Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Mirandela Instituto Politécnico de Bragança. Licenciatura em Marketing. Unidade Curricular: Matemática

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1 Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Mirandela Instituto Politécnico de Bragança Licenciatura em Marketing Unidade Curricular: Matemática 2007 /

2 Definir um conjunto Diz-se que um conjunto A é dado ou definido num universo quando se conhece uma definição que permita sempre, a respeito de qualquer elemento c, saber se c A ou se c A; Exemplos (?): Conjunto das cidades portuguesas; Conjunto dos países que utilizam como língua oficial a Língua Portuguesa. Grande parte dos conjuntos de que falamos no dia -a - dia, não estão definidos, mas imperfeitamente delimitados (conjunto dos pobres, conjunto dos ricos). 2

3 Conjuntos finitos e conjuntos infinitos Se um conjunto pode ser definido pela indicação dos seus elementos diz-se finito. Exemplos (?) Números naturais inferiores a cinco; Alunos da ESTGM da Licenciatura em Marketing. Diz-se que um conjunto A é infinito quando é impossível indicar todos os seus elementos. Exemplos (?) Conjunto dos números pares; Conjunto dos números naturais. 3

4 Conjuntos Numéricos Números Naturais N = { 1, 2, 3,... } Números Inteiros N 0 = { 0, 1, 2,... } Números Inteiros Relativos Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2,... } 4

5 Conjuntos Numéricos Números Racionais Q = { a/b, a e b são inteiros e b diferente de 0} - São aqueles que podem ser representados na forma a/b, onde a e b são inteiros e b diferente de 0. Exemplos: 3/5, 1/2, 1, 2,5,... - Números decimais exactos são racionais 0,1 = 1/10; 3,7 = 37/10 - Números decimais periódicos são racionais 0, = 1/9; 0, = 32/99; 2, = 21/9. 5

6 Conjuntos Numéricos Números Irracionais - São números que não podem ser representados na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0. - São formados por dízimas infinitas não periódicas. Exemplos: π ; 3 ; 2 6

7 Conjuntos Numéricos Números Reais - O conjunto dos números reais, simbolizado pela letra R, é constituído por todos os números racionais e por todos os números irracionais. R = {x x é racional ou x é irracional} - Todos os conjuntos numéricos (N, Z e Q), bem como o conjunto dos números irracionais são subconjuntos de R. - O conjunto dos números reais é a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais. 7

8 Números Reais Intervalos Sejam a e b IR, designam-se por intervalos de números reais os conjuntos: Intervalos limitados [a, b] - intervalo fechado de extremos a e b, constituído por x IR que satisfaz a condição: a x b; ]a, b[ - intervalo aberto de extremos a e b, constituído por x IR que satisfaz a condição: a < x < b; [a, b[ - intervalo semi-aberto (ou semi-fechado) de extremos a e b, constituído por x IR que satisfaz a condição: a x < b; ]a, b] - intervalo semi-aberto (ou semi-fechado) de extremos a e b, constituído por x IR que satisfazem a condição: a < x b; 8

9 Números Reais Intervalos ilimitados [a, + [ - intervalo de origem a, fechado, ilimitado à direita, constituído por x IR que satisfazem a condição: x a; ]a, + [ - intervalo de origem a, aberto, ilimitado à direita, constituído por x IR que satisfazem a condição: x > a; ]-, b] - intervalo de extremidade b, fechado, ilimitado à esquerda, constituído por x IR que satisfazem a condição: x b; ]-, b[ - intervalo de extremidade b, aberto, ilimitado à esquerda, constituído por x IR que satisfazem a condição: x < b; ]-, + [ - intervalo ilimitado, geralmente identificado com o conjunto IR dos números reais. 9

10 Operações com números reais Propriedades da Adição A1: a+(b+c) = (a+b)+c, quaisquer que sejam a, b e c (propriedade associativa para a adição) A2: 0 é o elemento neutro da adição. a+0=0+a = a, qualquer que seja a (existência de elemento neutro para a adição) A3: Para todo o número a existe um número (-a) tal que a+(-a)=0 (existência de simétrico para a adição) A4: a+b = b+a, quaisquer que sejam a e b (propriedade comutativa para a adição) A5: A adição é uma operação fechada no conjunto dos números positivos. (Se a e b são positivos então a+b também é um número positivo). 10

11 Operações com números reais Propriedades da Multiplicação M1: a.(b.c) = (a.b).c, quaisquer que sejam a, b e c (associativa); M2: 1 é o elemento neutro da multiplicação a.1=1.a=a, qualquer que seja a; M3: Para todo o número a existe um número 1 1 tal que a. =.a = 1 (existência de inverso); a a M4: a.b = b.a, quaisquer que sejam a e b (propriedade comutativa); M5: A multiplicação é uma operação fechada no conjunto dos números positivos. (Se a e b são positivos então axb também é um número positivo). 1 a 11

