Prova Escrita de Matemática A

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1 EXAME NACINAL D ENSIN SECUNDÁRI Decreto-Lei n.º 74/004, de 6 de março Prova Escrita de Matemática A.º Ano de Escolaridade Prova 65/Época Especial 4 Páginas Duração da Prova: 50 minutos. Tolerância: 0 minutos. 0 Prova 65/E. Especial Página / 4

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3 Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével, azul ou preta, eceto nas respostas que impliquem a elaboração de construções, de desenhos ou de outras representações, que podem ser, primeiramente, elaborados a lápis, sendo, a seguir, passados a tinta. Utilize a régua, o compasso, o esquadro, o transferidor e a calculadora gráfica sempre que for necessário. Não é permitido o uso de corretor. Em caso de engano, deve riscar de forma inequívoca aquilo que pretende que não seja classificado. Escreva de forma legível a numeração dos grupos e dos itens, bem como as respetivas respostas. As respostas ilegíveis ou que não possam ser claramente identificadas são classificadas com zero pontos. Para cada item, apresente apenas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a um mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lugar. Para responder aos itens de escolha múltipla, escreva, na folha de respostas: o número do item; a letra que identifica a única opção escolhida. Não apresente cálculos, nem justificações. A prova inclui, na página 4, um Formulário. As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado da prova. Prova 65/E. Especial Página / 4

4 Formulário Geometria Comprimento de um arco de circunferência: ar^a-amplitude, em radianos, do ânguloaocentro; r-raioh Áreas de figuras planas Losango: Trapézio: Diagonal maior # Diagonal menor Base maior+ Basemenor # Altura Polígono regular: Semiperímetro # Apótema Sector circular: ar ^a -amplitude, em radianos, do ânguloaocentro; r-raioh Áreas de superfícies Área lateral de um cone: r rg^r -raioda base; g-geratrizh Área de uma superfície esférica: 4rr ] r - raiog Volumes Pirâmide: # Áreada base # Altura Cone: # Áreada base # Altura 4 Esfera: rr ] r- raiog Trigonometria sen] a+ bg= sena cosb+ senb cosa cos] a+ bg= cosa cosb- sena senb tga+ tgb tg ] a+ bg= - tga tgb Compleos n ^tcisih = t n cis ^nih tcisi = t cisb i+ kr l ] k!! 0,, n- + e n! Ng n n n f Probabilidades n = p + f + p n n v = p ] - ng + f + p ^ - nh ^ u e hl = ul e ^ u a hl u = ul a ln a ^a! R ^ln uhl ul = u log u u a l l ^ h = uln a n n Se X é N] nv, g, então: P] n- v X n+ vg. 0, 687 P] n- v X n+ vg , P] n- v X n+ vg. 0997, Regras de derivação ^u+ vhl = ul + vl ^uvhl = uv l + uvl u l uv l = - uvl ` v j v ^ n n u hl nu - = ul ^n! Rh ^senuhl = ul cos u ^cos uhl =-ul sen u ^tg uhl = ul cos u Limites notáveis limb + l = e n u lim sen = " 0 lim " 0 lim ln ^ + h = " 0 lim " + lim " + e - = ln = 0 e p n =+ + ^a! R + ^n! Nh ^p! Rh ", h ", h Prova 65/E. Especial Página 4/ 4

5 GRUP I Na resposta a cada um dos itens deste grupo, selecione a única opção correta. Escreva, na folha de respostas: o número do item; a letra que identifica a única opção escolhida. Não apresente cálculos, nem justificações.. Uma sequência de algarismos cuja leitura da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita dá o mesmo número designa-se por capicua. Por eemplo, 00 é capicua. Quantos números com seis algarismos são capicuas? (A) 79 (B) 900 (C) (D) A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a seguinte. i 0 PX ^ = h a a a i Sabe-se que P^X = 00 X = h= 0,8 Qual é o valor médio de X? (A) 0,46 (B) 0,7 (C) 0,08 (D) 0. Considere um dado cúbico, com as faces numeradas de a 6, e um saco que contém cinco bolas, indistinguíveis ao tato, cada uma delas numerada com um número diferente: 0,,, e 4. Lança-se o dado uma vez e retira-se, ao acaso, uma bola do saco, registando-se os números que saíram. Qual é a probabilidade de o produto desses números ser igual a zero? (A) 0 (B) 5 (C) 0 (D) 5 Prova 65/E. Especial Página 5/ 4

6 4. Na Figura, está representada, num referencial o. n., parte do gráfico de hll, segunda derivada de uma função h, de domínio R h'' Figura Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função h? (A) (B) (C) (D) Prova 65/E. Especial Página 6/ 4

