Matemáticas Gerais. (Licenciatura em Geologia) Texto de apoio às aulas teóricas. Armando Gonçalves e Maria João Rodrigues

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1 Mtemátics Geris (Licencitur em Geologi) Teto de poio às uls teórics Armndo Gonçlves e Mri João Rodrigues Deprtmento de Mtemátic d FCTUC Ano lectivo 013/014

2 Mtemátics Geris Licencitur em Geologi Teto de poio às uls teórics Ano lectivo 013/014 Not dos utores Neste teto, os lunos podem encontrr os principis conceitos e resultdos presentdos ns uls teórics, ssim como lguns eemplos Trt-se de um teto que pretende uilir os lunos n compreensão dos conteúdos teóricos, ms não é eustivo, não devendo os lunos pensr que substitui presenç ns uls teórics A leitur deste teto deverá ser complementd pel consult d bibliogrfi indicd

3 1 Funções reis de vriável rel 11 Algums revisões Função Um função de um conjunto A num conjunto B é um correspondênci que ssoci cd elemento de A ectmente um elemento de B, isto é, Us-se notção A, 1 B : f() = f : A B f() Ao conjunto A chm-se domínio d função f, B conjunto de chegd e f(a) = {f(), A} chm-se contrdomínio de f O gráfico de f é o conjunto grff = {(,f()) A} Se A e B são subconjuntos de R, f diz-se um função rel de vriável rel Eemplos: é o gráfico de um função não é o gráfico de um função A prtir deste momento considerremos sempre funções reis de vriável rel Pridde de um função Um função f, definid num conjunto A R, diz-se pr se, pr cd A, f( ) = f(); diz-se ímpr se, pr cd A, f( ) = f() Eemplos: Função pr Função ímpr f : R R f() = f : R\{0} R f() = 1 Função monóton Um função f : A B diz-se monóton crescente ou simplesmente crescente, em A, se pr quisquer, A tis que <, então f() f() A função f diz-se decrescente em A se pr quisquer, A tis que <, então f() f()

4 Etremos Um função f tem um máimo locl (ou máimo reltivo) em c se f(c) f() pr qulquer ponto (do domínio de f) que pertenç lgum intervlo berto contendo c; mínimo locl (ou mínimo reltivo) em c se f(c) f() pr qulquer ponto (do domínio de f) que pertenç lgum intervlo berto contendo c máimo bsoluto (ou máimo globl) em c se f(c) f() pr todo o D f O vlor f(c) é chmdo máimo de f em D f ; mínimo bsoluto (ou mínimo globl) em c se f(c) f() pr todo o D f A f(c) chm-se mínimo de f em D f Os vlores máimos e mínimos de f, se eistirem, são chmdos etremos de f Eemplo: A função com representção gráfic temcomo máimos locisf( 1 ), f( 3 )ef( 5 ); osmínimos locissão: f( 0 ), f( ) ef( 4 ) Omáimo bsoluto é f( 7 ) e o mínimo bsoluto é f( 6 ) Função injectiv Um função f : A B é injectiv se, pr quisquer, em A, f() = f() implic =, ou, de um modo equivlente, sempre que então f() f() Eemplo: não é injectiv é injectiv Função sobrejectiv Um função f : A B é sobrejectiv se pr todo o B eiste A tl que f() = Eemplos: f : R R não é sobrejectiv pois f(r) = R + 0 id R : R R é sobrejectiv

5 Função bijectiv Um função f : A B é bijectiv se é simultnemente injectiv e sobrejectiv Eemplo: A função é bijectiv id A : A A Composição de funções Sejm f : A B e g : C D dus funções tis que f(a) C Neste cso podemos definir função compost h = g f : { A f() C} D tl que h() = (g f)() = g(f()), pr todo o D h Função invertível Um função f : A B é invertível se eiste um função g : B A tl que g f = id A e f g = id B Se eistir um tl função denot-se por f 1 Teorem Se um função dmitir função invers, função invers é únic Teorem Um função f : A B possui invers se e só se é bijectiv Eemplo: A função f : R R + 0 não é bijectiv, ms se considerrmos su restrição R + 0 ficmos com função g : R + 0 R + 0 que já é bijectiv, logo tem invers g 1 : R + 0 R + 0 = g() = g 1 () Os gráficos de um função e d su invers são simétricos reltivmente à rect de equção =

6 1 Funções eponenciis e logrítmics Função eponencil Se é um número rel positivo diferente de 1, chm-se função eponencil de bse à função f : R R Se = e, diz-se que f é função eponencil nturl Eemplos: Gráficos ds funções definids por f 1 () = e, f () = 10 e f 3 () = ( 1 10 ), no intervlo [ 1,15] e Proprieddes: Se R + \{1} e, R, então (1) 0 = 1 e 1 = ; () = + ; (3) = ; (4) ( ) = Se > 1 função eponencil de bse é crescente e se 0 < < 1 função é decrescente A função eponencil é um função injectiv com domínio R e contrdomínio é R +, ssim função g : R R + é bijectiv, logo invertível A su invers será designd por função logrítmic de bse Função logritmo Se é um número rel positivo diferente de 1, chm-se função logritmo de bse à função g 1 : R + R = log Se = e, função logritmo represent-se por = ln e design-se por logritmo nturl ou logritmo neperino Se = 10, função logritmo represent-se por = log

7 Eemplos: Gráficos ds funções definids por g 1 () = ln, g () = log e g 3 () = log (01), no intervlo ]0,3] ln log log 01 Por definição de invers de um função, temos que (1) = log = ; () log =, pr > 0; (3) log ( ) =, pr todo R Proprieddes: Se, b R + \{1},, R + e p R, então (1) log 1 = 0 e log = 1; () log = log +log ; (3) log = log log ; (4) log p = plog ; (5) log b = log log b Se > 1 função logritmo de bse é crescente e se 0 < < 1 função é decrescente 13 Funções trigonométrics e trigonométric inverss Função periódic Um função f : R R diz-se periódicse eistir T R tlque, prqulquer R, f(+t) = f() T design-se por período Not Muitos utores designm por período, o menor vlor positivo T, que sfisfç iguldde d definição nterior

8 Função limitd Um função f : A B diz-se limitd se o conjunto dos vlores que função ssume for um conjunto limitdo, isto é, se eistir um número rel positivo M tl que pr todo o A se tiver f() M As representções gráfics ds funções trigonométrics e correspondentes inverss, podem ser consultdos no Mini-tls de funções disponibilizdo no finl do cderno de eercícios 131 Função seno e su invers rco seno A função seno é função com seguinte representção gráfic sen : R [ 1,1] = sen, = sen 1 π 3π π π π 3π π π 1 A função seno tem domínio R, contrdomínio [ 1,1], é ímpr (sen( ) = sen) e é um função periódic de período π, logo não é injectiv Ms se restringirmos o domínio o intervlo [ π, π ], obtemos restrição principl do seno que é um função bijectiv, logo invertível sen : [ π, π ] [ 1,1] = sen, Função rco seno A função rco seno é função invers d restrição principl do seno, sendo definid por onde = rc sen sen = rc sen : [ 1,1] [ π, π ] = rc sen, Por definição de invers, temos que, se 1 1 e π π, então sen(rc sen) = e rc sen(sen) = 13 Função co-seno e su invers rco co-seno A função co-seno é função com seguinte representção gráfic cos : R [ 1,1] = cos, = cos 1 π 3π π π π 3π π π 1 A função co-seno tem domínio R, contrdomínio [ 1,1], é pr (cos( ) = cos) e é um função periódic de período π, logo não é injectiv

