Limites e Continuidade. Departamento de Matemática

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1 Limites e Continuidade Mariana Dias Júlia Justino Departamento de Matemática

2 Conteúdo Limites. Noção Intuitiva.... Definição PropriedadesdosLimitesFinitos Limites Laterais Limites Infinitos Indeterminações Indeterminação Indeterminação Indeterminação Indeterminação....7 Limites Notáveis Limitetrigonométricobásico Limite de tipo comeponencial Limite de tipo comlogaritmo Limite de tipo comeponencial Limite de tipo comlogaritmo Limite de Neper Outras Indeterminações Eercícios Propostos... 8.Soluções... 6 Continuidade 3. Continuidade num Ponto Continuidade Lateral ContinuidadenumIntervalo ProlongamentoporContinuidade TeoremasFundamentaisdasFunçõesContínuas Assíntotas AssíntotasVerticais AssíntotasNãoVerticais Eercícios Propostos....8 Soluções... 8

3 Limites. Noção Intuitiva O conceito de ite de uma função é fundamental em todas as áreas da matemática e pode traduzir-se como "tende para" ou "aproima-se de" ou "aproima-se cada vez mais de" ou "tão perto quanto se queira de". Comecemos por abordar a noção intuitiva de ite estudando o comportamento de uma função nas proimidades de um ponto que pode não pertencer ao domínio da função. Eemplo Considere-se a função definida em R por f () = + cujo gráfico é dado por 3 f() = Calculando alguns valores de f quando se aproima de, sem atingir o valor, obtêm-se as seguintes tabelas: f () f () e Observa-se que à medida que se vai aproimando de, por valores inferiores ou superiores a, os valores de f () vão-se aproimando de 3. Utilizando a noção de distância entre dois pontos através do valor absoluto da diferença entre esses pontos, tal significa que se se aproima de, então f () 3 também se aproima de. Diz-se então que 3 éoitedef quando se aproima de, eescreve-se f () =3. DMat - ESTSetúbal/IPS Novembro de 6

4 Eemplo Considere-se a função g () =, definida em R\{}, cujo gráfico é dado por Calculando alguns valores de g quando se aproima de,, obtêm-se as seguintes tabelas: g () e g () Observa-se que à medida que se vai aproimando de por valores supeiores a, osvalores de g () vão sendo cada vez menores e que à medida que se vai aproimando de por valores inferiores a, os valores de g () vão sendo cada vez maiores. Assim, +g () = e g () =+. Analizemos agora o comportamento da função g para valores de muito grandes ou muito pequenos. Tem-se que g () e g ().... Observa-se que à medida que vai tomando valores cada vez maiores, os valores de g () se vão aproimando de equeàmedidaque vai tomando valores cada vez mais pequenos, os valores de g () se vão aproimando de. Assim, g () = e g () =. + DMat - ESTSetúbal/IPS Novembro de 6

5 Em geral, o número b é o ite de uma função f quando tende para c, e escreve-se f () =b c se e só se, o valor da função f tende para b quando tende para c. f() f() b f() c. Definição O matemático francês Augustin Louis CAUCHY ( ) desenvolveu rigorosamente a Teoria dos Limites. Antes dele, Isaac Newton, inglês (6-77) e Gottfried Wilhelm Leibniz, alemão (66-76), já haviam desenvolvido o Cálculo Infinitesimal. Nesta secção será apresentada a definição de ite de uma função num ponto segundo Cauch, para a qual são necessárias as noções de vizinhança edeponto de acumulação. Definição Chama-se vizinhança de centro c eraioε >,V ε (c), ao intervalo ]c ε,c+ ε[. Seja C um subconjunto de R e c um número real. Definição Onúmeroc diz-se ponto de acumulação de C seesóseemqualquervizinhança de c eiste pelo menos um elemento de C diferente de c. Definição 3 Onúmeroc diz-se ponto isolado de C se pertence a C e se eiste pelo menos uma vizinhança de c que não contenha nenhum elemento de C para além do próprio c. Eemplo 3 Seja C = { 3} ], ] \ {} R. Então, o intervalo [, ] éoconjuntodetodosospontosdeacumulaçãodec e 3 éum ponto isolado de C. Observação Note-se que os pontos isolados de um conjunto nunca são pontos de acumulação desse conjunto. DMat - ESTSetúbal/IPS 3 Novembro de 6

6 Definição (ite num ponto segundo Cauch) Seja f uma função real de variável real de domínio D f (f : D f R R) e c um ponto de acumulação de D f. Diz-se que f tende para b, quando tende para c, e escreve-se f () =b, c se e só se, qualquer que seja o número real δ >eiste um número real ε >para todo D f \{c} tal que se c < ε, então tem-se f () b < δ. Simbolicamente escreve-se: δ> ε> Df \{c} : c < ε f () b < δ. b +δ f() b b δ c ε c c + ε É de referir que a variável ε depende da variável δ, pois para cada δ arbitrariamente escolhido, tem de eistir um ε que funcione nas condições esquematizadas na figura seguinte. b δ δ b ε ε b b f() c c c c Para cada δ > eiste um ε > tal que se < c < ε então f ( ) b < δ Eemplo Usando a definição de ite segundo Cauch, iremos provar que ( ) =3. Seja f () = com D f = R, c= e b = 3. Então, δ> ε> Df \{c} : c < ε f () b < δ δ> ε> R\{} : < ε ( ) 3 < δ. Pretende-se provar que dado δ >arbitrário se consegue encontrar um ε >tal que, para < ε, setem ( ) 3 < δ. Ora ( ) 3 < δ < δ < δ < δ. Este facto mostra que escolhendo ε δ, sempre que < ε, tem-se f () 3 < δ. Nestas circunstâncias a proposição δ> ε> R\{} : < ε ( ) 3 < δ é verdadeira. Conclui-se então que 3 é o ite da função f quando tende para. Teorema (unicidade do ite) O ite de uma função num ponto, quando eiste, é único. DMat - ESTSetúbal/IPS Novembro de 6

