Notas de Apoio. Biomatemática. Licenciatura em Farmácia Biomédica

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1 Nots de Apoio Biomtemátic Licencitur em Frmáci Biomédic Ricrdo Mmede Deprtmento de Mtemátic, Fculdde de Ciêncis e Tecnologi Universidde de Coimbr 04

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3 Índice Cálculo Diferencil. Generliddes sobre funções reis de vriável rel Função derivd Derivds prciis e vetor grdiente Aproimções lineres e diferenciis Cálculo Integrl 3. Integrl indefinido Integrl definido Aplicções do integrl Equções Diferenciis Equções de vriáveis sepráveis Equções lineres de primeir ordem Equções diferenciis como modelos mtemáticos Álgebr Liner Mtrizes Algoritmo de eliminção de Guss Sistems de equções lineres Método dos mínimos qudrdos Aneos 87 A Minitls de funções elementres 89 B Tbel de primitivs imedits 03 Referêncis 05

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5 Cpítulo Cálculo Diferencil. Generliddes sobre funções reis de vriável rel Definição.. Um função rel de vriável rel f é um correspondênci que ssoci cd elemento de um conjunto A R etmente um elemento, denotdo f(), de R. O seu gráfico é o conjunto de pres ordendos {(, f()) : A}. O conjunto A é dito o domínio de f e o conjunto de todos os possíveis vlores de f(), qundo vri em A, diz-se o contrdomínio de f. É usul representr f do seguinte modo: f : A R = f() Qundo não for especificdo o domínio de f considermos que este é o mior conjunto de R onde função f está definid. Definição.. Um função f : A R diz-se crescente no intervlo I A se f( ) f( ) sempre que < em I e diz-se decrescente no intervlo I se f( ) f( ) sempre que < em I. Um função que sej crescente ou decrescente no intervlo I diz-se monóton. Definição.3. Um função f : A R que stisfz f( ) = f()

6 Cálculo Diferencil pr todo o A diz-se um função pr. Se por outro ldo f stisfz f( ) = f() pr todo o A diz-se um função ímpr. Geometricmente, o gráfico de um função pr é simétric em relção o eio dos s, enqunto que o gráfico de um função ímpr present simetri reltivmente à origem do referencil. Por eemplo, função = ln tem domínio R \ {0} e contrdomínio R. É um função pr, decrescente no intervlo ], 0[ e crescente no intervlo ]0, + [, como se pode observr pelo seu gráfico: = ln Definição.4. Um função f : A R diz-se limitd se o seu contrdomínio for um conjunto limitdo, i.e., se eiste um número rel M > 0 tl que f() M pr todo o A. Clrmente função = ln não é limitd. Já função sin() é limitd pois pr qulquer R temos sin(). Definição.5. Um função f : A R diz-se injetiv se elementos distintos do domínio corresponderem imgens diferentes, i.e., se pr quisquer, A, f( ) f( ). A função = ln considerd cim não é injetiv. No entnto, se restringirmos o domínio podemos obter um função injetiv. Por eemplo, função f :]0, + [ R definid por f() = ln() é injetiv. Definição.6. Um função f : A R diz-se sobrejetiv se todo o elemento de R for imgem de um elemento do domínio. Isto é, R, A : f() =.

7 Cálculo Diferencil Voltndo mis um vez à função = ln definid cim, fcilmente consttmos que est é sobrejetiv. Um função que sej simultnemente injetiv e sobrejetiv diz-se bijetiv. Consideremos gor um função f injetiv com domínio A e contrdomínio B. Podemos definir su função invers f : B A por f () = f() =. A função invers é únic e stisfz e f (f()) =, f ( f () ) =, pr todo o A pr todo o B Geometricmente, o gráfico d função invers f obtém-se do gráfico de f por um simetri em relção à ret =. Vej-se o Aneo A pr eemplos de gráficos de funções inverss. Definição.7. Sej f : A R um função e sej R. Dizemos que o limite de f qundo tende pr é igul L, e escrevemos limf() = L, se os vlores de f() estiverem rbitrrimente próimos de L desde que estej suficientemente próimo de, ms. Formlmente, limf() = L ɛ > 0, δ > 0 : 0 < < δ f() L < ɛ. Note-se que definição de limite de f qundo não pressupõe que pertenç o domínio d função. No entnto, pr que definição fç sentido, qulquer vizinhnç de deve conter pontos do domínio diferentes de. É fácil verificr que se o limite lim f() eiste, ele é único. Além disso, eistênci de limite é indiferente o fcto de se proimr de por vlores à esquerd ou à direit. Denotmos estes comportmentos de f escrevendo lim f() = L e lim +f() = L, se f() estiver rbitrrimente próimo de L pr suficientemente próimo de, respetivmente com < ou >. Proposição.. Sej f : A R um função e sej R. Então, o limite lim f() eiste se e só se os seguintes limites lteris eistem lim f() e lim +f(). 3

8 Cálculo Diferencil Portnto, se os limites lteris lim f() e lim +f() forem diferentes, podemos concluir que não eiste o limite limf(). Pr o cálculo de limites são válids s seguintes proprieddes. Proposição. (Álgebr dos limites). Suponhmos que limf() = A e limg() = B. Então,. lim (αf() + βg()) = αa + βb.. lim (f()g()) = AB. 3. lim (f()/g()) = A/B, desde que B lim n f() = n A, se n N e, se n é pr, A lim (f()) n = A n, se n N. O resultdo seguinte, conhecido como Teorem ds funções enqudrds, é útil no cálculo de lguns limites. Teorem. (Teorem ds funções enqudrds). Sejm f, g e h funções cujo domínio contém o intervlo berto I e sej I. Se pr todo o I \ {} e se então lim g() = L. lim f() g() h() f() = limh() = L, Eemplo.. Com este resultdo é fácil verificr que lim 0 sin(/) = 0. Começmos por notr que sin(/) pr todo o R \ {0}. Multiplicndo ests desigulddes por 0 obtemos sin(/) pr todo o R \ {0}. Como lim 0 ( ) = lim 0 = 0, pelo Teorem ds funções enqudrds segue que lim 0 sin(/) = 0. Teorem. (Teorem d função compost). Se lim g() = b e lim b f() = f(b), então ( ) lim f (g()) = f lim g() = f(b). 4

9 Cálculo Diferencil Eemplo.. Como lim cos( ) = e lim e = e, pelo resultdo nterior concluímos que 0 lim 0 ecos() = e. que Se função f estiver definid ns vizinhnçs de, eceto possivelmente em, diremos limf() = + se f() tomr vlores rbitrrimente grndes pr suficientemente próimo de, ms. De form nálog se definem os limites lim ±f() = +, lim f() = e lim ±f() =. Se o domínio de f contiver um intervlo d form ]b, + [ (resp. ], b[), diremos que lim f() = L ( resp. lim f() = L) + se f() estiver rbitrrimente próimo de L pr suficientemente grnde (resp. pequeno). De form nálog se definem os limites lim f() = ±. ± Definição.8. Dizemos que função f : A R é contínu em A se limf() = f(). Dizemos que f é contínu em A se for contínu em todos os pontos de A. Como consequênci d álgebr dos limites, fcilmente concluímos que se f e g são funções contínus no ponto, então f + g, f g, fg e f/g (se g() 0) são tmbém contínus em. Tmbém s funções polinomiis, rcionis, trigonométrics, eponenciis e logrítmics são contínus nos seus domínios. O teorem do vlor intermédio grnte que se função f é contínu no intervlo [, b], então pr qulquer ponto situdo entre f() e f(b) eiste [, b] tl que f() =. Teorem.3 (Teorem do vlor intermédio). Tod função contínu no intervlo fechdo [, b], com f() f(b), ssume, nesse intervlo, todos os vlores entre f() e f(b). Um ds consequênci do teorem do vlor intermédio, que descrevemos em bio, é prticulrmente útil pr grntir eistênci de soluções de certs equções. Corolário.. Se f é contínu no intervlo [, b] e f()f(b) < 0, então equção f() = 0 tem pelo menos um riz em [, b]. 5

