Cálculo Diferencial e Integral III

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1 Cálculo Diferencial e Integral III Profª Ma. Polyanna Possani da Costa Petry

2 Sequências e Séries Breve contextualização Para x R, podemos em geral, obter sen x, e x, ln x, arctg x e valores de outras funções transcendentes utilizando uma calculadora ou uma tabela. Um problema fundamental consiste em determinar como as calculadoras calculam esses números, ou como se constrói uma tabela.

3 Sequências e Séries Breve contextualização As séries numéricas infinitas (somas infinitas) podem ser usadas para obter valores funcionais de uma certa função f x, ou seja, valores aproximados para f c, c R. Portanto, temos que interpretar essas somas infinitas e saber o seu significado preciso.

4 Sequências e Séries Breve contextualização Lidar com o infinito sempre foi um problema difícil e os matemáticos sabem disso há mais de dois milênios. E para que nós tenhamos uma ideia das dificuldades que podem surgir, vamos logo dar um exemplo simples e bastante esclarecedor.

5 Sequências e Séries Breve contextualização S = Se escrevermos S = (1 1) + (1 1) + (1 1) + (1 1) +, teremos S = 0. Mas podemos também escrever S = 1 (1 1) (1 1) (1 1) (1 1) e agora concluímos que S = 1.

6 Sequências e Séries Breve contextualização Ainda há uma terceira possibilidade, tão legítima como as anteriores: S = 1 ( ) = 1 S 2S = 1 S = 1/2. Afinal, S = 0, S = 1 ou S = 1/2? Por que três respostas diferentes?

7 Sequências e Séries Breve contextualização Claro que não podemos aceitar nenhuma delas em detrimento das outras. Este exemplo aponta para a necessidade de se conceituar o que significa soma infinita. Como veremos, essa conceituação excluirá a possibilidade de somas infinitas do tipo que acabamos de considerar.

8 Sequências e Séries Breve contextualização E para chegar a essa conceituação devemos primeiro estudar as chamadas sequências numéricas.

9 Sequências Numéricas Informalmente, sequência é uma sucessão interminável de números, chamados termos. Entende-se que os termos têm uma ordem definida, isto é, há um primeiro termo a 1, um segundo termo a 2 e assim por diante. Tipicamente uma sequência é escrita como a 1, a 2, a 3,, a n,

10 Sequências Numéricas Definição 1: Sequência é uma função cujo domínio é o conjunto de todos os números inteiros positivos {1, 2, 3,, n, }. Nesse contexto, os números que representam a imagem de uma sequência são chamados elementos da sequência.

11 Sequências Numéricas Exemplo: Seja a função f n = 1 n A função f n tem como domínio os números naturais: D = {1, 2, 3,, n, } E como imagem: I = {1, 1 2, 1 3,, 1 n, }

12 Sequências Numéricas A figura ao lado mostra o gráfico da função f n.

13 Sequências Numéricas Observações: 1. Uma sequência pode ser representada identificando seu elemento genérica a n. 2. A sequência a 1, a 2, a 3,, a n, é igual à sequência b 1, b 2, b 3,, b n, se e somente se a i = b i para todo i inteiro e positivo, isto é, se apresentam a mesma imagem.

14 Sequências Numéricas Por exemplo, Considere os termos da sequência geral a n da sequência? 1, 1, 1, 1,. Qual o termo

15 Sequências Numéricas 1. Obtenha o termo geral das sequências abaixo: a) 2, 4, 8, 16, 32, b) 1, 4, 9, 16, 25, c) 0, 2, 0, 2, d) 3 4, 9 10, 27 28, 81 82, e) 0, 1, 0, 1, 0, 1, f) 0, 1, 0, 1, g) 3, 4, 5, 6,

16 Sequências Numéricas h) Sequência de Fibonacci f n : Esta sequência surgiu quando o matemático italiano conhecido como Fibonacci resolveu, no século XIII, um problema envolvendo a reprodução de coelhos. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,

17 Sequências Convergentes e divergentes Algumas sequências apresentam uma propriedade de que quando n cresce arbitrariamente, a n se aproxima de um número real L, ou seja, a diferença a n L é tão pequena quanto se deseja, desde que n seja suficientemente grande.

18 Sequências Convergentes e divergentes Definição 2: Seja {a n }uma sequência numérica e L um número real. Dizemos que: i. lim n a n = L ε > 0; N N: n > N a n L < ε. ii. iii. lim a n = + M > 0; N N: n > N a n > M. n lim a n = M > 0; N N: n > N a n < M. n

19 Sequências Convergentes e divergentes

20 Sequências Convergentes e divergentes Definição 3: Se existe um número real (finito) L tal que lim n a n = L a sequência a n é dita convergente. Caso contrário, a sequência é dita divergente.

21 Alguns Teoremas para convergência de sequências + Teorema 1 : Teorema do Confronto Sejam a n, b n e c n sequências tais que lim n a n = L = lim n c n. Se existe n 1 N tal que a n b n c n, para todo n > n 1, então lim n b n = L

22 Alguns Teoremas para convergência de sequências Exemplo: Determine o limite da sequência cos 2 n 3 n + Teorema 2: Se lim n a n = 0 então lim n a n = 0.

23 Alguns Teoremas para convergência de sequências Exercícios: 1. Discuta a convergência da sequência a n = n! n n, onde n! = n. 2. Determine se as sequências convergem ou divergem. a) 4n 2 2n 2 +1 b) 1 n n c) 1 n d) ln n n

24 Alguns Teoremas para convergência de sequências + Teorema 3: A sequência r n é convergente para 1 < r 1 e diverge para todos os outros valores de r. Demonstração: f aremos em sala.

25 Sequência Crescente e Decrescente Definição 4: Uma sequência a n é denominada crescente se a n < a n+1 para todo n 1 e é denominada decrescente se a n > a n+1 para todo n 1. A sequência é dita monótona se for crescente ou decrescente.

26 Sequência Crescente e Decrescente Exemplos: 1. A sequência n 2n+1 é crescente ou decrescente? 2. Mostre que a sequência 3 n+5 é decrescente.

27 Sequência Limitada Exemplos: Definição 5: Uma sequência a n é limitada superiormente se existir um número M tal n que a n M para todo n 1. É limitada 1. A sequência é crescente ou 2n+1 inferiormente se existir um número m tal que m a n para todo n 1. Se ela for limitada superiormente e inferiormente, então a n é uma sequência limitada.

28 Sequência Limitada Exemplos: 1. a n = n (limitada inferiormente, pois 0 < a n ). 2. a n = n n+5 (limitada, pois 0 < a n < 1).

29 Sequência Limitada Observação + Nem toda sequência limitada é convergente. Por exemplo, a sequência a n = 1 n é limitada pois 1 a n 1), porém divergente. + Nem todo sequência monótona é convergente Por exemplo a n = n.

30 Sequência Limitada + Teorema 4: Teorema da Sequência Monótona Toda sequência a n monótona e limitada é convergente. Exemplo: Mostre que a sequência 2 n n! é monótona e limitada e portanto, convergente.