Aula 26: Aplicações do integral

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1 Aula 6: Aplicações do integral Vamos agora ver algumas aplicações do integral. Tipicamente procedemos da seguinte forma: Dividimos a quantidade Q que queremos calcular num grande número de quantidades pequenas Q i de modo a que Q = Q i. Aproximamos então cada Q i por um produto da forma f(x i ) x i. Obtemos assim uma soma de Riemann: Q f(x i) x i = S P,x f Tomando o limite quando P 0 obtemos Q = lim P 0 S P,x f = Vamos ver alguns exemplos deste procedimento. b a f(x)dx. Volumes Vamos agora ver como calcular o volume de alguns sólidos. Tal como para a área, um tratamento rigoroso exigiria antes de mais uma definição de volume. Os procedimentos que usaremos podem ser justificados rigorosamente assumindo alguns axiomas para o volume, de modo semelhante ao que fizemos para a área. Não o faremos aqui. Começamos com os chamados sólidos de revolução. Se R for uma região do plano por cima do eixo dos xx, podemos construir um sólido rodando a região R em torno do eixo dos xx. Concretamente, o sólido é a região de R 3 definida por S = (x,y,z) R 3 : ( x, y +z ) R Exemplo. Os sólidos obtidos rodando as seguintes figuras em torno do eixo dos xx são respectivamente um cone, uma esfera, um copo e um donut. A este tipo de sólidos chamamos sólidos de revolução. As mesmas ideias que usámos para calcular áreas permitem-nos calcular o volume deste tipo de sólidos. Exemplo. Podemos pensar numa esfera de raio r como um sólido de revolução obtido rodando em torno do eixo dos xx a região R por baixo do gráfico de f(x) = r x. Uma partição P do intervalo [ r,r] divide a região R em faixas verticais e podemos aproximar cada faixa vertical por um rectângulo.

2 r r Ao rodar R em torno do eixo dos xx, cada rectângulo é tambem rodado, dando origem a um cilindro de altura x i. Figura. Calculando o volume duma esfera Tomamos agora o limite quando P 0. Se pensarmos em R como uma união infinita de faixas verticais de espessura infinitesimal dx e altura y C = r x, ao rodar R em torno do eixo dos xx cada faixa vertical é também rodada, dando origem a um cilindro de altura dx e área da base πy C = π(r x ). y C = r x r r O volume total é a soma dos volumes destes cilindros infinitesimais logo r ò r Volume = π(r x )dx = ïπr x πx3 = πr 3 πr3 = 4πr r r Repare que o que fizemos no exemplo foi cortar a esfera às fatias e aproximar o volume de cada fatia pelo volume dum cilindro: Figura. Calculando o volume duma esfera

3 Aula 6: Aplicações do integral 3 Podemos usar a mesma ideia para calcular o volume de sólidos arbitrários. Exemplo 3. Vamos calcular o volume duma pirâmide com vértices nos pontos (0,0,0), (,0,0), (0,,0), (,,0) e (0,0,). Para tal cortamos a pirâmide às fatias horizontalmente e pensamos na pirâmide como uma união infinita de paralelipípedos com base um quadrado e altura infinitesimal dz (ver figura 3) z z y z l x Figura 3. Calculando o volume duma pirâmide Cada paralelipípedo tem volume l dz em que l é o comprimento do lado do quadrado. Calculamos facilmente l = z logo o volume total é Volume = ( z) dz = ( z)3 0 3 = 0 3. Comprimento do gráfico duma função Vamos agora considerar o problema de calcular o comprimento do gráfico duma função contínua f : [a,b] R. Seja P = {a = x 0,x,...,x n = b} uma partição de [a,b]. Então podemos aproximar o gráfico de f por uma linha poligonal com vértices nos pontos (x i,f(x i )). O comprimento dessa linha poligonal é a soma do comprimento de cada segmento: l P = n i=» (x i x i ) +(f(x i ) f(x i )) a=x0 x x x3 b=x4 Figura 4. Aproximando o gráfico duma função por uma linha poligonal

4 4 O comprimento do gráfico é maior que o comprimento de qualquer linha poligonal assim obtida, mas intuitivamente podemos obter aproximações arbitrariamente boas se tomarmos o módulo da partição P suficientemente pequeno. Assim, é natural definir Definição : O comprimento do gráfico de f é o supremo do conjunto l = sup{l P : P é uma partição de [a,b]} R Se l for finito dizemos que o gráfico é rectificável. Assumimos a partir de agora que f é diferenciável. Para calcular l pensamos no limite quando P 0. É útil, embora não rigoroso, pensar do seguinte modo: sobre um intervalo [x,x+dx] de comprimento infinitesimal, o gráfico de f é uma recta de declive dy/dx = f (x). Observemos a figura: dl dy dx x x+dx Figura 5. dl = dx +dy O comprimento do gráfico sobre o intervalo [x,x+dx] pode ser calculado usando o teorema de Pitágoras: dl =»» dx +dy = +dy /dx dx = +f (x) dx Pensamos no gráfico de f como uma união dum número infinito de segmentos de recta de comprimento infinitesimal dl. Somando os comprimentos dos segmentos chegamos ao Teorema : Seja f : [a,b] R uma função diferenciável. Então o comprimento do gráfico de f é dado por b» l = +f (x) dx a Demonstração. Seja P uma partição de [a,b]. Como f é uma função diferenciável, pelo teorema de Lagrange em cada intervalo [x i,x i ] existe um ponto c i tal que f(x i ) f(x i ) = f (c i ) x i. Assim n n l P =» x i +f (c i ) x i =» +f (c i ) x i i= que é a soma de Riemann S P g da função g(x) = +f (x). i=

