Me todos Computacionais em Fı sica

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1 Me todos Computacionais em Fı sica Jose Helder Lopes Instituto de Fı sica Universidade Federal do Rio de Janeiro Segundo Semestre de 2016

2 Ale m de ser usado para calcular integrais, o Me todo de Monte Carlo e largamente utilizado para simular processos rando micos. Uma das primeiras aplicac o es foi no design de reatores nucleares - Quanto de shielding material e necessa rio para parar os neutrons? Outros exemplos de sistemas que podem ser aleato rios ou se comportarem como tal devido a sua complexidade: Ü Tra fego em grandes cidades Ü Difusa o molecular Ü Movimento Browniano Ü Mobilidade de a tomos na superfı cie de um cristal Ü Processos estrelares Ü Coliso es de partı culas tem um papel fundamental nestes estudos

3 Passeio Aleato rio - Random Walk Para ilustrar como e realizada uma simulac a o, vamos comec ar com o sistema mais simples O passeio do be bado Ü A cada passo, um be bado pode se mover nas direc o es N-S-L-O com igual probabilidade. Ü Apo s N passos, a que dista ncia do ponto de origem se encontrara? Impossı vel prever, pois e um evento aleato rio Ü Apo s N passos, a que dista ncia em me dia do ponto de origem ele se encontrara? Com qual incerteza? Podemos simular M experimentos independentes

4 Passeio Aleato rio Ü Fac a uma simulac a o para o problema do passeio aleato rio (random walk) nas seguintes condic o es: 1 Todos os passos te m o mesmo comprimento: 1m. 2 Passos so sa o dados ao longo dos eixos x ou y. 3 A probabilidade de andar em qualquer uma das quatro direc o es e a mesma.

5 Passeio Aleato rio: Algoritmo Ca lculo da dista ncia apo s 1 caminhada de Npassos 1 Inicialize a posic a o inicial: x = 0 e y = 0 2 Defina o nu mero de passos em 1 caminhada: Npassos = 10 3 Para cada passo de 1 ate Npassos 4 sorteie uma das direc o es Pense numa forma de fazer este sorteio usando um gerador de nu meros aleato rios uniformemente distribuı dos de 0 a calcule a nova posic a o (x ou y dependendo do sorteio) p x2 + y2 Calcule a dista ncia da posic a o final ate a origem r =

6 Passeio Aleato rio: Algoritmo Me dia das dista ncias para Ncaminhadas com Npassos fixo 1 Defina o nu mero de passos em 1 caminhada: Npassos = 10 2 Defina o nu mero de caminhadas (experimentos) Nexpt = Para cada caminhada de 1 ate Nexpt: 4 Inicialize a posic a o inicial: x = 0 e y = 0 5 Para cada passo de 1 ate Npassos sorteie uma das direc o es calcule a nova posic a o (x ou y dependendo do sorteio) p Calcule a dista ncia da posic a o final ate a origem r = x 2 + y 2 Guarde a informac a o necessa ria para o ca lculo da me dia no final da simulac a o 10 Calcule a me dia

7 Passeio Aleato rio: Exercı cio Me dia das dista ncias para Ncaminhadas para cada valor de Npassos 1 Fac a um programa que simule um passeio aleato rio, inicialmente para 10 passos, e imprima a dista ncia entre a posic a o inicial e a final. 2 Modifique o programa para realizar 100 experimentos de 10 passos. Para cada experimento, calcule a dista ncia e, ao final, a me dia das dista ncias. 3 Modifique o programa para variar o nu mero de passos automaticamente de 1 ate um certo valor ma ximo, por exemplo, Npassosmax = O programa deve se chamar passeio2.c 4 Para cada valor de Npassos imprima Npassos e a me dia. 5 Fac a um gra fico dos valores me dios obtidos em func a o do nu mero de passos, hdi Npassos. 6 Apresente o gra fico para 100 experimentos e para 1000 experimentos e interprete o resultado.

8 Passeio Aleato rio em uma grade em 2D

9 Passeio Aleato rio - Plano em qualquer direc a o Podemos tornar o problema um pouco mais geral - O passo pode ser dado no plano, mas agora em qualquer direc a o: O a ngulo θ e um nu mero aleato rio de 0 a 2π, x = cos(θ) y = sin(θ) Podemos refazer o problema anterior, supondo agora que o Be bado possa andar, com igual probabilidade, em qualquer direc a o. Comparando o resultado para experimentos com o obtido no exercı cio anterior:

10 Passeio Aleato rio em 2D

11 Passeio Aleato rio em 3 dimenso es Generalizando para 3 dimenso es - Podemos agora associar o problema do be bado a um problema fı sico: A difusa o das mole culas a temperatura ambiente Ao abrir um vidro de perfume, as mole culas do perfume, apesar de terem alta velocidade, colidem com as mole culas de ar, sofrendo va rias coliso es em direc o es aleato rias. Qual sera o seu deslocamento a partir da origem? Podemos analisar o comportamento da dista ncia em unidades do livre caminho me dio, λ, a dista ncia me dia entre duas coliso es.

