Cálculo Integral, Sequências e Séries

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1 Cálculo Integral, Sequências e Séries por PAULO XAVIER PAMPLONA UFCG-UACTA 5

2 Conteúdo Integral 4. Definição de Integral Integral Indefinida O Teorema Fundamental do Cálculo Propriedades da Integral Fórmula de Mudança de Variáveis ou Integração por Substituição Integração por Partes Integração de Expressões Envolvendo Potências de Senos e Cossenos Integração de Expressões com Potências de Tangente e Secante Integral de Funções Racionais Integração de Funções Racionais por Divisão de Polinômios Decomposição em Frações Parciais: Fatores Lineares Decomposição em Frações Parciais: Fatores Quadráticos Integração por Substituições Trigonométricas Outras Substituições Derivada de Expressões Integrais Aplicações da Integral Definida 34. Área entre Gráficos de Funções Volumes de Sólidos de Revolução O Método dos Discos Circulares O Método dos Anéis Circulares O Método da Casca Comprimento de Arco Área de Superfície Força, Trabalho e Centro de Massa Leis de Crescimento e Decaimento Crescimento Limitado Crescimento Logístico Juros Compostos Continuamente Integração Numérica

3 .. Regra do Trapézio Regra de Simpson Fórmula Prismoidal Exercícios Integrais Impróprias Integrais com Extremos de Integração Infinito Integrais com Descontinuidade nos Extremos de Integração Critério para determinar quando uma integral imprópria é convergente Sequências e Séries Numéricas Sequências Definições Sequências Monótonas e Limitadas Subsequências Sequências de Cauchy Séries Definição e Convergência Série Geométrica Critérios de Convergência de Séries Problemas envolvendo sequências e séries Séries de Potências 6 5. Definição e Convergência Derivação de Séries de Potências Integração de Séries de Potências Séries de Taylor e de Maclaurim Aplicações dos Polinômios de Taylor Série Binomial Séries de Potências como Soluções de Equações Diferenciais

4 Capítulo Integral. Definição de Integral. Integral Indefinida Chamamos de integral indefinida de uma função f na variável x a integral sem os limites de integração que representamos por f(x)dx. Para calcular uma integral indefinida, devemos antes saber qual é a função primitiva de f ou a sua antiderivada. Definição.. Dizemos que F (x) é uma função primitiva de f(x) se Observações: F (x) = f(x).. Existem infinitas primitivas para uma função f. De fato, se F é uma primitiva para f, então F + C também é primitiva para f, onde C é uma constante arbitrária;. Se F e G são funções primitivas para f, então F (x) = G(x) + C, onde C é uma constante. De fato, d dx [F (x) G(x)] = F (x) G (x) = f(x) f(x) =. Como d [F (x) G(x)] =, segue que F (x) G(x) = C, ou seja, F (x) = G(x) + C. dx 3. Se F (x) é uma primitiva para f(x), então f(x)dx = F (x) + C. 4

5 4. Calcular uma integral indefinida de uma função f é o mesmo que determinar primitivas para f. Este processo é denominado antidiferenciação. Exemplo.. Calcule as integrais indefinidas: a) xdx Solução: Neste caso, devemos encontrar uma primitiva para a função f(x) = x. Notemos que, a função F (x) = x Logo b) x 3 dx é uma primitiva para f, pois F (x) = d dx (x ) = x = f(x). xdx = x + C. Solução: Uma primitiva para a função f(x) = x 3 é a função F (x) = x4, pois Logo F (x) = d dx (x4 ) = x3 = f(x). x 3 dx = x4 + C. c) e x dx Solução: Uma primitiva para a função f(x) = e x é a função F (x) = e x, pois F (x) = d dx (ex ) = e x = f(x). Logo e x dx = e x + C. d) a x dx, a >. Solução: Uma primitiva para a função f(x) = a x é a função F (x) = F (x) = d dx ( ax ln(a) ) = ax = f(x). ax ln(a), pois Logo a x dx = ax ln(a) + C. 5

6 e) x dx. Solução: Uma primitiva para a função f(x) = x F (x) = d dx (ln x ) = x = f(x). Logo dx = ln x + C. x é a função F (x) = ln x, pois f) sen(x)dx Solução: Uma primitiva para a função f(x) = sen(x) é a função F (x) = cos(x), pois Logo F (x) = d ( cos(x)) = sen(x) = f(x). dx sen(x)dx = cos(x) + C. g) cos(x)dx Solução: Uma primitiva para a função f(x) = cos(x) é a função F (x) = sen(x), pois Logo F (x) = d (sen(x)) = cos(x) = f(x). dx cos(x)dx = sen(x) + C. h) sec (x)dx Solução: Uma primitiva para a função f(x) = sec (x) é a função F (x) = tan(x), pois Logo F (x) = d dx (tan(x)) = sec (x) = f(x). sec (x)dx = tan(x) + C. i) csc (x)dx Solução: Uma primitiva para a função f(x) = csc (x) é a função F (x) = cot(x), pois Logo F (x) = d dx ( cot(x)) = csc (x) = f(x). csc (x)dx = cot(x) + C. 6

7 j) sec(x) tan(x)dx Solução: Uma primitiva para a função f(x) = sec(x) tan(x) é a função F (x) = sec(x), pois Logo F (x) = d (sec(x)) = sec(x) tan(x) = f(x). dx sec(x) tan(x)dx = sec(x) + C. k) csc(x) cot(x)dx Solução: Uma primitiva para a função f(x) = csc(x) cot(x) é a função F (x) = csc(x), pois F (x) = d ( csc(x)) = csc(x) cot(x) = f(x). dx Logo csc(x) cot(x)dx = csc(x) + C. l) + x dx Solução: Uma primitiva para a função f(x) = é a função F (x) = arctan(x), pois + x Logo De modo análogo, tem-se que onde a é um número real qualquer. m) a x dx n) x x a dx F (x) = d dx (arctan(x)) = + x = f(x). dx = arctan(x) + C. + x a + x dx = a arctan(x a ) + C,.3 O Teorema Fundamental do Cálculo Se F (x) é uma primitiva para f(x), então b a f(x)dx = F (b) F (a). 7

8 .4 Propriedades da Integral Teorema.4. Sejam f e g funções integráveis e K uma constante arbitrária, então: i) Kdx = Kx + C; ii) Kf(x)dx = K f(x)dx; iii) [f(x) ± g(x)]dx = f(x)dx ± g(x)dx; Observação: Do Teorema anterior, segue que se f, f,..., f n são funções integráveis e k, k,..., k n são constantes, então [k f (x) ± k f (x) ±... ± k n f n (x)]dx = k f (x)dx ± k f (x)dx ±... ± k n f n (x)dx. Teorema.4. Se n é um número real qualquer, então x n+ x n + C, se n ; dx = n + ln x + C, se n =. Exemplo.4. Calcule as integrais indefinidas. a) 3dx b) 6xdx c) 3x 5 dx d) 3x 4 dx e) x 3 dx f) 3 4 x 3 dx g) (x 4)dx h) (5x 5 4x 3 x 4x + )dx i) x dx x 3 j) x(x + )dx x.5 Fórmula de Mudança de Variáveis ou Integração por Substituição Teorema.5. Considere f : [a, b] R e g : [c, d] R tais que g([a, b]) [a, b] funções diferenciáveis. Então d f[g(x)]g (x)dx = g(d) c g(c) f(u)du, u = g(x). 8

9 Observação: A fórmula nos diz que num intervalo [a, b] qualquer, tem-se b f[g(x)]g (x)dx = g(b) a g(a) f(u)du, u = g(x). Exemplo.5. Calcule as integrais definidas: a) πxsen(πx )dx Solução: Seja g(x) = πx e f(x) = sen(x). Segue que g (x) = πxdx e sen(πx ) = sen(g(x)) = f(g(x)). Usando a fórmula de mudança de variáveis para a integral definida, temos g() πxsen(x )dx = f(g(x))g (x)dx = f(u)du, onde g() =, g() = π, u = g(x) = πx e du = g (x)dx = πxdx. Portanto, temos πxsen(x )dx = π ( sen(u)du = g() ) π cos(u) = cos(π) + cos() =. Observação: A fórmula de integração por substituição para a integral indefinida é dada por f[g(x)]g (x)dx = f(u)du, u = g(x). Sendo assim, mesmo que a integral seja definida, podemos determinar a integral indefinida e depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo à função primitiva encontrada. No que segue, veremos exemplos onde se aplica a fórmula de mudança de variáveis para determinar integrais indefinidas. Exemplo.5. Calcule as integrais indefinidas: a) xe x dx Solução: Fazendo a mudança de variável u = x, temos que du = xdx xdx = du. Logo, xe x dx = e x (xdx) = e u du = e u du = eu + C. Voltando para a variável x, temos xe x dx = ex + C. b) x sen(x 3 + )dx Solução: Fazendo a mudança de variável u = x 3 +, temos que du = 3x dx x dx = du 3. 9

10 Logo, x sen(x 3 +)dx = sen(x 3 +)(x dx) = 3 sen(u)du = 3 cos(u)+c = 3 cos(x3 +)+C. c) (3x + ) 8 dx Solução: Fazendo a mudança de variável u = 3x +, temos que du = 3dx dx = du 3. Logo, (3x + ) 8 dx = 3 u 8 du = 7 u9 + C = 7 (3x + )9 + C. d) x 4 x 5 + 5dx e) 3x x + 6 dx f) x + /3 e dx x3 +x g) e x + e dx x g) tan(x)dx h) cot(x)dx i) sec(x)dx j) csc(x)dx k) e x dx 4 + ex l) arctan(x) dx + x m) x e x dx n) x + x + dx o) x + xdx g) x 3 x 3x + dx t) sen(x)e sen (x) dx

11 Em resumo, temos as seguintes fórmulas básicas para integração:. Kdx = Kx + C (K = constante). Kf(x)dx = K f(x)dx(k = constante) 3. x n dx = xn+ + C (n ) n + 4. dx = ln x + C x 5. sen(x) dx = cos(x) + C 6. cos(x) dx = sen(x) + C 7. sec (x) dx = tan(x) + C 8. cossec (x) dx = cot(x) + C 9. sec(x) tan(x) dx = sec(x) + C. cossec(x) cot(x) dx = cossec(x) + C. tan(x) dx = ln cos(x) + C = ln sec(x) + C. cot(x) dx = ln sen(x) + C = ln cossec(x) + C 3. e x dx = e x + C 4. a x dx = ax + C ( < a ) ln a 5. senh(x) dx = cosh(x) + C 6. cosh(x) dx = senh(x) + C 7. dx = arcsen(x/a) + C a x 8. a + x dx = a arctan(x/a) + C 9. x x a dx = a arcsec x/a + C. dx = arcsenh(x/a) + C (a > ) a + x. dx = arccosh(x/a) + C (x > a > ). x a Exercício: Calcular as integrais: a) x 4 + x dx b) 3x h) cot(x) dx + x 3 dx c) 4(x 3 i) ln(x) dx + x) (x 4 + x ) dx x 7 d) x x + dx e) x x(x ) dx f) sen(3x) cos (3x) dx g) tan(x) dx j) 4x ( 8x 3 ) 4 dx k) xe 4 x dx l) 4x + x + x + dx m) cos(x) + sen(x)dx n) ln (3x) dx x o) cos( x) dx x p) tan(x) sec (x)dx q) 5 x4 +x (4x 3 + )dx r) e x e ex dx s) e x e x + dx t) sen(x)e sen (x) dx.6 Integração por Partes Sejam u = f(x) e v = g(x). A fórmula de integração por partes é dada por u dv = uv v du, onde du = f (x)dx e dv = g (x)dx. Geralmente, usamos a integração por partes para calcular integrais do tipo x n e mx dx, x n sen(mx)dx, x n cos(mx)dx, e nx sen(mx)dx, e nx cos(mx)dx.

12 Exemplo.6. Usando integração por partes, calcule as seguintes integrais indefinidas. a) xe x dx Solução: Sejam u = x e dv = e x dx. Segue que du = dx e v = e x. Logo xe x dx = udv = uv vdu = xe x e x dx = xe x e x + C = e x (x ) + C. b) x e x dx Solução: Sejam u = x e dv = e x dx. Segue que du = xdx e v = e x. Logo x e x dx = udv = uv vdu = x e x xe x dx. Como xe x dx = e x (x ) + C, segue que x e x dx = x e x [e x (x ) + C] = e x (x x + ) + C. c) x 3 e x dx Solução: Sejam u = x 3 e dv = e x dx. Segue que du = 3x dx e v = e x. Logo x 3 e x dx = udv = uv vdu = x 3 e x 3x e x dx. Como x e x dx = e x (x x + ) + C, segue que x e x dx = x 3 e x 3[e x (x x + ) + C] = e x (x 3 3x + 6x 6) + C. d) xsen(x)dx Solução: Sejam u = x e dv = sen(x)dx. Segue que du = dx e v = cos(x). Logo xsen(x)dx = udv = uv vdu = x( cos(x))+ cos(x)dx = x cos(x)+sen(x)+c. e) x cos(x)dx Solução: Sejam u = x e dv = cos(x)dx. Segue que du = dx e v = sen(x). Logo x cos(x)dx = xsen(x) sen(x)dx = xsen(x) + cos(x) + C. f) x sen(x)dx Solução: Sejam u = x e dv = sen(x)dx. Segue que du = xdx e v = cos(x). Logo x sen(x)dx = udv = x [ cos(x)] + x cos(x)dx. Como x cos(x)dx = xsen(x) + cos(x) + C, segue que x sen(x)dx = x cos(x)+[xsen(x)+cos(x)+c] = x cos(x)+xsen(x)+ cos(x)+c.

13 g) x cos(x)dx Solução: Sejam u = x e dv = cos(x)dx. Segue que du = xdx e v = sen(x). Logo x cos(x)dx = udv = x sen(x) xsen(x)dx. Como xsen(x)dx = x cos(x) + sen(x) + C, segue que x cos(x)dx = x sen(x) [ x cos(x)+sen(x)+c] = x sen(x)+x cos(x) sen(x) +C. h) xsen(x)dx Solução: Sejam u = x e dv = sen(x)dx. Segue que du = dx e v = cos(x). Logo xsen(x)dx = x[ cos(x)] + cos(x)dx = x cos(x) + sen(x) + C. 4 i) x cos(x)dx Solução: Sejam u = x e dv = cos(x)dx. Segue que du = dx e v = sen(x). Logo x cos(x)dx = xsen(x) sen(x)dx = xsen(x) + cos(x) + C. 4 j) x cos (x)dx Solução: Usando que cos (x) = [ + cos(x)], segue que x cos (x)dx = x[+cos(x)]dx = [x+x cos(x)]dx = xdx+ x cos(x)dx = ( x ) + ( xsen(x) + ) 4 cos(x) + C = 4 x + 4 xsen(x) + cos(x) + C. 8 k) e x sen(x)dx Solução: Sejam u = e x e dv = sen(x)dx. Segue que du = e x dx e v = cos(x). Logo e x sen(x)dx = e x cos(x) + e x cos(x)dx. (.) Agora precisamos determinar a integral e x cos(x)dx. Sejam u = e x e dv = cos(x)dx. Segue que du = e x dx e v = sen(x). Logo e x cos(x)dx = e x sen(x) e x sen(x)dx. (.) Substituindo (.) em (.), segue que e x sen(x)dx = e x cos(x)+[e x sen(x) e x sen(x)dx] = e x cos(x)+e x sen(x) e x sen(x)dx. 3

14 Donde, e x sen(x)dx = e x cos(x) + e x sen(x) + C Logo, e x sen(x)dx = ex [sen(x) cos(x)] + C. l) e x cos(x)dx Solução: Sejam u = e x e dv = cos(x)dx. Segue que du = e x dx e v = sen(x). Logo e x cos(x)dx = e x sen(x) e x sen(x)dx. Usando que e x sen(x)dx = ex [sen(x) cos(x)] + C, segue que [ e e x cos(x)dx = e x x ] sen(x) [sen(x) cos(x)] + C = ex [sen(x) + cos(x)] + C. Observação: Em geral, temos e ax sen(bx)dx = e m) ln(x)dx e ax cos(bx)dx = [ ] eax asen(bx) b cos(bx) + C a + b [ ] eax a cos(bx) + bsen(bx) + C. a + b Solução: Sejam u = ln(x) e dv = dx. Segue que du = dx e v = x. Logo x ln(x)dx = x ln(x) dx = x ln(x) x + C = x(ln(x) ) + C. n) x ln(x)dx Solução: Sejam u = ln(x) e dv = xdx. Segue que du = x dx e v = x o) x ln(x)dx x ln(x)dx = x ln(x) xdx = x x ln(x) 4 + C = x Solução: Sejam u = ln(x) e dv = x dx. Segue que du = x3 dx e v = x x ln(x)dx = x3 3 ln(x) 3 x dx = x3 3 x3 ln(x) 9 + C = x3 3 Observação: Em geral, temos [ x n ln(x)dx = xn+ ln(x) ] + C, n. n + n + 4. Logo [ ln(x) 3. Logo [ ln(x) 3 ] + C. ] + C.