5 Aula 6: Aplicações do integral 5 A observação fundamental agora é a seguinte: se adicionarmos um ponto à partição P, obtendo uma nova partição P, então l P l P. Assim, dada qualquer partição P podemos construir uma sucessão de partições P,P,P 3,... tais que P n 0 e l P = l P0 l P l P l P3... l Como l Pn = S Pn g e como P n 0, l Pn b g. Pelas propriedades dos limites, l P l Pn l = l P a b a g(x)dx l desigualdade válida para qualquer partição P. Como supl P = l, necessariamente b a g = l. Exemplo 4. Recorde que o círculo trigonométrico é o conjunto {(x,y) R : x +y = }. Resolvendo em ordem a y obtemos y = ± x pelo que a metade superior do círculo é o gráfico da função f(x) = x...0 x Figura 6. Gráfico da função x Seja x ],[. O comprimento do gráfico de f no intervalo [0,x]é dado pelo integral x» +f (t) dt Derivando f obtemos f (t) = t t logo 0» +f (t) = + t t = t Assim x» x l = +f (t) dt dt = = 0 0 t [arcsent]x 0 = arcsenx como seria de esperar pois arcsenx foi definido como o comprimento do arco unindo (,0) ao ponto ( x,x) que é precisamente o comprimento do gráfico de f no intervalo [0, x] (ver figura 7). Isto é uma consequância directa da desigualdade triangular

6 6 Θ x Figura 7. θ = arcsenx 3. Integrais Impróprios Vimos que, para x ],[, arcsenx = x 0 dx x O que acontece quando x se aproxima de? Sabemos que lim x x 0 dx x = lim x arcsenx = arcsen = π mas repare que a função x não é limitada no intervalo [0,]! Chamamos a este limite um integral impróprio e escrevemos 0 dx x = lim x x 0 dx x Definição 3 (Integral impróprio de tipo II): Seja f : [a,b[ R uma função com uma assímptota vertical em x = b. Chamamos integral impróprio de f ao limite b f(x)dx = lim f(x)dx a y b a se este limite existir. Caso contrário dizemos que o integral é divergente. De igual modo, se f :]a,b] R tiver uma assímptota vertical em x = a definimos b f(x)dx = lim f(x)dx a + z a + z se o limite existir. Podemos também definir integral impróprio duma função f : ]a,b[ R com assímptotas verticais em a e b. Para tal escolhemos um ponto c entre a e b e definimos b c b f(x)dx = f(x)dx+ f(x)dx a + a + y b c

7 Aula 6: Aplicações do integral 7 se ambos os integrais existirem. Exemplo 5. Seja f(x) = / x. f é contínua em ]0,] e dx dx [ ] = lim = lim x 0 x + z x z 0 z = lim( z) = z 0 Portanto o integral impróprio de f entre 0 e é igual a. Este é um exemplo duma função ilimitada para a qual faz sentido falar de integral. z 0 Exemplo 6. O integral de no intervalo [,] não está definido pois x x tem uma assímptota vertical em x = 0. Podemos no entanto dividir o integral em dois e calcular 0 dx+ dx x 0 + x Como x é par, os dois integrais vão ser iguais: 0 x dx = x dx = x dx = Assim podemos interpetar o integral de no intervalo [,] como sendo igual x a 4. Exemplo 7. Seja f(x) = /x. f é contínua em ]0,] e lim z 0 z ï dx x = lim z 0 x portanto o integral é divergente. ò z = lim Å + ã z 0 z = + Exemplo 8. Usando o facto da secante ser uma primitiva de secxtanx = senx cos x podemos calcular o integral impróprio π senx π cos + x dx = c senx π cos + x dx+ = lim z π + c z π c senx cos x dx senx cos dx+ lim x y π = lim z π +[secx]c z + lim y π [secx]y c y c senx cos x dx = lim z π +(secc secz)+ lim y π (secy secc) Este integral é divergente pois lim z π + secz = lim y π secy = +. Recordemos que arccosx é o comprimento do gráfico de f(t) = t de x até. Assim t dy dx arcsent = e arccost = y x 0 t

8 8 É também muitas vezes conveniente considerar integrais em intervalos ilimitados: Definição 4 (Integral impróprio de tipo I): Chamamos integral impróprio de f : [a,+ [ R ao limite + a f(x)dx = lim y + y a f(x)dx se este limite existir. Caso contrário dizemos que o integral é divergente. De igual modo definimos b f(x)dx = lim z b z f(x)dx se o limite existir. Podemos também definir integral impróprio de f em R separando o integral em dois: + c + f(x)dx = f(x)dx+ f(x)dx para qualquer constante c. c Exemplo 9. Seja f(x) = / x. Então + dx x = lim y + + portanto o integral é divergente. dx [ ] y = lim x x y + = lim ( y ) = + y + Exemplo 0. Seja f(x) = /x. f é contínua em ]0,] e + ï dx x = lim ò y = lim Å y ã y + x + = y + Portanto o integral impróprio de f entre e + é igual a. Exemplo x dx = +x dx+ = lim z 0 z + 0 +x dx dx+ lim +x y + y 0 +x dx = lim z [arctanx]0 z + lim y + [arctanx]y 0 = lim ( arctanz)+ lim arctany z y + = π + π = π

