TEORIA DE GALOIS INFINITA

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1 TEORIA DE GALOIS INFINITA BRUNO DA SILVEIRA DIAS Conteúdo 0. Introdução 1 1. Grupos Topológicos 2 2. Subgrupos, Produtos Diretos e Limites Inversos 8 3. A Topologia de Krull A Correspondência de Galois 16 Apêndice A. Vizinhanças 18 Referências Introdução O Teorema Fundamental da teoria de Galois nos diz que dada uma extensão de corpo finita e galoisiana F E, existe uma correspondência natural entre extensões intermediárias F K E e subgrupos do grupo Aut F (E) dos automorfismos de E que mantém fixo o corpo base F. Essa correspondência se dá associando a cada corpo intermediário K o subgrupo Aut K (E) dos automorfismos que o deixam fixo e a cada subgrupo H Aut F (E), o subcorpo E H formado pelos pontos fixos da ação de H sobre E. A pergunta natural que surge então é se esta mesma correspondência é válida quando passamos a considerar extensões infinitas. O primeiro a desconfiar de que a resposta era negativa foi o matemático alemão Richard Dedekind, que analisou a extensão Q(µ p ), obtida de Q através da adjunção de todas as raízes p n -ésimas da unidade (para algum primo fixo p), chegando muito próximo de apresentar um subgrupo do grupo de automorfismos que não corresponde à nenhuma extensão intermediária. O responsável por esclarecer a questão foi outro matemático alemão, Wolfgang Krull, no ano de 1928, em seu artigo intitulado Galoissche Theorie der unendlichen algebraischen Erweiterungen (Teoria de Galois das extensões algébricas infinitas). A ideia de Krull consistiu em equipar o grupo de Galois Aut F (E) com uma topologia, hoje denominada topologia de Krull, e verificar que os subgrupos que correspondem a extensões intermediárias F K E são exatamente aqueles que são fechados nesta topologia. O objetivo deste trabalho é, portanto, apresentar a teoria de Krull para extensões galoisianas infinitas, enunciando e demonstrando o teorema da correspondência de Galois para esse contexto. Nas primeiras seções, fazemos uma breve introdução aos grupos topológicos, incluindo a noção de limite inverso. Na Seção 3, definimos a Artigo escrito para a disciplina Introdução à Teoria de Galois, , UFSC/MTM - Prof. Eliezer Batista. 1

2 2 BRUNO DA SILVEIRA DIAS topologia de Krull e estudamos suas propriedades básicas. Por fim, a utilizamos para estabelecer a correspondência de Galois para extensões de grau arbitrário. 1. Grupos Topológicos O fator fundamental que nos permitirá estender a correspondência de Galois para o contexto de extensões infinitas é a observação de que o grupo de automorfismos de uma extensão galoisiana F E é não apenas um grupo, mas um grupo topológico. Em outras palavras, Aut F (E) possui naturalmente uma estrutura de espaço topológico, a qual é compatível com as operações do grupo. As propriedades topológicas deste grupo, que são irrelevantes quando o grupo é finito, tornam-se fundamentais ao passarmos para o estudo de extensões infinitas. Por causa disso, fazemos nesta seção um breve estudo sobre as propriedades básicas dos grupos topológicos. Começamos pela definição, que torna precisa a ideia de uma topologia em um grupo ser compatível com as suas operações: Definição. Um grupo topológico é um grupo G cujo conjunto subjacente está equipado com uma topologia que satisfaz às seguintes condições: (i) o mapa de multiplicação µ : G G G, (g, h) gh, é contínuo quando se considera em G G a topologia produto; (ii) a inversão ι : G G, g g 1, é uma aplicação contínua (e portanto um homeomorfismo, pois ι ι = Id G ). Dizemos então que tal topologia é uma topologia de grupo para G. Exemplos. 1) A reta R, munida de sua topologia usual, é um grupo topológico sob a operação de adição de números reais. 2) O grupo multiplicativo R (resp. C ) de números reais (resp. complexos) não nulos, quando equipado com sua topologia usual de subespaço, forma um grupo topológico. 3) Qualquer grupo G pode ser visto como um grupo topológico, se considerado como um espaço topológico discreto ou trivial. 4) O círculo S 1 := {z C z = 1} é grupo topológico sob a operação de multiplicação de números complexos. Fixemos agora um grupo G com multiplicação µ : G G G, inversão ι : G G e elemento neutro e. Para cada g G definimos as funções L g, de translação à esquerda por g, e R g, de translação à direita por g: L g : G G x gx R g : G G x xg. Notação. Dados g G e A, B G, usaremos as notações ga, Ag, A 1 e AB para denotar os conjuntos L g (A), R g (A), ι(a) e µ(a B) = {ab a A, b B}, respectivamente. Observe que para todo g G e fixada qualquer topologia em G, a função constante x g e a identidade x x são aplicações contínuas de G em G, e portanto induzem funções contínuas (g, ) : G G G x (g, x) (, g) : G G G x (x, g).

3 TEORIA DE GALOIS INFINITA 3 Assim, se G é um grupo topológico então as translações L g e R g são contínuas para todo g G, pois L g = µ (g, ) e R g = µ (, g). Entretanto, a continuidade destas funções não garante que G seja um grupo topológico, como mostra o exemplo a seguir: Exemplo. Considere a reta R, com sua operação usual s : R R R de adição de números reais, mas munida da topologia de Sorgenfrey, que tem como base de abertos o conjunto {[a, b) a < b R}. Veja que se x, y R são tais que x + y [a, b), então existe ε > 0 tal que x + y + 2ε [a, b) e portanto temos a inclusão [x, x + ε) [y, y + ε) s 1 ([a, b)) Isso mostra que s 1 ([a, b)) é aberto, e, como [a, b) foi qualquer, segue que s é contínua. Em particular, são contínuas as translações à esquerda e à direita. Por outro lado, a inversão do grupo x x não é uma função contínua. Se fosse, então os intervalos da forma (z, w] seriam abertos nessa topologia, e daí haveria um δ > 0 tal que [w δ, w + δ) (z, w], o que é um absurdo. Portanto a topologia de Sorgenfrey não faz de R um grupo topológico, apesar de tornar contínuas as translações. Isto mostra que a continuidade das translações é uma propriedade estritamente mais fraca do que a de ser um grupo topológico. Fazemos então a seguinte definição: Definição. Um grupo G é dito ser um grupo semitopológico se está munido de uma topologia tal que para todo g G as funções de translação L g e R g são contínuas. A discussão acima pode então ser resumida pela afirmação de que todo grupo topológico é também um grupo semitopológico, mas não vale a recíproca. Com isso em mente, apresentamos algumas propriedades válidas em qualquer grupo semitopológico. Lema 1.1. Se G é um grupo munido de uma topologia tal que para todo g G a translação L g (resp. R g ) é contínua, então cada L g (resp. R g ) é um homeomorfismo com inversa L g 1 (resp. R g 1). Demonstração. Veja que para quaisquer g, h, x G valem as igualdades L g (L h (x)) = L g (hx) = g(hx) = (gh)x = L gh (x), L e (x) = ex = x. Portanto L e = Id G e para quaisquer g, h G têm-se L g L h = L gh. Em particular, tomando h = g 1, obtemos que L g L g 1 = L g 1 L g = Id G. Isso significa que cada translação L g é uma bijeção com inversa L g 1. Assim, a hipótese de que todas estas funções são contínuas implica que cada uma é um homeomorfismo. A demonstração no caso das translações à direita é totalmente análoga. Corolário 1.2. Se G é um grupo semitopológico, então para quaisquer x, y G existe um homeomorfismo f : G G tal que f(x) = y. Demonstração. Basta tomar f = L yx 1 ou f = R x 1 y Um espaço topológico para o qual vale a propriedade do Corolário 1.2 acima é dito ser topologicamente homogêneo; intuitivamente, esta propriedade significa que o espaço parece o mesmo de cada um dos seus pontos. Nestes espaços, informações topológicas de caráter local podem ser transferidas de um ponto a outro por meio