12 Operações com números reais Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição a.(b+c) = a.b+a.c, quaisquer que sejam a e b Exemplo de aplicação Calcular: a) 10x x x ; b) x2 8x x333999; c) x x x x17; d) x x

13 Operações com Fracções O que é uma fracção? É uma parte de um todo. No sentido matemático é uma forma de representar uma divisão; Diz-se que duas fracções são equivalentes quando "se passa" de uma para a outra multiplicando ou dividindo pela mesma quantidade o numerador e o denominador; Verificar se duas fracções são equivalentes: =... porque Simplificar uma fracção é obter uma fracção equivalente mais simples. = 6. 13

14 Operações com Fracções Fracção Numerador Deno min ador 14

15 Operações com Fracções Adição de fracções com o mesmo denominador A adição de duas fracções com o mesmo denominador é uma fracção, ainda com o mesmo denominador e cujo numerador é igual à soma dos numeradores = 7 5 Se pretendemos adicionar duas fracções é necessário que elas se refiram a partes duma mesma unidade dividida em igual número de partes (ou seja que tenham o mesmo denominador). 15

16 Operações com Fracções Adição de fracções com denominadores diferentes A adição de duas fracções com denominadores diferentes é igual à adição de duas fracções equivalentes às dadas, transformadas em fracções com o mesmo denominador. Se a adição não se referir à mesma unidade, então temos de procurar fracções equivalentes às dadas, mas com o mesmo denominador = + = =

17 Operações com Fracções Multiplicação de fracções O produto de duas fracções é uma fracção, cujo numerador é igual ao produto dos numeradores e, o denominador é igual ao produto dos denominadores = =

18 Operações com Fracções Divisão de fracções O quociente de duas fracções é uma fracção, cujo numerador é igual ao produto do dividendo pelo inverso do divisor = = =

19 a Potências Regras n a m = a n+ m a n = a n m m a n b n = ( a b n a n a = ( ) n n a ) b b 19

20 Polinómios Polinómios Operações com polinómios; Divisão euclidiana; Regra de Ruffini; Teorema do resto; Resolução de equações polinomiais de 1º grau; Resolução de equações polinomiais de 2º grau; Factorização de polinómios; Equações polinomiais; Inequações polinomiais. 20

21 Polinómios Polinómios Definição: Chama-se polinómio na variável x a toda a expressão do tipo a 0 x n + a 1 x n a n-1 x + a n em que n IN 0 e a 1, a 2,..., a n-1, a n IR. a 0 x n, a 1 x n-1,..., a n-1 x, a n Termos do Polinómio a 0, a 1,..., a Coeficientes n-1 a n Termo independente 21

22 Polinómios Grau de um polinómio é o maior dos expoentes da variável x com coeficiente não nulo. Dois polinómios dizem-se idênticos se e só se são iguais todos os coeficientes dos termos do mesmo grau. Chamam-se termos semelhantes os termos do mesmo grau. Um polinómio diz-se completo quando existe o termo independente e todos os coeficientes da variável x, desde o termo independente até ao termo de maior grau, são diferentes de zero. Ex.1) 0 x x 2 + x + 1 Tem grau 2 e é completo; Ex.2) 3 x x x +1 Tem grau 4, é incompleto porque tem nulo o coeficiente do termo em x 3 ; 22

23 Polinómios Polinómios 0 x n + 3 x n x + 0 Polinómio nulo O polinómio nulo tem grau indeterminado Quando o polinómio é constituído por dois termos chama-se binómio; Exemplo: 2x + 10 Quando o polinómio é constituído por três termos chama-se trinómio. Exemplo: x 2 + 3x

24 Operações com polinómios ADIÇÃO Para adicionar dois polinómios aplicam-se as propriedades comutativa e associativa da adição e reduzem-se os termos semelhantes. Ex. (3x 2 + 2x + 1) + (5x 2 + 3) = = 3x 2 + 2x x = 3x 2 + 5x 2 + 2x = 8x 2 + 2x

25 Operações com polinómios SUBTRACÇÃO Para subtrair dois polinómios adiciona-se, ao aditivo, o simétrico do subtractivo. Ex. (3x x + 1) - ( 5x 2 + 3x) = = 3x x +1-5x 2-3x = 3x 2-5x x -3x +1 = -2x 2-7x +1 25

26 Operações com polinómios MULTIPLICAÇÃO Para calcular o produto de dois polinómios aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação relativamente à adição e, em seguida, adicionam-se os termos semelhantes. Ex. (5x 2 + 3). (3x 2 + x + 1) = = 15x 4 + 5x 3 + 5x 2 + 9x 2 + 3x + 3 = 15x 4 + 5x x 2 + 3x