9 Aula 7: Polinómios de Taylor 9 Aula 7: Polinómios de Taylor Como se pode calcular, com precisão arbitrariamente grande, os valores de funções como a exponencial, o logaritmo e as funções trigonométricas? Como calcular, por exemplo, a constante de Euler e = exp(), ou o clássico π, dado por 4arctan()? Passamos a explorar aqui a aproximação de funções por polinómios de um determinado tipo, ditos polinómios de Taylor, que permite responder a algumas destas questões. A teoria que vamos desenvolver generaliza o problema da determinação da recta tangente. Recorde que a recta tangente ao gráfico duma função diferenciável f num ponto (a,f(a)) tem por equação y = f(a)+f (a)(x a) que é o gráfico do polinómio de grau um T(x) = f(a) + f (a)(x a). A recta tangente é a recta que melhor aproxima o gráfico de f para x próximo de a. Consideremos agora a questão de encontrar a parábola P(x) que melhor aproxima f para x próximo de a. Certamente que a parábola deve passar por (a,f(a)) e ter declive igual ao de f em a mas há várias parábolas que satisfazem estas duas condições: Figura 8. Parábolas tangentes ao gráfico de f A parábola que melhor aproxima f é a que tem a mesma concavidade que f em a: P(a) = f(a): a parábola passa por (a,f(a)); P (a) = f (a): a parábola é tangente ao gráfico de f; P (a) = f (a): mesma concavidade Generalizando esta ideia chegamos à noção de polinómio de Taylor: Definição 5 (Polinómio de Taylor): Seja f uma função n vezes diferenciável em a R. Dizemos que um polinómio T(x) de grau menor ou igual a n é polinómio de Taylor de ordem n de f no ponto a se as derivadas até à ordem n de f e de T forem iguais em a: T(a) = f(a), T (a) = f (a), T (a) = f (a),..., T (n) (a) = f (n) (a)

10 0 Exemplo. Seja f(x) = cosx e tomemos o ponto x = 0. Para que um polinómio de grau T(x) = ax +bx+c seja polinómio de Taylor de f é necessário que as suas derivadas sejam iguais às de f. Como T (x) = ax+b T (x) = a f e (x) = senx f (x) = cosx obtemos T(0) = c = cos0 = T (0) = b = sen0 = 0 T (0) = a = cos0 = Concluimos que a =, b = 0 e c =. Portanto T(x) = x + é polinómio de Taylor de ordem de cosx em x = 0. Exemplo 3. Consideramosafunçãoexponencial, dadaporf(x) = e x, etomamos a = 0. Temos neste caso que f (n) (x) = e x e f (n) (0) = para qualquer n. Assim, para que T(x) = a 0 +a x+a x + +x n x n seja polinómio de Taylor de e x de ordem n é necessário que T (k) (0) = para k = 0,...,n. Começamos por escrever o polinómio na forma Derivando T(x) = b 0 +b x+b x +b 3 x 3 +b 4 x 4 + +b n x n Assim, T (x) = b +b x+3b 3 x +4b 4 x 3 + +nb n x n T (x) = b +3 b 3 x+4 3 b 4 x + +n(n )b n x n T (x) = 3 b b 4 x+ +n(n )(n )b n x n 3 T (4) (x) = 4 3 b 4 + +n(n )(n )(n 3)b n x n 4. T(0) = b 0, T (0) = b, T (0) = b, T (0) = 3! b 3, T (4) (0) = 4! b 4 e em geral T (k) (0) = k! b k =. Assim, b k = k! pelo que T(x) = +x+ x + x3 xn + + 3! n! é polinómio de Taylor de e x em x = 0. Em particular: A recta tangente ao gráfico em a = 0 tem equação y = f(0)+f (0)x = +x, e é o gráfico do polinómio T (x) = +x. O polinómio T (x) = +x+ x coincide com f no ponto x = 0 até à derivada de ordem e é portanto polinómio de Taylor de ordem de f.

11 Aula 7: Polinómios de Taylor None Figura 9. Aproximação de f(x) = e x por p(x) = +x+ x. O exemplo 3 mostra como podemos calcular os coeficientes do polinómio de Taylor duma função. No caso geral temos Teorema 6: O polinómio de Taylor de ordem n de f em x = a é único e é dado por T n (x) = f(a)+f (a)(x a)+ f (a)! n f (k) (a) = (x a) k k! k=0 (x a) + f (a) 3! (x a) f(n) (a) (x a) n n! Observação: Adoptamos aqui a convenção que, para k = 0, (x a) 0 = mesmo quando x = a. Antes de passarmos à demonstração convém observar o seguinte: Como as derivadas até à ordem n de f e T são iguais, f (x) e T (x) têm também as mesmas derivadas em a até à ordem n. Portanto T é polinómio de Taylor de ordem n de f. Demonstração. A demonstração é por indução em n. Para n = 0, T 0 (x) tem grau zero logo é uma constante igual a f(a) pois T 0 (a) = f(a). Assumimos por hipótese que o resultado é válido para n. Primeiro vamos ver que T(x) = f(a)+f (a)(x a)+ f (a) (x a) + + f(n) (a) (x a) n n! é polinómio de Taylor de f. Claramente T(a) = f(a). Derivando, T (x) = f (a)+f (a)(x a)+ + f(n) (a) (n )! (x a)n que, por hipótese de indução, é precisamente o polinómio de Taylor de ordem n de f (x). Assim, as derivadas até à ordem n de T e de f coincidem em x = a. Portanto T é polinómio de Taylor de f. Vamos ver agora que T é o único polinómio de Taylor de f. Seja P(x) = b 0 +b (x a)+b (x a) + +b n (x a) n

