UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

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1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação Algumas aplicações de jogos topológicos à análise Juan Luis Jaisuño Fuentes Maguiña Dissertação de Mestrado do Programa de Pós-Graduação em Matemática (PPG-Mat)

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3 SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP Data de Depósito: Assinatura: Juan Luis Jaisuño Fuentes Maguiña Algumas aplicações de jogos topológicos à análise Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências Matemática. VERSÃO REVISADA Área de Concentração: Matemática Orientador: Prof. Dr. Leandro Fiorini Aurichi USP São Carlos Maio de 2018

4 Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP, com os dados inseridos pelo(a) autor(a) F954a Fuentes Maguiña, Juan Luis Jaisuño Algumas aplicações de jogos topológicos à análise / Juan Luis Jaisuño Fuentes Maguiña; orientador Leandro Fiorini Aurichi. -- São Carlos, p. Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-Graduação em Matemática) -- Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, Jogos topológicos. 2. Conjuntos estritamente pseudo-completos. 3. Espaços de diferenciabilidade Gâteaux. 4. Espaços Asplund fracos. 5. Funções aproximadamente contínuas. I. Fiorini Aurichi, Leandro, orient. II. Título. Bibliotecários responsáveis pela estrutura de catalogação da publicação de acordo com a AACR2: Gláucia Maria Saia Cristianini - CRB - 8/4938 Juliana de Souza Moraes - CRB - 8/6176

5 Juan Luis Jaisuño Fuentes Maguiña Some applications of topological games to analysis Master dissertation submitted to the Institute of Mathematics and Computer Sciences ICMC-USP, in partial fulfillment of the requirements for the degree of the Master Program in Mathematics. FINAL VERSION Concentration Area: Mathematics Advisor: Prof. Dr. Leandro Fiorini Aurichi USP São Carlos May 2018

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7 Para mis queridos padres, Teodolfo e Isabel, a quienes les debo todo.

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9 AGRADECIMENTOS Honestamente não tenho palavras para expressar a gratidão que eu sinto pela minha família. Pelo carinho, os bons sentimentos e o apoio incondicional de todos eles (provavelmente recebi mais do que eu merecia). De maneira muito especial por meus pais, Teofolfo Fuentes e Isabel Maguiña, e a minha irmã Ericka. Muito obrigado por tudo. Agradeço também ao meu orientador, o professor Leandro Aurichi, de quem eu aprendi muito sobre matemática. Obrigado pelas sugestões, pela paciência e, sobretudo, por não desistir de mim. Eu fico muito agradecido com a vida, a Maestra Vida, por todas as coisas que eu aprendi além da matemática. Sobretudo pelas pessoas que concheci aqui e que me ajudaram a redefinir o conceito de amizade em tão pouco tempo. Mesmo que alguns deles já foram embora e outros ainda fiquem aqui, eu prefiro não mencionar ninguém em particular. Só quero dizer que eu sempre vou lembrar de vocês, meus caros amigos. Finalmente gostaria de agradecer ao ICMC pela oportunidade de fazer o mestrado e à CAPES pelo apoio financeiro.

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11 Living is easy with eyes closed, misunderstanding all you see. It s getting hard to be someone but it all works out, it doesn t matter much to me. (Strawberry fields forever, The Beatles)

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13 RESUMO FUENTES, J. L. Algumas aplicações de jogos topológicos à análise p. Dissertação (Mestrado em Ciências Matemática) Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, São Carlos SP, Neste trabalho apresentamos alguns jogos topológicos e suas aplicações à análise. Com esse fim, se fornece condições necessárias para que funções aproximadamente contínuas se tornem contínuas, se caracteriza os conjuntos estritamente pseudo-completos nos espaços de Banach e, assim também, se constrói um espaço de diferenciabilidade Gâteaux que não é Asplund fraco. Palavras-chave: Jogos topológicos, funções aproximadamente contínuas, conjuntos estritamente pseudo-completos, espaço de diferenciabilidade Gâteaux, espaço Asplund fraco.

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15 ABSTRACT FUENTES, J. L. Some applications of topological games to analysis p. Dissertação (Mestrado em Ciências Matemática) Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, São Carlos SP, In this work we present some topological games and their applications to analysis. For this purpose, necessary conditions are given for nearly continuous functions to become continuous, we characterize the strictly pseudo-complete sets in the Banach spaces and we also construct a Gâteaux differentiability space that is not weak Asplund. Keywords: Topological games, nearly continuous functions, strictly pseudo-complete sets, Gâteaux differentiability space, weak Asplund space.

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17 LISTA DE SÍMBOLOS União disjunta de conjuntos N O conjunto dos números naturais N >0 O conjunto dos números inteiros positivos Q O conjunto dos números racionais R O conjunto dos números reais A <ω O conjunto das sequências finitas de elementos de A p q (a 1,a 2,...,a i,b 1,b 2,...,b j ), onde p = (a 1,a 2,...,a i ) e q = (b 1,b 2,...,b j ) Var(α) A variação da função de variação limitada α A norma do supremo var A norma da variação total f (x + ) O limite lateral de f à direita de x f (x ) O limite lateral de f à esquerda de x A O fecho do conjunto A A Y O fecho do conjunto A no subespaço Y int(a) O interior do conjunto A C(X,Y ) O conjunto das funções contínuas de X a Y C(X) O conjunto das funções contínuas de X a R C i ({0,1} N,( 0,1 ) O conjunto das funções injetoras contínuas de ({0,1} N,τ p ) a ( 0,1

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19 SUMÁRIO INTRODUÇÃO PRELIMINARES Teoria dos conjuntos Topologia geral Categoria de Baire Usco e usco minimal Análise funcional Diferenciabilidade Gâteaux UMA VERSÃO TOPOLÓGICA DO TEOREMA DO GRÁFICO FE- CHADO O jogo de Banach-Mazur Funções aproximadamente contínuas UMA CARACTERIZAÇÃO DOS CONJUNTOS ESTRITAMENTE PSEUDO-COMPLETOS Espaços pseudo-completos e o jogo de Choquet Conjuntos pseudo-completos em espaços de Banach UM ESPAÇO DE DIFERENCIABILIDADE GÂTEAUX QUE NÃO É ASPLUND FRACO Espaços de diferenciabilidade Gâteaux e Asplund fracos Espaços de Kalenda K A Uma caracterização do espaço dual de C(K A ) Espaços aproximadamente Stegall e o jogo de Cantor Um espaço quase Asplund fraco que não é Asplund fraco REFERÊNCIAS APÊNDICE A ALGUNS CARDINAIS

