota é a reta 𝑥 = 𝑐. Observe que, o gráfico da função 𝑔 é uma translação vertical em duas unidades do gráfico da função 𝑓. De um modo geral, o gráfico de uma função 𝑓: ℝ + ℝ ; 𝑓(𝑥) = 𝐵 + log 𝑎 𝑥, com 𝑎 ℝ + e 𝑎, será a translação do gráfico da função 𝑔(𝑥) = log 𝑎 𝑥 em: B unidades para cima, se 𝑩 > 0, 𝑩 unidades para baixo, se 𝑩 < 0. Exemplo 7.: Vamos construir em um mesmo plano cartesiano 𝑥𝑂𝑦 o gráfico das funções 𝑔: 𝐴 ℝ; 𝑓(𝑥) = log (𝑥 + ) e 𝑓: 𝐵 ℝ; 𝑓(𝑥) = log 𝑥 EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 7.. (UNICAMP 0) A altura (em metros) de um arbusto em uma dada fase de seu crescimento pode ser expressa pela função ℎ(𝑡) = 0,5 + log (𝑡 + ), onde o tempo 𝑡 0 é dado em anos: a) Qual o tempo necessário para que a altura aumente de 0,5𝑚 para,5m. b) Suponha que outro arbusto, nessa mesma fase de desenvolvimento, tem sua altura expressa pela função composta 𝑔(𝑡) = ℎ(𝑡 + ). Determine 𝑔(𝑡) ℎ(𝑡). Tarefa 5: AULA 08 INEQUAÇÃO INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA Assim como ocorre no estudo de inequações exponenciais, as inequações logarítmicas são determinadas de acordo com crescimento das funções que as representam. Então, lembremos que: 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙 0<𝒂< 𝒂> Decrescente Crescente Passa pelo ponto (, 0) Passa pelo ponto (, 0) Assintótica ao eixo das Assintótica ao eixo das ordenadas ordenadas Observe que, o gráfico da função 𝑔 é uma translação horizontal em duas unidades do gráfico da função 𝑓. Mais do que isso, a assíntota de 𝑔 é a reta 𝑥 =. De um modo geral, o gráfico de uma função 𝑓: 𝐴 ℝ ; 𝑓(𝑥) = log 𝑎 (𝑥 𝑐), com 𝑎 ℝ + e 𝑎, será a translação do gráfico da função 𝑔(𝑥) = log 𝑎 𝑥 em: Assim, satisfeita a condição de existência, 𝑥 > 0, temos os seguintes casos: 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙𝟏 < 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙𝟐 𝒙𝟏 < 𝒙𝟐 Se 𝒂 >, então Se 0 < 𝒂 <, então Página 7

10 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙𝟏 < 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙𝟐 𝒙𝟏 > 𝒙𝟐 b) 𝑆 = {𝑥 ℝ 0 < 𝑥 5} c) 𝑆 = {𝑥 ℝ 𝑥 > 6} d) 𝑆 = {𝑥 ℝ 𝑥 < } Como resolver inequações logarítmicas O seguinte passo-a-passo facilita a resolução de inequações logarítimicas: º) Reduza ambos os membros a uma base comum º) Avalie o valor da base (maior ou menor que 𝟏) º) Aplique a respectiva definição feita acima. Note que para reduzir ambos os membros a uma base comum, pode ser necessário fazer uso de alguns e) 𝑆 = {𝑥 ℝ 𝑥 } f) 𝑆 + {𝑥 ℝ 𝑥 > 5} g) 𝑆 = {𝑥 ℝ 0 < 𝑥 𝑜𝑢 𝑥 7} h) 𝑆 = {𝑥 ℝ < 𝑥 < 𝑜𝑢 𝑥 > } EXTRA CAIU NO VEST ) UnB 05) Com relação aos logaritmos, julgue o item abaixo.. Se a medida do lado de um quadrado for log 𝑥 unidades de comprimento e se a diferença entre o valor da área e o valor do perímetro desse quadrado for igual a 5, então 𝑥 > 0. artifícios. Por exemplo, 𝑏 = log 𝑎 𝑎𝑏. EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 8.. Resolva, em ℝ, as inequações a seguir. a) log (𝑥 ) < log b) log 𝑥 log c) log 𝑥 > d) log (𝑥 ) + log (𝑥 + ) log ( 𝑥 + ) e) log 0, 𝑥 + log 0,(𝑥 ) < log 0, (𝑥 + 0) EXTRA. Resolva, em ℝ, as inequações logarítmicas a seguir. a) log 𝑥 < b) log 𝑥 5 c) d) e) f) g) h) log (𝑥 7) > log 5 log 0, 𝑥 log 0, ( 𝑥 + ) log (𝑥 ) + log (𝑥 + ) log ( 𝑥 + ) log 0, 𝑥 + log 0,(𝑥 ) < log 0,(𝑥 + 0) log 𝑥 log 𝑥 log 𝑥 < log (𝑥 + ) GABARITO EXTRA a) 𝑆 = {𝑥 ℝ 0 < 𝑥 < } ) (UnB 0) De acordo com o jornal The Guardian, o investimento em energia renovável vem crescendo maciçamente nos últimos anos. Em 0, as cifras chegaram a 𝑈𝑆$ 5 bilhões, acréscimo significativo em relação ao ano anterior. Em comparação com 009, o incremento foi de mais de 0%. O investimento em energia renovável, em bilhões de dólares pode ser obtido para 𝑡 anos após 009, a partir da expressão 𝐼(𝑡) = 75𝑒 𝑘𝑡, em que 𝑘 > 0 é uma constante. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir, assumindo 0,69;, e,6 como valores aproximados de ln, ln e ln 5, respectivamente.. Na expressão que representa o investimento em energia renovável, a constante 𝑘 é igual a 0,8.. Os dados permitem estimar que, 0, o investimento em energia renovável será superior a 𝑈𝑆$ 50 bilhões.. Em 0, o investimento em energia renovável foi % maior que em 009. ) (UnB 0) A exposição prolongada dos astronautas a fontes de radiações no espaço pode ter efeitos no corpo humano e levar à morte. Considere que uma fonte de radiação emita raios com intensidade cada vez maior ao longo do tempo. Considere, ainda que o valor da intensidade 𝑆(𝑡) - seja determinado, em 𝑚𝑆𝑣 Página 8

11 (milisieverts), pela função S(t) = 00 0 t 0, em que t, em horas, indica o momento em que as mediações começaram a ser feitas, a partir do instante t = 0.. A intensidade de radiação igual a 000 msv é atingida em t = 0 log Em algum momento, a intensidade de radiação irá superar 000 msv.. Vinte horas após o início da medição, a intensidade da radiação será inferior a 000 msv. ) (ITA 0) Resolva a inequação 6 < ( )log 5 x x+9 em R.. (PAS 0) Em 798, o economista britânico Thomas Malthus formulou uma teoria populacional que conduzia à previsão de um apocalipse de fome e guerra, caso a população humana não parasse de crescer. Segundo Malthus, a população cresceria em progressão geométrica, enquanto nossa capacidade de produzir alimentos cresceria só em progressão aritmética. Logo, em um futuro próximo faltaria comida para alimentar tanta gente. Hoje, mais de dois séculos depois, a previsão não se confirmou. A população não parou de crescer e estamos todos, bem ou mal, vivos. Considerando o texto e os dados da população mundial e da produção de grãos no período de 00 anos, entre 950 e 050 apresentados na tabela acima, julgue os itens.. Considere que a quantidade de pessoas no mundo seja obtida, no ano t, por meio da expressão Q(t) = me k(t 950), a partir do ano t = 950. Nessa situação, tendo 0,88 e,76 como valores aproximados respectivamente de ln, e ln 5,8, infere-se que a população mundial prevista para 050 será maior que a estimada que consta na tabela. 5) (PAS 0) Considere que, em 00, existiam 8,76 milhões de espécies e que, a partir desse ano, o número de desaparecimento anula de espécies seja dado pela expressão Q(t) = 5750e kt, em que t representa a quantidade de anos decorridos a partir de 00. Nesse caso, usando,87 como valor aproximado para ln (8), verifica-se que o valor de k é maior que 0,0. 6) (ENEM 0) Em setembro de 987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-7, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio 7 é de 0 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão M(t) = A,7 kt, onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa. Considere log = 0,. Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-7 se reduza a 0% da quantidade inicial? a) 7 b) 6 c) 50 d) 5 e) 00 QUESTÕES EXTRAS ) O valor da expressão log 56 + log 5 log 5 é igual a (A) 0. (B) 8. (C) -. (D). (E) -. ) Dados log = 0, e log = 0,8, o valor de log 0, é igual a (A),8. (B) 0,6. (C) -0,6. (D) -,8. (E),. ) O conjunto-solução da equação log (x ) log 6 (x ) =, em R, é igual a (A) {5}. (B) {6}. Página 9