12 Se P é polinómio de Taylor de f de ordem n então P é polinómio de Taylor de f. Derivando e usando a hipótese de indução temos T (x) = b +b (x a)+ +nb n (x a) n = f (a)+f (a)(x a)+ + f(n) (a) (n )! (x a)n de onde tiramos de imediato que b k = f (k) (a)/k! para k =,...,n. Como P(a) = f(a) temos também b 0 = f(a) e portanto P(x) = T(x) o que termina a demonstração. Exemplo 4. Tomemos f(x) = senx e a = π 6. Então f ( ( π 6) = sen π ) 6 =, f ( ( π 6) = cos π 6 Assim, T (x) = f ( π 6 = + 3 ) +f ( )( ) π x π + 6 ( x π 6 ) = 3, f( π 6) = sen ( π 6 ) 4 6 f( π 6 )( ) x π 6 ) =, ( x π 6) T T T 0 Π Π Π 6 Π Π 3Π senx Figura 0. Polinómios de Taylor de ordens 0, e de senx em x = π 6 Os próximos três exemplos são extremamente importantes! Exemplo 5. (Exponencial) Seja a = 0, f(x) = e x. Então f (k) (0) = e 0 = logo T n (x) = f(0)+f (0)x+ f (0)! = +x+ x + x3 3! n x k = k! k=0 x + f (0) 3! + + xn n! Exemplo 6. (Seno) Seja a = 0, f(x) = senx. Então x f(n) (0) x n n! f (x) = cosx, f (x) = senx, f (x) = cosx, f (4) (x) = senx,... logo as derivadas de f em x = 0 são sucessivamente f(0) = 0, f (0) =, f (0) = 0, f (0) =, f (4) (0) = 0, f (5) (0) =,...

13 Aula 7: Polinómios de Taylor 3 Assim, T (x) = T (x) = x T 3 (x) = T 4 (x) = x x3 3! T 5 (x) = T 6 (x) = x x3 3! + x5 5! T n+ (x) = T n+ (x) = x x3 3! + x5 5! x7 xn ! (n+)! n = ( ) k x k+ (k +)! k=0 Repare que os polinómios de Taylor do seno têm apenas potências ímpares de x. De facto todas as funções ímpares têm esta propriedade. Exemplo 7. (Coseno) Seja a = 0, f(x) = cosx. Então verificamos facilmente que Assim, f(0) =, f (0) = 0, f (0) =, f (0) = 0, f (4) (0) =,... T n (x) = T n+ (x) = x + x4 4! x6 xn + + 6! (n)! n = ( ) k xk (k)! k=0 O coseno é uma função par, o que se reflecte no facto dos seus polinómios de Taylor só terem potências pares de x. 4. A fórmula de Lagrange para o erro. Vamos agora analizar o erro cometido na aproximação f(x) T n (x). Para n = 0 o teorema de Lagrange diz-nos que f(x) f(a) = f (c)(x a) com c entre a e x. Um resultado semelhante é válido para qualquer n: Teorema 7 (Fórmula de Lagrange para o erro): Seja f uma função n + vezes diferenciável e seja T n o polinómio de Taylor de f de ordem n em x = a. Então para qualquer x existe um ponto c entre a e x tal que f(x) T n (x) = f(n+) (c) (n+)! (x a)n+ Observação: O termo f(n+) (c) (n+)! (x a) n+ é por vezes chamado de resto de Lagrange. Não usaremos esta expressão para não criar confusão com o chamado resto duma série, que estudaremos nas próximas secções.

14 4 Demonstração. Vamos mostrar por indução em n que existe um c entre x e a tal que f(x) T n (x) (x a) n+ = f(n+) (c) (n+)! Para n = 0 isto é o teorema de Lagrange. Assumimos portanto que a fórmula é válida para n e vamos demonstrá-la para n. Vamos aplicar o teorema de Cauchy às funções F(x) = f(x) T n (x) e G(x) = (x a) n+ O teorema de Cauchy diz-nos que existe um y entre a e x tal que F(x) F(a) G(x) G(a) = F (y) G (y) Atendendo a que F(a) = G(a) = 0 obtemos (i) f(x) T n (x) (x a) n+ = f (y) T n(y) (n+)(y a) n Como T n(y) é o polinómio de Taylor de ordem n de f, por hipótese de indução existe um c entre a e y (e portanto entre a e x) tal que (ii) f (y) T n(y) n+ (y a) n = (f ) (n) (c) = f(n+) (c) n+ n! (n+)! Agora basta substituir o resultado de (ii) em (i). A fórmula de Lagrange permite-nos estimar o erro f(x) T n (x) cometido na aproximação f(x) T n (x). Permite-nos também estudar o sinal da diferença f(x) T n (x) estudando o sinal de f (n+) (c) e de (x a) n+. Exemplo 8. Vamos calcular aproximadamente e. Para tal usamos o polinómio de Taylor de ordem 4 de e x em a = 0 que já vimos ser Então, tomando x =, T 3 (x) = +x+ x + x3 3! + x4 4! e +( )+ ( ) + ( )3 + ( )4 = 3 3! 4! 8 = Vamos agora estimar o erro cometido. A fórmula de Lagrange diz-nos que Como f (5) (c) = e c, e x T 4 (x) = f(5) (c) x 5 com c entre 0 e x 5! e = ec 5! ( )5 = ec 0 com < c < 0 Como e c > 0 vemos de imediato que a diferença é negativa logo e < Para estimar o erro cometido tomamos módulos: e = e c 0

15 Aula 7: Polinómios de Taylor 5 Não sabemos o valor de e c mas sabemos que c ],0[ o que nos permite majorar o erro. Como a exponencial é crescente, e < e c < e 0 = logo e e c = 0 < 0 < 00 = 0.0 Assim, o erro é inferior a 0.0. Como sabemos também que e < 0.375, concluimos que < e < logo < e < Como e = /e, obtemos também uma estimativa para o valor de e: < e < ou, arredondando,.66 < e <.74 Exemplo 9. Seja f(x) = sen x, a = 0. Queremos calcular aproximadamente sen0.. Para tal vamos usar o polinómio de Taylor de ordem 4 na origem, que já vimos ser T 4 (x) = x x3 6 Então, tomando x = 0. obtemos sen = Para estimar o erro cometido notamos que f (5) (c) = cosc. A fórmula de Lagrange diz-nos que sen = cosc 0. 5 = cosc 5! com 0 < c < 0. Como o coseno é positivo no intervalo ]0, 0.[, a diferença é positiva logo sen0. > Para estimar o erro tomamos módulos: sen = cosc Não sabemos o valor de cosc mas sabemos que c ]0, 0.[. O coseno é decrescente neste intervalo logo cosc < cos0 =. Assim, sen = cosc < < = 0 7 Assim, oerroéinferiora0 7. Comosabemostambémquesen0. > concluimos que Arredondando obtemos < sen0. < < sen 0. <