4 4 BRUNO DA SILVEIRA DIAS de homeomorfismos apropriados. No caso de interesse aqui, estes homeomorfismos são as translações do grupo, que por serem particularmente simples, tornam-se ferramentas importantes no estudo dos grupos (semi)topológicos. Corolário 1.3. Seja G um grupo semitopológico. Para qualquer subconjunto A G, valem as seguintes afirmações: (i) Se A é aberto (resp. fechado, compacto, conexo) então ga e Ag são abertos (resp. fechados, compactos, conexos) para todo g G; (ii) Se A é aberto então para qualquer B G, AB e BA também o são; (iii) Para quaisquer g, x G, se A é uma vizinhança de x então ga é uma vizinhança de gx e Ag é uma vizinhança de xg. Demonstração. O item (i) é uma consequência imediata do Lema 1.1, pois homeomorfismos preservam as propriedades em questão. A afirmação (ii) segue então de (i) observando que AB = b B Ab e BA = b B ba são uniões de abertos. Por fim, se A é uma vizinhança de x então existe um aberto O em G tal que x O A. Neste caso, gx go ga e xg Og Ag. O resultado segue então do item (i), pois go e Og são abertos. Por causa do item (iii) do Corolário 1.3 acima, é suficiente conhecer o sistema de vizinhanças de algum ponto de um grupo semitopológico para que se conheça todos. Em particular, toda a informação topológica de um grupo semitopológico está concentrada no sistema de vizinhanças do seu elemento neutro. Mais precisamente temos o seguinte resultado: Teorema 1.4. Seja G um grupo semitopológico. Se V é uma base de vizinhanças do elemento neutro, então para cada g G os conjuntos gv = {gu U V} e Vg = {Ug U V} são bases de vizinhanças de g, e portanto a topologia de G está completamente determinada por V. Demonstração. Seja N uma vizinhança de g G. Pelo Corolário 1.3, g 1 N é uma vizinhança do elemento neutro e portanto deve existir U V tal que U g 1 N. Têm-se daí que gu N e, como N é arbitrária, gv é uma base de vizinhanças de g. Analogamente, mostra-se que Vg também o é. Por fim, lembre que um subconjunto de um espaço topológico é aberto se e somente se é uma vizinhança de todos os seus pontos. Assim, se G é um grupo semitopológico e V é uma base de vizinhanças do seu elemento neutro, então segue do que foi mostrado acima que um subconjunto A G é aberto se e somente se para todo g A existe U V tal que gu A. Logo, a topologia de G está completamente determinada por V. A principal consequência deste resultado é que, quando G é um grupo semitopológico, podemos verificar a continuidade das operações do grupo apenas a partir das vizinhanças do seu elemento neutro. Obtemos assim um critério útil para determinar se G é um grupo topológico. Este é o conteúdo do próximo lema: Lema 1.5. Seja G um grupo semitopológico e V uma base de vizinhanças do seu elemento neutro (que denotamos por e). Então: (i) A multiplicação do grupo µ : G G G é contínua se somente se para todo U V existe V V tal que VV U; (ii) A inversão ι : G G é contínua se somente se para todo U V existe V V tal que V 1 U.

5 TEORIA DE GALOIS INFINITA 5 Demonstração. Fixe (g, h) G G e suponha que para todo U V exista V V tal que VV U. Se N é uma vizinhança qualquer de gh G então g 1 Nh 1 é uma vizinhança de e, e portanto existe U V com U N. Da hipótese, concluímos que existe V V tal que VV g 1 Nh 1. Assim, gv Vh é uma vizinhança de (g, h) em G G e µ(gv Vh) = gvvh g(g 1 Nh 1 )h = N. Isso mostra 1 que µ é contínua em (g, h). Como (g, h) foi arbitrário em G G, temos que µ : G G é uma função contínua. Reciprocamente, se µ é contínua e U é um membro de V, então µ 1 (U) é uma vizinhança de (e, e) em G G e portanto existem vizinhanças V 1, V 2 de e tais que V 1 V 2 µ 1 (U). Tomando V V tal que V V 1 V 2, temos que VV U. Isto prova a afirmação (i). A demonstração de (ii) é análoga. Corolário 1.6. Seja G um grupo cujo conjunto subjacente está munido de uma topologia. Então G é um grupo topológico se e somente se valem as seguintes condições: (i) As translações L g e R g são contínuas para todo g G (i.e., G é um grupo semitopológico); (ii) A multiplicação µ : G G G é contínua em (e, e) G G; (iii) A inversão ι : G G é contínua em e G. Demonstração. Basta ver que (ii) e (iii) são equivalentes a existência de vizinhanças satisfazendo às hipóteses do Lema 1.5. Com isto, podemos enunciar e provar o principal teorema desta seção, que descreve as bases de vizinhanças do elemento neutro de um grupo topológico e, reciprocamente, estabelece condições necessárias para que uma coleção de subconjuntos forme uma tal base (em alguma topologia de grupo). Teorema 1.7. Seja G um grupo topológico. Se V é uma base de vizinhanças do elemento neutro e G, então valem as seguintes propriedades: (P1) Para todo U V, têm-se e U; (P2) Para quaisquer U, V V, existe W V tal que W U V; (P3) Para qualquer U V, existe V V tal que VV U; (P4) Para todo U V, existe V V tal que V 1 U; (P5) Para quaisquer g G e U V, existe V V tal que V gug 1. Reciprocamente, se G é um grupo e V é uma coleção de subconjuntos de G com as propriedades (P1) (P5) acima, então existe uma única topologia de grupo em G para a qual V é uma base de vizinhanças do elemento neutro. Nesta topologia, um conjunto A é aberto se e somente se para todo g A existe U V tal que gu A. Demonstração. Veja que (P1) e (P2) valem para bases de vizinhanças de um ponto em qualquer espaço topológico e são consequências imediatas das definições. A propriedade (P3) é equivalente a afirmação de que a aplicação µ : G G G é contínua em (e, e), e similarmente (P4) equivale continuidade da inversão ι : G G em e. Por fim, (P5) segue da continuidade simultânea das aplicações de translação à esquerda e à direita. 1 Vide apêndice