27 Casos notáveis da multiplicação de polinómios A multiplicação de dois polinómios pode processar-se sempre do mesmo modo. No entanto, há produtos de polinómios que aparecem com muita frequência e em diversas situações em Matemática: Quadrado da soma; Quadrado da diferença; Diferença de quadrados. Estes casos são conhecidos como casos notáveis de multiplicação de polinómios. 27

28 Casos notáveis da multiplicação de polinómios Quadrado da soma O quadrado da soma de dois monómios obtém-se adicionando o quadrado do primeiro com o quadrado do segundo e com o dobro do produto do primeiro pelo segundo monómio. (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab Quadrado da diferença O quadrado da diferença de dois monómios obtém-se adicionando o quadrado do primeiro com o quadrado do segundo e subtraindo o dobro do produto do primeiro monómio pelo segundo. (a - b) 2 = a 2 + b 2-2ab 28

29 Casos notáveis da multiplicação de polinómios Diferença de quadrados A diferença dos quadrados de dois monómios é igual ao produto da sua soma pela sua diferença. a 2 - b 2 = (a + b) (a - b) 29

30 Divisão de polinómios DIVISÃO INTEIRA No conjunto dos números naturais, IN, efectuar a divisão inteira de um número D (dividendo) por um número d (divisor) é encontrar um número natural q (quociente) e um número natural r (resto), tais que: D = d. q + r Ex. D = 20, d = 5, q = 4, r = 0 20 = 5 x 4, 20 é divisível por 5 ou 20 é múltiplo de 5 ou 5 é divisor de

31 Divisão de polinómios DIVISÃO INTEIRA Quando o resto de uma divisão inteira de polinómios é diferente do polinómio nulo, então, tal como na divisão em IN, D(x) = d(x). q(x) + r(x), em que D(x) polinómio dividendo d(x) polinómio divisor q(x) polinómio quociente r(x) polinómio de grau inferior ao grau do polinómio divisor EXEMPLO (-6x 3 +3x 2 +2) : (2x 2 +1) 31

32 Divisão de polinómios DIVISÃO INTEIRA EXEMPLO (-6x 3 +3x 2 +2) : (2x 2 +1) 32

33 Divisão de polinómios Regra de Ruffini Divisão de polinómios em que o divisor é um polinómio do tipo x -α. A regra de Ruffini é um processo prático para determinação do quociente e do resto da divisão inteira de polinómios em que o divisor é do tipo x -α. Actividade Seja D(x) = x 4 - x 3 + 2x 2-3x - 30 e d(x) = x -2 Determinar o quociente e o resto da divisão de D(x) por d(x). Teorema do Resto Seja p(x) um polinómio de grau p > 1. O resto da divisão de p(x) por x a é igual a p(a), ou seja, r = p(a) 33

34 Equações polinomiais Equações polinomiais Equações polinomiais são equações da forma: a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0 = 0, com a n 0, Sendo, x a incógnita, n o grau da equação e a n, a n-1,, a 1 os coeficientes. Resolver a equação consiste em encontrar os elementos que tornam a equação uma proposição verdadeira. Este elementos são chamados soluções (ou raízes) da equação polinomial. Exemplos: a) 2x + 10 = 0; b) x 2 + 3x + 2 = 0; c) 4 x x x = 0. 34

35 Equações polinomiais Equações polinomiais de 1º grau 1) Resolva cada uma das equações em IR: a) 3x+7x = 22-4x; b) 2(x+5)-3(x+4) = 23; c) 3x+4x = 8x-x+2; d) x+x+x+x = x-x-x-x; e) 3x+3x+3x = 9x; f) 3+ (5x+8) = (x+2)+1; 3 2 g ) 5(3x+3x+3x) = (3+2x). 35

36 Equações polinomiais Equações polinomiais de 2º grau Equações de 2º grau são equações da forma ax 2 +bx+c=0, sendo a, b e c números reais e a é diferente de zero, c é o termo independente de x; b é o coeficiente de x; a é o coeficiente de x 2. As equações de 2.º grau, em que b e c são diferentes de zero chamam-se equações completas, são da forma: ax 2 +bx+c=0; Quando temos uma equação deste tipo, o processo mais usual de resolução é o recurso à fórmula resolvente. 36

37 Equações polinomiais Equações completas de 2º grau Fórmula resolvente ax 2 +bx+c=0 Quando temos uma equação deste tipo, o processo mais usual de resolução é a utilização da Fórmula Resolvente: 37

38 Equações polinomiais Equações polinomiais de 2º grau 1) Resolva cada uma das equações, utilizando a fórmula resolvente: a) 3x 2 +2x-1= 0; b) 2(x 2 +2)-3(x+4) = 0; c) 3x+4x = x-x 2 +2; d) x+x 2 +x+x = x-x-x-x; e) 3x 2 +3x+3x = 9x; 3 2 f) 3+ (2x+8) = (x 2 +2)+1; g ) 5(3x+3x+3x) = 3 (3+2x 2 )

