Material Teórico - Módulo Números Naturais: Contagem, Divisibilidade e o Teorema da Divisão Euclidiana

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1 Mteril Teórico - Módulo Números Nturis: Contgem, Divisibilidde e o Teorem d Divisão Euclidin Divisibilidde e Teorem d Divisão Euclidin Prte 1 Oitvo Ano Autor: Prof. Ulisses Lim Prente Revisor: Prof. Antonio Cminh M. Neto

2 1 Divisibilidde de números inteiros Ddos números inteiros e b, com 0, dizemos que divide b, e neste cso denotmos b, qundo existe um inteiro q tl que b = q. Alterntivmente, se divide b, dizemos tmbém que b é um múltiplo de, ou que b é divisívelpor, ouindque éumdivisordeb. Qundo não existe um inteiro q stisfzendo b = q, dizemos que não divide b e denotmos b. Assim, temos por exemplo que 2 8 um vez que 8 = 2 4) e 3 9 pois 9 = 3) 3)), ms 5 12 hj vist que iguldde 12 = 5 q, com q Z, é impossível). Por outro ldo, ddo um inteiro qulquer, temos = 1, de sorte que 1. Tmbém, se 0, então = 1 grnte que, enqunto 0 = 0 grnte que 0. Dorvnte, utilizremos os ftos coleciondos neste prágrfo sem miores comentários. Tmbém dorvnte, e sempre que não houver perigo de confusão, o escrevermos b suporemos implicitmente que e b são inteiros, com 0. Os três exemplos seguir mostrm como utilizr ftorções e produtos notáveis pr estbelecer divisibiliddes. Exemplo 1. Mostre que ). Solução. Inicimos observndo que 5 8 = 5 4) 2 e 2 8 = ) Além disso, utilizndo o produto notável obtemos: b 2 2 = b )b+), = 5 4) ) 2 = ) ). Utilizndo o produto notável citdo cim outr vez, temos que = 5 2) ) 2 = ) ). Por su vez, substituindo tl ftorção de nquel de , chegmos = ) ) ) = 25 4) ) ) = ) ). Por fim, como ) ) é um inteiro, segue d definição que ). Observe que, no exemplo nterior, poderímos ter clculdo = = e, emseguid,relizdodivisãodessenúmeropor21pr obter = Contudo, o próximo exemplo mostr que, por vezes, esse procedimento direto é imprticável pr certificr-se dess firmção, tente clculr 2 48 extmente mesmo com o uxílio de um clculdor). Exemplo 2. Mostre que é divisível por Solução. Utilizndo mesm estrtégi do exemplo nterior, temos: = = 2 24) ) 2 = ) ) = ) ) ) = ) ) ) ) = ) ). Como ) ) é inteiro, concluímos prtir dos cálculos cim que relmente divide Exemplo 3. Em um número nturl N de 9 lgrismos, tem-se que os lgrismos ds uniddes simples, uniddes de milhr e unidde de milhão são iguis X; os lgrismos ds dezens simples, dezens de milhr e dezens de milhão são iguis Y; e os lgrismos ds centens simples, centens de milhr e centens de milhão são iguis Z. Pode-se firmr que N sempre será divisível por: ) b) c) d) e) Solução. Pels hipóteses que form listds no enuncido do problem, o número N deve ter representção deciml Dí, temos: N = ZYXZYXZYX N = ZYXZYXZYX. = Z Y X Z Y X Z Y X 10 0 = Z )+Y ) +X ) = Z Y 10+X) ) = M , onde M tem representção deciml M = ZYX. Observndo que = , concluímos que N = M , de sorte que N será divisível por Portnto, respost corret é o item d). 1 mtemtic@obmep.org.br