15 Exercício: Calcular as integrais: a) x 3 e x dx b) x e 3x g) x cos(x)dx dx c) x 3 h) e 3x sen(4x)dx e x dx d) xe x i) e x sen(x)dx dx e) j) x 3 ln(x)dx x cos(5x)dx f) x k) x ln(x)dx cos(x)dx l) (ln x) dx m) x ln(x)dx n) sen(x) ln(cos x)dx o) e x cos(x)dx. p) x + x dx e x.7 Integração de Expressões Envolvendo Potências de Senos e Cossenos Veremos aqui como determinar integrais do tipo sen m (x) cos n (x) dx, onde m e n são inteiros positos quaisquer. Veremos três casos. o caso: m ímpar e n = ou m = e n ímpar. Usaremos a identidade sen x + cos x =. Exemplo.7. Calcule as seguintes integrais indefinidas. a) sen 3 (x)dx Solução: Escrevendo sen 3 (x) = sen (x)sen(x) = [ cos (x)]sen(x) e fazendo a substituição u = cos(x), segue que du = sen(x)dx e sen 3 (x)dx = [ cos (x)]sen(x) dx = ( u )du = u+ 3 u3 +C = cos(x)+ 3 cos3 (x)+c. b) cos 3 (x)dx Solução: Escrevendo cos 3 (x) = cos (x) cos(x) = [ sen (x)] cos(x) e fazendo a substituição u = sen (x), segue que du = cos(x)dx e cos 3 (x)dx = [ sen (x)] cos(x) dx = ( u )du = u 3 u3 +C = sen(x) 3 sen3 (x)+c. 5

16 c) sen 5 (x)dx Solução: Escrevendo sen 5 (x) = sen 4 (x)sen(x) = [sen (x)] sen(x) = [ cos (x)] sen(x) e fazendo a substituição u = cos(x), segue que du = sen(x)dx e sen 5 (x)dx = [ cos (x)] sen(x) dx = ( u ) ( du) = [ u + u 4 ]du d) cos 5 (x)dx Solução: Escrevendo = u + 3 u3 5 u5 + C = cos(x) + 3 cos3 (x) 5 cos5 (x) + C. cos 5 (x) = cos 4 (x) cos(x) = [cos (x)] cos(x) = [ sen (x)] cos(x) e fazendo a substituição u = sen(x), segue que du = cos(x)dx e cos 5 (x)dx = [ sen (x)] cos(x) dx = ( u ) du = [ u + u 4 ]du = u 3 u3 + 5 u5 + C = sen(x) 3 sen3 (x) + 5 sen5 (x) + C. o caso: m par e n = ou m = e n par. Usaremos sen x = [ cos(x)] e cos x = [ + cos(x)]. Exemplo.7. Calcule as seguintes integrais indefinidas. a) sen (x)dx Solução: Escrevendo sen (x) = [ cos(x)], segue que sen (x)dx = [ cos(x)]dx = [x ] sen(x) b) cos (x)dx Solução: Escrevendo cos (x) = [ + cos(x)], segue que cos (x)dx = [ + cos(x)]dx = [x + ] sen(x) = x 4 sen(x) + C = x + 4 sen(x) + C c) sen 4 (x)dx Solução: Escrevendo [ ] [ )] sen 4 (x) = sen [ ] (x) = cos(x) = cos(x) + cos ( (x) 4 6

17 = [ cos(x) + ( )] + cos(4x) = [ cos(x) + ] cos(4x). segue que sen 4 (x)dx = [3 4 cos(x) + ] cos(4x) dx = 3 8 x 4 sen(x) + ] 3 sen(4x) + C. d) cos 4 (x)dx Solução: Escrevendo [ ] [ )] cos 4 (x) = cos (x) = + cos(x) = ( 4 = [ + cos(x) + ( )] + cos(4x) = 4 4 [ ] + cos(x) + cos (x) [ 3 + cos(x) + cos(4x) ]. segue que cos 4 (x)dx = [3 4 + cos(x) + ] cos(4x) dx = 3 8 x + 4 sen(x) + ] 3 sen(4x) + C. 3 o caso: m e n ímpares Usaremos a identidade sen x + cos x =. Exemplo.7.3 Calcule as seguintes integrais indefinidas. a) sen(x) cos(x)dx Solução: Neste caso usa-se a substituição direta u = sen(x) ou u = cos(x). Por exemplo, usando a substituição u = sen(x), segue que du = cos(x)dx e sen(x) cos(x)dx = u du = u + C = sen (x) + C. b) sen(x) cos 3 (x)dx Solução: Escrevendo cos 3 (x) = cos (x) cos(x) = [ sen (x)] cos(x) e fazendo a substituição u = sen(x), segue que du = cos(x)dx e sen(x) cos 3 (x)dx = [ sen (x)] cos(x)sen(x)dx = ( u )u du = u 4 u4 + C = sen (x) 4 sen4 (x) + C. c) sen 3 (x) cos(x)dx Solução: De modo análogo ao ítem anterior, encontra-se sen(x) cos 3 (x)dx = cos (x) + 4 cos4 (x) + C. 7

18 d) sen 3 (x) cos 3 (x)dx Solução: Podemos usar a substituição direta u = sen(x) ou u = cos(x). sen 3 (x) cos 3 (x)dx = sen 3 (x) cos (x) cos(x)dx = sen 3 (x)[ sen (x)] cos(x)dx. Fazendo a substituição u = sen(x), segue que du = cos(x)dx e sen 3 (x) cos 3 (x)dx = u 3 ( u )du = 4 u4 6 u6 + C = 4 sen4 (x) 6 sen6 (x) + C. 4 o caso: m e n pares Usaremos sen x = [ cos(x)] e cos x = [ + cos(x)]. Exemplo.7.4 Calcule as seguintes integrais indefinidas. a) sen (x) cos (x)dx Solução: Temos sen (x) cos (x)dx = 4 [ cos(x)][ + cos(x)]dx = 4 [ cos (x)]dx = 4 [ ( )] + cos(4x) dx = [ 4 ] cos(4x) dx = 8 x sen(4x) + C. 3 b) sen 4 (x) cos (x)dx Solução: Temos sen 4 (x) cos (x)dx = [ ] [ ] cos(x) + cos(x) dx 8 = [ ] cos(x) cos (x) + cos 3 (x) dx 8 = 6 x 64 sen(x) 48 sen3 (x) + C. Aqui usamos o o caso para calcular cos (x)dx e o o caso para calcular cos 3 (x)dx. c) sen (x) cos 4 (x)dx Solução: Análogo ao caso anterior. d) sen 4 (x) cos 4 (x)dx Solução: Exercício. 5 o caso: m par e n ímpar ou m ímpar e n par. Usaremos a identidade sen x + cos x =. Exemplo.7.5 Calcule as seguintes integrais indefinidas. 8

19 a) sen (x) cos(x)dx Solução: Fazendo a substituição u = sen(x), segue que du = cos(x)dx e sen (x) cos(x)dx = u du = 3 u3 + C = 3 sen3 (x) + C b) sen(x) cos (x)dx Solução: Fazendo a substituição u = cos(x), segue que du = sen(x)dx e sen(x) cos (x)dx = u du = 3 u3 + C = 3 cos3 (x) + C c) sen (x) cos 3 (x)dx Solução: Escrevendo cos 3 (x) = cos (x) cos(x) = [ sen (x)] cos(x) e usando a substituição u = sen(x), segue que du = cos(x)dx e sen (x) cos 3 (x)dx = sen (x)[ sen (x)] cos(x)dx = u [ u ]du = 3 u3 5 u5 + C = 3 sen3 (x) 5 sen5 (x) + C. d) sen 3 (x) cos (x)dx Solução: De modo análogo ao ítem anterior, escrevendo sen 3 (x) = sen (x)sen(x) = [ cos (x)]sen(x) e usando a substituição u = cos(x), obtemos sen 3 (x) cos (x)dx = 3 cos3 (x) + 5 cos5 (x) + C..8 Integração de Expressões com Potências de Tangente e Secante Veremos aqui como determinar integrais do tipo sec m (x) tan n (x) dx, onde m e n são inteiros positos quaisquer. Veremos três casos. o caso: m ímpar e n = ou m = e n ímpar. Exemplo.8. Calcule as seguintes integrais indefinidas. 9

20 a) sec(x)dx b) sec 3 (x)dx Solução: Temos sec 3 (x)dx = sec(x) sec (x)dx. Sejam u = sec(x) e dv = sec (x)dx. Segue que du = sec(x) tan(x)dx e v = tan(x). Logo sec 3 (x)dx = udv = uv vdu = sec(x) tan(x) sec(x) tan (x)dx. Usando que tan (x) = sec (x), segue que sec 3 (x)dx = sec(x) tan(x) sec(x)(sec (x) )dx = sec(x) tan(x) sec 3 (x)dx+ sec(x)dx. Lembrando que sec(x)dx = ln sec(x) + tan(x), temos sec 3 (x)dx = sec(x) tan(x) + ln sec(x) + tan(x) + C. Logo, sec 3 (x)dx = [ ] sec(x) tan(x) + ln sec(x) + tan(x) + C. o caso: m par e n = ou m = e n par. Exemplo.8. Calcule as seguintes integrais indefinidas. a) sec (x)dx b) tan (x)dx c) sec 4 (x)dx d) tan 4 (x)dx 3 o caso: m par e n ímpar ou m ímpar e n par. Exemplo.8.3 Calcule as seguintes integrais indefinidas. a) sec(x) tan(x)dx a) sec (x) tan(x)dx a) sec(x) tan (x)dx a) sec (x) tan 3 (x)dx a) sec 3 (x) tan (x)dx

21 .9 Integral de Funções Racionais Consideremos uma função racional f dada por f(x) = P (x) Q(x), onde P e Q são polinômios. Se o grau de P for maior ou igual que o grau de Q, podemos dividir os polinômios P por Q e determinar a integral da função quociente somado com a integral da função racional formada pelo resto como numerador e pelo divisor como denominador. Já no caso em que o grau de P (x) for menor que o grau de Q(x), usamos o método da decomposição de frações parciais. Este método consiste em decompor o polinômio Q(x) como um produto de termos que podem ser lineares ou quadráticos..9. Integração de Funções Racionais por Divisão de Polinômios Veremos aqui integrais do tipo P (x) Q(x) dx, onde P e Q são polinômios com o grau de P maior ou igual ao grau de Q. Exemplo.9. Calcule a integral x + 3x + dx. x + Solução: Fazendo a divisão de polinômios, encontramos x + 3x + x + = x +. Logo, x + 3x + dx = x + Exemplo.9. Calcule a integral (x + )dx = x + x + C. x + 4x + dx. x + 3 Solução: Fazendo a divisão de polinômios, encontramos x + 4x + x + 3 = x + x + x + 3. Logo, x + 4x + dx = x + 3 xdx + x + x + 3 dx = x + x ln x C.

22 Exemplo.9.3 Calcule a integral x + 4x + 3 x + x + dx. Solução: Fazendo a divisão de polinômios, encontramos x + 4x + 3 x + x + = + x + x + x + = + x + x + x + x + x +. Logo, x + 4x + 3 x + x + dx = dx + x + x + x + dx = x + ln x + x + arctan(x + ) + C. (x + ) + dx.9. Decomposição em Frações Parciais: Fatores Lineares Veremos aqui integrais do tipo P (x) Q(x) dx, onde P e Q são polinômios com o grau de P menor que o grau de Q e o denominador Q pode ser decomposto em fatores lineares. Vejamos dois casos. o caso: Raízes Simples (O denominador possui fatores lineares que não se repetem). Suponhamos que o polinômio Q tem grau n e que possui n raízes distintas, isto é, x, x,..., x n. Então podemos escrever Q(x) = (x x )(x x )...(x x n ). Se P tem grau menor que n, então escrevemos P (x) Q(x) = A (x x ) + A (x x ) A n (x x n ), (.3) onde A, A,..., A n devem ser determinados a partir da Eq. (.3). Desta forma, temos P (x) Q(x) dx = A (x x ) dx + A A n dx (x x ) (x x n ) dx = A ln x x + A ln x x A n ln x x n + C. Exemplo.9.4 Calcule a integral x + 3x + dx.

23 Solução: Neste caso temos P (x) = e Q(x) = x + 3x +. As raízes de Q(x) são e. Assim, podemos escrever Q(x) = (x + )(x + ). Logo x + 3x + = (x + )(x + ) = A (x + ) + B (x + ) (A + B)x + A + B =. x + 3x + Donde segue que (A + B)x + A + B. Portanto devemos ter A + B = e A + B =. Resolvendo encontramos que A = e B =. Assim, x + 3x + dx = (x + ) dx+ + dx = ln x+ ln x+ +C = ln x (x + ) x + +C. Exemplo.9.5 Calcule a integral x 4 dx. Solução: Podemos escrever x 4 = (x + )(x ). Assim, temos x 4 = A (x ) + B (x + ) (A + B)x + A B =. x 4 Donde segue que (A + B)x + A B. Portanto devemos ter A + B = e A B =. Resolvendo encontramos que A = /4 e B = /4. Assim, x 4 dx = /4 /4 (x ) dx + (x + ) dx = 4 ln x + C. x + Observação: Em geral, temos Exemplo.9.6 Calcule a integral x a dx = a ln x a + C. x + a 9 x dx. Solução: Podemos escrever 9 x = (3 x)(3 + x). Assim, temos 9 x = A (3 x) + B (3 + x) = (A B)x + 3A + 3B 9 x. Donde segue que (A B)x + 3A + 3B. Portanto devemos ter A B = e 3A + 3B =. Resolvendo encontramos que A = /6 e B = /6. Assim, 9 x dx = /6 (3 x) dx + /6 (3 + x) dx = ( ) ln 3 x + ln 3 + x + C 6 = 6 ln 3 + x + C = 3 x 6 ln x C. x 3 Observação: Em geral, temos a x dx = a ln x + a + C. x a 3

24 Exemplo.9.7 Calcule a integral x x 3 x x dx. Solução: Podemos escrever x 3 x x = x(x )(x + ). Assim, temos x x 3 x x = A x + B x + C x + = (A + B + C)x + (B A C)x A. x 3 x x Donde segue que (A + B + C)x + (B A C)x A x. Portanto devemos ter A+B +C =, B A C = e A =. Resolvendo encontramos que A = /, B = /6 e C = /3. Assim, x x 3 x x dx = / /6 /3 x dx + x dx + x + dx = ln x + 6 ln x 3 ln x + + C = ln x / (x ) /6 (x + ) /3 + C. o caso: Raízes Múltiplas (O denominador possui fatores lineares e alguns se repetem). Suponhamos agora que o polinômio Q(x) pode ser expresso como produto de termos que se repetem. Por exemplo, suponhamos que Então, escrevemos P (x) Q(x) = A x a + B x b + Q(x) = (x a)(x b) (x c) 4. C (x b) + D x c + E (x c) + F (x c) + G 3 (x c). 4 Exemplo.9.8 Calcule a integral Solução: Temos x(x ) dx. x(x ) = A x + B x + C (x ) = (A + B)x + (C A B)x + A. x(x ) Portanto devemos ter A + B =, C A B = e A =. Resolvendo encontramos que A =, B = e C =. Assim, x(x ) dx = x dx + x dx + (x ) dx = ln x ln x x + C = ln x x x + C. 4

25 Exemplo.9.9 Calcule a integral Solução: Temos x (x ) dx. x (x ) = A x + B x + C x = (A + C)x + (B A)x B. x (x ) Portanto devemos ter A + C =, B A = e B =. Resolvendo encontramos que A =, B = e C =. Assim, x (x ) dx = x dx x dx + x dx Exemplo.9. Calcule a integral Solução: Temos = ln x + x + ln x + C = x + ln x x x(x + ) 3 = A x + x(x + ) 3 dx. B x C. C (x + ) + D (x + ). 3 Resolvendo encontramos que A =, B =, C = e D =. Assim, x(x + ) dx = 3 x dx x + dx (x + ) dx (x + ) dx 3 Exemplo.9. Calcule a integral Solução: Temos = x + + (x + ) + ln x + C. x + x 3 x (x ) 3 = A x + B x + x 3 x (x ) 3 dx. C x + D (x ) + E (x ). 3 Resolvendo encontramos A = 3/6, B = /8, C = 3/6, D = 5/4 e E = 7/4. Assim, x 3 x (x ) dx = 3 8x 5 4(x ) 7 8(x ) ln x + C. x 5

26 .9.3 Decomposição em Frações Parciais: Fatores Quadráticos Veremos aqui integrais do tipo P (x) Q(x) dx, onde P e Q são polinômios com o grau de P menor que o grau de Q e o denominador Q(x) é decomposto em fatores quadráticos. Vejamos dois casos. o caso: Os fatores quadráticos não se repetem. Suponhamos que na decomposição de Q(x) aparece termos quadráticos da forma ax + bx + c e que estes termos quadráticos não se repetem. Neste caso escrevemos a fração parcial Ax + B ax + bx + c, onde A e B são constantes a serem determinadas. Exemplo.9. Calcule a integral x x 3 (x )(x + x + ) dx. Solução: Temos x x 3 (x )(x + x + ) = A x + Bx + C x + x +. Resolvendo encontramos A = 4 5, B = 9 5 e C = 7. Assim, escrevemos 5 Donde segue que x x 3 (x )(x + x + ) dx = 4 5 x x 3 (x )(x + x + ) = x + x x + x + = 4 [ ] + [ 9x x 5 x + x + ] x + x + = 4 [ ] + 9 [ x + ] [ ]. 5 x 5 x + x + 5 (x + ) + x dx x + x + x + dx 5 (x + ) + dx = 4 5 ln x + 9 ln x + x + arctan(x + ) + C 5 = ln (x + x + ) 9 arctan(x + ) + C. (x ) 8 5 6

27 Exemplo.9.3 Calcule a integral x 3 8 dx. Solução: Podemos decompor x 3 8 = (x )(x + x + 4). Portanto, escrevemos x 3 8 = A x + Bx + C x + x + 4. Resolvendo encontramos A =, B = e C =. Assim, temos 3 Donde segue que x 3 8 dx = x x 3 8 = x + 3 x + x + 4 = [ ] [ x + 4 ]. x x + x + 4 = [ ] [ x + x x + x ]. x + x + 4 = [ ] [ x + ] [ ]. x x + x (x + ) + 3 x dx x + x + x + 4 dx 4 (x + ) + 3 dx = ln x 4 ln x + x + 4 ( x + ) 4 3 arctan + C 3 = ln x 3 ( x + ) x + x + 4 arctan + C. 3 o caso: Os fatores quadráticos se repetem. Suponhamos agora que na decomposição de Q(x) aparece termos quadráticos que se repetem. Exemplo.9.4 Calcule a integral x(x + x + ) dx. Solução: Temos x(x + x + ) = A x + Bx + C x + x + + Dx + E (x + x + ). Resolvendo encontramos A =, B =, C =, D = e E =. Assim, temos x(x + x + ) dx = x dx x + x + x + dx x + (x + x + ) dx. 7

28 Depois de alguns cálculos, encontramos x + x + x + dx = 3 ( 3 ln x + x + + arctan 3 x + e x + (x + x + ) dx = 3 ( 3 (x + x + ) + 8 arctan 3 x ) + 3 ) + C. 3 x + / [ 3 4(x + /) + 3 Portanto, temos x(x + x + ) dx = ln x 5 3 ( 3 3 ) (x + x + ) / 9 arctan 3 x (x + x + ) x + / [ ] + C. 3 4(x + /) + 3. Integração por Substituições Trigonométricas Queremos determinar integrais do tipo ] + C. a + x dx, a x dx, x a dx e x a x dx. Usaremos as seguintes desigualdades: sen (x) = cos (x); tan (x) = sec (x) ; cos (x) = + cos(x) ; e sen(x) = sen(x) cos(x). Na tabela abaixo estão colocados os tipos de integrando que aparece na integral e a substituição que deve ser usada. INTEGRANDO x + a x a a x SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA x = a tan(θ) x = a sec(θ) x = a sen(θ) ou x = a cos(θ) Vamos analisar cada caso. o caso: Quando o integrando contém uma expressão da forma a + x, a >. Neste caso, fazemos a substituição x = a tan(θ), onde θ π, se x a > e π θ <, se x < a. Exemplo.. Calcule a integral 4 + x dx. 8