39 Raiz ou zero de um polinómio Raiz (ou zero) de um polinómio p(x) é um número c, tal que p(c)=0. Actividade Determinar, caso existam os zeros dos seguintes polinómios a) 3x 2 +2x-1; b) 2x x+4; c) 3x+4x+ x-x 2 +2; d) x+x 2 +x+x- x-x-x-x; 39

40 Decomposição de um polinómio em factores Decomposição em factores Se α 1,, α k são as raízes reais de um polinómio não nulo A, então existem números únicos e um único polinómio Q sem raízes reais, tais que: A(x) = Q(x)(x -α 1 ) n1 (x -α k ) nk Ao número n i chama-se multiplicidade algébrica da raiz α i. Por exemplo: Se n i = 1 diz-se que α i é uma raiz simples de A, se n i = 2 diz-se que α i é uma raiz dupla de A, se n i = 3 diz-se que α i é uma raiz tripla de A. Exemplo: 3x 3-6x 2 +x-2 = (3x 2 +1)(x-2); 2 é uma raiz simples do polinómio 3x 3-6x 2 +x-2. 40

41 Factorização de polinómios Processos para factorizar polinómios Factorizar um polinómio consiste em transformar o polinómio (soma de monómios) num produto. Existem várias formas para factorizar polinómios, entre as quais: Factorização simples (ou pôr em evidência); Por agrupamento de expressões comuns; Utilização dos casos notáveis da multiplicação; Utilização de equações de segundo grau. 41

42 Factorização de polinómios Factorização simples (ou pôr em evidência). Exemplo ax + ay + az = a (x + y + z); Por agrupamento. Exemplo ax + by + bx + ay = = ax + ay + bx + by = = a (x + y) + b (x + y) = = (x + y) (a + b) 42

43 Utilizando os casos notáveis Exemplos x² - 4 = (x+2)(x-2); x² -2xy+y² = (x-y)(x-y); x² +2xy+y² = (x+y)(x+y). Factorização de polinómios Utilizando equações de 2.º grau ax² + bx + c. Exemplo ax² + bx + c = a (x - x 1 ) (x - x 2 ), sendo x 1, e x 2 as raízes da equação ax² + bx + c = 0. 43

44 Inequações polinomiais Inequações polinomiais A equação é caracterizada pelo sinal da igualdade (=). A inequação é caracterizada pelos sinais de maior (>), menor (<), maior ou igual ( ) e menor ou igual ( ). Dada a função f(x) = 2x 1 função de 1º grau. Se dissermos que f(x) = 3 e desejarmos determinar os valores de x que satisfazem a igualdade vem : 2x 1 = 3 equação do 1º grau, calculando o valor de x, temos: 2x = 3 + 1, 2x = 4, x = 4 : 2, x = 2 x deverá ter o valor 2 para que a igualdade se verifique. Dada a função f(x) = 2x 1. Se dissermos que f(x) > 3, escrevemos: 2x 1 > 3 inequação de 1º grau, calculando os valores de x, temos: 2x>3+1, 2x>4, x > 2. Será sempre assim? 44

45 Inequações polinomiais Inequações polinomiais de 2º grau Dada a função f(x) = x 2 +2x 1 função de 2º grau. Se dissermos que f(x) -1 e desejarmos determinar os valores de x que satisfazem a desigualdade como poderemos fazer? 45

46 Expressões racionais Expressões racionais Domínio; Simplificação; Operações; Equações racionais; Inequações racionais. 46

47 Expressões racionais Expressões racionais Expressão racional é uma expressão da forma: P Q Exemplo, sendo P e Q polinómios e Q diferente de zero. 2xy y 2 2x 1 2, P = 2xy y 2, Q = 2x 2 1 Operações (?) 47

48 Expressões racionais Domínio Domínio de uma expressão racional é o conjunto dos valores para os quais a expressão tem significado, no contexto onde está a ser estudada. Exemplo: D = {x IR: Q(x) 0}. Exemplo: 2xy 2x 2 y 2 2 P( x) Q( x), Domínio da expressão em IR é IR\{-1,1} 48

49 Expressões Irracionais Expressões irracionais Expressão irracional é toda a expressão da forma n, sendo A (radicando) uma expressão algébrica e n (índice do radical) um número natural. Para n par o radicando tem de ser um número não negativo, para n ímpar o radicando pode assumir qualquer valor real para o qual a expressão tenha significado. A 49