7 .3 Propriedades dos Limites Finitos Utilizando a definição de ite segundo Cauch, deduzem-se as propriedades que se apresentamemseguida. Propriedade Sejam f e g duas funções com ite finito em c. Sek R e n N, então:. k = k; (constante); c. [k f ()] = k f (); (produto escalar); c c 3. [f ()+g()] = f ()+g () (soma); c c c. [f () g ()] = f () g () (subtração); c c c 5. [f () g ()] = f () g () (produto); c c c f () 6. = c g () 7. c f () = 8. c [f ()] n = 9. c n p f () = n c f () c seg () 6= (quociente); g (), c f () (módulo); c h i n [f ()] (potência); c q c f (), com f () se n par (radiciação). Eemplo = + ³ 3 3 () = ³ +3 3 () = = = cos = ³ 3 3 (cos ) =3 3 ³ cos = =. cos (cos ) 3. + = ( + ) =. ³ 3 = 3 = =. 3 3 ³ cos ³ + () = cos + = =. = 3 3 cos = µ ³ = 3 = 3 3 = 8 3 = 3 8 = 3 3 DMat - ESTSetúbal/IPS 5 Novembro de 6

8 = q ( 3 + ) = r ³ 3 + ³ = = 3 + =. 6. h ln = ln i ³ = ln = ln e = ln e = =. e e e 7. e +3 = e ( +3) = e 8. sen π 3 + π = sen h +3 = sen π 3 + π = sen (π) =. () = e +3 = e. π 3 + π i ³ = sen π 3 + π = Propriedade 3 Seja f uma função itada e g uma função tal que c g () =. Então, f () g () =. c Eemplo 6 Como = e a função seno é itada entre e, tem-se que µ µ sen = sen =. Teorema (lei do enquadramento) Sejam f, g e h funções reais de variável real definidas num mesmo intervalo I tais que g () f () h (), I. Seja c um ponto de acumulação de I tal que g () =b e h () =b. Então c c f () =b. c sen Eemplo 7 Determine-se o valor de. Considerando os gráficos das funções seno, identidade e tangente tg sen conclui-se que i, π h, sen <<tg. DMat - ESTSetúbal/IPS 6 Novembro de 6

9 i Como, π h, sen >, sen sen < sen < tg sen. Além disso, tg = sen cos, donde < sen < cos. Como = e =, pela lei do enquadramento, =. Portanto, cos sen sen = sen = =. sen Observação Os resultados apresentados anteriormente são válidos para todos os ites finitos, independentemente de tender para c finito ou infinito.. Limites Laterais Por vezes o valor de uma função aproima-se de valores diferentes quando se aproima de c por valores superiores ou por valores inferiores, tal como se viu na função g () = quando tende para (Eemplo ). Definição 5 (ites laterais). (i) O ite de uma função f quando tende para c por valores superiores a c, designa-se por ite de f no ponto c àdireita,escrevendo-se c +f (). (ii) O ite de uma função f quando tende para c por valores inferiores a c, designa-se por ite de f no ponto c à esquerda, escrevendo-se c f (). Propriedade 5 O ite de uma função no ponto c eiste se e só se os ites laterais nesse ponto, f () e c + c f (), eistirem e forem iguais. Eemplo 8 Considere-se a função g definida por ±, g () =, >, DMat - ESTSetúbal/IPS 7 Novembro de 6

10 cuja representação gráfica é dada por Tem-se que +g () = e g () =. Como +g () 6= g (), conclui-se que não eiste g (). Eemplo 9 Considere-se a função sen ( ), < t () = ( ), <3 log 3, 3. Então, D t = R e a representação gráfica de t édadapor 3 t Tem-se que Como t () = sen ( ) =sen () = e +t () = ( ) =. + t () = +t () =, conclui-se que t () =. t () = ( 3 ) = e 3 +t () = log =. t () 6= +t (), conclui-se que não eiste t (). 3 Por outro lado, 3 Como 3 3 Observação 3 Uma função pode ter apenas um ite lateral sem que tenha o outro. Tal acontece caso a função não esteja definida à direita ou à esquerda desse ponto. Por eemplo, para f () =, com D f =[, + [, no ponto apenas faz sentido falar-se no ite à DMat - ESTSetúbal/IPS 8 Novembro de 6

11 direita de Limites Infinitos Nas secções anteriores apresentaram-se as propriedades dos ites de uma função a tender para um número finito ou infinito, mas cujo valor dos ites obtidos era um número real. Estudam-se em seguida os casos em que o valor do ite é infinito. Definição 6 O ite de uma função f quando tende para c R {, + } diz-se infinito se c f () =+ ou f () =. Eemplo + e =+ e ln =. + As propriedades algébricas dos ites finitos também são válidas para os ites infinitos, eceto nos casos em que o ite da soma ou da diferença de funções é, o ite do produto é e o ite do quociente é, denominados indeterminações e que serão estudados na secção seguinte. Apresenta-se em seguida uma tabela que contém os resultados mais importantes em cálculos que envolvem ites infinitos. f () c g () c f ()+g() c c f () g () c f() c g() ± b> ± ± ± ± b< ± ± ± ± b> ± ± ± b< ± ± ± ± Observação Caso f () =b R\{} e g () = ±, c c f () ±, se b> cg () =, se b<. DMat - ESTSetúbal/IPS 9 Novembro de 6