16 6 Aula 8: Polinómios de Taylor Continuamos com alguns exemplosde aplicação da fórmula de Lagrange para o erro: Exemplo 0. Vamos usar o polinómio de Taylor de ordem um de x para aproximar 50 e 80. Para calcular 50 tomamos a = 49. Como f (x) = /( x) temos x f(a)+f (a)(x a) = a+ a (x a) = 7+ 4 (x 49) Tomando x = 50, (50 49) = 7+ 4 = Para estimarmos o erro cometido começamos por calcular f (c) = 4 c 3/. Então f (c) = (50 49) = 8 com 49 < c < 50 c 3 Como c > 0, c 3 > 0 logo a diferença é negativa e assim 50 < Para estimar o erro notamos que c 3 é crescente logo / c 3 é decrescente pelo que atinge o seu valor máximo para c = 49. Assim, = 8 c 3 < = = 744 < 000 = Assim, o erro é inferior a Como sabemos também que 50 < concluimos que < 50 < logo < 50 < Vamos agora aproximar 80. Para tal tomamos a = 8: (80 8) = = O erro é dado por f (c) = (80 8) = 8 com 80 < c < 8 c 3 Tal como antes, a diferença é negativa logo 80 < Para estimar o erro observamos que / c 3 atinge o seu valor máximo para c = 80 logo < Não sabemos calcular 80 3 mas notamos que < = 8 4 = 4096 < 4000 =

17 Aula 8: Polinómios de Taylor 7 Assim, o erro é inferior a Sabemos também que 80 < logo < 80 < e assim < 80 < Exemplo. Seja f(x) = senx, a = 0. Já vimos que o polinómio de Taylor de ordem 4 de f na origem é T 4 (x) = x x3 6 Vamosestudarosinaldef(x) T n (x). Comof (5) (x) = cosx, afórmuladelagrange diz-nos que ã senx Åx x3 = f(5) (c) (x 0) 5 = cos(c) 6 5! 0 x5 Se x [ π, ] π, como c está entre 0 e x, cos(c) 0. Assim, o sinal de cos(c) 0 x5 é dado por x 5 pelo que concluimos que Se x > 0, senx T 4 (x) > 0, ou seja, senx > x x3 6 Se x < 0, senx T 4 (x) < 0, ou seja, senx < x x3 6 Π Π Π Π Figura. Polinómio de Taylor de ordem 3 de senx Não se deve concluir dos resultados anteriores que os polinómios de Taylor podem sempre ser utilizados para aproximar uma dada função, mesmo supondo que f é de classe C. É importante ter presente o seguinte facto: Teorema 8: Seja f o prolongamento por continuidade a x = 0 da função e /x : e /x x 0 f(x) = 0 x = 0 Então f é uma função de classe C e todas as derivadas de f são nulas em x = 0: f (k) (0) = 0 para qualquer k. Portanto todos os polinómios de Taylor de f são zero.

18 8 Demonstração. Começamos por observar que f f(x) f(0) (0) = lim = lim x 0 x 0 Vamos calcular f (k) (0) para k >. Para k =, x 0 e x x = 0 f f (x) f (0) f (x) (0) = lim = lim x 0 x 0 x 0 x Temos pois que calcular f (x) para x 0: f (x) = e /x /x 3. Substituindo obtemos f (0) = lim x 0 x 4e x = lim u + u e u = 0 onde se fez a substituição u = /x. Para ver o caso geral observamos primeiro que, para x 0, f (k) (x) = P k(x) e /x x3k em que P k (x) é um polinómio. A demonstração, por indução, fica a cargo do leitor. Assim, f (k+) (0) é o limite e /x x 0 x 3k+ f (k+) f (k) (x) 0 (0) = lim = lim P k (x) lim x 0 x x 0 Para mostrar que este limite é zero basta observar que e /x lim x 0 x 3k+ = lim u 3k+ e u = 0 (u = /x ) u + o que termina a demonstração. Intuitivamente, a função e /x aproxima-se muito depressa de zero para x próximo dezero. Porexemplo, parax = 0.0temose /0.0 = /e 0000 < / Usando a aproximação 0 0 3, este número é da ordem de Figura. Função e /x em três ampliações 5. Classificação de pontos críticos Recorde que a diz-se um ponto crítico de f se f (a) = 0. a diz-se um mínimo local de f se f(a) for o valor mínimo de f numa vizinhança de a. Analogamente, a diz-se um máximo local de f se f(x) f(a) numa vizinhança de a. Já vimos que para classificar um ponto crítico como máximo local ou mínimo local podemos estudar a concavidade de f ao pé de a, dada pelo sinal da segunda derivada f (a). A fórmula de Lagrange para o erro permite-nos generalizar este resultado.