50 Expressões Irracionais Domínio de expressões irracionais (em IR) n A ( x) Se n é par D = {x IR: A(x) 0}, Se n é ímpar D = {x: A(x) IR}. Exemplos 4 x + 3 Domínio D de ; D = {x IR: x+3 0} = [-3, + [ x + Domínio D de D = {x IR: 2+3x IR} = IR 50

51 Expressões Irracionais Racionalizar dos termos de uma fracção Por racionalização dos termos de uma fracção entende-se o processo que conduz à substituição de uma expressão envolvendo radicais por outra sem radicais. Exemplo: 3 + x 5 é o mesmo que x

52 Condições que envolvem valor absoluto Equações que envolvem valor absoluto (?). 1) Resolva, em IR, as equações: a) 3x-4 =5; b) 5x+3 = 8x-2. Inequações que envolvem valores absolutos (?) 2) Resolva, em IR, as inequações: a) 3x-4 >5; b) 2x-8 <6; c) 5x

53 Conteúdos da Unidade Curricular Introdução ao cálculo diferencial Estudo das funções reais de variável real; Limites de funções; Continuidade; Função derivada e suas aplicações. 53

54 Conteúdos da Unidade Curricular Funções As correspondências podem ser ou unívocas ou não unívocas; Chama-se função f de A em B a toda a correspondência unívoca de A para B, e representa-se por f: A B; Uma função é uma colecção de pares de números tais que: se (a, b) e (a, c) pertencem ambos à colecção então b = c; Intuitivamente pode interpretar-se uma função f definida num certo conjunto D e com valores num conjunto E, como uma regra que faz corresponder a cada elemento x de D um único elemento f(x) de E. O conjunto D é chamado domínio de f e o subconjunto C de E formado por todos os elementos f(x), com x D é o contradomínio de f (Ferreira, 1985). 54

55 Conteúdos da Unidade Curricular Funções Sejam f: D E Diz-se que f é uma função real se todos os valores que assume são números reais, qualquer que seja o conjunto D; Diz-se que f é uma função de variável real se D IR; Uma função diz-se real de variável real quando o domínio e o contradomínio são subconjuntos do conjunto dos números reais; Fixado num plano um referencial cartesiano (que suporemos sempre de eixos ortogonais, orientados do modo usual e com a mesma unidade de medida) o gráfico da função f (no referencial considerado) é o conjunto de todos os pontos do plano correspondentes a pares (x, f(x)) com x pertencente ao domínio de f. 55

56 Conteúdos da Unidade Curricular Exemplos de gráficos de funções O gráfico da função identicamente nula (com o valor 0 em qualquer ponto x IR) é o eixo das abcissas; O gráfico da função identidade I(x) = x para qualquer ponto x IR é a bissectriz dos quadrantes ímpares; O gráfico da função f: IR IR, tal que f(x) = -x, qualquer que seja x IR) é a bissectriz dos quadrantes pares; O gráfico da função f: IR IR, tal que f(x) = x 2, é uma parábola que com a concavidade virada para cima e que passa pela origem do referencial. 56

57 Conteúdos da Unidade Curricular Domínio, conjunto de chegada e contradomínio de uma função Seja f: A B, então: Domínio de f, D f = {a A: f(a) = b, b B}; Conjunto de chegada de f, Cch f = B; Contradomínio de f, Cd f = {y B: x A: f(x) = y} Caracterizar uma função f, significa conhecer: Domínio de f; Conjunto de chegada de f; Processo pelo qual cada elemento do domínio é transformado num elemento do conjunto de chegada, ou seja, cada objecto do domínio é transformado na sua imagem. 57

58 Conteúdos da Unidade Curricular Zeros de uma função Designa-se por zero de uma função f todo o valor da variável independente x que tem por imagem o valor zero. Se c é um zero da função f então f(c) = 0. Sinal de uma função Estudar o sinal de uma função f equivale a determinar: Os pontos do domínio de f onde a função assume valores positivos; Os pontos do domínio de f onde a função assume o valor zero; Os pontos do domínio de f onde a função assume valores negativos. 58

59 Conteúdos da Unidade Curricular Monotonia Seja f uma função real com domínio D e seja A um subconjunto qualquer de D: Diz-se que f é crescente no conjunto A sse quaisquer que sejam x 1, x 2 A, se tiver f(x 1 ) f(x 2 ) sempre que seja x 1 <x 2. Quando se disser apenas que f é crescente, sem indicar qualquer conjunto A, deve entender-se que f é crescente em todo o seu domínio; Diz-se que f é estritamente crescente no conjunto A sse quaisquer que sejam x 1, x 2 A, se tiver f(x 1 ) < f(x 2 ) sempre que seja x 1 <x 2. Quando se disser apenas que f é estritamente crescente, sem indicar qualquer conjunto A, deve entender-se que f é estritamente crescente em todo o seu domínio. 59

