FLEXÃO DE PLACAS FINAS SEMI-ESPESSAS

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1 Rogéio José ck FLEXÃO E PLACAS FINAS (Kicoff) e SEI-ESPESSAS (indlin/reissne) Fleão de plcs Seão nlisdos poles de geoeti pln (cuvtu nul). Os cegentos lev e cont oentos e cgs tnsvesis, pens. O pole efeente cgs longitudinis (en) pode se esolvidos sepdente e supepostos os esultdos de plc (egie line elástico). Resistênci dos teiis Avnçd

2 Rogéio José ck A teoi de plcs é u ds is ipotntes teois estutuis: Bs Plcs Vigs ens Cscs Teoi de plcs fins: uteoi de Kicoff-Love. ucontptid d teoi de vigs de Eule- Benoulli (ipótese ds seções plns). uespe o efeito ds defoções cislntes tnsvesis. ubons esultdos p espessu < vees s diensões lteis d plc. Resistênci dos teiis Avnçd

3 Rogéio José ck Aspectos indispensáveis p copeensão ds teois de plcs: uas plcs pode se consideds fins ou não (influênci do cislento). u All ou need is love... (Betles, 968). ukicoff se esceve co dois s. uflge não te pens significdo culináio. efinições geoétics - plc pln: Supefície de efeênci Peiss: O copotento de ulue ponto (,,) d plc pode se copletente descito pelo copotento d supefície de efeênci (,). Resistênci dos teiis Avnçd 3

4 Rogéio José ck Cpo de deslocentos: uhipótese ds seções plns: F As lins inicilente ets e pependicules à supefície de efeênci d plc penece ets e pependicules à est pós fleão ocoe. F Quisue lins oiginlente plels o eio penece inetensíveis. Ou sej, espessu penece constnte. u Gficente: A B A B d u(, ) (, ) d v(, ) (, ) A' B ' A' B' θ θ Resistênci dos teiis Avnçd

5 Rogéio José ck Resistênci dos teiis Avnçd 5 ), ( ),, ( ), ( ),, ( ), ( ),, ( v u θ θ ucpo de deslocentos: ε ε ε γ γ γ ucpo de defoções: θ θ ), ( ), ( v u ucpo de tensões:,, σ σ, τ τ, τ { } [ ]{ } ε σ C σ τ τ τ υ υ σ υ υ σ G E E

6 Rogéio José ck u Esfoços intenos (tensões esultntes): N N N / / / / / σ σ τ / d d d Q Q / / / τ τ / d d / / / / / σ σ τ / d d d en Esfoço cotnte Fleão ueuções difeenciis de euilíio: d d Q F Q N N N N Resistênci dos teiis Avnçd 6

7 Rogéio José ck Resistênci dos teiis Avnçd 7 Q Q Q Q Sustituindo-se s dus últis n piei: Eução difeencil de plcs fins e teos dos esfoços intenos. Sustituindo-se s definições de esfoços intenos: υ υ ( ) υ Q Q Onde: ( ) 3 υ E ódulo de igide à fleão d plc

8 Rogéio José ck Sustituindo s últis euções n eução difeencil do pole: Ou: Eução difeencil de plcs fins e teos dos deslocentos. -Eução de Nvie - upoles: FAo se veific o euilíio de u eleento difeencil d plc contendo u cnto vivo, conclui-se ue o euilíio não é veificdo n dieção. Isto é, soente o esfoço cotnte não é suficiente p euili. FEntão define-se o esfoço cotnte efetivo: V Q V Q Lev o peciento de cgs concentds nos cntos. Resistênci dos teiis Avnçd 8

9 Rogéio José ck upo ue pecisos dest nov viável? FEstá se ipondo u estdo plno de defoções (EP) u estdo plno de tensões (EPT), o ue é incoeente do ponto de vist d elsticidde. FCus: o efeito ds defoções cislntes está sendo despedo. FConseuênci: Fic sondo condições de contono p see iposts. A solução então é condens dus condições de contono e u (oento toço e esfoço cotnte) - o esfoço cotnte efetivo. ucondições de contono clássics: Aest live n V n n Aest poid t n t n Aest engstd t n n Resistênci dos teiis Avnçd 9

10 Rogéio José ck utensões: Fleão σ, σ, σ N 3 en σ, σ, σ τ N N 6 3 usoluções típics: FPlcs cicules: Peite solução nlític fecd p uitos csos (coodends poles). FPlcs etngules: Nolente utili soluções seds e séies infinits (Nvie, Lev, guee etc.). FOuts geoetis: Eiste soluções p lgus (plcs elíptics, tingules, tpeoidis, ôics...). Técnics de peento confoe. Outos étodos poiddos (Rleig-Rit) Resistênci dos teiis Avnçd