6 6 BRUNO DA SILVEIRA DIAS Para provar a recíproca, sejam G um grupo e V uma coleção de subconjuntos de G satisfazendo (P1) (P5). Defina uma topologia T em G da seguinte maneira: um conjunto A G é aberto se e somente se para todo g A existe U V tal que gu A. É imediato desta definição que G, T e que T é fechado por uniões arbitrárias. Para ver que T de fato é uma topologia, tome A, B T e g A B. Pela definição de T existem U, V V tais que gu A e gv B, e por (P2) podemos tomar W V tal que W U V. Assim, gw g(u V) = gu gv A B, donde segue que A B é aberto e T é fechado por interseções finitas. Vejamos agora que com relação a esta topologia V é uma base de vizinhanças do elemento neutro. Para isso, tome U V e seja U 0 := {g U V V com gv U}. Observe que e U 0 U, de modo que é suficiente mostrar que U 0 é aberto para concluir que U é uma vizinhança de e. Pela definição da topologia T, isto se faz mostrando que para cada g U 0 existe W V tal que gw U 0. Tome então g U 0 e seja V V com gv U (existe pela definição de U 0 ). Pela propriedade (P3), existe W V satisfazendo WW V, e portanto x gw = xw gww gv U. Pela definição de U 0, isto significa que gw U 0. Como g U 0 foi arbitrário, concluímos que U 0 é aberto e U é vizinhança de e. Então V é uma coleção de vizinhanças do elemento neutro e qualquer vizinhança de e inclui algum membro de V, como se vê pela definição da topologia. Em outras palavras, V é uma base de vizinhanças do elemento neutro. Como esta base satisfaz as propriedades (P3) e (P4), segue do Lema 1.5 que G é um grupo topológico se e somente se é um grupo semitopológico. Mostremos então que são contínuas as translações. A continuidade das translações à esquerda é imediata da definição de T (e portanto estas funções são homeomorfismos, pelo Lema 1.1). Para ver que são contínuas também as translações à direita, note que para todo g G e A G têm-se R g (A) = Ag 1 = g 1 (gag 1 ) = L g 1(gAg 1 ). Assim, R g é contínua se e só se gag 1 é aberto para todo aberto A (pois L g 1 é homeomorfismo). Mas esse é sempre o caso, pois se A é aberto e x gag 1, então g 1 xg A e existe U V tal que g 1 xgu A. Pela propriedade (P5), podemos tomar V V com V gug 1, e uma simples verificação mostra que xv gag 1. Segue disto que T é uma topologia de grupo para G e, pelo Teorema 1.4, é a única que tem V como base de vizinhanças do elemento neutro. Temos assim uma maneira relativamente simples de dar a um grupo G uma topologia que o faça um grupo topológico: basta encontrar uma coleção V de subconjuntos de G com as propriedades (P1) (P5) e declarar que um conjunto A G é aberto se e somente se para todo g A existe U V tal que gu A. Mais do que isso, o Teorema 1.7 nos diz que todas as topologias de grupo para G podem ser obtidas dessa forma. Entretanto, é importante observar que, em geral, os membros de V não serão abertos nesta topologia. Corolário 1.8. Seja G um grupo e V uma coleção de subconjuntos de G com as propriedades (P1) (P5) do Teorema 1.7, para a qual vale também (P6) Para todo U V e para todo x U, existe V V tal que xv U.

7 TEORIA DE GALOIS INFINITA 7 Então existe uma única topologia de grupo em G para a qual V é uma base de vizinhanças abertas do elemento neutro. Nesta topologia, um conjunto A é aberto se e somente se para todo g A existe U V tal que gu A, e o conjunto B = {gu g G, U V} é uma base. Demonstração. Pelo Teorema 1.7, existe uma única topologia de grupo em G para a qual V é uma base de vizinhanças do elemento neutro; nesta topologia um conjunto A é aberto se e somente se para todo g A existe U V tal que gu A. Em particular, (P6) equivale a afirmação de que os membros de V são abertos. Consequentemente, são abertos também todos os membros de B. Além disso, pela definição da topologia, se A é um aberto então para cada g A existe B g B tal que g B g A. É claro daí que g A B g = A, donde se segue que B é base da topologia. Ao definir topologias de grupo através deste processo, um caso de especial importância acontece quando os membros de V são subgrupos de G. Neste caso, muitas das propriedades necessárias são automaticamente satisfeitas, conforme o corolário a seguir: Corolário 1.9. Seja G um grupo e V uma coleção de subgrupos de G com as propriedades (SG1) e (SG2) abaixo: (SG1) Para quaisquer U, V V, existe W V tal que W U V; (SG2) Para quaisquer g G e U V, existe V V tal que V gug 1. Então existe uma única topologia de grupo em G para a qual V é uma base de vizinhanças abertas do elemento neutro e. Nesta topologia, um conjunto A é aberto se e somente se para todo g A existe U V tal que gu A, e o conjunto B = {gu g G, U V} é uma base. Demonstração. Isto se segue do Corolário 1.8, pois (SG1) e (SG2) são o mesmo que (P2) e (P5) do Teorema 1.7 e o fato de que os membros de V são subgrupos de G automaticamente implica que valem as propriedades (P1), (P3), (P4) e (P6). De fato, se U é um subgrupo de G, então e U, UU = U 1 = U e gu = U para todo g U. Em particular, o Corolário 1.9 garante que uma coleção de subgrupos normais de G dá origem a uma topologia de grupo se for fechada por interseções finitas. Utilizaremos este fato na Seção 3, para definir a chamada topologia de Krull no grupo Aut F (E) de automorfismos de uma extensão Galoisiana F E. Como consequência do Teorema 1.7, têm-se o princípio de que propriedades topológicas de um grupo topológico podem ser descritas em termos de vizinhanças do seu elemento neutro. Encerramos esta seção ilustrando este princípio com o resultado abaixo, que nos será útil posteriormente. Teorema Seja G um grupo topológico e V uma base de vizinhanças do elemento neutro e. São equivalentes: (i) G é um espaço Hausdorff; (ii) U V U = {e}; (iii) {e} é fechado. Demonstração. (i) = (ii): Se G é Hausdorff e g e, então existe alguma vizinhança N de e tal que g N. Em particular, existe U V tal que g U. Portanto U V U = {e}.