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21 19 INTRODUÇÃO De acordo com Telgársky (1987), o termo jogo topológico foi introduzido por Berge em 1957, mesmo que a ideia já tinha sido desenvolvida bem antes, e foi formalizado por Pears em Desde então os jogos topológicos são utilizados geralmente, como veremos mais adiante, para caracterizar de um modo mais simples alguns conceitos, definir novos espaços, etc. Para fixar ideias, um jogo topológico é um jogo com infinitas rodadas entre dois participantes, o Jogador I e o Jogador II, desenvolvido num espaço topológico onde as regras e o critério de vitória envolvem propriedades topológicas. Uma estratégia é uma função que indica como deve jogar um jogador ante qualquer escolha do seu adversário. Mais ainda, se o jogador consegue sempre vencer com a dita estratégia, então dizemos que esta é uma estratégia vencedora. A importância ou utilidade dos jogos topológicos radica na existência ou não existência de uma estratégia vencedora para uns dos jogadores. Existem diversos tipos de jogos topológicos, mas no presente trabalho apresentamos um tipo particular de jogo e apresentamos algumas de suas aplicações à análise. Enfatizamos o estudo daqueles jogos com informação perfeita (ou seja, cada jogador lembra as jogadas do outro) e rodadas enumeráveis. Com esse propósito, a dissertação está organizada do seguinte modo. O Capítulo 1 reúne os conceitos e os resultados básicos que serão necessários para o desenvolvimento do presente trabalho. Abordamos alguns tópicos da teoria dos conjuntos, topologia geral, categoria de Baire, funções multi-avaliadas semicontínuas superiores, análise funcional e a diferenciabilidade Gâteaux. No Capítulo 2 apresentamos uma aplicação do jogo de Banach-Mazur para caracterizar os conjuntos residuais. Fornecemos condições necessárias para que funções aproximadamente contínuas se tornem contínuas, como foi mostrado por Moors (2000), obtendo no final uma versão topológica do Teorema do gráfico fechado. Estabelecemos no Capítulo 3 a equivalência entre os espaços de Choquet e Choquet forte com os espaços pseudo-completos e estritamente pseudo-completos, respectivamente. Baseado na noção de espaços pseudo-completos, Noll (1990) estendeu o conceito de pseudo-completude para os conjuntos convexos em espaços localmente convexos. Nós apresentamos uma redefinição de tal conceito utilizando a equivalência obtida com os espaços de Choquet. Utilizamos também um jogo topológico para caracterizar os conjuntos estritamente pseudo-completos e CS-fechados nos espaços de Banach, de acordo com Noll (1990), e assim obter de um modo mais simples

22 20 SUMÁRIO uma relação entre tais conjuntos. Finalmente, no Capítulo 4, se constrói um espaço de diferenciabilidade Gâteaux que não é Asplund fraco por meio de um jogo topológico, chamado de jogo de Cantor, e outras ferramentas. Tal construção foi elaborada por Moors e Somasundaram (2006) e fornece uma resposta positiva à pergunta feita por Larman e Phelps (1979).

23 21 CAPÍTULO 1 PRELIMINARES Neste capítulo apresentamos os conceitos e resultados básicos que serão necessários para o desenvolvimento do presente trabalho. Abordamos alguns tópicos da teoria dos conjuntos, topologia geral, categoria de Baire, funções multi-avaliadas semicontínuas superiores, análise funcional e a diferenciabilidade Gâteaux. 1.1 Teoria dos conjuntos Introduzimos brevemente alguns conceitos da teoria dos conjuntos como os ordinais, cardinais e suas propriedades básicas. Assumimos o sistema axiomático ZFC durante todo o trabalho. Para uma leitura mais profunda e completa, o leitor pode consultar as referências JECH e HRBACEK; JECH. Definição Sejam X um conjunto não vazio e F uma família de subconjuntos dele. Diz-se que F é um σ ideal em X se F e satisfaz as seguintes condições: - Para quaisquer A F e B A temos que B F. - Se (A n ) F, então A n F. O σ ideal gerado por F, denotado por A F, é o menor σ ideal que contém F. Proposição Sejam F uma família de subconjuntos de X e A F o σ ideal gerado por F. Se T X Y é uma função bijetora, então B = {T (C) C A F } é um σ ideal em Y gerado por T (F). Demonstração. É claro que B é um σ ideal em Y. Se G é um σ ideal em Y que contém T (F), então {T 1 (S) S G} é um σ ideal em X que contém F. Logo A F {T 1 (S) S G} e, em consequência, B G. Ou seja, B é o menor σ ideal que contém T (F).

24 22 Capítulo 1. Preliminares Definição Sejam X um conjunto não vazio e F uma família não vazia de subconjuntos dele. Dizemos que F é uma álgebra se F é fechado por complemento e por uniões finitas. Uma σ álgebra é uma álgebra que é fechada por uniões enumeráveis. Definição Sejam X um conjunto não vazio e uma relação nele. Dizemos que é uma ordem em X se satisfaz as seguintes condições: i) a a, para todo a X. ii) Se a b e b a, então a = b. iii) Se x y e y z, então x z. Nesse caso, (X, ) é chamado de conjunto ordenado. Ademais, dados x,y X, escreveremos x < y se x y e x y. Definição Seja (X, ) um conjunto ordenado. Dizemos que - (X, ) é totalmente ordenado se, para quaisquer a,b X, temos que a b ou b a. - (X, ) é bem ordenado se todo subconjunto não vazio possui mínimo. O seguinte teorema é uma reformulação do princípio da indução nos conjuntos bem ordenados. Teorema Sejam (X, ) um conjunto bem ordenado e A X. Se A satisfaz que, para todo a X, {x X x < a} A implica a A, então A = X. Demonstração. Sejam a X e I a = {x X x < a}. Mostraremos que I a A. Suponhamos que I a A. Existe b I a A tal que b w para todo w I a A. Seja t {x X x < b}. Se t A, então t I a A e, por consequência, b t, mas isso contradiz o fato que t < b. Então t A. Ou seja, {x X x < b} A. Logo, pela hipótese, temos que b A, mas isso é absurdo pois b I a A. Então I a A e, por consequência, a A. Portanto, A = X. Definição Um conjunto é dito transitivo se todo elemento dele é também um subconjunto dele. Um conjunto X é chamado de ordinal se X é transitivo e (X, ) é bem ordenado. Denotaremos os ordinais pelas letras gregas minúsculas α,β,γ,... Proposição Seja P uma propriedade. Se existe um ordinal β tal que vale P(β), então existe o menor ordinal que satisfaz P. Demonstração. Seja A = {α β α satisfaz P}. No caso que A, como (β, ) é bem ordenado e cada elemento dele é um ordinal, basta tomar o mínimo elemento de A. No caso que A =, só tomar o próprio β.

25 1.1. Teoria dos conjuntos 23 Teorema Todo conjunto bem ordenado é isomorfo a um único ordinal. Demonstração. Uma prova deste teorema pode ser encontrada em JECH (Teorema 2.12 do Capítulo 2, página 20). Definição Seja W um conjunto bem ordenado. O tipo da ordem de W é o ordinal que é isomorfo a W. Definição Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A e B possuem a mesma cardinalidade, e denotamos por card(a) = card(b), se existe uma função bijetora entre A a B. Exemplo R e P(N) possuem a mesma cardinalidade. Definição Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que a cardinalidade de A é menor ou igual à cardinalidade de B, e denotamos por card(a) card(b), se existe uma função injetora f A B. Mais ainda, escrevemos card(a) < card(b) se card(a) card(b) e card(a) card(b). Teorema (Teorema de Cantor-Bernstein). Sejam A e B dois conjuntos. Se existem funções injetoras f A B e g B A, então existe uma função bijetora entre A e B. Demonstração. Uma prova deste teorema pode ser encontrada em HRBACEK; JECH (Teorema 1.6 da Seção 1 do Capítulo 4, página 66). Definição Seja α um ordinal. Dizemos que α é um cardinal se não existe β < α tal que card(β) = card(α). Para qualquer conjunto X, denotaremos por card(x) o cardinal de X. Teorema (Teorema de Cantor). card(x) < card(p(x)), para todo conjunto X. Demonstração. Seja X um conjunto qualquer. Não é difícil ver que card(x) card(p(x)). Se card(x) = card(p(x)), existe uma função bijetora F X P(X). Seja D = {x X x F(x)}. Logo existe z X tal que F(z) = D. No caso z D, temos que z F(z) = D, o que é absurdo. No caso z D, analogamente obtemos uma contradição. Portanto, card(x) < card(p(x)). Teorema card(p(x)) = 2 card(x), para todo conjunto X. Demonstração. Uma prova deste teorema pode ser encontrada em HRBACEK; JECH (Teorema 1.9 da Seção 1 do Capítulo 5, página 96). O cardinal de N será denotado por ℵ 0. Por consequência, o cardinal de R é 2 ℵ 0. Definição λ +κ = card(a B), onde λ = card(a), κ = card(b) e A B =.

