4.5 Polarização e o campo de deslocamento

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1 4.5 olizção e o cpo de deslocento Teos que conside dus pcels de cg n plicção d lei de Guss: s cgs devido o estdo de polizção do dielético e s deis cgs, que eu chei de cgs líquids. Iginos téi dividid e egiões icoscópics que pode coesponde oléculs, átoos ou, no cso de u cistl, u célul unitái que peite ge o cistl tvés de tnslções epetids. U distibuição ssiétic de cg dento dests egiões contibui p polizção enqunto u excesso de u tipo de cg dento de u dests egiões fz pte d cg líquid. Especilente s cgs de condução, que pode se deslocds po gndes distâncis, contão coo cg líquid. Então podeos destc ests pcels qundo esceveos lei de Guss: ε E ds = Q L e + Q (4.5.1). e Nest fóul usei o subscito L p indic cg Líquid e o subscito p indic cg de olizção. Abos os tipos de cg são pens considedos dento do volue cuj supefície seve coo supefície Gussin. Escevi tods s gndezs e negito poque tteos qui dos cpos coscópicos. No exeplo do cpcito de plcs plels co u dielético hoogêneo, vios que cg de polizção pece pens n supefície do dielético, onde polizção ud buptente. Ms podeos igin situções is geis e que o estdo de polizção pode ud continuente. Gostíos de sbe qunt cg de polizção está pesente nu dd configução de polizções. Fig Ilustção d definição de polizção. pode esponde est pegunt, te-se que invent pieiente u descição quntittiv dquilo que eu chei de configução de polizções ou estdo de polizção. os pens: s oléculs defods fo pequenos dipolos. odeíos quntific o estdo O de polizção co o veto dipolo de u olécul? Ms não é pens o veto dipolo de u olécul que inteess. Se tiveos u dielético de bix densidde, onde quse não há oléculs, o estdo de polizção cetente é is fco do que nu dielético denso co o eso veto dipolo de cd olécul. Tbé te-se que conside se tods s oléculs estão coopendo ou se os vetoes dipolo pont e dieções divess. Estes tês spectos, gnitude do dipolo, densidde d téi e unifoidde ds dieções, pode se d téi no descitos pel seguinte definição de u novo cpo: polizção ponto é so de todos os vetoes-dipolo dento de u esfe co cento, dividid pelo volue d esfe, sendo est esfe pequen n escl coscópic, s ind suficienteente gnde p conte u núeo elevdo (> 1 5 ) de oléculs. pi todos os dipolos n esfe de cento ( ) = (4.5.) def. A esfe deve se tão pequen que el poss se consided u ponto n escl coscópic, s el deve conte ind u núeo gnde de oléculs. E plvs podeos expess definição (4.5.) de fo sucint: esfe 159

2 (4.5.) ( ) é densidde de dipolo no ponto. eeos go coo cg de polizção pode se descit e teos deste novo cpo. Tenteos divinh u elção. ieiente olheos s uniddes. Os ódulos dos vetoes de dipolo se ede e Coulob vezes eto. Então o ódulo de se ede e Coulob po eto quddo. Se dividios isto po u distânci, obteeos u densidde de cg. Dividi po distânci leb deivd. Ms que tipo de deivd? Deve se u deivd que tnsfoe u cpo vetoil nu cpo é u cpo vetoil, e u densidde de cg é u cpo escl, pois escl. Ests consideções já dão u dic uito óbvi deivd deve se u divegênci. odeos divinh o esto co u desenho co oléculs polizds de nei não unifoe. N figu ostos u pedço de téi onde ( ) cesce n dieção do pópio ( ). Então nest egião teeos div >. Fig Moléculs co dipolos que cesce n dieção do veto. U supefície Gussin está cd coo cix pet. El conté u excesso de cg negtiv. ecebeos que e qulque supefície Gussin no seio do teil sob cg negtiv. Juntndo estes indícios, podeos divinh qul é elção ente polizção e densidde de cg de polizção: ρ = div (4.5.4) Aqui no ciclo básico vos nos liit este guento de divinhção. O luno que fá lgu disciplin de eletognetiso is vnçd conheceá u dedução igoos dest fóul 1. Ms p os lunos inteessdos que quei conhece u dedução fol desde já, ou que não tê u disciplin de eletognetiso n gde cuicul, teos u dedução fol no pêndice dest seção. Já que obtiveos infoção espeito d cg de polizção e teos de u densidde de cg, vos us fo difeencil d lei de Guss: ε div E = ρ + ρ = ρ div (4.5.5) L L Olhndo est fóul, dá vontde de junt os dois teos de divegênci: div ε E + = ρ (4.5.6) ( ) E olhndo est fóul, ind dá vontde de defini u novo cpo: def. L D = ε E + (4.5.7) 1 Ele pendeá ind is detlhes, po exeplo, que há tbé contibuições de oentos de qudupolo p s cgs de polizção. Aqui vos despez ests contibuições. 16