10 Cálculo Diferencil Eemplo.3. Averiguemos se equção cos() =, tem solução no intervlo [0, ]. Pr tl, consideremos função f() = cos(), contínu em [0, ], e notemos que f(0) = > e f() = cos() < 0. Assim, f(0)f() < 0 pelo que pelo resultdo cim segue que eiste ]0, [ tl que f() = 0, ou sej, cos() =. Outro resultdo que iremos necessitr é o chmdo Teorem de Weierstrss. Teorem.4 (Weierstrss). Tod função contínu num intervlo fechdo tem, nesse intervlo, um máimo e um mínimo.. Função derivd Vmos nest secção presentr e nlisr função derivd. Antes, porém, vmos considerr lguns problems clássicos que dão origem à noção de derivd: tngente um curv e velocidde instntâne de um objeto em movimento. Tngente um curv Suponhmos que temos um função = f() e que queremos determinr ret tngente o gráfico de f no ponto P (, f()). secnte Q tngente = f() P Podemos começr por considerr um ponto Q (, f()) do gráfico de f com e determinr o declive m P Q d ret secnte P Q: m P Q = f() f(). Fzendo o ponto Q deslocr-se pr próimo de P, vmos obtendo diferentes vlores pr m P Q. Se à medid que proimmos Q de P, m P Q convergir pr um certo vlor m, 6

11 Cálculo Diferencil definimos tngente o gráfico de f no ponto P como sendo ret que contém o ponto P e tem declive m. Ou sej, m = lim f() f() é o declive d ret tngente o gráfico de f no ponto P (, f()), que tem equção = m( ) + f(). Velocidde instntâne A velocidde médi de um objeto em movimento que se desloc do ponto A pr o ponto B, percorrendo um distânci d num certo tempo t, é dd pel fórmul velocidde médi = distânci percorrid tempo despendido = d t. Se quisermos sber velocidde do objeto num determindo instnte precismos de introduzir lgum notção. Sej t o tempo (em hors) que pssou desde que o objeto iniciou o movimento e sej s(t) distânci percorrid (em metros) té o instnte t. No instnte t o objeto percorreu s(t) metros. Uns momentos mis trde, no instnte t + h, percorreu s(t + h) metros. Portnto, neste intervlo de tempo, o objeto deslocou-se s(t + h) s(t) metros e su velocidde médi é de s(t + h) s(t) h metros por hor. Qunto mis pequeno for o vlor de h mis perto o número cim está d velocidde instntâne no instnte t, que se define como o limite Derivd de um função s(t + h) s(t) v(t) = lim. h 0 h Ignorndo os detlhes prticulres de cd um dos eemplos nteriores, em mbos os csos temos um função = f() e queremos sber qul o efeito que um pequen vrição n vriável provoc n função f(). Se lterrmos o vlor de pr +, então vri de f() pr f( + ). A vrição em é, portnto, = f( + ) f() e vrição médi de no intervlo entre e é f( + ) f() =. Pr definirmos t de vrição instntâne de no ponto deimos tender pr 0. Ao limite obtido chmmos derivd d função f. 7

12 Cálculo Diferencil Definição.9. Sej f um função definid num intervlo berto I e sej I um ponto desse intervlo. A derivd de f no ponto é definid como o limite f( + ) f() lim (.) 0 qundo esse limite eiste. Nesse cso, função f é dit diferenciável em e o limite denot-se por f () ou df () (notção de Leibniz). Dizemos que f é diferenciável no d intervlo I se for diferenciável em todos os pontos de I. Substituindo z = + no limite (.) e fzendo z, obtemos fórmul equivlente pr derivd: f f(z) f() () = lim. z z Eemplo.4. Dd função f() =, su derivd obtém-se clculndo o limite f ( + h) () = lim h 0 h h + h = lim h 0 h = lim + h =. h 0 Ou sej, função f é diferenciável em R e su derivd é dd por f () =. No neo B é presentd um tbel com s derivds ds funções mis utilizds em problems práticos. Eemplo.5. A tbel seguinte indic o comprimento f(t), em centímetros, de um feto humno em função d su idde t, medid em semns pós fecundção. Vmos usr estes ddos pr estimr t de crescimento de um feto com 8 semns. Idde Comprimento A t de crescimento de um feto com 8 semns é dd pel derivd f (8), pelo que queremos o limite f f(t) f(8) (8) = lim. t 8 t 8 Clro que um vez que só temos um conjunto discreto de vlores d função f, não temos form de clculr este limite. No entnto, tomndo como proimções t 8 os vlores t = 0 e t = 40 mis próimos de 8, podemos ter um idei proimd do vlor d derivd. Como, f(0) f(8) 0 8 =, 65 e f(40) f(30) =, 5, podemos estimr f (8) como médi ritmétic destes dois vlores. Concluímos ssim que um feto com 8 semns está crescer um t de cerc de,4 centímetros por semn. 8

13 Cálculo Diferencil Proposição.3. Se um função é diferenciável num ponto, el é contínu nesse ponto. Demonstrção. Suponhmos que f é contínu no ponto. Por hipótese, os limites f() f() lim e lim( ) eistem e são f () e 0, respectivmente. Portnto, lim (f() f()) = lim ou sej, lim f() = f() e f é contínu em. f() f() ( ) = f () 0 = 0, O recíproco deste resultdo é flso. Por eemplo, função f() = é contínu em R ms não tem derivd no ponto 0. De fcto f(0 + h) f(0) lim h 0 + h h = lim h 0 + h pelo que o limite lim h 0 f(0 + h) f(0) h = enqunto que lim h 0 f(0 + h) f(0) h não eiste. h = lim h 0 + h =, Vmos de seguid presentr lgums ds mis importntes regrs de derivção. Teorem.5 (Regrs de derivção). Sejm f e g dus funções diferenciáveis e sejm, b R. Então:. (f() + bg()) = f () + bg (),. (f()g()) = f ()g() + f()g (), 3. (f()/g()) = f ()g() f()g () g () desde que g() 0. Vimos no eemplo (.4) que derivd d função é função, pr todo o R. Est fórmul generliz-se pr qulquer n : ( n ) = n( n ). No entnto, se quisermos plicr est fórmul à função F () = ( ) obtemos função h() = ( ) = ( ). Em prticulr, no ponto = vem h() =. Isto signific que se h() fosse derivd de F, então ret tngente o gráfico de F no ponto (, F ()) teri declive negtivo. Ms, como podemos verificr no gráfico de F () = ( ), ret tngente o gráfico de F neste ponto tem declive positivo. 9

