Me todos Computacionais em Fı sica
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- Mateus Almada Ferreira
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1 Me todos Computacionais em Fı sica Sandra Amato Instituto de Fı sica Universidade Federal do Rio de Janeiro Segundo Semestre de 2017
2 Determinac a o de por Me todos Nume ricos Em muitos problemas e necessa rio encontrar a soluc a o da equac a o f (x) = 0 Um problema equivalente e o de encontrar a intersec a o entre duas curvas: f (x) = g(x) Sa o muito frequentes os casos em que a soluc a o so pode ser obtida numericamente. Soluc o es nume ricas sa o, em geral, de aplicabilidade mais ampla que soluc o es analı ticas...
3 Determinac a o de por Me todos Nume ricos Exemplo: Encontre as primeira raı z positiva da seguinte equac a o transcendental: f (x) = e x sin πx = 0. 2
4 Determinac a o de por Me todos Nume ricos Exemplo: Encontre as primeira raı z positiva da seguinte equac a o transcendental: f (x) = e x sin πx = 0. 2
5 Determinac a o de por Me todos Nume ricos Como primeira abordagem podemos fazer uma varredura calculando a func a o em va rios pontos Fa cil com os computadores de hoje. Imagina alguns se culos atra s, quando o Ca lculo e a Fı sica tiveram va rios avanc os Veremos me todos nume ricos que determinam uma raı z de forma sistema tica, ate uma precisa o determinada. Observac a o: Na o ha me todo nume rico que se aplique automaticamente a todas as situac o es E necessa rio ter uma boa compreensa o do problema, no caso, conhecer o comportamento da func a o na regia o de interesse. Explorar o gra fico da func a o e um bom comec o
6 Me todo da Ü Sabemos visualmente onde esta o as raı zes pela mudanc a de sinal da func a o.
7 Me todo da Ü Sabemos visualmente onde esta o as raı zes pela mudanc a de sinal da func a o. Ü Escolhemos um intervalo onde ha somente a raiz de interesse
8 Me todo da Ü Sabemos visualmente onde esta o as raı zes pela mudanc a de sinal da func a o. Ü Escolhemos um intervalo onde ha somente a raiz de interesse Ü A raiz esta entre entre x = a e x = b tais que f (a)f (b) < 0.
9 Me todo da Ü Sabemos visualmente onde esta o as raı zes pela mudanc a de sinal da func a o. Ü Escolhemos um intervalo onde ha somente a raiz de interesse Ü A raiz esta entre entre x = a e x = b tais que f (a)f (b) < 0. Ü O ponto me dio e uma primeira aproximac a o para a posic a o da raiz.
10 Me todo da Ü Sabemos visualmente onde esta o as raı zes pela mudanc a de sinal da func a o. Ü Escolhemos um intervalo onde ha somente a raiz de interesse Ü A raiz esta entre entre x = a e x = b tais que f (a)f (b) < 0. Ü O ponto me dio e uma primeira aproximac a o para a posic a o da raiz. Iterando...
11 Ate quando continuar o processo de iterac a o? Ü Se a soluc a o do problema e xraiz e a precisa o desejada e, estamos procurando um ponto xn tal que xn xraiz < Obs.: Particularmente para raı zes podemos testar o quanto f (xn ) 0.
12 Ate quando continuar o processo de iterac a o? Ü Se a soluc a o do problema e xraiz e a precisa o desejada e, estamos procurando um ponto xn tal que xn xraiz < Ü Mas na o conhecemos xraiz! Obs.: Particularmente para raı zes podemos testar o quanto f (xn ) 0.
13 Ate quando continuar o processo de iterac a o? Ü Se a soluc a o do problema e xraiz e a precisa o desejada e, estamos procurando um ponto xn tal que xn xraiz < Ü Mas na o conhecemos xraiz! Ü Se a seque ncia {xi } converge para xraiz devemos ter: Obs.: Particularmente para raı zes podemos testar o quanto f (xn ) 0.
14 Ate quando continuar o processo de iterac a o? Ü Se a soluc a o do problema e xraiz e a precisa o desejada e, estamos procurando um ponto xn tal que xn xraiz < Ü Mas na o conhecemos xraiz! Ü Se a seque ncia {xi } converge para xraiz devemos ter: xn xn 1 < Obs.: Particularmente para raı zes podemos testar o quanto f (xn ) 0.