3 Mxwell intoduziu este cpo e chou-o de cpo de deslocento. A pcel de polizção, ou sej, o cpo, elente coesponde u deslocento de cgs dento ds oléculs. Mxwell iginv o espço epleto de cgs positivs e negtivs e ssociv o cpo elético E tbé u deslocento de cgs. Hoje não se intepet is o cpo elético coo u deslocento de cgs do vácuo, s o noe cpo de deslocento ficou. Co este novo cpo lei de Guss fic nu fo exteente siples: ou e fo integl: div D = ρ (4.5.8), L D ds = L e (4.5.9). Fig Aplicção d lei de Guss p o cpo D nu intefce de dois eios B e. ecis-se ind de u foulção d lei de Guss específic p intefces ente substâncis. Igine dois teiis B e que se toc nu intefce I. I Nu egião suficienteente pequen est supefície pode se consided coo loclente pln, e podeos egue u veto nol ˆn n supefície nest egião. os escolhe o sentido deste veto tl que ele ponte de B p. o est zão chei s substâncis de B e p leb de Bse do veto e ont do veto. Ago vos escolhe u supefície Gussin e fo de u cixinh co s tps d cixinh nois o veto ˆn, ou sej, plels à intefce. U ds tps deve fic n substânci B e out n substânci. A ltu d cixinh sej h, e est vos nd p zeo. A figu 4.5. ost est situção. A integl de fluxo do cpo D te contibuições ds tps e d pte ltel. D ds = D ds + D ds + D ds (4.5.1) Tp B Tp Ltel Se escolheos áe A ds tps suficienteente pequen, s contibuições p o fluxo de D que vê ds tps se tnsfo e siples ultiplicções: D ds = D nˆ A, D ds = + D nˆ A (4.5.11), Tp B B Tp onde chei os vloes do cpo D djcentes à supefície I nos espectivos ldos de D B e D. No liite de h pte ltel não contibui e lei de Guss D D nˆ A = Q. Dividindo pel áe, obteos no ldo dieito esult e e B L densidde supeficil de cg líquid n intefce: D D = (4.5.1) nˆ B L N io pte ds plicções, cgs líquids são cgs de condução e condutoes, e no equilíbio eles pece ns supefícies. Ocsionlente podeos te cgs 161

4 líquids tbé e dieléticos, po exeplo, cgs iplntds dento do teil ou cgs n supefície pós u tito co outo teil. Soente neste últio cso teíos u cg supeficil líquid nu dielético. Ms dento de cpcitoes isto sei u situção pouco típic. Então qundo s dus substâncis foe dieléticos, nolente não há cg líquid supeficil n intefce, e neste cso fóul (4.5.1) signific que coponente nol do cpo D te que se contínu n intefce: D nˆ = D nˆ p e B bos dieléticos não titdos (4.5.1) B As fóuls (4.5.1) e (4.5.1) são vesões d lei de Guss especificente dptds às intefces de substâncis. As leis d eletostátic e: lei de Guss e lei d existênci do potencil. Est segund lei escit e fo difeencil é: ot E = (4.5.14) Est equção te tês coponentes; então n vedde são tês equções. A lei de Guss é u elção escl que epesent is u equção. Então isto dá u totl de quto equções. u situção co condutoes, teos quto incógnits: os tês coponentes do cpo elético e densidde de cg (que no cso de condutoes to fo de densidde supeficil, s eso ssi é u função escl). Então tudo estv pefeito: quto equções e quto incógnits. Ms go, co elegnte invenção do cpo de deslocento, estgos tudo! O cpo D co s sus tês coponentes epesent is tês incógnits. podeos clcul lgu cois, pecisos de is equções. Neste cso não se tt de leis fundentis, s de descições de popieddes dos teiis, pois D conté polizção que epesent lgu eção de u teil. Neste cso u descição fenoenológic bsed e ddos expeientis sobe cd teil é fo dequd de se escevee s equções que flt. Então pecisos de lgu infoção epíic que infoe coo polizção depende do cpo elético. Cetente est dependênci coesponde u função igável que pode se escit coo séie de Tylo, e coo os cpos eléticos que teos nos nossos lbotóios odestos são fcos, podeos supo que os teos qudáticos, cúbicos etc. são despezíveis. Então descição epíic deve te fo de u elção line ente e E. Coo s uniddes dos ódulos de e E são difeentes, convé sep nest dependênci line u fto que consete s uniddes, e u outo que coespond u núeo puo. O fto ds uniddes pode se o ε. Então podeos esceve lei epíic n fo = ε χ E (4.5.15) O vlo nuéico χ se ch susceptibilidde elétic do teil, e este vlo te que se edido expeientlente p cd teil. Se inseios est elção n definição do cpo de deslocento, obteeos: N vedde, p lguns teiis cistlinos o χ pode se u objeto u pouco is coplicdo do que u siples núeo. Cistis pode te dieções espciis pivilegids e consequenteente o veto pode pont nu dieção difeente do veto E. Neste cso χ sei u peento line que os físicos ch de tenso de susceptibilidde. Ms qui no ciclo básico podeos liit-nos o cso de u χ, que é u siples núeo. 16