12 Eemplo.. + = µ + = + q = =(+ ) + + =+ + =+.. = µ = 3. = = =+. + µ 3. 3 = Indeterminações ( ) = + =. = ( ) 3 3 = 3 =. No cálculo de ites de funções é habitual obterem-se epressões do tipo: Por eemplo, ; ; e e. + = + e. = Estas epressões denominam-se por indeterminações, tornando-se necessário recorrer a diversas técnicas matemáticas para determinar o valor do ite. Apresentam-se em seguida algumas dessas técnicas..6. Indeterminação A indeterminação surge habitualmente numa das seguintes três situações: Cálculo do ite de uma função polinomial Neste caso deve colocar-se em evidência o termo de maior grau. Por eemplo, + 5 µ (+ ) = =+ ( + ) =+. Cálculo do ite de uma função irracional Neste caso multiplica-se o numerador e o denominador pelo conjugado da epressão. Por eemplo, (+ ) + = = = + ( ) = + + = + + =. DMat - ESTSetúbal/IPS Novembro de 6

13 Nota: O conjugado de ³ a + b. ³ a b é ³ a + b e o conjugado de ³ a b é Cálculo do ite de funções logarítmicas Nestecasoaplicam-seaspropriedadesoperatóriasdoslogaritmos,normalmente µ log a () log a () =log a. Por eemplo, µ (+ ) [ln () ln ()] = ln + + = ln = ln Indeterminação A indeterminação resulta, normalmente, do cálculo do ite de uma função racional. Neste caso einam-se todos os termos abaio do termo de maior grau do numerador e do denominador da fração. Eemplo ( ) = + ( = 3 + ) 5 = 3 + = 5 = 5. =. 3 + ( ) 3 3. = = =+. Observação 5 A igualdade entre ites de duas funções racionais não implica que essas funções sejam iguais. Por eemplo, = + 5 mas + 6= Também é possível levantar a indeterminação pela maior potência de. Poreemplo, dividindo o numerador e o denominador, ( ) = = r + 5 r + + = = =. DMat - ESTSetúbal/IPS Novembro de 6

14 .6.3 Indeterminação A indeterminação é obtida no cálculo do ite de uma função racional em que a fração não é irredutível, ou seja, o valor para o qual está a tender é raíz do numerador e do denominador. Como por eemplo,, e. 3 3 Neste caso, determinam-se todas as raízes reais do numerador e do denominador, decompondoos em fatores, e einam-se os fatores comuns. Eemplo 3. ( ). = ( )( + ) = + = ( ) = + ( ) 3. = ( + )( + 3) ( + )( ) = + 3 = ( 3) + + = + 3( 3) + + = 3 = 3 ( 3) + + = = Observação 6 Nestetipodeindeterminação é muitas vezes necessário recorrer à fórmula resolvente, ao algoritmo da divisão ou à regra de Ruffini para decompor em fatores o numerador e o denominador da fração..6. Indeterminação A indeterminação deve ser transformada numa indeterminação de tipo. Eemplo. ou de tipo. + 3 ( ) ( ) 3 = = = ( ) = + 3 ( ) = + 3 =+. Observação 7 Eistem ainda indeterminações do tipo, e que serão abordadas nas secções seguintes..7 Limites Notáveis Apresentam-se em seguida seis ites notáveis utilizados nas situações em que o cálculo do ite dá uma indeterminação mas não se aplica nenhuma das técnicas anteriores. DMat - ESTSetúbal/IPS Novembro de 6

15 .7. Limite trigonométrico básico sen ( ) = Este ite é conhecido como o ite trigonométrico básico, uma vez que a partir deste se calculam outros ites que envolvem funções trigonométricas. Embora a função f () = sen não esteja definida para = (D f = R\{}) e sen seja uma indeterminaçãodotipo, observando o gráfico da função f tem-se que, quando tende para, a função f tende para. 3π π π π π 3 π Figura : Representação gráfica da função f () = sen Eemplo 5. sen (. = 3 ) tg () ( ). = µ sen = (+ ) =+. sen() cos() µ sen = (= ) cos sen () = cos () = = =. µ sen () = cos ().7. Limite de tipo com eponencial Embora a função f () = e e ( ) = nãoestejadefinida para = (D f = R\{}) e e seja uma indeterminação do tipo, observando o gráfico da função f verifica-se que quando tende para afunçãof tende para. DMat - ESTSetúbal/IPS 3 Novembro de 6

16 3 - - Figura : Representação gráfica de f () = e Eemplo 6 e +3 e 3 ( ) e 3 (e ) = = e 3 e = e 3 = e Limite de tipo com logaritmo ln ( + ) ( ) = ln ( + ) Oitedafunçãof () = quando tende para zero pode deduzir-se do ite e =. Fazendo a mudança de variável = ln ( + ), tem-se que: Assim, ln ( + ) = ln ( + ) = e tal que pois. = ln ( + ) ln ( ) ln Eemplo 7 = = (= ) ln ( + ) = =. e = + e = =. ln + =.7. Limite de tipo com eponencial + e ) ( = +, comp N p DMat - ESTSetúbal/IPS Novembro de 6

17 Embora f () = e para +. p e + p seja uma indeterminação do tipo, observando o gráfico da função (p N) verifica-se que quando tende para + a função f tende também e e f ( ) = f ( ) = Figura 3: Representação gráfica das funções f () = e e e f () = Eemplo 8 + e ( ) = + e + e = = (= + ) + e = Limite de tipo com logaritmo ln ( ) + p =, comp N Em particular, O ite da função f () = e + ln () p ln + p ( ) =. quando tende para + pode deduzir-se do ite p =+. Fazendo a mudança de variável = ln p, tem-se que = ln p = ln p = ln p = ln = ep p tal que + pois +. Assim, ln p + p = + e = p + e = p + = p N. Eemplo 9 ln (3) ( ) ln (3) = = 3 ln (=3 + ) + = 3 =. DMat - ESTSetúbal/IPS 5 Novembro de 6