14 Cálculo Diferencil 3 = ( ) = 3 Portnto, h não é derivd de f, e regr ( n ) = n( n ) não pode ser plicd se substituirmos vriável por um outr função. cdei. Pr estes csos usmos regr d Teorem.6 (Regr d cdei). Se f e g são funções diferenciáveis e F = f g é função composição definid por F () = f(g()), então F é diferenciável e F é dd pelo produto F () = f (g()) g (). N notção de Leibniz, se = f(u) e u = g() são diferenciáveis, então d du = f (u), du d = g () e d d = d du du d. Voltndo o eemplo nterior, podemos escrever função F () = ( ) à cust ds funções f() = e g() =. A composição dests funções dá-nos função Assim, pel regr d cdei, temos (f g)() = f(g()) = f( ) = ( ) = F (). F () = ( ) ( ) =. O mesmo cálculo, gor usndo notção de Leibniz: se = f(u) = u e u = g() =, então d d = d du = u ( ) = ( )( ) =. du d Podemos gor obter um fórmul pr derivd d função F () n, pr qulquer função diferenciável F e n. Fçmos = u n e u = F (). Pel fórmul d cdei vem d d = d du du d = nun F () = n(f ()) n F (). 0

15 Cálculo Diferencil Derivção implícit Algums funções podem ser descrits epressndo um vriável à cust de outr vriável, como por eemplo, =, = +, = sin(), ou mis gerlmente = f(). No entnto, há funções que são definids de form implícit por um relção entre e, como por eemplo = 4, ( + ) 3 = 4 ou + sin() =. Nlguns csos é possível resolver equção em ordem um ds vriáveis, ms por vezes tl é impossível. Aind ssim podemos usr regr d cdeir pr determinr derivd de em função de, nos csos em que el eist, sem ter que eplicitr como função de. Consideremos um eemplo. Pretendemos determinr derivd de em ordem, com definid implicitmente pel equção = 4. Notndo que vriável depende de, relmente temos () = 4(). Derivemos então mbos os membros dest iguldde em ordem, usndo regr d cdei: () () = 4() + 4 (). Resolvendo est equção em ordem () obtemos um epressão pr definid de form implícit () = 4() 33 4 () 4. Assim, se quisermos o vlor d derivd de no ponto (, ), isto é = e () =, bst substituirmos estes vlores n epressão nterior: () = 4 3(3 ) 4() 4 =. Est técnic é especilmente útil pr clculrmos derivd d invers de um função. Por eemplo, suponhmos que pretendemos derivd d invers do seno. Se = rcsin(), então = sin(). Derivndo mbos os membros dest últim iguldde em ordem, usndo regr d cdei, obtemos d d = d(sin()) d = (cos()) d d,

16 Cálculo Diferencil ou ind d d = cos(). Est últim epressão dá-nos derivd de rcsin() em termos d vriável. Podemos voltr à vriável com um pouco de trigonometri. Sbemos que = sin() com π/ π/. Assim, d identidde sin () + cos () = vem que cos() =. Temos ssim um epressão pr derivd d função rco seno: (rcsin()) =. Regr de L Hospitl f() Se num limite d form lim tnto o numerdor como o denomindor tendem pr g() vlores vlores finitos qundo, digmos α e β, e β 0, então pel álgebr dos limites f() sbemos que lim g() = α. Ms o que contece qundo mbs s funções tendem pr β zero? Neste cso, não podemos grntir à prtid qul o vlor do limite. De fcto, nem podemos grntir que este limite eist, como se pode comprovr nos eemplos seguintes: lim 0 = lim = 0 0 lim 0 lim 0 = lim = 0 sin não eiste () lim lim 0 lim 0 0 = lim 0 sin () = lim 0 = = = 0 Todos estes csos são eemplos de indeterminções do tipo ( 0 ). A regr de L Hospitl, que 0 enuncimos seguir, é um instrumento muito útil pr trtr indeterminções do tipo ( 0) 0 ou ( ). Pr outrs forms de indeterminção 0,,, 0 0, 0 e 0, eistem técnics que podem ser plicds de modo trnsformá-ls em indeterminções do tipo ( 0 0 ) ou ( ), de modo que regr de L Hospitl pode igulmente ser usd (vej-se []). Teorem.7 (Regr de L Hospitl). Sejm f e g funções diferenciáveis em ], b[, eceto possivelmente em c ], b[. Suponhmos que g () 0 pr todo o c e que f() g() tem form indetermind ( 0) ou ( ) em = c. Então 0 f() lim c g() = lim f () c g (), desde que este último limite eist (ou sej igul ± ).

17 Cálculo Diferencil sin Eemplo.6. Clculemos o limite lim. Estmos pernte um indeterminção do tipo 0. As funções f() = sin() e g() = estão ns condições do teorem nterior, pois mbs 0 0 s funções são diferenciáveis num vizinhnç de zero e g () =, pr todo o 0. Como f () lim 0 g () = lim cos() = 0, pel regr de L Hôpitl concluímos que 0 Etremos de um função sin lim 0 = 0. Definição.0. Sej f : A R um função rel de vriável rel e sej c A. Dizemos que função f tinge um máimo locl (resp. mínimo locl em f(c) se f(c) f() (resp. f(c) f()) pr todo o pertencente um intervlo I tl que c I A. Se desiguldde for válid em todo o domínio A, o vlor de f(c) diz-se um máimo bsoluto (resp mínimo bsoluto). Os vlores de máimo e mínimo de um função são designdos por etremos d função. N figur seguinte está representdo o gráfico d função f() = 4 /4 + 3 /3 +. Podemos verificr que f tem três etremos: f( ) é um máimo locl, f() é um máimo bsoluto e f(0) é um mínimo locl de f. Sbemos pelo teorem de Weierstrss que tod função contínu num intervlo fechdo possui um máimo e um mínimo nesse intervlo. O próimo resultdo estbelece um condição necessári pr f tingir um etremo num ponto. Teorem.8 (Fermt). Sej f um função diferenciável em c ], b[. Se f tinge um máimo ou um mínimo em c então f (c) = 0. O reciproco deste teorem não é válido. Por eemplo, função f() = 3 stisfz f (0) = 0 ms f(0) não é um etremo d função. Além disso, um função pode tingir 3

18 Cálculo Diferencil um etremo em pontos onde não eist derivd, como se pode comprovr com função f() =. Est função tem um mínimo bsoluto em f(0), ms como vimos trás f não tem derivd em = 0. = = Portnto, se um função f for diferenciável, os pontos que nulm derivd são cndidtos etremos d função, ssim como os pontos onde derivd não está definid. Tmbém os etremos do intervlo onde função está definid podem ser etremos d função. Aos pontos onde derivd se nul ou não eiste, juntmente com os etremos do intervlo, chmmos pontos críticos de f. Estes são os cndidtos etremos d função. Um vez n posse dos pontos críticos, devemos fzer um nálise o comportmento d função ns vizinhnçs de cd um destes pontos pr determinrmos se se trt de um etremo ou não. Est nálise pode ser feit nlisndo o sinl d derivd, um resultdo que result do Teorem do vlor médio de Lgrnge. Teorem.9 (do vlor médio de Lgrnge). Sej f um função contínu no intervlo [, b] e diferenciável em ], b[. Então, eiste c ], b[ tl que f (c) = f(b) f(). b Corolário.. Sej f um função diferenciável em ], b[.. Se f () > 0 em ], b[ então f é crescente em ], b[.. Se f () < 0 em ], b[ então f é decrescente em ], b[. 3. Se f () = 0 em ], b[, então f é constnte em ], b[. Demonstrção. Se, ], b[ com <, então pelo teorem do vlor médio de Lgrnge eiste c ], b[ tl que f( ) f( ) = f (c)( ). 4