29 Solução: Fazendo x = tan(θ), segue que dx = sec (θ)dθ. Assim, 4 + x dx = tan (θ) sec (θ)dθ = 4 + tan (θ) sec (θ)dθ sec = 4 (θ) sec (θ)dθ = 4 sec 3 (θ)dθ. Mas sec 3 (θ)dθ = = sec(θ) tan(θ) sec(θ) sec (θ)dθ = sec(θ) tan(θ) ( ) sec(θ) sec (θ) dθ = sec(θ) tan(θ) = sec(θ) tan(θ) sec 3 (θ)dθ + ln sec(θ) + tan(θ). sec(θ) tan (θ)dθ sec 3 (θ)dθ + sec(θ)dθ Logo sec 3 (θ)dθ = sec(θ) tan(θ) + ln sec(θ) + tan(θ) + C. Substituindo, temos 4 ) + x dx = ( sec(θ) tan(θ) + ln sec(θ) + tan(θ) + C. Voltemos à variável x. Temos x = tan(θ) tan(θ) = x/ e sec(θ) = Substituindo tan(θ) e sec(θ), temos + tan (θ) = + x /4 = 4 + x dx = x 4 + x 4 + x + ln + x + C. x + 4. Ou ainda, Em geral, teremos 4 + x dx = x 4 + x + ln x x + C. a + x dx = x a + x + a ln x + a + x + C. o caso: Quando o integrando contém uma expressão da forma x a, a >. Neste caso, fazemos a substituição x = a sec(θ), onde θ < π, se x a > e π θ < 3 π, se x a <. Exemplo.. Calcule a integral x 4dx. 9

30 Solução: Fazendo x = sec(θ), segue que dx = sec(θ) tan(θ)dθ. Assim, x 4(sec 4dx = (θ) ) sec(θ) tan(θ)dθ = 4 sec(θ) tan (θ)dθ = 4 ( ) sec(θ) sec (θ) dθ = 4 sec 3 (θ)dθ 4 sec(θ)dθ. Como e segue que sec 3 (θ)dθ = [ ] sec(θ) tan(θ) + ln sec(θ) + tan(θ) + C sec(θ)dθ = ln sec(θ) + tan(θ) + C x 4dx = sec(θ) tan(θ) ln sec(θ) + tan(θ) + C Voltando à variável x, temos Substituindo, temos x = sec(θ) sec(θ) = x/ e tan(θ) = sec (θ) = x 4. x 4dx = x x 4 x 4 ln + x + C. Ou ainda, Em geral, teremos x 4dx = x x 4 ln x + x 4 + C. x a dx = x x a a ln x + x a + C. 3 o caso: Quando o integrando contém uma expressão da forma a x, a >. Neste caso, fazemos a substituição x = a sen(θ), onde < θ < π, se x > e π < θ <, se x <. Exemplo..3 Calcule a integral 4 x dx. Solução: Fazendo x = sen(θ), segue que dx = cos(θ)dθ. Assim, 4 4 x dx = 4sen (θ) cos(θ)dθ = 4 cos (θ)dθ = 4 ( + cos(θ))dθ = dθ + cos(θ)dθ = θ + sen(θ) + C = θ + sen(θ) cos(θ) + C. 3

31 Sendo x = sen(θ) segue que θ = arcsen(x/), sen(θ) = x/ e cos(θ) = sen (θ) = 4 x. Substituindo, temos 4 x dx = arcsen(x/) + x 4 x + C. Em geral, temos a x dx = x a x + a arcsen(x/) + C. a Exemplo..4 Calcule a integral x + 4x + 4dx. Solução: Primeiro, notemos que x + 4x + 4 = 8 (x ). Fazendo x = 8 sen(θ), segue que dx = 8 cos(θ)dθ. Assim, x x + 4dx = (x ) dx = 8sen (θ) 8 cos(θ)dθ = 8 cos (θ)dθ = 4 ( + cos(θ))dθ = 4θ + 4sen(θ) cos(θ) + C. Sendo x = 8 sen(θ), segue que θ = arcsen( x 8 ), sen(θ) = x 8 e cos(θ) = 8 (x ) sen (θ) =. Substituindo, temos 8 x + 4x + 4dx = 4 arcsen( x ) + (x ) 8 (x ) + C. 8 Exercício: Mostre que:. 9 + x dx = ln x x + C.. x x + 4 dx = x C. Em geral, temos a. a + x dx = ln x + a + x + C. 3. x 5 dx = ln x + x 5 + C. 4. x x 4 dx = x 4 + C. c. x a dx = ln x + x a + C. b. x x + a dx = x + a + C. Exercício: Calcular as seguintes integrais: c) x x + 3 dx a) x + 5dx b) dx 4 + x d) x 8dx d. x x a dx = x a + C. e) dx x 6 f) 3 4x dx g) dx x 6 x h) 9 x x. 3

32 . Outras Substituições Veremos aqui algumas integrais que não podem ser resolvidas diretamente por algum método de integração, mas que podem ser reajustadas de modo que tais métodos possam ser usados. Exemplo.. Calcule as integrais indefinidas. a) x x + dx. Solução: Fazendo u = x +, segue que x = u, du = dx e x x + dx = u u du = du du = u ln u + C = x + ln x + + C. u b) x + x + dx. Solução: Fazendo u = x +, segue que x + = u, du = dx e x + x + dx = u u du = u ln u + C = x + ln x + + C. c) x x + dx. Solução: Fazendo u = x +, segue que x = u, du = dx e x x + dx = (u )u / du = (u 3/ u / )du = (x + )5 (x + )3 + C. 5 3 d) x e x dx. Solução: Escrevemos x e x = e ln x e x = e x ln +x = e (ln +)x. Logo, e) sen( x)dx. x e x dx = e (ln +)x dx = e(ln +)x ln + + C = x e x ln + + C. Solução: Fazendo u = x, segue que du = dx ou dx = u du e x sen( x)dx = u sen(u)du = [ u cos(u)+sen(u)]+c = [ x cos( x)+sen( x)]+c. f) cos( x)dx. Solução: Fazendo u = x, segue que du = dx ou dx = u du e x cos( x)dx = u cos(u)du = (u sen(u) + cos(u)) + C = [ x sen( x) + cos( x)] + C. 3

33 . Derivada de Expressões Integrais Se F (x) = g(x) f(t)dt, então a Em geral, se F (x) = g(x) f(t)dt, então h(x) F (x) = f[g(x)]g (x). F (x) = f[g(x)]g (x) f[h(x)]h (x). Exemplo.. Derive as seguintes funções. a) F (x) = sen(x) t dt. Solução: Fazendo f(t) = t, g(x) = sen(x) e a = segue que b) F (x) = x t4 dt. Solução: Escrevemos F (x) = f[g(x)]g (x) = f(sen(x))cos(x) = sen (x)cos(x). F (x) = Fazendo f(t) = t 4, g(x) = x e a = segue que x t 4 dt = x t 4 dt. F (x) = f[g(x)]g (x) = f(x)() = x 4. c) F (x) = x t dt. x Solução: Fazendo f(t) = t, g(x) = x e h(x) = x, segue que F (x) = f[g(x)]g (x) f[h(x)]h (x) = f(x )(x) f(x)() = (x )(x) x = x x. 33

34 Capítulo Aplicações da Integral Definida. Área entre Gráficos de Funções Consideremos o problema da determinação de áreas de regiões planas limitadas lateralmente pelas retas verticais x = a e x = b, superiormente por uma função contínua f e, inferiormente, por uma função contínua g, definidas em um intervalo [a, b] e tais que g(x) f(x), em [a, b]. Como g(x) f(x), para todo x em [a, b], então, f(x) g(x), em [a, b]. Usando somas de Riemann e a definição de integral, concluímos que a área da região limitada pelas curvas f e g e as retas verticais x = a e x = b, é dada por A = b a [f(x) g(x)]dx. Observações: ) Quando são dados apenas as duas funções f e g, o intervalo de integração [a, b] é encontrado determinando os pontos de interseção dessas funções. ) As funções podem ser dadas em termos de x ou de y, ou seja, a região pode ser limitada por curvas do tipo y = f(x) ou x = g(y). Exemplo : Determinar a área da região limitada pelas curvas y = x e y = x. Solução: Como o intervalo de integração não é dado, devemos encontrá-lo determinando os pontos de interseção das duas curvas. Fazendo x = x, encontramos x = ±. Por outro lado, x x, para todo x [, ]. Logo, a área procurada é dada por ) A = ( x x )dx = ( x )dx = (x x3 = Exemplo : Determinar a área da região limitada pelas curvas y = x e y = x. Solução: Fazendo x = x, encontramos x = ou x =. Por outro lado, x x, para todo x [, ]. Logo, a área procurada é dada por ) A = (x x )dx = (x x3 = =

35 Exemplo 3: Determinar a área da região limitada pelas curvas y = x e y = x + 5. Solução: Para determinar os pontos de interseção das curvas y = x e y = x + 5, basta resolver a equação x = x + 5 ou, equivalentemente, resolver a equação quadrática x x 6 =. Resolvendo esta equação encontramos x = ou x = 3. Por outro lado, podemos ver que x x + 5, para todo x [, 3]. Logo, a área procurada é dada por A = 3 [ ] (x + 5) (x ) dx = 3 ( x (x + 6 x )dx = ) x x = Exemplo 4: Determinar a área da região limitada pelas curvas y = x e x y = 4. Solução: Neste caso, fica mais simples calcular a integral em relação a variável y. Para isto, escrevemos as duas curvas como funções de y pondo x = y e x = y + 4. Os pontos de interseção são dados resolvendo a equação y = y + 4 ou, a equação quadrática na variável y dada por y y 4 =. Resolvendo esta equação encontramos y = ou y = 4. Por outro lado, podemos ver que y y + 4, para todo x [, 4]. Logo, a área procurada é dada por A = 4 [(y + 4) ( y ) ] dy = 4 ( (y + 4 y y )dy = ) y y =

36 . Volumes de Sólidos de Revolução Um sólido de revolução é obtido fazendo-se girar uma superfície plana em torno de um eixo, chamado eixo de revolução. Esferas, cones, bolas de futebol e pneus são exemplos de sólidos de revolução. Vamos considerar sólidos de revolução obtidos girando-se, em torno do eixo x, do eixo y ou de uma reta qualquer, a região limitada por uma função contínua, positiva e definida num intervalo fechado. Por exemplo, quando a parábola y = x gira sobre o eixo y ela gera um parabolóide. Se a curva y = f(x) é uma reta, o sólido resultante é um cilindro do qual conhecemos o volume. A seguir descreveremos três métodos para determinar volumes de sólidos de revolução... O Método dos Discos Circulares Veremos abaixo como determinar o volume de um sólido resultante após a revolução sobre o eixo x, ou sobre o eixo y, de uma região sob o gráfico de uma função contínua não-negativa f entre x = a e x = b. Definição.. Seja f uma função contínua em [a, b], com f(x) = y. Se a região delimitada pelo gráfico de f, pelo eixo x e pelas retas verticais x = a e x = b gira em torno do eixo x, então o volume do sólido de revolução resultante é dado por V = π b a [f(x)] dx. De modo análogo, se g é contínua em [c, d], com g(y) = x, e a região delimitada pelo gráfico de g, pelo eixo y e pelas retas horizontais y = c e y = d gira em torno do eixo y, então o volume do sólido de revolução resultante é dado por V = π d c [g(y)] dy. Exemplo.. Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região sob o gráfico da função f(x) = x 3 no intervalo [, ], em torno do eixo x. Solução: Temos V = π (x 3 ) dx = π ( x x 6 7 dx = π ) 7 = π 7 (7 7 ) = 7π 7. Exemplo..3 A região limitada pelo eixo x, pelo gráfico da equação y = x + e pelas retas x = e x = gira em torno do eixo x. Determine o volume de revolução do sólido resultante. 36

37 Solução: A função f(x) = x + é contínua em [, ]. Da definição, segue que ( x V = π (x +) dx = π (x +) dx = π (x 4 +x 5 +)dx = π ) 5 +x3 3 +x = 56π 5. Exemplo..4 A região limitada pelo eixo y e pelos gráficos de y = x 3, y = e y = 8 gira em torno do eixo y. Determine o volume do sólido resultante. Solução: A função g(y) = 3 y é contínua em [, 8]. O volume do sólido resultante é dado por 8 8 V = π [g(y)] dy = π y /3 dy = 3π 5 (85/3 5/3 ) = 93π 5. Exemplo..5 A região limitada pelo eixo y e pelos gráficos de y = x para x e y = 4 gira em torno do eixo y. Determine o volume do sólido resultante. Solução: Resolvendo a equação y = x para x em termos de y e usando o fato de que x, temos x = y. pelo método dos discos circulares, segue que V = π 4 [ y] dy = π 4 ydy = 8π. Exemplo..6 Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região sob o gráfico da função f(x) = a x no intervalo [ a, a] em torno do eixo x. Solução: Temos V = π a a [f(x)] dx = π a a [ a x ] dx = π a a ) (a x )dx = π (a x x3 a 3 a = 4 3 πa3. Notemos que o gráfico de f(x) = a x em [ a, a] é um semicírculo e o sólido de revolução correspondente é uma esfera de raio a. Assim, obtemos a fórmula já conhecida V = 4/3πa 3 que representa o volume de uma esfera de raio a. 37

38 .. O Método dos Anéis Circulares Considere agora uma região do plano limitada acima pela curva y = f(x) e abaixo, pela curva y = g(x), onde f e g são duas funções contínuas e positivas. Ao girarmos esta região em torno do eixo x, obtemos um sólido de revolução, chamado anel de revolução. Vejamos abaixo como determinar este volume. Definição..7 Considere duas funções f e g definidas num intervalo [a, b] com f(x) g(x) >, para todo x [a, b]. Se a região limitada pelas curvas f e g e o intervalo [a, b] gira sobre o eixo x, então o volume do sólido de revolução resultante pode ser obtido subtraindo-se o volume do sólido gerado pela região menor do volume do sólido gerado pela região maior. Ou seja, b ) V = π ([f(x)] [g(x)] dx. a De modo análogo, se f e g são definidas num intervalo [c, d] com f(y) g(y) >, para todo y [c, d] e a região limitada pelas curvas f e g e o intervalo [c, d] gira sobre o eixo y, então o volume do sólido de revolução resultante é dado por V = π d c ([f(y)] [g(y)] ) dy. Exemplo..8 Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelas curvas f(x) = x e g(x) = x + quando a região gira em torno do eixo x. Solução: Os pontos de interseção das curvas são (, 4) e (, ). Pelo método dos anéis circulares, temos ] ) V = π [(x + ) (x ) dx = π (x + 4x + 4 x 4 dx = 7π 5. 38

39 Exemplo..9 Determine o volume do sólido de revolução gerado pela revolução da região limitada à direita pelo gráfico de x =, à esquerda pelo gráfico de y = x 3 e abaixo pelo eixo x, quando a região gira em torno do eixo y. Solução: Neste caso, fazemos f(y) = e g(y) = 3 y. Pelo método dos anéis circulares, temos 8 V = π [ ( 3 ] y) dy = π (4y 3 ) 8 5 y5/3 = 64π 5. Exemplo.. Determine o volume do sólido gerado pela região limitada pelas curvas f(x) = x + e g(x) = x/ + e pelas retas verticais x = e x =, quando a região gira em torno do eixo x. 39

40 Solução: Se a região gira em torno do eixo x, então V = π [(x + ) (x/ + ) ] dx = π (x x x + 3)dx = 79π. Exemplo.. A região do primeiro quadrante delimitada pelos gráficos de y = 8 x3 e y = x gira em torno eixo y. Determine o volume do sólido resultante. Solução: Como devemos integrar em relação a y, expressamos as equações dadas como funções do tipo x = g(y). Assim temos, respectivamente, que x = y /3 e x = y. Os pontos de interseção destas duas curvas são x = e x = 8. Portanto, o volume do sólido resultante da rotação desta região, em torno do eixo y, será dada por V = π 8 [(y /3 ) ( y) ] dy = π 8 (4y /3 ) [ 4 y dy = π 5 y5/3 ] 8 y3 = 5 π 7,. 5 O método dos anéis circulares é também usado para sólidos gerados pela revolução de regiões planas em torno de eixos diferentes dos eixos x e y. Exemplo.. Determine o volume do sólido gerado pela região limitada pelas curvas f(x) = x + e g(x) = x/ + e pelas retas verticais x = e x =, quando a região gira em torno da reta y = 3. 4

41 Solução: Girar a região dada, em torno da reta y = 3, é equivalente a girar a região limitada pelas funções y = x + 3 = x e y = x/ + 3 = x/, em torno do eixo x, isto é, a transladar verticalmente toda a região, três unidades para baixo, de modo que a reta y = 3 passe a coincidir com o eixo x. Raciocinando como no exemplo anterior, temos que o volume do sólido gerado pela revolução desta nova região em torno do eixo x é dado por V = π [(x/ ) (x ) ] dx = π (3 x x x 4 )dx = 5π. Exemplo..3 Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelo eixo x, pela curva y = x e pela reta x = 4 a) Quando a região gira em torno do eixo y; b) Quando a região gira em torno da reta x = 6. Solução: textbfsolução: a) Usando o método do anel circular, devemos integrar em relação à variável y no intervalo [, ]. A região encontra-se entre as curvas x = 4 e x = y. Como 4 y, para todo y [, ], segue que o volume do sólido de revolução é V = π [(4) (y ) ] dy = π [6 y 4 ] dy = 8π 5. b) Usando novamente o método do anel circular, devemos integrar em relação à variável y no intervalo [, ]. A região encontra-se entre as curvas x = 6 4 = e x = 6 y. Como 6 y, para todo y [, ], segue que o volume do sólido de revolução é V = π [(6 y ) () ] dy = π [ ] y 4 y + 3 dy = 9π 5. Exemplo..4 Determine o volume do sólido gerado pela região limitada pelos gráficos de y = 4x e x = 4 em torno da reta x = 6. 4

42 Solução: Temos que o raio interno do anel circular ao nível y é 6 4 = e o raio externo é 6 (y /4). Logo 4 ] 4 ( y V = π [(6 y /4) 4 ) dy = π y + 3 dy = 768π O Método da Casca Considere uma região do plano limitada pelo eixo x e pela função contínua y = f(x), a x b. Se esta região gira em torno da reta vertical x = L, então o volume do sólido de revolução pode ser obtido por V = π b a (raio da casca)(altura da casca)dx, onde o raio da casca é a distância de L até x [a, b] e a altura da casca é a distância do eixo x até a função f. Por outro lado, se a região é limitada pelo eixo y e pela função contínua x = f(y), c y d e gira em torno da reta horizontal y = L, então o volume do sólido de revolução pode ser obtido por V = π d c (raio da casca)(altura da casca)dy, onde o raio da casca é a distância de L até y [c, d] e a altura da casca é a distância do eixo y até a função f. Exemplo..5 Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelo eixo x, pela curva y = x e pela reta x = 4: a) Quando a região gira em torno do eixo y; b) Quando a região gira em torno do eixo x; c) Quando a região gira em torno da reta x = 6. 4