18 .7.6 Limite de Neper µ + k ( ) = e k,comk R + Este ite é uma generalização do conhecido ite do número de Neper µ + n n = e n + e serve para levantar indeterminações do tipo. Eemplo µ 3 µ ( ) = 3 + = µ = 3 + µ 3 = (=+ + ) = e 3 = e 3..8 Outras Indeterminações µ ( ) = Nas secções anteriores foram abordadas as indeterminações de tipo ; ; ; e. Resta ver como se abordam as indeterminações do tipo e. As indeterminações e resultam, em geral, do cálculo de ites do tipo [f ()] g(). c Utilizando as propriedades dos logaritmos, desde que f () >numa vizinhança de c, tem-se que: [f c ()]g() = e ln[f()]g () = e g(). ln[f()] c. c Eemplo.. [ln ( 3)] 3 + = e =. ( ) = e + 3 ln[ln( 3)] ( ) = m.v. e + ln( ) ( e ) = e + ln() m.v.: = ln ( 3) = e + 3 tal que + pois +.. (ln ( ) = e + ) = e e + = +( ) ln(ln ) ( ) ln( ) + m.v. = e = e =. m.v.: = ln = e tal que + pois +. e = e +( e ) ln() ( ) = e e ln() + = DMat - ESTSetúbal/IPS 6 Novembro de 6

19 Observação 8 Esta técnica também pode ser aplicada a indeterminações do tipo. Por eemplo, (3 ) ( ) = e = e ln(+ ) (= ) = e = e. ln(3 ) ( ) = e ln(3 ) = e ln(+( )) ( ) = DMat - ESTSetúbal/IPS 7 Novembro de 6

20 .9 Eercícios Propostos Eercício Observe os gráficos das seguintes funções f e, para cada um deles, indique f () e f (c). c. c = c = c = Eercício Considere a função g, definida pela epressão +, < g () =, cuja representação gráfica é dada por Indique o valor de:. g ();. +g (). DMat - ESTSetúbal/IPS 8 Novembro de 6

21 Eercício 3 Seja f uma função cujo gráfico é dado por Indique o valor de c de modo que:. c/ D f eeistef (); c. c/ D f e não eiste f (); c 3. c D f e não eiste f (). c Eercício Observe os gráficos das seguintes funções f e, para cada um deles, indique c f (), c +f (), f () e f (c). c. c = c = c = DMat - ESTSetúbal/IPS 9 Novembro de 6

22 . c = c = c = Eercício 5 Considere a função f representada graficamente por Indique o valor de:. +f ();. f (); 3. f (); +. f ();. DMat - ESTSetúbal/IPS Novembro de 6

23 Eercício 6 Observe o seguinte gráfico da função f: Indique o valor de:. +f ();. f (); 3. f (); +. f (). Eercício 7 A função g encontra-se representada graficamente por Indique o valor de c de modo que:. c +g () =+ ;. c +g () =. Eercício 8 Calcule, caso eistam, os seguintes ites: ±, 6=. f (), onde f () = 3, = ;. f (), onde f () = 3. f (), onde f () = ±, < +, > ; ± sen, 6 3, > ; DMat - ESTSetúbal/IPS Novembro de 6

24 . f (), onde f () = 5. f (), onde f () = + 3, < 3, =, > 3, < +, Eercício 9 Calcule cada um dos ites seguintes: ; ; 3 3. ;. 3 3 ; ; r sen 6. π ; 7. e cos (); h ³ sen 8. ln π i. Eercício Calcule, caso eistam, os seguintes ites:. 3 + ; ; 3. + ;. 5. µ + ; µ9 + ; r ; DMat - ESTSetúbal/IPS Novembro de 6

25 Eercício Calcule cada um dos seguintes ites: ; ; ; +. + ; + 5. [ln (3 + ) ln ( + )] ; ; ; ; ; ; 6. ; ; 8 3. ; ; 5. ; ; 7. ( 3); DMat - ESTSetúbal/IPS 3 Novembro de 6

26 Eercício Calcule cada um dos seguintes ites:. sen ; e. sen () ; cos 3. ;. + sen µ ; + sen 5. + sen () ; e e 3 6. ; ln ( + ) 3 7. ; 8. + ln µ + ln 9. ;. sen e ;. e ln (3 + ) ;. + e ; log ; Eercício 3 Calcule cada um dos seguintes ites: µ ; + µ. 3 ; ( + 3).. ln ; + DMat - ESTSetúbal/IPS Novembro de 6

27 µ 3 5. ln ; (e ). + DMat - ESTSetúbal/IPS 5 Novembro de 6

28 . Soluções Solução.. f () =f () =3.. f () (). (),f() =. Solução..... Solução 3.. c =.. c = c = 5. Solução.. f () = ; +f () = () e f () =.. f () =; +f () =; f () = e f () =. 3. f () =; +f () = () e f () =.. f () =; +f () () e f () =. 5. f () =; +f () =; f () = e f ( ) =. 6. f () =+ ; +f () = () e f () =. Solução DMat - ESTSetúbal/IPS 6 Novembro de 6

29 Solução Solução 7.. c =.. c =. Solução 8.. f () =.. f () =. ().. f () =. 5. f () =. Solução ln. Solução DMat - ESTSetúbal/IPS 7 Novembro de 6