19 Cálculo Diferencil Se f () > 0 em em ], b[ então f (c) > 0 e d iguldde nterior vem f( ) > f( ), o que signific que f é crescente em ], b[. Por outro ldo, se f () < 0 em em ], b[ então f (c) < 0 e concluímos ssim que f( ) < f( ), ou sej, f é decrescente em ], b[. Já o cso em que f () = 0 result em f( ) = f( ), isto é, f é constnte. Chegmos ssim o chmdo teste d primeir derivd pr determinr se um ponto crítico de f é etremo de f. Sej c um ponto crítico d função f, onde função é contínu. Se o sinl de f pss de positivo negtivo, então f tem um máimo locl em c. Se o sinl de f pss de negtivo positivo, então f tem um mínimo locl em c. Se f não mud de sinl, então f não tem qulquer etremo em c. Eemplo.7. Consideremos função f() = 4 /4 + 3 /3 + e determinemos os seus etremos. Começmos por determinr os zeros d derivd f () = 3 + +, que são, 0 e. Estes são os pontos críticos de f e os únicos cndidtos etremos. De seguid nlismos o sinl d derivd, construindo seguinte tbel: f Pelo teste d primeir derivd, concluímos que f tem um mínimo em f(0) e máimos em f( ) e f()..3 Derivds prciis e vetor grdiente Nest secção vmos discutir pens funções de dus vriáveis reis, embor tods s noções sejm válids e fcilmente generlizds pr funções com n vriáveis. Sej A um subconjunto de R, isto é, um região do plno. Um função rel de dus vriáveis reis f : A R é um correspondênci que ssoci cd elemento (, ) de A, um único vlor f(, ) de R. O conjunto A diz-se o domínio de f e o conjunto de todos os possíveis vlores de f(, ), qundo (, ) vri em A, chm-se contrdomínio de f. Qundo não for especificdo o domínio de f considermos que este é o mior conjunto de R onde função f está definid. O gráfico de f é o conjunto dos pontos {(,, f(, )) R 3 : (, ) A}. Este conjunto é gerlmente um superfície no espço R 3. 5

20 Cálculo Diferencil Eemplo.8. Consideremos função f(, ) =. Está função está definid pr todo o pr (, ) R e o seu gráfico é um prbolóide cilíndrico; interseção do gráfico com um plno = 0 prábol z =. z 4 Eemplo.9. A função definid por f(, ) = + tem domínio R e o seu gráfico é prte superior de um cone: z 0.5 Dd um função rel de dus vriáveis f : A R R podemos tomr derivd (se eistir) de f respeito de um ds vriáveis, mntendo outr vriável constnte. Chmmos derivd prcil em ordem à vriável escolhid à derivd ssim construíd. Formlmente, se escolhermos vriável como vriável de derivção, podemos concretizr est operção findo = 0 e definindo função rel de vriável rel g : I R R tl que g() = f(, 0 ). Se g for diferenciável em 0, à derivd g ( 0 ) dmos o nome de derivd prcil de f em ordem no ponto ( 0, 0 ), denotd por f ( 0, 0 ), e escrevemos f ( 0, 0 ) = g g( 0 + h) g( 0 ) ( 0 ) = lim h 0 h 6

21 f( 0 + h, 0 ) f( 0, 0 ) = lim. h 0 h De form nálog se define derivd prcil de f em ordem como f ( f( 0, 0 + h) f( 0, 0 ) 0, 0 ) = lim. h 0 h Cálculo Diferencil Geometricmente, s derivds prciis f ( 0, 0 ) e f ( 0, 0 ) podem ser interpretds como os declives ds tngentes o gráfico d superfície de f segundo s direções do eio dos s e dos s, resp. Podem ind ser encrds como s ts de vrição d função f segundo s direções do eio dos s e dos s, resp. Por vezes usmos seguinte notção f f e f f. A derivd prcil de um função de dus vriáveis é igulmente um função de dus vriáveis, e pode por su vez, ter derivds prciis. Podemos então definir: f = f (f ) = f, f = f (f ) = f, f = f (f ) = f, f = f (f ) = f. A ests funções chmmos derivds prciis de segund ordem. Em gerl, f z result de tomr derivd prcil de f em ordem, depois derivd prcil em ordem,... e finlmente derivd prcil em ordem z. O número totl de derivds efetuds é chmd ordem d derivd. Tods s funções que considerremos nests nots stisfzem f = f. Este resultdo é conhecido como Teorem de Clirut. Em termos práticos, pr clculrmos derivd prcil f (resp. f ) de um função f(, ), considermos vriável (resp. ) como um constnte e usmos s regrs de derivção pr derivr epressão resultnte em ordem (resp. ). Eemplo.0. Se f(, ) = 3 +, então derivd prcil em ordem é f (, ) = 3, e derivd prcil em ordem é f (, ) = 3 +. Temos ind f (, ) = 6, f (, ) = 3, f (, ) = 0 f (, ) = 6, f (, ) =, f (, ) =. Definição.. Dd um função f : A R R e um ponto (, b) A, definimos o vetor grdiente de f em (, b) como sendo o vetor ( ) f f f(, b) = (, b), (, b). 7

22 Cálculo Diferencil O vetor grdiente vi permitir-nos generlizr s derivds prciis segundo outrs direções que não o eio dos s ou dos s. Se u é um vetor unitário, isto é com comprimento u =, definimos derivd direcionl de f n direção do vetor u, denotd D u f, como sendo t de vrição d função f n direção de u. Est derivd é dd pel fórmul D u f = f u, onde denot o produto interno em R. Notemos que se u = e = (, 0) então e se u = e = (0, ) então D e f(, ) = f(, ) e = (f, f ) (, 0) = f D e f(, ) = f(, ) e = (f, f ) (0, ) = f Ou sej, derivd direcionl generliz s derivds prciis. Eemplo.. Vmos determinr derivd direcionl d função f(, ) = + n direção do vetor u = (3, 5) no ponto (, ). Começmos por clculr o vetor grdiente. Temos f (, ) = ( + ) e f (, ) = ( + ), pelo que o grdiente de f no ponto (, ) é ddo por ( f(, ) = ( + ), ) = ( + ) ( 3 5, 4 ). 5 Um vez que o vetor u não é unitário, considermos o vetor v = u/ u = (3/ 34, 5/ 34), unitário e com mesm direção de u, e usmos fórmul ( 3 D v f(, ) = f(, ) v = 5, 4 ) ( ) 3 5, = Isto signific que, prtindo do ponto (, ), um pequen vrição d direção do vetor u fz o vlor d função f diminuir. Um questão nturl que se coloc é sber em que direção derivd direcionl d função f tom o seu vlor máimo. O próimo resultdo responde est pergunt. Teorem.0. O vlor máimo (resp. mínimo) d derivd direcionl D u f() é f() (resp. f() ) e ocorre qundo o vetor unitário u tem direção e sentido do vetor f() (resp. f()). 8