3 A noção de divisibilidde de inteiros possui váris proprieddes importntes, lgums ds quis precem colecionds n proposição seguir. Ao leitor interessdo em perceber como tis proprieddes podem ser utilizds n solução de problems envolvendo o conceito de divisibilidde, sugerimos dir leitur d demonstrção d proposição, prtindo imeditmente pr os exemplos que seguem e o mteril d próxim seção. Proposição 4. As seguintes proprieddes d relção de divisibilidde são válids: ) Se b e b c, então c. b) Se b e c, então mb + nc), quisquer que sejm os inteiros m e n. c) Se b e b 0, então b. d) Se b e b, então = b. e) Se b c e 0, então b c. f) Se b c, então b c. g) Se b e b 0, então b Z e b b. Prov. Pr o item ), sejm q 1 e q 2 inteiros tis que b = q 1 e c = bq 2. Então, temos: c = bq 2 = q 1 )q 2 = q 1 q 2 ), com q 1 2 Z; logo, c. Se b e c, então existem q 1 e q 2 inteiros tis que b = q 1 e c = q 2. Dí, se m e n são números inteiros quisquer, temos: mb+nc = mq 1 )+nq 2 ) = mq 1 )+nq 2 ) = mq 1 +nq 2 ), com mq 1 +nq 2 Z; ssim, mb+nc) e o item b) fic demonstrdo. Pr o item c), se b, então existe um inteiro q tl que b = q. Sendo b 0, temos q 0, de sorte que q 1. Portnto, b = q = q 1 =, conforme querímos demonstrr. Pr prov do item d), comecemos observndo que, se b e b, então 0, b 0. Portnto, segue do item c) que b e b, o que por su vez crret = b. Suponh gor que b c e escrev c = bq, pr um certo inteiro q. Multiplicndo mbos os membros dess iguldde por um inteiro não nulo, obtemos c = bq) = b)q, o que grnte que b) c) e prov o item e). Pr o item f), se b) c), então temos c = b)q = bq), pr lgum inteiro q. Agor, como c 0, temos 0. Podemos, então cncelr em mbos os membros d iguldde c = bq) pr obter c = bq ou, o que é o mesmo, b c. Finlmente, qunto o item g), se b, então existe q Z tl que b = q. Sendo b 0, temos q 0. Por outro ldo, um vez que últim iguldde tmbém pode ser escrit como b = q, concluímos que q b. Bst, gor, observr que q = b. Dois csos prticulres do item b) d proposição nterior, os quis resultm importntes em plicções, são obtidos fzendo-se respectivmente m = n = 1 e m = 1, n = 1. Assim procedendo, concluímos que: { b+c) b e c. 1) b c) Em plvrs, podemos nos referir às divisibiliddes cim d seguinte form: som e diferenç de dois múltiplos de um inteiro continum múltiplos de. O exemplo seguir explor esse círculo de ideis. Exemplo 5. Sejm e b números nturis tis que 2+b é divisível por 13. Qul ds lterntivs seguir contém outro múltiplo de 13? ) 91+b. b) 92+b. c) 93+b. d) 94+b. e) 95+b. Solução. Note que 91 = 13 7 é um múltiplo de 13. Como 2+b é um múltiplo de 13 por hipótese, discussão que ntecede o enuncido do exemplo grnte que 91+2+b) = 93+b é tmbém um múltiplo de 13. Portnto, lterntiv corret é o item c). O próximo exemplo utiliz o mesmo tipo de idei que os dois exemplos iniciis em um situção genéric, pr qul tmbém nos vleremos do resultdo do item ) d proposição nterior. Exemplo 6. Se, m e n são inteiros positivos, com m > n, mostre que 2n +1 ) 2m 1 ). 2 mtemtic@obmep.org.br