26 24 Capítulo 1. Preliminares A seguinte proposição garante a boa definição da soma de números cardinais. Proposição Sejam A,A,B,B conjuntos tais que A B = A B =. Se card(a) = card(a ) e card(b) = card(b ), então card(a B) = card(a B ). Demonstração. Sabemos que existem funções bijetoras f 1 A A e f 2 B B. Definimos a função F A B A B por F(x) = f 1 (x), se x A, e F(x) = f 2 (x) se x B. Note que F está bem definida e é bijetora. Então card(a B) = card(a B ). Proposição A soma dos números cardinais satisfaz as seguintes propriedades a) κ +λ = λ +κ. b) κ +(λ + µ) = (κ +λ)+ µ. c) κ κ +λ. d) Se κ 1 κ 2 e λ 1 λ 2, então κ 1 +λ 1 κ 2 +λ 2. Demonstração. Só usar a definição. Definição λ κ = card(a B), onde λ = card(a) e κ = card(b). A seguinte proposição garante a boa definição do produto de números cardinais. Proposição Sejam A,A,B,B uns conjuntos. Se card(a) = card(a ) e card(b) = card(b ), então card(a B) = card(a B ). Demonstração. Sabemos que existem funções bijetoras f 1 A A e f 2 B B. Definimos a função F A B A B por F(x,y) = ( f 1 (x), f 2 (y)). Note que F está bem definida e é bijetora. Então card(a B) = card(a B ). Proposição O produto dos números cardinais satisfaz as seguintes propriedades a) κ λ = λ κ. b) κ (λ µ) = (κ λ) µ. c) κ (λ + µ) = κ λ +κ µ. d) Se κ 1 κ 2 e λ 1 λ 2, então κ 1 λ 1 κ 2 λ 2. Demonstração. Só usar a definição. Definição λ κ = card(a B ), onde λ = card(a) e κ = card(b). A seguinte proposição garante a boa definição da potência entre números cardinais.

27 1.2. Topologia geral 25 Proposição Sejam A,A,B,B uns conjuntos. Se card(a) = card(a ) e card(b) = card(b ), então card(a B ) = card(a B ). Demonstração. Sabemos que existem funções bijetoras f 1 A A e f 2 B B. Definimos a função H A B A B por H(ϕ) = f 2 ϕ f1 1. Note que H está bem definida e é bijetora. Então card(a B ) = card(a B ). Proposição A potência entre números cardinais satisfaz as seguintes propriedades a) Se κ 1 κ 2 e λ 1 λ 2, então κ λ 1 1 κλ 2 2. b) κ λ+µ = κ λ κ µ. c) (κ λ ) µ = κ (λ µ). d) (κ λ) µ = κ µ λ µ. Demonstração. Uma prova desta proposição pode ser encontrada em HRBACEK; JECH (Teorema 1.7 da Seção 1 do Capítulo 5, páginas 95-96). 1.2 Topologia geral Nesta seção apresentamos as principais ferramentas da topologia geral. Assumimos certa familiaridade com os fatos usuais dos espaços métricos e alguns conceitos básicos da topologia como conjuntos abertos, conjuntos fechados, o fecho de um conjunto, o interior de um conjunto, topologia induzida, topologia produto, etc. Para uma leitura mais profunda e completa, o leitor pode consultar as referências ENGELKING, MUNKRES. Definição Uma pseudo-métrica ρ sobre um conjunto X é uma função ρ X X ( 0, ) que satisfaz o seguinte i) Se a = b, então ρ(a,b) = 0. ii) ρ(x,y) = ρ(y,x), para quaisquer x,y X. iii) ρ(x,y) ρ(x,z) + ρ(z,y), para todos x,y,z X. O ρ diâmetro de um subconjunto A é ρ diam(a) = sup{ρ(x,y) x,y A}. Dados x X e r > 0, definimos a ρ bola aberta de centro x e raio r como B ρ (x,r) = {y X ρ(x,y) < r}. Exemplo Seja M o conjunto das funções α ( 0,1 R não decrescentes tais que α(0) = 0 e seja (a n ) uma sequência em (0,1). Definimos ρ M M ( 0, ) como ρ( f,g) = ( f g)(a n ) n=0 2 n. Vejamos primeiro que ρ está

28 26 Capítulo 1. Preliminares bem definida. De fato, se f,g M, então ρ( f,g) n=0 f (1)+g(1) 2 n = f (1)+g(1). É claro que ρ satisfaz (i) e (ii). Por último, sejam f,g,h M. Temos que, para cada n N, n i=0 ( f g)(a i ) 2 i n i=0 n ( f h)(a i ) (h g)(a i ) 2 i + 2 i i=0 k=0 ( f h)(a k ) 2 k + Assim, ρ( f,g) ρ( f,h) + ρ(h,g). Então ρ é uma pseudo-métrica em M. k=0 (h g)(a k ) 2 k. Por outro lado, vejamos que ρ não é uma métrica. De fato, consideremos a função nula 0 e a função f definida por f (x) = ) ] Assim temos que ρ ( f, 0) = 0, mas f 0. 0, se x ( 0,1). 1, se x = 1. O seguinte teorema fornece uma caracterização dos espaços métricos completos. Teorema (Teorema de Cantor). Um espaço métrico (X,d) é completo se, e somente se, para cada sequência decrescente de conjuntos fechados (B n ) tal que (diam(b n )) converge a zero, temos que B n é um conjunto unitário. Demonstração. Suponhamos que (X,d) é completo. Seja (B n ) uma sequência decrescente de conjuntos fechados tal que (diam(b n )) converge a zero. Para cada n N, seja a n B n. A sequência (a n ) é de Cauchy dado que (diam(b n )) converge a zero. Logo (a n ) converge para um ponto a X. Dado m N, a subsequência (a m+k ) k N também converge para a. Logo a B m. Isto é, a B n. Mais ainda, B n = {a}. Reciprocamente, seja (x n ) uma sequência de Cauchy. Existe n 0 N tal que d(x k,x n0 ) < 1 para todo k n 0. Analogamente, existe n 1 N tal que n 1 n 0 e d(x k,x n1 ) < 1 2 para todo k n 1. Indutivamente, suponhamos que dado m N, existe n m N tal que d(x k,x nm ) < 1 2 m para todo k n m. Logo, existe n m+1 N tal que n m+1 n m e d(x k,x nm+1 ) < 1 2 m+1 para todo k n m+1. Para cada k N, definimos B k = B(x n0,1) B(x nk, 1 ). Logo existe x 2 k 0 X tal que B k = {x 0 }. Pela construção, x n converge a x 0. Definição Sejam (X,τ) um espaço topológico e B τ. Dizemos que B é uma base para (X,τ) se, para quaisquer x X e U τ tais que x U, existe B B tal que x B U. Proposição Sejam X um conjunto não vazio e B P(X) que satisfaz as seguintes condições i) Para cada x X, existe B B tal que x B. ii) Dados x X e B 1,B 2 B tais que x B 1 B 2, existe B 3 B tal que x B 3 B 1 B 2. Então τ = {A = B B B} é uma topologia sobre X e B é uma base para (X,τ). k=0