8 8 BRUNO DA SILVEIRA DIAS (ii) = (iii): Suponha U V U = {e} e veja que se g e, então existe U V tal que g 1 U. Segue daí que gu é uma vizinhança de g que não contém e, donde {e} é fechado (pois g e foi arbitrário). (iii) = (i): Como G é um grupo topológico, a aplicação f : G G G dada por f(g, h) = gh 1 é contínua, pois f = µ (Id G ι), onde µ e ι são, respectivamente, a multiplicação e a inversão do grupo. Logo, se {e} é fechado então a diagonal = {(g, g) G G g G} também é, pois = f 1 ({e}). Segue disso que G é Hausdorff: se g h, então (g, h) e daí existem vizinhanças U de g e V de h, tais que (U V) = ; o que só pode ocorrer se U V =. 2. Subgrupos, Produtos Diretos e Limites Inversos O objetivo desta seção é analisar como algumas construções usuais da teoria de grupos (e.g. subgrupos, produtos diretos) se comportam no contexto de grupos topológicos. Além disso, introduzimos a noção de limite inverso, que intuitivamente pode ser pensada como uma maneira de colar uma família de objetos (aqui, grupos topológicos) que estejam relacionados através de morfismos apropriados. Este conceito será importante pois, conforme veremos nas próximas seções, fornece um ponto de vista diferente para enxergarmos o grupo Aut F (E) de automorfismos de uma extensão galoisiana. Lema 2.1. Se G é um grupo munido de uma topologia, então G é um grupo topológico se e somente se a aplicação ω : G G G, dada por (g, h) gh 1 é contínua. Demonstração. Denote por µ e ι, respectivamente, a multiplicação e a inversão do grupo, e veja que para quaisquer g, h G têm-se ω(g, h) = µ(g, ι(h)), de modo que ω é contínua quando G é um grupo topológico. Reciprocamente, se ω é contínua então a inversão também o é, pois ι(g) = ω(e, g) para todo g G. Mas então µ também é contínua, pois µ(g, h) = ω(g, ι(h)) para quaisquer g, h G. Proposição 2.2. Se G é um grupo topológico e H G, então H é um grupo topológico quando equipado com a topologia de subespaço. Demonstração. Sejam i : H G a inclusão de H em G e ω : G G G, ω H : H H H as funções dadas por (g, h) gh 1. Pela propriedade característica da topologia de subespaço, a função ω H é contínua se e somente se é contínua a composição i ω H. Mas esta é simplesmente a restrição de ω ao subconjunto H H, e portanto é uma função contínua, pois G é um grupo topológico. Então ω H é contínua e H é um grupo topológico. Proposição 2.3. Seja G um grupo topológico e H G um subgrupo. Então: (i) O fecho topológico H de H é um subgrupo de G; (ii) Se H é aberto, então H é fechado; (iii) Se H é fechado e tem índice finito, então H é aberto. Demonstração. (i): Veja que um subconjunto A G é um subgrupo se e só se AA 1 X. Portanto, se ω : G G G é a função contínua dada por (g, h) gh 1 então A é um subgrupo se e só se A A ω 1 (A). Agora, usando que H é um subgrupo e ω é contínua, concluímos que H H = H H ω 1 (H) ω 1 (H)

9 TEORIA DE GALOIS INFINITA 9 e portanto H é um subgrupo. (ii): Se H é aberto então as suas classes laterais também o são, pois G é um grupo topológico. Segue disso que nesse caso H também é fechado, pois o seu complementar em G é união das demais classes laterais, logo é aberto. (iii): Analogamente a (ii), temos que o complementar de H é fechado, pois é união de classes laterais de H, que é fechado. Proposição 2.4. Se (G α ) α Γ é uma família de grupos topológicos, então o produto direto G = α Γ G α é um grupo topológico quando munido da topologia produto. Demonstração. Para cada α Γ, denote por π α : G G α a projeção canônica no fator α e por ω α : G α G α G α o mapa contínuo dado por (g, h) gh 1. Seja também ω : G G G a função ((g α ) α Γ, (h α ) α Γ ) (g α h 1 α ) α Γ. Do Lema 2.1, para mostrar que G é um grupo topológico basta mostrar que ω é contínua. Pela propriedade característica da topologia produto, isto acontece se e somente se a composição π β ω : G G G β é uma função contínua para cada β Γ. Veja então que (π β ω)((g α ) α Γ, (h α ) α Γ ) = π β ((g α h 1 α ) α Γ ) = g β h 1 β = ω β(g β, h 1 β ) e portanto π β ω = ω β (π β π β ), para todo β Γ. O lado direito sendo uma composição de funções contínuas, concluímos que ω é contínua, e portanto G é um grupo topológico. Se G, H são grupos topológicos, então uma função f : G H é dita ser um morfismo de grupos topológicos se é um morfismo de grupos (no sentido usual) e é contínua com relação às topologias de G e H. A seguir, diremos simplesmente que f é um morfismo para indicar que é um morfismo de grupos topológicos. Observação. Os grupos topológicos e seus morfismos formam uma categoria. A definição de limite inverso apresentada abaixo continua fazendo sentido em qualquer outra categoria. Definição. Um conjunto parcialmente ordenado (Γ, ) é dito ser dirigido se para quaisquer α, β Γ existe γ Γ tal que α γ e β γ. Definição (Limite Inverso). Seja (Γ, ) um conjunto dirigido. (a) Um sistema inverso de grupos topológicos indexado por (Γ, ) consiste de uma família (G α ) α Γ de grupos topológicos e, para cada α β Γ, um morfismo f α,β : G β G α, satisfazendo: (i) para todo α Γ, f α,α = Id Gα ; (ii) para quaisquer α, β, γ Γ tais que α β γ, f α,β f β,γ = f α,γ. G γ f β,γ f α,γ G β f α,β G α

10 10 BRUNO DA SILVEIRA DIAS (b) Seja G é grupo topológico e (p α : G G α ) α Γ uma família de morfismos tais que f α,β p β = p α α β: p β G p α G β f α,β G α Então o par (G, (p α ) α Γ ) é dito ser um limite inverso do sistema se satisfaz à seguinte propriedade universal: para qualquer outro grupo topológico H e família (q α : H G α ) α Γ de morfismos tais que q α = f α,β q β α β, existe um único morfismo ϕ : H G tal que q α = p α ϕ para todo α Γ: H q β G ϕ q α p β p α G β f α,β G α Proposição 2.5. Se existir, o limite inverso de um sistema inverso de grupos topológicos é único a menos de isomorfismo. Demonstração. Suponha que (G, (p α ) α Γ ) e (H, (p α ) α Γ ) sejam dois limites inversos para um sistema (G α, f α,β : G β G α ). Pela propriedade universal que define o limite inverso, existem únicos morfismos ϕ e ψ tais que o diagrama abaixo comuta para todo α β: q β ϕ H G ψ q α p β p α G β f α,β Portanto p α = p α (ϕ ψ) para todo α Γ. Mas, pela propriedade universal de (G, (p α )), existe um único morfismo G G satisfazendo esta igualdade e portanto devemos ter (ϕ ψ) = Id G. Analogamente (ψ ϕ) = Id H e G,H são isomorfos. Denotaremos por lim G α o limite inverso de um sistema (G α, f α,β : G β G α ). Proposição 2.6. Seja (G α, f α,β : G β G α ) um sistema inverso de grupos topológicos e considere o seguinte conjunto { } G = G α (g α ) α Γ α Γ G α f β,γ (g γ ) = g β β γ Γ α Γ G α Então G é um subgrupo do produto direto α Γ G α, e portanto é um grupo topológico. Além disso, se para cada α Γ, p α : G G α denota a restrição a G da projeção canônica no fator α, então (G, (p α ) α Γ ) = lim G α. Demonstração. Se (g α ) α Γ, (h α ) α Γ G e β γ, então, como f β,γ é um morfismo, temos f β,γ (g γ h 1 γ ) = f β,γ (g γ )f β,γ (h 1 γ ) = g β h 1 β