15 Ate quando continuar o processo de iterac a o? Ü Se a soluc a o do problema e xraiz e a precisa o desejada e, estamos procurando um ponto xn tal que xn xraiz < Ü Mas na o conhecemos xraiz! Ü Se a seque ncia {xi } converge para xraiz devemos ter: xn xn 1 < Ü Esse e um crite rio de converge ncia muito usado Obs.: Particularmente para raı zes podemos testar o quanto f (xn ) 0.
16 Ate quando continuar o processo de iterac a o? Ü Se a soluc a o do problema e xraiz e a precisa o desejada e, estamos procurando um ponto xn tal que xn xraiz < Ü Mas na o conhecemos xraiz! Ü Se a seque ncia {xi } converge para xraiz devemos ter: xn xn 1 < Ü Esse e um crite rio de converge ncia muito usado Ü Ou xn xn 1 xn < Obs.: Particularmente para raı zes podemos testar o quanto f (xn ) 0.
17 Me todo da - Observac o es O me todo sempre converge para uma raiz caso ela exista e esteja no intervalo inicial, mas na o funciona em algumas situac o es:
18 Me todo da - Observac o es O me todo sempre converge para uma raiz caso ela exista e esteja no intervalo inicial, mas na o funciona em algumas situac o es: 8 va rias raı zes
19 Me todo da - Observac o es O me todo sempre converge para uma raiz caso ela exista e esteja no intervalo inicial, mas na o funciona em algumas situac o es: 8 va rias raı zes 8 singularidades
20 Me todo da - Observac o es O me todo sempre converge para uma raiz caso ela exista e esteja no intervalo inicial, mas na o funciona em algumas situac o es: 8 va rias raı zes 8 singularidades 8 raı zes mu ltiplas
21 Me todo da - Observac o es O me todo sempre converge para uma raiz caso ela exista e esteja no intervalo inicial, mas na o funciona em algumas situac o es: 8 va rias raı zes 8 singularidades 8 raı zes mu ltiplas 8 pode ser muito lento
22 Algoritmo m Definir xmin e xmax (ex.: visualmente no gnuplot) m Definir o nu mero ma ximo de iterac o es e a tolera ncia desejada m Se fmin fmax > 0: Intervalo inadequado. Parar aqui m Sena o Ý repetir enquanto xmax xmin > precisao e Nit< limite : Ü Ü Ü Ü Ü calcular o valor me dio: xmedio = xmin+xmax 2 calcular fmedio se fmin fmedio < 0 (intervalo da esquerda): xmax = xmedio sena o (intervalo da direita): xmin = xmedio contar o nu mero de iterac o es: Nit= Nit+1 m escrever nu mero de iterac o es e raiz=xmedio
23 Exercı cio 8 Escreva um programa que implemente o algoritmo do me todo da bissec a o. Aplique-o para encontrar as raı zes da equac a o: πx = 0. f (x) = e x sin 2 8 O programa deve imprimir, ale m da raiz, o nu mero de iterac o es utilizadas 8 Usando o gnuplot fac a um gra fico da func a o indicando o intervalo inicial.
24 Me todo de : Um me todo do se culo 17 8 O me todo foi publicado pela primeira vez em 1690 por Joseph Raphson ( ). Entre suas obras ha uma traduc a o de uma obra de Newton (Arithmetica Universalis) para o ingle s. 8 Isaac Newton ( ) desenvolveu o mesmo me todo, de forma independente, em 1671 mas na o o publicou em vida. 8 e o me todo mais usado para se encontrar as raı zes de uma equac a o.
25 Me todo de Ü Em vez de escolher um intervalo,
26 Me todo de Ü Em vez de escolher um intervalo, encontre uma aproximac a o inicial
27 Me todo de Ü Em vez de escolher um intervalo, encontre uma aproximac a o inicial Ü Aproxime a func a o por uma reta tangente
28 Me todo de Ü Em vez de escolher um intervalo, encontre uma aproximac a o inicial Ü Aproxime a func a o por uma reta tangente Ü O ponto em que a reta corta o eixo e o novo candidato a raiz
29 Me todo de Ü Em vez de escolher um intervalo, encontre uma aproximac a o inicial Ü Aproxime a func a o por uma reta tangente Ü O ponto em que a reta corta o eixo e o novo candidato a raiz Ü Iterando...