29 1.2. Topologia geral 27 Demonstração. Não é difícil ver que,x τ, pelo item (i), e τ é fechado por uniões arbitrárias. Sejam U 1,U 2 τ e x U 1 U 2. Existem B 1,B 2 B tais que x B 1 U 1 e x B 2 U 2. Logo, devido ao item (ii), existe B x B tal que x B x B 1 B 2. Então U 1 U 2 = B x τ. Logo, por x U 1 U 2 indução, τ é fechado por interseções finitas. Concluímos que τ é uma topologia sobre X e que B é uma base para (X,τ). Exemplo Em R consideremos a família B = {( a,b) a,b R com a < b}, a qual satisfaz as condições da Proposição A topologia gerada por B é chamada de topologia de Sorgenfrey. Definição Sejam (X,τ) um espaço topológico e S τ. Dizemos que S é uma sub-base para (X,τ) se a família das interseções finitas dos elementos de S é uma base para (X,τ). Proposição Sejam X um conjunto não vazio e S P(X). Se X = A, então τ = {A = B B B} é uma topologia sobre X, onde B é o conjunto das interseções finitas de elementos de S. A S Demonstração. Basta ver que B satisfaz as condições da Proposição Exemplo Seja A um subconjunto não vazio de (0,1). Para quaisquer aberto U de R e x A {1}, definimos S(x,U) = { f R ( 0,1 f (x) U}. Em R ( 0,1 consideremos a família M = {S(x,U) x A {1} e U τ d }, a qual satisfaz as condições da Proposição A topologia gerada por M será denotada por τ A. Definição Sejam (X,τ) um espaço topológico, x X e B x τ tal que x A para todo A B x. Dizemos que B x é uma base local para x se, para todo U τ que contenha x, existe B B x tal que x B U. Proposição Seja X um conjunto não vazio. Para cada x X, seja B x P(X) satisfazendo as seguintes condições i) Para cada x X temos que B x e, para qualquer D B x, x D. ii) Dados x X e U B y tais que x U, existe B B x tal que x B U. iii) Para todo x X temos que, dados B 1,B 2 B x, existe B 3 B x tal que B 3 B 1 B 2. Então τ = {A = B B B} é uma topologia sobre X, onde B = B x é uma base para (X,τ). x X Demonstração. Basta ver que B = B x satisfaz as condições da Proposição x X Definição Seja f X Y uma função entre espaços topológicos. Diz-se que - f é contínua se, para cada U aberto de Y, f 1 (U) é um aberto de X.

30 28 Capítulo 1. Preliminares - f é aberta se f (A) é um aberto de Y, para todo aberto A de X. - f é fechada se f (E) é um fechado de Y, para todo fechado E de X. Observação Se f X Y uma função contínua, então f X f (X) também é contínua. De fato, dado U um aberto de Y tal que f (X) U, obtemos que f 1 ( f (X) U) = f 1 ( f (X)) f 1 (U) = f 1 (U) é um aberto de X. Proposição Sejam X,Y dois espaços topológicos e A,B X dois conjuntos fechados tais que A B = X. Se f A Y e g B Y são funções contínuas tais que f (x) = g(x), para cada x A B, então a função H X Y definida por é contínua. ) H(x) = ] f (x), se x A. g(x), se x B. Demonstração. Seja K um fechado de Y. Logo H 1 (K) = f 1 (K) g 1 (K) é um fechado de X pois f e g são contínuas. Então H é contínua. Definição Uma função f X Y, entre espaços topológicos, é um homeomorfismo se f é contínua, bijetora e f 1 é contínua. Nesse caso, dizemos que os espaços X e Y são homeomorfos. Exemplo Todo intervalo fechado da forma I = ( a,b, com a < b, é homeomorfo a ( 0,1. Proposição Seja f X Y uma função bijetora entre espaços topológicos. São equivalentes a) f é um homeomorfismo. b) f é contínua e aberta. c) f é contínua e fechada. d) f (A) = f (A), para qualquer A X. Demonstração. Uma demonstração desta proposição pode ser encontrada em MUNKRES (Teorema 18.1 da Seção 18 do Capítulo 2, página 104). Definição Dizemos que um espaço topológico (X,τ) é Hausdorff ou T 2 se, dados x,y X distintos, existem U,V τ disjuntos tais que x U e y V. Definição Um espaço compacto é um espaço topológico no qual toda cobertura aberta dele possui uma subcobertura finita. Um subconjunto de um espaço topológico é um conjunto compacto nele se como subespaço é um espaço compacto.

31 1.2. Topologia geral 29 Proposição Seja X um espaço topológico. a) A X é um conjunto compacto se, e só se, toda cobertura de A, formada por abertos de X, possui uma subcobertura finita. b) Todo conjunto fechado contido num conjunto compacto também é compacto. Demonstração. O item (a) é trivial. Sejam F um conjunto fechado e K um conjunto compacto tais que F K. Seja {A t } t L uma cobertura aberta de F formada por abertos de X. Como K F c t L A t, existem t 1,,t n L tais que K F c n t=1 Proposição Seja (X,τ) um espaço de Hausdorff. A ti. Logo F n A ti. Portanto, F é compacto. t=1 a) Dados um conjunto compacto K e x 0 X tais que x 0 K, existem U,V τ disjuntos tais que x 0 V e K U. b) Todo conjunto compacto é fechado. c) Se A,B são conjuntos compactos disjuntos, então existem U,V τ disjuntos tais que A U e B V. Demonstração. a) Sejam K um conjunto compacto e x 0 X tais que x 0 K. Para cada x K, existem U x,v x τ disjuntos tais que x U x e x 0 V x. Como K é compacto, existem x 1,,x n K tais que K n i=1 U xi. Fazendo U = n i=1 U xi e V = n V xi, obtemos que U V =, x 0 V e K U. i=1 b) Sejam K um conjunto compacto e z K. Se z K, então existem U,V τ disjuntos tais que z V e K U. Logo V K, mas isso contradiz o fato que U e V são disjuntos. Então z K. Ou seja, K = K. c) Sejam A,B dois conjuntos compactos disjuntos. Para cada x B, existem U x,v x τ disjuntos tais que x V x e A U x. Como B é compacto, existem x 1,,x n B tais que B n V xi. i=1 Fazendo V = n V xi e U = n U xi, obtemos que U V =, B V e A U. i=1 i=1 Proposição Sejam A e B dois conjuntos compactos de um espaço de Hausdorff. Se A B, então existe um aberto U tal que A U = e B U. Demonstração. Dado x 0 B A, existem dois abertos disjuntos U,V tais que x 0 U e A V. Logo A U = e B U.