11 TEORIA DE GALOIS INFINITA 11 e portanto (g α h 1 α ) α Γ. Então G é um subgrupo do produto direto e, pelas proposições anteriores, é um grupo topológico com a topologia de subespaço. Pela propriedade universal do produto direto, se H é um grupo topológico e (q α : H G α ) α Γ é uma família de morfismos, então existe um único morfismo ϕ : H α Γ G α tal que π α ϕ = q α α (onde π α é a projeção canônica). Assim, se q β = f β,γ q γ β γ então f β,γ (π γ ϕ) = f β,γ q γ = q β. Isto significa que ϕ(h) G. Mudando o contradomínio, temos um morfismo ϕ : H G que satisfaz q α = p α ϕ para todo α Γ (pois p α é restrição da projeção π α a G). Então (G, (p α ) α Γ ) satisfaz a propriedade universal que define o limite inverso e portanto (G, (p α ) α Γ ) = lim G α. 3. A Topologia de Krull O objetivo desta seção é definir a chamada topologia de Krull do grupo de automorfismos Aut F (E) de uma extensão galoisiana F E e apresentar as suas propriedades básicas. Começamos relembrando alguns resultados da teoria de extensões de corpos e estabelecendo a notação que será utilizada. Se F E é uma extensão algébrica e G = Aut F (E) é o seu grupo de automorfismos, então para cada subconjunto S G, denotamos por E S o conjunto dos pontos fixos por S na ação natural de G sobre E, isto é: E S = {a E σ(a) = a, σ S}. Quando S = {σ} escrevemos também E σ para denotar este conjunto. Não é difícil verificar que, para qualquer S, valem que E S é um corpo e F E S E. Definição. Uma extensão algébrica F E com grupo de automorfismos G é dita ser de Galois ou galoisiana se F = E G. Temos ainda a seguinte caracterização de extensões galoisianas, cuja demonstração pode ser encontrada em [3]: Teorema 3.1. Uma extensão algébrica F E com grupo de automorfismos G é galoisiana se e somente se é normal e separável. O teorema a seguir será fundamental no estudo das extensões algébricas de grau arbitrário. Lembre que um isomorfismo de corpos σ : F F induz naturalmente um isomorfismo de anéis F[x] F [x]. Se f F[x] é um polinômio, denotamos a sua imagem através deste isomorfismo por σ(f). Teorema 3.2 (Extensão de Isomorfismos). Seja σ : F F um isomorfismo de corpos. Se E é o corpo de decomposição de uma família de polinômios (f λ ) λ Λ em F[x] e E é o corpo de decomposição de (σ(f λ )) λ Λ em F [x], então existe um isomorfismo τ : E E que estende σ, isto é, τ(a) = σ(a) a F. Demonstração. Seja X o conjunto de pares (K, ϕ) onde K é um subcorpo de E e ϕ : K E é um morfismo que estende σ. Então X é não vazio, pois (F, σ) X. Além disso, podemos tornar X um poset declarando que (K 1, ϕ 1 ) (K 2, ϕ 2 ) se e somente se K 1 K 2 e ϕ 2 estende ϕ 1. Assim, se {(K i, ϕ i ) i I } é uma cadeia em X, então i I K i é um subcorpo de E e a função ϕ : i I K i E dada por ϕ(a) = ϕ i (a) para algum i I tal que a K i é um morfismo bem definido de corpos, que estende todos os ϕ i. Portanto, pelo lema de Zorn, existe pelo menos um elemento maximal (L, τ) em X. Afirmamos que L = E, donde se segue que τ é um isomorfismo que estende σ. De fato, se existisse algum polinômio f λ que não se

12 12 BRUNO DA SILVEIRA DIAS decompõe em L, então existiria a E \ L uma raiz deste polinômio e τ se estenderia a um isomorfismo L(a) (τ(l))(b), onde b é uma raiz de σ(f λ ), contradizendo a sua maximalidade. A importância da extensão de isomorfismos para a teoria de Galois infinita reside no seguinte resultado: Lema 3.3. Se F K E são extensões galoisianas, então a função de restrição a K, σ σ K, é um morfismo sobrejetor de grupos Res K,E : Aut F (E) Aut F (K) cujo núcleo é Aut K (E). Em particular, Aut K (E) é um subgrupo normal de Aut F (E) e Aut F (K) = Aut F(E) Aut K (E). Demonstração. Se i : E E é inclusão de E em um fecho algébrico E, então para qualquer σ Aut F (E) a função i σ K : K E é um morfismo que estende Id F. Portanto (i σ K )(K) = K, pois K é normal sobre F. Isso significa que σ K (K) = K, e podemos ver σ K como um elemento de Aut F (K). Seja então Res K,E : Aut F (E) Aut F (K) a função dada por σ σ K e veja que para quaisquer τ, σ Aut F (E) vale a igualdade (τ σ) K = τ K σ K, de modo que Res K,E é um morfismo de grupos. Pelo Teorema 3.2, para qualquer ρ Aut F (K) existe σ Aut F (E) tal que σ K = ρ e portanto Res K,E é sobrejetor. Por fim, o seu núcleo é ker Res K,E = {σ Aut F (E) σ K = Id K } = Aut K (E), e as demais afirmações seguem do primeiro teorema de isomorfismos. A partir de agora, vamos fixar uma extensão galoisiana F E, cujo grupo de automorfismos Aut F (E) denotaremos por G. A primeira observação a ser feita é que, independentemente do grau desta extensão, podemos ver E como a união dos subcorpos K E que são extensões finitas e galoisianas de F. Isto é uma consequência do seguinte lema: Lema 3.4. Para quaisquer a 1,..., a n E, existe um corpo K E tal que a 1,..., a n K e F K é uma extensão finita e galoisiana. Demonstração. Como F E é uma extensão normal, E contém todas as raízes do polinômio minimal de a i sobre F, para cada i {1,..., n}. Seja então K E o corpo de decomposição desta família de polinômios. Então F K é uma extensão normal e além disso é separável, pois E é separável sobre F. Portanto, F K é galoisiana. Como a quantidade de a i s é finita, têm-se [K : F] <. Definimos então os seguintes conjuntos, aos quais iremos nos referir frequentemente: K = {K E K é uma extensão finita e Galoisiana de F} N = {N G N = Aut K (E) para algum K K} Nesta notação, é imediato do Lema 3.4 que vale a igualdade E = K K K, de modo que podemos ver E como uma união de extensões finitas e galoisianas de F. A ideia é então utilizar os subgrupos correspondentes a tais extensões (isto é, os membros de N) para dar uma topologia ao grupo de Galois G. Lema 3.5. Se N N e K K são tais que N = Aut K (E), então K = E N, N é subgrupo normal de G e G/N = Aut F (K).