30 Me todo de - Ilustrac a o
31 Me todo de - Ilustrac a o
32 Me todo de - Ilustrac a o
33 Me todo de - Ilustrac a o
34 Me todo de - Ilustrac a o
35 Me todo de - Detalhamento 8 Cuidado: O ponto inicial na o pode ser qualquer um.
36 Me todo de - Detalhamento 8 Equac a o da reta tangente a curva f (x) no ponto x0 : f (x) = f (x0 ) + (x x0 ) f 0 (x0 )
37 Me todo de - Detalhamento 8 Equac a o da reta tangente a curva f (x) no ponto x0 : f (x) = f (x0 ) + (x x0 ) f 0 (x0 ) f (x) = 0 x e a aproximac a o da raiz procurada
38 Me todo de - Detalhamento 8 Equac a o da reta tangente a curva f (x) no ponto x0 : f (x) = f (x0 ) + (x x0 ) f 0 (x0 ) f (x) = 0 x e a aproximac a o da raiz procurada 8 Ca lculo do ponto xi+1 (mudando ligeiramente a notac a o):
39 Me todo de - Detalhamento 8 Equac a o da reta tangente a curva f (x) no ponto x0 : f (x) = f (x0 ) + (x x0 ) f 0 (x0 ) f (x) = 0 x e a aproximac a o da raiz procurada 8 Ca lculo do ponto xi+1 (mudando ligeiramente a notac a o): 0 = f (xi ) + (xi+1 xi ) f 0 (xi )
40 Me todo de - Detalhamento 8 Equac a o da reta tangente a curva f (x) no ponto x0 : f (x) = f (x0 ) + (x x0 ) f 0 (x0 ) f (x) = 0 x e a aproximac a o da raiz procurada 8 Ca lculo do ponto xi+1 (mudando ligeiramente a notac a o): 0 = f (xi ) + (xi+1 xi ) f 0 (xi ) f (xi ) = (xi+1 xi ) f 0 (xi )
41 Me todo de - Detalhamento 8 Equac a o da reta tangente a curva f (x) no ponto x0 : f (x) = f (x0 ) + (x x0 ) f 0 (x0 ) f (x) = 0 x e a aproximac a o da raiz procurada 8 Ca lculo do ponto xi+1 (mudando ligeiramente a notac a o): 0 = f (xi ) + (xi+1 xi ) f 0 (xi ) f (xi ) = (xi+1 xi ) f 0 (xi ) f (xi ) = (xi+1 xi ) f 0 (xi )
42 Me todo de - Detalhamento 8 Equac a o da reta tangente a curva f (x) no ponto x0 : f (x) = f (x0 ) + (x x0 ) f 0 (x0 ) f (x) = 0 x e a aproximac a o da raiz procurada 8 Ca lculo do ponto xi+1 (mudando ligeiramente a notac a o): 0 = f (xi ) + (xi+1 xi ) f 0 (xi ) f (xi ) = (xi+1 xi ) f 0 (xi ) f (xi ) = (xi+1 xi ) f 0 (xi ) xi+1 = xi f (xi ) f 0 (xi )
43 Exercı cio 8 Escreva um algoritmo que procure a raiz de uma equac a o pelo me todo de Newton Raphson.
44 Exercı cio 8 Escreva um algoritmo que procure a raiz de uma equac a o pelo me todo de Newton Raphson. 8 Escreva um programa que implemente o algoritmo do me todo de Newton Raphson. Aplique-o para encontrar as raı zes da equac a o: πx f (x) = e x sin = O programa deve imprimir, ale m da raiz, o nu mero de iterac o es utilizadas 8 Compare o resultado com o obtido pelo me todo da bissec a o.
45 Observac o es Ü O me todo de Newton Raphson pode resolver casos em que o me todo da bissec a o falha.
46 Observac o es Ü O me todo de Newton Raphson pode resolver casos em que o me todo da bissec a o falha. Ü Nem sempre converge!
47 Observac o es Ü O me todo de Newton Raphson pode resolver casos em que o me todo da bissec a o falha. Ü Nem sempre converge! Ü O ca lculo da derivada pode ser um problema!
48 Observac o es Ü O me todo de Newton Raphson pode resolver casos em que o me todo da bissec a o falha. Ü Nem sempre converge! Ü O ca lculo da derivada pode ser um problema! Ü Em geral o me todo de e mais eficiente mas ha casos em que e melhor usar outros me todos.
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