9 Ms se restringirmos o domínio o intervlo [0, π], obtemos restrição principl do co-seno que é um função bijectiv, logo invertível cos : [0,π] [ 1,1] = cos, Função rco co-seno A função rco co-seno é função invers d restrição principl do co-seno, sendo definid por onde = rc cos cos = Se 1 1 e 0 π, então rc cos : [ 1,1] [0,π] = rc cos, cos(rc cos) = e rc cos(cos) = As funções seno e co-seno estão relcionds pel conhecid fórmul fundmentl d trigonometri sen +cos = Função tngente e su invers rco tngente A função tngente é função definid pelo quociente entre função seno e função co-seno, isto é, tg = sen cos A função tngente tem domínio R \ { : = π + kπ, k Z}, contrdomínio R, é ímpr e é um função periódic de período π, logo não é injectiv Ms se restringirmos o domínio o intervlo ] π, π [, obtemos restrição principl d tngente que é um função bijectiv, logo invertível tg : ] π, π [ R = tg, Função rco tngente A função rco tngente é função invers d restrição principl d tngente, sendo definid por onde = rc tg tg = rc tg : R ] π, π [ = rc tg, Se R e π < < π, então tg(rc tg) = e rc tg(tg) =

10 134 Função co-tngente e su invers rco co-tngente Função co-tngente A função co-tngente é função definid pelo quociente entre função co-seno e função seno, isto é, cotg = cos sen A função co-tngente tem domínio R \ { : = kπ, k Z}, contrdomínio R, é ímpr e é um função periódic de período π, logo não é injectiv Ms se restringirmos o domínio o intervlo ]0, π[, obtemos restrição principl d co-tngente que é um função bijectiv, logo invertível cotg : ]0,π[ R = cotg, Função rco co-tngente A função rco co-tngente é função invers d restrição principl d co-tngente, sendo definid por onde = rc cotg cotg = rc cotg : R ]0,π[ = rc cotg, Se R e 0 < < π, então cotg(rc cotg) = e rc cotg(cotg) = 135 Função co-secnte e su invers rco co-secnte Função co-secnte A função co-secnte é o inverso ritmético do seno, isto é, cosec = 1 sen A função co-secnte tem domínio R\{ : = kπ, k Z}, contrdomínio ], 1] [1,+ [, é ímpr e é um função periódic de período π, logo não é injectiv Ms se restringirmos o domínio o intervlo [ π,0[ ]0, π ], obtemos restrição principl d secnte cosec : [ π,0[ ]0, π] ], 1] [1,+ [ = cosec, que é um função bijectiv, logo invertível

11 Função rco co-secnte A função rco co-secnte é função invers d restrição principl d co-secnte, sendo definid por onde = rc cosec cosec = Se 1 e [ π,0[ ]0, π ], então rc cosec : ], 1] [1,+ [ [ π,0[ ]0, π ] = rc cosec, cosec(rc cosec) = e rc cosec(cosec) = 136 Função secnte e su invers rco secnte Função secnte A função secnte é o inverso ritmético do co-seno, isto é, sec = 1 cos A função secnte tem domínio R\{ : = π +kπ, k Z}, contrdomínio ], 1] [1,+ [, é pr e é um função periódic de período π, logo não é injectiv Ms se restringirmos o domínio o intervlo [0, π [ ]π,π], obtemos restrição principl d secnte sec : [0, π [ ]π,π] ], 1] [1,+ [ = sec, que é um função bijectiv, logo invertível Função rco secnte A função rco secnte é função invers d restrição principl d secnte, sendo definid por onde = rc sec sec = Se 1 e [0, π [ ]π,π], então rc sec : ], 1] [1,+ [ [0, π [ ]π,π] = rc sec, sec(rc sec) = e rc sec(sec) =

12 Derivds 1 Algums revisões Derivd Sejm R e f um função definid num intervlo berto contendo Chm-se derivd de f num ponto e denot-se por f () ou df (), o limite, se eistir e for finito, d f() f() lim ou, fzendo = h, f(+h) f() lim h 0 h Um função que possui derivd num ponto do seu domínio diz-se derivável ou diferenciável em À rzão f(+h) f() h chm-se rzão incrementl Proprieddes: Sejm f e g dus funções deriváveis em R Então: (1) f +g é derivável em e tem-se (f +g) () = f ()+g (); () fg éderivável emetem-se(fg) () = f ()g()+f()g (),emprticulr, secéumconstnte, (cf) () = cf (); (3) se g() 0 então f ( f g é derivável em e tem-se g ( 1 ) () f () se f() 0, = f f() ) () f ()g() f()g () =, em prticulr, g() Interpretção geométric d derivd Sej f um função rel de vriável rel A rzão incrementl f(+h) f(), h coincidecomodeclivedrectsecnteográficodef quepsspelospontos(,f())e(+h,f(+h)), ou sej, com tgθ Qundo h tende pr zero, rect tende pr tngente à curv no ponto (,f()) Logo, qundo f () eiste, coincide com o declive d rect tngente o gráfico d função no ponto (,f()) θ +h

13 Função derivável num intervlo Diz-se que um função f é derivável num intervlo berto ],b[ (finito ou não), se o é em todos os pontos desse intervlo Um função f é derivável num intervlo fechdo [,b] se é derivável em ],b[ e se eistem derivds à direit de e à esquerd de b, isto é, se eistem e são finitos os limites f d f(+h) f() () := lim h 0 + h e f e f(b+h) f(b) (b) := lim h 0 h É óbvio que se f for um função definid num intervlo contendo, f () eiste se e só se eistirem e forem iguis s derivds à esquerd e à direit de Eemplos: ẏ 0 0 Não têm derivd em 0 e, respectivmente A derivd em 0 é igul 0 Função derivd Sej D f o mior intervlo, ou união de intervlos, onde f é derivável Podemos definir função derivd de f: f : D f R f (), onde f () := lim h 0 f(+h) f() h Derivd de ordem n ou um limite lterl proprido A derivd de um função f conduz outr função denotd por f Se f tem derivd denotmo-l por f e designmo-l por segund derivd de f De um modo gerl, se n é um inteiro positivo então f (n) (ou dn f d n ()) denot derivd de ordem n de f que se obtém prtindo de f e derivndo sucessivmente f n vezes, isto é, f (n) () = ( f (n 1) () ) Regr d cdei Teorem d função compost ou regr d cdei Sejm f e g dus funções tis que g é derivável em e f é derivável em g() Então função compost f g (cso se poss definir) é derivável em e ( f g ) () = f (g())g () Se considerrmos = f(u) e u = g() tl que = f(g()) então o resultdo nterior pode ser presentdo do seguinte modo: d d = d du dud