13 TEORIA DE GALOIS INFINITA 13 Demonstração. Como E é normal e separável sobre F, também o é sobre K. Portanto K E é uma extensão galoisiana e K = E N. As demais afirmações seguem então do Lema 3.3. Lema 3.6. Se K 1, K 2 K, então seu compositum K 1 K 2 também pertence a K. Além disso, para quaisquer N 1, N 2 N, têm-se N 1 N 2 N. Demonstração. Sejam K 1, K 2 K e veja que o compositum K 1 K 2 é um subcorpo de E e uma extensão finita de F, pois K 1 e K 2 o são. Cada K i é normal sobre F e portanto é o corpo de decomposição de uma família de polinômios. Mas então K 1 K 2 é corpo de decomposição da união destas famílias e portanto é uma extensão normal. Além disso, K 1 K 2 é separável sobre F pois E o é. Então F K 1 K 2 é Galoisiana finita, e K 1 K 2 K. Para quaisquer N 1, N 2 N, tome K 1, K 2 tais que N i = Aut Ki (E). Afirmamos que N 1 N 2 = Aut K1 K 2 (E), de modo que, pela primeira parte, N 1 N 2 N. De fato, dado σ G, têm-se σ N 1 N 2 se e somente se σ K1 = Id K1 e σ K2 = Id K2, isto é, se e somente se K 1 E σ e K 2 E σ. Esta última afirmação é equivalente a K 1 K 2 E σ, e portanto temos que σ N 1 N 2 se e somente se σ Aut K1 K 2 (E). Com isto, já podemos provar que de fato N dá origem a uma topologia de grupo em G, fazendo uso dos resultados apresentados na Seção 1: Teorema 3.7. Existe uma única topologia de grupo em G para a qual N é uma base de vizinhanças abertas do elemento neutro Id E G. Nesta topologia, um conjunto A G é aberto se e somente se para todo σ A existe N N tal que σn A, e o conjunto B = {σn σ G, N N} é uma base para esta topologia. Demonstração. Pelo Corolário 1.9 da Seção 1, basta mostrar que N satisfaz às seguintes condições: (SG1) Para quaisquer N 1, N 2 N, existe N 3 N tal que N 3 N 1 N 2 ; (SG2) Para quaisquer σ G e N 1 N, existe N 2 N tal que N 2 σn 1 σ 1. Mas isto é imediato dos resultados anteriores: se N 1, N 2 N, então pelo Lema 3.6 temos N 1 N 2 N e podemos tomar N 3 = N 1 N 2 em (SG1). Além disso, pelo Lema 3.5 os membros de N são subgrupos normais de G, de modo que basta tomar N 2 = N 1 em (SG2). Podemos então fazer a seguinte definição, sem ambiguidades: Definição (Topologia de Krull). A topologia de Krull em G é a única topologia de grupo para a qual N é uma base de vizinhanças abertas de Id E ; explicitamente, um conjunto A G é aberto nesta topologia se e somente se para todo σ A existe N N tal que σn A. A partir de agora, o grupo Aut F (E) de automorfismos de uma extensão galoisiana será sempre considerado como um grupo topológico, equipado com a topologia de Krull acima definida. Isto se aplica, inclusive, ao caso em que o grau da extensão é finito. Quando isso ocorre, a topologia assim definida é simplesmente a topologia discreta, pois se F E é uma extensão finita, então E K e daí o subgrupo trivial é um membro de N, donde todos os subconjuntos de Aut F (E) são abertos. Isso ajuda a explicar a ausência de considerações topológicas na teoria de extensões finitas. Vamos agora apresentar algumas propriedades da topologia de Krull.

14 14 BRUNO DA SILVEIRA DIAS Lema 3.8. Para qualquer σ G, o conjunto {σn N N} é uma base de vizinhanças de σ que são simultaneamente abertas e fechadas. Além disso, σn = {σ}. N N Demonstração. Pelo Teorema 3.7, N forma uma base de vizinhanças abertas de Id E. Os seus membros são subgrupos abertos de G, que é um grupo topológico, portanto são também fechados pela Proposição 2.3. Segue então do Teorema 1.4 que, para cada σ G, o conjunto {σn N N} é uma base de vizinhanças abertas e fechadas de σ. Vejamos agora que N N N = {Id E}. Pelo Lema 3.4, para qualquer a E existe K K tal que a K. Assim, se σ N N N então em particular σ Aut K(E) e portanto σ(a) = a. Logo, σ N N N se e só se σ = Id E. Utilizando o fato de que as transações do grupo são contínuas, concluímos que N N σn = {σ} para todo σ G. Teorema 3.9. Quando munido da topologia de Krull, o grupo G = Aut F (E) é Hausdorff e totalmente desconexo (i.e., todo subconjunto conexo tem no máximo um elemento). Demonstração. Tomando σ = Id E no Lema 3.8, temos que N N N = {Id E}, donde G é Hausdorff pelo Teorema Então se σ, τ G são tais que σ τ, podemos tomar vizinhanças U de σ e V de τ tais que U V =. Pelo Lema 3.8, podemos supor que estas vizinhanças são abertas e fechadas, donde concluímos que σ e τ pertencem a componentes conexas distintas. A última e talvez mais importante propriedade da topologia de Krull do grupo de automorfismos de uma extensão Galoisiana F E é o fato de que, quando equipado com ela, este grupo torna-se um espaço topológico compacto. Para provar isto, precisaremos enxergar o grupo G = Aut F (E) de uma maneira diferente. Para isso, observe que K = {K E K é uma extensão finita e Galoisiana de F} pode ser visto como um conjunto parcialmente ordenado através da relação usual de ser um subcorpo. Segue então do Lema 3.6 que (K, ) é um conjunto dirigido, pois para quaisquer K 1, K 2 em K o compositum K 1 K 2 também é um membro de K, e é claro que K 1 K 1 K 2 e K 2 K 1 K 2. Além disso, se K, L K são tais que K L então pelo Lema 3.3 temos um morfismo sobrejetor Res K,L : Aut F (L) Aut F (K) dado por σ σ K. É óbvio da definição deste morfismo que Res K,K = Id K e Res K,M = Res K,L Res L,M para quaisquer K L M K. Em outras palavras, (Aut F (K), Res K,L : Aut F (L) Aut F (K)) forma um sistema inverso de grupos topológicos indexado por (K, ). Veja que todos os grupos Aut F (K) deste sistema são grupos de automorfismo de extensões galoisianas finitas e portanto são discretos. Teorema O grupo topológico G = Aut F (E) é isomorfo e homeomorfo ao limite inverso do sistema (Aut F (K), Res K,L : Aut F (L) Aut F (K)). { G = lim Aut F (K) = (σ K ) K K } Aut F (K) Res L,M(σ M ) = σ L L M K K K K K Demonstração. Para todo K K, F K E são extensões galoisianas e portanto, pelo Lema 3.3, temos uma família de morfismos Ψ K = Res K,E : G Aut F (K), dados por σ σ K. Para cada K K, este morfismo é sobrejetor e seu núcleo é