12 Elemento de superfı cie: ds = r 2 dω, dω = sin(θ)dθdφ dω = dgdφ dg = sin(θ)dθ g(θ) = cos(θ) Para que o nu mero de passos seja uniforme em dω a distribuic a o deve ser uniforme em Φ e cos(θ), e na o em Φ e θ.

13 Passeio Aleato rio Refazendo o exercı cio do passeio aleato rio permitindo que o passo seja dado em qualquer direc a o: Ü distribuic a o uniforme em Φ de 0 a 2π Ü distribuic a o uniforme em g de -1 a 1 Ü Obtenha θ = cos 1 (g) Ü x = cos(φ) sin(θ) y = sin(φ) sin(θ) z = cos(θ) Ü r 2 = x 2 + y 2 + z2

14 Dista ncias me dias percorridas Que func a o pode ser ajustada a esse gra fico?

15 Discussa o dos resultados A dista ncia me dia nos tre s exemplos apresenta o mesmo comportamento, sugerindo uma lei fı sica mais fundamental. Podemos tentar ajustar a func a o hdi Nq λ Para obter a pote ncia q hdi qlnn λ Enta o em um gra fico log-log, obtemos uma reta, cujo coeficiente linear sera a pote ncia q. ln

16 Obtenc a o do comportamento da dista ncia me dia Distancia media a partir da origem χ2 / ndf / 996 Prob p ± p ± Grade 2D Numero de passos 10 q = 1/2 ou hdi N λ

17 Obtenc a o do comportamento da dista ncia me dia Distancia media a partir da origem χ2 / ndf / 996 Prob p ± p ± χ2 / ndf Prob p0 p / ± ± Grade 2D Uniforme 2D Numero de passos 10 q = 1/2 ou hdi N λ

18 Obtenc a o do comportamento da dista ncia me dia Distancia media a partir da origem χ2 / ndf / 996 Prob p ± p ± χ2 / ndf Prob p0 p1 Grade 2D / ± ± Uniforme 2D χ2 / ndf / 996 Prob p ± p ± Uniforme 3D Numero de passos 10 q = 1/2 ou hdi N λ

19 Exemplo 4 - Resoluc a o de um detetor de partı culas Ü Considere um experimento de altas energias onde em uma colisa o e produzida um partı cula insta vel, que decai em um par mu on-anti-mu on. Ü O mu on e uma das partı culas elementares encontradas na natureza e pode ser observado nos detetores de partı culas. Ü Neste processo ha conservac a o do momento e da energia. Ü Devemos usar as fo rmulas relativı sticas para analisa -lo.

20 Exemplo 4 - caso ideal Usando o Modelo Padra o da Fı sica de Partı culas podemos calcular possı veis valores para os momentos dos muons. Ü leia um arquivo (momenta.dat) com uma lista das componentes dos vetores momento das 2 partı culas. O arquivo possui va rias linhas, cada uma contendo px, py, pz do primeiro mu on e px, py, pz do segundo mu on. A unidade e MeV/c, onde 1 ev = Joules Ü Sabendo que a massa do mu ons e MeV/c 2, calcule para cada mu on, a sua energia: E 2 = p2 + m2 Ü O momento e a energia da partı cula que decaiu sa o, respectivamente, ~p = ~p1 + ~p2 e E = E1 + E2 Ü Calcule a massa desta partı cula: M 2 = E 2 ~p 2 = (E1 + E2 )2 (~p1 + ~p2 ).(~p1 + ~p2 ) Ü Procure a sua identidade na tabela das Partı culas (PDG). Ü O programa deve se chamar massa.c

21 Exemplo 'histos_0.000' Massa em MeV /c

22 Exemplo 4 - simulac a o do caso real Agora considere que os momenta sa o medidos por um detector: Ü simule a resoluc a o do detector dp p = 0.1% ou dp = 0.001p: ì Gere um nu mero aleato rio δp distribuı do de acordo com uma gaussiana em torno de µ = 0 entre µ 3σ e µ + 3σ onde σ = dp ì Recalcule a componente x do momento do primeiro mu on: px px + δp ì Repita os dois passos acima para as componentes y e z do primeiro muon, e para as 3 componentes do momento do segundo muon. Ü calcule a massa invariante da partı cula com esses novos momenta Ü preencha um histograma com os valores das massas. Para os valores iniciais e finais do histograma use 2500 e 3500, com 100 diviso es. Ü Calcule a me dia e o desvio padra o da massa invariante. =0.1%, 0.5%, 1%, 5%) e observe o Ü Varie o valor da resoluc a o ( dp p comportamento.