23 Cálculo Diferencil Demonstrção. Como o vetor u é unitário, pel definição de produto interno temos D u f(, ) = f(, ) u = f(, ) u cos(θ) = f(, ) cos(θ), onde θ é o ângulo entre o vetor grdiente e o vetor u. O vlor máimo dest epressão ocorre qundo cos(θ) =, ou sej qundo θ = 0. Assim, o máimo ocorre qundo u tem direção de f(, ) e tem o vlor f(). De form nálog, o mínimo ocorre qundo θ = π, ou sej qundo u tem direção de f(, ) e o seu vlor neste cso é f(, ). Portnto, o grdiente f indic direção de mior crescimento d função, e o seu simétrico f indic direção de mior decréscimo d função. Terminmos est secção com regr d cdei pr funções de dus vriáveis reis, um regr muito útil qundo queremos diferencir um função compost. Teorem. (Regr d cdei). Sej F (, ) = f(u(, ), v(, )). Então, F = f u u + f v v e F = f u u + f v v. Est fórmul tem um cso prticulr que ocorre qundo F () = f(u(), v()). Neste cso, temos df d = f du u d + f dv v d, com s derivds prciis d fórmul d cdei tornrem-se derivds ordináris qundo função diferencir só tem um vriável. Eemplo.. A ltur de um árvore ument à t de dm por no e o seu rio umente à t de 0.dm por no. Determinemos que t está o volume d árvore umentr qundo est tem 0dm de ltur e.5dm de rio (ssumimos que árvore é um cilindro circulr). O volume V d árvore é ddo por V (r(t), h(t)) = πr(t) h(t), onde h(t) é ltur e r(t) o seu rio no instnt t. Portnto, regr d cdei permite escrever dv dt = V r = πrh dr dt dr dt + V dh h dt + πr dh dt. Sbemos que dr/dt = 0.dm por no e que dh/dr = dm por no. Assim, qundo r =.5 e h = 0 temos dv dt = π(.5)(0)(0.) + π(.5) () = 3.99dm 3 /no. 9

24 Cálculo Diferencil.4 Aproimções lineres e diferenciis Sej f : A R R um função diferenciável no ponto. Então, su derivd f () é o declive d ret tngente o gráfico de f no ponto (, f()), = f ()( ) + f(). Est ret coincide com função f em = e pode ser usd pr estimr o vlor de f() pr próimo de : f() f() + f ()( ). Est proimção design-se por proimção liner de f no ponto. A função fim é dit linerizção de f em. L() = f() + f ()( ) Eemplo.3. Vmos usr proimção liner d função f() = + no ponto = 0 pr obter um vlor proimdo de Começmos por determinr derivd f () = ponto = 0 é função L() = f(0) + f ()( 0) = +.. Assim, linerizção de f no + Pr vlores de próimos de 0 temos + +. Como 0.96 = + ( 0.04), tomndo = 0.04 vem = Eemplo.4. Um hor pós prtir de Frnç, num voo de teste, o vião supersónico Concord já tinh percorrido 570km e vov 446km/h. Vmos usr proimção liner pr estimr distânci percorrid pelo Concord seis minutos mis trde. Sej s(t) distânci percorrid pelo Concord t hors pós levntr voo. Sbemos que s() = 570 e que su velocidde nesse instnte er de s () = 446. Queremos determinr um vlor proimdo de s(.) (6 minutos corresponde 0.hors). A linerizção de s(t) no instnte t = é L(t) = s() + s ()(t ) = (t ). Assim, s(.) L(, ) = (. ) = Ou sej, um hor e seis minutos pós ter descoldo, o vião já hvi percorrido proimdmente 84.6km. As ideis por detrás ds proimções lineres podem ser formulds usndo noção de diferenciis. Se = f() é um função diferenciável, designmos por diferencil d 0

25 Cálculo Diferencil qulquer número rel e por diferencil d vrição dos vlores d linerizção de f do ponto pr o ponto + d: d = L( + d) L() = f ()d. Ou sej, o diferencil d represent vrição qundo mud de pr + d o longo d ret tngente o gráfico de f no ponto (, f()). Qundo d é pequeno, d é um proimção pr o vlor = f( + d) f(): d = f ()d. = f() f( + d) L() f() d + d Eemplo.5. O vlor encontrdo o medirmos o rio de um esfer foi de cm. Sbendo que o erro máimo d medição é de 0, 05cm, determine o erro máimo cometido n determinção do volume d esfer. Sbemos que o volume de um esfer é ddo pel epressão V = 4 3 πr3, onde r é o seu rio. Se o erro n medid do vlor de r for denotdo por dr, então o erro correspondente o vlor de V é V, o qul pode ser proimdo pelo diferencil V dv = V (t)dr = 4πr dr. Qundo r = cm e dr 0.05cm, vem dv 4π() (0.05)cm 3 77cm 3. Assim, o erro cometido no cálculo do volume é inferior 77cm 3. O erro que eminmos no eemplo nterior é designdo por erro bsoluto pr o distinguir de outros termos hbitulmente usdos, o erro reltivo e o erro percentul, que comprm o erro bsoluto com mgnitude do número que está ser medido. O erro reltivo de f é definido como e o erro percentul é f f df f f f (00) df f (00).

26 Cálculo Diferencil Voltndo o eemplo nterior, o erro reltivo no cálculo do volume d esfer é de V V dv V = 4πr dr 4 = 3 dr 3 πr3 r , que corresponde um erro percentul de 0.7%. A noção de diferencil que vimos pr o cso de funções reis de um vriável rel pode ser generlizdo pr funções de váris vriáveis. Sej então z = f(, ) um função rel de dus vriáveis reis com derivds prciis no ponto (, ) e consideremos pontos + d e + d, com os diferenciis d e d muito pequenos. Ests vrições ns vriáveis independentes provocm um vrição n função z = f(, ). O vlor dest vrição denotse por z = f( + d, + d) f(, ) e pode ser proimdo pelo diferencil dz = f d + f d: z dz = f d + f d, desde que os diferenciis d e d sejm suficientemente pequenos. Eemplo.6. O comprimento e ltur de um retângulo form medidos com erros máimos de 3% e 5% respetivmente. Estime percentgem máim de erro no cálculo d áre do retângulo. Designemos por o comprimento e por ltur do retângulo, e sej A = su áre. Então A = e A =. Assim, o erro bsoluto cometido é ddo por O erro reltivo é ddo por Sbemos que A da = A A d + d A A = d + d. da A = d + d d 0.03 e 0.05 d O pior cso possível contece qundo d/ = 0.03 e d/ = 0.05, pelo que obtemos o erro reltivo de da/a = Portnto, o erro percentul máimo é de 8%.