14 Eemplo: Aplicndo o resultdo nterior, clculemos derivd de = Est função pode ser vist como compost ds funções: = 5 u, com u = Então d d = d du dud = 1 5 u1 5 1 (3 4) = 1 5 (3 4+1) 4 5 (3 4) Como consequênci do Teorem d função compost temos: Derivd d função invers Sej f um função invertível e sej f 1 su invers Se f é derivável em e f 1 é contínu em b = f() então f 1 é derivável em b se e só se f () 0 e nesse cso (f 1 ) (b) = 1 f () = 1 f (f 1 (b)) Eemplo: Determinr derivd d função = ln: Se = ln então = e Temos que (e ) = e e, plicndo o teorem nterior, (ln) = 1 (e ) = 1 e = 1 3 Derivds ds funções trigonométrics e ds funções trigonométrics inverss Derivds ds funções trigonométrics e ds sus inverss podem ser consultds n Tbel de derivds disponibilizd Pr determinr s derivds ds funções trigonométrics inverss bst plicr o Teorem d derivd d função invers Por eemplo, determinemos derivd d função = rc sen: Se = rc sen então = sen pr π π Temos que (sen) = cos e cos 0 se e só se π e π Aplicndo o teorem nterior, temos que, pr π e π, um vez que cos = 1 sen (rc sen) = 1 = 1 (sen) cos = 1, 1 4 Aplicções d derivd T de vrição Sej f um função definid num intervlo I e sejm 1, I A t de vrição médi de f em relção no intervlo [ 1, ] é igul f( ) f( 1 ) 1

15 A t de vrição instntâne de f em relção em = 1 é igul se f ( 1 ) eistir f() f( 1 ) lim, 1 1 Eemplo: Sej n = f(t) o número de indivíduos num populção, vegetl ou niml, no instnte t A vrição do tmnho d populção entre os instntes t = t 1 e t = t é n = f(t ) f(t 1 ), e t médi de crescimento no período de tempo [t 1,t ] é dd por n t = f(t ) f(t 1 ) t t 1 A t de crescimento instntâneo obtém-se d t médi de crescimento fzendo t tender pr zero: n lim t 0 t = dn dt Suponhmos que um populção de bctéris num certo meio mbiente, duplic cd hor Se populção inicil for de 100 bctéris e t for medido em hors, então f(t) = t 100 dá-nos o número de bctéris pós t hors A t de crescimento d populção no instnte t é dd por f (t) = 100ln t, logo t de crescimento d populção pós 4 hors é igul f (4) = 100ln , isto é, depois de 4 hors populção de bctéris está crescer um t de cerc de 1104 bctéris por hor Etremos A primeir derivd de um função é importnte pr estudr o crescimento d função e consequentemente pr determinção dos seus etremos Teorem de Fermt 1 Sej f um função derivável num ponto c de um intervlo berto I Então, se f tinge um máimo locl ou um mínimo locl nesse ponto temos que f (c) = 0 O recíproco do teorem nterior não é verddeiro: podemos ter funções com derivd nul em c sem que c sej um etremo locl

16 Eemplo: = 3, derivd em zero eiste e é igul zero, ms não tem nenhum etremo em zero: 0 É tmbém de notr que eistem funções com etremos que não podem ser encontrdos pelos zeros d derivd: Eemplo: = A função tem um mínimo em zero, ms não é derivável em zero 0 Teorem Sej f um função definid num intervlo Se f tinge um máimo ou um mínimo num ponto c desse intervlo então um ds seguintes situções contece: (1) f (c) = 0; () f não é derivável em c; (3) c é um dos etremos do intervlo (se o intervlo for fechdo) Teorem de Rolle Sej f um função contínu em [,b] e derivável em ],b[ Se f() = f(b) então eiste pelo menos um ponto c em ],b[ tl que f (c) = 0 Interpretção geométric do Teorem de Rolle Tendo em cont o significdo geométrico d derivd de um função num ponto, o que o Teorem de Rollenos diz é que no gráfico deum função que, em [,b], stisfz scondições do teorem, há pelo menos um ponto (c,f(c)), com c ],b[, em que tngente é horizontl (f (c) = 0) Est tngente é prlel à rect definid pelos ponto (,f()) e (b,f(b)) Os seguintes gráficos são elucidtivos deste resultdo: c b c c b c 1 É de observr que qundo não eiste derivd num ponto de ],b[, pode ficr comprometid eistênci em ],b[ de um ponto com derivd nul

17 Eemplos: 0 O próimo resultdo generliz o Teorem de Rolle o cso em que f() f(b) Teorem do vlor médio (ou de Lgrnge 3 ) Se f é um função contínu no intervlo [,b] e derivável em ],b[, então eiste, pelo menos um ponto c no intervlo ],b[ tl que f (c) = f(b) f() b Interpretção geométric do Teorem do vlor médio é o declive do segmento cujos etremos são os pontos (,f()) e (b,f(b)), o teorem grnte que no gráfico de um função contínu em [,b] e derivável em ],b[, eiste pelo menos um ponto (c,f(c)) cuj tngente o gráfico é prlel à secnte que pss por (,f()) e (b,f(b)) Como f(b) f() b Temos seguinte consequênci do teorem nterior: Corolário Se f () = 0, pr todo o ],b[ então f é constnte em ],b[ Vmos gor ver como s derivds fectm o gráfico de um função Corolário (1) Se f () 0, pr todo o ],b[ então f é crescente em ],b[ () Se f () 0, pr todo o ],b[ então f é decrescente em ],b[ Eemplo: A função f() = ln é crescente no seu domínio pois su derivd f () = 1 é positiv em ]0,+ [ Temos gor mis informção pr determinção dos etremos de um função

18 Teste d primeir derivd pr determinção de etremos locis: Sej f um função contínu em [,b] e derivável em ],b[, ecepto possivelmente em c ],b[, então: (1) se o sinl de f mudr de positivo pr negtivo em c, f tem um máimo locl em c; () se o sinl de f mudr de negtivo pr positivo em c, f tem um mínimo locl em c; (3) se f não mud de sinl em c, isto é, f tem o mesmo sinl de mbos os ldo de c, então f não tem máimo ou mínimo locl em c Eemplo: Mostre que de todos os rectângulos com áre igul 4 m o que tem menor perímetro é um qudrdo Sentido ds concviddes do gráfico de um função Concviddes Sej f um função definid num intervlo I Se o gráfico de f estiver cim de tods s sus tngentes no intervlo I, diz-se que (o gráfico de) f tem concvidde pr cim em I Se o gráfico de f estiver bio de tods s sus tngentes no intervlo I, diz-se que (o gráfico de) f tem concvidde pr bio em I A segund derivd dá-nos informção sobre o sentido ds concviddes do gráfico de um função: Teste d concvidde: (1) Se f () > 0 pr todo o num intervlo I, então o gráfico de f tem concvidde pr cim em I; () Se f () < 0 pr todo o num intervlo I, então o gráfico de f tem concvidde pr bio em I Eemplo: O gráfico d função f() = tem concvidde pr cim em R um vez que f () = > 0, pr R Ponto de infleão Sej f um função contínu num intervlo berto I e sej I Se o gráfico de f mudr o sentido d concvidde em (,f()) diz-se que f tem um ponto de infleão em (,f()) Eercício: Fç um esboço do gráfico d função definid por f() = 3 3, depois de nlisr os intervlos de monotoni de f e o sentido ds concviddes do seu gráfico Respost:

19 3 Cálculo Integrl 31 Integrl indefinido No cpítulo nterior, vimos como à cust de um função f podemos determinr um nov função f, derivd de f Vmos gor estudr o problem inverso, primitivção: dd um função f encontrr um função F tl que F = f 311 Definições Primitiv Sej f : I R R um função, onde I é um intervlo ou um união finit de intervlos disjuntos dois dois Um função F : I R é chmd um primitiv (ou nti-derivd ou integrl indefinido) de f em I se F = f Neste cso, diz-se que f é primitivável em I Eemplo: A função F() = é um primitiv d função f() = em R Ms função G() = +1 tmbém stisfz F () = = f(), pr todo o R, logo é um outr primitiv de f em R Mis, tods s funções do tipo H() = +c, com c um constnte rel, são primitivs de f Podemos ssim concluir que se um função dmitir um primitiv, ess primitiv não é únic Teorem Sej F um primitiv de f num intervlo I Se G é outr primitiv de f em I, então eiste um constnte rel c tl que G() = F()+c, pr todo o I Como consequênci deste resultdo, ficmos sber que se F for um primitiv de um função f num intervlo I, então tods s outrs primitivs de F são d form F()+c, pr todo o I, sendo c um constnte rel rbitrári Denot-se est fmíli de primitivs de F no intervlo I por f ou f() d ou Pf() No cso de I não ser um intervlo, ms sim um reunião de intervlos, o resultdo nterior não é válido Podemos ter dus primitivs de um função que não diferem de um constnte Eemplo: { Sej f função definid em I =]0,1[ ]4,5[ por f() = As funções F() =, I e G() =, 0 < < 1 são dus primitivs de f em I e não diferem por um constnte, 4 < < 5 O cálculo de primitivs vi bser-se num conjunto de regrs: regrs de primitivção As regrs mis simples, primitivção imedit, consistem em inverter tbel de derivção, isto é, identificr um função como derivd de outr

20 Eemplos: 1 0 d = c, c R 3 d = +c, c R De um modo mis gerl e d = e +c, c R p d = p+1 +c, p 1, c R p d = ln +c, c R, R\{0} sen d = cos+c, c R cos d = sen+c, c R sec d = tg+c, c R Regrs de primitivção 1 Sejm f e g dus funções primitiváveis em I e k R Então s funções kf e f +g tmbém têm primitivs em I e kf() d = k f() d, [f()+g() ] d = f() d+ g() d Se F é um primitiv de f em I e g é derivável em I então f(g())g () d = F(g())+c, c R Eemplos: d = = 3 ++c 1 +c }{{} c 3 d+ 1 d = 3 = 3 ++c, c R e cose d = sene +c, c R d++c 1 = 3 +c 1 ++c 1 = 31 Primitivção por prtes Vimos que primitiv d som é som ds primitivs (consequênci imedit d correspondente propriedde pr s derivds) Será que o mesmo se pss pr o produto? Não, o que temos é o seguinte resultdo: Teorem [Primitivção por prtes] Sejm f e g dus funções definids num intervlo I tis que f dmite um primitiv F em I e g é derivável em I Então f()g() d = F()g() F()g () d

21 Eemplos: 1 e d = e e 1 d = e e +c, c R ln d = 1 ln d = ln 1 d = ln 1 d = (ln 1)+c, c R 3 e cos d = e cos+ e sen d = e cos+e sen e cos d Logo e cos d = 1 e (cos+ sen)+c, c R 313 Primitivção de funções trigonométrics Pr primitivr funções lgums funções trigonométrics podem ser necessáris s relções usuis entre s divers funções trigonométric N Tbel de Primitivs são descrits lgums regrs pr primitivr funções deste tipo Eemplos: 1 cos 3 d = coscos d = cos(1 sen ) d = = cos d cos sen d = sen sen 3 +c 3 1 sen d = (1 cos) d = 1 ( sen ) +c 314 Primitivção de funções rcionis Se h é um função rcionl definid num intervlo I então h() = f() g(), onde f() e g() são polinómios em e g() 0, I Vmos presentr lgums regrs pr o cálculo de h() d O primeiro psso é verigur se h() é um frcção própri, isto é, se o gru do numerdor é inferior o gru do denomindor e estes não têm rízes em comum Se o gru do numerdor, f(), for superior o gru do denomindor, g(), podemos efectur divisão de f() por g() Sej Q() o quociente e R() o resto Então e R() g() R() g() h() = f() R() = Q()+ g() g() é já um frcção própri Como Q() d é um primitiv imedit, rest clculr d

22 Eemplo: 4 +1 d Como não temos um frcção própri, temos que efectur divisão e obtemos = Logo d = d = ln c, c R = ln(4 +1)+c, c R R() No cso nterior d er um primitiv imedit, ms nem sempre isso contece Nesss g() situções vmos proceder do seguinte modo: 1 Decompõe-se g() em fctores g() = ( 1 ) m 1 ( s ) ms [( p 1 ) +q 1 ]n 1 [( p t ) +q t ]nt, onde cd fctor do tipo ( ) m correspondendo rízes reis de multiplicidde m, e cd fctor do tipo [( p) +q ] n corresponde rízes comples p±qi de multiplicidde n Eemplo: = ( 1)( + 1), onde 1 corresponde à riz rel 1 de multiplicidde 1 e ( +1) corresponde às rízes comples ±i de multiplicidde Decompõe-se frcção própri num som de elementos simples do seguinte modo: () cd fctor do tipo ( ) m dá origem onde A 1,A,,A m são constntes; A 1 ( ) m + A ( ) m A m ( ), (b) cd fctor do tipo [( p) +q ] n dá origem P 1 +Q 1 [( p) +q ] n + P +Q [( p) +q ] n P n+q n [( p) +q ], onde P 1,Q 1,P,Q,,P n,q n são constntes As constntes podem ser determinds pelo método dos coeficientes indetermindos Eistem outros métodos pr determinção dests constntes como iremos ver nos eemplos seguintes Eemplos: d Como já estmos n presenç de um frcção própri, vmos fctorizr o denomindor: = ( 1)(+3)

23 Então = A 1 + B C 1 +3 e, pelo método dos coeficientes indetermindos, obtemos A 1 = 9 B 1 = 4 C 1 = 1 4 Então 3+6 ( 1)(+3) = + 9/ /4 +3 Vmos gor determinr primitiv 3+6 ( 1)(+3) d = d+ 9/4 1/4 1 d+ +3 d = ln ln 1 1 ln +3 +c, c R ( 1)(+1) d Como já temos um frcção própri e o denomindor está fctorizdo, vmos determinr os elementos simples: ++3 ( 1)(+1) = A B 1 (+1) + B +1, onde A 1 = 3, B 1 = 1 e B = 1 Clculndo gor primitiv vem ++3 ( 1)(+1) d = 3/ 1 d+ 1 1/ (+1) d+ +1 d d = 3 ln ln +1 +c, c R Como frcção não é própri, depois de efectur divisão vem: 5 16 = As rízes do denomindor são:,, i e i Então: = A B 1 + P 1+Q 1, 4+ onde A 1 = 1, B 1 = 1, P 1 = e Q 1 = 0

24 Clculemos, gor, primitiv pretendid: d = d+ 1 + d+ 1 d+ 4+ d 315 Primitivção por substituição = ln + ln +ln(4+ )+c, c R Pr simplificr o clculo de certs primitivs que não sejm imedits, é por vezes útil fzer um mudnç de vriável Sej f um função primitivável no intervlo I e sej = φ(t) um função bijectiv de I 1 em I e derivável I 1 φ f I R t φ(t) = f() Se F é um primitiv de f em I temos [ F(φ(t))] = F (φ(t))φ (t) = f(φ(t))φ (t) Logo F(φ(t))+c = f(φ(t))φ (t)dt Acbámos, ssim, de demonstrr o seguinte resultdo: Teorem [Primitivção por substituição] Sej f um função primitivável no intervlo I e φ um função bijectiv e derivável no intervlo I 1 e tl que φ(i 1 ) = I Então [ ] f() d = f(φ(t))φ (t)dt t=φ 1 () 1 Eemplo: Clculr d Como primitiv não é imedit vmos tentr fzer um substituição Sej f() = 1 Temos que D f = [ 1,1] e consideremos função φ : [ π, π] [ 1,1] t = φ(t) = sent cuj invers é função e φ (t) = cost Então φ 1 : [ 1,1] [ π, π] t = φ 1 () = rc sen f(φ(t))φ (t)dt = 1 sen t costdt = cos tdt