5 = ε + χ D E (4.5.16) 1 Co est elção vos esolve o poble do cpcito de plcs plels co dielético. Co hipótese de que o diâeto ds plcs é uito io que distânci d ente s plcs, podeos de novo supo u cpo elético unifoe n io pte do inteio do cpcito. O ódulo deste cpo é E = C / d. Então o ódulo do cpo de deslocento é D = ε ( 1 + χ) / C d. Se plicos lei de Guss p L 1 C / d. Multiplicndo est densidde supeficil de cg co áe A ds plcs (despezndo de novo s contibuições coplicds ds beids e ds ptes extens ds plcs), obteos cg Q = Aε ( 1 + χ) C / d. Então cpcitânci é intefces (4.5.1) p supefície d plc conduto, obteos = ε ( + χ) C = Aε 1 + χ / d. Copndo este esultdo co fóul 4.4., concluíos que κ = 1+ χ (4.5.17) Co este esultdo sbeos coo susceptibilidde χ pode se edid. Tbé podeos esceve elção ente D e E de fo siples co constnte dielétic: D = ε κ E (4.5.18) O cpo de deslocento é u feent uito pátic p clcul s coiss d eletostátic. Especilente lei de Guss p intefces é ipotnte. uits plicções pecisos ind de u fo intefcil d lei d existênci do potencil. Lebe-se d foulção integl dest lei (fóul (.1.4)): E dl = p todo cinho fechdo (4.5.19) I b t c d Ago igine u intefce ente dus substâncis B e. De novo vos egue o veto nol ˆn pontndo do B p o. os escolhe u cinho de integção que consiste de quto ets: () u deslocento dento do eio B descito po u veto t do plno tngente d intefce, (b) u cinho que tvess intefce ndndo u distânci h n dieção do veto ˆn, (c) u deslocento descito pelo veto t e (d) o etono p o ponto de ptid coo está ilustdo n figu Fig Ilustção p u foulção d lei de existênci de potencil dptd intefces. Cinho fechdo n intefce de dus substâncis co dois deslocentos plelos o plno tngente. u veto t suficienteente pequeno s contibuições dos techos () e (c) se tnsfo e siples ultiplicções: E dl = E t, E dl = E t (4.5.) ( c) B 16