27 Cpítulo Cálculo Integrl. Integrl indefinido Sej I R um intervlo e f : I R um função. No cpítulo nterior considerámos o problem d determinção d derivd de f. Vmos gor nlisr o problem inverso, isto é, pretendemos encontrr, se eistir, um função F, diferenciável em I, e tl que F () = f() pr todo o I. Um tl função F diz-se um primitiv ou ntiderivd de f no intervlo I. Se função f possuir um primitiv no intervlo I dizemos que f é primitivável em I. Por eemplo, função F () = é um primitiv de f() = em R, pois stisfz F () =. Ms tmbém função G() = + 3 é um primitiv de f, pois G () = f() em R. Este eemplo mostr que primitiv de um função não é únic. No entnto, o teorem seguinte mostr que tods s primitivs de um mesm função estão relcionds. Teorem.. Sejm F e G dus primitivs de f num certo intervlo rel I. G() = F () + c, I pr lgum constnte c R. Então, Demonstrção. Um vez que tnto F como G são primitivs d mesm função f em I, então 0 = G () F () = (G() F ()), pr I. Isto signific que G() F () = c pr lgum constnte c R, ou sej, G() = F () + c pr todo o I. Se f é um função primitivável no intervlo I, escrevemos f()d 3

28 Cálculo Integrl pr representr fmíli de tods s primitivs d função f. Se conhecermos um primitiv F de f, então f()d = F () + c, pr I com c um constnte qulquer. A fmíli de tods s primitivs de f é designd por integrl indefinido de f. O símbolo é dito o sinl de integrção, f função integrnd e c constnte de integrção. O símbolo d indic vriável de integrção. Por vezes tmbém se us notção P (f) = f()d. Ao processo de determinção de um primitiv de f chm-se primitivção. Eemplo.. Sej f() = n, com n. Como função F () = n+ n + de f em R, temos n d = n+ n + + c. é um primitiv Eemplo.. Consideremos função f() = F () = ln() é um primitiv de f temos definid no intervlo I =]0, + [. Como d = ln() + c, pr ]0, + [. Consideremos gor função f() = d definid no intervlo I =], 0[. Neste intervlo, G() = ln( ) é um primitiv de f pelo que = ln( ) + c, pr ], 0[. Por buso de notção, é usul combinr estes dois resultdos indicndo que d = ln + c, pr 0. O processo de primitivção de um função f pode ser bstnte complicdo. As seguintes proprieddes podem ser utilizds como resultdos uilires neste processo. Tods els podem ser fcilmente provds por derivção. Proposição.. Sejm f e g funções primitiváveis no intervlo I. Então:. f ()d = f() + c. 3. ( f()d) = f() kf()d = k f()d (k R) 4

29 Cálculo Integrl 4. f() + g()d = f()d + g()d Eemplo.3. Sej f() = ( + ). Usndo s proprieddes cim e o eemplo. podemos clculr primitiv de f d seguinte form: ( ) + d = + / + d = d + / d + = + 3 /3 + + c. No neo B encontr-se um tbel com s principis regrs de primitivção. No entnto, nem tods s primitivs se conseguem encontrr usndo somente ests regrs. Vmos descrever dois processos de primitivção que podem ser utilizdos qundo s regrs d tbel não são, por si só, suficientes pr obter primitiv. d Integrção por prtes A técnic de primitivção conhecid por primitivção por prtes us-se pr clculr primitiv de um produto de dus funções e é bsed n regr d derivção de um produto de funções. Teorem.. Sejm f e g dus funções definids num intervlo I tis que f é primitivável e g é diferenciável em I. Se F é um primitiv de f em I, então f()g()d = F ()g() F ()g ()d. Demonstrção. Pel regr d derivção de um produto de funções, vem (F ()g()) = F ()g() F ()g () = f()g() F ()g (), ou ind f()g() = (F ()g()) F ()g (). Integrndo mbos os membros dest últim iguldde obtemos fórmul pretendid. Eemplo.4. Vmos usr fórmul d integrção por prtes pr determinr primitiv de cos(). Tomemos f() = cos() e g() =. Um primitiv de f() é função sin() e g () =, pelo que cos()d = sin() sin()d = sin() + cos() + c. 5

30 Cálculo Integrl Eemplo.5. Determinemos gor primitiv d função ln() definid no intervlo ]0, + [. Como regr d primitivção por prtes pressupõe o produto de dus funções, escrevemos ln() = ln() e pomos f() = e g() = ln(). Um primitiv de f() é função F () = e g () = /. Então, ln()d = ln() d = ln() + + c. Os eemplos nteriores evidencim lgums regrs que devemos observr qundo queremos usr primitivção por prtes. Podemos introduzir o fctor n função integrnd e começr primitivr por ess função. N primitivção por prtes devemos começr primitivr função que se simplific menos por derivção (no primeiro eemplo começámos primitivr função sin ). Por vezes é necessário plicr regr d primitivção por prtes dus (ou mis) vezes. Integrção por substituição A integrção por substituição é mis importnte regr que dispomos pr o cálculo primitivs. É bsed n regr d cdei. Teorem.3. Se u = g() é um função diferenciável com contrdomínio o intervlo I e f é um função contínu em I, então (f(g())g ()d = f(u)du. Demonstrção. Sej = F (g()) com F um primitiv d função f em I, que sbemos eistir devido à continuidde de f. Então, pel regr d cdei, F (g()) é um primitiv d função f(g())g (), ou sej d d = F (g())g () = f(g())g (). Integrndo mbos os membros dest iguldde em ordem à vriável vem = f(g())g ()d. (.) Por outro ldo, d du = F (u) = f(u), donde segue que = f(u)du. (.) A fórmul pretendid segue de (.) e (.). 6

31 Cálculo Integrl Eemplo.6. Vmos eemplificr plicção d regr d substituição no cálculo d primitiv d função f() =. A form mis simples de usr est regr é utilizndo not- + ção de Leibniz. Fçmos u = g() = +. Então, o diferencil de u é du = g ()d = d. Substituindo n fórmul d primitiv, vem + d = du = u u / du = u / + c. Como questão originl vinh formuld n vriável, devemos presentr primitiv tmbém nest vriável. Assim, + d = ( + ) / + c. Eemplo.7. Determinemos primitiv de 5 + fzendo substituição u = +. Temos du = d d = du/. Além disso, = (u ) pelo que 4 = (u ). Assim, podemos escrever 5 ( ) + d = 4 + d = (u ) udu = (u u + ) udu = (u 5/ u 3/ + u / )du = ( 7 u7/ 5 u5/ + ) 3 u3/ + c = 7 ( + ) 7/ 5 ( + ) 5/ + 3 ( + ) 3/ + c.. Integrl definido Nest secção vmos definir o integrl definido de um função sobre um intervlo. A interpretção mis comum pr o integrl de um função é como áre sob o grfo dess função num certo intervlo [, b]. Comecemos então por considerr = f() um função contínu e não negtiv no intervlo [, b] e consideremos áre sob o gráfico de f no intervlo [, b], ou sej, áre d região compreendid entre o gráfico de f e o eio dos s, e limitd pels rets = e = b. Por eemplo, se f() = +, áre A sob o gráfico de f no intervlo [, 3] corresponde à região mrel n figur seguinte: 7

32 Cálculo Integrl f() = + 3 Podemos obter um vlor proimdo pr est áre substituindo- por retângulos limitdos pelo gráfico de f. Por eemplo podemos dividir o intervlo [, 3] em subintervlos de comprimento, e construir retângulos em cd um dos subintervlos cuj ltur é dd pelo vlor mínimo d função nos etremos do intervlo f() = + 3 Somndo s áres de cd um destes retângulos obtemos o vlor proimdo por defeito A = 9 pr áre sob o gráfico de f no intervlo [, 3]. Clro que se dividirmos o intervlo [, 3] em subintervlos mis pequenos e fizermos mesm construção vmos obter um melhor proimção pr A. Por eemplo, se dividirmos [, 3] em subintervlos de comprimento / e construirmos retângulos como em cim, som ds sus áres dá-nos o vlor por defeito A (.5) + () + () + (.5) + () + (3.5) + (5) + (7.5) =. 8