15 TEORIA DE GALOIS INFINITA 15 Aut K (E) N. Então se ρ Aut F (K), temos Ψ 1 K (ρ) = σ ker Ψ K = σ Aut K (E), para algum σ G tal que σ K = ρ. Em particular, temos que Ψ 1 K (ρ) é um aberto de G na topologia de Krull. Como Aut F (K) é discreto, segue disso que Ψ K é uma função contínua. Pela propriedade universal do produto direto (para grupos e espaços topológicos), temos um morfismo contínuo de grupos (i.e., um morfismo de grupos topológicos) Ψ : G K K Aut F (K), σ (σ K ) K K É imediato da definição deste morfismo que Ψ(G) lim Aut F (K). Por outro lado, se (σ K ) K K lim Aut F (K) então definimos σ : E E, σ(a) = σ K (a) se a K Pelo Lema 3.4 todo a E pertence a algum K K e, pela definição de lim Aut F (K), se a K L então σ K (a) = (Res K,L (σ L ))(a) = σ L (a). Portanto σ está bem definido e como se vê facilmente, pertence a G (aplique o Lema 3.4 para ver que σ é um automorfismo de E). Por construção, temos Ψ(σ) = (σ K ) K K e portanto a imagem de Ψ é exatamente lim Aut F (K). Veja que Ψ é também injetivo, pois σ ker Ψ σ K = Id K K K σ Aut K (E) K K σ N N N e então, pelo Lema 3.8, temos ker Ψ = {Id E }. Por fim, Ψ é uma função aberta. De fato, se σ G e Aut K (E) = N N então para cada L K temos π L (Ψ(σN)) = σ L Aut K L (L). Estes conjunto são abertos em Aut F (L) e, exceto para uma quantidade finita de subcorpos L, temos K L = F, pois K é uma extensão finita de F. Portanto em quase todos os fatores σ L Aut K L (L) é igual ao espaço Aut F (L) todo, e então Ψ(σN) é um aberto em K K Aut F(K). Como {σn} forma uma base para a topologia de G (Teorema 3.7), concluímos que Ψ é aplicação aberta. Portanto Ψ : G K K Aut F(K) é um morfismo de grupos injetivo, contínuo e aberto cuja imagem é lim Aut F (K). Logo, G é isomorfo e homeomorfo a lim Aut F (K). Corolário Se F E é uma extensão Galoisiana, então o seu grupo de automorfismos G = Aut F (E) é um espaço topológico compacto. Demonstração. Vamos mostrar que lim Aut F (K) é compacto, donde se segue que G também é, pois são homeomorfos pelo Teorema Para cada K K, o grupo Aut F (K) é finito, e portanto compacto. Pelo teorema de Tykhonov, isso significa que o produto K K Aut F(K) é compacto e então basta mostrar que lim Aut F (K) é um subconjunto fechado de K K Aut F(K). Se

16 16 BRUNO DA SILVEIRA DIAS (σ K ) K K lim Aut F (K) então existem L M K tais que (σ M ) L σ L e daí o conjunto {(τ K ) K K K K Aut F (K) (τ M ) L τ L } é uma vizinhança de (σ K ) K K que não intersecta lim Aut F (K) (lembre que cada Aut F (K) é um espaço discreto). Um grupo topológico é dito ser um grupo profinito se é (isomorfo e homeomorfo a) o limite inverso de um sistema de grupos finitos com a topologia discreta. Assim, o Teorema 3.10 diz que o grupo de automorfismos de uma extensão Galoisiana F E é um grupo profinito. É possível mostrar que todo grupo profinito é Hausdorff, totalmente desconexo e compacto e, mais do que isso, que todo grupo com estas propriedades é um grupo profinito. 4. A Correspondência de Galois Nesta seção, vamos enunciar e provar uma versão geral do Teorema Fundamental da Teoria de Galois, para extensões Galoisianas arbitrárias, isto é, sem nenhuma restrição quanto ao grau da extensão. Dada uma extensão Galoisiana F E, este teorema estabelece uma correspondência entre as extensões intermediárias F K E e os subgrupos fechados do grupo de automorfismos Aut F (E), considerado como um grupo topológico com a topologia de Krull. Por toda esta seção, F E é uma extensão Galoisiana cujo grupo de automorfismos Aut F (E) denotamos por G. Consideramos G um grupo topológico equipado com a topologia de Krull e denotamos por N a base de vizinhanças de Id E definida na Seção 3. Lema 4.1. Para qualquer extensão intermediária F K E, têm-se que E é Galois sobre K e Aut K (E) é um subgrupo fechado de G. Além disso, se K = E H para algum subgrupo H G, então Aut K (E) é igual ao fecho topológico de H em G. Demonstração. Seja F K E uma extensão intermediária qualquer. Como E é normal e separável sobre F, também o é sobre K, e portanto K E é uma extensão Galoisiana. Pelo Lema 3.4, se a K então existe um subcorpo L K tal que a L e F L é uma extensão finita e Galoisiana. Portanto, se L é a coleção de tais subcorpos, então Aut K (E) = L L Aut L(E). Mas para cada L L, Aut L (E) é um membro de N e portanto é fechado pelo Lema 3.8, logo Aut K (E) é fechado. Suponha agora que K = E H para algum subgrupo H G. Como Aut K (E) é fechado e contém H, é óbvio que também contém o fecho de H, que denotaremos por H. Vamos provar a inclusão reversa Aut K (E) H mostrando que se σ G \ H, então σ(a) a para algum a K, donde se seguirá o resultado. Para isso, veja que o fato de σ não estar em H implica que σn H = para algum N N. Por definição, N = Aut L (E) para algum subcorpo L E que é uma extensão Galoisiana e finita de F. Assim, se θ : G Aut L (E) é o morfismo sobrejetor dado por ϕ ϕ L (vide Lema 3.3), então θ 1 (σ L ) = σ ker θ = σn, donde σ L θ(h) Aut L (E) e portanto, pelo Teorema Fundamental para extensões finitas, existe algum a L θ(h) = L H E H tal que σ L (a) a. Portanto, σ(a) a para algum a E H, como queríamos.