19 Aula 8: Polinómios de Taylor 9 Vamos supor que f (n) (a) é a primeira derivada de f diferente de zero, ou seja, f (a) = f (a) = f (a) = = f (n ) (a) = 0 e f (n) (a) 0. O polinómio de Taylor de ordem n de f é então T n (x) = f(a)+ f(n) (a) (x a) n n! Para n par, T n (x) possui um máximo ou um mínimo local em a, dependendo do sinal de f (n) (a). f (n) (a) > 0 f (n) (a) < 0 Figura 3. Função f(a)+ f(n) (a) n! (x a) n para n par Para n ímpar T n (x) não tem nem máximo nem mínimo locais. f (n) (a) > 0 f (n) (a) < 0 Figura 4. Função f(a)+ f(n) (a) n! (x a) n para n ímpar T n é uma boa aproximação de f para x a portanto é natural esperar que Teorema 9: Suponha-se que f é uma função n vezes diferenciável com derivada f (n) (x) contínua num intervalo aberto I =]b,c[. Seja a I um ponto crítico de f tal que f (a) = f (a) = f (a) = = f (n ) (a) = 0 Então () Se n é par e f (n) (a) > 0, então f tem um máximo local em x = a; () Se n é par e f (n) (a) < 0, então f tem um mínimo local em x = a; (3) Se n é ímpar e f (n) (a) 0, então f não tem nem um máximo local nem um mínimo local em x = a.

20 0 Demonstração. Vamos apenas provar () deixando () e (3) como exercícios. O polinómio de Taylor de f de ordem n é constante: T n (x) = f(a). A fórmula de Lagrange diz-nos que f(x) T n (x) = f(x) f(a) = f(n) (c) (x a) n n! para algum c entre a e x. Como n é par, (x a) n 0. Como f (n) (a) > 0 e f (n) é contínua, f (n) não pode mudar subitamente de sinal, ou seja, f (n) (x) > 0 numa vizinhança ]a ε,a + ε[ de a. Para x ]a ε,a + ε[, como c está entre a e x, c ]a ε,a+ε[ logo f (n) (c) > 0. Assim f(x) f(a) = f(n) (c) (x a) n 0 para x V ε (a) n! portanto a é um mínimo local de f. Exemplo. Seja f(x) = cosx+coshx. Então as derivadas de f em x = 0 são f (x) = senx+senhx f (0) = 0 f (x) = cosx+coshx f (0) = 0 f (x) = senx+senhx f (0) = 0 f (4) (x) = cosx+coshx f (4) (0) = > 0 logo f possui um mínimo local em x =. Exemplo 3. Voltemos à função do teorema 8: e x f(x) =, se x 0 0, se x = 0, Note que a função tem um mínimo absoluto em x = 0, mas que esse facto não pode ser detectado com recurso ao teorema 9 pois todas as derivadas de f são zero em x = Figura 5. Gráfico de f(x) = e /x. 6. Optimização Uma das aplicações mais relevantes do cálculo é a determinação de extremos de uma função dada. Exemplos incluem minimizar o custo ou maximizar o lucro duma certa operação.

21 Aula 8: Polinómios de Taylor Exemplo 4. A função f(x) = (x ) nunca toma valores negativos. Como f() = 0, f() é o valor mínimo de f. O teorema de Fermat, que nos diz que um ponto de extremo é necessariamente um ponto crítico o que nos permite determinar os valores máximo e mínimo duma função f definida num intervalo [a,b]: Se f : [a,b] R tiver um extremo num ponto x = c então uma das seguintes alternativas é necessariamente verdade: () f (c) = 0, ou () f (c) não existe, ou (3) c = a ou c = b. Exemplo 5. Seja f : [,] R a função f(x) = x 3 x. () Começamos por determinar os zeros da derivada de f: f (x) = 3x = 0 x = ± 3 Ambos os pontos pertencem ao intervalo [,]. Nestes pontos f toma os valores f( 3 ) = 3 e f( 3 3 ) = 3 3 () Não existe nenhum ponto em que f não seja diferenciável. (3) Nos extremos do intervalo f toma os valores f( ) = 0 e f() = 6. O teorema de Weierstrass garante a existência dos valores máximo e mínimo de f, que têm que ser atingidos nos pontos, / 3, / 3 ou. Comparando os valores de f nesses pontos concluimos que o valor máximo de f é f() = 6 e o seu valor mínimo é f(/ 3) = /(3 3). Exemplo 6. A distância à origem é dada pela função f(x) = x. É claro geometricamente que os valores máximo e mínimo e f no intervalo [,] são f( ) = e f(0) = 0 respectivamente. Assim, o mínimo ocorre na origem (onde f não é diferenciável) e o máximo ocorre num dos extremos do intervalo, x =. Repare que a derivada de f não se anula em nenhum ponto. Exemplo 7. Qualquer função crescente em I = [a,b] vai ter o seu valor máximo em I em x = b e o seu valor mínimo em x = a. Exemplo 8. Vamos supor que queremos delimitar uma região rectangular com arame farpado e temos 400 metros de arame. Quais as dimensões do rectângulo que maximizam a área?