32 30 Capítulo 1. Preliminares Proposição Seja X um espaço de Hausdorff. Se {X t } t Λ é uma família de conjuntos compactos não vazios tal que, para quaisquer α,β Λ, X α X β ou X β X α. Então X t é um compacto não vazio. t Λ Demonstração. Basta provar que t Λ X t. De fato, se t Λ X a, e como ele é compacto, existem t 1,,t k Λ tais que X a k X t =, então Xt c = X. Fixando um t Λ i=1 X c t i. Sem perda de generalidade, suponhamos que X t1 seja o menor deles no sentido da inclusão. Logo X a Xt c 1, mas isso contradiz o fato que X a X t1 ou X t1 X a. Então X t. t Λ Proposição Sejam X um espaço compacto, Y um espaço de Haudorff e f X Y uma função. Se f é contínua, então ela é fechada. Mais ainda, se f é contínua e bijetora, então f é um homeomorfismo. Demonstração. Seja A X um conjunto fechado. Ele é compacto e, em consequência, f (A) é compacto. Como Y é Hausdorff, f (A) é fechado. Isto é, f é fechada. O resultado final é obtido a partir da Proposição Proposição Sejam τ e τ duas topologias sobre X tais (X,τ) é Hausdorff e τ τ. Se A é τ compacto, então as topologias relativas τ A e τ A são iguais. Demonstração. Basta provar que todo conjunto τ A fechado é τ A fechado. Para isso, consideremos a função identidade i (A,τ A ) (A,τ A). O resultado é obtido em virtude da Proposição Definição Seja h X Y uma função contínua entre espaços topológicos. Dizemos que h é uma função perfeita se ela é fechada, sobrejetora e, para cada y Y, h 1 (y) é compacto. Proposição Seja h X Y uma função fechada entre espaços topológicos i) Para cada D Y e aberto U X com h 1 (D) U, existe um aberto V de Y tal que D V e h 1 (V ) U. ii) Se h é perfeita, a pré-imagem de cada conjunto compacto é compacta. Demonstração. i) Sejam D Y e U um aberto tais que h 1 (D) U. Como X U h 1 (Y D), temos que h(x U) h(h 1 (Y D)) Y D. Logo, fazendo V = Y h(x U), obtemos que D V e h 1 (V ) U.

33 1.2. Topologia geral 31 ii) Sejam A Y compacto e {A α } α L uma cobertura aberta de h 1 (A). Dado y A, como h é perfeita, vale que h 1 ({y}) A α, onde J y L é finito. Pelo item anterior, existe α J y um aberto V y tal que {y} V y e h 1 (V y ) A α. Logo, pela compacidade de A, existem α J y y 1,...,y m A tais que A m V yk. Em consequência h 1 (A) A α, onde J = m J yk é finito. k=1 α J k=1 Definição Um conjunto G δ é uma interseção enumerável de conjuntos abertos e um conjunto F σ é uma união enumerável de conjuntos fechados. Do mesmo jeito, um ponto G δ é aquele que como conjunto unitário é um conjunto G δ. Exemplo Seja X = {a,b,c} e τ = {,{a,b},x} uma topologia nele. O conjunto {a,b} é um aberto e, em consequência, é um conjunto G δ. Mas a X não é um ponto G δ. Definição Um espaço topológico (X,τ) é metrizável se existe uma métrica d tal que τ seja induzida por d. Mais ainda, se (X,d) é completo, então dizemos que (X,τ) é completamente metrizável. Proposição Cada ponto de um conjunto G δ metrizável é um ponto G δ. Demonstração. Sejam (X,τ) um espaço topológico e A um conjunto G δ metrizável. Existe uma sequência de conjuntos abertos (A n ) tal que A = A n. Seja d uma métrica que induz 1 a topologia τ A. Se x A, então, para cada n N, existe E n τ tal que B(x, n+1 ) = A E n. Logo {x} = A n E n. Ou seja, x é um ponto G δ. Proposição Seja g X Y uma função contínua, sobrejetora e aberta entre espaços regulares. Se X possui um subespaço D denso completamente metrizável, então D possui um subespaço Ω completamente metrizável tal que g Ω g(ω) é um homeomorfismo e, mais ainda, g(ω) é um subconjunto G δ denso em Y. Em consequência, cada espaço regular Z que contenha Y, tal que Y seja denso em Z, contém um subespaço G δ denso completamente metrizável. Demonstração. Uma prova desta proposição pode ser encontrada em FABIAN (Proposição da Seção 1 do Capítulo 2, página 39). Definição Seja (X,τ) um espaço topológico. Se cada x X possui uma base local enumerável, então X será chamado de primeiro-contável. Um espaço é segundo-contável se possui uma base enumerável. Definição Um espaço de Lindelöf é um espaço topológico no qual toda cobertura aberta dele possui uma subcobertura enumerável. Um espaço hereditariamente de Lindelöf é aquele onde cada subespaço é de Lindelöf.

34 32 Capítulo 1. Preliminares Teorema Se X é segundo-contável, então X é de Lindelöf e separável 1. Demonstração. Seja B = {B n n N} uma base da topologia de X. Para cada n N selecionamos a n B n e seja D = {a n n N}. Se V é um aberto não vazio, existe m N tal que B m V. Ou seja, a m V D. Então X é separável. Por último, seja U uma cobertura aberta de X. Para cada x X, existem U x U e B x B tais que x B x e B x U x. Dado que B é uma base enumerável, existe A X enumerável tal que {B x x X} = {B a a A} e, em consequência, {U x } x A é uma subcobertura enumerável de X. Portanto, X é de Lindelöf. Corolário Num espaço métrico X são equivalentes a) X é segundo-contável. b) X é de Lindelöf. c) X é separável. Demonstração. Primeiro provaremos que (c) implica (a). Se X é separável, existe D X enumerável e denso. Seja B = {B(x,r) x D e r Q} uma família enumerável de abertos, vejamos que é uma base. Sejam z X e W um aberto tais que z W. Existe t > 0 tal que B(z,t) W. Logo existem x 0 D e um racional r 0 (d(x 0,z), t 3 ) tais que x 0 B(z, t 3 ) D e B(x 0,r 0 ) B(z,t). Ou seja, z B(x 0,r 0 ) W. Então X possui uma base enumerável. Finalmente, pelo teorema anterior, só basta provar que (b) implica (a). Se X é de Lindelöf, fixemos r Q >0 e consideremos X = B(x,r). Logo existe A r X enumerável tal que X = x X B(x,r). Definamos uma família enumerável de abertos F = {B(x,r) x A q e r Q}. x A r q Q Sejam x X e U um aberto tais que x U. Existe r > 0 tal que B(x,r) U. Tomemos um racional q (0, r 2 ), logo existe a A q tal que x B(a,q) e, ademais, B(a,q) B(x,r) U. Isto é, F é uma base enumerável. Proposição Seja X um espaço topológico. Se cada subespaço aberto é de Lindelöf, então X é hereditariamente de Lindelöf. Demonstração. Sejam A um subconjunto de X e {U λ } λ L uma cobertura aberta de A. Se V = U λ, existe M L enumerável tal que A V = U λ. Assim, A é um espaço de Lindelöf. λ L λ M Proposição Sejam Y um espaço topológico Hausdorff, X um conjunto não vazio e F Y X. Para que F seja τ p compacto é necessário e suficiente que F seja τ p fechado e que, para cada x X, o conjunto π x (F) = { f (x) f F} seja compacto. 1 Um espaço topológico é separável se possui um subconjunto denso enumerável.