60 Conteúdos da Unidade Curricular Monotonia Diz-se que f é decrescente no conjunto A sse quaisquer que sejam x 1, x 2 A, se tiver f(x 1 ) f(x 2 ) sempre que seja x 1 >x 2. Quando se disser apenas que f é decrescente, sem indicar qualquer conjunto A, deve entender-se que f é decrescente em todo o seu domínio; Diz-se que f é estritamente decrescente no conjunto A sse quaisquer que sejam x 1, x 2 A, se tiver f(x 1 ) < f(x 2 ) sempre que seja x 1 > x 2. Quando se disser apenas que f é estritamente decrescente, sem indicar qualquer conjunto A, deve entender-se que f é estritamente decrescente em todo o seu domínio; Diz-se que f é monótona em A sse f for crescente ou decrescente nesse conjunto e que f é estritamente monótona em A sse for estritamente crescente ou estritamente decrescente em A. 60

61 Conteúdos da Unidade Curricular Extremos absolutos de uma função Ponto máximo e valor máximo Seja f uma função e A um conjunto contido no domínio de f. x A diz-se ponto máximo de f em A se f(x) f(y), y A; o valor f(x) chama-se valor máximo de f em A. Ponto mínimo e valor mínimo Seja f uma função e A um conjunto contido no domínio de f. z A diz-se ponto mínimo de f em A se f(z) f(y), y A; o valor f(z) chama-se valor mínimo de f em A. 61

62 Conteúdos da Unidade Curricular Extremos relativos de uma função Ponto máximo local Seja f uma função e A um conjunto contido no domínio de f. x A diz-se ponto máximo local de f em A, se existe algum >0, tal que x é ponto máximo em A ]x-, x+ [. Ponto mínimo local Seja f uma função e A um conjunto contido no domínio de f. z A diz-se ponto mínimo local de f em A, se existe algum >0, tal que x é ponto mínimo em A ] z-, z + [. 62

63 Conteúdos da Unidade Curricular Injectividade e sobrejectividade Seja f: A B: f é injectiva f(x) = f(y) x = y, x, y D f f é sobrejectiva y B, x A: f (x) = y; f é bijectiva f é injectiva e f é sobrejectiva. 63

64 Conteúdos da Unidade Curricular Função afim Toda a função f, real de variável real, definida por f(x) = ax + b, em que a e b são constantes reais, diz-se uma função afim. O gráfico da função afim é uma recta. O coeficiente a chama-se declive e b chama-se ordenada na origem. 64

65 Conteúdos da Unidade Curricular Função quadrática Chama-se função quadrática, ou função polinomial de 2º grau, a qualquer função f de IR em IR, dada por uma expressão da forma f(x) = ax 2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. O gráfico de uma função quadrática (polinomial de 2º grau), f(x) = ax 2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola. 65

66 Conteúdos da Unidade Curricular Função módulo A função módulo pode ser definida como a função que a cada número real x associa o módulo de x, ou seja, a distância de x à origem. O gráfico da função módulo, isto é da função ψ: IR IR, tal que ψ(x) = x, qualquer que seja x IR é a reunião das bissectrizes do 1º e do 2º quadrantes. 66

67 Conteúdos da Unidade Curricular Operações com funções Sejam f e g funções reais de variável real, Soma de f e g, representa-se por f+g, e caracteriza-se: D f+g =D f D g ; (f+g)(x)=f(x)+g(x), x D f+g; Cch f+g=ir. Diferença de f e g, representa-se por f-g, e caracteriza-se: D f-g=df Dg; (f-g)(x)=f(x)-g(x), x D f-g ; Cch f-g=ir. 67

68 Conteúdos da Unidade Curricular Produto de f e g, representa-se por f.g, e caracteriza-se: D f.g =D f D g ; (f.g)(x)=f(x). g(x), x D f.g ; Cch f.g=ir. f Quociente de f e g, representa-se por, e caracteriza-se: g D f g =(D f D g )\{x D g : g(x)=0}; ( g f )(x)= f ( x) g( x), x D f ; g Cch f/g=ir. 68

69 Conteúdos da Unidade Curricular Composição de f e g, representa-se por fog, e caracteriza-se: D fog ={x: x D g g(x) D f }; (fog)(x) = f [g(x)], x D fog ; Cch fog = IR. 69

70 Conteúdos da Unidade Curricular Função inversa Seja f uma função real de variável real, tal que: f: D IR é injectiva: A função inversa de f é por definição, a aplicação g: f(d) IR, tal que g (f(x)) = x, para cada x pertencente a D; Toda a função injectiva tem inversa; O domínio da função inversa é o contradomínio da função dada. 70

