ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Departamento de Engenharia Mecânica

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1 PME 100 MEÂNI ecuperção 03 de fevereiro de 009 urção d Prov: 10 inutos (não é peritido o uso de ccudors) 1ª Questão (30 pontos): N estrutur esquetizd bixo brr é rticud nos pontos e brr é rticud e e e brr E é rticud e e E. N rticução encontr-se picd forç j r. Pede-se () Os digrs de corpo ivre ds brrs E e. (b) s forçs tuntes n brr nos pontos e. E x y ª Questão (30 pontos) : extreidde d brr desiz dentro de u gui vertic co veocidde v v J ( v constnte); brr gir o redor do eixo z (ortogon o pno do ppe e que pss por ) co vetor de rotção &r ϕ & ϕ K r e vetor de ceerção ngur & r ϕ && ϕ K r. N extreidde r d brr há u otor que gir esfer de centro e rio co u vetor de rotção ω ω i etivo à r brr de óduo constnte. O ponto pertence à esfer e su posição é t que j no instnte considerdo. dotndo brr coo referenci óve e expressndo s grndezs r vetoriis n bse ( i j k ) pede-se: ) s veociddes retiv de rrstento e bsout do ponto ; b) s ceerções retiv de rrstento e bsout do ponto ; c) s ceerções retiv de rrstento e bsout do ponto ; d) O vetor de ceerção ngur d esfer de centro.

2 3ª Questão (40 pontos): O siste d figur é coposto por u disco hoogêneo de centro ss e rio unido o boco de ss por eio de u hste de ss desprezíve. dite-se que o coeficiente de trito nos contctos entre o disco e o soo e entre o boco e o soo sej µ que o trito n rticução e sej desprezíve e que o siste prt do repouso ( ϕ 0 e ϕ& 0 ) sob ção de u binário de oento M constnte. Nesss condições pede-se: j i g M ϕ J z do: ) eterinr áxi ceerção (horizont) do ponto que pode ser ipost o siste se que hj escorregento entre o disco e o soo supondo que o siste se ov pr direit. b) eterinr expressão d ceerção horizont do ponto e d forç n brr. c) eterinr energi cinétic T do siste e o trbho W reizdo peos esforços tuntes no eso pr evá-o do estdo inici de repouso u estdo co ϕ e ϕ& rbitrários supondo que não hj escorregento entre o disco e soo e ebrndo que M é constnte. d) Usndo o resutdo do ite c deterinr veocidde ngur ϕ& do disco e função de ϕ.

3 PME 100 MEÂNI Gbrito d Prov de ecuperção 1ª Questão: (30 pontos) N estrutur esquetizd bixo brr é rticud nos pontos e brr é rticud e e e brr E é rticud e e E. N rticução encontr-se picd forç j r. Pede-se: () Os digrs de corpo ivre ds brrs E e. (10 ponto) (b) s forçs tuntes n brr nos pontos e. (0 pontos) z E x y SOLUÇÃO 1 nisndo o equiíbrio ds brrs E e notos que: 1. s brrs e E estão e equiíbrio sob ção de dus forçs picds às sus extreiddes. Logo esss forçs deve ser iguis e oposts confore indicdo nos digrs de corpo ivre d igur 1. Nturente os sentidos serão deterindos oportunente pós resoução do siste de equções de equiíbrio. E E E () (b) igur 1: igrs de corpo ivre ds brrs: () ; (b) E.. brr encontr-se e equiíbrio sob ção de três forçs picds nos pontos e. Logo esss forçs são necessriente copnres e o pno e que tu é o pno E pois os 3 pontos de picção ds forçs (ou sej ) situ-se sobre ret e direção de u ds forçs ( r ) é conhecid (E). est portnto pens verificr se se trt de u siste de forçs concorrentes ou pres (vide igur ).

4 E E igur : náise ds forçs tuntes n brr : ) 1ª hipótese: concorrentes; b) ª hipótese: pres. Pr tnto nisos rticução (vide igur 3) sobre qu se pic u forç extern r j contid no pno xy. Ess forç é equiibrd pes dus forçs interns tuntes ns extreiddes ds brrs e. prieir des ( r ) te direção de ou sej i r ; portnto r e r j encontr-se no eso pno xy. onsequenteente terceir forç ( r ) deverá tbé estr no pno xy pr que o siste de forçs concorrentes { r j r r } se equiibre. igur 3: Equiíbrio d rticução. oncui-se ssi que inh de ção d forç r se encontr n intersecção dos pnos xy e E. Observndo igur 1 notos que ess inh te direção de E (ou sej j i ). picndo-se s equções de equiíbrio de forçs tuntes n rticução (vide igur 3) resut: ( 45 ) cos ( ) sin 45 náise precedente nos peritiu concuir que o siste de 3 forçs tuntes n brr ou sej r { }é u siste de forçs pres confore iustrdo n igur -b. Pr ccur s gnitudes desss forçs é suficiente picr s equções de equiíbrio estático no pno E. Todvi u sipes inspeção d geoetri do siste (vide igur 4) nos perite concuir que por cus d sietri s forçs r e r 1 são iguis e tê óduo r. E outrs pvrs:

5 igur 4: orçs tuntes n brr (pno E). SOLUÇÃO : onstrói-se o digr de corpo ivre ds 3 brrs e se u náise is dethd do equiíbrio d brr (confore descrito n Soução 1 ) pic-se s equções de equiíbrio estático o nó (vide igur 5) e às brrs E e (vide igur 6). X Z Y igur 5: Equiíbrio do nó. X Y Z z X Z Y x E y E E E igur 6: igr de corpo ivro ds brrs e E. onsiderndo-se o equiíbrio do nó resut s equções (1) (3) seguir. x 0 X + 0 (1) y 0 Y + 0 Y () 0 Z 0 Z 0 (3) z onsiderndo-se o equiíbrio d brr resut s seguintes equções (4) (9) bixo: x 0 X + X + E 0 (4) y 0 Y Y E 0 (5)

6 0 Z + Z 0 Z 0 (6) z M x 0 E + Y 0 (7) M y 0 E + X 0 (8) M z 0 E + Y 0 (9) esovendo-se o siste de equções (1) (9) ci obtê-se: X Y Z 0 X E Y Z ª Questão: (30 pontos) extreidde d brr desiz dentro de u gui vertic co veocidde v v J ( v constnte); brr gir o redor do eixo z (ortogon o pno do ppe e que pss por ) co vetor de rotção &r ϕ & ϕ K r e vetor de ceerção ngur & r ϕ && ϕ K r. N extreidde r d brr há u otor que gir esfer de centro e rio co u vetor de rotção ω ω i etivo à r brr de óduo constnte. O ponto pertence à esfer e su posição é t que j no instnte considerdo. dotndo brr coo referenci óve e expressndo s grndezs r vetoriis n bse ( i j k ) pede-se: ) (10 ponto) s veociddes retiv de rrstento e bsout do ponto ; b) (10 ponto) s ceerções retiv de rrstento e bsout do ponto ; c) (05 ponto) s ceerções retiv de rrstento e bsout do ponto ; d) (05 ponto) O vetor de ceerção ngur d esfer de centro. SOLUÇÃO: Iniciente estbeeceos trnsforção geoétric entre os sistes de coordends r I J K ou sej: r i j k e

7 r I cosϕi sinϕj r J sinϕi + cosϕj K k Noteos que pr u observdor fixo o referenci igdo à brr esfer reiz u oviento puro de rotção e torno do eixo i r. ess for pr esse observdor veocidde do ponto é dd por: V V + ωi ωi j ω re re ( ) ( ) k Pr ccur veocidde de rrstento do ponto fixos esfer à brr de odo que bs se coporte coo u único corpo rígido. o isso te-se: v V V & k ( ) VJ & rr k [( L ) i j ] ( V & ) i [ V & + ϕ + ϕ + sin ϕ + ϕ + cos ϕ + ϕ ( + L) ]j Logo veocidde bsout do ponto será: v r v r V V + V V sinϕ + & ϕ i + V cosϕ + & ϕ + L j ω bs re rr ( ) [ ( )] k nisndo-se o oviento d esfer e reção o referenci fixo à brr observos que os pontos d esfer não situdos no eixo reiz oviento circur unifore o ongo do pno nor o eixo i r de odo que ceerção retiv do ponto corresponde à su ceerção centrípet ou sej: j re ω Pr ccur ceerção de rrstento do ponto is u vez fixos esfer à brr e picos fóru ger d ceerção de u corpo rígido ou sej: && ( ) & k (& k ( ) ) (&& & rr ( L) ) i (&&( L) & + ϕ + ϕ ϕ ϕ ϕ + + ϕ + + ϕ )j ceerção copeentr do ponto será: ω v & ϕk ωk or rr re ( ) 0 Portnto ceerção bsout do ponto será: r bs (&& & ( L) ) i (&&( L) & ϕ ϕ + + ϕ + + ϕ ω )j nisndo-se de for siir o oviento do ponto te-se: re 0 r && k ( ) & k (& rr k ( ) ) &&( L) j & + ϕ + ϕ ϕ ϕ + ϕ ( + L)i or ω rr vre 0 r && ϕ + L j & ϕ + L bs ( ) ( )i O vetor de ceerção ngur d esfer é ddo por: α α + α + α && ϕk + & ϕk ωi && ϕk + & ϕωj re rr e s 3ª Questão: (40 pontos) O siste d figur é coposto por u disco hoogêneo de centro ss e rio unido o boco de ss por eio de u hste de ss desprezíve. dite-se que o coeficiente de trito nos contctos entre o disco e o soo e entre o boco e o soo é µ que o trito n rticução e é desprezíve e que o siste prt do repouso ( ϕ 0 e ϕ& 0 ) sob ção de u binário de oento M constnte. Nesss condições pede-se:

8 g M ϕ J z do: ) (10 ponto) eterinr áxi ceerção (horizont) do ponto que pode ser ipost o siste se que hj escorregento entre o disco e o soo supondo que o siste se ov pr direit. b) (10 ponto) eterinr ceerção horizont do ponto e forç n brr. c) (10 ponto) eterinr energi cinétic T do siste e o trbho W reizdo peos esforços tuntes no eso pr evá-o do estdo inici de repouso u estdo co ϕ e ϕ& rbitrários supondo que não hj escorregento entre o disco e soo e ebrndo que M é constnte. d) (10 ponto) Usndo o resutdo do ite c deterinr veocidde ngur ϕ& do disco e função de ϕ SOLUÇÃO Pr que possos picr os teores d inâic o siste considerdo construireos os digrs de corpo ivre dos dois corpos dotdos de ss e inérci o boco e o disco (ig. 7). M g g () (b) igur 7: igrs de corpo ivre: () do boco; (b) do disco. Noteos que brr de ss desprezíve se coport pens coo u víncuo cineático entre os ovientos do boco e do disco ipondo os pontos e s seguintes restrições: v v (1) () N t é disso coo o disco ro se escorregr o ponto de contcto do eso co o soo corresponde o I (vide ig. 8). N t

9 Portnto o centro do disco reiz oviento horizont de trnsção co veocidde e ceerção dds respectivente por: & ϕ & ϕ v ϕ& (3) I ϕ& & (4) igur 8: Moviento do disco. + (5) t 0 N g N g (6) picndo-se o Teore do Moviento do ricentro (TM) (vide ig. -) o oviento do boco obté-se: t oo o boco encontr-se e oviento podeos firr que forç de trito tunte sobre ee é dd por: µ N g (7) t t µ (N equção ci ditios que os coeficientes de trito estático (µ) e dinâico (µ d ) são iguis) Substituindo-se (7) e (5) resut: ( + g) µ (8) picndo-se o TM o oviento do disco (vide ig. -b) obté-se: (9) t 0 N g N g (10) Substituindo-se (8) e (9) resut: + + g (11) t µ Pr que não hj escorregento entre o disco e soo deve-se ter: µ N g (1) t µ Substituindo-se (11) e (1) resut: g ( ) µ (13) + Portnto áxi ceerção que pode ser ipost o siste se que hj escorregento entre o disco e o soo é: ( ) g µ ( ) (13-) x + É iportnte notr que s expressões (13) ci stisfze à condição de oviento de roento puro do disco pens se >. picndo-se o Teore do Moento ngur (TM) o oviento do disco (ig. -b) obté-se:

10 J z ϕ& & M (14) t Utiizndo-se s equções (4) (11) e µ de onde resut: M ( + + g) ( M µ g) ( 3 + ) J z n equção ci (14) obté-se: Pr ccur forç tunte n brr utiizos equção (8) equção vincur () e expressão d ceerção do ponto (equção (15)) ou sej: ( + µ g) ( + g) µ do que resut: ( M 3µ g) ( 3 + ) E u configurção rbitrári ϕ do siste su energi cinétic copost pes prces devids os ovientos do boco e do disco é dd por: (15) (16) v ϕ& v J z T Toco + Tisco + + (17) Substituindo-se n equção ci s equções (1) e (3) be coo expressão do oento de inérci J obté-se: z T ou sej: (& ϕ ) (& ϕ) + ( ) ( 3 + ) & ϕ + 4 T ϕ& (18) 4 Pr ccuros o trbho reizdo pes forçs e oentos tuntes no siste desde configurção ϕ0 té u dd configurção ϕ rbitrári noteos que: 1. s forçs peso e s reções noris não reiz trbho u vez que tê direção nor o seu desocento;. forç de trito no disco não reiz trbho pois veocidde no ponto de contcto co o soo é nu. Portnto é do oento externo M únic forç que reiz trbho é forç de trito t tunte no boco ou sej: ( ϕ) W W + W Mϕ d (19) M t t

11 onde d(ϕ) é o desocento iner do boco correspondente u rotção ϕ do disco ou sej: ( ϕ) ϕ d (0) Substituindo-se (7) e (0) n expressão (19) resut: W ( M µ g)ϕ (1) inente picndo-se o Teore d Energi inétic (TE) o siste prtir d configurção de repouso (ϕ0) té u configurção rbitrári ϕ obté-se: T T 0 W T W (& ϕ) ( 3 + ) 4 ( M µ g)ϕ () e onde se extri expressão d veocidde ngur do disco e função de ϕ: ( M µ g) ϕ 3 + ϕ& (3)