43 Solução: a) Temos que o intervalo de integração é [, 4], o raio da casca é x e a altura da casca é x. Logo, o volume é 4 V = π (x)( 4 x)dx = π x 3/ dx = 8π 5. b) Para este caso, escrevemos x = y, com y. Portanto o intervalo de integração é [, ], o raio da casca é y e a altura da casca é 4 y. Logo, o volume é V = π (y)(4 y )dy = π (4y y 3 )dy = 8π. c) Temos que o intervalo de integração é [, 4], o raio da casca é 6 x e a altura da casca é x. Logo, o volume é V = π 4 (6 x)( x)dx = π 4 ] [6x / x 3/ dx = π [4x 3/ ] 4 5 x5/ = 9π 5. Exemplo..6 Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelo eixo x e pela curva y = x + 3x quando a região gira em torno da reta x =. Solução: Fazendo x + 3x =, encontramos x = ou x = 3. Logo, o intervalo de integração é [, 3]. O raio da casca é x ( ) = x + e a altura da casca é x + 3x. Logo, o volume é V = π 3 (x + )( x + 3x)dx = π.3 Comprimento de Arco 3 ( x 3 + x + 3x)dx = 45π. Nosso problema consiste em determinar o comprimento de uma curva definida pelo gráfico de uma função f : [a, b] R dada por y = f(x). O resultado que usaremos é o seguinte: Teorema.3. Seja f uma função contínua em [a, b] e diferenciável em ]a, b[. O comprimento de arco S da curva descrita por f desde (a, f(a)) até (b, f(b)) é dado por S = b a + (f (x)) dx. Exemplo.3. Determine o comprimento de arco da curva y = x no intervalo [, ]. Solução: Temos que f(x) = x o que implica que f (x) = x e o comprimento de arco é dado por S = + (x) dx. Primeiro calculemos a integral indefinida + (x) dx. Fazendo a substituição trigonométrica x = tan(θ), segue que dx = / sec (θ)dθ e + (x) dx = + tan (θ) sec (θ)dθ = sec 3 (θ)dθ 43

44 = ( sec(θ) tan(θ) + ) ln sec(θ) tan(θ) + C = ( ) sec(θ) tan(θ) + ln sec(θ) + tan(θ) + C 4 Voltando à variável x, temos tan(θ) = x e sec(θ) = + 4x. Substituindo, temos + (x) dx = ( x + 4x 4 + ln ) + 4x + x + C Portanto, o comprimento de arco é dado por = x + 4x + 4 ln + 4x + x + C S = ( + (x) dx = x + 4x + 4 ln + 4x + x ) = ln( 5 + ). Exemplo.3.3 Determine o comprimento de arco da curva y = x /3 desde o ponto (, ) até o ponto (8, 4). Solução: Temos f(x) = x /3, o que implica que f (x) = dado por S = 8 + ( 3x /3 ) dx = 3 8 3x /3 9x /3 + 4 dx. x /3 e o comprimento de arco é Primeiro calculemos a integral indefinida 9x /3 + 4 dx. Fazendo u = 9x /3 + 4 segue que x /3 du = 6 x dx e /3 9x /3 + 4 dx = udu = x /3 6 9 (9x/3 + 4) 3/ + C. Portanto, S = 7 (9x/3 + 4) 3/ 8 = 7 (43/ 3 3/ ) 7, 6. Exemplo.3.4 Determine o comprimento de arco da curva dada por x /3 + y /3 = 4 no intervalo [, 8]. Solução: Usando diferenciação implícita, temos Assim, temos que f (x) = 3x + /3 3y /3 y = y = y/3 S = 8 4 x /3 x /3 + ( x /3 = 4 x /3 x /3. e o comprimento de arco é dado por 4 x /3 x /3 ) dx = x/3 dx x /3

45 = 8 4 dx = x/3 8 x dx = /3 /3 3x 8 =. Observação: Em geral, o comprimento da curva dada por x /3 + y /3 = a /3 no intervalo [, a] é S = 3a /3. Exemplo.3.5 Mostre que o comprimento de um semicírculo de raio R é πr. Ou equivalentemente, que o comprimento de uma circunferência de raio R é πr. Solução: Suponhamos que o círculo está centrado na origem. A equação é dada por x +y = R. Usando diferenciação implícita, segue que x + yy = y = x y = x R x. Assim, temos que f x (x) = e o comprimento de arco é dado por R x S = R R + ( x ) R dx = R R x Primeiro calculemos a integral indefinida R x dx. R R x dx. Fazendo a substituição trigonométrica x = R cos(θ), segue que dx = Rsen(θ)dθ e R x dx = R R cos (θ) ( Rsen(θ))dθ = sen(θ) cos (θ) dθ = sen(θ) sen (θ) dθ = dθ = θ + C = arccos(x/r) + C, pois sendo x = R cos(θ) tem-se que θ = arccos(x/r). Portanto, o comprimento de arco é dado por R S = R R R x dx = R( arccos(x/r)) R R = R[arccos() arccos( )] = R[ π] = πr. Observação: Segue do exemplo.3.5 que o comprimento de uma circunferência de raio R é dada por C = S = πr..4 Área de Superfície Teorema.4. Seja f(x) uma função contínua e diferenciável num intervalo [a, b]. A área de superfície gerada pela rotação da curva y = f(x) em torno do eixo x é dada por S = π b a f(x) + [f (x)] dx 45

46 De modo análogo, se x = g(y) é uma função contínua e diferenciável num intervalo [c, d], então a área de superfície gerada pela rotação da curva x = g(y) em torno do eixo y é dada por S = π d c g(y) + [g (y)] dy Exemplo.4. Determine a área da superfície gerada pela rotação da curva y = x, x em torno do eixo x. Solução: Temos S = π ( ) x + x dx = 4π 8π ( x + dx = 3 3 ). 3 Exemplo.4.3 Determine a área da superfície gerada pela rotação da curva x = y, y em torno do eixo y. Solução: Temos S = π ( y) + ( ) dy = π ( y)dy = π. 46

47 .5 Força, Trabalho e Centro de Massa Trabalho Realizado por uma Força Constante Quando a bateria do carro descarrega e você precisa empurrá-lo para que o motor pegue no tranco, você está realizando um trabalho, e o efeito deste trabalho é fazer o carro funcionar e se movimentar. Quando o carro é empurrado para que o motor pegue no tranco, o motor vai ser acionado dependendo da força F que você está aplicando e da distância d durante a qual a força é aplicada. Neste caso, a força exercida é constante e, a definição de trabalho para esta força é a seguinte: Definição: Quando uma força constante de módulo F move um objeto de uma distância d, então o trabalho W realizado pela força F sobre o objeto é da do por W = F d. Exemplo: Determinar o trabalho realizado quando se aplica uma força constante F = 5N para empurrar um carro por uma distância de metros. Solução: O trabalho é dado por W = F d = (5N)(m) = 5N.m. Trabalho Realizado por uma Força Variável Agora, suponhamos que uma partícula P se move ao longo do eixo x sob a influência de uma força variável F = F (x) que, possivelmente, varia com a posição x, deslocando-se desde x = a até x = b. O trabalho total realizado pela força F é dado por W = b a F (x)dx. Exemplo.5. Uma partícula P se move ao longo do eixo x sob a ação de uma força F (x) = 3x + desde x = até x =. Determine o trabalho realizado. Solução: O trabalho realizado é dado por W = (3x + )dx = (x 3 + x) =. Exemplo.5. Uma partícula P se move ao longo do eixo x sob a ação de uma força que cresce exponencialmente F (x) = 3e x deslocando-se desde x = até x =. Determine o trabalho realizado. Solução: O trabalho realizado é dado por W = (3e x )dx = 3e x = 3e 3 = 3(e ). 47

48 Exemplo.5.3 Uma força F dada por F (x) = 3 x3 + Newtons age numa partícula P no eixo x e move a partícula de x = metros até x = 5 metros. Qual o trabalho realizado. Solução: O trabalho realizado é dado por W = 5 ( 3 x3 + )dx = ( x4 + x) 5 = 5 4 = 53, 75. Um dos principais exemplos de forças variáveis é dado pelas forças restauradoras de corpos elásticos, como por exemplo, uma mola. Quando esticamos uma mola, à medida que a deformação aumenta, aumenta também a força restauradora. A forma com que se dá este aumento é estabelecido pela lei de Hooke. Lei de Hooke: Para pequenas deformações de um objeto, o deslocamento ou o tamanho da deformação é diretamente proporcional a força. Ou seja, a força F produzida por uma deformação x de um material elástico é dada por F = kx, onde k é uma constante que depende do material. Em geral, o sinal da força restauradora possui sinal negativo devido ao fato que ela atua no sentido contrário ao deslocamento. No entanto, aqui usaremos apenas a fórmula sem o sinal negativo. Exemplo.5.4 Determinar o trabalho produzido por uma mola de coeficiente k =,, quando ela se deforma 5 unidades de sua posição de repouso. Solução: Pela Lei de Hooke, a força restauradora da mola é dada por F (x) =, x, onde por x estamos denotando a deformação da mola desde a posição de repouso. O trabalho realizado é dado por W = 5 (, x)dx =, 5 unidades de trabalho. Exemplo.5.5 Determine o trabalho necessário para comprimir uma mola partindo de seu comprimento inicial de m até um comprimento de,75m se a constante da mola é k = 4 N/m. Solução: Considere a mola não comprimida ao longo do eixo x com sua extremidade móvel na origem e sua extremidade fixa em x = m. A força para comprimir a mola de até x é F = 4x. O trabalho realizado é dado por W =,5 4x dx = 3 J =, 75J. 4 48

49 Exemplo.5.6 Uma mola tem comprimento natural de m. Uma força de 4 N estica essa mola até o comprimento de,8m. a) Determine a constante de força k; b) Quanto trabalho será necessário para esticar a mola m além de seu comprimento original? c) Até onde uma força de 45 N esticará a mola? Solução: a) Usando a lei de Hooke, para F = 4N e x =, 8m, segue que 4 = k(, 8) k = 4, 8 = 3 N/m. b) Imaginamos a mola em repouso pendurada ao longo do eixo x com sua extremidade livre em x=. A força necessária para esticar a mola até x m além de seu comprimento original á a força necessária para puxar a extremidade livre da mola até x unidades a partir da origem. A lei de Hooke com k=3 diz que essa força é dada por F (x) = 3x. Logo, o trabalho realizado por F sobre a mola desde x= m até x= m é W = 3x dx = 6J. c) Basta substituir F = 45 na fórmula F = 3x e determinar o valor de x. Isto é, 45 = 3x x = 45 3 =, 5m. Exemplo.5.7 Uma mola tem um comprimento natural de cm. Se uma força de 8 N é necessária para distender a mola de cm, qual o trabalho realizado ao alongarmos a mola de 6 cm. Solução: Usando a lei de Hooke, para F = 8N e x = cm =, m, segue que 8 = k(, ) k = 8, = 4 N/m. Logo, a força é dada por F = 4x. Portanto, o trabalho realizado por esta força ao alongarmos a mola por 6 cm (,6 m) é dado por W =,6 (4x)dx = x,6 = (, 6) = (, 36) =, 7J. Exemplo.5.8 Um balde com peso Kg e capacidade para litros de água está sendo puxado, a partir do solo, por uma corda de 5m de comprimento a uma velocidade constante. Se a corda pesa,6 Kg por cada metro, determine o trabalho realizado para elevar o balde cheio desde o solo até o topo. Assuma que a água pesa Kg por litro. 49

50 Solução: Seja x [, 5] a distância de elevação do balde desde o solo até o topo com x = representando a posição inicial do balde no solo e x = 5 representando o ponto de chegada do balde no topo. A força total produzida para puxar o balde, a água e a corda é F (x) = F a (x) + F b (x) + F c (x), onde F a (x) é a força produzida pela água, F b (x) a força produzida pela balde e F c (x) a força produzida pela corda. A força produzida pelo balde é constante, pois o peso do balde é constante e igual a Kg. Logo, F b (x) =. De modo análogo, a força produzida pela água é constante, pois o peso da água no balde cheio é constante e igual a Kg. Logo, F a (x) =. Por outro lado, a força produzida pela corda varia com a distância x de elevação do balde, pois à medida que o balde vai sendo puxado, a corda vai ficando cada vez menor. Logo, F c (x) = (, 6)(5 x) =, 6x +, 3. A força total é: O trabalho total realizado é F (x) = [] + [] + [, 6x +, 3] =, 6x +, 3 W = 5 F (x)dx = 5 [, 6x +, 3]dx = 6, 75Kg.m. Exemplo.5.9 Um balde com peso Kg está sendo usado para puxar água de uma cisterna com metros de profundidade. O balde tem capacidade para litros de água e a corda pesa, Kg por metro. O balde tem um furo no fundo e é puxado inicialmente cheio de água chegando na boca da cisterna com metade de sua capacidade. Supondo que o balde é puxado a uma velocidade constante e que a água sai pelo furo a uma razão constante, determine o trabalho realizado para puxar o balde até a boca da cisterna. Assuma que a água pesa Kg por litro. Solução: Seja x [, ] a distância entre a boca da cisterna e a posição do balde na cisterna, com x = representando a posição inicial na boca da cisterna e x = representando o nível da água na cisterna. A força total produzida para puxar o balde, a água e a corda é F (x) = F a (x) + F b (x) + F c (x), onde F a (x) é a força produzida pela água, F b (x) a força produzida pela balde e F c (x) a força produzida pela corda. A força produzida pelo balde é constante, pois o peso do balde é constante e igual a Kg. Logo F b (x) =. 5

51 Por outro lado, a força produzida pela corda varia com a distância x de elevação do balde, pois à medida que o balde vai sendo puxado, a corda vai ficando cada vez menor. Logo, F c (x) = (, )(x) =, x. De modo análogo, a força produzida pela água também varia com a distância x de elevação do balde, pois devido ao vazamento da água pelo furo do balde, no momento x = a água pesa Kg e no momento x = pesa 5 Kg. Desta forma, se o balde sobe a uma velocidade constante v m/s e a água vaza a uma razão de z kg/s, o tempo t necessário para elevar o balde desde o nível da água até a boca da cisterna é igual ao tempo necessário para que a água vaze até que o balde fique com 5 kg de água. Logo, t = 5 z = v z v = 5. O comprimento da corda é x = vt, donde segue que t = ( x). Por outro lado, o v peso da água após um tempo t é dado por F a (x) = zt = z v ( x) = 5 ( x) = x. A força total é: F (x) = [5 + 5 x] + [] + [, x] =, 5x + 7 O trabalho total realizado é W = F (x)dx = [, 5x + 7]dx =, 44Kg.m. Trabalho realizado no bombeamento de um líquido Um reservatório contém um líquido que pesa w unidades de força por unidade cúbica de volume. Deseja-se bombear parte deste líquido até uma certa altura, acima do reservatório, e depois descarregá-la. Se desejamos calcular o trabalho realizado pela bomba, estabelecemos um eixo vertival y com sua origem no nível até o qual o líquido será bombeado. Por simplicidade, seja a direção positiva tomada para baixo. Suponha que o nível do líquido no início do bombeamento seja y = a e que este nível, no final, seja y = b. Suponha que a área da seção transversal da superfície do líquido ao nível y seja A(y) unidades quadradas. A fatia infinitesial de líquido entre o nível y e o nível y + dy tem um volume de A(y)dy unidades cúbicas e pesa wa(y)dy unidades de força. O trabalho infinitesimal realizado ao elevarmos esta fatia de y unidades ao nível da origem será dw = ywa(y)dy, de modo que o trabalho total necessário para bombear o líquido de y = a até y = b é dado por W = w b a ya(y)dy, onde A(y) é a área da seção transversal da superfície do líquido ao nível y dado em unidades quadradas. 5

52 Exemplo.5. A água, que pesa.kg/m 3, é usada para encher um reservatório hemisférico de raio igual a 5 metros. A água é bombeada do reservatório a um nível de 6 metros acima da borda do reservatório, até que a superfície da água remanescente esteja a 4 metros abaixo da borda do reservatório. Qual o trabalho realizado? Solução: Escolhendo um eixo de referência vertical, apontando para baixo, através do centro do reservatório com sua origem 6 metros acima da borda. Quando a superfície superior da água está na posição de coordenada x, seu raio a satisfaz a + (y 6) = 5 5, pelo Teorema de Pitágoras. Assim, a área da seção tranversal é dada por A(y) = πa = π[5 (y 6) ]. No início do bombeamento y = 6 e no final do bombeamento, y =. Logo o trabalho realizado é dado por W =. 6 yπ[5 (x 6) ]dy =.π 6 yπ[ y 3 + y y]dy = 68.π. Centro de Massa Chamaremos de centro de massa ou centro de gravidade de um corpo ao ponto onde deve ser aplicada uma força pontual igual ao peso do corpo para que o mesmo permaneça em 5

53 equilíbrio. Por exemplo, o centro de massa de um retângulo de base x e altura y é dado pelo ponto (x/, y/). Da mesma forma, o centróide de um triângulo é dado pela interseção de suas medianas. Para determinar o centro de massa de corpos mais complexos, decompomos estes corpos em partes que possamos calcular o centro de massa e o centro de massa do corpo será a média ponderada dos centros de massa de cada corpo componente. De modo mais geral, o centro de massa da região limitada pelo gráfico da função y = f(x) e o eixo das abscissas no intervalo [a, b] é o ponto ( x, ȳ), onde x = b a xf(x)dx b a f(x)dx e ȳ = b a [f(x)] dx b f(x)dx. a Exemplo.5. Calcule o centro de massa da região dentre a parábola y = x e o eixo x no intervalo [, ]. Solução: O centro de massa é dado pelo ponto ( x, ȳ), onde e x = xx dx x dx = ȳ = / [x ] dx x dx Logo, o centro de massa é (3/4, 3/). x3 dx x dx = /4 /3 = 3 4 = / x4 dx x dx = / /3 = 3. 53

54 .6 Leis de Crescimento e Decaimento Seja y = y(t) uma função que representa o total de uma determindada quantidade presente em qualquer instante de tempo t. Suponhamos que a taxa de variação da quantidade seja proporcional à quantidade presente em cada instante de tempo t, ou seja, dy = ky, (.) dt onde k é a constante de proporcionalidade e y > para todo t. Se k >, então y cresce quando t cresce. Neste caso, temos a lei de crescimento natural. Se k <, então y decresce quando t cresce. Neste caso, temos a lei de decaimento natural. A partir da Eq. (.) podemos determinar y como uma função de t. Para isto, escrevemos dy = kdt. y Integrando o primeiro termo em relação a y e o segundo termo em relação a t, temos y dy = kdt ln y = kt + c y = e kt+c = Ce kt, onde C = e c. Como y >, segue y(t) = Ce kt. Notemos que y() = C, onde y() é o valor de y em t =. Portanto escrevemos y(t) = y()e kt. Exemplo.6. A taxa de crescimento da população de uma certa cidade é proporcional ao número de habitantes nela existente a cada instante de tempo t. Se a população em 95 era de 5. habitantes e em 98 era de 75.. Qual a população esperada em? Solução: Seja y = y(t) a função que representa a população da cidade presente em cada instante de tempo t. Segue que y(t) é dado por y(t) = y()e kt, onde k é a taxa de crescimento da população. Supondo que o tempo comece a ser contado a partir de 95, segue dos dados do problema que y() = 5. e y(3) = 75.. A população em é dada por y(6). Usando o fato que y() = 5., segue que y(t) = 5.e kt. Usando o fato que y(3) = 75., segue que 75. = y(3) = 5.e 3k e 3k = 75 5 = 3 3k = ln(3/) k = ln(3/). 3 Portanto a função que representa a população da cidade presente em cada instante de tempo t é dada por y(t) = 5.e ln(3/) 3 t. Assim, segue que y(6) = 5.e ln(3/) 3 6 = 5.e ln(3/) = 5.e ln[(3/)] = 5.(3/) = 5.(9/4) =.5. Portanto, a população esperada em é de.5 habitantes. 54