71 Conteúdos da Unidade Curricular Função Exponencial (de base e) A função exponencial (de base ) é a função real de variável real que a cada x faz corresponder e x Propriedades: Domínio: IR Zeros: não tem zeros Sinal: é sempre positiva Extremos: não tem nem mínimos nem máximos Monotonia: é crescente Contradomínio: IR + A função é contínua no seu domínio A função é injectiva, mas não é sobrejectiva 71

72 Conteúdos da Unidade Curricular Função Exponencial Função exponencial (de base e) Gráfico: Concavidade: voltada para cima 72

73 Conteúdos da Unidade Curricular Função Logarítmica A função f: IR + IR, definida por f(x)=log a x, com a 1 e a>0, é chamada função logarítmica de base a. O domínio da função logarítmica é o conjunto IR + (reais positivos, maiores do que zero) e o contradomínio é IR (reais). Vamos considerar duas situações: 0<a<1; a>1. 73

74 Conteúdos da Unidade Curricular Função Logarítmica (0<a<1). Exemplo: y=log (1/2) x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico seguintes: x y 1/4 2 1/

75 Conteúdos da Unidade Curricular Função Logarítmica (a>1) Exemplo: y=log (2) x (nesse caso, a=2, logo a>1) Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico seguintes: x 1/4 1/ y

76 Limites de Funções ( ) Limite de uma função num ponto 1. Seja f uma função real definida num conjunto D IR, a IR um ponto aderente a D e b um número real. Diz-se que f(x) tende para b quando x tende para a (ou que b é o limite de f no ponto a) e escreve-se limf(x)=b ou limf(x)=b sse, qualquer que seja x a o número positivo ε existir δ >0 tal que, qualquer que seja x D verificando a condição x-a <δ, se tenha f(x)-b <ε. Simbolicamente: limf(x)=b ε>0, δ >0, x, 0< x-a <δ f(x)-b <ε. x a Nota: a é aderente a X sse, qualquer que seja ε>0, Vε (a) X Ø a 76

77 Limites de Funções Se f: D > IR e g: E > IR têm limite no ponto a, e se este ponto é aderente a D E, então, têm limite nesse ponto as funções: i) f+g, verificando-se a igualdade: ii) iii) i) f-g, verificando-se a igualdade: f.g, verificando-se a igualdade: f g (se lim (f+g)= lim f+ limg; x a x a x a x a lim (f-g)= lim f- limg; x a lim g(x) 0), verificando-se: x a x a lim (f.g) = lim f. x a f lim = x a g x a lim g; x a lim f x a. lim g x a 77

78 Limites de funções Seja f uma função real definida num conjunto D IR, a IR um ponto aderente a D. i) Ao limite de f(x) quando x tende para a relativo ao conjunto D ]a, + [ (quando existe) chama-se limite de f no ponto a à direita ou limite de f(x) quando x tende para a por valores superiores a a, representa-se por limf(x); + x a ii) Ao limite de f(x) quando x tende para a relativo ao conjunto D ]-, a[ (quando existe) chama-se limite de f no ponto a à esquerda ou limite de f(x) quando x tende para a por valores inferiores a a, representa-se por limf(x); i) O limite de f(x) quando x tende para a relativo ao conjunto D\{a} (quando existe) chama-se limite de f no ponto a por valores distintos de a, representa-se por lim f ( x). x a x a x a 78

79 Continuidade de funções Seja f uma função real definida num conjunto D IR e seja a um ponto de D. Diz-se que f é uma função continua em a sse, qualquer que seja o número positivo ε existir δ >0, tal que sempre que x seja um ponto de D e verifique a condição x-a <δ, se tenha f(x)-f(a) <ε. Simbolicamente: f é contínua no ponto a ε >0, δ >0, x (x D x-a <δ f(x)-f(a) <ε. Conclui-se que f é contínua em a se limf(x)=f(a). x a 79

80 Continuidade de funções Seja f uma função real definida num conjunto D IR, a D. i) f é contínua à direita no ponto a sse a restrição de f ao conjunto D ]a, + [ for contínua em a; ii) f é contínua à esquerda no ponto a sse a restrição de f ao conjunto D ]-, a[ for contínua em a; i) f é contínua no ponto a sse f for contínua à direita e à esquerda no ponto a. 80

81 Continuidade de funções Diz-se que f é continua no intervalo aberto ]a, b[ se f é contínua em todos os pontos desse intervalo. Uma função f é continua num intervalo fechado [a, b] se: i) f é continua no intervalo aberto ]a, b[; ii) f é contínua à direita no ponto a; iii) f é contínua à esquerda no ponto b. 81

82 Continuidade de funções Teorema Bolzano Se é uma função contínua num intervalo fechado, e k um número real compreendido entre e, então existe pelo menos um valor real c, pertencente ao intervalo aberto tal que = k. 82