6 onde E B e E são os vloes do cpo djcentes à intefce nos espectivos teiis B e. os t s contibuições dos techos (b) e (d) ndndo ltu h do etângulo p zeo. Então segue E t E t = (4.5.1) B O veto t pode te qulque dieção dento do plno tngencil d intefce. Co isto fóul (4.5.1) signific que pcel tngencil do cpo elético te que te o eso vlo dos dois ldos d intefce. Ou sej, pcel tngencil do cpo elético é contínu n intefce. É bo sbe coo obte pcel tngencil E= do veto E ; uito siples; ti-se do E pte nol: E = E E = E nˆ nˆ E (4.5.) = Co est noção de pcel tngencil podeos foul vesão intefcil d lei de existênci do potencil: A pcel tngencil do cpo elético é contínu nu intefce. E = E (4.5.) = B = eeos lguns exeplos que ilust utilidde do cpo de deslocento e ds foulções intefciis ds leis. Considee u cpcito esféico co u esfe conduto de io e u cvidde esféic concêntic de io inteno b. O espço ente estes condutoes estej peenchido co dois dieléticos. O pieio, co constnte dielétic κ 1, fic n egião c, onde c é u io ente e b ( < c < b ), e o segundo, co constnte dielétic κ, peenche o esto do volue ente os condutoes. O poble te sieti esféic e podeos supo que D tenh fo D, θ, ϕ = D ˆ θ, ϕ (4.5.4) u supefície Gussin e fo de esfe de io b e concêntic co os condutoes, teos D ds = 4π D (4.5.5) Então co lei de Guss p o cpo de deslocento obteos Q D = p b (4.5.6) 4π onde Q é cg n esfe inten. Isto é u função contínu no intevlo [, ] b e E dd pel fóul condição (4.5.1) está stisfeit. Ms co elção ente D e (4.5.18), pecebeos que o cpo elético não é contínuo n intefce ente os dieléticos: Nu disciplin de 4 hos senis estes exeplos fic po cont do estudo dos bons lunos e cs. 164

7 b E (,, ) ( θ ϕ) Q ˆ, 4 πε κ 1 θ ϕ = Q ˆ, 4 πε κ ( θ ϕ) p p < c c < b (4.5.7) Meso co est descontinuidde, condição (4.5.1) está stisfeit, pois pcel tngencil do cpo elético é zeo e bos os ldos d fontei ente os dieléticos. Fo d fontei o cpo d (4.5.7) tbé stisfz lei d existênci do potencil ot E =. Alé disso este cpo é pependicul às supefícies esféics; então s supefícies dos condutoes são elente equipotenciis, e teos u solução coplet do poble. Fig Cpcito esféico co dois dieléticos e cds concêntics. A figu ost tbé u supefície Gussin esféic e u cinho de integção ente pontos nos condutoes. Co este cpo podeos clcul difeenç de potencil ente os condutoes: b = E dl = κ1 b ( θ ϕ) ( θ ϕ) c b Q ˆ, Q ˆ, = ˆ ( θ, ϕ ) d + ˆ ( θ, ϕ ) d = 4πε κ 4πε κ 1 c Q = + = 4πε κ1 c κ c b Q κ ( c - ) b + κ1 ( b - c) = 4πε κ κ bc 1 E co definição d cpcitânci obteos b κ c C 4πεbc κ1κ = κ + κ b - c ( c - ) b 1 (4.5.8) (4.5.9) Ago veeos u exeplo u pouco is coplicdo. De novo consideos u cpcito esféico co dois dieléticos ente os condutoes. Ms dest vez o dielético co constnte κ 1 peenche o heisféio note, isto é, egião co θ [, π / ], e o teil co constnte dielétic θ π /, π. A figu ost este objeto junto co dus supefícies Gussins e co u cinho de integção. A dificuldde deste exeplo eside no fto de não hve sieti esféic. Então os guentos que sepe usos n plicção d lei de Guss não funcion. elo enos u dos cpos E ou D não deve te sieti esféic. Ms veeos se conseguieos divinh u solução não tivil. U cois está cet; nos ios e b o potencil te que te sieti esféic. Sei difícil igin u, b. Se o κ peenche o heisféio sul, onde [ ] potencil que não tivesse tbé sieti esféic no esto do intevlo [ ] 165