55 Exemplo.6. Numa certa cultura de bactérias, a taxa de crescimento das bactérias é proporcional à população presente. Se existem. bactérias inicialmente e a quantidade dobra em minutos, quanto tempo levará até que haja.. de bactérias? Solução: Seja y = y(t) a função que representa o número de bactérias presente em cada instante de tempo t. Segue que y(t) é dado por y(t) = y()e kt, onde k é a taxa de crescimento das bactérias. Do problema segue que y() =. e y() =.. Queremos determinar um t tal que y(t ) =... Usando o fato que y() =., segue que y(t) =.e kt. Usando o fato que y() =., segue que. = y() =.e k e k = k = ln() k = ln(). Portanto a função que representa o número de bactérias presente em cada instante de tempo t é dada por y(t) =.e ln() t. Para y(t ) =.. segue que.. = y(t ) =.e ln() t e ln() t =. ln() t = ln(.) t = ln(.) ln() = (6, ), = 8, , , 6. Portanto, existirão.. de bactérias após 9,6 minutos, isto é, em hora 59 minutos e 36 segundos. Exemplo.6.3 A taxa de crescimento da população de uma certa cidade é proporcional ao número de habitantes nela existente a cada instante de tempo t. Se a população aumenta de 4. habitantes para 6. em 4 anos, depois de quantos anos a população será de 8. habitantes? Solução: Seja y = y(t) a função que representa a população da cidade presente em cada instante de tempo t. Segue que y(t) é dado por y(t) = y()e kt, onde k é a taxa de crescimento da população. Dos dados do problema segue que y() = 4. e y(4) = 6.. Precisamos determinar t tal que y(t ) = 8.. Usando o fato que y() = 4., segue que y(t) = 4.e kt. Usando o fato que y(4) = 6., segue que 6. = y(4) = 4.e 4k e 4k = 6 4 = 3 4k = ln(3/) k = ln(3/). 4 Portanto a função que representa a população da cidade em cada instante de tempo t é dada por y(t) = 4.e ln(3/) 4 t. 55

56 Para y(t ) = 8., segue que 8. = y(t ) = 4.e ln(3/) t 4 e ln(3/) t 4 = = e ln() ln(3/) t = ln() 4 t = 4 ln() ln(3) ln() = 4(, ), , Portanto, existirão 8. habitantes após 68,4 anos. = 7, 74..., , , 4. Exemplo.6.4 A mortalidade no inverno de uma certa espécie de animal selvagem numa dada região do hemisfério norte apresenta uma taxa proporcional ao número de indivíduos presentes em qualquer momento. Havia.4 indivíduos da espécie em de dezembro (primeiro dia de inverno) e 3 dias depois havia.. Sabendo que o inverno dura 9 dias, quantos indivíduos da espécie deverão sobreviver ao inverno? Solução: Seja y = y(t) a função que representa o número de indivíduos presentes em cada instante de tempo t. Segue que y(t) é dado por y(t) = y()e kt, onde k é a taxa proporcional. Suponhamos que o dia de dezembro (primeiro dia de inverno) representa t =. Portanto, dos dados do problema segue que y() =.4 e y(3) =.. Como o inverno dura 9 dias e precisamos saber quantos indivíduos da espécie deverão sobreviver ao inverno, devemos determinar y(9) que representa o total de indivíduos após o inverno. Usando o fato que y() =.4, segue que y(t) =.4e kt. Usando o fato que y(3) =., segue que. = y(3) =.4e 3k e 3k = 5 6 3k = ln(5/6) k = ln(5/6). 3 Portanto a função que representa o número de indivíduos presentes em cada instante de tempo t é dada por y(t) =.4e ln(5/6) 3 t. Assim, segue que y(9) =.4e ln(5/6) 3 9 =.4e 3 ln(5/6) =.4e ln[(5/6)3] =.4(5/6) 3 =.4(5/6) =.4(, ) = 388, Portanto, após o inverno terão sobrevivido aproximadamente 389 indivíduos. 56

57 .7 Crescimento Limitado Suponhamos que uma quantidade cresça segundo uma taxa proporcional à diferença entre um número A > fixo e seu tamanho. Se y = y(t) é a quantidade presente em cada instante de tempo t, então dy = k(a y), (.) dt onde k > é a taxa de proporcionalidade e y < A, para todo t. A Eq. (.) tem solução dada por y(t) = A Be kt, (.3) onde A, B e k são constantes positivas. Observação:. Notemos que lim y(t) = A, isto é, y = A é assíntota horizontal para o gráfico da função t + y(t). Isto implica que o crescimento da função y(t) é limitado pela assíntota y = A. Por esta razão esse tipo de crescimento é denominado crescimento limitado.. O gráfico da função y(t) = A Be kt é algumas vezes denominado curva de aprendizagem. O nome é apropriado quando y(t) representa a competência segundo a qual uma pessoa realiza uma tarefa. Ao iniciar uma atividade, a competência de um indivíduo aumenta rapidamente e depois mais vagarosamente, já que uma experiência adicional tem pouco efeito na habilidade de realizar a tarefa. Exemplo.7. Um operário recém-contratado realiza uma tarefa com mais eficiência a cada dia que passa. Se y unidades forem produzidas por dia, após t dias no trabalho, então dy dt = k(8 y), onde k > e y < 8, para todo t. O empregado produz unidades no primeiro dia de trabalho e 5 unidades por dia após dias de trabalho. a) Quantas unidades por dia ele estará produzindo após 3 dias de trabalho? b) Mostre que após 6 dias ele estará produzindo apenas unidade a menos do que seu potencial completo. Solução: Resolvendo a equação diferencial encontramos y(t) = 8 Be kt. Dos dados do problema temos que y() = e y() = 5. Usando o fato que y() = segue que B = 6. Portanto, y(t) = 8 6e kt. Por outro lado, usando que y() = 5, segue que 5 = y() = 8 6e k e k = k = ln(/) = ln() k = ln(). 57

58 Portanto a função que representa o número de unidades produzidas por dia é dada por y(t) = 8 6e ln() t. a) No item a) precisamos determinar y(3). Temos y(3) = 8 6e ln() 3 = 8 6e 3 ln() = 8 6e ln( 3) = 8 6( 3 ) = 8 6/8 = 8 7, 5 = 7, 5. Após 3 dias o empregado estará produzindo 7,5 unidades por dia. b) O potencial completo do empregado é 8, pois lim y(t) = lim (8 6e ln t) = 8. t + t + Portanto devemos mostrar que y(6) 79. De fato, temos y(6) = 8 6e ln() 6 = 8 6e 6 ln() = 8 6e ln( 6 ) = 8 6( 6 ) = 8 6/64 = 8, 9375 = 79, Crescimento Logístico Uma população y(t) cujo crescimento não é limitado pela falta de espaço ou de recursos pode, muitas vezes, ser modelada por uma função de crescimento exponencial. Entretanto, no caso em que existem limitações, é razoável supor que existe uma certa população máxima B que o ambiente é capaz de sustentar (chamada de capacidade de sustento) e que, em qualquer instante t, a taxa de crescimento relativa da população é proporcional ao máximo aumento possível da população, B y(t), ou seja, y (t) y(t) = k(b y(t)), onde k é uma constante positiva de proporcionalidade. Esta relação leva à equação dy dt = ky(b y), chamada de equação logística e o modelo de crescimento limitado pelo ambiente é conhecido como modelo logístico. Resolvendo a equação logística, encontramos que y(t) = B + Ce Bkt, onde C é uma constante. Além do seu papel da modelagem do crescimento populacional com restrições, a equação logística também pode ser usada para descrever o comportamento da economia e as interações em um grupo social, como a disseminação de boatos e a disseminação de uma epidemia. 58

59 Exemplo.8. A taxa com a qual uma epidemia se espalha em uma população com. pessoas suscetíveis é proporcional ao número de pessoas infectadas e ao número de pessoas suscetíveis que ainda não foram infectadas. Expresse o número de pessoas infectadas em função do tempo (em semanas), se 5 pessoas têm inicialmente a doença e existem 855 pessoas infectadas após a primeira semana. Solução: Seja y(t) a função que representa o número de pessoas suscetíveis infectadas no instante t e seja B o número total de pessoas suscetíveis. Temos que dy = ky(b y), dt onde k > é a taxa de proporcionalidade. Resolvendo a equação logística, encontramos que y(t) = B + Ce Bkt, onde k e C são as constante a serem calculadas. Dos dados do problema, temos que B =., y() = 5 e y() = 855. Neste caso a função é dada por y(t) = + Ce. kt Usando o fato que y() = 5, segue que 5 = y() = + C Donde segue que y(t) = 855 = y() = + C = 5 = 4 C = 4 = 3.. Usando o fato que y() = 855, segue que + 3e kt +3e k = + 3e k 855 = 4 7 3e k = 4 9 = 7 7 e k = 9 k = ln(9) ln(53) 53 ln(9) ln(53) 5, 43 6, 4, 8 k = = =. Portanto, o número de pessoas infectadas em função do tempo (em semanas) é dada pela função y(t) = + 3e.,8t.9 Juros Compostos Continuamente Suponhamos que o investimento de P unidades monentárias cresça segundo uma taxa proporcional a seu tamanho. Se y(t) for a quantia após um período de tempo t, teremos dy dt = ky, onde k é a constante de proporcionalidade e y() = P. Resolvendo a equação encontramos que y(t) = P e kt. Observação: Se um investimento cresce a uma taxa proporcional a seu tamanho, então os juros são compostos continuamente e a taxa de juros é a constante de proporcionalidade. 59

60 Exemplo.9. Se 5. reais forem emprestados a uma taxa de juros de % ao ano, compostos continuamente, e o empréstimo tiver que ser pago em uma só vez ao final do ano, quanto deve ser pago a pessoa que emprestou? Solução: Seja y(t) a função que representa a quantia do investimento em cada instante de tempo t. Então, segue que y(t) = P e kt, onde P é a quantia investida e k é a taxa de juros. Pelos dados do problema, temos que P = 5 e k = % = / =,. Logo, escrevemos y(t) = 5.e,t. Como a quantia investida deve ser paga após um ano, e a taxa é anual, devemos determinar y(). Neste caso temos y() = 5.e, = 5.(.75) = 5.637, 5. Portanto, deve ser pago ao final do ano o valor de 5.637,5 reais. 6

61 . Integração Numérica Nesta secção, apresentamos alguns métodos numéricos para estimar o valor de uma integral definida b f(x)dx por fórmulas que usam o valor de f(x) em apenas um número finito de a pontos no intervalo [a, b]... Regra do Trapézio Teorema.. (Regra do Trapézio) Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a, b]. Se os números a = x < x <... < x n = b formam uma partição regular de [a, b] então b a f(x)dx b a ( ) f(x ) + f(x ) + f(x ) f(x n+ ) + f(x n ). n Exemplo.. Ache uma aproximação para a integral 3 dx usando a regra do 6 + x trapézio com n = 6. Expresse o resultado com 3 casas decimais. Solução: Temos f(x) = 3, a =, b = 3 e n = 6. Pela regra do trapézio, temos 6 + x 6 + x dx 4 [f(x ) + f(x ) + f(x ) f(x 5 ) + f(x 6 )]. Devemos dividir o intervalo [, 3] em 6 partes iguias onde cada parte deve ter amplitude h = 3 =. Neste caso, temos 6 x = a = ; x = x + h = + / = /; x 4 = x 3 + h = 3/ + / = ; x = x + h = / + / = ; x 5 = x 4 + h = + / = 5/; x 3 = x + h = + / = 3/; x 6 = b = 3. Portanto, f(x ) = f() = 6 ; f(x ) = f(/) = 4 65 ; f(x ) = f() = 7 ; f(x 3 ) = f(3/) = 4 73 ; f(x 4 ) = f() = ; f(x 5 ) = f(5/) = 4 89 ; f(x 6 ) = f(3) = 5. Substituindo, temos x dx 4( ), Com 3 casas decimais, temos 3 dx, x 6

62 Exemplo..3 Use a regra do Trapézio com n = para obter uma aproximação da integral x dx. Solução: Temos f(x) =, a =, b = e n =. Devemos dividir o intervalo [, ] em x partes iguias onde cada parte deve ter amplitude h =. Neste caso teremos Portanto, x = ; x = ; x = ; x 3 = 3 ; x 4 = 4 ; x 5 = 5 ; x 6 = 6 ; x 7 = 7 ; x 8 = 8 ; x 9 = 9 ; x =. f(x ) = ; f(x ) = ; f(x ) = ; f(x 3) = 3 ; f(x 4) = 4 ; f(x 5 ) = 5 ; f(x 6) = 6 ; f(x 7) = 7 ; f(x 8) = 8 ; f(x 9) = 9 ; f(x ) =. Pela regra do trapézio, temos x dx [f(x ) + f(x ) + f(x ) f(x 9 ) + f(x )], Observação: Usando o teorema fundamental do cálculo, temos que dx = ln(). Pelo x exemplo anterior, segue que ln(), Exercício: Use a regra do Trapézio com n = para obter uma aproximação da integral ex dx... Regra de Simpson Teorema..4 (Regra de Simpson) Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a, b] e n um número inteiro ímpar. Se os números a = x < x <... < x n = b formam uma partição regular de [a, b] então b a f(x)dx b a ( ) f(x ) + 4f(x ) + f(x ) + 4f(x 3 ) + f(x 4 ) f(x n ) + f(x n ). 3n Exemplo..5 Use a regra de impson com n = para obter uma aproximação para a integral x dx. Solução: Temos f(x) = x, a =, b =, n = e h =. Neste caso teremos x = ; x = ; x = ; x 3 = 3 ; x 4 = 4 ; x 5 = 5 ; 6

63 Portanto, x 6 = 6 ; x 7 = 7 ; x 8 = 8 ; x 9 = 9 ; x =. f(x ) = ; f(x ) = ; f(x ) = ; f(x 3) = 3 ; f(x 4) = 4 ; f(x 5 ) = 5 ; f(x 6) = 6 ; f(x 7) = 7 ; f(x 8) = 8 ; f(x 9) = 9 ; f(x ) =. Pela regra de Simpson, temos x dx ( ) f(x ) + 4f(x ) + f(x ) + 4f(x 3 ) f(x 9 ) + f(x ), Fórmula Prismoidal Teorema..6 (Fórmula Prismoidal) Seja f uma função polinomial cujo grau não excede 3. Então b f(x)dx = b a [ f(a) + 4f( a + b ] 6 ) + f(b). a Exemplo..7 Use a fórmula prismoidal para calcular (x3 + )dx. Solução: Usando a fórmula prismoidal com f(x) = x 3 +, temos (x 3 + )dx = 6 [ f() + 4f( + ] ) + f() = ( ) =

64 . Exercícios ) Usando integração por frações parciais, calcule as seguintes integrais: a) x 8 dx d) x 4 b) x + 5x + 6 dx 5 dx e) x 3 + x c) x x + 3x + dx x + 5x + 6 dx a) x + 9dx b) x 9dx c) 9 x dx d) x 8dx f) x + x + x 3 + 3x + 3x + dx g) x + x(x + ) dx ) Usando substituições trigonométricas, calcule as seguintes integrais: e) x + 5dx f) dx 4 + x g) x x + 3 dx h) dx x 6 3) Calcule as integrais impróprias se elas convergirem: a) + e x dx b) 3 (9 x) dx c) 6 dx (x 3) /3 d) + x 5 3 dx 9 x e) + ln(x)dx f) + e x[ln(x)] dx g) 8 3 dx x h) x (x ) dx 4) Verifique que a) + r sen(x)dx = b) lim sen(x)dx =. r r 5) Verifique que as integrais abaixo são convergentes a) + e x dx b) e x x dx. h) x x + x (x + ) dx. i) 3 4x dx j) dx x 6 x k) 9 x x. i) j) 3 k) 3 5 ln(x) x dx dx 3 x x x 9 dx l) 7 dx. (x + ) /3 6) Use a regra do trapézio com n = 4 para obter uma aproximação de + x3 dx. Resp.:,. 7) Use a regra de Simpson com n = 4 para obter uma aproximação de 3 (x +)dx. Estime o erro máximo cometido na aproximação. Resp.:, 67. 8) Use a fórmula π 4 = dx e a regra de Simpson com n = 4, para estimar um valor + x para π. 9) Determine o comprimento de arco do gráfico da função f definida por f(x) = x /3 entre os pontos (8, 3) e (7, 8). Resp.: S = 7 (853/ 4 3/ ) 9, 65. ) Determine o comprimento de arco da curva y = x 3/ no intervalo [, 5]. Resp.: ) Determine o comprimento de arco do gráfico da equação 8x = y 4 + /y entre os pontos (3/8, ) e (33/6, ). Resp.: 33/6. 64

65 ) A região delimitada pelo eixo x e pelos gráficos de x =, x = e y = x + gira em torno do eixo x. Ache o volume do sólido resultante. Resp.: 393 π. 3) A região do primeiro quadrante delimitada pelos gráficos de y = 8 x3 e y = x gira em torno do eixo y. Determine o volume do sólido resultante. Resp.: 5 5 π. 4) Determine o volume do sólido de revolução S gerado pela revolução da região R em torno do eixo y, onde R é a região plana limitada à direita pelo gráfico de x =, à esquerda pelo gráfico de y = x 3 e abaixo pelo eixo x. Resp.: 64π/5. 5) Uma partícula se desloca ao longo do eixo x com aceleração dada por a(t) = t + para t. Considere v = v(t) e s = s(t), respectivamente, a velocidade t e o deslocamento da partícula em t segundos. Se v() = 9 e s() = 6, determine as funções que representam v e s em função de t. Resp.: v(t) = t t + ln(t) + 8 e s(t) = 3 t3 5t + tln(t) + 6t ) Uma partícula se desloca ao longo do eixo x com aceleração dada por a(t) = 8 t para t. Quando t =, sua velocidade é igual a 9 m/s e sua posição em relação à origem é 6 5 m. a) Ache a função que representa a velocidade da partícula em cada instante de tempo; 48 b) Determine o deslocamento da partícula em t = segundos. Resp.: a)v(t) = 8 t+ t 9 6 ; b)s() = ln(). 7) A taxa de crescimento natural da população de certa cidade é proporcional ao número de habitantes. Se a população aumenta de 4. para 6. em 4 anos, com quantos anos a população será de 8. habitantes? Resp.: 68, 4 anos. 8) A população de determinada cidade dobrou em 6 anos, de 89 a 95. Se a taxa de crescimento natural da população em qualquer instante for proporcional à população naquele instante e a população em 95 era de 6., qual é a população no ano.. Resp.: 8.. 9) A população de uma cidade decresce a uma taxa proporcional a seu tamanho. Em 975 ela era de 5. e em 985, 44.. Qual a população em 995? Resp.: ) Após um ano de uso, a taxa de depreciação de um automóvel em qualquer instante é proporcional a seu valor naquele instante. Se um automóvel foi comprado em de Junho de 988 e seus valores em de Junho de 989 e 99 eram, respectivamente, 7. e 5.8 reais, qual o valor do carro em de Junho de 994? Resp.:.734 reais. ) O crescimento das bactérias numa certa cultura se faz segundo uma taxa proporcional ao número de bactérias presentes. Se inicialmente existem. bactérias e o número dobra em 3 minutos, quantas bactérias haverá em horas? Resp.: 6 bactérias. ) A mortalidade no inverno de uma certa espécie de animal selvagem numa dada região do hemisfério norte apresenta uma taxa proporcional ao número de indivíduos presentes em qualquer momento. Havia.4 indivíduos da espécie em de dezembro (primeiro dia 65