25 Por fim 1 d = [ 1 sen t costdt] t=rc sen = 1 rc sen+ 1 sen(rc sen)+c, c R 4 = 1 rc sen c, c R 3 Integrl definido 31 Motivção: áre de um figur pln Um ds motivções pr o estudo dos integris tem ver com o problem do cálculo d medid d áre (ou simplesmente áre) de um região pln Consideremos o seguinte problem Sej f : [,b] R um função contínu não negtiv, isto é, f() 0 pr todo o [,b] Como determinr áre d região limitd pelo gráfico de f, rect horizontl = 0 (eio dos ) e s rects verticis = e = b? Designemos região considerd por S S = f() b A áre A dest região será um número rel Pr definir este número, vmos considerr rectângulos (cuj áre sbemos determinr) inscritos n região S e rectângulos circunscritos n mesm região: S b = f() S b = f() Comecemos por dividir o intervlo [, b] em sub-intervlos justpostos do seguinte modo: consideremos n+1 pontos equidistntes de [,b], 0, 1,,, n de tl form que = 0 < 1 < < < n = b e = i i 1, i = 1,,n obtendo ssim um divisão do intervlo [,b] em sub-intervlos [ i 1, i ] Chm-se est divisão de [,b] um prtição Como todos os intervlos têm mesm mplitude,, dizemos que é um prtição uniforme Note-se que = b n

26 Como função f é contínu em cd intervlo [ i 1, i ], como consequênci do Teorem de Weierstss 4, tem nesse intervlo um máimo M i em i e um mínimo m i em i Consideremos gor som ds áres dos rectângulos de ldo e f( i ), isto é, som ds áres dos rectângulos contidos n região S: n s( ) := f( i ), e som ds áres dos rectângulos de ldo e f( i ), isto é, dos rectângulos que contêm S: i=1 S( ) := n f( i ) i=1 Nests condições, temos que s( ) A S( ) Observe-se que se umentrmos o número de pontos, o que é equivlente diminuir, o vlor m i = f( i ) tende pr M i = f( i ) Prov-se que se f for um função contínu e não negtiv no intervlo [,b] os limites qundo 0 (ou n + ) ds soms superiores e inferiores eistem e são iguis, isto é, e podemos ssim definir áre A lim s( ) = lim S( ) 0 0 Áre Sej f um função contínu e não negtiv no intervlo [,b] A áre A d região limitd pelo gráfico de f, o eio dos e s rects verticis = e = b é A = lim s( ) = lim S( ) 0 0 Eemplo: Determinr áre d região limitd pelo gráfico d função definid por f() =, o eio dos e s rects = 0 e = = Notemos que f é contínu e não negtiv em [0,] Vmos começr por dividir o intervlo [0,] em n sub-intervlos, cd um com mplitude = 0 = Como f é crescente em [0,], temos n n que, em cd sub-intervlo, o máimo M i é tingido no etremo superior do intervlo, i = i, e um n mínimo m i é tingido no etremo inferior do sub-intervlo, i = (i 1) Então n S( ) = n f( i ) = i=1 n i=1 f( i n ) n = n + 4 3n Por outro ldo s( ) = n f( i ) = i=1 n i=1 f( (i 1) ) n n = n + 4 3n Como lim n + S(n) = 8 3 = lim n + s(n), temos que áre pedid é igul 8 3

27 Observção: Não é necessário que prtição sej uniforme Se considerrmos prtição = 0 < 1 < < < n = b, com i = i i 1, i = 1,,n, não necessrimente todos iguis e designrmos por temos ind que A chm-se mplitude d prtição = m i=1,,n i i 1 = m i=1,,n i, A = lim s( ) = lim S( ) Definição Sej f : [,b] R um função limitd (pode não ser contínu) e consideremos pontos 0, 1,, n [,b] tis que = 0 < 1 < < < n = b Escrevemos P = { 0, 1,, n } pr designr prtição do intervlo considerd Sej = m i=1,,n i i 1 = m i=1,,n i mplitude d prtição Sej i um ponto rbitrário do intervlo [ i 1, i ] Som de Riemnn 5 Ao somtório R f (, i ) := n f( i ) i chmmos som de Riemnn pr f no intervlo [, b] reltiv à prtição considerd Notemos que pr cd prtição eistem váris soms de Riemnn, bst considerr diferentes pontos i nos intervlos [ i 1, i ] Dizemos que o número rel I é o limite ds soms de Riemnn qundo tende pr zero e escrevemos I = lim 0 R f(, i ) se pr todo o ǫ > 0, eiste um δ > 0 tl que, se é mplitude dum prtição de [,b] com < δ n então f( i ) i I < ǫ, pr qulquer escolh dos números i dos intervlos [ i 1, i ] i=1 Se este limite eistir temos seguinte definição: Integrl definido O integrl definido de f em [,b] é um número rel que é o limite ds sus soms de Riemnn qundo mplitude ds prtições tende pr zero, isto é, i=1 f() d := lim 0 R f(, i ) Neste cso diz-se que f é integrável (ou integrável à Riemnn) no intervlo [,b] N definição de integrl definido limite inferior e b o limite superior) A f chm-se função integrnd f() d e b chmm-se limites de integrção ( será o

28 Eemplos: Averigur se s seguintes funções são integráveis num intervlo [, b] 1 A função f : [,b] R tl que f() = c pr todo o [,b] Sej P um qulquer prtição de [,b] Consideremos s soms de Riemnn R f (, i ) = n f( i ) i = c i=1 n i = c(b ) i=1 Logo, f() d = lim 0 R f(, i ) = c(b ) A função f : [,b] R definid por f() = { 1 se Q 0 se R\Q Sej P = { 0, 1,,, n } um qulquer prtição de [,b] de mplitude ( = 0 < 1 < < < n = b) e determinemos s soms de Riemnn R f (, i ) = n f( i ) i i=1 Comecemos por escolher pr i números rcionis Note-se que tl é possível em qulquer intervlo rel eiste sempre um rcionl Neste cso R f (, i ) = n 1 i = b i=1 No cso de escolhermos pr i elementos de R\Q, terímos R f (, i ) = n 0 i = 0, i=1 e podemos ssim concluir que f() d não eiste Um condição suficiente pr um função ser integrável num intervlo [, b] é que sej contínu nesse intervlo Teorem Se f é um função contínu no intervlo [,b], então f é integrável em [,b] Note-se que nd podemos concluir sobre integrbilidde de um função f num intervlo [, b] se função não for contínu em [,b] A definição de integrl definido foi dd pr um função definid num intervlo [,b], logo temos < b Vmos estender definição os csos em que temos = b, > b 1 Sej f um função definid num ponto Então f() d = 0