33 Cálculo Integrl f() = + 3 Em gerl, se = f() é contínu e não negtiv no intervlo [, b] podemos dividir o intervlo em n subintervlos de igul comprimento = b n. Sejm,,..., n pontos por ordem crescente, cd um de um dos n subintervlos (nos eemplos nteriores escolhemos estes pontos como sendo um dos etremos dos subintervlos). Est escolh permite construir n retângulos de bse e ltur f( i ) com áre f( i ), pr i =,..., n. A som d áre destes retângulos R f ( ) = f( ) + f( ) + + f( n ) = (f( ) + f( ) + + f( n )) é designd por som de Riemnn e é um vlor proimdo pr áre A sob o gráfico de f no intervlo [, b]. O limite d som de Riemnn qundo o número de retângulos, n, cresce indefinidmente (o que signific que o comprimento ds sus bses tende pr zero) dá-nos áre A. Definição.. Sej f um função limitd definid no intervlo [, b]. O integrl definido de f entre e b é definido como sendo o limite ds soms de Riemnn qundo mplitude dos subintervlos tende pr zero, isto é, b f()d = lim 0 R f( ). Qundo este limite eiste função f diz-se integrável. N definição nterior, os pontos e b dizem-se os limites de integrção e f chmmos função integrnd. 9

34 Cálculo Integrl Pode provr-se que qundo função f é contínu ou tem no máimo um número finito de descontinuiddes de primeir espécie (i.e. os limites lteris de f nos pontos de descontinuidde eistem), o limite d definição nterior eiste. Ou sej, qulquer função contínu, ou com número finito de descontinuiddes de primeir espécie, num intervlo fechdo é integrável nesse intervlo. No entnto há funções que não são integráveis. Por eemplo, função de Dirichlet definid em R por f() = se é um número rcionl, e f() = 0 se é um número irrcionl, é clrmente não integrável. Segue d definição que se função f é não negtiv no intervlo [, b], então áre sob o gráfico de f entre os pontos e b é precismente o integrl b f()d. Por outro ldo, ee f tom vlores positivos e negtivos em [, b], então som de Riemnn é som de áres de retângulos que estão cim do eio dos s com os simétricos ds áres dos retângulos que estão bio do eio dos s: = f() + + b Neste cso, o limite ds soms de Riemnn pode ser visto como diferenç de áres b f(f)d = A A, onde A é áre d região cim do eio dos s e bio do gráfico de f e A é áre d região bio do eio dos s e cim do gráfico de f. Em prticulr, se f() 0 pr todo o [, b], então o integrl de f entre e b represent o simétrico do vlor d áre dess região. Com bse n interpretção geométric do integrl, podemos ssim concluir que se f é um função ímpr, então o integrl então f()d = 0 f()d. f()d = 0, enqunto que se f é um função pr, Já o integrl d = π/ pois o gráfico d função f() = é prte superior d circunferênci de centro n origem e rio. Como um tl circunferênci tem áre π, região compreendid entre o eio dos s e o gráfico de f terá por áre metde desse vlor. As seguintes proprieddes do integrl definido resultm d definição e são intuitivs, tendo em cont interpretção geométric do integrl. 30

35 Cálculo Integrl Teorem.4. Se f e g são funções integráveis em [, b] e α R, então:. Intervlo de medid zero: f()d = 0. Ordem de integrção: b f()d = b f()d 3. Aditividde: Se c (, b) então b f()d = c f()d + b c f()d 4. Multiplicção por esclr: b αf()d = α b f()d 5. Som: b f() + g()d = b f()d + b g()d 6. Positividde: Se 0 f() então 0 b f()d 7. Dominção: Se f() g() então b f()d b g()d 8. Desiguldde Min-M: Se m f() M, [, b] então m(b ) b f()d M(b ). Intervlo de medid zero Aditividde Multiplicção por esclr = f() 0 = f() 0 c f()d b c f()d c b = f() 0 b = f() Som Dominção Desiguldde Min-M = f() + g() = g() M 0 = g() = f() b 0 b = f() m 0 = f() b 3

36 Cálculo Integrl Eemplo.8. Pr lém dos csos em que podemos usr geometri, neste momento só temos definição pr clculr integris. Usr definição é, gerlmente, um tref árdu. No entnto desiguldde Min-M pode ser utilizd pr obter um estimtiv pr um integrl. Vmos eemplificr este processo com o integrl Como função f() = e é decrescente em [0, ], temos 0 e d. m = e = f() f() f(0) = = M pr todo o [0, ]. Assim, pel desiguldde Min-M podemos escrever e ( 0) 0 e d ( 0) =. O Teorem Fundmentl do Cálculo que presentmos seguir mostr que diferencição e integrção são processos inversos. Este teorem dá-nos, igulmente, um método prático pr clculr integris. Teorem.5 (Teorem Fundmentl do Cálculo). Sej f : [, b] R um função contínu e sej F () = f(t)dt, b. Então F é contínu em [, b], diferenciável em (, b) e F () = f().. b f()d = G(b) G() = [G()] b, onde G é um primitiv de f em [, b]. Concluímos ssim que tod função f contínu em [, b] tem nesse intervlo um primitiv, que é dd por F () = f(t)dt, ou sej d ( ) f(t)dt = f(). Tmbém é d válid iguldde F ()d = F (), donde se conclui que diferencição e integrção são operções inverss. A prte. do teorem é por vezes designd como o Teorem d Vrição Totl. Se F é um primitiv de f podemos reescrever o teorem como b F ()d = F (b) F (). (.3) Encrndo F como t de vrição d função F, o número F (b) F () é vrição totl d função F no intervlo [, b]. Podemos ssim interpretr fórmul (.3) como b (T de vrição)d = Vrição totl entre e b. 3

37 Cálculo Integrl Eemplo.9. No início dest secção usmos soms de Riemnn pr obter um vlor proimdo pr o integrl d função f() = + sobre o intervlo [, 3]. Um vez que 3 /3 + é um primitiv de f, podemos gor usr o Teorem Fundmentl do Cálculo pr obter o vlor eto deste integrl: 3 [ 3 + d = 3 + ] 3 = Eemplo.0. Um torneir permite retirr águ de um reservtório à t de r(t) = 00 t litros por minuto. Vmos clculr quntidde de águ que, um vez bert torneir, deiou o tnque nos primeiros 5 minutos. Denotndo por V (t) quntidde de águ que pssou pel torneir té o instnte t, temos V (t) = r(t). Assim, nos primeiros 5 minutos sírm do tnque 5 0 V (t)dt = tdt = [00t t ] 5 0 = = 475 litros. Teorem.6 (Regr d substituição pr integris definidos). Se g é um função contínu em [, b] e f é um função contínu no contrdomínio de g, então b (f(g())g ()d = g(b) g() f(u)du. Demonstrção. Se F é um primitiv de f, então F (g()) é um primitiv de f(g())g () e temos b Por outro ldo, pondo u = g() vem (f(g())g ()d = [F (g())] b = F (g(b) F (g()). g(b) g() f(u)du = [F (u)] g(b) g() = F (g(b) F (g()). Eemplo.. Vmos clculr o integrl d usndo regr d substituição, com u = +. Temos du = d e, pr determinrmos os novos etremos de integrção, vemos que Podemos então escrever 4 0 = 0 u = (0) + = = 4 u = (4) + = 9. + d = 9 [ ] 9 udu = 3 u3/ =

38 Cálculo Integrl Est últim iguldde diz-nos que áre sob o gráfico de f() = + entre 0 e 4 é igul à áre sob o gráfico de g() = (/) entre e 9: 3 =.5 + = Temos ssim dus opções pr clculr um integrl por substituição:. Determinmos um primitiv d função integrnd em ordem e mntemos os limites de integrção pr clculr o integrl, ou. Altermos os limites de integrção qundo fzemos substituição e clculmos o integrl reltivmente à nov vriável u usndo os novos limites de integrção..3 Aplicções do integrl Vlor médio de um função A médi ritmétic de um conjunto de n números,,..., n é dd pel epressão ( + + n )/n. Vmos usr est fórmul pr determinr o vlor médio de um função = f() sobre um intervlo [, b]. Começmos por escolher n números < < n b e clculr médi de f nestes vlores f( ) + f( ) + + f( n ) n Tomndo = (b )/n e resolvendo em ordem n, vem n = (b )/. Substituindo n fórmul nterior vem b (f( ) + f( ) + + f( n )). O vlor médio de f no intervlo [, b] é gor obtido tomndo o limite qundo n +. Reconhecendo n epressão nterior um som de Riemnn, obtemos então fórmul b b 34 f()d.