35 1.3. Categoria de Baire 33 Demonstração. Se F é τ p compacto, então F é τ p fechado, pois Y X é de Hausdorff e π x (F) é compacto para qualquer x X. Reciprocamente, definimos G = π x (F), o que é τ p compacto. Dado que F G é τ p fechado, obtemos que F é τ p compacto. Proposição Seja A um subespaço aberto-fechado de ({0,1} N,τ p ). Se A é homeomorfo a {0,1} N, então toda função contínua injetora f A ( 0,1 possui uma extensão F {0,1} N ( 0,1 contínua injetora. x X Demonstração. Seja f A ( 0,1 uma função contínua injetora. Temos que A é compacto e, devido à Proposição , é homeomorfo a f (A). Ademais, como ( 0,1 e {0,1} N não são homeomorfos, f não é sobrejetora. Se (0,1) f (A) =, então (0,1) f (A). Logo ( 0,1 f (A) = f (A). Ou seja, ( 0,1 = f (A), o que é absurdo. Então (0,1) f (A). Por consequência, (0,1) f (A) contém um intervalo fechado da forma I = ( a,b com a < b. Existe um homeomorfismo h ( 0,1 ( a,b. Logo D = h( f (A)) é homeomorfo a f (A) e, por consequência, também é homeomorfo a {0,1} N. Por tal motivo, existe um homeomorfismo g {0,1} N D. Definamos F {0,1} N ( 0,1 por ) F(x) = ] f (x), se x A. g(x), se x {0,1} N A. Pela Proposição obtemos que F é contínua. Além disso, F é injetora e estende f. 1.3 Categoria de Baire Nesta seção estudamos os conjuntos de primeira e segunda categoria de Baire, os espaços de Baire e suas propriedades. Para uma leitura mais profunda e completa, o leitor pode consultar a referência MUNKRES. Definição Um conjunto raro de um espaço topológico é aquele cujo interior do seu fecho é vazio. Se um subconjunto de um espaço topológico é uma reunião enumerável de conjuntos raros, então é chamado de primeira categoria ou magro, caso contrário, será chamado de segunda categoria ou não magro. Um conjunto residual é o complementar de um conjunto de primeira categoria. Exemplo Se F é um conjunto fechado, então F int(f) é raro. - Q é um conjunto magro, mas não é raro. Então R Q é residual. magros. A seguinte proposição reúne algumas propriedades básicas dos conjuntos magros e não

36 34 Capítulo 1. Preliminares Proposição Em todo espaço topológico vale o seguinte a) Um conjunto é raro se, e só se, o interior do seu complementar é denso. b) Todo subconjunto de um conjunto magro é magro. c) União enumerável de conjuntos magros é magro. d) Todo conjunto que contenha um conjunto de segunda categoria também é de segunda categoria. e) Um conjunto é residual se, e somente se, existe uma sequência de conjuntos abertos e densos tal que a interseção deles esteja contida nele. Demonstração. Seja X um espaço topológico, notemos que todo subconjunto de um conjunto raro é raro. a) Bastar usar o fato que X int(s) = X S, para qualquer S X. b) Sejam E um conjunto magro e F um subconjunto dele. Existe uma sequência de conjuntos raros (E n ) tal que E = magro. E n. Logo E n F é raro, para cada n N, e F = E n F é c) Se (T n ) é uma sequência de conjuntos magros, então, para cada n N, existe uma sequência de conjuntos raros (R n m) m N tal que T n = magro. m N R n m. Logo T n = R n m é (n,m) N 2 d) Sejam M um conjunto de segunda categoria e N um conjunto que contém o M. Se N fosse magro, então pelo item (b), M seria magro, o que é falso. Logo N é de segunda categoria. e) Se R é residual, então existe uma sequência de conjuntos raros (E n ) tal que R c = E n. Logo R = En, c onde int(en) c é denso, para cada n N. Reciprocamente, suponhamos que existe uma sequência de conjuntos abertos e densos (A n ) tal que A n R. Então R c A c n, onde cada A c n é raro e, em consequência, R c é magro. Isto é, R é residual. Proposição Sejam X um espaço topológico e A X. Logo A é raro se, e só se, para cada aberto não vazio U, existe um aberto não vazio V tal que V U e V A =. Demonstração. Seja U um aberto não vazio e definamos V = U A c. Logo V é um aberto não vazio, pois A é raro, tal que V U e V A =. Reciprocamente, se int (A), então, por hipóteses, existe um aberto não vazio T tal que T int (A) e T A =, mas isso contradiz o fato que T A. Portanto, A é raro.

37 1.3. Categoria de Baire 35 Proposição Sejam X um espaço topológico e A X. Se E A é magro em A, então E é magro em X. Demonstração. Primeiramente provaremos o resultado para o caso particular que E seja raro em A. Se E não é raro em X, existe um aberto não vazio V tal que V E. Logo V A E A, o que é absurdo. Então E é raro em X. Para o caso geral, seja (E n ) uma sequência de conjuntos raros de A tal que E = E n. Pelo fato anterior, cada E n é raro em X. Portanto, E é magro em X. Proposição Seja A um subconjunto aberto ou denso de um espaço topológico X. Para qualquer E A, E é magro em A se, e só se, E é magro em X. Demonstração. Pela Proposição 1.3.5, basta provar a recíproca. Seja E um subconjunto de A. Primeiramente provaremos o resultado no caso que A seja aberto. Suponhamos que E é raro em X. Dado um aberto não vazio U de A, em virtude da Proposição 1.3.4, existe um aberto não vazio V de X tal que V U e V E =. Então E é raro em A. Caso que E seja magro em X, existe (E n ) uma sequência de conjuntos raros em X tal que E = E n. Pelo parágrafo anterior, temos que cada E n A é raro em A. Portanto, E = E n A é magro em A. Agora provaremos o resultado no caso que A seja denso. Suponhamos que E é raro em X. Dado um aberto não vazio U de A, existe um aberto W de X tal que U = W A. Analogamente, devido à Proposição 1.3.4, existe um aberto não vazio V de X tal que V W e V E =. Logo V A U e (V A) E =. Então E é raro em A. Por último, caso que E seja magro em X, existe (E n ) uma sequência de conjuntos raros em X tal que E = E n. Pelo parágrafo anterior, temos que cada E n A é raro em A. Logo E = E n A é magro em A. Proposição Sejam X um espaço topológico e E B dois abertos. Se A é residual em B, então A E é residual em E. Demonstração. Sabemos que B A é magro em B e, em consequência, magro em X. Logo E A é magro em X e, assim, também é magro em E. Ou seja, E A é residual em E. Proposição Sejam X um espaço topológico e A B dois subconjuntos dele. Se B é residual em X e A é residual em B, então A é residual em X. Demonstração. Sabemos que B A é magro em B e, em consequência, também magro em X. Então A c = (B A) (A c B c ) é magro em X. Proposição Sejam h X Y um homeomorfismo entre espaços topológicos e A X. Logo A é magro se, e só se, h(a) é magro.