22 Para resolver este problema começamos por escrever a fórmula da área dum rectângulo: A = x y em que x e y são a base e a altura do rectângulo. O comprimento do arame dá-nos o perímetro do rectângulo: x+y = 400 Podemos usar esta equação para eliminar uma das variáveis. Por exemplo, y = 00 x. Substituindo na fórmula da área obtemos A = x(00 x) Como x,y 0, deduz-se facilmente que 0 x 00. Portanto o nosso problema reduz-se a maximizar a função A(x) = x(00 x) no intervalo [0,00]. Primeiro calculamos os zeros da derivada: A (x) = 00 x = 0 x = 00 Portanto o máximo pode ocorrer em x = 00 ou nos extremos do intervalo x = 0, 00. Comparando os valores A(0) = 0, A(00) = 0000m, A(00) = 0 vemos que o máximo é atingido para x = 00. As dimensões do rectângulo são portanto x = 00m e y = 00 x = 00m Portanto para maximizar a área devemos construir um quadrado. 7. O limite quando n Vimos que para x a uma função pode ser aproximada pelo seu polinómio de Taylor de ordem n, T n (x): f(x) f(a)+f (a)(x a)+ f (a) (x a) f(n) (a) (x a) n n! n f (k) (a) = (x a) k k! k= e que, em geral, esta aproximação é tanto melhor quanto maior for o valor de n. Se f tiver derivadas de todas as ordens podemos estudar o limite quando n +. Teorema 0: Se existir uma constante M independente de n tal que f (n+) (t) M para qualquer t entre a e x então n f(x) = lim T f (k) (a) n(x) = lim (x a) k n + n + k! k= Demonstração. Bastamostrarqueparacadaxasucessão f(x) T n (x) converge para zero. Como f (n+) (t) M, f(x) Tn (x) f (n+) (c) M x a n+ = (n+)! (x a)n+ (n+)!

23 Aula 8: Polinómios de Taylor 3 Como x a n+ (n+)! 0, pelo teorema dos limites enquadrados f(x) T n (x) 0 logo T n (x) f(x). Alguns exemplos extremamente importantes: Exemplo 9. Seja a = 0, f(x) = senx. Então cosx n par f (n) (x) = senx n ímpar logo f (n) (x). Portanto senx = lim n + T n(x) = x x3 3! + x5 5! x7 7! + Exemplo 30. Seja a = 0, f(x) = cosx. Então f (n) (x). Portanto cosx = lim n + T n(x) = x! + x4 4! x6 6! + Exemplo 3. Seja a = 0, f(x) = e x. Então f (n) (x) = e x. Dado um t entre 0 e x, t < x logo f (n) (t) = e t < e x. Podemos pois tomar M = e x. Assim, e x = lim n + T n(x) = +x+ x! + x3 3! + x4 4! + É costume representar este tipo de limite por n a k = lim k=0 a k n k=0 Podemos reescrever os três exemplo acima como senx = ( ) k x k+ (k +)! k=0 cosx = ( ) k xk (k)! k=0 e x x k = k! k=0 A somas com um número infinito de parcelas chamamos séries. Iniciaremos o estudo das séries na próxima secção. Observação: Seja f o prolongamento por continuidade de e /x a x = 0. Então T n (x) = 0 para todo o n logo limt n (x) = 0 f(x). Portanto nem sempre uma função é igual ao limite dos seus polinómios de Taylor.

24 4 Aula 9: Séries 8. Definições e primeiras propriedades Na última aula vimos que senx = x x3 3! + x5 5! x7 7! + cosx = x! + x4 4! x6 6! + e x = +x+ x! + x3 3! + x4 4! + Em particular, tomando x = obtemos uma fórmula para e como uma soma com um número infinito de parcelas: e = ++! + 3! + 4! + Vamos agora estudar mais de perto este tipo de somas com um número infinito de parcelas, às quais chamamos séries. Vamos primeiro ver mais alguns exemplos. Exemplo 3. A representação de números reais por dízimas infinitas pode ser vista como uma soma infinita. Assim, por exemplo, 3/ = = = /0+7/0 +/0 3 +7/0 4 +/0 5 +7/0 6 + Exemplo 33. Começamos por observar que = + = = = No século V antes de Cristo, o filósofo grego Zenão apresentou esta observação como um paradoxo. Observemos a figura: / /4 /8 /6 0 Figura 6. = Se um corredor se deslocar do ponto A = 0 para o ponto B =, antes de chegar ao destino primeiro tem que percorrer metade da distância, chegando ao ponto /. Tem então que percorrer metade da distância que falta, chegando ao ponto /+/4, e de novo necessita de percorrer metade da distância que ainda falta, chegando ao ponto /+/4+/8.

25 Aula 9: Séries 5 Este processo continua indefinidamente, pelo que o corredor nunca chega ao ponto B. Matematicamente, este paradoxo involve a soma infinita () n + Vimos que as funções e x, senx e cosx podem ser escritas como uma soma infinita, interpretando essa soma como o limite quando n tende para infinito dos polinómios de Taylor de ordem n. Analogamente, vamos interpretar uma soma com um número infinito de parcelas como um limite de somas finitas, as chamadas somas parciais da série. Para o caso da série de Zenão temos S = S = + 4 = 4 S 3 = = 8 e em geral () S n = n k= S 4 = = 6 k = n = n As somas parciais da série formam uma sucessão (S n ) e a soma da série é então definida como o limite da sucessão das somas parciais lim S n. A notação que já n usámos para representar somatórios adapta-se facilmente à representação de séries. Escrevemos: k= k = lim S n = lim n n k=0 n k= Å k = lim ã n n = Exemplo 34. Tal como já referimos, as somas parciais da série e x x k x = = +x+ k! + x3 3! + são os polinómios de Taylor de e x : T n (x) = +x+ x xn + + n! A soma da série é o limite das somas parciais: e x = lim n T n(x) Definição (Soma de uma série, série convergente): Chamamos série a uma expressão da forma a +a +a 3 + +a n +

26 6 que representamos por a k. Dizemos que uma série a k é convergente se a sucessão das somas parciais n S n = a k = a +a + +a n k= tem limite S R. Dizemos neste caso que a série tem soma S, e escrevemos a k = S. k= Caso contrário, a série diz-se divergente. Exemplo 35. A série /k! é convergente com soma k! = e k=0 Exemplo 36. AsériedeZenão / k (k )éconvergenteetemsoma, porque Å S n = ã n, quando n + Exemplo 37. A série de termo geral constante a k = é divergente, porque n S n = = n. k= Exemplo 38. A série ( ) k (k ) é divergente, porque ß, se n é ímpar, e S n = 0, se n é par Por vezes é possível manipular as somas parciais duma série de modo a obter uma soma telescópica: Exemplo 39. Vamos estudar a série k +k Começamos por decompor k +k portanto k em fracções simples: x +x = x(x+) = A x + B x+ = A(x+)+Bx Pondo x = 0 obtemos A = e pondo x = obtemos B =. Assim, x +x = x x+