30 Solução ln Solução.... e. 3.. DMat - ESTSetúbal/IPS 8 Novembro de 6

31 Solução 3.. e 6.. e e 3.. e DMat - ESTSetúbal/IPS 9 Novembro de 6

32 Continuidade O conceito de continuidade pode ser observado em muitos fenómenos de vida real. Por eemplo,aolongodavidavariadeformacontínuaopesoealturadoserhumano,tal como a temperatura ao longo de um dia ou a velocidade de uma bicicleta ao longo de um percurso. No entanto, o número de incêndios que ocorrem em Portugal durante um ano já não varia de forma contínua, uma vez que esse número salta de forma imediata para o número inteiro seguinte cada vez que ocorre novo incêndio. Assim, podemos associar o conceito de continuidade à noção de não eistência de interrupção, ou salto, ao longo de um determinado intervalo de tempo. Oconceitoformaldefunçãocontínuafoiintroduzidoem8porAugustinLouisCauch ( ), professor na École Poltechnique de Paris que apresentou a seguinte caracterização: "f () diz-se uma função contínua se os valores numéricos da diferença f ( + α) f () decrescem indefinidamente com os de α." (Cours d Analse).. Continuidade num Ponto Definição 7 Dada uma função f : D R R tal que c D é ponto de acumulação de D, diz-se que f écontínuaemc se: c f () =f (c). Esta definição pressupõe as três condições seguintes:. f (c) está definido, o que significa que c D;. f () eiste, isto é, c f () = +f (); 3. c f () =f (c). c Eemplo Considere uma função f com a seguinte representação gráfica: c a b c d e Observa-se que a função f não é contínua em b, c, d e e masécontínuaemtodososoutros pontos do seu domínio (a / D). Defacto, Para = a, afunçãof não está definida (a / D), apesar de a ser um ponto de acumulação de D; Para = b, eiste b f () mas é diferente de f (b), istoé, b f () 6= f (b); DMat - ESTSetúbal/IPS 3 Novembro de 6

33 Para = c, não eiste c f (), poisositeslateraisdef são diferentes, isto é, c f () 6= +f (); Para = d, também não eiste f (), pois d d f () 6= d +f (); Para = e, não eiste f (), pois e f () 6= +f (). Eemplo 3. e c e. Dada a função f definida por f () = e, < +,, tem-se que f () = e e f () = = +f () = + + = Como f () =f (), entãof é contínua em.. Dada a função g definida por ±, 6= g () =, =, tem-se que g () = e g () = =. Como g () 6= g (), entãog não é contínua em.. Continuidade Lateral f () =. Definição 8 Dada uma função f : D R R tal que c D é ponto de acumulação de D, diz-se que: (i) f é contínua à direita de c se (ii) f é contínua à esquerda de c se c +f () =f (c). c f () =f (c). DMat - ESTSetúbal/IPS 3 Novembro de 6

34 Observação 9.. Uma função pode não ser contínua num ponto mas ser contínua à esquerda ou à direita desse ponto.. Se f é contínua à direita e à esquerda de um ponto, então f é contínua nesse ponto. Eemplo Considere uma função f com a representação gráfica seguinte: Observa-se que: Para = c, a b c d e c f () 6= c +f mas c c f () =f (c). Logo, f é contínua à esquerda de c. Para = d, d f () 6= d +f mas d d +f () =f (d). Logo, f é contínua à direita de d. Para = e, e f () 6= e +f () 6= f (e). Logo, f não é contínua à direita nem à esquerda de c. Eemplo 5.. Dada a função f definida por tem-se que f ()= e f () = f () = = +f () = + = ±, f (). Assim, f não é contínua em mas, como +f () =f (), f é contínua à direita de. DMat - ESTSetúbal/IPS 3 Novembro de 6

35 . Dada a função g definida por tem-se que g () = e g () = ± +, +, >, g () = + = +g () = ( + ) =3 g (). Assim, g não é contínua em mas, como g () =g (), g écontínuaàesquerda de. 3. Dada a função h definida por h () =, <, =, tem-se que h µ = e, > h () = ( ) = 3 h () = + + h (). Assim, como h () 6= h e h () 6= h +, h não é contínua à direita nem àesquerdade. Observação Eistem funções que, por não estarem definidasàesquerda(ouàdireita)de um ponto, são contínuas nesse ponto, apesar de só eistir continuidade lateral. Por eemplo, afunçãof () = não está definidaàesquerdadoponto = pois D f =[, + [. No entanto, f écontínuaem. 3 f ( ) = 3 DMat - ESTSetúbal/IPS 33 Novembro de 6

36 .3 Continuidade num Intervalo Definição 9 Dada uma função f : D R R, diz-se que:. f é contínua num intervalo aberto ]a, b[ D se f é contínua em todos os pontos de ]a, b[.. f é contínua num intervalo fechado [a, b] D se f é contínua em ]a, b[, àdireita de a e à esquerda de b. Eemplo 6 Considere uma função f definida no intervalo ], 6[ com a representação gráfica seguinte: 6-6 Observa-se que a função f não é contínua nos pontos =, = e =, mas é contínua emtodososoutrospontosdoseudomínio(d f =], 6[). Não se pode dizer que a função é contínua no intervalo [3, 5], porque f não é contínua em [3, 5]. Mas, por eemplo, pode dizer-se que: f é contínua nos intervalos abertos ], [ e ], 6[, porque f é contínua em todos os pontos desses intervalos; f é contínua no intervalo fechado [, ] porque f é contínua em ], [, é contínua à direita de e contínua à esquerda de. De facto, +f () =f () e f () =f (). f é contínua no intervalo ], ] porque, f é contínua em ], [ eécontínuaàesquerda de. De facto, f () = f (). Apresentam-se em seguida algumas propriedades das funções contínuas que servem para justificar a continuidade em intervalos abertos. Propriedade 6 As funções constante, polinomiais, racionais, eponenciais, logarítmicas, trigonométricas (diretas e inversas) e com raízes são sempre contínuas no seu domínio. Propriedade 7 Sejam f e g duas funções de domínio D f e D g,c D f D g um ponto de acumulação de D f D g, k R e n N. Se f e g são contínuas em c, então. kf, f + g, f g, f g, f e f n são funções contínuas em c;. f g é contínua em c, seg (c) 6= ; 3. n f é contínua em c, sef (c) para n par. DMat - ESTSetúbal/IPS 3 Novembro de 6