8 potencil tive sieti esféic, o cpo elético tbé teá que te est sieti. Então feos u tenttiv supondo E, θ, ϕ = E ˆ θ, ϕ (4.5.). D (4.5.18) obteos o cpo de deslocento: ˆ (, ) p [, / ] ˆ (, ) p [ /, ] ε κ1e θ ϕ θ π D(, θ, ϕ ) = (4.5.1). ε κ E θ ϕ θ π π Ago vos escolhe u supefície Gussin no heisféio note co s seguintes ccteístics: (A) u fce é u fção de supefície esféic, concêntic co o cpcito, co io eno que que cobe lgu ângulo sólido Ω visto pti do cento do cpcito; (B) u fção de supefície esféic, concêntic co o cpcito,,b que cobe o eso ângulo sólido Ω ; (C) u nto cônico que une s supefícies (A) e (B). Coo supefície (A) está dento do conduto centl, o cpo é zeo e não há fluxo nest. Coo tod supefície (B) está no heisféio note, coponente dil do cpo de deslocento não depende dos ângulos θ e ϕ. Então podeos clcul integl de fluxo: D ds = D ds = Ω (4.5.) = ε κ E ˆ θ, ϕ ˆ θ, ϕ dω = ε κ E Ω co u io [ ] 1 1 Ω A cg líquid que te dento d supefície Gussin escolhid está loclizd n supefície d esfe centl, is pecisente n pte d supefície que está dento do ângulo sólido Ω. Então teos co lei de Guss onde ( θ, ϕ) εκ1e Ω = θ, ϕ dω (4.5.) Ω é densidde supeficil de cg live n esfe de io. O que est fóul diz é que integl dest densidde sobe qulque ângulo sólido dento do heisféio note é popocionl o tnho do ângulo sólido independenteente de θ, ϕ onde escolheos este ângulo sólido. Isto é soente possível, se função estive constnte e todo heisféio note. odeos us o eso guento p o heisféio sul. Então lá função ( θ, ϕ) tbé pode te pens u único vlo, s este pode se difeente do vlo no heisféio note. Chndo estes vloes de N e S espectivente, obteos Ω (, ) θ ϕ dω = Então lei de Guss (4.5.) esult e E N S Ω Ω = = ε κ N S 1 εκ no heisféio note no heisféio sul (4.5.4) (4.5.5) 166

9 ecebeos que o cpo elético é contínuo n intefce dos dieléticos. O cpo de deslocento não é contínuo, s pcel nol é contínu, pois el é zeo e bos os ldos. Ale disso o cpo elético obedece à lei ot E = e ele tein pependicul às supefícies nos condutoes. Então penteente encontos u solução do poble. A tensão do cpcito é A cg totl n esfe inten é D (4.5.6) obteos os vloes de C b - b b N b - S = Ed = = εκ1 b εκ ( ) A N S (etde de u esfe) (4.5.6) Q = π + (4.5.7) N e S e teos d tensão: Q A εκ1 Cb εκc b = π + b - b - Então obteos cpcitânci QA εb C = = π κ + κ b - C 1 (4.5.8) (4.5.9) b Fig Cpcito esféico co dois dieléticos distibuídos e dois heisféios. A figu ost tbé dus supefícies Gussins e u cinho de integção. κ1 Execícios: E 4.5.1: U cpcito cilíndico co io inteno e io inteno do conduto exteno b uito copido ( L >> b) está co seu eixo de sieti b κ pontndo n veticl e está peenchido co u líquido té u ltu h. Suponh tbé h >> b e L b >> h. O líquido te u constnte dielétic κ. Clcule cpcitânci deste cpcito. E 4.5.: Invente u senso bsedo e edids de cpcitâncis que pode se usdo p edi o nível de u líquido dielético nu tnque. ieiente suponh que constnte dielétic do líquido sej conhecid. Depois odifique su invenção de tl fo que o senso siv tbé p u líquido co constnte dielétic não conhecid. E 4.5.: Escev os destques dest seção. 4.5 Apêndice A densidde coscópic de cg nu ponto é integl d densidde de cg integd sobe u pequen esfe co cento e dividid pelo volue dest esfe: 167

10 ρ ( ) = ρ( ) d 4π R (4.5.4) esfede ior e cento odeos esceve este tipo de édi de fo is elegnte co jud de u / 4 π R dento d esfe de io R e cento n oige e o função que te o vlo vlo zeo fo dest esfe. os ch est função de g: g p R = 4 π R p > R def. (4.5.41) El te popiedde g ( ) d = 1 (4.5.4) onde integl se estende sobe todo o espço. A densidde coscópic n oige de coodends sei ρ = ρ g d (4.5.4) Nest fóul se integ sobe o espço inteio e função g gnte que soente cg dento d esfe contibu e el tbé to cont d divisão pelo volue. Se quiseos clcul densidde coscópic nu outo ponto podeos tbé us est função, s teos que deslocá-l p est posição: ρ = ρ g d (4.5.44) U detlhe está u pouco inconveniente; função g não é contínu e uito enos difeenciável. odeos conset este defeito. ensndo be, n tod de u édi coscópic não especificos seque o exto vlo do io d esfe. Então não deve fze nenhu difeenç se consideos contibuição de u cg n ext supefície d esfe co u peso ½ e contibuição de u cg que está já u pouquinho fo d esfe co u peso de 1/1 no lug do peso zeo. Então podeos substitui função g po u out função difeenciável f que tenh dento d esfe / 4 π R e fo d esfe essencilente o vlo de io R essencilente o vlo zeo, s que conecte estes vloes de fo contínu e difeenciável. A figu ost os vloes de u função co u copotento deste tipo. A função deve stisfze es condição d função g : f d = 1 (4.5.45) Fig loes ds funções g e f e função do ódulo do veto posição. f é u vesão suvizd d função g. pode ope co deivds se pobles, vos substitui ntig definição de édi coscópic pel definição suvizd : 168