11 Rogéio José ck Apêndice ALGUAS SOLUÇÕES ANALÍTICAS PARA PLACAS A. Plcs etngules poids Cegento senoidl: sin sin E..: sin sin Resistênci dos teiis Avnçd

12 Rogéio José ck Resistênci dos teiis Avnçd Condições de contono: Solução gel:,, e e C sin sin eslocento tnsvesl: oentos fletoes: α sin sin ( ) α υ υ α υ α cos cos sin sin sin sin α

13 Rogéio José ck Esfoços cotntes: Q Q Reções vincules: cos cos α sin sin α V V Q Q V V α α υ sin υ sin So ds eções: V V ( υ) Vds Vd Vd 8 α da sin sin dd? Resistênci dos teiis Avnçd 3

14 Rogéio José ck Reções nos cntos: V t Q t t nt ( ε, ) R li V ds ( ) t ε, ε, ( ) No eso sentido do cegento R ( υ) α ε R R R Solução de Nvie (8) Cegento genéico: ( ) f, Epnsão - séie dupl: f (, ) n n n sin cos Resistênci dos teiis Avnçd

15 Rogéio José ck Coeficientes de Fouie: n f (, ) sin sin n dd eslocento tnsvesl:,3,... n,3,... α n sin sin n α n Cso pticul: 6 n sin sin,3,... n,3,... αn n sen sen 6 6 n n n (, n íp) Séie convege pidente Resistênci dos teiis Avnçd 5

16 Rogéio José ck Esfoços: Q Q Resistênci dos teiis Avnçd 6

17 Rogéio José ck Cso pticul - plc udd so cegento unifoe: uusndo pens o pieio teo d séie: ueo,5%., 5 E 3 Cso pticul - plc etngul co cg distiuíd soe u áe etngul. Solução de Lév (899) Cegento genéico: ( ) f, Epnsão - séie siples: Y sin Y Y ( ) Resistênci dos teiis Avnçd 7

18 Rogéio José ck Resistênci dos teiis Avnçd 8 Coeficientes de Fouie: eslocento tnsvesl: IV Y Y Y α α α α α α α sin sin cos cos cos tn,3, α Cso pticul: Séie convege pidente

19 Rogéio José ck Esfoços: Esfoços: Q Q Resistênci dos teiis Avnçd 9

20 Rogéio José ck Soluções tules: uplc udd so cg unifoe:, 6 ucuiddo co petições difeentes: Lév,3, 98 3 E Nvie uplcs etngules: α Tels - f(/) Copção - : Nvie Nvie Lév Resistênci dos teiis Avnçd

21 Rogéio José ck Copção - : Nvie Lév Nvie Copção - Q : Q Nvie Lév Q Nvie Q A. Plcs etngules co condições de contono divess Resistênci dos teiis Avnçd

22 Rogéio José ck A.3 Plcs fins cicules Coodends poles Aissieti E..: d d d d d d d d oentos: nn d υ d d d tt d d υ d d Esfoço cotnte: Q d d d d Resistênci dos teiis Avnçd

23 Rogéio José ck Cso pticul: Q Q Solução gel: C C log C 6 3 Plcs fin cicul engstd Cegento unifoe Solução: 6 nn [ ( υ) ( 3 υ) ] ( υ) ( υ) [ ] tt Resistênci dos teiis Avnçd 3

24 Rogéio José ck Plcs fin cicul poid Cegento unifoe Solução: ( ) 6 5 υ υ nn ( 3 υ)( ) [ ( 3 υ) ( υ) ] tt Plcs sei-espess cicul engstd Cegento unifoe Solução ( pp.339): 6 κ ( υ) Kicoff pcel devido o cislento Resistênci dos teiis Avnçd

25 Rogéio José ck Resistênci dos teiis Avnçd 5 Solução unificd p plcs cicules engstds: 6 C 6 3 φ φ t n eslocento tnsvesl: Rotções: ( ) ( ) ( ) ( ) υ υ υ υ C C tt nt nn oentos: Esfoços cotntes: t n Q Q

26 Rogéio José ck Constntes: uodelo de Kicoff: C C uodelo de indlin: uodelo de Reissne: C 3κ C C 3κ C C ( υ) ( υ) eslocentos: Reissne indlin Kioff Resistênci dos teiis Avnçd 6

27 Rogéio José ck Reissne indlin Kioff Reissne indlin Kioff 5 oentos: nn Reissne indlin Kioff Reissne indlin nn 5 Kioff Resistênci dos teiis Avnçd 7