27 Aula 9: Séries 7 e portanto as somas parciais são somas telescópicas n n S n = k +k = Å k ã = k + k= k= n k= Recordemos como se pode calcular uma soma telescópica: S n = n k= n k k + = n k= 3 n n+ = n+ n k k + k= Assim k= Å k +k = lim S n = lim ã = n n n+ 9. Séries geométricas A série de Zenão / k é apenas um caso particular do que chamamos uma série geométrica. Recorde que uma sucessão a k diz-se uma progressão geométrica de razão r se cada termo for obtido do anterior por multiplicação por r: a k+ = r a k Éentãofácildeverquea k = r k aemqueaéoprimeirotermodasérie. Recordemos aqui a fórmula da soma duma progressão geométrica de razão r: n S n = a 0 r k r n+ = a 0 (r ) r k=0 e S n = (n+) a 0 para r =. Tomando o limite quando n chegamos ao Teorema : A série geométrica ar k (com a 0) converge se e só se r <, tendo por soma ar k = a r k=0 (repare que a é o primeiro termo da série e r é a razão). Demonstração. Se r =, S n = (n+)a diverge. Supomos portanto que r. Então a sucessão das somas parciais é S n = a+ar +ar + +ar n = a rn+ r Esta sucessão diverge para r e converge para r < tendo por limite a rn+ lim S n = lim = a n n r r

28 8 Exemplo 40. Vamos ver que 3 k 5 k (k 0) é uma série geométrica. Podemos reescrever a série na forma 3 k 5 k = (3 ) k 5 5 k = 5 9 k 5 k = 5 Å 9 5 Assim trata-se duma série geométrica de razão 9 5 ã k > pelo que a série é divergente. Exemplo 4. A representação de números reais por dízimas infinitas é um exemplo de série. No caso de uma dízima infinita periódica, trata-se de facto duma série geométrica. Considere-se como exemplo x = Note-se que x = = = 3 0 3k A série acima é claramente a série geométrica de razão r = /0 3 pelo que k = 000 k= 000 = = k= 0. Propriedades das séries Usamos muitas vezes a expressão natureza (de uma série) para nos referirmos à sua propriedade de ser convergente ou divergente. Quando estudamos uma dada série, é frequentemente possível determinar a sua natureza sem calcular explicitamente a sua soma. O próximo resultado permite identificar com facilidade muitos exemplos de séries divergentes. Teorema 3: Se a série a k converge então a k 0 quando k ; Portanto, se a k 0, a série a k diverge; Mas atenção que, se a k 0, nada podemos concluir: a k pode convergir ou divergir. Demonstração. ConsideramosassomasparciaisS n = Como a n = S n S n, é claro que a n S S = 0. Exemplo 4. n k= () A série k k+ é divergente, porque k k+ + = 0. () A série k k+3 é divergente, porque a k = k k+3 0. a k,esejas = lim n S n. (3) A série ( ) k k é divergente, porque a k = ( ) k k não tem limite.

29 Aula 9: Séries 9 Uma série a k pode satisfazer a condição a k 0, e mesmo assim ser divergente. O próximo exemplo é uma clássica ilustração deste facto, e será repetidamente referido no que se segue. Exemplo 43. A série harmónica é a série k (k ). É óbvio que o seu termo geral satisfaz a k = k 0, mas a série é na realidade divergente. Para compreender porquê examinemos a soma parcial com n = 3: S 3 = }{{} = } {{ } =4 8 = } {{ } =8 6 = }{{} =6 3 = Assim S = + 5 e em geral é fácil reconhecer que S n + n pelo que a série é divergente. A partir das propriedades dos limites e dos somatórios deduzimos facilmente que Teorema 4: Sejam a k e b k séries convergentes e c R. Então, as séries (ak ±b k ) e (ca k ) são também convergentes e (a k ±b k ) = a k ± b k, k= k= k= (c a k ) = c a k. Exemplo 44. Consideramos a série Å k +k + ã k Então Já vimos que k= k +k = k= é uma série geométrica cuja soma é. k Assim, k= k= Å k +k + ã k = k= k= (k ) k +k + k = + = Observação: Se a k for convergente e b k for divergente, então a série (a k + b k ) é divergente pois, se (a k +b k ) fosse convergente, então bk = (a k +b k ) a k teria de ser também convergente. Assim: k= convergente + convergente = convergente convergente + divergente = divergente

30 30 No entanto a soma de duas séries divergentes pode ser ou não ser divergente. Exemplo 45. A série ( com uma convergente. k + ) é divergente pois é a soma duma série divergente k Exemplo 46. A série Ä k k+ä é convergente embora seja a soma de duas séries divergentes. Terminamos esta secção com a seguinte observação importante: A convergência duma série não depende dum número finito de termos da série. Por outras palavras: Teorema 5: Para quaisquer i,j N, as séries a k = a i +a i+ + e a k = a j +a j+ + k=i têm a mesma natureza. k=j Demonstração. Podemos assumir que i < j. Então as somas parciais da primeira e da segunda série S n = a i + +a n estão relacionadas por T n = a j + +a n a i + +a n }{{} S n = (a i + +a j )+a j + +a n }{{} T n ou seja, S n = a+t n em que a = a i + +a j não depende de n. O resultado do teorema é agora uma consequência imediata de teoremas sobre limites de sucessões.