66 de inverno) e 3 dias depois havia.. Sabendo que o inverno dura 9 dias, quantos indivíduos da espécie deverão sobreviver ao inverno? Resp.: ) Suponha que faltem 3 horas para um estudante fazer um exame e durante esse tempo ele deseja memorizar um conjunto de 6 fatos. De acordo com os psicólogos, a taxa segundo a qual uma pessoa pode memorizar um conjunto de fatos é proporcional ao número de fatos que restam para serem memorizados. Assim, se o estudante memorizar y fatos em t minutos, então dy = k(6 y) dt onde k é uma constante positiva e y < 6 para todo t. Supõe-se que inicialmente zero fato seja memorizado. Se o estudante memoriza 5 fatos nos primeiros minutos, quantos fatos ele irá memorizar em a) hora; b)3 horas? Resp.: a)34, 7 b)55, 5. 4) Um trabalhador recém-contratado para uma linha de montagem pode fazer uma determinada tarefa, de tal forma que se y unidades forem completadas por dia após t dias na linha de montagem, então dy = k(9 y) dt onde k é uma constante positiva e y < 9 para todo t. No primeiro dia de trabalho 6 unidades são completadas e após 5 dias, o trabalhador faz 75 unidades por dia. a) Quantas unidades por dia ele estará fazendo após 9 dias no trabalho? Resp.: 8 b) Mostre que após 3 dias ele estará fazendo quase a pleno potencial. 5) Ache os juros recebidos num investimento de 5 reais ao final de um ano, se a taxa anual de juros for de % compostos continuamente. Resp.: 5, 59 reais. 6) Se certa quantia investida dobra em anos a juros compostos continuamente, quanto tempo levará para que a quantia inicial triplique? Resp.: 5, 9 anos. Respostas Questão : a) 8 ln x 8 x + + C; b) 8 ln x C; c) ln (x + 3) 3 + C; d) x 5 (x + ) 3 x3 5 x 9x + 6 ln x + 8 ln x C; e) (x + )5 x 3x + ln + C; f) x + + x + ln x + + C; g) (x + ) x + + ln x 4x + + C; h) x + x(x + ) + 3 ln x + + C. x Questão : a) x x ln x + x C; b) x x 9 9 ln x + x 9 + C; c) x 9 x + 9 arcsen(x/3) + C; d) x x 8 4 ln x + x 8 + C; e) x x ln x+ x + 5 +C; f) ln x+ 4 + x +C; g) x + 3+C; h) ln x+ x 6 +C; i) x 8 x + 8 arcsen( x 6 x ) + C; j) 9 x + C; k) arcsen( x 6x x 3 ) + C. Questão 3: a) e ; b) 6 ; c) 3( ); d) ; e) ; f); g) 9 ; h) ; i) ; j) 3; k) 4; l) 9. 66

67 67

68 Capítulo 3 Integrais Impróprias Quando estudamos a integral definida, pudemos calcular áreas de regiões do plano que são limitadas usando a integral definida. Se quisermos calcular a área de regiões ilimitadas, teremos que utilizar as integrais impróprias. As integrais impróprias aparecem quando um (ou ambos) os limites de integração é infinito ou quando a função a ser integrada é descontínua em um (ou em ambos) os limites de integração. 3. Integrais com Extremos de Integração Infinito Considere a região R sob o gráfico da equação y = /x à direita de x = (figura ). Observe que a região R se estende indefinidamente para a direita e, por conseguinte, é ilimitada. À primeira vista talvez não esteja claro o significado do termo área de tais regiões ilimitadas. Para entender isto, seja R b a região limitada sob o gráfico de y = /x 68

69 entre x = e x = b (figura ). A área de R b é dada por área de R b = b x dx = b = x b. Para valores muito grandes de b, a região limitada R b, pode ser considerada como uma boa aproximação da região limitada R. De fato, isto nos induz a escrever R = lim b R b. Por conseguinte, pode-se esperar que área de R = lim b (área de R b ) = lim b ( b De um modo mais geral, estabelecemos a seguinte definição: ) = unidades de área. Definição 3.. Para integrais impróprias com limites de integração infinito, temos i) Se f é contínua para todo x a, definimos + a f(x)dx = lim b + ii) Se f é contínua para todo x b, definimos b f(x)dx = b a b lim a a f(x)dx. f(x)dx. iii) Se f é contínua para todo x e c é um número real qualquer, definimos + desde que os limites existam. f(x)dx = lim a c a f(x)dx + lim b + b c f(x)dx, Observação: Se os limites dados acima existem, dizemos que a integral é convergente. Caso contrário é dita divergente. Em geral, o número c que aparece no item iii) acima é considerado como sendo zero. Exemplo 3.. Calcule a integral imprópria dada (se ela for convergente). a) + e x dx. Solução: Usando o item i) da definição acima, temos + e x dx = lim b + b ( e x dx = lim e x b) b + b) x dx. 3 Solução: Usando novamente o item i) da definição acima, segue que dx = lim x3 b + b = lim b ( e b + ) =. ( dx = lim b) ( = lim x3 b + x b b + ) =. 69

70 c) (4 x) dx. Solução: Usando o item ii) da definição acima, temos dx = lim (4 x) a d) ex dx. Solução: Usando o item ii) da definição acima, temos e x dx = a lim a ( dx = lim ) = (4 x) a 4 x a. a e x dx = e) + xe x dx. Solução: Usando o item i) da definição acima, temos + xe x dx = lim b + b f) + xe x dx. Solução: Usando o item i) da definição acima, temos + xe x dx = lim b + b g) + sen(x)dx. Solução: Usando o item i) da definição acima, temos + sen(x)dx = lim b + b lim a (e x ) =. ( xe x dx = lim b) b + e x =. [ xe x dx = lim ( xe x e x ) b + a b ] =. sen(x)dx = lim ( cos(x) b ) = lim ( cos(b)) = lim cos(b) b + b + b + Como não existe lim b + cos(b), segue que a integral é divergente. h) + xdx. Solução: Usando o item iii) da definição acima, temos + xdx = lim a c a xdx + lim b + b c xdx = lim a (c a ) + lim b + (b c ). Como lim a (c a ) = e lim a (b c ) = +, segue que a integral é divergente. i) + x (x + ) dx. Solução: Usando o item iii) da definição acima, escrevemos + x dx = lim (x + ) a a x dx + lim (x + ) b + b x (x + ) dx. Utilizando a substituição u = x +, temos x (x + ) dx = u du = u + C = (x + ) + C. 7

71 Logo, lim a a Analogamente, Donde segue que x [ dx = lim ] (x + ) a (x + ) a + b x lim b + (x + ) dx =. x (x + ) dx = + =. Exemplo 3..3 Verifique se existe o limite lim r + r r xdx. Solução: Usando o teorema fundamental do cálculo, temos r lim r + r xdx = lim r + ( x r r ) [ = lim a + ] = (a + ). = ) (r lim ( r) = r + lim =. r + Exemplo 3..4 Verifique se é possível representar por um número, a medida da área da região à direita da reta x =, abaixo do gráfico de y = /x e acima do eixo x. Solução: Devemos verificar se a integral + dx é convergente. Se a integral convergir, x o seu valor será a medida da área que queremos. Temos + dx = lim x b + b ( dx = lim ln(b) ln()) = lim ln(b) = +. x b + b + Portanto, não é possível representar por um número a medida da área desejada. 3. Integrais com Descontinuidade nos Extremos de Integração Consideremos o problema de encontrar a área da região limitada pela curva f(x) = x, o eixo x, o eixo y e a reta x = 4. Se existe um número que represente essa área, ele é dado pela integral 4 dx. x Notemos que o integrando é descontínuo em e que lim x + = +. Neste caso, x dizemos que o integrando tem uma descontinuidade infinita no extremo inferior. Para determinar essa integral imprópria, usaremos a seguinte definição: Para integrais impróprias com descontinuidade nos extremos de inte- Definição 3.. gração, temos: 7

72 i) Se f é contínua em (a, b] e se lim x a + f(x) = ±, definimos b a f(x)dx = lim t a + b t f(x)dx. ii) Se f é contínua em [a, b) e se lim x b f(x) = ±, definimos b a f(x)dx = lim t b t a f(x)dx. iii) Se f é contínua em [a, b] exceto em c (a, b) e se lim x c f(x) = +, definimos b desde que os limites existam. a) 4 a f(x)dx = lim t c t a f(x)dx + lim s c + Exemplo 3.. Calcule o valor das integrais, caso existam. dx b) x Solução: a) Notemos que 4 b s f(x)dx, (x ) dx c) x ln(x)dx. x é contínua em (, 4] e que lim x + x dx = lim t + 4 t x = +. Portanto, x / dx = lim t +( x 4 ) = lim t t +(4 t) = 4 = 4. b) O integrando tem uma descontinuidade infinita em x =. Portanto, t dx = lim dx + lim (x ) t (x ) s + s (x ) dx ( = lim t ) ( + lim ) = lim t x s + x s t x + lim s + s. Como os limites não existem, a integral é divergente. Observação: Notemos que calculando a integral dx do modo direto, teríamos (x ) (x ) dx = = =, x o que seria uma contradição, pois é sempre positivo. (x ) c) O integrando tem uma descontinuidade infinita em x =. Portanto, ( ) x ln(x)dx = lim x ln(x)dx = lim t + t + x ln(x) x = lim ( 4 t t + t ln(t) ) 4 Usamos que t ln(t) lim t ln(t) = lim t + t + /t = lim /t t + /t = lim 3 t t + =. = 4. 7

73 3.3 Critério para determinar quando uma integral imprópria é convergente Para determinar se uma integral imprópria é convergente utilizamos os seguintes resultados: Teorema 3.3. Sejam f e g funções contínuas definidas no intervalo [a, + ) satisfazendo f(x) g(x), para todo a. Então i) Se + a g(x)dx <, tem-se + a f(x)dx < ; ii) Se + a f(x)dx =, tem-se + a g(x)dx =. O próximo resultado é análogo ao anterior. Teorema 3.3. Sejam f e g funções contínuas definidas no intervalo [a, b) satisfazendo f(x) g(x), para todo a x < b. Então i) Se b g(x)dx <, tem-se b f(x)dx < ; a a ii) Se b f(x)dx =, tem-se b g(x)dx =. a a Exemplo Verifique se as integrais abaixo são convergentes. a) + Solução: e x x dx b) e x x dx c) + e x dx. a) Para x [, + ), temos x x e x x e x. Por outro lado, + b ( e x dx = lim e x dx = lim e x b) = b + b + e <. Como e x x e x e + e x dx <, segue que + dx <. Portanto a integral é x convergente. b) Para x (, ), temos < x < e x < e x <. Por outro lado, x x x dx = lim a + a ( x / dx = lim x / ) a + a e x = lim a +( a) = <. Como e x < e dx = <, segue que e x dx <. Portanto a integral é x x x x convergente. c) Para x [, + ), temos x x x x x e x e x. Por outro lado, + e x dx = lim b + b e x dx = lim b + ( e x b) = e <. Como e x e x e + e x dx <, segue que + e x dx <. Portanto a integral é convergente. 73

74 Capítulo 4 Sequências e Séries Numéricas 4. Sequências 4.. Definições Quando aprendemos contar, começamos a enumerar um por um os números seguindo uma ordem crescente. Posteriormente, aprendemos contar os números pares e ímpares. A forma como escrevemos esses números nos dá uma idéia de sequência. Por exemplo, escrevemos estes números na forma,, 3, 4,..., 4, 6, 8,..., 3, 5, 7,... Para cada um destes casos, podemos resumir os termos destas sequências escrevendo a lei de formação. Por exemplo, as três sequências acima podem ser representadas por números da forma n, n e n, respectivamente. Estes números são denominados termos genéricos da sequência e representamos as sequências, respectivamente, por {n}, {n}, e {n }. Por exemplo, quando escrevemos {n }, estamos denotando a sequência, 4, 9, 6, 5,... Quando temos um número finito de elementos da sequência, dizemos que a sequência é finita, caso contrário, é dita infinita. Estamos interessados aqui em sequências infinitas, portanto, quando usarmos a palavra sequências devemos entender que se trata de sequências infinitas. Para cada função f, temos definida uma sequência de números da forma f(), f(), f(3),... que é denotada por {f(n)}. A partir daí temos a seguinte definição de sequência de números reais. Definição 4.. Uma sequência de números reais é uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros positivos e o contradomínio é o conjunto dos números reais. 74

75 Os números na imagem de uma sequência são chamados de elementos da sequência. Como o domínio de toda sequência é o mesmo, a notação {f(n)} será usada para denotar uma sequência. A notação com subíndice {a n } é também usada para denotar a sequência para a qual f(n) = a n. O termo a n = f(n) é o n-ésimo termo da sequência denominado termo geral da sequência. O conjunto dos elementos da sequência será o conjunto dos pares ordenados (n, f(n)), onde n é um inteiro positivo. Sabendo-se o termo geral de uma sequência, podemos determinar os seus elementos. Por exemplo, se o termo geral de uma sequência é a n = n, então teremos n + a =. + = 3, a =. + = 5, a 3 = = 3 7, a 4 = = 4 9, a 5 = 5, e assim por diante. Logo a sequência é dada por (,, 3, 4, 5,..., n,...) n+ Geralmente, o n-ésimo elemento da sequência é dado quando os elementos aparecem em ordem. Neste caso, se conhecemos os elementos de uma sequência podemos determinar seu termo geral. Por exemplo, a sequência de números reais (,,,,...) possui termo geral 3 4 dado por a n = /n. Assim, escrevemos a sequência na forma (,,,,...,,...). 3 4 n Dizemos que a sequência (a, a, a 3,..., a n,...) é igual a sequência (b, b, b 3,..., b n,...) se, e somente se, a i = b i para todo i inteiro positivo. Como uma sequência é uma ordenação de elementos, podemos ter sequências com os mesmos elementos e não serem iguais. Por exemplo, as sequências (,,,,...) e (...,,,, ) possuem os mesmos elementos mas são sequências diferentes. Um ponto importante no estudo de sequências é a sua convergência. Isto é, saber como se comporta a sequência quando n. Definição 4.. Dizemos que L é o limite de uma sequência {a n } se dado ɛ >, existir N > tal que a n L < ɛ, n N. Neste caso, dizemos que a sequência é convergente e escrevemos Observações: lim a n = L ou a n L quando n. n. Se a sequência não é convergente, ela é dita divergente.. A definição acima nos diz que dado qualquer intervalo aberto (L ɛ, L + ɛ), existe N > tal que a n (L ɛ, L + ɛ) sempre que n N. 3. As operações com limites de funções também são válidas para limites de sequências. Exemplo 4..3 Mostre que a sequência a n = n n + tem limite quando n. 75

76 Solução: Devemos mostrar que dado ɛ >, existe N > tal que se n é um inteiro, então Notemos que Temos que (n + ) n N n n + < ɛ. n n + = = (n + ) (n + ) ɛ < ɛ se n >. Portanto, tomando N = ɛ 4ɛ 4ɛ n N n n + = (n + ) < ɛ. segue que Teorema 4..4 Suponhamos que lim x + f(x) = L para x R. Se f estiver definida para todo inteiro positivo, então lim n + f(n) = L quando n é um inteiro positivo qualquer. Exemplo 4..5 Determine o limite lim n + Solução: Sejam x R e f(x) = lim x + n n +. x. Temos que x + x x + = lim x + + /x = /. n Pelo Teorema 4..4, segue que lim n + n + =. { 4n } Exemplo 4..6 Determine se a sequência é convergente ou divergente. n + Solução: Precisamos determinar se existe o limite lim n + 4n lim x + 4x x + = lim x /x =. n +. Temos 4n Pelo Teorema 4..4, segue que lim n + =. Logo a sequência converge para. n + { } Exemplo 4..7 Determine se a sequência ( ) n + é convergente ou divergente. ) Solução: Precisamos determinar se existe o limite lim n + (( ) n +. Os elementos da sequência são,,,,,,,,..., ( ) n +,... Note que o termo geral da sequência é dado por {, se n é ímpar a n =, se n é par. 76

77 Portanto, é razoável pensar que a sequência é divergente. Para provar isso, vamos supor que a sequência converge para um número L) e tentar chegar a uma contradição. Logo, supondo que existe o limite lim n + (( ) n + = L segue que dado ɛ = /, existe N > tal que se n for um inteiro então Ou ainda, n N ( ) n + L < / / < ( ) n + L < /. n N { / < L < /, se n é ímpar, / < L < /, se n é par. Mas se / < L, então L > 3/ > /, o que é uma contradição, L < /. Logo a sequência é divergente. { } Exemplo 4..8 Verifique se a sequência n sen(π/n) é convergente ou divergente. Solução: Precisamos verificar se existe o limite lim n + n sen(π/n). Fazendo f(x) = xsen(π/x) e usando a Regra de L Hôpital, segue que lim xsen(π/x) = lim sen(π/x) x + x + /x π = lim x cos(π/x) = lim π cos(π/x) = π. x + /x x + Pelo Teorema 4..4, segue que lim n + n sen(π/n) = π. Portanto, a sequência converge para π. Observação: Os teoremas sobre limites de funções também são válidos para limites de sequências. No enunciado desses teoremas são usados a terminologia de sequências. Teorema 4..9 Sejam {a n } e {b n } sequências convergentes e c uma constante. Então i) lim n + c = c; ii) iii) iv) lim c a n = c lim a n; n + n + lim (a n ± b n ) = n + lim a nb n = n + a n v) lim = n + b n ( lim a n ± lim b n; n + n + )( ) lim b n ; n + lim n + a n lim n + a n lim n + b n Exemplo 4.. Verifique se a sequência se lim b n e todo b n. n + { n n + sen(π/n) } é convergente ou divergente. 77