83 Assimptotas de uma função Assimptotas verticais: são da forma x=a (a é ponto de acumulação do domínio de f e, se f está definida em a então f é descontínua em a). Se limf(x)=+ ou lim f(x)=-, então x=a é uma assimptota vertical. x a x a Assimptotas não verticais: são da forma y=mx+b (só pode haver assimptotas não verticais, se existirem pontos do domínio de f em qualquer vizinhança de + ou de -, ou seja, se x + existem pontos do domínio de f em ]a, + [, se x - existem pontos do domínio de f em ]-, a[) Sendo y=mx+b, m= lim x + f ( x) x ou m= b= lim (f(x)-mx) ou b= x + lim x f ( x) x lim (f(x)-mx). x ; 83

84 Derivadas ( ) Razão incremental Seja f uma função definida num conjunto D IR e seja a um ponto interior a D. Chama-se razão incremental da função f no ponto a, à função ρ : D\{a} IR, f ( x) f ( a) definida pela fórmula: ρ (x)=. x a 84

85 Derivada de uma função num ponto Chama-se derivada da função f no ponto a ao limite (quando existe) da função ρ (x) quando x tende para a. A derivada da função f no ponto a representa-se por f (a), f (a)= lim x a f ( x) f ( a). x a Pondo x=a+h, obtém-se a fórmula, f ( a + h) f ( a) f (a)= lim, que por vezes é mais cómoda a sua utilização. h 0 h 85

86 Tangente a um gráfico num ponto Tangente a um gráfico num ponto Se f (a) existe e é finita, chama-se tangente ao gráfico de f no ponto P(a, f (a)), à recta que passa por este ponto e tem declive igual a f (a). 86

87 Regras de derivação Regras de derivação Se k é uma constante, u=ϕ (x) e v=ψ (x) são funções para as quais existem derivadas, então: a) (k) = 0; b) (x) = 1; c) (u+v) = (u) +(v) ; d) (u-v) = (u) -(v) ; e) (uv) = u v+uv ; u u' v - uv' f) ( ) =, v 0 v 2 v g) (u n ) = nu n-1 u h) (x n ) = nx n-1 87

88 Aplicação das derivadas Ponto singular Chama-se ponto singular de uma função f, a todo o ponto x, tal que f (x)=0. Ponto de inflexão Chama-se ponto de inflexão de uma função f, a todo o ponto x, tal que f (x)=0. 88

89 Aplicação das derivadas Pontos candidatos a máximos ou mínimos Para determinar os pontos máximos ou mínimos de uma função f no intervalo [a, b], devem-se considerar três classes de pontos: 1) pontos singulares em ]a, b[; 2) extremos a e b; 3) pontos x ]a, b[ tais que f não é derivável em x. Aplicação Determinar os pontos máximos e mínimos relativos da função f(x) = x 3-3x, no intervalo [-3, 4], bem como os respectivos valores máximos e mínimos. 89

90 Aplicação das derivadas Teoremas Sejam I um intervalo, I D f, f uma função. 1. Se f (x) = 0, x I, então f é constante em I; 2. Se f (x) > 0, x I, então f é crescente em I; 3. Se f (x) < 0, x I, então f é decrescente em I; 4. Se f (x) > 0, x I, então a concavidade de f é voltada para cima; 5. Se f (x) < 0, x I, então a concavidade de f é voltada para baixo; 6. Se f (x) = 0, então o gráfico de f muda o sentido da concavidade; 7. Se f (x) = 0 e f (x)>0, então f tem um mínimo local em x; 8. Se f (x) = 0 e f (x) < 0, então f tem um máximo local em x. 90

91 Aplicação das derivadas Teorema Se f está definida em ]a, b[, tem um máximo ou mínimo local em x ]a, b[ e f é derivável em x, então f (x)=0. Teorema Se f é derivável em x, então f é contínua em x. Teorema Se g é uma função derivável em a e f é uma função derivável em g(a), então fog é derivável em a, e (fog) (a)= f (g(a))g (a). 91

92 Esboço do gráfico de uma função f Aplicação das derivadas Para esboçar o gráfico de uma função f devem ser considerados, sempre que possível, os seguintes aspectos: - O domínio de f; - Os zeros de f; - Os pontos singulares de f e valores de f nesses pontos; - Sinal da 1ª derivada de f; - Pontos de inflexão de f e valores de f nos pontos de inflexão; - Sinal da 2ª derivada de f; - Comportamento de f nos pontos onde não é continua e na vizinhança dos pontos aderentes ao domínio de f nos quais a função não está definida; - lim f(x) e x + lim f(x). x 92

93 Aplicação das derivadas Esboçar o gráfico de cada uma das funções reais de variável real: 2 x 2x f(x) = ; x 1 2. f(x) = x 4 -x 2 ; 3. f(x) = x 5 ; 4. f(x) = 3x 4-8x 3 +6x 2. 93