7 5. Sejam f e g funções de 0, + 6 Sabe-se que: a reta de equação = é assíntota horizontal do gráfico de f f não tem zeros; g ^ h = e- f^h Qual das opções seguintes define uma assíntota horizontal do gráfico de g? (A) = (B) = e (C) = 0 (D) = 6. Sejam a, b e c três números tais que + 6, b! R e c! R Sabe-se que logab = c e que loga c = Qual das epressões seguintes é equivalente a loga b c? (A) c + (B) c (C) c (D) c 7. Sejam k e p dois números reais tais que os números compleos z = + i e w = ( k ) + pi sejam inversos um do outro. Qual é o valor de k+ p? (A) (B) 4 (C) 4 5 (D) 4 7 Prova 65/E. Especial Página 7/ 4

8 8. Na Figura, estão representadas, no plano compleo, uma circunferência, de centro na origem e de raio, e uma reta r, definida por Re^zh= Seja z o número compleo cuja imagem geométrica está no.º quadrante e é o ponto de intersecção da circunferência com a reta r Im (z) z Re (z) r Figura Qual das opções seguintes apresenta uma equação de que z é solução? (A) z = z i (B) Im^zh = (C) z = (D) z = Prova 65/E. Especial Página 8/ 4

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10 GRUP II Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eato.. Seja o conjunto dos números compleos. Resolva os itens seguintes, sem recorrer à calculadora... Considere o número compleo z = 8 8i Determine as raízes de índice 4 de z Apresente as raízes na forma trigonométrica... Seja w um número compleo não nulo. Mostre que, se o conjugado de w é igual a metade do inverso de w, então a imagem geométrica de w pertence à circunferência de centro na origem e de raio. Considere uma empresa em que: 80% dos funcionários apostam no euromilhões; dos funcionários que apostam no euromilhões, 5% apostam no totoloto; 5% dos funcionários não apostam no euromilhões nem no totoloto... Determine a probabilidade de, ao escolher, ao acaso, um funcionário dessa empresa, ele apostar no totoloto... Considere agora que essa empresa tem 50 funcionários. Escolhem-se, ao acaso, oito funcionários dessa empresa. Determine a probabilidade de, pelo menos, sete desses funcionários serem apostadores no euromilhões. Apresente o resultado com arredondamento às centésimas. Prova 65/E. Especial Página 0/ 4

11 . Seja W o espaço de resultados associado a uma certa eperiência aleatória, e sejam A e B dois acontecimentos (A Ì W e B Ì W). Mostre que, se A e B são dois acontecimentos independentes, então P^A+ Bh+ P^Ah ` P^Bhj = P^Ah 4. Admita que a concentração de um produto químico na água, em gramas por litro, t minutos após a sua colocação na água, é dada, aproimadamente, por C^th 0,5t e 0, t,com t $ 0 = Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. 4.. Mostre que, durante os primeiros 5 minutos após a colocação desse produto químico na água, houve, pelo menos, um instante em que a concentração do produto foi gramas por litro. Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use três casas decimais. 4.. Determine o valor de t para o qual a concentração desse produto químico na água é máima. 5. Considere as funções f e g, de domínio R, definidas, respetivamente, por Z ] f^h se! 0 ] f^h = + sen c m e g ^ h = [ com ] ek se = 0 \ k! R Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. 5.. Determine k de modo que a função g seja contínua. 5.. Determine, r, 5r6, as soluções da equação fl^h= ` f^h+ j Prova 65/E. Especial Página / 4

12 6. Considere, num referencial o. n., o gráfico de uma função h, de domínio R Sabe-se que: a, b e c são números reais positivos e a < b < c h tem um mínimo relativo c6 h é crescente lim `h ^ h j = 0 " a segunda derivada, hll, da função h é tal que hll^h > 0 para > b Apenas uma das opções seguintes pode representar uma parte do gráfico da função h I) II) 4 4 a b c a b c III) IV) 4 4 a b c a b c Elabore uma composição na qual: indique a opção que pode representar h apresente três razões para rejeitar as restantes opções, uma por cada opção rejeitada. Prova 65/E. Especial Página / 4

13 7. Considere, num referencial o. n., o gráfico da função f, de domínio R +, definida por f e0, ^ h = + ln`+ j Seja P um ponto do gráfico de f A distância do ponto P à origem é igual a Determine a abcissa do ponto P, recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: equacionar o problema; reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; indicar a abcissa do ponto P com arredondamento às centésimas. FIM Prova 65/E. Especial Página / 4

14 CTAÇÕES GRUP I. a 8....(8 5 pontos) pontos 40 pontos.. GRUP II pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos 60 pontos TTAL pontos Prova 65/E. Especial Página 4/ 4