38 36 Capítulo 1. Preliminares Demonstração. Basta provar tal equivalência para o caso dos conjuntos raros. De fato, suponhamos que A é raro. Se int (h(a)) = int (h(a)), então h 1 (int (h(a))) A, o qual não pode acontecer. Assim, h(a) é raro. Reciprocamente, suponhamos que h(a) é raro. Se int (A), então h(int (A)) h(a) = h(a), obtendo novamente uma contradição. Então A é raro. Definição Sejam X um espaço topológico e A X. Dizemos que A possui a propriedade de Baire em X se existe um aberto U X tal que A U é magro. Exemplo Os conjuntos magros e os conjuntos abertos possuem a propriedade de Baire. Teorema A família dos conjuntos que possuem a propriedade de Baire é a menor σ álgebra que contém a topologia e os conjuntos magros. Demonstração. Sejam X um espaço topológico e F = {E X E possui a propriedade de Baire em X}. Note que F contém os conjuntos abertos e os conjuntos magros de X. Se E F, existe um aberto U X tal que E U é magro. Considerando V = int(u c ), temos que E c V c (E U) (U c int(u c )) é magro. Então E c F. Seja (A n ) uma sequência de elementos de F. Existe, para cada n N, um aberto U n X tal que A n U n é magro. Logo ( A n ) ( U n ) (A n U n ) é magro. Ou seja, A n F. Seja M uma σ álgebra que contém a topologia e os conjuntos magros. Dado P F, existe um aberto W X tal que P W é magro. Logo P = ( (P W) W (W P) M. Portanto, F M. Definição Um espaço de Baire é um espaço topológico onde para qualquer sequência de conjuntos abertos densos, a interseção deles é densa. Proposição Seja X um espaço topológico, são equivalentes a) X é um espaço de Baire. b) Todo aberto não vazio de X é de segunda categoria. Demonstração. Uma prova desta proposição pode ser encontrada em MUNKRES (Lema 48.1 da Seção 48 do Capítulo 8, página 296) Proposição Sejam X um espaço de Baire e A,B X. Se A e B são residuais, então A B. Demonstração. Suponhamos que A B =. Logo X = (X A) (X B) é magro, mas isso contradiz o fato que X seja de Baire. Portanto, A B. Teorema Sejam (X,τ) um espaço topológico e A um subconjunto dele. Se A é de segunda categoria, então existe um aberto não vazio U tal que A U é magro e A V é de segunda

39 1.3. Categoria de Baire 37 categoria, para qualquer aberto não vazio V U. Mais ainda, se X é de Baire, então A U é de Baire. Demonstração. Sejam W = {W τ A W é magro} e G = {F W se U 1,U 2 F são diferentes, então U 1 U 2 = }. Não é difícil ver que (G, ) é parcialmente ordenado e que toda cadeia é limitada superiormente. Em virtude do Lema de Zorn, sejam {W y y Γ} o elemento de maximal de G e Ω 0 = W y. Mostraremos que Ω 0 W. y Γ Para cada y Γ, existe uma (Nn) y sequência de conjuntos raros tal que A W y = N y n. Provaremos que o conjunto M n = Nn y é raro, para todo n N, por meio da Proposição Dado y Γ I τ tal que I M n, existe y 0 Γ tal que I N y 0 n. Logo existe um aberto não vazio O tal que O I W y0 e O N y 0 n =. Como (I W y0 ) N y 0 n I M n, temos que O I M n. Ou seja, M n é raro. Logo A Ω 0 = A W y = M n é magro. y Γ Sejam Ω = P e U = Ω c. Se existe G τ não vazio tal que G Ω Ω 0, então G Ω e P W G Ω c 0. Existe W 0 W tal que G W 0. Logo G W 0 W e (G W 0 ) Ω 0 =, mas isso contradiz a maximalidade de {W y y Γ}. Então int (Ω Ω 0 ) =. Ou seja, Ω Ω 0 é raro. Em consequência, A Ω (Ω Ω 0 ) (A Ω 0 ) é magro. Portanto A U = A Ω (A Ω) (Ω Ω) é magro. Note que U é não vazio e V A é de segunda categoria, para qualquer aberto não vazio V U. Por outro lado, vejamos que U A U. De fato, seja x U. Dado R τ tal que x R, temos que R (A U) = A (R U) pois ele é de segunda categoria pelo parágrafo anterior. Assim, x A U. No caso que X seja de Baire, mostraremos que A U é de Baire. Seja (G n ) uma sequência de conjuntos abertos densos de A U. Para cada n N, existe um aberto H n U tal que G n = A H n. Ademais U A U G n H n para qualquer n N. Logo M = H n é residual em U pois U é de Baire. Ou seja, U M é magro. Afirmamos que A U A M. Seja x A U e seja T τ tal que x T. Se T (A M) =, então (A M) (T U) =. Logo A (T U) (T U) M U M é magro, mas isso não pode acontecer pois T U U. Então T (A M). Ou seja, x A M. Portanto, A U A M = G n. Ou seja, G n é denso em A U. Isto é, A U é de Baire. Teorema Todo espaço métrico completo é um espaço de Baire. Demonstração. Seja X um espaço métrico completo e seja (A n ) uma sequência de conjuntos abertos densos dele. Se U é um aberto não vazio, existem a 0 U A 0 e r 0 > 0 tais que B(a 0,r 0 ) U A 0. Analogamente, pela densidade de A 1, existe a 1 B(a 0, r 0 2 ) A 1. Logo existe r 1 > 0 tal que B(a 1,r 1 ) B(a 0, r 0 2 ) A 1, onde r 1 r 2 pois diam(b(a 1,r 1 )) diam(b(a 0, r 0 2 )). Suponhamos que temos a n B(a n 1, r n 1 2 ) A n e r n 1 r 0 2 n 1 tais que B(a n,r n ) B(a n 1, r n 1 2 ) A n U A 1... A n. Do mesmo jeito, existem a n+1 B(a n, rn 2 ) A n+1 e r n+1 > 0 tais que

40 38 Capítulo 1. Preliminares B(a n+1,r n+1 ) B(a n, rn 2 ) A n+1 U A 1... A n A n+1 e r n+1 r 0 2 n+1. Assim obtemos uma sequência decrescente de fechados (B(a n,r n )), no sentido da inclusão, tais que seus diâmetros convergem a zero. Em consequência, existe x 0 A n é denso. B(a n,r n ) U A n. Portanto, Proposição Sejam (M,d) um espaço métrico completo e {M n } uma cobertura fechada dele. Se U n = int(m n ), então U = U n é denso. Demonstração. Devido ao Teorema temos que M é um espaço de Baire e, em consequência, U é não vazio. Dado A um aberto não vazio de M, existe um aberto não vazio V tal que V A. Como V = M n V é de segunda categoria, existe n 0 N tal que int(m n0 V ) int(m n0 V ) = U n0 int(v ). Concluímos que A U. Definição Sejam X um espaço topológico e A X. Se para cada aberto não vazio U temos que A U é de segunda categoria, então A é chamado de segunda categoria em toda parte. Observação É claro que todo conjunto de segunda categoria em toda parte é, em particular, de segunda categoria e denso. Proposição Em um espaço de Baire, todo conjunto residual é de segunda categoria em toda parte. Demonstração. Sejam X um espaço de Baire e R X um conjunto residual. Dado um aberto não vazio U, temos que U R é magro por estar contido em X R. Suponhamos que R U é magro, logo U também é magro mas isso não pode acontecer devido à Proposição Então R U é de segunda categoria. 1.4 Usco e usco minimal Nesta seção estudamos as funções multi-avaliadas semicontínuas superiores e suas propriedades. A menos de menção contrária, vamos supor que os espaços topológicos são Hausdorff. Para uma leitura mais profunda e completa, o leitor pode consultar a referência HOLA; HOLÝ. Definição Uma função multi-avaliada F entre X e Y é uma função F X P(Y ). Isto é, para cada x X, F(x) é um subconjunto de Y. Dados A X e B Y não vazios, F(A) = F(x) é a imagem de A e F 1 (B) = {x X F(x) B } é a pré-imagem de B. O gráfico de F é definido como Gra f (F) = {(x,y) X Y y F(x)}. x A