37 Propriedade 8 (continuidade da função composta) Sejam f e g duas funções de domínio D f e D g respetivamente e c D f um ponto de acumulação de D f tal que f (c) D g. Se f é contínua em c e g é contínua em f (c), entãog f é contínua em c. Propriedade 9 (continuidade da função inversa) Seja f uma função contínua e estritamente monótona num intervalo I. Então f é invertível em I e f é contínua em f (I). Eemplo 7.. A função f () = + arctg é contínua em D f = R, pois é a soma de duas funções contínuas em R (função polinomial e função trigonométrica inversa).. A função racional g () = 3 6 écontínuaemd g = R\{, }, pois é quociente de funções polinomiais contínuas, em que o denominador nunca se anula. 3. A função h () = e é contínua em D h =[, + [, pois é radiciação, produto e composta de funções contínuas em [, + [ (função eponencial e funções polinomiais).. Prolongamento por Continuidade Definição Dadasduasfunçõesf : D f R R e g : D g R R tais que D f D g, diz-se que g é um prolongamento de f se D f, f() =g (). Propriedade Dada uma função f : D f R R e c/ D ponto de acumulação de D, f é prolongável por continuidade ao ponto c se eiste e é finito f (). c Nesse caso, F : D {c} R tal que ± f (), D F () = f (), = c, c é o prolongamento por continuidade de f ao ponto c. ln ( + 5) Eemplo 8 Considere-se a função f definida por f () = cujo domínio é 3 D = { R : + 5 > 3 6= } = 5, + \{}. Como f () = 5 3 ln ( + 5) 5 éoseuprolongamento. = 5,féprolongável por continuidade ao ponto tal que 3 F () = f () 5 3, D, = DMat - ESTSetúbal/IPS 35 Novembro de 6

38 .5 Teoremas Fundamentais das Funções Contínuas Afirmar que: "se uma função f é contínua num intervalo [a, b], elaassumetodososvalores entre f (a) e f (b)"é geometricamente evidente. Esta propriedade foi utilizada por Leonhard Euler (77-783) e Johann Carl Gauss ( ) sem hesitações mas só Bernhard Bolzano (78-88) em 87 conseguiu estabelecer maior rigor na descrição desta propriedade. Teorema (de Bolzano ou dos valores intermédios) Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b], com a<b.sek é um número real compreendido entre f (a) e f (b), então eiste pelo menos um c ]a, b[ tal que f (c) =k. Isto significa que, uma função contínua não pode passar de um valor a outro sem passar por todos os valores intermédios. Geometricamente, f (b) f ( a ) < k < f ( b ) f () f (a) f ( b ) < k < f ( a ) f ( c ) = k f ( c ) = k f (a) f (b) f () a c b a c c c 3 b a < c < b (mais do que um valor para c) Figura : Interpretação geométrica do Teorema de Bolzano Como consequência imediata deste teorema obtem-se um resultado de grande interesse prático que permite justificar a eistência de zeros de funções contínuas em intervalos fechados, mesmo que não seja possível localizar eatamente esses zeros. Corolário Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] tal que f (a) f (b) <. Então, eiste pelo menos um zero da função f no intervalo ]a, b[, ou seja, c ]a, b[ :f (c) =. Geometricamente, f (b) f ( ) f (a) a c b a c c c 3 b f (a) f (b) f () (mais do que um valor para c) Figura 5: Interpretação geométrica do corolário do teorema de Bolzano Observação.. Se f não é contínua em [a, b], mesmo que f (a) f (b) <,podem não eistir zeros de f no intervalo ]a, b[. Por eemplo, f (b) f () f (a) a b DMat - ESTSetúbal/IPS 36 Novembro de 6

39 . Se f é contínua em [a, b] mas f (a) f (b) >,afunçãof pode ou não ter zeros em ]a, b[. Por eemplo, f (b) f ( ) f (a) f () f (a) f (b) a b a b f() não tem zeros f() tem zeros Eemplo 9.. Considere-se a função f definida em R por f () = Vejamos que f tem pelo menos um zero no intervalo ], [. Afunçãof écontínuaemr, pois é uma função polinomial. Logo, f é contínua no intervalo [, ]. Além disso, f () = 3 <e f () =>,donde f () f () <. Assim, pelo corolário do teorema de Bolzano, conclui-se que c ], [ :f (c) =.. Considere-se a função g definida em R por g () = +. Vejamos que g atinge ovalor no intervalo ], [. Afunçãog é contínua em R pois é uma função polinomial. Logo, g é contínua no intervalo [, ]. Além disso, g () = e g () = 3, donde g () < <g(). Pelo teorema de Bolzano conclui-se que c ], [ :g (c) =. Teorema 3 (de Weierstrass) Seja f umafunçãocontínuanointervalofechadoeitado [a, b], com a<b.então,f tem máimo e mínimo em [a, b]. Eemplo 3 Considere-se a função logarítmica f () =ln. Como f écontínuaem[, e], pelo teorema de Weierstrass, conclui-se que f tem máimo e mínimo em [, e]. De facto, = f () émínimodef em [, e] e = f (e) émáimodef em [, e]. Note-se que f é contínua em ], + [ mas não eiste máimo nem mínimo de f em ], + [. De facto, o teorema de Weierstrass não se pode aplicar ao intervalo ], + [, que não é fechado nem itado..6 Assíntotas Definição Dada uma função f chama-se assíntota de f a qualquer reta cuja distância aumapartedográfico de f tendaparazero,ouseja,eisteumapartedográfico de f que se vai aproimando cada vez mais dessa reta. Eemplo 3 Na figura abaio, que representa o gráfico de uma função f, asretas = e DMat - ESTSetúbal/IPS 37 Novembro de 6