17 TEORIA DE GALOIS INFINITA 17 A seguir apresentamos o Teorema Fundamental da Teoria de Galois Infinita (TFTGI), dividindo-o em três partes. Teorema 4.2 (TFTGI, Parte I). As aplicações Υ : K Aut K (E) e Φ : H E H são bijeções inversas entre o conjunto de subcorpos de E que contém F e o conjunto de subgrupos de G que são fechados topologicamente: {extensões intermediárias F K E} {subgrupos fechados de G} Além disso, esta correspondência inverte inclusões: H 1 H 2 E H 1 E H 2. Demonstração. Pelo Lema 4.1, se F K E é uma extensão intermediária então Aut K (E) é um subgrupo fechado de G, de modo que Υ está bem definida. Além disso, têm-se que E é Galois sobre K o que por definição significa que K = E AutK(E), donde (Φ Υ)(K) = K. Por outro lado, como consequência do mesmo lema, se H é um subgrupo fechado de G então Aut E H(E) = H, isto é, (Υ Φ)(H) = H. Segue então que estas aplicações são bijeções, uma inversa da outra. É imediato das definições que estas bijeções invertem inclusões. Teorema 4.3 (TFTGI, Parte II). Sejam F K E uma extensão intermediária e H = Aut K (E) o subgrupo correspondente. As seguintes afirmações são equivalentes: i) H é aberto. ii) O grau [K : F] é finito; iii) O índice [G : H] é finito; Ademais, quando isso ocorre vale a igualdade [G : H] = [K : F]. Demonstração. Supondo que H é aberto, podemos tomar N N tal que N H, pois N é uma base de vizinhanças de Id E. Então existe um subcorpo L E finito e Galoisiano sobre F tal que Aut L (E) H. Pelo Teorema 4.2, têm-se daí que K L e portanto [K : F] [L : F] <. Portanto (i) = (ii). Agora, se [K : F] <, então existem a 1,..., a n K tais que K = F(a 1,..., a n ). Pelo Lema 3.4, podemos tomar uma extensão intermediária L E que seja finita e Galoisiana sobre F e contenha a 1,..., a n. Têm-se assim que K L, e portanto Aut L (E) H. Logo [G : H] [G : Aut L (E)] < e (ii) = (iii). A implicação (iii) = (i) é simplesmente o último item da Proposição 2.3. Por fim, supondo que valem estas condições, sejam L como acima (i.e., finita e Galoisiana sobre F, tal que K L) e N = Aut L (E). Pelo Lema 3.5, N é normal em G e G/N = Aut F (L), via a função θ : σn σ L. Neste isomorfismo, H/N é levado no subgrupo θ(h/n) = {σ L σ H} que tem K L = K como subcorpo fixado e portanto, pelo teorema fundamental para extensões finitas, têm ordem igual ao grau [K : F]. Assim, [G : H] = [G/N : H/N] = G/N H/N = Aut F(L) [L : F] = θ(h/n) [K : F] = [K : F]. Teorema 4.4 (TFTGI, Parte III). Sejam F K E uma extensão intermediária com subgrupo correspondente H = Aut K (E). Então para cada σ G o subgrupo correspondente a F σ(k) E é σhσ 1. Em particular, F K é Galois se e somente se H é um subgrupo normal. Se isso acontece, existe um isomorfismo de grupos G/H = Aut F (K). Quando

18 18 BRUNO DA SILVEIRA DIAS G/H está equipado com a topologia quociente, este isomorfismo é também um homeomorfismo. Demonstração. Para a primeira afirmação, basta observar que para τ G e a E, têm-se τ(a) = a (σ τ σ 1 )(σ(a)) = σ(a). Segue disso que H é subgrupo normal se e somente σ(k) = K para todo σ G. Esta última condição é equivalente a afirmação de que F K é uma extensão normal, pois se a K é raiz de um polinômio em F[x] então todas as suas raízes são da forma σ(a), para algum σ G apropriado (isso acontece pois E é normal sobre F). Como esta extensão é sempre separável (pois F E o é), concluímos que F K é galoisiana se e somente se H é normal em G. Quando isso acontece, o Lema 3.3 diz que θ : G Aut F (K), σ σ K, é um morfismo sobrejetor de grupos cujo núcleo é H = Aut K (E) e portanto G/H = Aut F (K). Se L é um subcorpo de K que é galoisiano e finito sobre F e ρ H então θ 1 (ρ Aut L (K)) = σ Aut L (E), para algum σ G tal que σ K = ρ. Pela definição da topologia de Krull se vê então que θ é contínua, pois os conjuntos da forma ρ Aut L (K) são uma base para a topologia de Krull em Aut F (K) e para quaisquer σ e L, σ Aut L (E) é um aberto em G (vide Teorema 3.7). Então θ é uma função contínua de G, que é compacto pelo Corolário 3.11, em Aut F (K), que é Hausdorff pelo Teorema 3.9. Logo, θ é uma aplicação fechada e portanto induz um homeomorfismo entre G/H (com a topologia quociente) e Aut F (K). Apêndice A. Vizinhanças Reunimos aqui alguns resultados sobre vizinhanças. Para mais detalhes veja um livro de topologia geral, como [2]. Seja X um espaço topológico e x X um ponto. Um conjunto N X é uma vizinhança de x se existe um aberto A tal que x A N. A coleção de todas as vizinhanças de x é chamada sistema de vizinhanças de x e denotada por S x. Definição. Um coleção V S x de vizinhanças de x é dita ser uma base de vizinhanças de x se para toda vizinhança N S x existe U V tal que U N. Veja que se um conjunto N contém uma vizinhança de um ponto x X, então N é uma vizinhança de x. Em particular, dada uma base V de vizinhanças de x, têm-se S x = {N X U V tal que U N}, de modo que podemos recuperar o sistema de vizinhanças de um ponto a partir de uma base. Proposição A.1. Um conjunto A X é um aberto se e somente se é uma vizinhança de todos os seus pontos. Demonstração. Se um conjunto N é uma vizinhança de cada um dos seus pontos, então para todo x N existe um aberto A x tal que x A x N. Segue daí que N é aberto, pois claramente N = x N A x. Por outro lado, um aberto é (trivialmente) uma vizinhança de todos os seus pontos.

19 TEORIA DE GALOIS INFINITA 19 Portanto, A X é aberto se e somente se A S x para todo x A, de modo que é suficiente conhecer o sistema de vizinhanças de cada ponto de um espaço topológico para determinar a sua topologia. Mais que isso, pela observação anterior, basta conhecer uma base de vizinhanças de cada ponto. Definição. Se f : X Y é uma aplicação entre espaços topológicos e x X, então f é dita ser contínua em x se para toda vizinhança U de f(x) existe uma vizinhança N de x tal que f(n) U (equivalentemente, N f 1 (U)). Proposição A.2. Sejam X, Y espaços topológicos. Uma função f : X Y é contínua se e somente se é contínua em x para todo x X. Demonstração. Suponha que f é contínua em x para todo x X e seja A Y um aberto. Vamos mostrar que f 1 (A) é aberto mostrando que é uma vizinhança de cada um dos seus pontos. Para isso, veja que se x f 1 (A), então A é uma vizinhança de f(x), pois A é aberto e f(x) A. Da continuidade de f em x concluímos que existe vizinhança N de x tal que N f 1 (A). Segue daí que f 1 (A) é uma vizinhança de x, e, como x f 1 (A) foi qualquer, f 1 (A) é aberto. Por fim, A é um aberto arbitrário em Y, e portanto f é contínua. Reciprocamente, suponha f contínua e fixe x X. Se U é uma vizinhança de f(x), então existe um aberto A Y tal que f(x) A U. Segue disso que f 1 (A) é aberto e x f 1 (A) f 1 (U), donde f 1 (U) é uma vizinhança de x. Observando que f(f 1 (U)) U, concluímos que f é contínua em x, pois U é uma vizinhança arbitrária de x. Referências [1] T. Husain; Introduction to Topological Groups, Saunders, 1 a edição, [2] J. Kelley, General Topology, Springer-Verlag, 1 a edição, [3] P. Morandi; Field and Galois Theory, Springer-Verlag, 1 a edição, [4] J. Milne, Fields and Galois Theory (v4.51), disponínel em [5] T. Szamuely; Galois Groups and Fundamental Groups, Cambridge University Press, 1 a edição, 1996.