23 Exemplo 'histos_0.000' 200 µ = , σ = 6, Massa em MeV /c

24 Exemplo 'histos_0.000' 'histos_0.001' 200 µ = 3095, 3, σ = 6, 3 µ = 3095, 1, σ = 8, Massa em MeV /c

25 Exemplo 'histos_0.000' 'histos_0.001' 'histos_0.005' 200 µ = 3095, 3, σ = 6, 3 µ = 3095, 1, σ = 8, 0 µ = 3093, 6, σ = 34, Massa em MeV /c

26 Exemplo 'histos_0.000' 'histos_0.001' 'histos_0.005' 'histos_0.010' 200 µ = 3095, 3, σ µ = 3095, 1, σ µ = 3093, 6, σ µ = 3094, 5, σ Massa em MeV /c = 6, 3 = 8, 0 = 34, 1 = 65,

27 Exemplo 'histos_0.000' 'histos_0.001' 'histos_0.005' 'histos_0.010' 'histos_0.050' 200 µ = 3095, 3, σ µ = 3095, 1, σ µ = 3093, 6, σ µ = 3094, 5, σ µ = 3140, 2, σ Massa em MeV /c = 6, 3 = 8, 0 = 34, 1 = 65, 2 = 312,

28 Exemplo 5: Descoberta do Higgs no ATLAS Ü O LHC do CERN,( na Suı c a, produziu milho es de coliso es pro ton-pro ton com energias recordes de 7 e 8 GeV no centro de massas Ü Os experimentos ATLAS ( e CMS ( analisaram os produtos destas coliso es, buscando descobrir o bo son de Higgs Ü Esta partı cula era a u nica prevista pelo Modelo Padra o da Fı sica de Partı culas ainda na o encontrada Ü Ela tem um papel fundamental: Permitir que as partı culas tenham massa, sem quebrar a consiste ncia do modelo Ü Em 4 de julho de 2012 ATLAS e CMS do CERN anunciaram a descoberta desta partı cula Ü Em outubro de 2013 Peter Higgs e Francois Englert receberam o Pre mio Nobel por suas teorias

29 Exemplo 5: Descoberta do Higgs no ATLAS

30 Exemplo 5: Descoberta do Higgs no ATLAS XXX z!!

31 Me todos Computacionais em Fı sica Ü Da linguagem C na o vimos struct Ü introduc a o a classes Ü Nessa disciplina na o foram estudados aplicativos de ca lculos alge bricos, eles existem e sa o muito u teis. Ü Atualmente todas as a reas da Fı sica utilizam me todos computacionais. Ü Essa disciplina foi so uma introduc a o. Cada um de voce s deve aprofundar seus conhecimentos durante a graduac a o, pois eles sera o necessa rios no futuro. Ü Espero que, apesar do esforc o que tiveram que fazer, tenham gostado. Ü Sugesto es para melhorar o curso sa o bem vindas

32 Me todos Computacionais em Fı sica Ü Da linguagem C na o vimos struct Ü introduc a o a classes Ü Nessa disciplina na o foram estudados aplicativos de ca lculos alge bricos, eles existem e sa o muito u teis. Ü Atualmente todas as a reas da Fı sica utilizam me todos computacionais. Ü Essa disciplina foi so uma introduc a o. Cada um de voce s deve aprofundar seus conhecimentos durante a graduac a o, pois eles sera o necessa rios no futuro. Ü Espero que, apesar do esforc o que tiveram que fazer, tenham gostado. Ü Sugesto es para melhorar o curso sa o bem vindas

33 Me todos Computacionais em Fı sica Ü Da linguagem C na o vimos struct Ü introduc a o a classes Ü Nessa disciplina na o foram estudados aplicativos de ca lculos alge bricos, eles existem e sa o muito u teis. Ü Atualmente todas as a reas da Fı sica utilizam me todos computacionais. Ü Essa disciplina foi so uma introduc a o. Cada um de voce s deve aprofundar seus conhecimentos durante a graduac a o, pois eles sera o necessa rios no futuro. Ü Espero que, apesar do esforc o que tiveram que fazer, tenham gostado. Ü Sugesto es para melhorar o curso sa o bem vindas