78 Solução: Escrevendo e notando que existem os limites existe o limite lim n + n [ n + sen(π/n) = n [ n + sen(π/n) = lim n + lim n + n n + n n + = / e Logo a sequência é convergente e converge para π. ][ ] n sen(π/n), lim n sen(π/n) = π, segue que n + n ][ ] lim n + n sen(π/n) = [/][π] = π n Sequências Monótonas e Limitadas Definição 4.. Dizemos que a sequência {a n } é crescente se a n a n+ para todo n. Analogamente, dizemos que a sequência {a n } é decrescente se a n a n+ para todo n. No caso em que a n < a n+ para todo n, a sequência é dita estritamente crescente e quando a n > a n+ para todo n, a sequência é dita estritamente decrescente. Uma sequência crescente ou decrescente é dita uma sequência monótona. Se a sequência não é crescente nem decrescente, ela é dita não-monótona. Exemplo 4.. Verifique se as sequências são monótonas crescentes, monótonas decrescentes { ou não-monótonas. { n } { ( ) n+ } a) b) c). n} n + n Solução: a) Fazendo a n =, segue que a n n+ =. Notemos que n+ > n + > n n > n + a n > a n+. Logo a sequência é monótona decrescente. A sequência é dada por,, 3,..., n, n +,... Observe que os elementos da sequência estão decrescendo à medida que n aumenta. b) Fazendo a n = n, segue que a n+ n+ = n+ = n+. Temos que a (n+)+ n+3 =, a 3 =, a 5 3 = 3 7 e, como < < 3, segue que se a sequência for monótona, será monótona crescente. Assim, suspeitamos que em geral, teremos Mas n n + n + n + 3 n n + n + n + 3. se, e somente se n(n + 3) (n + )(n + ) se, e somente se n + 3n n + 3n + se, e somente se. Como < segue que 78 n n + n + n + 3,

79 ou seja a n a n+. Portanto a sequência é monótona crescente. c) Fazendo a n = ( )n+, temos a n+ = ( )n+ temos que a =, a = n n +, a 3 = 3, a 4 = 4, a 5 =, e assim por diante. Neste caso, a sequência é dada por 5,, 3, 4, 5 ( )n+,...,, ( )n+ n n +,... Notemos que a > a, a < a 3, a 3 > a 4, a 4 < a 5, e assim por diante. Tomando três elementos quaisquer da sequência, segue que se n é ímpar, a n > a n+ e a n+ < a n+ e se n é par, a n < a n+ e a n+ > a n+. Portanto, a sequência não é crescente nem decrescente. Logo é uma sequência não-monótona. Definição 4..3 Uma sequência {a n } é dita limitada inferiormente se existe a > tal que a n a para todo n inteiro positivo, e é dita limitada superiormente se existe b > tal que a n b para todo n inteiro positivo. Dizemos que a é uma cota inferior ou limitante inferior para a sequência {a n } e b é uma cota superior ou limitante superior para a sequência {a n }. n Exemplo 4..4 O número zero é uma cota inferior para a sequência { }. De fato, n + os elementos da sequência são 3, 5, 3 7, 4 9,..., n n +,... Como zero é menor que qualquer elemento da sequência, segue que zero é uma cota inferior para a sequência. Notemos que é menor ou igual a qualquer elemento da sequência, 3 portanto, é também uma cota inferior para a sequência dada. Na verdade, todo número 3 menor ou igual a n é uma cota inferior para a sequência { }. 3 n+ Exemplo 4..5 Para a sequência { }, cujos elementos são n,, 3, 4,..., n,... segue que é uma cota superior e é uma cota inferior para a sequência dada. Na verdade, todo número maior ou igual a é uma cota superior e todo número menor ou igual a é uma cota inferior para a sequência { n }. Definição 4..6 Chamamos de supremo ou limitante superior mínimo de uma sequência {a n } a menor cota superior para a sequência {a n }. De modo análogo, chamamos de ínfimo ou limitante inferior máximo de uma sequência {a n } a maior cota inferior para a sequência {a n }. Denotamos o supremo e ínfimo de {a n }, respectivamente, por S = sup a n e I = inf a n. 79

80 Por exemplo, 3 Além disso, como n é o ínfimo da sequência { }, pois é a maior cota inferior dessa sequência. n+ 3 n n + = +, para todo n, segue que n é o supremo da sequência { }. n+ Por outro lado, é o supremo da sequência { } e é o ínfimo. n Observação: O supremo e o ínfimo de um conjunto A podem nao pertencer ao conjunto A. Quando o supremo pertence ao conjunto, dizemos que ele é o máximo do conjunto. Quando o ínfimo pertence ao conjunto, dizemos que ele é o mínimo do conjunto. Teorema 4..7 O número S é o supremo de um conjunto A se, e somente se, S é uma cota superior para A e se dado ɛ > existir x A tal que S ɛ < x. Analogamente, o número s é o ínfimo de A se, e somente se, s é uma cota inferior para A e se dado ɛ > existir x A tal que x < s + ɛ. Prova: Seja S o supremo de A e suponhamos por contradição que S ɛ x, x A. Então S ɛ é uma cota superior para A. O que é uma contradição, pois S ɛ < S e S é a menor cota superior para A. Suponhamos agora que S é cota superior para A satisfazendo S ɛ < x para algum x A e para ɛ > dado. Então nenhum número menor que S é cota superior para A. Portanto S é o supremo de A. A prova é análoga para o mínimo. Definição 4..8 Dizemos que a sequência {a n } é limitada se {a n } é limitada inferiormente e limitada superiormente ao mesmo tempo. Ou seja, se existe C > tal que a n C, para todo n inteiro positivo. Por exemplo, a sequência { } é limitada, pois é limitada inferiormente por e superiormente n por, isto é, a n. Notemos que < a n a n, para todo n inteiro positivo. Teorema 4..9 Toda sequência monótona e limitada é convergente. Reciprocamente, toda sequência convergente é limitada. Exemplo 4.. Verifique se as sequências são convergentes ou não. a) { } b) {n} c) {n n n! }. a) Notemos que a sequência { } é convergente, pois é uma sequência monótona decrescente n e limitada. Mais ainda, lim n =. b) A sequência {n} cujos elementos são,, 3, 4,..., n,... não é convergente, pois, apesar de n 8

81 ser monótona crescente, não é limitada superiormente. Neste caso, temos lim n n =. c) Os elementos da sequência { n n! } são,, 4 3, n,..., 3 n!, n+ (n + )!,... Notemos que a = a > a 3 > a 4, portanto a sequência parace ser decrescente. Para verificar isto, devemos ver que n n! n+ (n + )!. Mas, n n! n+ (n + )! n (n+)! n+ n! n (n+)n!. n n! n+ n. Como n segue que n n! n+ (n + )!, ou seja a n a n+. Portanto a sequência é monótona decrescente. Notemos ainda que a sequência é limitada superiormente por e limitada inferiormente por. Logo { n } é monótona decrescente e limitada, portanto, convergente. n! Teorema 4.. Se {a n } é uma sequência monótona crescente e limitada superiormente, então {a n } é convergente e converge para seu supremo. De modo análogo, se {a n } é uma sequência monótona decrescente e limitada inferiormente, então {a n } é convergente e converge para seu ínfimo Subsequências Definição 4.. Dizemos que {a nk }, k inteiro positivo, é uma subsequência da sequência {a n } se {n k } é uma sequência estritamente crescente de números naturais. Exemplo 4..3 Se a n = /n é uma sequência de números reais, então a k = k e a k+ = k + são subsequências de {a n}. Exemplo 4..4 Se a n = ( ) n + é uma sequência de números reais, então a k = 3 e a k+ = são subsequências de {a n }. Ou seja, { 3, se n é par, a n =, se n é ímpar. Teorema 4..5 Toda subsequência de uma sequência convergente é convergente e converge para o mesmo limite. Observação: Se uma sequência possui duas subsequências convergindo para limites diferentes, então ela não é convergente. Por exemplo, a sequência {( ) n } não converge, pois como a n = e a n+ =, segue que lim a n = e lim a n+ =, isto é, existem duas n n subsequências de {( ) n } convergindo para valores diferentes. Teorema 4..6 (Bolzano-Weirestrass) Toda sequência limitada possui uma subsequência convergente. 8

82 4..4 Sequências de Cauchy Definição 4..7 Dizemos que uma sequência {a n } é de Cauchy se dado ɛ >, existir N = N(ɛ) > tal que m, n N a m a n < ɛ. Exemplo 4..8 A sequência { n } é de Cauchy. De fato, dado ɛ >, existe N = > tal ɛ que m, n N a m a n = m n m + n N + N = N < ɛ. Teorema 4..9 (Critério de Cauchy) Uma sequência {a n } converge se, e somente se, é de Cauchy. Definição 4..3 (Espaços Completos) Dizemos que um espaço E é completo, se toda sequência de Cauchy definida neste espaço é convergente e converge para um elemento de E. Exemplo: Os números reais formam um espaço completo. 8

83 4. Séries 4.. Definição e Convergência Dada uma sequência {a n } podemos formar uma nova sequência {S n } somando os sucessivos elementos de {a n }. Isto é, S = a S = a + a S 3 = a + a + a 3 S 4 = a + a + a 3 + a 4. S n = a + a + a 3 + a a n. A sequência {S n } obtida dessa maneira da sequência {a n } quando n tende ao infinito é denominada série infinita. Ou seja, se {S n } é a sequência S n = n i= a i, então a n = lim S n. n Temos a seguinte definição: n= Definição 4.. Dada uma sequência {a n }, chamamos de série infinita a sequência dada por a n = a + a + a 3 + a a n +... n= Os números a + a + a 3 + a a n +... são chamados de termos da série infinita. Os números S + S + S 3 + S S n +... são chamados de somas parcias da série infinita. Exemplo 4.. Determine a série infinita formada pelas somas parcias de elementos da sequência { }, isto é, os elementos da série infinita n n=. n Solução: Temos que S = S = + = 3 S 3 = = = 7 4 S 4 = = = 5 8. S n = n. 83

84 Essa sequência de somas parciais {S n } é a série infinita = + n n n= Dada uma série infinita n= a n podemos determinar uma fórmula para S n em termos de n. Vejamos um exemplo abaixo. Exemplo 4..3 Dada a série infinita n= n(n + ), determine uma fórmula para S n em termos de n. Solução: Usando frações parciais, escrevemos Assim, temos que a n = n(n + ) = n n +. a =, a = 3, a 3 = 3 4, a 4 = 4 5, a 5 = 5 6,... Como S n = a + a + a 3 + a a n, segue que S n = ( ) ( + ( + 3) 3 ( + 4) 4 ( + 5) 5 ( ) n ) ( + n n ). n + Eliminando os parênteses e combinando os termos, segue que S n = n + = n n +. Nem sempre é possível determinar uma fórmula para S n como vimos no exemplo anterior. Vamos definir a seguir como determinar uma soma de uma série infinita. Definição 4..4 Sejam n= a n uma série infinita dada e S n a sequência das somas parciais que definem a série. Se lim n S n existir e for igual a S, dizemos que a série é convergente e S é a sua soma. Se lim n S n não existir, a série será divergente e não terá uma soma. Observação: Para uma série convergente, o símbolo n= a n é usado, denotando a série e a soma da série. Exemplo 4..5 Verifique se a série n= é convergente ou divergente. n Solução: Sendo a n =, segue que n a =, a =, a 3 = 4, a 4 = 8,... 84

85 Como a sequência das somas parciais é dada por S n = a + a + a 3 + a a n, segue que S n = (4.) n Para determinar se a série infinita tem uma soma, precisamos verificar se existe o limite lim n S n. Para isto, precisamos determinar uma fórmula para S n. Usando a identidade a n b n = (a b)(a n + a n b + a n 3 b + a n 4 b ab n + b n ) com a = e b = /, segue que Donde, Comparando com (4.), segue que = ( n )( ). 3 n /n =. n / S n = /n / = ( n ) = n. Portanto, lim S n = lim ( ) =. n n n Logo, a série infinita é convergente e possui soma igual a. Exemplo 4..6 Verifique se a série n= n(n + ) Solução: Como vimos no Exemplo 4..3 temos que S n = lim S n n = lim n n n + =. Logo a série infinita é convergente e possui soma igual a. é convergente ou divergente. n. Por outro lado, n + Exemplo 4..7 Verifique se a série n= ( )n é convergente ou divergente. Solução: Fazendo a n = ( ) n, segue que S = a =, S = a + a = + =, S 3 = a + a + a 3 = + =, S 4 = a + a + a 3 + a 4 = + + =,. 85

86 Segue que S n = {, se n é ímpar, se n é par Como não existe lim n S n, segue que a série infinita é divergente. Vejamos agora algumas propriedades das séries. Propriedades das Séries P ) Se n= a n converge e b R, então n= (ba n) converge e n= (ba n) = b n= a n; P ) Se n= a n e n= b n convergem, então n= (a n ± b n ) converge e (a n ± b n ) = n= a n ± n= b n ; P 3 ) Se n= a n converge e n= b n diverge, então n= (a n ± b n ) diverge; P 4 ) n= a n converge se, e somente se, n=p a n converge. n= 4.. Série Geométrica Chamamos de série geométrica uma série da forma aq n = a + aq + aq + aq aq n + aq n +..., n= onde a é o primeiro termo da série e q é a razão. Teorema 4..8 Se q <, a série geométrica n= aqn converge e ainda Se q, a série geométrica diverge. aq n = n= a q. Prova: Temos que S n = a + aq + aq aq n. Multiplicando por q, temos qs n = aq + aq + aq aq n+ = S n a + aq n+. Donde Logo, (q )S n = +aq n+ a S n = aqn+ q a q. lim S n = n a q lim n qn+ a q. 86

87 Se q <, segue que lim n q n+ =. Portanto, n= aq n = lim n S n = a q. Exemplo 4..9 Verifique que a série geométrica n= converge e determine sua soma. n Solução: Escrevendo n= na forma n n= ( )n notamos que a série é geométrica com a = e q = /. Como q < segue que a série é convergente e seu valor é a/( q). Portanto, n= n = / =. Exemplo 4.. Mostre que a série n= n 3 n diverge. Solução: Notemos que n 3 n = n= n= ( ) n 3 = n n= 44 n 3 n = n= ( 4 ) n. 4 3 Logo, n= n 3 n é uma série geométrica, onde a = 4 e q = 4/3 >. Como q > segue que a série geométrica diverge. Podemos usar séries geométricas para escrever uma dízima periódica como uma fração de dois números inteiros, quando isso for possível. Exemplo 4.. Usando série geométrica, expresse as dízimas periódicas como uma razão de dois números inteiros. a), b), c), d), Solução: a) Temos, =, 3 +, 3 +, 3 +, = n 3 = = 3 3 = n () ( n n= n= n= ) n. Portanto, é uma série geométrica, onde a = 3/ e q = /. Como q < segue que a série converge e sua soma é a/( q). Logo,, = n= 3 ) n 3/ = ( / = 3 9 = 3. 87

88 b) Escrevemos =, =, 7 +, 7 +, 7... = n 7 = 7 7 ( ) n =. n ( ) n n= n= Portanto, é uma série geométrica, onde a = 7/ e q = /. Como q < segue que a série converge e sua soma é a/( q). Logo, 7 ( ) n 7/, = = / = 7 99 = 3. c) Escrevemos n= n= n=, =, 34 +, 34 +, = n 34 = = ( ) n =. 3n 3 ( 3 ) n 3 3 n= Logo, é uma série geométrica onde a = 34/ 3 e q = / 3. Como q < segue que a série converge e sua soma é a/( q). Logo, 34 ( ) n 34/ 3, = = 3 3 / = = 6. d) Escrevemos n= n=, = +, 45 +, 45 +, = ( ) n 45/ 3 = + = + = + n+ 3 / = = 45. n= Observação: Usando série geométrica, segue que + x + x + x = x n =, x se x <. Analogamente, temos Temos também que x + x x = + x + x 4 + x = n= n= n= ( x) n =, se x <. + x n= x n =, se x <. x 88

89 4..3 Critérios de Convergência de Séries Veremos agora vários critérios que determinam quando uma série converge ou não. Critério do termo geral Teorema 4.. Se a série n= a n converge, então lim n a n =. Prova: Para todo n inteiro positivo, temos n n a n = a n a n. Como a série n= a n converge, então a n = lim n Logo, Observação: n= k= k= k= k= n n a n = lim a n. n ( n lim a n ) n = lim a n a n = n n k= k= a n n= a n =. n=. Segue do teorema que se lim n a n ou se não existir o limite lim n a n, então a série n= a n diverge;. Podemos ter lim n a n = e a série n= a n divergir. De fato, um exemplo disso é a chamada série harmônica dada por n = n +... n= Temos que lim n =, no entanto, como será visto mais adiante, a série harmônica n n= n diverge. Exemplo 4..3 Mostre que as séries dadas abaixo são divergentes: a) n n= b) n + n= c) n + n n= ( )n+ 3. Solução: a) Temos lim n b) Temos lim n n + n n n + =. Portanto a série diverge. =. Portanto a série diverge. c) Como não existe o limite lim n ( ) n+ 3 segue que a série diverge. 89

90 Critério de Cauchy Teorema 4..4 Uma série n= a n converge se, e somente se, dado ɛ >, existe N = N(ɛ) tal que m m, n N a j < ɛ. j=n+ Prova: Seja {S n } a sequência das somas parciais da série n= a n. Então Para m > n, segue que S n = a + a + a a n = S m S n = m j=n+ a j. n a i. Por outro lado, n= a n converge se, e somente se, a sequência {S n } converge se, e somente se, {S n } é de Cauchy se, e somente se, dado ɛ >, existe N > tal que i= m > n N S m S n < ɛ se, e somente se, dado ɛ >, existe N > tal que m > n N m j=n+ a j < ɛ. Exemplo 4..5 Usando o critério de Cauchy mostre que a série n= n diverge. Solução: Para todo n inteiro positivo, seja m = n. Segue que n j=n+ Logo existe ɛ = / tal que j = n + + n n > n + n n = n n =. n j=n+ > j = ɛ. Pelo critério de Cauchy, segue que a série diverge. Critério da Comparação Teorema 4..6 (Teste da comparação) Sejam {a n } e {b n } sequências satisfazendo a n b n, para todo n inteiro positivo. Segue que: a) Se n= b n converge, então n= a n converge; b) Se n= a n diverge, então n= b n diverge; 9

91 Exemplo 4..7 Verifique através do teste da comparação se as séries dadas abaixo convergem ou divergem. a) n= b) 4 n n n= 3 n + c) n= d) n n= n!. Solução: a) Temos que n n < n n n. Como a série n= n também converge, nn é uma série geométrica que converge para, segue que a série n= pelo teste da comparação. b) Temos que > 3 n + > 3 n < 3 n + 3 < 4 n 3 n Como n 4 n= 3 = 4 ) n n n= é uma série geométrica com razão /3, portanto convergente, 3( 3 segue que a série n= 4 3 n + também converge, pelo teste da comparação. c) Para todo n segue que n n < n n. Como a série harmônica n= diverge, segue que a série n= também diverge, pelo teste da comparação. n d) Para todo n segue que n!. Como a série geométrica n segue que a série n= também converge. n! n= n converge, n Teorema 4..8 (Teste da Comparação com limite) Sejam n= a n e n= b n séries de termos positivos. Segue que: a n a) Se lim n = C >, então ambas as séries convergem ou ambas divergem; b n a n b) Se lim n = e se n= b b n converge, então n= a n também converge; n a n c) Se lim n = + e se n= b b n diverge, então n= a n também diverge. n Exemplo 4..9 Verifique se a série n= é convergente ou divergente. (n + ) /3 Solução: Temos que > n + > n (n + ) /3 > (n ) /3 = n /3 (n + ) /3 < n /3. Veremos no próximo critério de convergência que a série n= diverge, pois é uma p- n/3 série com p = /3 <, então o teste da comparação não se aplica a esse caso. No entanto, podemos usar o teste da comparação com limite para a n = (n + ) e b /3 n =. Temos n/3 a n n /3 ( lim = lim = lim n b n n (n + ) /3 n ) /3 ( = + /n + 9 ) /3 = ( ) /3 =.