12 (C) {7}. (D) {8}. (E) {9}. ) Numa experiência realiza em um laboratório, Alice constatou que, decorridas t horas, a população P(t) de determinada bactéria cresce segundo a sentença P(t) = 5 t. Nessa experiência, considerando log 5 =,, a população atingirá 65 bactérias em (A) 8 minutos. (B) minutos. (C) 76 minutos. (D) 0 minutos. (E) 60 minutos. 5) Quando aumentamos em 60% o valor de um número real positivo b, seu logaritmo decimal aumenta em 0%. Considerando log = 0,, é correto afirmar que (A) b =. (B) b =. (C) b =. (D) b = 8. (E) b = 0. 6) O conjunto-solução da equação (log x) log x + = 0,em R, é igual a (A) {0}. (B) {0; }. (C) {}. (D) {0}. (E) {00}. 7) Dada a função f: A R, tal que f(x) = b + log (x ), em que b é uma constate real, considere as afirmações a seguir. I. É possível termos A =] ; + [. II. Se A = [; 5] e f() = 0, então b =. III. Se b =, então f(x) = 0 para x A e x = 0 IV.. Aplicando as propriedades de logaritmo, é correto escrever f(x) = b + log (x). Das afirmações acima, é(são) verdadeira(s) A. Todas as afirmações. B. Apenas I e II. C. Apenas I. D. Apenas II. E. Apenas III e IV. 8) Os psicólogos criaram o que chamam de curva de esquecimento, um modelo para avaliar a memória, medindo quanto uma pessoa ainda se lembra do que aprender de determinada matéria após certo tempo. Os formandos de psicologia de uma universidade fizeram uma prova no último ano de curso, e a média da turma foi de 90 pontos. Passados k meses após a aplicação dessa prova, o desempenho numa segunda prova, da mesma disciplina, com o mesmo conteúdo e com o grau de dificuldade equivalente, já não era o mesmo. A média (M) é dada pela sentença M(k) = log(k + ), 0 k 0. Calcule o valor da média desses alunos caso a segunda prova tenha sido aplicada meses após a primeira. (Admita log = 0,0). 9) O PIB Produto Interno Bruto de um país tem um crescimento constante de 5% ao ano. Em 00 o PIB desse país foi igual a 00 milhões de dólares. Determine em que ano o PIB desse país será igual a 500 milhões de dólares. (Admita log = 0, e log,05 = 0,0. 0) Se log = a e log = b, então log 7000 é igual a (A) a b. (B) a + b. (C) a b+. (D) a+b+. (E) (+a) + b. ) Sejam α e β constantes reais positivas tais que log α = 0,5 e log β = 0,7. O valore real de x que satisfaz a equação ( αβ 0 )x = (αβ) é igual a (A). (B). (C) 0. (D),. (E),. ) A quantidade de elementos de uma espécie animal diminui 0% a cada ano. Hoje, essa quantidade é igual a P elementos. Sendo t o tempo, em anos, contados a partir de hoje, determine t para que a população dessa espécie animal se reduza à metade de P. (Adote log = 0, e log = 0,8). Página 0

13 ) Resolva, em R, a equação e determine o seu conjunto- log 00 (x ) = solução. GABARITO.. a) b) c) 5 d) 7 e) f) g).. a) b) c).. Demonstração.. a) b) 5 c) 9 d) e) 7.. Demonstração log(x + ) +.. a) a + b b) b a c) a d) a + b e) (b + a ) f) b a.. a),86 b),6 c) 0,69 d) 0,6 e), f),68 g),.. a) 0,65 b) 5 c) 7 d) Demonstração 5.. a) S = {} b )S = c) S = {; 7} d) S = {} e) S = {} f) S = {7; 9 }. E. C 5. E 6. D 7. D E. B. 7, a) b) não existe c) Gráfico 7.. a) D(g) = {x R x > } b) D(h) = {x R < x < e x } c) D (f) = {x R x < ou x > } 7.. a) t = b) 8.. a) S = {x R x < } b) S = {x } c) S = {x R x > 9} d) S = {x R x < } e) S = {x R x > 5} CAIU NO VEST. C. CEC. CEE. S = {x R x < ou x > } 5. C 6. E QUESTÕES EXTRAS. B. C Página