29 Sej f um função integrável no intervlo [,b] ( < b) Então b f() d = f() d Proprieddes Sejm f e g dus funções integráveis no intervlo [, b] 1 As funções k 1 f +k g tmbém são integráveis em [,b] e pr todo k 1, k R [k 1 f()+k g()] d = k 1 f() d+k g() d, Sej c ],b[ Então f é integrável em [,c] e [c,b] e f() d = c f() d+ c f() d Reciprocmente, se f é integrável em [,c] e [c,b], tmbém é integrável em [,b] e ind é válid iguldde nterior 33 Teorem fundmentl do cálculo O resultdo que vmos presentr de seguid é um dos teorem mis importntes do Cálculo, pois põe sem destque relção entre os conceitos de derivd e integrl Teorem [Teorem Fundmentl do Cálculo] Sej f um função contínu em [, b] (1) Se F() = f(t)dt, pr todo o [,b], então F é um primitiv de f em [,b], isto é, F é diferenciável em [,b] e F () = f() pr todo o [,b] () Se F é um primitiv de f em [,b], então f() d = F(b) F() Utiliz-se seguinte notção F(b) F() := F() ] b = [ F() ] b Eemplo: 1 0 [ e e d = ] 1 0 = 1 (e 1)

30 Vejmos mis lgums proprieddes do integrl definido Sejm f e g dus funções integráveis no intervlo [,b] Proprieddes: 1 Se f() 0, pr todo o [,b], então Se f() g(), pr todo o [,b], então f() d 0 f() d g() d temos Tendo em cont s proprieddes nteriores e o fcto de f() f() f(), pr todo o, 3 f é integrável e f() d f() d 4 Se m = min f() e M = m f(), isto é, [,b] [,b] m f() M pr todo o [,b] Então m(b ) f() d M (b ) Teorem [Teorem do vlor médio pr integris] Se f é um função contínu no intervlo [, b] então eiste c ],b[ tl que f() d = f(c)(b ) Vlor Médio de um função num intervlo Se f é um função integrável no intervlo fechdo [,b], o vlor médio de f no intervlo é 1 b f() d b Geometricmente o teorem nterior diz que se f for um função contínu e não negtiv no intervlo [,b], eiste um rectângulo de bse b e ltur igul o vlor médio de f com áre igul à d região delimitd pelo gráfico de f, o eio dos e s rects = e = b f(c) = f() S c b

31 33 Aplicções do cálculo integrl 331 Áre dum região pln Sej f um função contínu e não negtiv no intervlo fechdo [,b] e sej R região do plno definid por R = {(,) b e 0 f()} : R = f() b A áre de R é igul f() d E no cso de f ser um função não positiv? Suponhmos que f é um função contínu definid num intervlo [,b] e tl que f() 0, pr todo o [,b] Consideremos região R limitd pelo eio ds bcisss, o gráfico de f e s rects verticis = e = b b R = f() Bst considerr um refleão d região R em relção o eio dos, obtendo ssim região R, limitd pelo gráfico d função não negtiv f, s rects verticis = e = b e o eio dos, que tem mesm áre de R: R = f() R b = f() Assim, áre A d região R é dd por A(R) = A(R ) = Notemos que em mbos os csos áre é dd por f() d = f() d f() d Consideremos gor dus funções f e g não negtivs e contínus em [,b] Se f() g(), pr todo o [,b],

32 então áre d região R = {(,) b e g() f()} R = f() b = g() pode ser obtid fzendo diferenç entre áre d região que está sob o gráfico de f e áre d região que está bio do gráfico de g: A(R) = f() d g() d = [ f() g() ] d Vejmos que o fcto de f e g serem não negtivs não é necessário Suponhmos que f e g são dus funções contínus num intervlo [,b] tis que f() g(), pr todo o [,b] Então, como f e g são limitds (Teorem de Weierstrss), eiste L > 0 tl que f() g() > L, pr todo o [,b] R = f()+l = g()+l b = f() = g() Y = L Assim, áre d região limitd pelos gráficos de f, g e s rect = e = b é igul à áre d região R limitd pelos gráficos ds funções f +L, g +L e s rect = e = b Ms, neste cso, s funções f +L e g +L já são funções não negtivs, logo A(R) = [ ] b [ ] b [ ] f()+l d g()+l d = f() g() d Suponhmos que temos simplesmente dus funções contínus no intervlo [, b] d c b = f() = g()

33 Neste cso áre d região limitd pelos gráficos de f e g e pels rects = e = b pode ser clculd do seguinte modo: ou sej A = A = c [ ] d [ ] b [ ] f() g() d+ g() f() d+ f() g() d, c d c d b f() g() d+ f() g() d+ f() g() d c d = f() g() d Por vezes é necessário determinr áre de um região delimitd pelos gráficos = c, = d e pelos gráficos de dus funções = f() e = g(), com f e g contínus e tis que f() g(), pr todo o [c,d] = g() d = f() R c Temos então que A = d c [ f() g() ] d 33 Volumes de sólidos de revolução Se fizermos rodr um região do plno em torno de um rect do mesmo plno, obtemos um sólido que se chm sólido de revolução A rect em torno d qul se fz rotção design-se por eio de revolução Eemplo: Rectângulo A = rh r h z Cilindro V = πr h Notemos que o rodrmos um curv obtemos um superfície de revolução

34 Vmos ver como podemos determinr o volume de um sólido de revolução Comecemos por considerr um função f contínu enão negtiv no intervlo [,b] Sej R região do plno limitd pelo gráfico de f, o eio dos e s rects = e = b = f() Se rodrmos est região em torno do eio dos obtemos o seguinte sólido de revolução: b z Se f for função constnte o sólido obtido é um cilindro cujo volume é π[f()] (b ) Se f não for função constnte, vmos considerr um prtição do intervlo [,b] = 0 < 1 < < n = b e sej i = i i 1, e i [ i 1, i ], i = 1,,n Obtemos rectângulos: i 1 i = f() b O volume do cilindro que se obtém rodndo cd rectângulo em torno do eio dos é igul : π[f( i )] i Assim, o volume do sólido de revolução que se obtém considerndo linh formd pelos topos dos rectângulos é igul n π[f( i )] i, i=1 que não é mis do que som de Riemnn pr função π[f()], que é um função contínu em [, b] (consequênci de f ser contínu em [, b]), logo o seu integrl definido eiste sempre Temos então o seguinte resultdo:

35 Cálculo do volume de um sólido de revolução pelo método ds ftis: Se f é um função contínu e não negtiv no intervlo [,b] (0 ), o volume do sólido de revolução gerdo pel rotção em torno do eio dos d região limitd pelo gráfico de f, pelo eio dos e pels rects = e = b eiste sempre e é igul V = π[f()] d Note-se que não é necessário função ser positiv Se f for nul em lgum intervlo, volume correspondente é igul zero Se f for negtiv, o volume é o mesmo que o respeitnte à função f Se considerrmos gor um região limitd pels rects = e = b e pelos gráficos ds funções f e g, contínus em [,b] e tis que f() g() 0, pr todos o [,b], rodr em torno do eio dos, podemos dizer, seguindo um rciocínio nálogo o do cálculo ds áres, que o volume do sólido de revolução obtido é [ ] V = π [f()] [g()] d = f() b = g() z Tl como no cálculo de áres é possível obter, por mudnç de vriável, fórmuls semelhntes pr o cálculo do volume do sólido de revolução que se obtém o rodr em torno do eio dos, um região pln limitd pelos gráfico ds funções = f() e = g(), contínus em [c,d] e tis que f() g() 0, pr todo o [c,d], e pels rects = d e = c d c = g() = f() Neste cso o volume é ddo por V = π d c z [ [f()] [g()] ]d Alguns problems de cálculo de volumes são difíceis de resolver utilizndo s fórmuls nteriores Eemplo: Clculr o volume do sólido que se obtém pel rotção em torno do eio dos d região limitd por = 3 e = 0 Pr clculr o volume deste sólido utilizndo o métodos ds ftis terímos de ter em função de, o que não é muito simples de obter