41 1.4. Usco e usco minimal 39 Definição Seja F X P(Y ) uma função multi-avaliada. Dizemos que F é um-avaliada num subconjunto E de X se, para cada x E, F(x) é um conjunto unitário. Uma função h X Y é uma seleção de F se h(x) F(x), para todo x X. Definição Sejam X e Y espaços topológicos. Dizemos que ϕ X P(Y ) é usco (upper semicontinuous and compact valued) se, para cada x X, ϕ(x) é um conjunto compacto não vazio e, para cada aberto W de Y, temos que {x X ϕ(x) W} é um aberto de X. Além disso, se o gráfico do ϕ não contém propriamente o gráfico de qualquer outro usco definido em X, então ϕ é chamada de usco minimal. Exemplo Definamos F R P(R) como F(x) = { x (, se x 0, e F(0) = { 1,1}. É claro x que, para cada x R, F(x) é compacto e não vazio. Sejam U R um aberto e z A = {x R F(x) U}. Se z > 0, existe r > 0 tal que (z r,z+r) (0, ). Logo, para qualquer w (z r,z+r) temos que F(w) = {1} U. Analogamente para o caso z < 0. Agora, se z = 0, qualquer t > 0 satisfaz que ( t,t) A. Assim, A é aberto. Ou seja, F é usco. Suponhamos que exista G R P(R) usco tal que Gra f (G) Gra f (F). Então G(x) = F(x) para todo x R {0}. Assim, G(0) F(0). No caso G(x 0 ) = {1}, existe r > 0 tal que ( r,r) {x R G(x) ( 1 2, 2 3)}. Logo G( 2 r ) = 1 ( 2 1, 3 2 ), o que é absurdo. Analogamente obtemos uma contradição no caso G(0) = { 1}. Portanto, F é usco minimal. Observação Dados ϕ X P(Y ) usco e A X, tem-se que ϕ A A P(Y ) é usco. Lema Seja F X P(Y ) usco. São equivalentes a) F é usco minimal. b) Para quaisquer aberto G de X e fechado K de Y tais que F(x) K, para todo x G, temos que F(G) K. c) Dados dois abertos U X e W Y tais que F(U) W, existe um aberto não vazio V U tal que F(V ) W. d) Para toda função contínua g Y Z temos que g F X P(Z), definida por (g F)(x) = {g(y) y F(x)}, é usco minimal. Demonstração. Primeiro vejamos que (a) implica (b). De fato, sejam G X um aberto e K Y um fechado tais que F(x) K para todo x G. Definimos ϕ X P(Y ) como ϕ(x) = F(x) K, se x G, e ϕ(x) = F(x) se x X G. Não é difícil ver que ϕ é usco e Gra f (ϕ) Gra f (F). Como F é usco minimal, Gra f (ϕ) = Gra f (F). Logo, se x G, então F(x) = F(x) K K. Ou seja, F(G) K. Agora provaremos (c) a partir de (b). Dados dois abertos U X e W Y tais que F(U) W. Suponhamos que F(x) Y W, para todo x U. Pelo item (b), temos que F(U) Y W, o que é falso. Logo, existe x 0 U tal que F(x 0 ) W. Então o conjunto V = {x X F(x) W} U

42 40 Capítulo 1. Preliminares é um aberto não vazio que satisfaz F(V ) W. Em seguida veremos que (c) implica (d). Dada uma função contínua g Y Z, é claro que g F X P(Z) é usco. Seja H X P(Z) usco tal que Gra f (H) Gra f (g F). Suponhamos que Gra f (H) Gra f (g F), logo existe x 0 X tal que H(x 0 ) (g F)(x 0 ). Devido à Proposição , existe um aberto U Z tal que H(x 0 ) U = e (g F)(x 0 ) U. Existe um aberto V X tal que x 0 V e V {x X H(x) Z U}. Como F(V ) g 1 (U), existe um aberto não vazio W V tal que F(W) g 1 (U). Então (g F)(W) U e, em consequência, H(W) U mas H(W) U =, obtendo assim uma contradição. Portanto, Gra f (H) = Gra f (g F). Isto é, g F é usco minimal. Finalmente, basta usar a função identidade i Y Y para ver que (d) implica (a). Proposição Dado F X P(Y ) usco, existe ϕ X P(Y ) usco minimal tal que ϕ(x) F(x), para todo x X. Demonstração. Seja F = {G G X P(Y ) é usco e Gra f (G) Gra f (F)}. Dados H 1,H 2 F, dizemos que H 1 H 2 se Gra f (H 2 ) Gra f (H 1 ). Em virtude do Lema de Zorn, basta provar que cada cadeia possui cota superior. Dada uma cadeia C, definamos F 0 X P(Y ) por F 0 (x) = G(x) para cada x X. Mostraremos que F 0 é uma cota superior de C. Em virtude da Proposição , sabemos que cada F 0 (x) é um compacto não vazio. Sejam U Y um aberto e z X tais que F 0 (z) U. Se G(z) U é não vazio, para cada G C, então aplicando novamente a Proposição obtemos que F 0 (z) U = G(x) U é não vazio, o que é absurdo. Então existe H C tal que H(z) U =. Logo F 0 (z) H(z) U. Ou seja, considerando o aberto V = {x X H(x) U}, temos que z V {x X F 0 (x) U}. Isto é, F 0 é usco e, claramente, é uma cota superior de C. Proposição Seja ϕ X P(Y ) usco minimal. Se A é um subconjunto denso ou aberto de X, então ϕ A A P(Y ) é usco minimal. Demonstração. Sabemos que ψ = ϕ A é usco. Sejam U um aberto de A e W um aberto de Y tais que ψ(u) W. No caso que A seja aberto, ψ é usco minimal a partir do item (c) do Lema No caso que A seja denso, existe um aberto V de X tal que U = V A. Pelo item (c) do Lema 1.4.6, existe um aberto não vazio Ω V tal que ϕ(ω) W. Logo Ω A é um aberto não vazio tal que Ω A U e ψ(ω A) W. Então ψ é usco minimal. Proposição Se ϕ X P(Y ) é usco minimal, então ϕ é um-avaliada no conjunto dos pontos isolados de X. Demonstração. Sejam a X um ponto isolado e z ϕ(a). Como Y é Hausdorff, temos que {z} ϕ(a) é fechado. Em virtude do item (b) do Lema 1.4.6, temos que ϕ(a) {z}. Ou seja, ϕ(a) = {z}. Assim, ϕ é um-avaliada em cada ponto isolado de X. G C G C