40 = são assíntotas de f. f Assíntotas Verticais As assíntotas verticais do gráfico de uma função f, se eistirem, encontram-se em pontos de abcissa a tais que:. a/ D f mas é ponto de acumulação de D f ; ou. a D f mas f não é contínua em a. Definição Areta = a é uma assíntota vertical do gráfico da função f se a f () =± ou +f () =±. No caso de apenas um dos ites laterais ser infinito, a assíntota diz-se unilateral. Caso os dois ites laterais sejam infinitos, a assíntota diz-se bilateral. a Eemplo 3 a a a = a assíntota = a assíntota = a assíntota vertical bilateral vertical unilateral vertical unilateral a D f f ( ) = + + a f a ( ) = a D f f não écontínua em = a f ( ) = + + a a D f f ( ) = a Eemplo 33.. Considere-se a função definida por f () =, cujo domínio é D f = R\{}. Como f é contínua em todos os pontos do seu domínio, a única possibilidade de DMat - ESTSetúbal/IPS 38 Novembro de 6

41 eistência de uma assíntota vertical é a reta =, uma vez que / D f ponto de acumulação de D f.calculemosentão f () e +f () : mas é f () = Logo, a reta = é uma assíntota vertical bilateral. = e +f () = + =+. = Considere-se a função definida por g () =, >, cujo domínio é D g = R., Relativamente à continuidade da função g, oúnicoponto ondeafunçãopoderá não ser contínua é no ponto. Calculemos então +g () e g () : +g () = + =+ e g () = = = g (). Como g () 6= +g (), afunçãog não é contínua em. No entanto, como +g () =+, areta = é uma assíntota vertical unilateral Assíntotas Não Verticais A eistência de assíntotas não verticais (horizontais ou oblíquas) do gráfico da função f depende do comportamento da função quando e quando +. Assim, o domínio da função f tem de conter pelo menos um intervalo do tipo ],a[ ou do tipo ]a, + [, com a R. Definição 3 Sejam m R e b R. Areta = m + b é uma assíntota não vertical (horizontal ou oblíqua) do gráfico da função f seadistânciaentreestaretaeafunçãof tende para zero quando ou quando +, ouseja, [f () (m + b)] =. ± DMat - ESTSetúbal/IPS 39 Novembro de 6

42 Os coeficientes m (declive da reta) e b (ordenada na origem) são calculados do seguinte modo: f () m = ± e b = [f () m]. ± Observação. Se não eiste m ou se m = ±, então não eistem assíntotas não verticais. Se m = e b R, então a reta = b é uma assíntota horizontal. Se o valor de m (ou de b) for diferente para os casos em que + e, então eistem duas assíntotas não verticais. Nesse caso as assíntotas dizem-se unilaterais. Se não eistir alteração do valor de m e do valor de b nos casos em que + e, então eiste apenas uma assíntota não vertical. Nesse caso a assíntota diz-se bilateral. Eemplo 3.. Considere-se a função definida por f () =, cujo domínio é D f = R\{}. Então, µ f () m = ± = = ± ± =. µ b = [f () m] = = =. ± ± ± Logo, = é assíntota horizontal bilateral. = Considere-se a função definida por g () =, >, cujo domínio é e, D g = R. O estudo das assíntotas não verticais desta função terá que ser feito separadamente para + epara. Quando + a função é dada por g () = +. g () + m = = + + b = [g () m] = + + Logo, = é assíntota oblíqua unilateral. = µ + =. + µ + = + =. DMat - ESTSetúbal/IPS Novembro de 6

43 Quando a função é dada por g () = e. g () e m = = =. b = [g () m] = ( e )=. Logo, = é assíntota horizontal unilateral. = = - - Observação 3 Eistem outras formas para obter as assíntotas não verticais. Por eemplo, aplicando o algoritmo da divisão à epressão analítica da função f () = tem-se que f () = em que ( 5) éaparteinteiradef (). =( 5) , 8 Como =, então ± + 3 [f () ( 5)] =. ± Portanto, = 5 é uma assíntota oblíqua bilateral ao gráfico de f. DMat - ESTSetúbal/IPS Novembro de 6

44 .7 Eercícios Propostos Eercício Considere a função f definida em R por: ± +, f () = 3, >.. Calcule, caso eista, f ();. Estude a continuidade de f no ponto =. Eercício 5 Considere a função g definida em R por: g () = + + 3, >, =, <. Verifique se g é contínua no ponto =. Eercício 6 Determine o valor de k R de modo que a função f seja contínua no ponto c indicado. ± + k, >. f () = +,. f () = k +, =, 6= e k, > 3. f () = 3 +, em c = ; em c = ; em c =. Eercício 7 Observe os gráficos seguintes e indique, justificando, o tipo de continuidade no ponto c indicado.. c = DMat - ESTSetúbal/IPS Novembro de 6

45 . c = c = c = Eercício 8 Observe o gráfico da função f definida no intervalo [, + [ : Indique, justificando, o valor lógico das seguintes afirmações:. f é contínua em ;. f é contínua em ; 3. f é contínua à esquerda de ;. f não é contínua em. DMat - ESTSetúbal/IPS 3 Novembro de 6

46 Eercício 9 Estude a continuidade lateral de cada uma das seguintes funções reais de variável real, no ponto c indicado., <. f () = 3, em c = ; ± +,. g () = + 3, > sen, < 3. h () =, = em c = ; em c = ;. j () =, > e, >, = em c =. ln ( ), < Eercício Observe o gráfico da função f definida no intervalo ],] \{} : Indique um eemplo de:. Umintervaloabertoondeafunçãof seja contínua;. Um intervalo fechado onde a função f seja contínua; 3. Um intervalo do tipo [a, b[ onde a função f seja contínua; -. Um intervalo do tipo ]a, b] onde a função f seja contínua. Eercício Observe os seguintes gráficos e estude, para cada um, a continuidade das funções representadas: DMat - ESTSetúbal/IPS Novembro de 6