36 Vmos ver outro método pr clculr volume de sólidos de revolução, que jud resolver problems do tipo nterior Consideremos o seguinte sólido (csc cilíndric): h r 1 +r r 1 r O seu volume é ddo por V = π(r r 1)h = π(r +r 1 )(r r 1 )h = πh r 1+r (r r 1 ) Assim, o volume d csc é V = π ( ltur ) ( rio médio ) ( espessur ) Consideremos função f contínu e não negtiv em [,b] Sej R região limitd pelo gráfico de f, pelo eio dos e pels rects = e = b: = f() b i 1i Queremos determinr o volume do sólido que se obtém rodndo região R em torno do eio dos z

37 Consideremos prtição = 0 < 1 < < n = b e sej i = i+ i 1, i = 1,,n, o ponto médio do intervlo [ i 1, i ] Então o volume d csc correspondente é V i = πf( i ) i i, ou sej, o volume do sólido pode ser proimdo por n πf( i ) i i, i=1 que é som de Riemnn d função πf(), que é contínu em [,b] Temos ssim o seguinte resultdo: Cálculo do volume de um sólido de revolução pelo método ds cscs cilíndrics: Se f é um função contínu e não negtiv no intervlo [,b] (0 ), o volume do sólido de revolução gerdo pel rotção em torno do eio dos d região limitd pelo gráfico de f, pelo eio dos e pels rects = e = b eiste sempre e é igul V = πf() d Pr o cso de termos um região limitd pelo gráfico de um função = g() contínu e não negtiv no intervlo [c,d], pelo eio dos e pels rects = c e = d, rodr em torno do eio dos, o volume é ddo por V = d c πg()d Eemplo: Voltndo o cso do volume do sólido que se obtém pel rotção em torno do eio dos d região limitd por = 3 e = 0 temos, utilizndo o método ds cscs cilíndrics, V = 333 Comprimento de curvs plns 0 π( 3 ) d = 16 5 π Sej f um função contínu e com primeir derivd contínu num intervlo [, b] Vmos ver como podemos determinr o comprimento d curv definid pelo gráfico de f cujos etremos são os pontos A(,f()) e B(b,f(b) A P 1 P i 1 P i B = f() Consideremos prtição 1 i 1i b = 0 < 1 < < n = b com i = i i 1 Sej P i o ponto de coordends ( i,f( i )), i = 0,,n Note-se que A = P 0 e B = P n Consideremos linh quebrd formd pelos n segmentos de rect que unem estes n+1 pontos

38 O comprimento dest linh é ddo por onde n d(p i 1,P i ), i=1 d(p i 1,P i ) = ( i 1 i ) +(f( i 1 ) f( i )) Como função é contínu e derivável em [,b], pelo teorem de Lgrnge, em cd intervlo ] i 1, i [ eiste um ponto i tl que Assim, e o comprimento d linh quebrd é ddo por f ( i ) = f( i) f( i 1 ) i i 1 = f( i) f( i 1 ) i d(p i 1,P i ) = i 1+[f ( i )] n 1+[f ( i )] i, i=1 que é um som de Riemnn pr função g() = 1+[f ()], que é contínu em [,b] Temos então o seguinte resultdo: Comprimento de um curv pln Se f é um função contínu e com primeir derivd contínu, o comprimento do gráfico de f desde do ponto A de coordends (,f()) té o ponto B de coordends (b,f(b)) é ddo por L b = 1+[f ()] d Se função não tiver derivd contínu em [, b], pode contecer que tenh derivd contínu num número finito de sub-intervlos de [, b] Neste cso, podemos plicr o rciocínio nterior cd um dos intervlos e no finl só temos que dicionr s prcels obtids 34 Integris impróprios N definição de integrl definido eigimos que s funções fossem limitds e definids em intervlos fechdos e limitdos [,b] Vmos gor estender o conceito de integrl definido o cso em que ou o intervlo de integrção é ilimitdo ou função é ilimitd num intervlo limitdo e (semi-)berto 341 Qundo o intervlo de integrção é ilimitdo Consideremos o seguinte problem: Determinr áre d região R que está sob curv = 1, cim do eio dos e à direit d rect = 1

39 1 1 Se considerrmos rect = t, com t > 1, áre d região R(t) limitd pelo gráfico de f, o eios dos e s rects verticis = 1 e = t é dd por A(t) = t 1 1 t 1 [ d = 1 ] t = t, que é sempre menor do que 1, qulquer que sej t > 1 Notemos que lim A(t) = 1, t + logo prece que tem sentido dizer que áre d região d região R é 1 Tendo em cont este eemplo, vmos dr seguinte definição: Qundo o intervlo de integrção é ilimitdo (i) Sej f : [, + [ R um função contínu O integrl impróprio se eistir e for um número rel t lim t + f() d, + escrevendo-se, nesse cso, + t f() d = lim f() d t + Cso o limite não eist ou sej infinito, integrl impróprio diz-se divergente (ii) Sej f :],] R um função contínu O integrl impróprio se eistir e for um número rel escrevendo-se, nesse cso, lim t t f() d = lim t f() d, t f() d Cso o limite não eist ou sej infinito, integrl impróprio diz-se divergente (iii) Sejm f :],+ [ R um função contínu e R, qulquer Se os integris + f() d são convergentes, define-se e diz-se que + + f() d = f() d é convergente f() d+ + f() d f() d diz-se convergente f() d diz-se convergente f() d e

40 Se um dos integris divergente f() d ou + f() d for divergente, o integrl + f() d é 34 Qundo função integrnd é ilimitd Suponhmos que temos um função positiv e positiv no intervlo ], b], ms que tem um ssimptot verticl emem, isto é lim +f() = + Comodeterminr, csosej fint, áreadregiãolimitd pelo gráfico de f cim do eio dos e entre s rects = e = b? b Se considerrmos rect = t, com < t < b, temos que áre A(t) d região limitd pelo gráfico de f, o eio dos e s rect = t e = b é dd por A(t) = t f() d Se eistir lim f() d e for um número rel, dizemos que t + t A = lim f() d t + t t b Qundo função integrnd é ilimitd (i) Sej f :],b] R um função contínu em ],b] tl que lim +f() = ± O integrl impróprio f() d diz-se convergente se eistir e for um número rel escrevendo-se, nesse cso, lim f() d, t + t f() d = lim t + t f() d Cso o limite não eist ou sej infinito, integrl impróprio diz-se divergente (ii) Sej f : [,b[ R um função contínu em [,b[ tl que lim f() = ± O integrl impróprio f() d diz-se convergente se eistir e for um número rel t lim f() d, t b b

41 escrevendo-se, nesse cso, f() d = lim t b t f() d Cso o limite não eist ou sej infinito, integrl impróprio diz-se divergente (iii) Sejm f : [,b] \ {c} R um função contínu em [,b] \ {c} tl que limf() = ± Se os c integris c e diz-se que o integrl f() d e b c f() d são convergentes, define-se f() d = c f() d+ f() d é convergente Se um dos integris f() d é divergente c c f() d f() d ou c f() d for divergente, 35 Integrção numéric Algums funções elementres simples não têm um primitiv que sej um função elementr, por eemplo, função sen, logo não podemos plicr o Teorem Fundmentl do Cálculo pr clculr um integrl definido de um desss funções Nestes csos vmos ver que eistem técnics que nos permitem obter vlores proimdos 351 Regr dos trpézios Vmos utilizr trpézios pr determinr o vlor de um integrl definido Comecemos por recordr que áre do trpézio b h é igul B +b h Sej f : [,b] R um função contínu e não negtiv Neste cso, o vlor d áre d região limitd pelo gráfico de f, pels rects = e = b e pelo eio dos é dd pelo vlor do integrl definido B f()d Consideremos um prtição do intervlo [, b] em n subintervlos, cd um com mplitude = b n