11 ρ f d (4.5.46) = ρ ( ) def. odeos us função f tbé p esceve definição d polizção de fo is elegnte: = p f (4.5.47) onde é posição do ésio dipolo e so é tod sobe todos os dipolos no espço inteio. A função f gnte que soente os dipolos d esfe de io R e cento contibu e el to tbé cont d divisão pelo volue (cope co definição oiginl (4.5.)). cheg u expessão de densidde de cg ssocid o estdo de polizção, teos que intoduzi s oléculs ou egiões icoscópics coespondentes ests oléculs. Então vos dividi todo o espço e volues de tnho icoscópico de tl fo que cd u destes volues contenh no áxio u olécul e que todo o espço sej união destes volues; E = co = p. cd definios u densidde de cg ρ que coincid co densidde veddei ρ dento de e que sej zeo fo de. ρ ( ) p ρ ( ) = (4.5.48) def. p Então densidde veddei de cg é ρ = ρ ( ) (4.5.49) os substitui est so n fóul d densidde coscópic de cg (4.5.46): ρ = ρ f d (4.5.5) O tuque essencil seá toc ode de integl e so: ρ = ρ f d (4.5.51). E cd teo deste sotóio, função f ( ) função ρ ( ) está sendo integd co u que é difeente de zeo pens nu inúscul vizinhnç de u ponto que é o cento do volue. No cso, sei conveniente defini o cento de nei seelhnte coo se define o cento de ss, s qui substituindo ss po cg: ρ ( ) d = se. ρ d def ρ d (4.5.5) Obviente isto funcion soente se tive cg líquid no volue fo neuto deveeos defini. Se este volue 169

12 Coo ρ ( ) d funções f ( ) d d = ρ ( ) = def. é zeo fo de d se (4.5.5), não fz nenhu difeenç se lteos os vloes fo do volue que ests poxições sej bos dento de. Então podeos fze poxições desde. Coo é inúsculo (uito eno que o io R d esfe de fze édis) deve se possível us u expnsão e séie de Tylo po volt do ponto : f f + f + ( ) ( gd ) ( ) (4.5.54) Aqui vos tein est expnsão já no teo line. Substituindo est poxição n (4.5.51), obteos: ρ f d f d = ( ) ρ + ( gd ) ρ ( ) A integl d q ρ = (4.5.55) é cg líquid no volue e o pieio teo d (4.5.55) é densidde d cg líquid n posição. N tef de esceve os pontos de destque d seção., deve te sido enciondo o oento de dipolo de u distibuição de cg (fóul..). Reconheceos integl no segundo teo d (4.5.55) coo oento de dipolo ds cgs d egião : p = ρ d def. (4.5.56) O segundo teo d (4.5.55) é densidde de cg de polizção. Então co (4.5.56) teos ρ = gd f p (4.5.57) ( ) Ago vos cop est expessão co divegênci d polizção. Clculndo divegênci d (4.5.47), obteos: div ( ) = p f ( ) = (4.5.58) = p f = p f onde notei coo u índice no opedo nbl viável à qul se efee deivd. Copndo s fóuls (4.5.58) e (4.5.57) veificos que ( ) = div ( ρ ) (4.5.59). Isto é fóul divinhd (4.5.4). Ms, co est dedução, pecebeos tbé que noss expessão do cpo de deslocento (4.5.7) co vlidde d (4.5.8) é pens u poxição. odeíos te incluído is teos n séie de Tylo (4.5.54). De fto teos de is lt ode (teos de qudupolo) pode se incluídos n definição do cpo de deslocento. Ms gelente poxição que tein nos teos de dipolo é bstnte bo. 17