92 Como lim n a n b n = > e n= com limite que a série n= Critério da P-Série n /3 diverge, segue do item a) do teste da comparação também diverge. (n + ) /3 Uma série bastante usada no critério da comparação é a série conhecida como p-série ou série hiper-harmônica dada na forma n=, onde p é uma constante. np Teorema 4.. A série n= converge se p > e diverge se p. np Prova: Analisaremos os três casos: Se p =, então a série n= n é a série harmônica p n= n Se p <, então n p n donde, n n. Como a série harmônica p n= a série n= também diverge pelo teste da comparação. np Suponhamos agora que p >. Temos que n= que é divergente. n diverge, segue que ( = + n p + ) ( + p 3 p 4 + p 5 + p 6 + ) ( + p 7 p 8 + p ) +... p 5 p ( + p + ) ( + p p 4 + p 4 + p 4 + ) ( + p 4 p 8 + p ) +... p 8 p = + p + 4 p p ( p p )n +... = ( p )n = ( p )n. n= n= Se p >, segue que a série geométrica n= ( p )n é convergente, pois tem razão q = >. Pelo critério da comparação, segue que a série p n= converge se p >. np Exemplo 4.. Usando o teste da p-série, verifique se as séries convergem ou divergem. a) n= n b) n= n c) n= n Solução: a) A série converge, pois é uma p-série com p = >. b) A série n= diverge, pois é uma p-série com p = / <. n c) A série n= n d) A série n= diverge, pois é uma p-série com p =. diverge, pois é uma p-série com p = /3 <. n/3 d) n= n. /3 9

93 Critério de Leibiniz para séries alternadas Uma série do tipo n= ( )n+ a n ou do tipo n= ( )n a n é chamada de série alternada. A seguir veremos um critério que determina quando uma série alternada é convergente. Teorema 4.. Se a a a 3... a n... e lim n a n =, então a série alternada n= ( )n+ a n converge. Exemplo 4..3 Mostre que a série alternada n= ( )n+ n converge. Solução: A série é dada por Notemos que e lim n n ( )n+ n + ( )n+ n > > 3 > 4 >... > n > n + >... =. Portanto, pelo critério de Leibiniz, a série converge. Exemplo 4..4 Mostre que a série alternada n= ( )n+ n converge. Solução: Temos que > > 3 > 4 >... > n > n + >... e lim n n =. Portanto, pelo critério de Leibbiniz, a série converge. converge ou di- Exemplo 4..5 Determine se a série alternada n + n= ( )n+ n(n + ) verge. Solução: A série é dada por ( )n n + n(n + ) + ( )n+ n + 3 (n + )(n + ) +... Para aplicar o teste das séries alternadas, devemos mostrar que a n > a n+, para todo n inteiro positivo, ou equivalentemente, que a n+ <, para todo n inteiro positivo. De fato, temos Por outro lado, a n+ a n = n + 3 (n + )(n + ) n + n(n + ) lim n = a n n(n + 3) (n + ) = n + 3n n + 4n + 4 <. n + n(n + ) =. Pelo critério de Leibiniz, segue que a série converge. 93

94 Exemplo 4..6 Verifique se a série alternada n= ( )n 3n 4n converge ou diverge. 3n Solução: Como o limite lim n 4n = 3, o critério de Leibiniz para séries alternadas 4 não pode ser aplicado. Por outro lado, podemos usar o critério do termo geral. como o limite lim n ( ) n 3n não existe, segue do critério do termo geral que a série é divergente. 4n Séries absolutamente convergentes e condicionalmente convergente Definição 4..7 Dizemos que a série infinita n= a n será absolutamente convergente se a série infinita n= a n for convergente. Exemplo 4..8 Mostre que a série n= ( )n+ é absolutamente convergente. 3n Solução: Temos que ( ) n+ = 3 n 3 = ( ) n, n 3 n= n= é uma série geométrica com razão q = /3 <, portanto é convergente. Como a série n= ( ) n+ converge, segue que a série 3 n n= ( )n+ é absolutamente convergente. 3n Exemplo 4..9 A série n= ( )n+ não é absolutamente convergente. De fato, pois n a série ( ) n+ = n n diverge. n= n= n= Teorema 4..3 Se uma série converge absolutamente, então ela própria converge. seja, se a série n= a n converge, então a série n= a n também converge. Ou Observações:. A recíproca não é verdadeira, ou seja, se a série n= a n converge não implica que a série n= a n converge. De fato, a série n= ( )n+ converge, pois é uma série alternada, n no entanto, a série n= ( )n+ n = n= n diverge.. Se a série n= a n converge e se a n para todo n inteiro positivo, então n= a n converge. Definição 4..3 Uma série que converge mas não converge absolutamente é dita ser condicionalmente convergente. 94

95 Exemplo 4..3 Mostre que a série n= ( )n n + n(n + ) Solução: Como ja vimos, a série alternada n + n= ( )n n(n + ) série diverge. De fato, temos que ( ) n n + = n(n + ) n= n= n + n(n + ) = n + n +. n > n. n + n(n + ) é condicionalmente convergente. converge. No entanto, a Como a série harmônica n= diverge, segue pelo critério da comparação que a série n n + n= n(n + ) também diverge. Logo a série n + n= ( )n é condicionalmente convergente. n(n + ) Exemplo A série n= ( )n+ é condicionalmente convergente, pois é uma série n que converge, mas não converge absolutamente. Ou seja, a série n= ( )n+ n converge, mas a série n= ( ) n+ = n= não converge. n n Critério da Razão O teste da razão é uma variante do critério da comparação com uma série geométrica. Teorema Considere a série n= a n, com a n. Seja l = lim n a n+ a n. Então: a) Se l <, a série converge absolutamente e, portanto, converge; b) Se l >, a série diverge; c) Se l =, nada se pode afirmar. Exemplo Mostre que a série n= ( )n n! a n+, Solução: Sendo l = lim n segue que a n converge absolutamente. ( ) n+ /(n + )! ( ) n+ n! l = lim = lim = lim =. n ( ) n /n! n ( ) n (n + )! n n + Como l = < segue do teste da razão que a série converge absolutamente. Exemplo Mostre que a série n= ( )n+ n n converge. 95

96 a n+, Solução: Sendo l = lim n segue que a n ( ) n+ (n + )/( n+ ) n + n n + l = lim = lim = lim = n ( ) n+ n/ n n n+ n n n. Como l = / < segue do teste da razão que a série dada é absolutamente convergente. Portanto, a série dada é convergente. Critério da Raíz Teorema Considere a série n= a n e seja r = lim n n a n. Então: a) Se r <, a série converge absolutamente e, portanto, converge; b) Se r >, a série diverge; c) Se r =, nada se pode afirmar. Exemplo Mostre que a série an n= ( )n é absolutamente convergente para todo nn a R. Solução: Sendo r = lim n n a n, segue que ( ) n r = lim n an a = lim n n n n n =. Como r = < segue do teste da raíz que a série converge absolutamente. é conver- Exemplo Use o teste da raíz para determinar se a série 3n+ n= ( )n n n gente ou divergente. Solução: Aplicando o teste da raíz, temos ( ) ( n r = lim n 3n+ 3 n+ ) /n 3 +(/n) = lim = lim =. n n n n n n n n Como r = < segue do teste da raíz que a série converge absolutamente. Portanto, a série é também convergente. é con- Exemplo 4..4 Use o teste da raíz para determinar se a série n= [ln(n + )] n vergente ou divergente. Solução: Aplicando o teste da raíz, temos n r = lim = lim =. n [ln(n + )] n n ln(n + ) 96

97 Como r = < segue do teste da raíz que a série converge absolutamente. Portanto, a série é também convergente. Observações:. Os testes da razão e da raíz são intimamente relacionados, embora o primeiro seja mais fácil de ser aplicado.. Se os termos da série contiverem fatoriais, então é mais fácil usar o teste da razão. Por outro lado, se os termos contiverem potências, é mais vantajoso o uso do teste da raíz. 3. Existem séries para as quais o teste da razão não se aplica, mas o teste da raíz pode n++( )n o teste da razão não se aplica, no ser aplicado. Por exemplo, para a série n= entanto, o teste da raíz determina que a série é convergente. De fato, temos a n+ l = lim = lim. n++( )n n a n n n++( )n+ ( )n ( )n = lim = lim n. ( )( )n n ( )n Como lim n não existe, o teste da razão não pode ser usado. Por outro lado, usando o teste da raíz, segue que n (n++( ) n ) ( ) r = lim = lim n = lim + n + ( )n n = = n n++( )n n n. Como r = / <, segue do teste da raíz que a série converge absolutamente. Portanto, a série é convergente. Critério de Dirichlet Teorema 4..4 Sejam {a n } e {b n } sequências satisfazendo: a) A sequência {S n }, onde S n = n i= a i é limitada; b) A sequência {b n } é monótona e lim n b n =. Então a série n= a nb n converge. Exemplo 4..4 Use o critério de Dirichlet para mostrar que as séries dadas abaixo são convergentes: a) n= ( )n b) cos(nπ/6) n= n n Solução: a) Sejam a n = ( ) n e b n = n. A sequência S n = n i= ( )i é dada por S n = {, se n é ímpar, se n é par. Portanto a sequência {S n } é limitada. Por outro lado, a sequência { n } é monótona e lim n n =. Pelo critério de Dirichlet, segue que a série n= a nb n = n= ( )n n é 97

98 convergente. b) Sejam a n = cos(nπ/6) e b n = n. Segue que a sequência S n = n i= cos(iπ/6) é limitada e a sequência { n } é monótona e lim n n= a nb n = cos(nπ/6) n= n Observações: n é convergente. =. Pelo critério de Dirichlet, segue que a série. Se a sequência {S n } é limitada, onde S n = n i= a i, não implica que a série n= a n seja convergente. De fato, se a n = ( ) n, segue que S n = {, se n é ímpar, se n é par. Portanto, {S n } é limitada. No entanto, a série infinita n= ( )n é divergente.. Se a série n= a n converge e a sequência {b n } é monótona decrescente e limitada, então a série n= a nb n é convergente. De fato, seja β = lim n b n. Segue que a sequência {b n β} é monótona decrescente e lim n (b n β) =. Como a série n= a n converge, segue que a sequência {S n } é limitada. Pelo critério de Dirichlet, segue que a série n= a n(b n β) é convergente. Como n= a nb n = n= a n(b n β) + β n= a n e as séries n= a n(b n β) e β n= a n são convergentes, segue que a série n= a nb n é convergente. 3. Se {a n } é uma sequência monótona decrescente de números positivos e lim n a n =, então a série n= ( )n a n converge. De fato, este é um caso particular do critério de Dirichlet, onde a n = ( ) n. Critério da Integral O critério da integral consiste em comparara série como as somas de Rieman. Ou seja, as somas de Rieman definem a série f(x i ) = i= f(x)dx, Teorema Seja f uma função contínua, decrescente e com valores positivos para todo x. Então a série infinita + n= f(n) = f() + f() + f(3) + f(4) f(n) +... será convergente se existir a integral imprópria b Se lim b + f(x)dx = +, a série diverge. f(x)dx. 98

99 Exemplo Use o teste da integral para mostrar que a p-série n= n p p e converge se p >. Solução: A série convergirá se a integral imprópria x dx = p por outro lado, se p, temos dx = lim xp b + b b dx == lim x b + Se p >, segue que lim b + b p = e, portanto, diverge se dx for finita. Se p = segue que xp dx = lim ln(b) = +. x b + ( x x p p ) b dx = lim = b + p p lim b + b p + p. x dx = p p. Agora, se p <, segue que lim b + b p = + e, portanto, a integral dx diverge. xp Assim sendo, pelo teste da integral, segue que a p-série converge se p > e diverge se p. Exemplo Use o teste da integral para determinar se a série n= ne n converge ou diverge. Solução: Fazendo f(x) = xe x segue que f é uma função contínua, decrescente e com valores positivos para todo x. Assim, as hipóteses do teste da integral são satisfeitas. Usando integração por partes, encontramos que xe x dx = e x (x + ) + C. Portanto, + Usando a regra de L Hôpital, temos que xe x dx = lim [ e x (x + )] b = lim n n [ b + e b + e ]. Portanto, Logo a série é convergente. lim b + n e b + = lim n e b =. xe x dx = e. 99

100 4.3 Problemas envolvendo sequências e séries Exemplo 4.3. Dado um triângulo equilátero de lado L, são inseridos uma sequência de triângulos equiláteros dentro do triângulo dado sempre colocando um triângulo acima do anterior. Considere que o lado de cada triângulo colocado é igual a metade do lado do triângulo anterior (veja figura ). Descreva a sequência das áreas destes triângulos equiláteros e mostre que esta sequência converge para zero. Solução: Os triângulos tem a propriedade de que seus lados são iguais a metade do lado do triângulo anterior. Assim, o primeiro triângulo inserido tem lado igual a L/, o segundo tem lado L/4, o terceiro tem lado L/8 e, em geral, o n-ésimo triângulo tem lado igual a L/ n. Por outro lado, a área de um triângulo equilátero de lado a é 3a /4. Portanto, a área do n-ésimo triângulo é 3(L/ n ) 3L A n = = 4. n+ Logo, a sequência das áreas dos triângulos inseridos no triângulo dado é Calculando o limite, temos a n = 3L n+. lim a n = lim n n 3L n+ = 3L lim n =. n+ Exemplo 4.3. Dado um triângulo equilátero de lado L, são inseridos uma sequência de triângulos equiláteros dentro do triângulo dado sempre colocando um novo triângulo dentro do anterior. Considere que o lado de cada triângulo colocado é igual a metade do lado do triângulo anterior (veja figura ). Descreva a sequência das áreas destes triângulos e mostre que esta sequência converge para zero. Mostre também que esta sequência converge para um ponto que coincide com o baricentro do triângulo dado.

101 Solução: Analogamente ao exercício anterior, segue que, o primeiro triângulo inserido tem lado igual a L/, o segundo tem lado L/4, o terceiro tem lado L/8 e, em geral, o n-ésimo triângulo tem lado igual a L/ n. Novamente, teremos que a área do n-ésimo triângulo é 3L A n. Portanto, a sequência das áreas dos triângulos inseridos no triângulo dado é n+ Calculando o limite, temos a n = 3L n+. lim a n = lim n n 3L n+ = 3L lim n =. n+ Finalmente, de uma simples inspeção verificamos que todos os triângulos da sequência tem os mesmos baricentros. Portanto, concluímos que os triângulos convergem a um ponto que coincide com o baricentro do triângulo maior. Exemplo Dado um quadrado de lado L = a + b, são inseridos uma sequência de quadrados dentro do quadrado dado sempre colocando um novo quadrado dentro do anterior como na figura 3. Descreva a sequência das áreas dos quadrados inseridos e mostre que esta sequência converge para zero. Assuma que b = 3a e que todos os lados dos quadrados preservam a mesma proporção. Solução: Sendo L o lado do primeiro quadrado, em termos de a e b, temos L = a + b = a + 3a = 4a a = L 4 e b = 3a = 3L 4. Portanto, a = L/4 e b = 3L/4. O lado L do segundo quadrado é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos a = L/4 e b = 3L/4, isto é, L = ( L 4 ) + ( 3L 4 ) = L 4.

102 O lado L 3 do terceiro quadrado é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos a = L /4 e b = 3L /4, isto é, L 3 = ( L 4 ) + ( 3L ( ). 4 ) = L = L 4 4 O lado L 4 do quarto quadrado é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos a = L 3 /4 e b = 3L 3 /4, isto é, L 4 = ( L 3 4 ) + ( 3L 3 ( ) 3. 4 ) = L 3 = L 4 4 Em geral, teremos que o lado L n do n-ésimo quadrado é a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos a = L n /4 e b = 3L n /4, isto é, L n = ( L n 4 ) + ( 3L n ( ) n. ) 4 = L n = L 4 4 Portanto, a área do n-ésimo quadrado é dada por ( A n = L n = L ) (n ) = L 4 ( 6 ) n ( = L 5 ) n. 8 Portanto, a sequência formada pelas áreas do quadrados é dada por a n = L ( 5 8) n. Tomando limite, temos ( 5 ) n lim a n = lim L =. n n 8 As sequências de quadrados estudadas no exemplo anterior pode criar figuras interessantes, fazendo variar os valores de a. Vejamos as figuras para a = L/8, a = L/6 e a = L/5.

103 Exemplo Considere a figura 3 do exemplo anterior. Determine uma sequência que representa o perímetro de cada quadrado inserido. Determine também a série infinita que representa a soma dos perímetros de todos os quadrados inseridos e o valor dessa soma. Solução: O primeiro quadrado possui lado igual a L, portanto possui perímetro igual a 4L, isto é, p = 4L. Como visto no exemplo anterior, o segundo quadrado possui lado igual a L( /4), portanto possui perímetro p = 4L( /4). O terceiro quadrado possui lado igual a L( /4), portanto possui perímetro p 3 = 4L( /4). O quarto quadrado possui lado igual a L( /4) 3, portanto possui perímetro p 4 = 4L( /4) 3. Dessa forma, segue que o n-ésimo quadrado possui lado igual a L( /4) n, portanto possui perímetro p n = 4L( /4) n. Logo a sequência que representa o perímetro de cada quadrado inserido é a sequência cujo termo geral é p n = 4L( /4) n. A soma dos perímetros de todos os quadrados é dada por S = p + p + p 3 + p 4 + p p n +... ( ) ( ) 3 ( ) 4 ( ) n = 4L + 4L + 4L + 4L + 4L L ( ) n. = 4L 4 n= Como ( n= 4L ) n é uma série geométrica com a = 4L e q = /4 <, portanto 4 converge para a/( q), segue que S = ( ) n 4L 4L = 4 /4 = 6L 4. n= Logo, a soma dos perímetros de todos os quadrados é dada por S = 6L 4. Exemplo Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura de metros. Cada vez que ela atinge o solo, ela volta aproximadamente à metade da distância da queda. Use uma série geométrica infinita para obter uma aproximação da distância total percorrida pela bola até o repouso. 3