4 Solução. Observe inicilmente que ) ) 2n +1 2n 1 = 2n) = 2n+1 1. Logo, ) ) 2n +1 2n+1 1. Por outro ldo, um cálculo nálogo o cim grnte que, pr um inteiro positivo k, temos: ) ) 2k +1 2k 1 = 2k) = 2k+1 1. Logo, ) ) 2k 1 2k+1 1. Agor, como m > n, temos m = n+p, em que p é um inteiro positivo. Portnto, combinndo s divisibiliddes estbelecids cim com sucessivs plicções do item ) d proposição nteriorcom k sucessivmente igul n+1, n+2,..., n+p 1 = m 1), obtemos: etc 2 n +1 ) 2n+1 1 ) } 2 n+1 1 ) 2n+2 1 ) 2n +1 ) 2n+2 1 ) ; 2 n +1 ) 2n+2 1 ) } 2 n+2 1 ) 2n+3 1 ) 2n +1 ) 2n+3 1 ) ; 2 n +1 ) 2n+p 1 1 ) } 2 n+p 1 1 ) 2n+p 1 ) 2n +1 ) 2n+p 1 ). Por fim, ess últim divisibilidde é o mesmo que 2 n +1 ) 2m 1 ). Exemplo 7. Ddos, b e c inteiros positivos tis que + b + c é divisível por 6, prove que 3 + b 3 + c 3 tmbém é divisível por 6. Solução. Se + b + c é divisível por 6, então existe um inteiro q tl que +b+c = 6q. Dí, obtemos: +b+c = 6q +b = 6q c Observe que +b) 3 = 6q c) 3 3 +b 3 +3b+b) = = 216q 3 108q 2 c+6qc 2 c q 3 108q 2 c+6qc 2 = 636q 3 18q 2 c+qc 2 ). Então, fzendo p = 36q 3 18q 2 c+qc 2, podemos escrever ou, o que é o mesmo, 3 +b 3 +3b+b) = 6p c 3 3 +b 3 +c 3 = 6p 3b+b). Afirmmos gor que 3b+b) é sempre um múltiplo de 6. Relmente, se o menos um dos inteiros ou b for pr, então3b+b)teráum ftor2e, ssim, serámúltiplo de 6; por outro ldo, se e b forem mbos ímpres, então +b será pr, de sorte que 3b+b) novmente terá um ftor 2 e, então, será múltiplo de 6. Por fim, um vez que tnto 6p qunto 3b + b) são múltiplos de 6, segue de 1) com 6 no lugr de, 6p no lugr de b e 3b+b) no lugr de c ns notções de lá) que 6p 3b+b) = 3 +b 3 +c 3 tmbém é múltiplo de 6. 2 O lgoritmo d divisão Antes de enuncirmos o teorem conhecido como Algoritmo d Divisão, presentmos bixo, como ferrment essencil pr su demonstrção, o Teorem de Eudoxo. Teorem 8. Se e b são inteiros ddos, com b 0, então ou é um múltiplo de b ou se encontr entre dois múltiplos consecutivos de b. Prov. Suponh que > 0 e b > 0 os demis csos podem ser trtdos de modo nálogo esse). Se < b, então se encontr entre dois múltiplos consecutivos de b, que são 0 = b 0 e b = b 1. Suponh, pois, que > b e que não é um múltiplo de b. Imgine dus pessos, P 1 e P 2, situds sobre ret numerd, um distânci de uniddes um d outr, estndo P 2 à frente de P 1 no sentido positivo d ret). Em um certo momento, P 1 começ cminhr em direção à P 2 com pssos de comprimento b, té ultrpssá-l. Se P 1 deu q pssos ntes de chegr P 2, ms ultrpssou P 2 pós dr q + 1 pssos, então bq < ms bq +1) >. Portnto, está situdo entre os múltiplos consecutivos bq e bq +1) de b. Podemos finlmente enuncir e provr o Algoritmo d Divisão. Teorem 9. Se e b são números inteiros, com b 0, então existem, e são únicos, inteiros q e r tis que = bq +r, com 0 r < b. Os números q e r são chmdos, respectivmente, quociente e resto d divisão de por b. 3 mtemtic@obmep.org.br

5 Prov. Como b > 0, o Teorem de Eudoxo plicdo e b ) grnte existênci de um número inteiro q tl que b q < b q +1). Observe que, ns desigulddes cim, contemplmos simultnemente s possibiliddes de ser um múltiplo de b qundo teremos = b q e de não o ser.) Dí, obtemos: 0 b q < b. Fzendo r = b q, segue então que: = b q +r, com 0 r < b. Ms, como b = ±b, podemos escrever b q = bq, com q = ±q. Fzendo ssim, obtemos = bq +r, com 0 r < b. Pr o que flt, suponhmos que existisse outro pr q 1 e r 1 de inteiros tis que Então, terímos: = bq 1 +r 1, com 0 r 1 < b. bq +r = bq 