47 Eercício Estude a continuidade das seguintes funções em todo o seu domínio:. f () = + 3 ;. g () = ; 3. h () =ln (3 ); 3. r () = ; 5. s () = 3 ; ±, 6. t () =, > ; +, > 7. u () = +, <. Eercício 3 Verifique se as funções seguintes são prolongáveis por continuidade ao ponto c indicado e, em caso afirmativo, indique o seu prolongamento. ±, <. f () = e, > e c = ; ln ( + ). g () = 3. h () = e c = ; e c =. DMat - ESTSetúbal/IPS 5 Novembro de 6

48 Eercício Utilize o teorema de Bolzano para mostrar que a função f, definida por f () = 6 + 7, tem pelo menos um zero no intervalo [, 3]. Eercício 5 Recorrendo ao teorema de Bolzano, mostre que a equação = tem pelo menos uma solução no intervalo [, ]. Eercício 6 Considere a função f, definida por: ± + e, < f () = + ln ( + ),.. Verifique que f écontínuanoponto = ;. Justifique, usando o teorema de Bolzano, que f admite um zero no intervalo ], [. Eercício 7 Seja f uma função contínua em [a, b], tal que f (a) = e f (b) =. Qual das seguintes afirmações está correta?. f não tem zeros em ]a, b[;. f tem pelo menos um zero em ]a, b[ se e só se, eistir um ponto c em ]a, b[ tal que f (c) <; 3. f tem zeros em ]a, b[;. f pode ter, ou não, zeros em ]a, b[. Eercício 8 Prove que a função real de variávl real definida por f () = e e intervalo [3, ] um máimo e um mínimo. tem no Eercício 9 Observe o seguinte gráfico da função f : Indique as assíntotas desta função dizendo se são unilaterais ou bilaterais. Eercício 3 Estude as seguintes funções quanto à eistência de assíntotas:. f () = + ; DMat - ESTSetúbal/IPS 6 Novembro de 6

49 . f () = + ; 3. f () = 3 ;. f () = + 3 ; 5. f () = + ; 6. f () =e ; 7. f () = e + + ; 8. f () = + ln ( ); 9. f () =ln (3 ) ;. f () = + 3 ; 3. f () = ;, <. f () = + e,. Eercício 3 Admita que, às t horas de um determinado dia, numa localidade, a temperatura T, em graus Celsius, é dada por T (t) = 8te.5t + 3, t [, ].. Utilize o teorema de Bolzano para mostrar que entre as 8h e 5m eas8h e 3m houve um instante em que a temperatura atingiu os o C.. RecorraaoteoremadeBolzanoparagarantirqueatemperaturaentreas5h eas5h e 3m atingiu os o C. Entre as 5h eas5h e 3m, indique um intervalo de amplitude inferior a 5 minutos no qual a temperatura tenha atingido os o C. 3. Considere a função f, real de variável real, definida por f () = 8e (a) Por processos eclusivamente analíticos, mostre que a equação f () =5 tem soluçãonointervalo[ 6, 5]. (b) Calcule f (). O que pode concluir quanto à eistência de assíntotas horizontais do gráfico de + f? DMat - ESTSetúbal/IPS 7 Novembro de 6

50 .8 Soluções Solução.. f () =.. f é contínua em. Solução 5 g não é contínua em. Solução 6.. k =.. k =. 3. k = 6. Solução 7.. A função não é contínua em, mas é contínua à direita de.. A função não é contínua em (descontinuidade bilateral). 3. A função não é contínua em (descontinuidade bilateral).. A função não é contínua em, mas é contínua à esquerda de. Solução 8.. Verdadeiro.. Falso. 3. Verdadeiro.. Falso. Solução 9.. f não é contínua em, mas é contínua à direita de.. g não é contínua em, mas é contínua à esquerda de. 3. h não é contínua em.. j não é contínua em, mas é contínua à direita de. Solução.. ], [ ou ], [ ou ], [.. [, ]. 3. [, [.. ], 3] ou ]3, ]. DMat - ESTSetúbal/IPS 8 Novembro de 6

51 Solução.. A função é contínua em R\{} e contínua à direita de.. A função é contínua em R\{}. 3. A função é contínua em R\{,, } e contínua à esquerda de. Solução.. f é contínua em R.. g é contínua em R\{, }. 3. h écontínuaem 3, +.. r écontínuaem[3, + [. 5. s écontínuaemr. 6. t écontínuaemr\ {} e contínua à esquerda de. 7. u écontínuaemr\{}. Solução 3. ± f (), 6=. F () =, =.. g não é prolongável por continuidade ao ponto. ± h (), 6= 3. H () =, =. Solução - Solução 5 - Solução 6 - Solução 7 A afirmação. Solução 8 - Solução 9. Assíntotas verticais: = (bilateral); = (unilateral); = 3 (unilateral). Assíntota horizontal: = (unilateral). Assíntota oblíqua: = + (unilateral). DMat - ESTSetúbal/IPS 9 Novembro de 6

52 Solução 3.. = é assíntota vertical e = é assíntota horizontal.. = é assíntota vertical e = é assíntota horizontal. 3. = e = são assíntotas verticais e = é assíntota horizontal.. = 3 é assíntota vertical e = é assíntota horizontal. 5. = é assíntota vertical e = + 3 é assíntota oblíqua. 6. = é assíntota vertical e = + é assíntota oblíqua. 7. = é assíntota vertical e = é assíntota horizontal. 8. = é assíntota vertical. 9. = 3 é assíntota vertical.. = é assíntota horizontal.. = e = são assíntotas verticais e = + é assíntota oblíqua.. = é assíntota vertical, = é assíntota horizontal e = é assíntota oblíqua. Solução Por eemplo, t ]5.5, 5.33[, isto é, entre 5h5m e 5hm. 3.. (a) - (b) f () =3, donde = 3 é uma assíntota horizontal de f. + DMat - ESTSetúbal/IPS 5 Novembro de 6