39 Cálculo Integrl Definição.. Se f é contínu no intervlo [, b] então o vlor médio de f em [, b] é ddo por b b f()d. Eemplo.. O volume V em litros de r nos pulmões durnte um ciclo respirtório de 5 segundos pode ser proimdo pelo modelo V (t) = (0.79)t + (0.5)t (0.0374)t 3 litros, onde t é tempo medido em segundos. O volume médio de r nos pulmões durnte um ciclo respirtório de 5 segundos é ddo por (0.79)t + (0.5)t (0.0374)t 3 dt 0.53 litros. O próimo teorem mostr que se um função f é contínu no intervlo [, b], então o vlor médio de f neste intervlo é tingido num certo ponto do intervlo. Teorem.7 (Teorem do vlor médio pr integris). Se f é contínu em [, b], então eiste c [, b] tl que b b f()d = f(c) b f()d = f(c)(b ). Geometricmente, pr funções não negtivs, o Teorem do vlor médio pr integris grnte eistênci de um número c tl que o retângulo de bse [, b] e ltur f(c) tem mesm áre d região bio do gráfico de f no intervlo [, b]: = f(t) f(c) c b 35

40 Cálculo Integrl Cálculo de áres O integrl definido de um função contínu f() 0 sobre o intervlo [, b] represent áre d região compreendid entre o gráfico de f e o eio dos s, entre s rets = e = b. Vmos gor estender est idei de modo clculrmos áres definids pelos gráficos de dus funções. Teorem.8. Se f e g são funções contínus e f() g() pr todo o [, b], então áre A d região limitd pelos gráficos de f e g e pels rets verticis = e = b é A = b f() g()d. Demonstrção. No cso de mbs s funções serem positivs, f() g() 0 pr todo o [, b], fórmul é clrmente verddeir: A = [áre sob = f()] [áre sob = g()] b b = f() A = f()d g()d b = g() = f() g()d b Cso desiguldde g() 0 não se verifique em todo o intervlo, podemos encontrr um constnte c > 0 tl que f() + c g() + c 0 pr [, b]. Pelo cso nterior, temos A = b (f() + c) (g() + c)d = b f() g()d. Eemplo.3. Vmos determinr áre d região limitd pelos gráficos ds funções f() = e g() =. Neste tipo de eercícios é sempre bo idei começr por esboçr s dus curvs: = - 0 = 36

41 Cálculo Integrl As curvs intersetm-se nos pontos que stisfzem =, ou sej em = e =. Como no intervlo [, ] temos f() g(), áre A pretendid é dd pelo integrl A = f() g()d = [ ( 3 ) d = 3 + ] = 9. Se o sinl de f() g() não for constnte no intervlo [, b] temos que determinr os pontos onde os gráficos de mbs s funções se intersetm e decompor o intervlo em subintervlos onde esse sinl se mntenh constnte. O vlor d áre será então som ds áres em cd um desses subintervlos. Eemplo.4. Determinemos áre d região limitd pelos gráficos ds funções f() = e g() = 3 +, cujos gráficos são presentdos n figur seguinte. = f() - = g() As curvs intersetm-se nos pontos, 0 e. Como no intervlo [, 0] temos f() g(), e no intervlo [0, ] temos g() f(), áre A pretendid é dd pel som dos integris A = = = f() g()d + 0 g() f()d (3 3 0) ( + )d d d = 4. 0 ( + ) (3 3 0)d Por vezes é mis conveniente escrever como função de e integrr em ordem. Se f() g() pr todo o [c, d], então áre A d região limitd pelos gráficos de = f() e = g(), entre s rets horizontis = c e = d, é dd pelo integrl A = d c f() g()d. 37

42 Cálculo Integrl Eemplo.5. Determinemos áre d região limitd pels curvs = + e = 3, cujos gráficos são presentdos em bio: = 3 = + 3 As dus curvs intersetm-se qundo + = 3, ou sej, nos pontos (, ) e (, ). Podemos clculr áre integrndo em ordem, ms teremos de decompor região em dus e clculr dois integris. Neste cso é mis simples integrr em ordem. Fzendo f() = 3 e g() = +, temos f() g() pr todo o no intervlo [, ]. Assim, áre A é dd por A = (3 ) ( + )d = Volumes de sólidos de revolução d = 9. Consideremos região do plno compreendid entre o gráfico d função = f() 0 e o eio dos s o longo do intervlo [, b]. Rodndo est região em torno do eio dos s obtemos um sólido de revolução. O mis simples destes sólidos é um cilindro reto, ou disco, que é obtido rodndo um retângulo. w R Se w e R forem s medids d bse e d ltur do retângulo, então o volume do disco é ddo por Volume = (áre do disco) (espessur do disco) = πr w. Tl como fizemos pr obter áre sob um curv, dd um função = f() 0 no intervlo [, b], podemos proimr ess áre por retângulos de bse e ltur f(). 38

43 Cálculo Integrl Rodndo cd um destes retângulos em torno do eio dos s obtemos um proimção pr o vlor do volume do sólido de revolução obtido rodndo região sob o gráfico de f no intervlo [, b]: = f() b Volume n π (f( i )) i= O vlor eto do volume é obtido tomndo o limite dest epressão qundo n +. Reconhecendo nest fórmul um som de Riemnn, temos então que Volume = π b (f()) d é o vlor do volume do sólido de revolução obtido rodndo região sob o gráfico de f no intervlo [, b]. Eemplo.6. O volume do sólido obtido rodndo região sob gráfico d função f() = sin(), entre os pontos = 0 e = π é ddo por π ( ) π V = π sin() d = π sin()d = π [ cos()] π 0 = π 0 0 Usndo rgumentos nálogos os considerdos nteriormente, podemos concluir que o volume do sólido de revolução gerdo pel rotção, em torno do eio do s d região limitd pelo eio dos s, o gráfico d função = f() 0 e s rets = c e = d é dd por Volume = π d c (f()) d Se região que queremos rodr é áre compreendid entre dus curvs = f() e = g(), com f() g() 0 no intervlo [, b], então cd secção do sólido é um coro circulr de rio eterior f() e rio interior g(). Neste cso, o volume do sólido é ddo por Volume = π b (f()) (g()) d. Eemplo.7. Vmos clculr o volume do sólido formdo pel revolução d região limitd pelos gráficos ds funções = e = em torno do eio dos s. 39