1 +r 1 bq q 1 ) = r 1 r q q 1 )b = r 1 r q q 1 b = r 1 r. A últim iguldde nos diz que b divide r 1 r. Por outro ldo, s desigulddes 0 r < b e 0 r 1 < b implicm que distânci entre r e r 1 não cheg b, isto é, que r 1 r < b. Assim, pelo item c) d Proposição 4, não podemos ter r 1 r = 0 pois quele item, junto com divisibilidde de r 1 r por b, crretri b r 1 r, o que não é o cso). Logo, temos r 1 r = 0, ou sej r 1 = r. Dí, segue imeditmente que q 1 = q, de sorte que q e r são, de fto, os dois únicos inteiros que stisfzem s condições do enuncido. Um elborção útil do Algoritmo d Divisão é que segue: imgine que dividimos um certo inteiro por 4; o lgoritmo d divisão firm que obteremos um quociente q e um resto r, de modo que = 4q +r, com 0 r < 4. Então, r = 0,1,2 ou 3, e isso signific que que é um inteiro rbitrário) pode ser escrito em um ds forms seguir: 4q, 4q +1, 4q +2 ou 4q +3. Evidentemente, não há nd de especil no uso do inteiro 4 no rgumento cim. De outr form, um rgumento nálogopermiteconcluirque, ddouminteirob 0, temos que todo inteiro pode ser escrito de um ds forms bq, bq +1,...,bq +q 1), pr lgum inteiro q, de cordo com o resto d divisão de por b. Em prticulr, vej que é divisível por b extmente qundo o resto d divisão de por b for igul 0. Vejmos lguns exemplos. Exemplo 10. Um numero inteiro positivo k deix resto 4 qundo dividido por 7. Clcule o resto d divisão de k 2 +k +1 por 7. Solução. Observe que, se k deix resto 4 qundo dividido por 7, então podemos escrever k = 7q + 4, pr lgum inteiro positivo q. Dí, obtemos: k 2 +k +7 = 7q +4) 2 +7q +4)+1 = 49q 2 +14q+16)+7q +5 = 49q 2 +21q+21 = 7 7q 2 +3q +3). Então, k 2 + k + 1 é divisível por 7, isto é deix resto 0 qundo dividido por 7. Exemplo 11. Mostre que, n divisão de um qudrdo perfeito por 4, os únicos restos possíveis são 0 e 1. Solução. Por definição, se n é um qudrdo perfeito, então n = m 2 pr lgum inteiro não negtivo m. Agor, conforme discutimos nteriormente, temos m = 4q, m = 4q+1, m = 4q+2 ou m = 4q+3, pr lgum inteiro não negtivo q. Anlisemos seprdmente o que cd um desss qutro possibiliddes diz sobre n: i) m = 4q: temos n = m 2 = 4q) 2 = 16q 2 = 4 4q 2 ), de sorte que n deix resto 0 qundo dividido por 4. ii) m = 4q +1: qui, n = m 2 = 4q +1) 2 = 16q 2 +8q +1 = 4 4q 2 +2q)+1. Então, n deix resto 1 n divisão por 4. iii) m = 4q +2: temos n = m 2 = 4q +2) 2 = 16q 2 +16q+4 = 4 4q 2 +4q +1); 4 mtemtic@obmep.org.br

6 novmente, n deix resto 0 qundo dividido por 4. iv) m = 4q +3: segue que n = m 2 = 4q +3) 2 = 16q 2 +24q +9 = 4 4q 2 +6q +2)+1. Como no cso ii), n deix resto 1 n divisão por 4. Em qulquer cso, verificmos que o resto d divisão do qudrdo perfeito n por 4 é sempre igul 0 ou 1. Exemplo 12. Mostre que se, b e c são inteiros tis que 2 +b 2 = c 2, então e b não são mbos ímpres. Solução. Por contrposição, suponh que e b fossem mbos ímpres. Então, seus qudrdos tmbém o serim. Ms, pelo exemplo nterior, qundo dividimos um qudrdo perfeito por 4, s únics possibiliddes pr os restos dessdivisãosão0ou1. Sendo 2 e b 2 ímpres,concluímos que devem existir inteiros q 1 e q 2 tis que 2 = 4q e b 2 = 4q Isso implic c 2 = 2 +b 2 = 4q 1 +q 2 )+2, o que é um bsurdo, pois, novmente utilizndo o exemplo nterior, um qudrdo perfeito não pode deixr resto 2 qundo dividido por 4. Exemplo 13. BANCO OBMEP 2016) Júli está treinndo pr olimpíds de mtemátic. Um di el decide dividir 2014 por cd um dos divisores inteiros positivos de Pr cd divisão, el escreve o quociente no seu cderno e o resto em um lous. Vmos judr Júli. ) Escrev os oito divisores inteiros positivos de b) Pr cd um desses divisores, fç divisão de 2014 por ele e escrev um list com os quocientes e outr com os restos obtidos. c) Ao terminr, Júli percebeu um grnde coincidênci : os números escritos no cderno erm os mesmos que estvm no qudro, pens escritos em um ordem diferente. Seri um coincidênci? Mostre que, pr qulquer número n que Júli escolher, se el clculr o quociente e o resto d divisão de n 1 por cd um dos divisores positivos de n, os números no cderno e n lous serão extmente os mesmos, estndo pens, possivelmente, escritos em um ordem diferente. Solução. ) Observe que ftorção de 2015 como um produto de números primos é Portnto, de fto, 2015 tem 8 divisores positivos, que são: b) Efetundo s divisões de 2014 por cd um dos divisores de 2015 encontrdos no item nterior, obtemos: 2014 = = = = = = = = Portnto, s lists dos quocientes e dos restos relmente coincidem: 0, 4, 12, 30, 64, 154, 402 e Note que, lém dos números ns dus lists serem os mesmos, eles são extmente os ntecessores dos divisores positivos de c) Agor, se x é um divisor positivo de n, então existe y Z que tmbém é um divisor positivo de n) tl que n = xy. Observe que e n = xy = n 1 = xy 1 = n 1 = xy x+x 1 = n 1 = xy 1)+x 1) n = xy = n 1 = xy 1 = n 1 = xy y +y 1 = n 1 = yx 1)+y 1). Como 0 x 1 < x e 0 y 1 < y, então, por unicidde, os restos ns divisões de n 1 por x e por y são respectivmente iguis x 1 e y 1, e os quocientes ns mesms divisões são respectivmente iguis y 1 e x 1. Vle ressltr que, se x = y cso em que n é um qudrdo perfeito), então n = x 2 = n 1 = x 2 1 = n 1 = x 2 x+x 1 = n 1 = xx 1)+x 1), ou sej, temos pens um divisão, com quociente e resto iguis. Portnto, list formd com os quocientes é mesm que list formd com os restos. 1, 5, 13, 31, 65, 155, 403 e mtemtic@obmep.org.br

7 Dics pr o Professor Recomendmos que sejm utilizds um sessão de 50min pr discutir cd um ds seções que compõem esse mteril. N seção 1, explique com muito cuiddo s proprieddes d divisão de números inteiros, enftizndo plicção ds proprieddes nos exemplos resolvidos. Isso fcilitrá o entendimento por prte dos lunos. Nos exemplos que fzem prte d seção 2, chme tenção dos lunos pr os pontos nos quis o Algoritmo d Divisão estej sendo utilizdo, pois muits vezes esse teorem é utilizdo sem que eles percebm. As referêncis colecionds seguir contém muitos problems e exemplos relciondos o conteúdo do presente mteril. Sugestões de Leitur Complementr 1. A. Cminh. Tópicos de Mtemátic Elementr Volume 5: Teori do Números, 2 Edição. Rio de Jneiro, SBM, D. Fomin, S. Genkin e I. Itenberg. Mthemticl World, Volume 8: Mthemticl Circles Russin Experience). AMS, J. P. O. Sntos. Introdução à Teori dos Números. Rio de Jneiro, SBM, mtemtic@obmep.org.br