42 De seguid consideremos trpézios com bse em cd um dos intervlos (como se pode ver n figur seguinte) = f() S b Então podemos proimr áre d região considerd inicilmente pel som ds áres dos trpézios A áre do i ésimo trpézio é igul f( i 1 )+f( i ) Somndo áre de todos os trpézios obtemos A = b [ f(0 )+f( 1 ) + f( 1)+f( ) n = f( i 1)+f( i ) b n + + f( n 1)+f( n ) ] = b n [f( 0)+f( 1 )+f( )+ +f( n 1 )+f( n )] Temos ssim o seguinte resultdo Regr dos Trpézios Sej f um função contínu em [,b] A Regr dos Trpézios pr proimr por f() d é dd f() d b n [f( 0)+f( 1 )+f( )+ +f( n 1 )+f( n )] Eemplo: Utilize Regr dos Trpézios com n = 4 pr clculr um vlor proimdo de Temos n = 4, = 1 e b = 3 então = = 05 e d 1 4 [f(1)+f(15)+f()+f(5)+f(3)] 05( ) 1117 Neste cso sbemos determinr o vlor deste integrl d = ln3 1099, d istosignificqueoerroquesecometequndoproimmosovlordointegrlpelregrdostrpézios é 0018

43 Erro n Regr dos Trpézios Se f tem segund derivd contínu no intervlo [,b], o erro que se comete n proimção de f() d pel Regr dos trpézios é E (b )3 1n [m b f () ], onde n é o número de subdivisões do intervlo [,b] 35 Regr de Simpson N regr nterior, em cd intervlo proimámos função por um polinómio do primeiros gru Agor vmos presentr um regr onde em cd intervlo função é proimd por um polinómio do segundo gru Comecemos por presentr um resultdo que nos permite clculr integris de polinómios de gru menor ou igul Teorem Se p() = A +B+C, então p() d = b [ ( +b ) p()+4p 6 ] +p(b) Pr determinr um proimção pr o vlor de f() d utilizndo regr de Simpson vmos dividir o intervlo [,b] em n (n pr) subintervlos, cd um com mplitude = b, e de n form que os subintervlos sejm grupdos d seguinte form = 0 < 1 < < 3 < 4 < < n < n 1 < n = b }{{}}{{}}{{} [ 0, ] [, 4 ] [ n, n ] Em cd subintervlo [ i, i ] vmos proimr função f por um polinómio p() de gru menor ou igul, isto é, eiste um polinómio p() de gru menor ou igul que verific p( i ) = f( i ), p( i 1 ) = f( i 1 ) e p( i ) = f( i ) ( demonstrção d eistênci de um tl polinómio não será presentd) Então i i f() d = i p() d = i i i 6 [ p( i )+4p = b 3n [f( i )+4f( i 1 )+f( i )] ( i + ) i ] +p( i ) Repetindo este processo pr todos os subintervlos obtemos o seguinte resultdo Regr de Simpson Sej f um função contínu em [,b] e n um inteiro pr A Regr de Simpson pr proimr f() d é f() d b 3n [f( 0)+4f( 1 )+f( )+4f( 3 )+ +f( n )+4f( n 1 )+f( n )]

44 Erro n Regr de Simpson Se f tem qurt derivd contínu no intervlo [,b], o erro que se comete n proimção de f() d pel Regr de Simpson é E (b )5 180n 4 [m b f(4) () ], onde n é o número de subdivisões do intervlo [,b] Eemplo: Utilize Regr de Simpson com n = 4 pr clculr um vlor proimdo de estime o erro que se comete o fzer est proimção Como n = 4, = 1 e b = 3 então = 3 1 = 1 4 e d e d 1 6 [f(1)+4f(3 )+f()+4f(5 )+f(3)] 11 Como f (4) () = 4 5, f (4) () 4, [1,3] e temos E Observções: Qundo plicmos métodos numéricos pr clculr solução de um problem, nem sempre se consegue obter o vlor ecto d solução, ms sim um proimção Neste cso são cometidos erros Sej um vlor ecto e o seu vlor proimdo Chmmos erro de à diferenç O erro bsoluto de é igul Se 0, o erro reltivo de é igul = r = = Muits vezes, qundo fzemos um rredondmento, queremos sber o número de css decimis corrects que um ddo vlor tem Sej um vlor ecto e o seu vlor proimdo Dizemos que tem k css decimis corrects se δ = k

45 4 Equções não lineres 41 Introdução Neste cpítulo vmos estudr lguns métodos pr determinr s rízes d equção f() = 0, onde f é um função contínu em D R N mior prte dos csos não é possível determinr os vlores ectos ds rízes, por isso vmos estudr lguns métodos numéricos que nos permitem determinr vlores proimdos pr s rízes Num primeiro psso, vmos loclizr s rízes d equção, isto é, determinr intervlos reis que contenhm um riz Num segundo pssdo, conhecid um proimção 0 de um riz, vmos utilizr métodos itertivos que permitem determinr um sucessão de números reis que tende pr riz Riz de um equção Sej f um função contínu num intervlos [,b] Diz-se que um riz d equção f() = 0, ou um zero d função f, se f( ) = 0 4 Loclizção ds rízes Pr encontrr um intervlo [,b] que contenh um só riz d equção f() = 0, ssim como pr determinr um proimção inicil 0 do seu vlor, pode ser utilizdo o método gráfico que consiste em trçr o gráfico d função e determinr su intersecção com o eio dos Pode contecer que f() se poss decompor n form f() = p() q(), donde f() = 0 p() = q() Assim, riz de f() = 0 não é mis do que bciss do ponto de intersecção dos gráficos ds funções p e q = q() = p() 0 Note-se que este processo só é vntjoso se for mis simples representr grficmente s funções p e q do que função f Se equção tem mis do que um riz, devemos encontrr intervlos que contenhm um só desss rízes

46 Recordemos o seguinte resultdo: Teorem: Se f é um função contínu em [,b] e tl que f()f(b) < 0 Então eiste pelo menos um riz de f() = 0 no intervlo ],b[ Como consequênci deste resultdo e do Teorem de Rolle, pr verificr que um certo intervlo [,b] tem um só riz, bst mostrr que f()f(b) < 0 e que derivd de f tem sinl constnte em [,b] Eemplo: Determinr o número de rízes reis d equção cos = cos Observndo os gráficos ds dus funções concluímos que equção tem um riz no intervlo [0,1] 43 Métodos itertivos Um método itertivo é um método numérico que pode ser descrito do seguinte modo: Se 0 um proimção d riz 0 d equção f() = 0, constrói-se um sucessão ( n ) que verifique n Um tl sucessão pode ser definid recursivmente por pr um cert função g n+1 = g( n ), 431 Método d Bissecção Sej f um função contínu no intervlo [,b], onde já sbemos eistir um únic riz d equção f() = 0, portnto f()f(b) < 0 O Método d Bissecção consiste em ir bissectndo o intervlo I 0 = [,b] = [ 0,b 0 ] e seleccionndo convenientemente, de cd vez, o ponto médio de um dos subintervlos obtidos: